文档内容
专题01 轴对称重难点题型专训（12大题型+14道拓展培优）
题型一 轴对称图形的识别
题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断
题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解
题型四 台球桌面上的轴对称问题
题型五 轴对称中的光线反射问题
题型六 折叠问题
题型七 画对称轴
题型八 求对称轴条数
题型九 车牌号码的镜面对称
题型十 钟表的镜面对称
题型十一 画轴对称图案
题型十二 设计轴对称图案
知识点一：轴对称与轴对称图形
1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图
形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形 状的图形；轴对称说的是两个图形的
一种特殊位置关系。
②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合。
②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的
两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。轴对称和轴对称图形的性质
轴对称的性质：
垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
① 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大
小完全相同）
② 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。
③ 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
A'
H
I
D D'
B'
J
K C'
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
知识点二：设计轴对称图形
问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′?
作法:
过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA,
垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点.
问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′?
作法：
1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA，
点A′就是点A关于直线l的对称点；
2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′；
3.连结A′B′.
问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？
作法：
△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点
关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形.
∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形.
归 纳
一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:
1.找点（确定图形中的一些特殊点）；
2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）；3.连线（连结对称点）.
二．设计轴对称图案的步骤：
（1）画出对称轴；
（2）画出图形的基本形状的部分线条；
（3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形；
（4）按照另一条对称轴继续画对称图形；
（5）完成对称图案设计.
注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c²
【经典例题一 轴对称图形的识别】
【例1】如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，
使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（ ）
A．10种 B．9种 C．8种 D．6种
1．用两个全等的含30°角的直角三角板以相等的边为公共边进行不重叠拼图，能拼成几个轴对称图形（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的
有 ．（填网格序号）
3．如图，在四边形 中， ，点 分别在 ， 上， ．(1)判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）；
(2)求证： ．
【经典例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】
【例2】如图， 和 关于直线1对称，下列结论：① ；② ；
③ 垂直平分 ；④直线 和 的交点不一定在 上．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1．如图， 与 关于直线l对称，连接 ， ， ，其中 分别交 ， 于点D，
，下列结论：① ；② ；③直线l垂直平分 ；④直线 与 的交点不一定
在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④2．如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格
点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有 个．
3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了 （顶点是网格线的交点）和直线l．
(1)在直线l上找一点P，使点P到边 ， 的距离相等；
(2)画出 关于直线l对称的图形 ；再将 向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图
形 ；
(3)结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形 和 的对应点所具有的性质是
．
A．对应点连线互相平行
B．对应点连线被直线l垂直平分
C．对应点连线被直线l平分或与直线l重合【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】
【例3】如图， ， ， 与 关于直线 对称，则 为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，四边形 中， ，点B关于 的对称点B’恰好落在 上，若 ，则
3．如图，在锐角 中， 的面积为90， 平分 ，若E、F分别是
上的动点，则 的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．9
2．如图，已知 ，点P为 内部一点，点M为射线 、点N为射线 上的两个动点，
当 的周长最小时，则 ．
3．如图，点 在 的内部，点 和点 关于 对称，点 关于 的对称点是点 ，连接 交
于点 ，交 于点 ．(1)①若 ，求 的度数；
②若 ，则 __________°（用含 的代数式表示）；
(2) 若 ，则 的周长为__________．
【经典例题四 台球桌面上的轴对称问题】
【例4】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小
区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（ ）
A．A 筐 B．B 筐 C．C 筐 D．D 筐
1．如图是一个经过改造的规则为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，
如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（
）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
2．如图，弹性小球从点 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形 的边时反弹，反弹时
反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为 ，第2次碰到矩形的边时的点为 ，…，第
次碰到矩形的边时的点为 ，则点 的坐标是 ．
3．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．
如图1，法线 垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台
球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．
如图2，长方型球桌 上有两个球 ， ．请你尝试解决台球碰撞问题：
(1)请你设计一条路径，使得球 撞击台球桌边 反射后，撞到球 ．在图2中画出，并说明做法的合理
性．
(2)请你设计一路径，使得球 连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球 ，在图3中画出一种路径即可．
【经典例题五 轴对称中的光线反射问题】【例5】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为 ，然后反
射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（
）
A． B． C． D．
1．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜 ， ，两个
平面镜所成的夹角为 ，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的
路径为入射光线 经过平面镜 反射后，又沿 射向平面镜 ，在点 C 处再次反射，反射光线为 ，
已知入射光线 ，反射光线 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜
与水平地面的夹角 的度数是 ．
3．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的 ， ）， 桌面上摆满了桔子， 桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他
设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【经典例题六 折叠问题】
【例6】如图，点 为长方形纸片 的边 上一点，将长方形纸片分别沿 ， 折叠，使点 ，
分别与点 ， 重合，点 ， ， 恰好在同一条直线上．若 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
1．如图所示，在四边纸片 中， ， ，将纸片沿 折叠，点 点 ， 处，
且 经过点B， 交 于点G，连接 ，若 平分 ， ， ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．2．如图1， 中，D是 边上的点，先将 沿看 翻折，使点A落在点 处，且
交 于点E（如图2），又将 沿着 翻折，使点C落在点 处，若点 恰好落在
上（如图3），且 ，则 °
3．在 中， ， 、 、 边的长分别记为a、b、c，点E是 边上的一个动点（点E
不与B、C重合），连结 ．已知． ．
(1)求点C到直线 的距离．
(2)线段 将 分为 和 ，若这两个三角形的周长相等，求 的长．
(3)将 沿直线 折叠，使点C恰好落在 边上的点 处，求此时 的长．
【经典例题七 画对称轴】
【例7】下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（ ）
A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形
1．下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（ ）A．a B．b C．c D．d
2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ；轴对称图
形的对称轴是任何一对对应点所连线段的 ．
3．如图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形．请
用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴．
【经典例题八 求对称轴条数】
【例8】正五边形的对称轴共有（ ）
A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条
1．如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩
余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂
色的正方形是（ ）A．① B．② C．③ D．④
2．在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有 个，按
对称轴条数由多到少排列是 ．
3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格：
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有________条对称轴．
【经典例题九 车牌号码的镜面对称】
【例9】一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（ ）
A． B． C． D．
1．一平面镜与水平面成 角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以 的速度沿桌面匀速向左远离
平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ）
A．以 的速度，做竖直向上运动 B．以 的速度，做竖直向下运动
C．以 的速度，做竖直向上运动 D．以 的速度，做竖直向下运动
2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示： ，实际时间是 ．
3．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况
下，使桌面出现一个正确的等式？【经典例题十 钟表的镜面对称】
【例10】小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（ ）
A． B． C． D．
2．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为 ，你能确定准确时间是 ．
3．如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？
【经典例题十一 画轴对称图案】
【例11】如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
1．如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的
黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中
补全剩余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业： ．
3．图 、图 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点 、 在小
正方形的顶点上．
(1)在图 中画出 （点 在小正方形的顶点上），使 为轴对称图形；
(2)在图 中画出四边形 （点 、 都在小正方形的顶点上），使四边形 为轴对称图形且面积为4．
【经典例题十二 设计轴对称图案】
【例12】如图，至少要将正方形 中多少个空白的小正方形涂黑后，才可以使着色后的图形关于对角
线 对称（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1．如图，在 的正方形网格中，选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，
则涂阴影的格子应为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图是 正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个
也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．
3．某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现
了该图案的具有以下性质：
甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴；乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子．
(1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质．
(2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质．
(3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．
（图中用“×”表示去掉的棋子）
1．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）把一张沿平行于长的方向已画2条三等分线的长方形纸条做成
一个莫比乌斯带，然后沿它的三等分线剪开．下面说法正确的是（ ）．
A．需要剪两次（剪1次指沿等分线剪至得到1个新纸杯）
B．可以得到3个大小一样的纸环
C．可以得到2个大小一样的纸环
D．可以得到1个大纸环和1个小纸环
2．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，四边形 中， ，点B关于 的对称点
B’恰好落在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片 沿 折叠，得到 ，点C的对应点为点
， 的延长线交 于点F，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
4．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图在四边形 中， 和 都是直角，且 ．
现将 沿 翻折，点 的对应点为 ， 与 边相交于 点，恰好 是 的角平分线，
若 ，则 的长为（ ）
A．1.5 B．❑√2 C．2 D．❑√3
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形 中， ，M，N分
别是 上的动点．当 的周长最小时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在 中， ， ，点P为 边
上一点，沿 折叠使得点A的对应点D落在 边上，则 的度数为 ．
7．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 中， 点在 上，将 点分别以AB， 为对
称轴，画出对称点 ， ，并连接 ， ，根据图中标示的角度， 的度数为 ．8．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将 沿直线AD折叠，使点C落在AB上的点E处，若
， ， ，则 的周长是 ．
9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，将∠A 折起，使点 A落在边
上的点 处，折痕为 ．若 ，则 ．
10．（2021·广东清远·一模）点D是锐角 内一点， 于点E，点F是线段 的一个动点，点
G是射线 的一个动点，连接 ，当 的周长最小时， 与 的数量关系式是
11．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一
个格点 （即三角形的顶点都在格点上）．(1) 的面积为 ；
(2)在图中作出 关于直线 的对称图形 ．
(3)利用网格纸，在 上找一点P，使得 的距离最短．（保留痕迹）
12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知 中， ， ，点A、B在
外， ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，若 ， ，沿DE翻折 得到 ， 交 于点G，作 于点H，请
直接写出除 外长度为 1 的所有线段 ．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中，D、E分别是 上两点， 与
关于 轴对称， 交 于点P，已知 ．(1)求 的度数．
(2)若 ，求 的度数．
14．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形 的内部，且点P与点M关于 对称，
交 于点G，点P与点N关于 对称， 交 于点H， 分别交 于点 ．
(1)连接 ，若 求 的周长；
(2)若 ，求 的度数．
