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2025-2026 学年河南省安阳市八年级（上）期中数学试卷
一、单选题（每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）若一个三角形的两边长分别为3cm、5cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．1cm
B．2cm
C．6cm
D．8cm
3．（3 分）下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合
B．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
C．三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，对称轴是三条中线所在的直线
4．（3 分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．∠B＝∠E
B．AD＝BD
C．AB＝AE
D．∠BAD＝∠CAE
5．（3 分）如图，四边形ABCD 是轴对称图形，直线AC 是它的对称轴，若∠BAC＝83°，∠B＝27°，则
∠BCD 的大小为（ ）
2
A．130°
B．140°
C．120°
D．110°
6．（3 分）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于1
2 AB的长为半径画弧，两弧相交于点
M，N，作直线MN，交BC 于点D，连接AD．若△ADC 的周长为13，AB＝7，则△ABC 的周长为（
）
A．7
B．14
C．17
D．20
7．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD 是高，则AD 的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．（3 分）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x 轴，镜面侧面为y（镜面厚度忽略不计）建立平
面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S 点的坐标是（x﹣2，2），此时对应的虚像S′的坐标是（3，
y），则（x+y）2025＝（ ）
A．1
B．0
C．﹣1
D．﹣2
9．（3 分）游戏时，3 名同学分别站在△ABC 三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐
到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC 的（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点
D．三边上高的交点
10．（3 分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F 在AD 边上，点G，H 在BC 边上，分别沿EG，FH
3
折叠，使点D 和点A 都落在点M 处，若α+β＝118°，则∠EMF 的度数为（ ）
A．56°
B．58°
C．60°
D．62°
二、填空题（每题3 分，共15 分）
11．（3 分）命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是 ．
12．（3 分）一个等腰三角形的一内角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数为 ．
13．（3 分）如图，DF 垂直平分AB，EG 垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ °．
14．（3 分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC 长是
．
15．（3 分）如图，点A 是x 轴上一个定点，点B 是y 轴正半轴上的一个动点，以线段OB 为边在y 轴右
侧作等边三角形，以线段AB 为边在AB 上方作等边三角形，连接CD，随点B 的移动，下列说法中，
正确的有 ．（填序号）
①△BOA≌△BDC；
②∠ODC＝150°；
③直线CD 与x 轴所夹的锐角恒为60°；
④随点B 的移动，线段CD 的值逐渐增大．
4
三、解答题（共75 分）
16．（9 分）如图1，D 是射线BC 上的一动点．
（1）若∠ADC＝100°，∠ABC＝20°，则△ABD 是 三角形．
（2）若△ABD 为直角三角形，且∠ABC＝30°，则∠ADC 的度数为 ．
（3）如图2，若E 为AB 的中点，则命题“当DB＝AD 时，DE 为线段AB 的垂直平分线”是
．（填“真命题”或“假命题”）
17．（9 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E．
①求证：△ACD≌△AED；
②求EB 的长．
18．（9 分）如图，在ABC 中，AB＝AC，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，求证：BE＝CE．
19．（9 分）如图：
5
（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A'B'C'的各顶点坐标；
（3）求△ABC 的面积．
20．（9 分）顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC 中，AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）用无刻度的直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D．（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）中作出∠ABC 的平分线BD 后，请问△BDC 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；
如果不是，请说明理由．
21．（9 分）如图，△ABC 的两条高BE、CD 相交于点O，且OB＝OC，∠A＝60°．
（1）求证：△ABC 是等边三角形；
（2）判断点O 是否在∠BAC 的平分线上？并说明理由．
22．（9 分）阅读材料：
6
如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A，
B，在直线l 上存在点C，使得CA+CB 的值最小．
“智慧小组”的作法是：如图2，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l 的交
点即为点C，且CA+CB 的最小值为AB′的长．
如图3，为了证明点C 的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点
C′，连接AC′，BC′，B′C′．证明AC+BC＜AC′+BC′即可．
（1）请完成图3 中的证明；
（2）类比应用：
①如图4，在等边△ABC 中，E 是AB 中点，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的动点．若AD＝6，
则PE+PB 的最小值是 ；
②如图5，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD 平分∠BAC，点M，N 分别为
AD，AC 上的动点，连接CM，MN．则CM+MN 的最小值是 ．
23．（12 分）（1）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分∠MON．点A 为OM 上一点，过点A 作
AC⊥OP，垂足为C，延长AC 交ON 于点B，求证：AC＝BC；
（2）【问题探究】
如图2，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E 在CD 的延长线上，求
证：CD＝2BE；
（3）【拓展延伸】
如图3，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 在线段BC 上，且∠BDE = 1
2 ∠ACB，BE⊥DE 于
E，DE 交AB 于F，请直接写出BE 和DF 之间的数量关系为 ．
7
8
2025-2026 学年河南省安阳市八年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
B
D
B
A
A
A
11. 三个内角相等的三角形是等边三角形 12.40°或100° 13.40 14.6
15.①②③
选择题、填空题解法提示
10．解：∵AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝118°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×118°＝236°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣236°＝124°，
在△EFM 中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣124°＝56°，
故选：A．
15．解：∵△OBD 和△ABCF 都是等边三角形，
∴BO＝BD，BA＝BC，∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠CBD＝60°﹣∠ABD，
在△BOA 和△BDC 中，
{
BO = BD
∠ABO =∠DBD
BA = BC
，
∴△BOA≌△BDC（SAS），
故①正确；
∵∠ODB＝60°，∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴∠ODC＝∠ODB+∠CDB＝150°，
故②正确；
延长CD 交x 轴于点E，
∵∠EOB＝90°，∠DOB＝60°，
∴∠EOD＝30°，
9
∵∠EDO＝180°﹣∠ODC＝30°，
∴∠AEC＝∠EOD+∠EDO＝60°，
∴直线CD 与x 轴的夹角恒为60°，
故③正确；
∵点A 是x 轴上一个定点，
∴OA 的长为定值，
∵△BOA≌△BDC，
∴CD＝OA，
∴CD 的长为定值，
∴随点B 的移动，线段CD 的值不变，
故④错误，
故答案为：①②③．
解答题参考答案
16．解：（1）∵∠ADC＝100°，∠ABC＝20°，
∴∠A＝∠ADC﹣∠ABC＝80°，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADC＝80°，
∴∠A＝∠ADB，
∴AB＝DB，
∴△ABD 是等腰三角形，
故答案为：等腰．
（2）若∠A＝90°，
∴∠ADC＝∠A+∠ABC＝90°+30°＝120°；
若∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180′﹣90°＝90°，
∴∠ADC 的度数为120°或90°．
10
故答案为：120°或90°．
（3）命题“当DB＝AD 时，DE 为线段AB 的垂直平分线”是真命题，理由如下：
∵DB＝AD，E 为AB 的中点，
∴DE⊥AB，
∴DE 为线段AB 的垂直平分线．
故答案为：真命题．
17．（1）证明：∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，AD 平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（HL）．
（2）解：∵△ACD≌△AED，
∴AC＝AE＝4cm，
∵AB＝7cm，
∴BE＝AB﹣AE＝3cm，
答：BE 的长是3cm．
18．证明：∵AB＝AC，D 是BC 的中点
∴∠BAE＝∠EAC
在△ABE 和△ACE 中，
{
AB = AC
∠BAE =∠EAC
AE = AE
，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE．
19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
11
（2）由题意得，A'（﹣3，﹣2），B'（﹣4，3），C'（﹣1，1）．
（3）△ABC 的面积为1
2 ×(2+3)×5−1
2 ×3×2−1
2 ×3×2= 25
2 −3−3= 13
2
．
20．解：（1）如图，射线BD 即为所求，
；
（2）△BDC 是黄金三角形；
理由如下：
∵△ABC 中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB= 180°−36°
2
=72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠DBC = 1
2 ∠ABC =36°，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BCD＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BDC 是黄金三角形．
12
21．解：（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在△BCE 和△CBD 中，
{
∠OBC =∠OCB
∠BEC =∠CDB
BC = BC
，
∴△BCE≌△CBD（AAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC，
又∵∠A＝60°，
∴△ABC 是等边三角形；
（2）点O 在∠BAC 的平分线上，理由如下：
连接AO，由（1）可知△BCE≌△CBD，
∴EB＝CD，
∵OB＝OC，
∴OE＝OD，
又∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴点O 在∠BAC 的平分线上．
22．（1）证明：∵作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l 的交点即为点C，
∴B′C＝BC，BC′＝B′C′，
∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，AC′+BC′＝AC′+B′C′＞AB′，
∴AC+BC＜AC′+BC′，AC+BC≥AB′，
∴当A、C、B′三点共线时，AC+BC 值最小，
∴点C 的位置即为所求；
（2）解：①在等边△ABC 中，E 是AB 中点，AD 是∠BAC 的平分线，
∴AD 是等边△ABC 的对称轴，
13
如图4，作E 关于AD 的对称点E′，连接PE′，BE′，
∴E′为AC 的中点，BE′为∠ABC 的平分线，
∴BE′＝AD＝6，
由题意知，PE+PB 的最小值是BE′，
故答案为：6；
②∵AD 平分∠BAC，
∴AD 是∠BAC 的对称轴，
如图5，作N 关于AD 的对称点N′，连接MN′，CN′，作CG⊥AB 于G，
由题意知，当C、M、N′三点共线时，CM+MN＝CN′，
当N′、G 重合时，CM+MN 的值最小，为CG，
在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴S△ABC = 1
2 AB×CG = 1
2 BC × AC，
∴1
2 ×5×CG = 1
2 ×3×4，
解得：CG = 12
5
，
故答案为：12
5
．
23．（1）证明：∵OP 平分∠MON，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵AC⊥OP，
∴∠ACO＝∠BCO＝90°，
14
∵OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴AC＝BC；
（2）证明：如图，延长BE 交CA 延长线于F，
∴CD 平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE，
在△CEF 和△CEB 中，
{
∠FCE =∠BCE
CE =CE
∠CEF =∠CEB
，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴FE = BE = 1
2 BF，
∵∠DAC＝∠CEF＝∠BAF＝90°，
∴∠ACD+∠F＝∠ABF+∠F＝90°，
∴∠ACD＝∠ABF，
在△ACD 和△ABF 中，
{
∠ACD =∠ABF
AC = AB
∠CAD =∠BAF
，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD＝BF，
∴CD＝2BE；
（3）解：如图，过点D 作DG∥AC，交BE 的延长线于点G，与AF 相交于H，
15
∵DG∥AC，
∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，
∴∠EDB = 1
2 ∠C，
∴∠EDB =∠EDG = 1
2 ∠C，
∵BE⊥ED，
∴∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠BHD，
∵∠EFB＝∠HFD，
∴∠EBF＝∠HDF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵DG∥AC，∠GDB＝∠C＝45°，
∴∠GDB＝∠ABC＝45°，
∴BH＝DH，
在△BGH 和△DFH 中，
{
∠HBG =∠HDF
BH = DH
∠BHG =∠DHF
，
∴△BGH≌△DFH（ASA），
∴BG＝DF，
在△BDE 和△GDE 中，
{
∠BDE =∠GDE
DE = DE
∠BED =∠GED
，
∴△BDE≌△GE（ASA），
∴BE＝EG，
16
∴BE = 1
2 BG = 1
2 DF．
故答案为：BE = 1
2 DF．
