文档内容
八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
的
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形 是（ ）
A. B. C. D.
的
2.下列各式由左到右 变形中，属于分解因式的是（ ）
A. a（m＋n）＝am＋an B. a2﹣b2﹣c2＝（a＋b）（a﹣b）﹣c2
C. 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D. x2﹣16＋8x＝（x＋4）（x﹣4）＋8x
3.要使分式 有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠2 B. x≠1 C. x＝2 D. x＝﹣1
4.不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是( ).
A. B. C. D.
的
5.如图，线段 经过平移得到线段 ，其中点 ， 对应点分别为点 ， ，这四个点都在格点
上．若线段 上有一个点 ， ，则点 在 上的对应点 的坐标为
A. B. C. D.
6.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝ ，则图中阴影部分的
面积等于( )A. 2﹣ B. 1 C. D. ﹣l
7.若关于x的方程 =3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
.
A m＜ B. m＜ 且m≠
C. m＞﹣ D. m＞﹣ 且m≠﹣
8.若解分式方程 产生增根，则m=（ ）
A. 1 B. 0 C. ﹣4 D. ﹣5
9.如图所示，在四边形 中， ，要使四边形 成为平行四边形还需要条件（ ）
A. B. C. D.
10.如图所示,在▱ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边 ABE, ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E
之间,连接CG,CF,则下列结论不一定正确的是( ) △ △
A. CDF≌△EBC
△B. ∠CDF=∠EAF
C. CG⊥AE
D. ECF是等边三角形
二．△填空题（共6小题）
11.分解因式：x2y﹣y3＝_____．
12.若分式 的值为0，则x的值为_______.
13.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为_____度．
14.若a2﹣5ab﹣b2＝0，则 的值为_____．
15.如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____．
16.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC,交AD于M，如果
△CDM的周长为a，那么平行四边形的周长是________．
三．解答题（共9小题）
17.解不等式组 ．
18.分解因式：
（1）﹣2a3＋12a2﹣18a；
（2）（x2＋4）2﹣16x2．
19.先化简（1﹣ ）• ，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
20.如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A，在网格中画出平移后得到的△AB C ；
1 1 1 1
（2）把△AB C 绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到△AB C ，在网格中画出旋转后的△AB C ．
1 1 1 1 2 2 1 2 2
21.某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．
“乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价 是1200元，则：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）就学生人数讨论那家旅行社更优惠．
22. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商
家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不
低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
23.已知，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将 ABD沿BD所在直线
折叠，使点A落△在点P处． △
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
24.问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点
A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC
边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝10，CD＝5，求AD的长．
25.如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐
标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动．
点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发．运动时间为t（单位：秒），
当两点相遇时运动停止．
（1）点A坐标为 ；
（2）当t＝2时，S ＝ ；当t＝3时，S ＝ ；
△OPQ △OPQ
（3）当t＝2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、O为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到
请直接写出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．
（4）设△OPQ的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式．解析卷
一．选择题（共10小题）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形，能根据概念判断一个图形是否为轴对称图形或中心对称
图形是解答的关键．
2.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A. a（m＋n）＝am＋an B. a2﹣b2﹣c2＝（a＋b）（a﹣b）﹣c2
C. 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D. x2﹣16＋8x＝（x＋4）（x﹣4）＋8x
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】A、是整式 的乘法，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义及其特征是解答的关键．3.要使分式 有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠2 B. x≠1 C. x＝2 D. x＝﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不为0列出不等式，解可得自变量x的取值范围，
【详解】由题意得，x-2≠0，
解得，x≠2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
4.不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式得到x＜-2，根据数轴表示数的方法得到解集在-2的左边．
【详解】5+2x＜1，
移项得2x＜-4，
系数化为1得x＜-2．
故选C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把
对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心．
5.如图，线段 经过平移得到线段 ，其中点 ， 的对应点分别为点 ， ，这四个点都在格点
上．若线段 上有一个点 ， ，则点 在 上的对应点 的坐标为A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段 AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定
a、b的值，进而可得答案．
【详解】由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，
则P（a−2，b＋3）
故选A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化−−平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移
加，下移减．
的
6.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝ ，则图中阴影部分
面积等于( )
A. 2﹣ B. 1 C. D. ﹣l
【答案】D
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= ，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC= ，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD= BC=1，AF=FC′= AC′=1，
∴DC′=AC′-AD= -1，
∴图中阴影部分的面积等于：S -S = ×1×1- ×（ -1）2= -1，
AFC′ DEC′
△ △
故选D.
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题
关键．
7.若关于x的方程 =3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. m＜ B. m＜ 且m≠
C. m＞﹣ D. m＞﹣ 且m≠﹣
【答案】B
【解析】
【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x= ，
已知关于x的方程 =3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m＜ ，
当x=3时，x= =3，解得：m= ，
所以m的取值范围是：m＜ 且m≠ ．
故答案选B．
8.若解分式方程 产生增根，则m=（ ）
A. 1 B. 0 C. ﹣4 D. ﹣5
【答案】D
【解析】
【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根 把增根代入化为整式方程的方程即可求
出m的值．
【详解】解：方程两边都乘 ，得
，
原方程增根为 ，
把 代入整式方程，得 ，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程； 把
增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9.如图所示，在四边形 中， ，要使四边形 成为平行四边形还需要条件（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰梯形 的定义可判断A；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠DCA，推出
AB∥CD可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C； 根据平行线的性质可以判断D.
【详解】解：A、符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；
B、∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠D，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项正确．
C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；
D、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故D选项错误；
故选B
【点睛】本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质和判
定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
10.如图所示,在▱ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边 ABE, ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E
之间,连接CG,CF,则下列结论不一定正确的是( ) △ △
A. CDF≌△EBC
B. △∠CDF=∠EAF
.
C CG⊥AE
D. ECF是等边三角形
【答△案】C
【解析】
【详解】A.在平行四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，
DF=BC,
∠CDF=∠EBC,
CD=EB,
∴△CDF≌△EBC（SAS），故A正确；
B.在平行四边形ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故B正确；
C. .当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°无法求出，故C错误；
D. 同理可证 CDF≌△EAF，
∴EF=CF，△
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，故D正确；
故选C.
点睛：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．
考查学生综合运用数学知识的能力．根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
二．填空题（共6小题）
11.分解因式：x2y﹣y3＝_____．
【答案】y（x+y）（x﹣y）．
【解析】
试题分析：先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
解：x2y﹣y3
=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．
故答案为y（x+y）（x﹣y）．
12.若分式 的值为0，则x的值为_______.
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：根据题意得： ，
解得：x=-3．
故答案为：-3.
【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为_____度．
【答案】30或150
【解析】
【分析】
分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高 CD在△ABC
外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．
【详解】解：①如图，
∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝ AB，
∴∠A＝30°，
②如图，∵CD是△ABC边BA 上的高，DC＝ AC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30或150．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，注意分情况讨论．
14.若a2﹣5ab﹣b2＝0，则 的值为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
由已知条件易得 ， ，两者结合即可求得所求式子的值了.
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为：5.
【点睛】“能由已知条件得到 和 ”是解答本题的关键.
15.如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____．【答案】x＞3.
【解析】
【详解】∵直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），
∴由图象可得，当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大
于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方
部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC,交AD于M，如果
△CDM的周长为a，那么平行四边形的周长是________．
【答案】2a
【解析】
【分析】
根据题意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周长=AD+CD，可得平行四边形ABCD的周
长．
【详解】解：∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=MC．
∴△CDM的周长=AD+CD=a，
∴平行四边形ABCD的周长是2a．
故答案为2a．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得AM=MC是解题
的关键．三．解答题（共9小题）
17.解不等式组 ．
【答案】2≤x＜3
【解析】
【分析】
首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．
【详解】解： ，
由①得：x＜3，
由②得：x≥2，
不等式组的解集为：2≤x＜3．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，准确计算是解题的关键．
18.分解因式：
（1）﹣2a3＋12a2﹣18a；
（2）（x2＋4）2﹣16x2．
【答案】（1）﹣2a(a﹣3)2 （2）(x＋2）2(x﹣2)2
；
【解析】
【分析】
(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
(2)原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．
【详解】解：(1)原式＝﹣2a(a2﹣6a＋9)
＝﹣2a(a﹣3)2；
(2)原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4﹣4x)
＝(x＋2)2(x﹣2)2．
【点睛】本题考查因式分解综合解法,关键在于熟练掌握基础的计算方法.
19.先化简（1﹣ ）• ，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】 ，﹣2【解析】
【分析】
此题只需先进行分式运算得到最简结果，再挑选出一个使分式有意义的值代入求得结果即可．
【详解】解：（1﹣ ）• ，
＝ • ，
＝ ，
∵x﹣1≠0，x﹣3≠0，
∴x≠1，x≠3，
∴把x＝2代入得：原式＝ ＝﹣2．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，准确选择值代入是解题的关键．
20.如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A，在网格中画出平移后得到的△AB C ；
1 1 1 1
（2）把△AB C 绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到△AB C ，在网格中画出旋转后的△AB C ．
1 1 1 1 2 2 1 2 2
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
图形见详解.
【详解】解：（1）如图，△AB C 为所作；
1 1 1
（2）如图，△AB C 为所作．
1 2 2【点睛】本题考查了图形的平移和旋转,属于简单题,熟悉旋转和平移的概念是解题关键.
21.某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．
“乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是1200元，则：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）就学生人数讨论那家旅行社更优惠．
【答案】（1）y ＝600x＋1200，y ＝720x＋720；（2）当x＜4时，乙旅行社优惠；当x＞4时，甲旅行
甲 乙
社优惠
【解析】
【分析】
（1）根据收费总额＝学生人数×单价＋校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费；
（2）分两种情况讨论，当y ＞y 、y ＜y 时，求出哪种情况更优惠．
甲 乙 甲 乙
【详解】解：（1）设学生人数为x人，由题意，得
y ＝0.5×1200x＋1200＝600x＋1200，
甲
y ＝0.6×1200x＋0.6×1200＝720x＋720；
乙
（2）y ＞y 时，
甲 乙
600x＋1200＞720x＋720，
解得：x＜4
故当x＜4时，乙旅行社优惠．
当y ＜y 时，
甲 乙
600x＋1200＜720x＋720，
解得：x＞4，
故当x＞4时，甲旅行社优惠．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确理解题意是解题的关键．
22. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商
家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不
低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【答案】（1）120件；（2）150元．
【解析】
试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，由已知可得，，
这种衬衫贵10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二
批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可.
试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是 件，则第二批衬衫是 件.
由题意可得： ，解得 ，经检验 是原方程的根.
（2）设每件衬衫的标价至少是 元.
由（1）得第一批的进价为： （元/件），第二批的进价为： （元）
由题意可得：
解得： ，所以， ，即每件衬衫的标价至少是150元.
考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用.
23.已知，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将 ABD沿BD所在直线
折叠，使点A落△在点P处． △
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．【答案】（1）①BD= ，BP= ；②证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）①分别在Rt ABC，Rt BDC中，求出AB、BD即可解决问题；
②证明DP∥BC，△DP=BC即可△；
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x．在
Rt BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x的值，从而得出DN的长．由 BDN∽ BAM，可得
△ △ △
，由此求出AM．由 ADM∽ APE，可得 ，由此求出AE的长，可得EC的长，
△ △
由此即可解决问题．
【详解】解：（1）①在Rt ABC中，
∵BC=2，AC=4， △
∴AB= = ．
∵AD=CD=2，
∴BD= = ．
由翻折可知：BP=BA= ．
②如图1中，∵ BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，△
∴∠ADB=∠BDP=135°，
∴∠PDC=135°﹣45°=90°，
∴∠BCD=∠PDC=90°，
∴DP∥BC，
∵PD=AD=BC=2，
∴四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．
设BD=AD=x，则CD=4﹣x．在Rt BDC中，
∵BD2=CD2+BC2， △
∴x2=（4﹣x）2+22，
∴x= ．
∵DB=DA，DN⊥AB，
∴BN=AN= ．
在Rt BDN中，
△
DN= = ．
由 BDN∽ BAM，可得 ，
△ △
∴ ，
∴AM=2，
∴AP=2AM=4．由 ADM∽ APE，可得 ，
△ △
∴ ，
∴AE= ，
∴EC=AC﹣AE=4﹣ = ．易证四边形PECH是矩形，
∴PH=EC= ．
24.问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点
A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC
边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝10，CD＝5，求AD的长．
【答案】问题：BC＝DC＋EC；探索：BD2＋CD2＝2AD2，证明见解析；应用：
【解析】
【分析】
（1）由题意证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据题意连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾
股定理计算即可；
（3）根据题意作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝10，根据
勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）BC＝DC＋EC，理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，
故答案为：BC＝DC＋EC；
（2）BD2＋CD2＝2AD2，
理由如下：连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2＋CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2＋CD2＝2AD2；
（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝10，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝5 ，
∵∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝ DE＝ ．
【点睛】本题是关于四边形的综合题，考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，
旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25.如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐
标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动．
点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发．运动时间为t（单位：秒），
当两点相遇时运动停止．（1）点A坐标为 ；
（2）当t＝2时，S ＝ ；当t＝3时，S ＝ ；
△OPQ △OPQ
（3）当t＝2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、O为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到
请直接写出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．
（4）设△OPQ的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式．
【答案】（1）(3，3 )；（2）6 ； ；（3）存在，M的坐标(0，3 ＋ )或(0，3 ﹣
19)或(0， )或(0，2 )或(0，﹣2 )；（4）S＝
【解析】
【分析】
（1）过点A作AD⊥x轴于点D，过P、Q的交点作PC⊥x轴于点C，由△AOB为等边三角形，△OAB边
长为6个单位，可求出AD、OD的长度，从而得出点A的坐标；
（2）当t＝2时，点P运动到了A点处，OQ＝4，结合三角形的面积公式即可得出此时S 的值；当t＝3
△OPQ
时，点Q运动到了B点处，AP＝3×3﹣OA＝3，结合三角形的面积公式即可得出此时S 的值；
△OPQ
（3）假设存在，找出此时P、Q点的坐标，设M点的坐标为(0，m)，结合两点间的距离公式列出关于m
的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（4）结合②的运动情况，分两段来考虑S，结合三角形的面积公式即可得出S关于t的函数关系式．
【详解】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图1所示．∵△AOB为等边三角形，△OAB边长为6个单位，
∴AD＝OA•sin60°＝3 ，AD＝ OB＝3，
∴点A的坐标为(3，3 )；
故答案为：(3，3 )；
（2）依照题意画出图形，如图2所示．
当t＝2时，点P运动到了A点处，OQ＝4，
S ＝ OA•OQ•sin∠AOQ＝ ×6×4× ＝6 ；
△OPQ
当t＝3时，点Q运动到了B点处，AP＝3×3﹣OA＝3，
∵△OAB为等边三角形，且AB＝6，
∴此时P点为线段AB的中点，
∴OP⊥AB，且∠POB＝ ∠AOB＝30°，
∴OP＝OB•sin∠ABO＝3 ，
S ＝ OP•OB•sin∠POB＝ ×3 ×6× ＝ ．
△OPQ
故答案为：6 ； ；（3）假设存在，当t＝2时，点P坐标为(3，3 )，点Q的坐标为(4，0)，设点M的坐标为(0，m)．
根据两点间的距离公式可知：PQ＝ ＝2 ，PM＝ ，QM
＝ ，
以M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况：
当PQ＝PM时，即9＋(m﹣3 )2＝28，
解得：m＝3 ＋ ，或m＝3 ﹣ ；此时点M的坐标为(0，3 ＋ )或(0，3 ﹣19)；
当PM＝QM时，即16＋m2＝9＋(m﹣3 )2，
解得：m＝ ，此时点M的坐标为(0， )；
当PQ＝QM时，即28＝16＋m2，
解得：m＝±2 ，此时点M的坐标为(0，2 )或(0，﹣2 )，
故当t＝2时，在y轴上能找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为
(0，3 ＋ )或(0，3 ﹣19)或(0， )或(0，2 )或(0，﹣2 )；
（4）①当0≤t≤2时，P在线段OA上，Q在线段OB上；
S＝ OQ•OPsin60°＝ ×3t×2t× ＝ t2；
②当2＜t≤3时，P在线段AB上，Q在线段OB上；
设OQ边上 的高为h， ＝ ，解得h＝6 ﹣ t，
S＝ OQ•h＝ ×2t×（6 ﹣ t）＝﹣ t2＋6 t；
③当3＜t≤ 时，P、Q都在线段AB上，PQ＝6﹣（3t﹣6）﹣（2t﹣6）＝18﹣5t，
S＝ ×3 ×（18﹣5t）＝﹣ t＋27 ；
故：S＝ ．
【点睛】本题考查了三角形的综合题，解直角三角形、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、两点间
的距离公式以及勾股定理，解题的关键是：①在直角三角形中借助特殊角的三角函数值求线段；②套用面
积公式求面积；③分段寻找S关于t的函数关系式；④由两点间的距离公式结合勾股定理列出关于m的一
元二次方程．本题属于难题.
