文档内容
13.1 轴对称的性质
【考点1: 轴对称图形的相关概念】
【考点2: 确定轴对称图形对称轴的条数】
【考点3: 轴对称在镜面对称中的应用】
【考点4: 与轴承对称相关的探索图形规律问题】
【考点5: 利用轴对称的性质求角度】
【考点6: 利用轴对称的性质求线段长度】
【考点7: 利用轴对称的性质解决折叠问题】
【考点8：作图-轴对称变换】
【考点9 ：轴对称图案的设计】
知识点1 轴对称图形
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形
就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.
注意：
1. 轴对称图形的对称轴是一条直线，
2. 轴对称图形是1个图形，
3. 有些对称图形的对称轴有无数条。
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那
么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴.
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这
条线段的垂直平分线.
【考点1: 轴对称图形的相关概念】
【典例1】全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅
读的重要场所，以下是我国四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、B，D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【变式1-1】第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩．下
列运动标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由图形可知，选项B为轴对称图形．
故选：B．
【变式1-2】钉钉是网课间常用的一个App，下列“钉钉表情图象”属于轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D不均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全
重合的图形，所以不是轴对称图形；选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称
图形；
故选：C．
【变式1-3】下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其
中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、不是轴对称图形
B、不是轴对称图形
C、不是轴对称图形
D、是轴对称图形；
故选：D．
【考点2: 确定轴对称图形对称轴的条数】
【典例2】图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：由图可知，该图形有6条对称轴；
故选：C．
【变式2-1】如图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C【解答】解：由题意可知，该图形的对称轴条数为6．
故选：C．
【变式2-2】如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：如图所示，该图形的对称轴的条数为3．
故选：C．
【变式2-3】下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：轴对称图形中，对称轴的条数四条的只有图形（1），（2）；
图形（3）是无数条；
图形（4）是两条；
图形（5）是七条．
故选：B．【考点3: 轴对称在镜面对称中的应用】
【典例3】小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应
该是（ ）
A．21：05 B．20：15 C．20：12 D．21：50
【答案】B
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时
实际时刻为20：15．
故选：B．
【变式 3-1】如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，它在水中的倒影表示正确的是A，
故选：A．
【变式3-2】一轿车的车牌在水中的倒影是 ，则该车的牌照号码为
．
【答案】鄂Q•W6E01．
【解答】解：如图所示：该车的牌照号码为鄂Q•W6E01．．
故答案为：鄂Q•W6E01．
【变式3-3】如图，从镜子中看到一钟表为2：30，此时的实际时刻是 9 ： 3 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是9：30，
故答案为：9：30．
【考点4: 与轴承对称相关的探索图形规律问题】
【典例4】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，
反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的
边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】D
【解答】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3，
∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N．故选：D．
【变式4-1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，
反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的
边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】A
【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6＝337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
【变式4-2】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．
若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋
是（ ）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【解答】 解：如图所示，该球最后落入2号袋．
故选：B
知识点2 ：轴对称性质
对称的性质：
①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对
称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.
②关于某直线对称的两个图形是全等形.
【考点5:利用轴对称的性质求角度】
【典例5】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则
∠C度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°，
∴∠B＝∠B′＝110°，又∵∠A＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，
故选：C．
【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB
与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，
∴∠AB′D＝∠B＝50°，
∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，
∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，
故选：A．
【变式5-2】（2023春•北海期末）如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP
对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，
又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°
故选：C．
【变式5-3】如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，
则∠F＝ 35 ° ．
【答案】35°．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠A＝∠D＝65°，∠B＝∠E＝80°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣80°＝35°．
故答案为：35°．
【考点6: 利用轴对称的性质求线段长度】
【典例6】如图，在五边形 ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是
30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（ ）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，
∴ ，
∴BC＝12cm，
∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，∴△ACD≌△AED，
∴AE＝AC＝13cm．
故选：B．
【变式6-1】如图，∠AOB内一点P，P ，P 分别是P关于OA、OB的对称点，P P 交OA
1 2 1 2
于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P P 的长为（ ）
1 2
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【答案】A
【解答】解：∵点P关于OA的对称点是P ，
1
∴P M＝PM．
1
∵点P关于OB的对称点是P ，
2
∴PN＝P N．
2
∵△PMN的周长＝6cm，P M＝PM，PN＝P N，
1 2
∴P P ＝P M+MN+P N＝PM+PN+MN＝6cm，
1 2 1 2
故选：A．
【变式6-2】如图，点O为∠ABC内部一点，且OB＝2，E、F分别为点O关于射线BA，
射线BC的对称点，当∠ABC＝90°时，则EF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：连接OE，OF，BE，BF，
∵点O和点E关于射线BA对称，∴射线BA垂直平分OE，
∴BE＝BO，
∴∠OBA＝∠EBA，
同理：BF＝BO，∠OBC＝∠FBC，
∴BE＝BF，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBA+∠FBC＝∠OBA+∠OBC＝∠ABC＝90°，
∴∠EBA+∠FBC+∠ABC＝180°，
∴E、B、F共线，
∵OB＝2，
∴BE＝BF＝OB＝2，
∴EF＝2BE＝4．
故选：A．
【变式6-3】如图，∠AOB＝15°，点P是OA上一点，点Q与点P关于OB对称，QM⊥OA
于点M，若OP＝6，则QM的长为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：如图，连接OQ．
∵P与PQ关于OB对称，
∴∠AOB＝∠QOB＝15°，OQ＝OP＝6，∴∠AOQ＝30°，
∵QM⊥OA，
∴∠OMQ＝90°，
∴QM＝ OQ＝3．
故答案为：3．
【考点7: 利用轴对称的性质解决折叠问题】
【典例7】（2022春•临海市期中）如图，ABCD为一长条形纸带，AD∥BC，
将 ABCD 沿 EF 折叠，C，D 两点分别与 C'，D'对应，若∠1＝2∠2，则
∠AEF的度数为（ ）
A．100° B．108° C．120° D．144°
【答案】B
【解答】解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FED′，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，
∴设∠2＝x，则∠DEF＝∠1＝∠FED′＝2x，
∵∠2+∠DEF+∠D′EF＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝∠2+∠D′EF＝x+2x＝3x＝108°，
故选：B．
【变式7-1】如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿
MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）A．22° B．21° C．20° D．19°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝20°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣60°＝100°．
∵点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠MCN＝∠A＝20°，∠ECF＝∠B＝60°，
∴∠NCF＝∠ACB﹣∠MCN﹣∠ECF＝100°﹣20°﹣60°＝20°．
故选：C．
【变式7-2】如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，
不与 B，C 重合），使点 C 落在长方形内部点 E处，若∠BFE＝3∠BFH，
∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（ ）
A．90° B．120° C．100° D．60°
【答案】C
【解答】解：∵将长方形纸片 ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，
不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，
∴∠CFG＝∠EFG＝ ∠CFE，
∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFE＝120°，∴∠GFE＝60°，
∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH，
∴∠EFH＝40°，
∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．
故选：C．
【变式7-3】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿
DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则
∠DEF的度数为（ ）
A．130° B．135° C．125° D．120°
【答案】B
【解答】解：由题意得，∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，
∵∠BDF＝120°，
∴∠ADF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ADE＝ ，
∴∠DEA＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣30°＝135°，
∵△ADE沿DE折叠至△FDE位置，
∴∠DEF＝∠DEA＝135°，
故选：B．
知识点3 画轴对称图形
（1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点
A的对称点；
（2）同理分别作出其它关键点的对称点；
（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.【考点8：作图-轴对称变换】
【典例8】如图，在单位长度1的正方形网格中有一个△ABC．
（1）请画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A B C ．
1 1 1
（2）若此时B的坐标为（﹣4，﹣1），则点B 的坐标为（2，﹣1），请在图中画出平
1
面直角坐标系，并写出A 点的坐标．
1
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析，A （1，3）．
1
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，
由图可知：A （1，3）．
1
【变式8-1】如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形
的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）△ABC的面积为 3 ；【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】解：（1）如图，△AB′C′即为所求；
（2）△ABC的面积为2×4﹣ ＝3，
故答案为：3．
【变式8-2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角
坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A B C；
1 1
（3）求出△ABC的面积．
【答案】（1）A（﹣4，3），B（﹣2，0），C（0，2）．
（2）见解答．
（3）5．【解答】解：（1）由图可得，A（﹣4，3），B（﹣2，0），C（0，2）．
（2）如图，△A B C即为所求．
1 1
（3）△ABC的面积为 ＝10﹣2﹣3＝5．
【变式8-3】在平面直角坐标系中，点A、B、C、O都在边长为1的小正方形组成网格的格
点上，△ABC的位置如图所示．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）△ABC的顶点B关于x轴对称的点B″的坐标为：B″ （﹣ 4 ，﹣ 3 ） ，A关于
y轴对称的点A″的坐标为：A″ （ 2 ， 6 ） ；
（3）求△A′B′C′的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）B″（﹣4，﹣3），A″（2，6）；
（3）12．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）∵点B（﹣4，3），
∴点B关于x轴对称的点B″的坐标为（﹣4，﹣3），
故答案为：（﹣4，﹣3）；
∵点A（﹣2，6），
∴点A关于y轴对称的点A″的坐标为（2，6），
故答案为：（2，6）；
综上所述：B″（﹣4，﹣3），A″（2，6）；
（3）△A′B′C′的面积＝6×6﹣ ×6×3﹣ ×2×3﹣ ×4×6＝36﹣9﹣3﹣12＝12．
【考点9：轴对称图案的设计】
【典例9】（1）观察图①～图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特
征： 都是轴对称图形 ； 面积都等于四个小正方形的面积之和 ．
（2）在图⑤中设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）答案不唯一，例如四个图案具有的共同特征可以是：①都是轴对称图形；
②面积都等于四个小正方形的面积之和；
故答案为：都是轴对称图形；面积都等于四个小正方形的面积之和；
（2）答案示例：
．
【变式9-1】如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF
关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴
MN．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示；
【变式9-2】如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的三个小方格已涂黑，
请你用四种方法在图中再涂黑一个小方格，使它成为轴对称图形．
【答案】见解析．【解答】解：如图所示，即为所求．
【变式9-3】在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正
方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．
【答案】见解析．
【解答】解：如图中，图形即为所求．
一、单选题
1．端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形
沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线
对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴
对称的定义，逐一判断选项即可．
【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意；
B．图案成轴对称，故符合题意；
C．图案不成轴对称，故不符合题意；
D．图案不成轴对称，故不符合题意；
故你：B．
2．如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，
∠BDE=23°，则∠BED的度数为（ ）
A．124° B．134° C．144° D．157°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，关键是正确求得∠DBE的度数．先根
据平行线的性质求得∠CBD的度数，由折叠的性质可得∠DBE，然后根据三角形内角和
定理即可求得∠BED．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD=∠BDE=23°．
由折叠可知∠DBE=∠CBD=23°，
∴∠BED=180°−23°−23°=134°．
故选B．3．如图，将△ABC沿MN折叠，使点C与AB边中点D重合，若AC=6,AB=4，则
△ADN的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得出CN=ND，再求出DA，最
后根据周长公式求解即可．
【详解】解：△ABC沿MN折叠，使点C与AB边中点D重合，
CN=ND，
∴D为AB的中点，
∵ 1 1
DA= AB= ×4=2，
2 2
∴
△ADN的周长为：AN+ND+DA=AN+CN+DA=AC+DA=6+2=8，
∴故选：B．
4．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个
球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是
（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结
构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断．【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴
该球最后落入2号袋．
故选：B．
5．如图，△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，若∠BAD+∠BCD=180°，则∠B的
度数为（ ）
A．90° B．95° C．80° D．85°
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称图形对应角相
1
等是解题关键．根据轴对称图形的性质可知∠BAC=∠DAC= ∠BAD，
2
1
∠ACB=∠ACD= ∠BCD，再结合∠BAD+∠BCD=180°，可求出
2
∠BAC+∠ACB=90°，即得出∠B=90°．
【详解】解：∵△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，
1 1
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD，∠ACB=∠ACD= ∠BCD．
2 2
∵∠BAD+∠BCD=180°，
1 1
∴ ∠BAD+ ∠BCD=90°，即∠BAC+∠ACB=90°，
2 2∴∠B=90°．
故选A．
6．利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点P和已知直线AB平行”的直线．
下列解释正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上解释都正确
【答案】D
【分析】本题考查了折叠问题，平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，
两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这
两条直线平行．
先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据平行线的判定方法求解．
【详解】解：如图，
由题图（2）的操作可知PE⊥AB，
所以∠PEA=90°，
由题图（3）的操作可知MN⊥PE，
所以∠MPE=∠NPE=90°，
所以∠MPE=∠NPE=∠AEP=∠BEP=90°，
所以可依据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直
线平行判定AB∥MN，
故选：D．
二、填空题
7．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=55°，则∠AED'= ．
【答案】70°/70度
【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，关键是掌握两直线平行，内错
角相等及翻折对应角相等．
根据平行线的性质可得∠EFB=∠≝=55°，再根据折叠可得∠D′EF=∠≝=55°，据此
即可求得．
【详解】解：由折叠知∠D′EF=∠≝¿，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠EFB=∠≝¿，
∴∠D′EF=∠≝=∠EFB=55°，
∴∠AED′=180°−2∠D′EF=180°−55°×2=70°．
故答案为：70°．
8．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD
翻折后，点C落到点E处，∠E= ；若DE∥AB，则∠ADB= ．
【答案】 30°/30度 70°/70度
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC=110°，由折叠的性质得到∠E=∠C=30°，
∠EAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAE=∠E=30°，求出∠CAD=40°，根据
三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠B=40°，∠C=30°，
∴∠BAC=110°，
由折叠的性质得，∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∵DE∥AB，
∴∠BAE=∠E=30°，
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=80°，
1
∴∠CAD= ∠CAE=40°，
2
∴∠ADB=∠CAD+∠C=70°，
故答案为：30°，70°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，折叠的性质，平行线的性质，
熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．如图，△ABC与△≝¿关于直线l对称，则∠C的大小为 度．
【答案】70
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解
题的关键．根据轴对称的性质求出∠A的度数，再利用三角形的内角即可得解．
【详解】解：∵△ABC与△≝¿关于直线l对称，
∴∠A=∠D=50°，
∴∠C=180°−60°−50°=70°．
故答案为：70．
10．如图，在△ABC中，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(4,1)，点C的坐标为(3,4)，点
D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
【答案】(1,4)【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．
根据点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，画出图形，结合图形的
对称性可直接得出D(1,4)．
【详解】解：∵点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，
∴AD=BC，AC=BD，
∴可画图形如下，
由图可知点C、D关于线段AB的垂直平分线x=2对称，则D(1,4)．
故答案为：(1,4)．
11．将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下，如果∠1比∠2大15°，那
么∠2= ．
【答案】115°
【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，在运用平行线的性质定理时，一定要找
准同位角，内错角和同旁内角．
根据平行线的性质和折叠的性质可得出∠3+∠4=2∠3=∠1，∠2+∠3=180°，然后
可得∠2的度数．
【详解】解：根据折叠可得：∠3=∠4，
宽度相等的长方形纸条两边是平行的，
∴∠3+∠4=2∠3=∠1，∠2+∠3=180°，
∵∠1比∠2大15°，
∴∠1−∠2=15°，
∴2∠3−∠2=15°，1 1
∴∠2+∠3=∠2+15°× + ∠2=180°，
2 2
∴∠2=115°，
故答案为：115°．
12．如图，在长方形ABCD中，E为AD边的中点，沿BE、CE折叠，使点A落在A′处，
点D落在D′处．当∠BEC=106°时，∠A′ED′= ．
【答案】32°/32度
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题．根据折叠的性质可得
∠AEB=∠A′EB,∠DEC=∠D′EC，从而得到
∠AEB+∠DEC=∠A′EB+∠D′EC=180°−∠BEC=74°，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：∠AEB=∠A′EB,∠DEC=∠D′EC，
∵∠BEC=106°，
∴∠AEB+∠DEC=∠A′EB+∠D′EC=180°−∠BEC=74°，
∴∠A′ED′=∠BEC−(∠A′EB+∠D′EC)=106°−74°=32°．
故答案为：32°
13．如图，在△ABC中，BC=8，AC=6，将△ABC沿着直线MN折叠，点B恰好与点A
重合，折痕为DF，则△ACF的周长为 ．
【答案】14【分析】本题主要考查了折叠的性质和三角形的周长．
由折叠的性质可得AF=BF，由此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得AF=BF，
∴△ACF的周长=AC+CF+AF=AC+CF+BF=AC+BC，
∵BC=8，AC=6，
∴△ACF的周长=AC+BC=8+6=14
故答案为：14．
14．长方形ABCD的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部
分的周长是( )cm．
【答案】29.6
【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，解决此题关键是明确折叠前后对应边相等．
由题意可知：△ABD折叠后落在△A'BD的位置，即A'D=AD=4.8cm，
A'B=AB=10cm，阴影部分的周长=A'D+A'B+DC+BC，即阴影部分的周长=（长+
宽）×2，把长方形长、宽的数据代入计算即可．
【详解】解：由折叠可知，A'D=AD=4.8cm， A'B=AB=10cm，
∴阴影部分的周长=A'D+A'B+DC+BC=(AD+AB)×2，
即(10+4.8)×2=14.8×2=29.6(cm)，
故答案为：29.6．三、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知△ABC的位置如图所示．
(1)请作出△ABC向右平移5个单位后得到的△A B C （其中点A ，B ，C 分别是点A，
1 1 1 1 1 1
B，C的对应点，不写画法）；
(2)写出点B关于x轴的对称点B 的坐标．
2
【答案】(1)图见详解；
(2)(−2,−2)；
【分析】（1）本题考查画平移图形，根据平移的方向及单位长度直接画即可得到答案；
（2）本题考查求关于坐标轴对称点的坐标，根据关于x轴对称横坐标不变，纵坐标互为相
反数直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得， △A B C 如图所示，
1 1 1
（2）解：由图像可得，B(−2,2)，
∵点B 是点B关于x轴的对称的点，
2∴．
