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专题10推理能力课之轴对称综合重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、
C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可．
【详解】
解：如图所示：A、B、C、P为轴对称图形，共有4个这样的点P．
答案：B．
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
2． 是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立
直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y轴翻折
，得到 ，则点B对应点 的坐标为（ ）
1A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据网格求出点B坐标，向下平移2个单位，点 B的横坐标不变，纵坐标减2得对应
点B 的坐标，再沿y轴翻折 ，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B′
1
（-4，3）．
【详解】
解：∵点B坐标为（4，5）
向下平移2个单位，得点B对应点的坐标B（4，5-2），即B（4，3），
1 1
再沿y轴翻折 ，
点B′（-4，3），
故选择A．
【点睛】
本题考查根据平面直角坐标系写出点的坐标，平移的性质，轴对称性质，掌握平面直
角坐标系点的坐标构成，平移的性质，轴对称性质是解题关键．
3．如图，直线 ， 相交于点 ． 为这两直线外一点，且 ．若点 关于直
线 ， 的对称点分别是点 ， ，则 ， 之间的距离可能是（ ）
2A．0 B．5
C．6 D．7
【答案】B
【分析】
连接 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】
解：连接 ，如图，
∵ 是P关于直线l的对称点，
∴直线l是 的垂直平分线，
∴
∵ 是P关于直线m的对称点，
∴直线m是 的垂直平分线，
∴
当 不在同一条直线上时，
3即
当 在同一条直线上时，
故选：B
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
4．如图， 的角平分线与 的垂直平分线 交于点 ，垂
足分别为 ，若 ，则 的周长为（ ）
A．19 B．28 C．29 D．38
【答案】B
【分析】
连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即
可求周长．
【详解】
解：连接BD、DC，
∵AD平分∠ BAC， ，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴Rt ADE≌Rt ADF，
∴AE△=AF=9， △
∵DG垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴Rt BDE≌Rt CDF，
∴BE△=CF， △
的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，
4故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关
键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．
5．如图，在 中， ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，
再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠B△DE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
5故选B．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解
尺规作图成为解答本题的关键．
6．在 中， ， ，点 是边 上一定点，此时分别在边
， 上存在点 ， 使得 周长最小且为等腰三角形，则此时 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图，先作 分别关于 ， 对称的三角形，以及 的对称点 ， ，找到
周长最小的条件即 、M、N、 共线时，进而设 ， ， ，
，通过各边关系列出方程，解出x，即可求得 的值.
【详解】
如图作 分别关于 ， 对称，得 ， ，以及 的对称点 ， ，
则 ， ，
所以 、M、N、 共线时， 周长最小。
作 、 、 关于 的垂线，垂足为 、 、 ，
6由梯形的性质，得 ，
在 中， ，
设 ， ， ， ，
则由 ，
，
令 ，由 ，得 ，
所以 ，
即 ，
化简得 ，
所以 ，
又因为 平分 ，故 ，
所以 ，
若 ，则 ，解得 （负根舍去），
此时 ，
7同理可知，若 或 均可得 ，
所以 ，
故选B
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及轴对称的应用。根据题意正
确的做出对称图形是本题的关键.
7．如图，在锐角三角形 中， ， 的面积为 ， 平分 ，若
、 分别是 、 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可
以得到CM+MN 的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解．
【详解】
解：如图，作N关于BD的对称点 ，连结N ，与BD交于点O，过C作CE⊥AB
于E，则
8∵BD平分 ∠ABC ，
∴ 在AB上，且MN=M ，
∴CM+MN= ，
∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为 ，即C点到线段AB某点的连
线，
∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，
∵△ABC 的面积为 10 ，
∴ ，
∴CE=5，
故选B．
【点睛】
本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最
短等性质是解题关键．
8．如图，在 中， 是边 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，点
是直线 上的一个动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】
9由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最
小值，在点P运动的过程中，P与E重合时有最小值．
【详解】
解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴PC+PB=PA+PB，
∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，
∴PB+PC的最小值=AB=5．
故选：A
【点睛】
本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关
键．
二、填空题
9．如图，点D是锐角 内一点， 于点E，点F是线段 的一个动点，
点G是射线 的一个动点，连接 、 、 ，当 的周长最小时，
与 的数量关系式是________．
【答案】
【分析】
作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、
G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质
得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD=∠BOD′，
∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由∠D′OD″=2∠AOB，
∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°．
【详解】
解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于
F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，
10由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，
∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，
∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，
∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，
∴2∠AOB+∠GDF=180°，
故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
10．如图，直线l为线段 的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于
异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明 ，这个
条件可以是____．
【答案】
【分析】
根据全等三角形的判定直接写出条件即可
【详解】
证明：添加： ，理由如下：
11∵直线l为线段 的垂直平分线
∴AC=CB,∠ACE=∠BCF
又
∴ （SAS）
故答案为：
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定
是关键
11．如图， 的斜边 在x轴上， ，C在第一象限， ，
是线段 上的动点，过点P作 的垂线a，以直线a为对称轴，线段 进
行轴对称变换后得线段 ．
（1）当点 和点C重合时，m的值为______________．
（2）当线段 与线段 没有公共点时，m的取值范围是___________．
【答案】 或
【分析】
（1）根据折叠的性质可知，当点 与点 重合时，点 是 的中点，过 点作
于点 ，求出 和 的长，依此可得 点坐标，再根据中点坐标公式即可
求解；
（2）分线段 在线段 的上面和线段 在线段 的下面两种情况讨论即可求
解．
【详解】
解：（1）过 点作 于点 ．
在 中， ， ，
， ，
在 中， ， ，
12，
点坐标为 ， ， 点坐标为 ，
当点 与点 重合时， 点坐标为 ， ，
的值为 ；
（2）线段 在线段 的上方，
，
，
，
，
则 ；
线段 在线段 的下方，
．
综上所述， 或 ．
故答案为： ； 或 ．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，中点坐标公式，
以及分类思想的运用．
12．将一条两边互相平行的纸带沿 折叠，如图（1）， ， ，设
13（1） _______（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿 折叠成图（2）， ________（用含x的代数式表示）．
【答案】
【分析】
（1）由平行线的性质得 ， ，折叠和三角形的外
角得 ， ，最后计算出 ；
（2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出
．
【详解】
解：（1）如图1所示：
，
， ，
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
；
14（2）如图2所示：
，
，
又 ，
故答案为：（1） ；（2） ．
【点睛】
本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，
平角的定义和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及
不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．
13．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知
，且 ，则 ___________度．
【答案】230
【分析】
将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，
根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：
∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论．
【详解】
解：如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，
15设∠ABC=x，则∠DAB=x+10°，
∵CD∥AB，
∴∠ADM=∠DAB=x+10°=∠ADF，
∵DF∥CG，
∴∠FDC=∠KCG=2x，
∵∠FDC+∠FDM=180°，
∴2x+2（x+10°）=180°，
x=40°，
∴3∠DAB+2∠ABC=3（x+10°）+2x=5x+30°=230°，
故答案为：230．
【点睛】
此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′
处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：
①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：
________；(只填写序号)
【答案】①②④
【分析】
根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可
【详解】
16解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A =AC，DC=D ，
∴AD垂直平分C′C；
∴①，②都正确；
∵B ＝D ， DC=D ，
∴B ＝D = DC，
∴∠3=∠B，∠4=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC ；
∴③错误；
根据折叠的性质，得∠ACD=∠A D=∠B+∠3=2∠3，
∵∠ACB的角平分线交AD于点E，
∴2（∠6+∠5）=2∠B，
∴
∴D ∥EC
∴④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查了折叠的性质，平行线的判定，外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练
掌握各种基本性质是解题的关键.
15．如图，点F，G是长方形ABCD边AD上两点，点H是边CD上的点，连接BF，
GH，分别将△ABF，△GDH沿BF，GH翻折，点A，D恰好都与对角线上的点E重合，
若∠ABF＝25°，则∠EHC＝___．
17【答案】100°
【分析】
由△ABF沿BF翻折，∠ABF=25°，可得∠ABD=50°，∠ADB=40°，再由△GDH沿GH
翻折，可得∠DGH=50°，∠GHD=40°，则∠DHE=80°，所以∠EHC=180°-80°=100°．
【详解】
解：∵将△ABF沿BF翻折，
∴∠ABF=∠EBF，
∵∠ABF=25°，
∴∠EBF=25°，
∴∠ABD=50°，
∴∠ADB=40°，
∵将△GDH沿GH翻折，
∴∠DHG=∠EHG，GD=GE，GH⊥ED，
∴∠DGH=50°，
∴∠GHD=40°，
∴∠DHE=80°，
∴∠EHC=180°-80°=100°，
故答案为：100°．
【点睛】
本题考查了折叠问题，长方形的性质，熟练掌握折叠中角的相等关系是解题的关键．
16．如图将长方形纸片 沿直线 折叠，点A、B分别对应点E、F，再将折叠
后的四边形 沿着射线 的方向平移，点F恰好与点C重合后停止，平移后的
四边形为四边形 ，要使 ，则 的度数为__________．
18【答案】
【分析】
先求出 的度数，由平移得FN∥ ，求出 的度数，再利用翻折的性质
求出答案．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
由平移得FN∥ ，
∴ ，
由翻折得∠BNM=∠FNM，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
此题考查翻折的性质，平移的性质，长方形的性质，熟记各性质并综合运用解决问题
是解题的关键．
17．如图，点 ， 分别为长方形纸片 的边 ， 上的点，将纸片沿 翻
折，点 ， 分别落在点 ， 处．下列结论一定正确的有________（填序号即可）．
① ；② ；③ ；④若
的度数比 的 倍还多 ，则 的度数为 ．
19【答案】①③
【分析】
利用平行线的性质及翻折的性质判断①；利用平行线的性质判断②；利用翻折的性质
及 即可判断③；设 ，则 ，根据题
意列得 ，求出x的值即可得到判断④．
【详解】
解：由题意得AB∥CD，
∴ ，
由折叠得 ，
∴ ，故①正确；
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ∥ ，
∴ ，
∴ ，故②错误；
由翻折得 ．
∵ ．
∴ ，故③正确；
设 ，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】
此题考查平行线的性质，翻折的性质，列一元一次方程解决问题，熟记平行线的性质
及翻折的性质是解题的关键．
18．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是
三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和
20∠BPC的数量关系是___．
【答案】
【分析】
根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到 ；
再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到 ，
进而得出 和 的数量关系．
【详解】
解： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ；
如图，连接 ．
点 是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
， ， ，
， ，
，
，
21故答案为： ．
【点睛】
本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分
线的性质是解题的关键．
19．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴
上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的
坐标是____________．
【答案】(0，3)
【分析】
由题意根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的
周长最小时C点坐标．
【详解】
解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
22∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故答案为：（0，3）．
【点睛】
本题主要考查利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解
题的关键．
20．如图，在四边形 中， ， ，在直线 ， 上分
别找一点 ， ，使得 的周长最小时，则 的度数为______．
【答案】
【分析】
延长 到 使得 ，延长 到 使得 ，连接 与 、 分别
交于点 、 ，此时 周长最小，推出 ，进而得
出 的度数．
【详解】
解：延长 到 使得 ，延长 到 使得 ，连接 与 、
分别交于点 、 ．
，
、 关于 对称， 、 关于 对称，
， ，
，同理： ，
， ， 、M、N、 在同一直线上时△AMN的周长最小，
， ，
23，
，
，
．
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称
作辅助线是解决最短的关键．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，1），
C（2，4）．
（1）在平面直角坐标系中描出点A，B，C，并作出△ABC关于y轴对称的△ABC ；
1 1 1
（2）如果将△ABC向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到
△ABC ，直接写出 ，B，C 的坐标，
2 2 2 2 2
（3）求△ABC 的面积；
2 2 2
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）9
【分析】
（1）根据A、B、C三点坐标描出各点即可；依据轴对称的性质，作出对称点，顺次
24连接各点即可得出△ABC ；
1 1 1
（2）依据平移性质，可得到△ABC ，进而可得到 ，B，C 的坐标；
2 2 2 2 2
（3）依据网格特点，利用割补法和三角形面积公式求解即可．
【详解】
（1）如图所示；
（2）作出△ABC ，如图所示，
2 2 2
25则 ；
（3）由图象可知，△ABC 的面积 ．
2 2 2
【点睛】
本题考查坐标与图形变换-轴对称、坐标与图形变换-平移、三角形的面积公式，作图时
找到图形的关键点是解答的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），
请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐
标为 ；
（2）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并写出点F的坐标为 ．
【答案】（1）画图见解析，（2，﹣4）；（2）画图见解析，（0，4）
【分析】
（1）根据平移的性质即可得线段CD；
（2）作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点F，由图即可知点F的坐标．
【详解】
解：（1）如图线段CD即为所求；
26根据平移可知：点D的坐标是（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）；
（2）作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点F，
由图知点F的坐标为F（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点睛】
本题考查了作图-平移变换，轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是根据平移的性质
作出线段CD．
23．在平面直角坐标系中，对于点M（a，b），N（c，d），将点M关于直线x＝c对
称得到点M′，当d≥0时，将点M′向上平移d个单位，当d＜0时，将点M′向下平移|d|
个单位，得到点P，我们称点P为点M关于点N的对称平移点．
例如，如图已知点M（1，2），N（3，5），点M关于点N的对称平移点为P（5，
7）．
（1）已知点A（2，1），B（4，2），
①点A关于点B的对称平移点为 （直接写出答案）．
②若点A为点B关于点C的对称平移点，则点C的坐标为 ．（直接写出答案）
（2）已知点D在第一、三象限的角平分线上，点C的横坐标为m，点E的坐标为
（1.5m，0）．
①点K为点E关于点D的对称平移点，若以D，E，K，O为顶点的四边形围成的面积
为6，求m的值；
②点E向右平移1个单位得到点F，点E向右平移6个单位得到点l，以EF一边向上
作正方形EFGH，以F一边向上作正方形FIMN，点P为正方形EFGH的边上的一个动
点，在点P运动过程中，若D点关于P点的所有对称平移点都在正方形FIMN的内部
或边上，请直接写出m的取值范围．
27【答案】（1）①（6，3）；②(3,-1)；（2）① ；② 或
【分析】
(1)①根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义，画出图形，可得结论；
②根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义画出图形，可得结论；
(2)①分两种情形: ，根据梯形的面积公式，构建方程求解即可；
②分两种情形 构建不等式组求解即可．
【详解】
(1)①如图1中，点A关于点B的对称平移点P为（6，3），
故答案为: （6，3）
28②如图1中，
∵点A为点B关于点C的对称平移点，
∴点C的坐标为(3,-1)，
故答案为: (3,-1)
（2）如图2中，
①当m > 0时，四边形OKDE是梯形，
∵
∴当 或 （舍弃）
当 时，同理可得
综上所述，m的值为： ；
②当 时，m必须满足
解得
29当m<0时，同法可得
综上所述，满足条件的m的值为 或
【点睛】
本题属于四边形综合题，掌握梯形的面积公式，不等式组，轴对称，平移变换等知识
是解题的关键．
24．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在 的位置；
（1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在 的位置．
①若 ，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）：
②若 ，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数．
【答案】（1） ；（2）① ；②50°
【分析】
（1）由平行线的性质得到∠4=∠B′FC=α，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平
角的定义求解即可；
（2）①由（1）知，∠BFE= ，根据平行线的性质得到∠BFE=∠C′GB=
，再由折叠的性质及平角的定义求解即可；
②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°- ∠1，由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°，
再根据折叠的性质得到∠1+180°-2∠3=90°，结合∠3=∠1+20°即可求解．
【详解】
解：（1）如图，
30由题意可知，A′E//B′F，
∴∠4=∠1=α，
∵AD//BC，
∴∠4=∠B′FC=α，
由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，
∵∠BFE+∠2+∠B′FC=180°，
∴∠2= ×（180°-α）= ；
（2）①由（1）知，∠BFE=90°- α，
∵EF//C′G，
∴∠BFE=∠C′GB= ，
再由折叠的性质可知，∠3+∠HGC=180°- ，
∴∠3=∠HGC= ；
②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°- ∠1，
由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°，
∴180°-2×(90°- ∠1)+(180°-2∠3)=90°，
即∠1+180°-2∠3=90°，
∵∠3=∠1+20°，
∴∠1=50°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，以及折叠的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”、
“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．
3125．学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图1所示的纸
片，其中 ，先按如图2所示的方法折叠，折痕为 ； （ 与 相交于
点 ）然后按如图3的方法折叠，折痕为 （ 与 落在一条直线上）．
（1）在图2的折叠过程中，若 ，求 的度数
（2）如图3，小明认为在折叠过程中，产生的折痕 与 平行，请把小明的思考
步骤补充完整．
由折叠可知，
；
；
∵
∴ ；（ ① ）
∴ ② ＝ ③ （等量代换）
∴ ．（内错角相等，两直线平行）
【答案】（1）25°；（2）①两直线平行，内错角相等；② ；③
【分析】
（1）根据折叠、平行和互补的性质可以得解；
（2）根据平行线的性质和判定进行解答 ．
【详解】
解：（1）∵ ，∴ ．
由折叠可知 ．
∵ ，∴ ．（两直线平行，内错角相等）
（2）由折叠可知，
32；
；
∵
∴ ；（两直线平行，内错角相等）
∴ ＝ （等量代换）
∴ ．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：①两直线平行，内错角相等；② ；③ ；
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及折叠的综合应用，熟练掌握平行线的性质和判定、
折叠的性质是解题关键 ．
26．如图1和图2，在三角形纸片 中，点 ， 分别在边 ， 上，沿 折
叠，点 落在点 的位置．
（1）如图1，当点 落在 边上时， 与 之间的数量关系为______（只填序
号），并说明理由；
① ② ③
（2）如图2，当点 落在 内部时，直接写出 与 ， 之间的数量关系．
【答案】（1）③，理由见详解；（2）
【分析】
（1）根据折叠的性质可得 ，然后根据三角形外角的性质可进行求解；
（2）延长 交AC于点F，由折叠的性质可得 ，则有
，进而可得 ，然后问题可求解．
【详解】
33解：（1）根据折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ；
故答案为③；
（2） ，理由如下：
延长 交AC于点F，如图所示：
由折叠的性质可得 ，
∴根据三角形外角的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质及三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的
性质是解题的关键．
27．（1）如图1，将一长方形纸片 沿着 、 折叠（点 在线段 上，点
在线段 上），且 ，折痕 与 平行吗？请说明理由．
（2）如图2，将一长方形纸片 沿着 、 折叠（点 、 在线段 上），
设 ， ，当 与 平行时， 与 有什么数量关系？请说明理
由．
（3）如图3，将一长方形纸片 沿着 折叠（点 在线段 上），不借助其他
工具，请设计一个折纸方案，折叠纸片，使得边 与 平行．请在图3中画出折叠
后的示意图，并简述你的折纸方案．
34【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据题意，分别计算 即可
（2）延长 交 于点 ，由折叠 , ；因为 与 ，
则 即可求得
（3）根据平行线的判定方法构造折纸方案即可
方法一：折纸方案：将长方形纸片 沿着 折叠，得到折痕为 ，展开纸片，
再将 折到折痕 上；
方法二：折纸方案：将长方形纸片 折叠，使得 与 重合，得到折痕为 ；
展开纸片，再将长方形纸片 折叠，使得点 落在折痕 上点 处，
得到折痕为 ；
【详解】
（1） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴
∴
（2）延长 交 于点 ，
由折叠可得： ，
，
∴ ，
，
∴
∵
∴
35∴
∴
（3）方法一：
折纸方案：将长方形纸片 沿着 折叠，得到折痕为 ；
展开纸片，再将 折到折痕 上，此时 与 平行
方法二：
折纸方案：将长方形纸片 折叠，使得 与 重合，得到折痕为 ；
展开纸片，再将长方形纸片 折叠，使得点 落在折痕 上点 处，
得到折痕为 ；此时 与 平行
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的
关键．
28．如图，在 中， ， 是中线，作 关于 的轴对称图形 .
（1）直接写出 和 的位置关系；
（2）连接 ，写出 和 的数量关系，并说明理由；
（3）当 ， 时，在 上找一点 ，使得点 到点 与到点 的距离
之和最下小，求 的面积.
【答案】（1）垂直；（2） .理由见解析；（3） .
36【分析】
(1)根据对称点连线垂直于对称轴，即可确定AC⊥DE;(2)连接CE,证明四边形AECD是
正方形，在结合三角形ABC是等腰三角形，即可说明;(3)先证明. ACD≌△ABD，得
到点B和点C关于AD成轴对称；连接 ，交 于点 ，且当△， ， 三点在同
一条直线上，点 到点 与到点 的距离之和最小，然后结合（1）的结论，运用三角
形的面积公式即可求得.
【详解】
解：（1）垂直
（2） .理由如下：
关于 的轴对称图形为 .
，
在 和 中，
又 是边 上的中线
.
.
（3）在 和 中
点 和点 关于 成轴对称
连接 ，交 于点 ，如图所示
37且当 ， ， 三点在同一条直线上，点 到点 与到点 的距离之和最小
在 中，.
由（1）知， ，
【点睛】
本题是一道几何综合题，考查了轴对称、全等三角形、正方形的相关知识，考查知识
点比较综合，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
29．（1）请你沿着图1中的虚线，用两种方法将图1划分为两个全等的图形；
（2）如图2，是 的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的
13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．
请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴（所画的三个图形不能全
等）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
(1)根据全等图形的概念，可先从面积上考虑将图形分形大小相等的两块，然后从形状
38上考虑，所分成的两部分必须形状相同即可，注意答案不唯一；
(2)根据轴对称图形的概念，添加部分与原来的能构成轴对称图形即可．
【详解】
(1)如图：
(2)如图：
【点睛】
本题考查的是全等图形和轴对称图形的应用，关键是掌握全等图形和轴对称图形的概
念．
30．在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数 ，我们称P
（ka＋kc，kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，
），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知
A（1，2），B（2，0）．
（1）点A和点B的 系和点的坐标为________（直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角
平分线上．
①求m的值；
39②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的
值 ；
（3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF
上的动点，点P为点A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0，在
点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有
15个整点，则k的取值范围为 ．
【答案】（1） ；（2）①m＝0；② 或 ；（3） ．
【分析】
（1）根据点M和点N的k系和点的定义求解即可．
（2）①由题意得到D（2k+mk，2k），根据点D在在第一、三象限角平分线上，构建
方程求解即可．②判断出D的坐标，可得结论．
（3）利用图象法以及不等式组解决问题即可．
【详解】
解：（1）由题意： （1+2） ， （2+0）＝1，
∴点A和点B的 系和点的坐标为（ ，1）．
故答案为：（ ，1）．
（2）①∵点D（x，y）为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，
∴x＝2k+mk，y＝2k．
即D（2k+mk，2k），
∵点D在第一、三象限角平分线上，
∴2k+mk＝2k．
∴mk＝0．
∵k≠0，
∴m＝0．
②如图1中，由题意，当D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）时，满足条件．
40∵C（0，2），B（2，0），
∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ；
（3）如图2中，由题意A（1，2），E（1，﹣2）．
2≤m≤3，
∴P（k+km，2k），Q（k+km，﹣2k）．
∵k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整
点，至多有15个整点，
观察图象可知： ，
41解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，象限角平分线的坐标特点，新定义等知识，综合性较
强，理解P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点的定义，图形与坐标等知识，
并根据题意学会利用参数构建方程或不等式解决问题是解题关键．
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