文档内容
第 01 讲 相交线（6 个知识点+6 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
知识点2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，
互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角
都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
知识点3．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一
条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
知识点4．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是
相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线
段最短”这两个中去选择．
知识点5．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
知识点6．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且
在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且
在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并
且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中
的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角
必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直
线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
知识复习
题型一．相交线（共6小题）
1．（2023春•攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为
A．0个或1个 B．1个或2个
C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
【分析】分三条直线互相平行、有两条平行和三条直线都不平行三种情况讨论．
【解答】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：
①三条直线互相平行，有0个交点；
②一条直线与两平行线相交，有2个交点；
③三条直线都不平行，有1个或3个交点；
所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．
故选： ．
【点评】考查了相交线，本题要注意列举出所有可能的情况．
2．（2023春•遵化市期中）任意画三条不重合的直线，交点的个数是
A．1 B．1或3 C．0或1或2或3 D．不能确定
【分析】在平面上任意画三条直线，相交的情况有四种可能．①三直线平行；②三条直线
相交于一点；③两直线平行被第三直线所截；④两直线相交，又被第三直线所截．故可得
出答案．
【解答】解：任意画三条直线，相交的情况有四种可能：
1、三直线平行，没有交点；
2、三条直线相交于同一点，一个交点；
3、两直线平行被第三直线所截，得到两个交点；
4、两直线相交得到一个交点，又被第三直线所截，共三个交点．
故选： ．
【点评】本题考查直线的相交情况，要注意分情况讨论，要细心，查找时要不重不漏．
3．（2023•兴庆区校级开学）如图，从点 到点 有3条路，其中走 最近，其数学依
据是A．经过两点有且只有一条直线
B．两条直线相交只有一个交点
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．直线比曲线短
【分析】根据两点之间线段最短的性质解答．
【解答】解：从点 到点 有3条路，其中走 最近，其数学依据是两点之间的所有连
线中，线段最短．
故选： ．
【点评】本题考查了两点之间线段最短的应用，正确应用线段的性质是解题关键．
4．（2023春•澄迈县期末）平面上画三条直线，交点的个数最多有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据相交线的性质可得答案．
【解答】解：平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，
故选： ．
【点评】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最
多有3个交点是正确判断的前提．
5．（2023春•金乡县月考）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两
两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点； 条直线两两相交，最
多有 ． 个交点．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最
多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内， 条直线两
两相交，则有 个交点，代入即可求解．
【解答】解： 三条直线两两相交，最多有3个交点，即 ；
4条直线两两相交，最多有6个交点，即 ；5条直线两两相交，最多有10个交点，即 ，
条直线两两相交，则最多有 个交点，
故答案为： ．
【点评】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观
察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．
6．（2023春•佛山月考）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多
有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 19 0 个交点．
【分析】由所给条件可得 条直线相交最多有 个交点，令 即可求解．
【解答】解：2条直线相交有1个交点，
3条直线相交最多有 个交点，
4条直线相交最多有 个交点，
条直线相交最多有 个交点，
条直线相交最多有190个交点．
故答案为190．
【点评】本题考查相交线交点个数问题，直线两两相交时去掉重复交点是解题的关键．
题型二．对顶角、邻补角（共11小题）
7．（2023 秋•秦安县校级期末）如图， ， 交于点 ， ，若
，则 为A． B． C． D．
【分析】根据图形中角的比例关系以及邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解： ，而 ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等以及邻补角的定义是正确解答的关键．
8．（2023秋•鹤壁期末）如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF
平分∠COB，∠BOE＝36°，则∠AOF的度数为（ ）
A．54° B．126° C．36° D．90°
【分析】根据角平分线的定义以及邻补角、对顶角的定义分别求出图形中的各个角，再
根据角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝36°，
∴∠BOD＝2∠BOE＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝108°，
∵OF平分∠COB，
∴∠BOF＝∠COF＝ ∠BOC＝54°，
∵∠AOC＝∠BOD＝72°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF
＝72°+54°＝126°．
故选：B．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握角平分线的定义，对顶角相等以
及邻补角的定义是正确解答的关键．
9．（2023春•梁山县期末）下列图形中 和 是对顶角的是
A．
B．
C．
D．
【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长
线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据此定义进行判断即可．
【解答】解：根据对顶角的概念可知，
、 、 中的 与 都不符合对顶角的特征，
而 图中的 与 只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，属于对顶角．
故选 ．
【点评】本题主要考查了对顶角的概念，解题时要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线
相交，有一个公共顶点，反向延长线等．
10．（2022秋•江阴市期末）如图，直线 、 相交于点 ， ， ，
则 4 5 ．【分析】根据对顶角相等可得 ，再根据角的和差关系可得答案．
【解答】解： ， ，
，
，
．
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角相等．
11．（2023春•临沂期中）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 ，用
它测量角的原理是 ．
【分析】根据对顶角相等，由量角器所得度数就是要测量的角的度数．
【解答】解：由量角器的读数可知，所测量角的度数为 ，
原理：对顶角相等，
故答案为： ，对顶角相等．
【点评】本题考查对顶角，掌握对顶角相等的性质，是正确应用的前提．
12．（2023秋•溧阳市期末）下列说法中，其中正确的个数是
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角是对顶角；
③棱柱的上、下底面的形状相同；
④两点之间的距离是两点间的线段．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据线段的性质，对顶角的定义，棱柱的形体特征以及两点之间的距离的定义逐
个进行判断即可．【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，因此①正确；
②相等的角不一定是对顶角，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，因此②是错误的；
③棱柱的上、下底面的形状相同，因此③正确；
④两点之间的距离是两点间线段的长度，因此④是错误的．
综上所述，正确的有①③，共2个．
故选： ．
【点评】本题考查线段的性质，对顶角的定义，棱柱的形体特征以及两点之间的距离，掌
握两点之间线段最短，对顶角的定义，棱柱的形体特征以及两点之间的距离的定义是正确
解答的关键．
13．（2023春•涵江区期中）下列四个图形中， 和 是对顶角的是
A． B．
C． D．
【分析】根据“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶
角”进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，选项 中的 与 是对顶角，
故选： ．
【点评】本题考查对顶角，掌握“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样
的两个角是对顶角”是正确判断的前提．
14．（2023春•铁西区期末）下列图形中， 和 是邻补角的是
A． B．
C． D．
【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．【解答】解： ． 与 是对顶角，故 选项不符合题意；
． 与 是邻补角，故 选项符合题意；
． 与 不存在公共边，不是邻补角，故 选项不符合题意；
与 是同旁内角，故 选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键．
15．（2023春•龙岗区校级月考）如图，直线 和直线 相交于点 ，若 ，
则 的度数是 ．
【分析】由图可知，由于两线相交于一点，产生2组对顶角对应相等，进而利用邻补角的
定义得出答案．
【解答】解： ， ，
，
．
【点评】本题考查了对顶角的性质和邻补角的定义，熟练掌握知识点，找到等量关系是解
题的关键．
16．（2023 春•富川县期末）如图，直线 、 相交于 ， ，
．
（1）求 的度数；
（2）试说明 平分 ．
【分析】（1）先根据条件和邻补角的性质求出 的度数，然后即可求出 的度数．
（2）只要证明 即可得证．
【解答】解：（1） ， ，
，，
；
（2） ， ， ，
，
平分 ．
【点评】本题考查角的运算，涉及角平分线的性质，邻补角的性质，属于基础题型．
17．（2023春•黑山县期中）如图，直线 ， 相交于点 ， ．
（1）写出 的所有余角；
（2）若 ，求 的度数．
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 得 到 ，
，即可得到 ，结合 即可得到答案；
（2）根据领补角互补即可得到答案．
【解答】解：（1） ，
， ，
， ，
，
的余角有： ， ， ；
（2） ， ，
．
【点评】本题考查领补角互补，対顶角相等及两角和为 则两角互余，解题的关键是根
据 等角及角度加减得到相等的角．
题型三．垂线（共8小题）
18．（2023 秋•连云港期末）如图，射线 、 在 内， ， 平分
，下列说法正确的是A． 与 互余 B． 与 互余
C． D．图中共有5个不同的角
【分析】由题意易得 ， ，利用等角加同角相
等判断 ；由题意不能得到 ，以此判断 ， ；根据题图判断 ．
【解答】解： ，
，
平分 ，
，
，即 与 互余，故 正确，符合题意；
由题意不能得到 ，
则 不 能 得 到 ，
，
故 ， 错误，不符合题意；
图中有 ， ， ， ， ， ，共6个角，故 错误，不
符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查垂线的性质、角平分线的定义、余角的定义，熟练运用相关知识解
决问题是解题关键．
19．（2023•渝中区校级开学）下列说法中正确的是
A．相等的角是对顶角
B．两点之间直线最短
C．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据对顶角的定义，两点之间线段最短，平行线的性质，平面内直线的位置进行
逐一判断即可．
【解答】解： 、相等的角是不一定是对顶角，说法错误，不符合题意；、两点之间，线段最短，说法错误，不符合题意；
、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，说法正确，符合题意；
、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了对顶角的定义，两点之间线段最短，平行线的性质，平面内直线
的位置，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．（2024•垫江县开学）如图，直线AB和CD相交于O，OE⊥CD于点O，∠BOE＝
2∠BOD，则∠AOC的度数为 30 ° ．
【分析】设∠BOD＝x，则∠BOE＝2x，根据垂线的定义，可以列出关于x的方程，再根
据对顶角的性质即可求解．
【解答】解：设∠BOD＝x，则∠BOE＝2x，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠BOD+∠BOE＝90°，
∴x+2x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠BOD＝30°，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了垂线，邻补角和对顶角，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解
题的关键．
21．（2023春•路桥区期中）如图，已知直线 、 相交于点 ， ，点 为垂
足， 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．【分析】（1）先由 得出 ，再根据角平分线定义求出
，然后由 即可求解．
（2）设 ，则 ，则 ，再根据角平分线定义求出
，所以 ，由垂直的定义可知 ，则 ，
解之，求出 即可．
【解答】解：（1） ，
；
，
，
平分 ，
，
．
（2）设 ，则 ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，解得 ，
，
．
【点评】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列方程进行求解，即可计
算出答案，难度适中．
22．（2023春•东莞市期末）如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为 ，．
（1）求 的度数；
（2）若 平分 ，求 的度数．
【分析】（1）由垂直的定义，对顶角的性质，即可计算；
（2）由角平分线定义，邻补角的性质，即可计算．
【解答】解：（1） ，
，
，
；
（2） 平分 ，
，
，
．
【点评】本题考查了垂线，解题关键是掌握垂直的定义，角平分线定义．
23．（2023春•桐城市期末）如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 ．
（1）若 ，则 （用含 的式子表示）
（2）若 ， ，则 ．
【分析】（1）根据邻补角的性质得 ，根据对顶角的性质得
，根据角平分线的定义得 ，即可得出答案；（2）分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1） ，
， ，
平分 ，
，
；
故答案为： ；
（2）如图
，
，
平分 ，
，
，
，
，
如图
，
，平分 ，
，
，
，
，
综上， 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及对顶角和邻补角的综合运用，弄清楚
角之间的和差关系是解题关键．
24．（2023 秋•丹阳市期末）如图，直线 、 相交于点 ， 平分 ，
，垂足为点 ．
（1）图中与 互补的角是 ， ， ；
（2） 与 相等吗？请说明理由；
（3）若 ，求 和 的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，然后利用平角定义可得
， ， ，从而利用等量
代换可得 ， ，即可解答；
（2）根据垂直定义可得 ，从而利用平角定义可得 ，然后
利用等角的补角相等可得 ，即可解答；
（ 3 ） 先 利 用 平 角 定 义 可 得 ， 然 后 利 用 （ 2 ） 的 结 论 可 得
，从而利用角的和差关系可得 ，即可解答．
【解答】解：（1） 平分 ，
，
， ，
， ，，
图中与 互补的角是 ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2） ，
理由： ，
，
，
，
，
；
（3） ，
，
，
，
，
的度数为 ， 的度数为 ．
【点评】本题考查了垂线，余角和补角，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的
已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
25．（2022秋•太仓市期末）如图，直线 与 相交于点 ， ， ．
（1）如图中与 互补的角是 ， ；（把符合条件的角都写出来）
（2）若 ，求 的度数．
【分析】（1）根据互补的两个角的和等于 ，结合图形找出与 的和等于 的
角即可；
（2）设 ，可以得到 ，然后列式求解即可．
【解答】解：（1） ，与 互补；
， ，
，
，
，
与 互补；
综上： 和 与 互补．
故答案为： ， ．
（2）设 ，则 ， ，
（对顶角相等），
，
即 ，
解得： ．
．
【点评】本题考查了补角的和等于 的性质，以及对顶角相等，周角等于 的性质，
结合图形找出各角的关系是解题的关键．
题型四．垂线段最短（共9小题）
26．（2023秋•榆树市校级期末）下列四个已学的几何知识中，不属于基本事实的是（
）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据基本事实的性质解答即可．
【解答】解：垂线段最短是定理，不是基本事实，
故选：C．
【点评】此题主要考查了基本事实，关键是掌握垂线段最短是定理．
27．（2023春•鄂城区期中）如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田 处，农民李伯伯
的做法是：过点 作 垂直于河岸 ，垂足为 ，沿 开挖水渠距离最短，其中的数
学道理是 垂线段最短 ．【分析】根据垂线段的性质得出即可．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的
垂线段最短．
【解答】解： ，
沿 开挖水渠距离最短，其中的数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．实际问
题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这
两个中去选择．
28．（2023秋•衡阳期末）如图，点P到直线公路MN共有四条路，若用相同速度行走，
从点P到公路最快到达的路径是 PB ．
【分析】从点P到公路，用相同速度行走，最快到达，则需要点 P到公路MN的距离最
短，根据垂线段最短得出答案．
【解答】解：∵从点P到公路，用相同速度行走，最快到达，
∴需要点P到公路MN的距离最短，
∵垂线段最短，
∴从点P到公路最快到达的路径是PB．
故答案为：PB．
【点评】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线
段最短是解答的关键．
29．（2023春•邵阳期末）如图，要在河岸 上建一个水泵房 ，修建引水渠到村庄 处
施工人员的做法是：过点 作 于点 ，将水泵房建在了 处．这样修建引水渠
最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 垂线段最短 ．【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：过点 作 于点 ，将水泵房建在了 处．这样做最节省水管长度，其
数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决实际问题．
30．（2023春•番禺区期末）如图， 是河岸 外一点．
（1）过点 修一条与河岸 平行的绿化带（绿化带用直线 表示），请画图表示；
（2）现用水管从河岸 将水引到 处，问：从河岸 上的何处开口，才使所用的水管
最短？画图表示，并说明设计的理由．
【分析】（1）根据平行线的定义画出直线 即可；
（2）根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，过点 画一条平行于 的直线 ，则 为绿化带．
（2）如图，过点 作 于点 ，从河岸 上的点 处开口，才能使所用的水管
最短．
设计的理由是垂线段最短．
【点评】本题考查作图 应用与设计作图垂线段最短，平行线等知识，解题的关键是学会
学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．31．（2023春•海州区期末）如图，在 中， ，首先以顶点 为圆心，适
当长为半径作弧，在边 、 上截取 、 ；然后分别以点 、 为圆心，大于
为半径作弧，两弧在 内交于点 ；作射线 交 于点 ．若 ，
为边 上一动点，则 的最小值为
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
【分析】根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：由尺规作图步骤可得， 平分 ，
，
当 时， ，
的最小值为4，
故选： ．
【点评】本题考查作图 基本作图，垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，解题的关
键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
32．（2023•长春模拟）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是
A． 测量跳远成绩
B． 木板上弹墨线
C． 两钉子固定木条D． 弯曲河道改直
【分析】根据直线的性质，线段的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解： 、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项合题意．
、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合
题意；
、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项不符
合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了线段的性质，直线的性质，解题时注意：两点的所有连线中可以有无
数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
33．（2023春•武平县期末）如图，点 在射线 上，点 在线段 上， 平分
， ．
（1）当 时，求 ；
（2）点 是线段 上一点，点 是线段 上一点，连接 ， ．若 为 的
角平分线， ， ，探究直线 上是否存在一点 ，
使得 ．
【分析】（1）由 平分 ， ，得 ，所以 ，
即可求得 ；（2）由 为 的角平分线， ，得 ，所以
， 设 ， ， 因 为 ， 所 以
，所以 ，根据垂线段最短，所以直线 上不存在
一点 ，使得 ．
【解答】解：（1） 平分 ，
，
，
，
，
，
，
；
（2） 为 的角平分线，
，
，
，
，
，
设 ， ，
，
，
，
①，
②，
由①②消去 得 ，
，
，，
垂线段最短，
直线 上不存在一点 ，使得 ．
【点评】本题考查垂线段最短，掌握角平分线的定义，垂线段最短定理是解题的关键．
34．（2023春•赵县月考）如图，已知：点 、点 及直线 ．
（1）请画出从点 到直线 的最短路线，并写出画图的依据．
（2）请在直线 上确定一点 ，使点 到点 与点 到点 的距离之和最短，并写出
画图的依据．
【分析】（1）过 作 ；
（2）连接 ，与 交点就是 ．
【解答】解：（1）如图所示：点 为所求，根据垂线段最短；
（2）如图所示：根据两点之间线段最短．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间
线段最短．
题型五．点到直线的距离（共5小题）
35．（2023春•前郭县期中）如图，已知 ， ，其中 ， ，
， ，那么点 到 的距离是 8 ．
【分析】由题意即可推出点 到 的距离即为点 到 的垂线段的长度即为 的长度．
【解答】解： ， ，
点 到 的距离为8．故答案为8．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离，关键在于推出点 到 的距离为 的长度．
36．（2023春•攸县期末）如图， ， 于 ， ， ， ，
，则点 到直线 的距离是 6 ．
【分析】根据题意可知点 到直线 的距离是 的长，据此解答即可．
【解答】解： ， ，
点 到直线 的距离是6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．
37．（2023春•中山市期中）如图，点 在 上，点 在 上，且 ，垂足为
点 ．下列说法：
① 的长是点 到 的距离；
② 的长是点 到 的距离；
③ 的长是点 到点 的距离；
④ 的长是点 到点 的距离．
其中正确的是 ①③ （填序号即可）．
【分析】由点到直线的距离，两点的距离的定义，即可判断．
【解答】解：① 的长是点 到 的距离，正确，故①符合题意；
② 的长是点 到 的距离，错误，故②不符合题意；
③ 的长是点 到点 的距离，正确，故③符合题意；
④ 的长是点 到点 的距离，故④不符合题意．
其中正确的是①③．故答案为：①③．
【点评】本题考查点到直线的距离，两点的距离，关键是掌握点到直线的距离，两点的距
离的定义．
38．（2023春•宁远县期末）如图，三角形 中， ， ，则点 到直
线 的距离是线段 的长度．
【分析】利用点到直线的距离可得到答案．
【解答】解： 在 中， ，
点 到直线 的距离是线段 的长度．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不
是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
39．（2023春•馆陶县期中）如图，将一块直角三角板 的直角顶点 放在直线 上．
（1）若线段 的长是点 到直线 的距离，则点 在直线 上 （填“上”或
“外” ．
（2）比较 与 的大小，并说明理由．
【分析】（1）由线段 的长是点 到直线 的距离，可得 ，结合 ，
从而可得答案；
（2）由垂线段最短可得答案．
【解答】解：（1） 线段 的长是点 到直线 的距离，
，
，， 重合，
则点 在直线 上．
（2） ，理由如下：
，
与 上各点的连线段中，垂线段 最短．
．
【点评】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，熟记点到直线的距离的含义是解本
题的关键．
题型六．同位角、内错角、同旁内角（共5小题）
40．（2023春•历城区校级月考）如图所示，图中用数字标出的角中， 的内错角是
．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三
条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．
【解答】解：图中用数字标出的角中， 的内错角是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查内错角的概念，关键是掌握内错角的定义．
41．（2023春•韩城市期末）如图，给出以下结论：
① 与 是对顶角；
② 与 是同旁内角；
③ 与 是同位角；
④ 与 是内错角．
其中正确的是 ①③④ ．（填序号）【分析】根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义分析即可．
【解答】解：① 与 是对顶角，故①正确；
② 与 是对顶角，故②错误；
③ 与 是同位角，故③正确；
④ 与 是内错角，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义，正确理解定义是解答
本题的关键．
42．（2023春•贵州期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变
弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方
向发生了改变．
（1）请指出与 是同旁内角的有哪些角？请指出与 是内错角的有哪些角？
（2）若 ，测得 ，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折
弯了多少度？请说明理由．
【分析】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若
两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内
角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．
（2）根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）与 是同旁内角的有 ， ， ；
与 是内错角的有 ， ；
（2） ，
，
，
，
往上弯了 ．
【点评】本题考查了对同旁内角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题
目是一道比较好的题目，难度适中．43．（2023春•蒲城县期中）如图，已知直线 与 交于点 ，与 交于点 ，
平分 ，若 ， ．
（1）求 的度数；
（2）写出一个与 互为同位角的角；
（3）求 的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得 的度数，再根据角平分线的定义可求 的
度数；
（2）根据同位角的定义可求与 互为同位角的角；
（3）根据邻补角的性质可求 ，再根据已知条件和对顶角相等可求 的度数．
【解答】解：（1） ，
，
平分 ，
；
（2）与 互为同位角的角是 ；
（3） ，
，
，
，
．
【点评】本题考查了同位角的定义，角平分线定义，对顶角、邻补角定义的应用，能综合
运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
44．（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线 ， 被第三条直线 所截的同旁内角， 满足 ，则称 是 的关联角．
（1）已知 是 的关联角．
①当 时， 8 0 ；
②当 时，直线 ， 的位置关系为 ；
（2）如图2，已知 是 的关联角，点 是直线 上一定点．
①求证： 是 的关联角；
②过点 的直线 分别交直线 ， 于点 ， ，且 ．当 是图中
某 角 的 关 联 角 时 ， 写 出 所 有 符 合 条 件 的 的 度 数 为 ．
【分析】（1）①根据关联角所满足的关系式 即可解答，
②解 与 构成的方程组，根据 和 的关系来确定直线
的位置关系．
（2）①由 与 、 与 的互补关系，求出 与 之间的
大小关系，进而命题得以证明．
②根据直线 过点 的形式可分4种情况，每种情况均有2个角与 互为同旁内角，
因此共有4种情况，分别解出 的度数即可．【解答】解：（1）① 是 的关联角， ，
．
故答案为：80．
②由题意可得方程组 ，解得 ，
，
．
故答案为：平行．
（2）①证明： 是 的关联角，
，
又 ， ，
，
，
是 的关联角．
②当直线 位于如图所示位置时：
是 的关联角， ，
．
若 是 的关联角，则 ．
若 是 的 关 联 角 ， 则
，得 ．当直线 位于如图所示位置时：
， ，
，
若 是 的关联角，则 ．
，
（舍去）．
若 是 的 关 联 角 ， 则
，得 ．
故答案为： 、 或 ．
【点评】本题考查了同旁内角及角的计算，难度不大，注意分情况讨论．
强化训练
一、单选题
1．（2023下·山东济南·七年级统考期中）如图， 和 是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延
长线，那么这两个角是对顶角，据此求解即可．【详解】解：由对顶角的定义可知，只有A选项中的 和 是对顶角，
故选：A．
2．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与 构成同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁
内角的边构成“U”形．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同
侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【详解】解：直线a，b被直线m所截，与 构成同位角的是 ，
故选：C．
3．（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l
上，且 于点B， ，则下列结论中正确的是（ ）
①线段 的长度是点P到直线l的距离；②线段 是A点到直线 的距离；③在
三条线段中， 最短；④线段 的长度是点P到直线l的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一
点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：∵ 于点B，
∴线段 的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；
∵ ，
∴线段 的长度是A点到直线 的距离，故②错误；根据垂线段最短，在 三条线段中， 最短，故③正确；
故选：C．
4．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图， 从小到大的顺序为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平角为 求出 ，根据对顶角相等求出 ，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知， ， ， ，
∴ ，
故选：D
【点睛】此题考查了平角、对顶角的性质等知识，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键．
5．（2023下·七年级单元测试）根据语句“直线 与直线 相交，点 在直线 上，直线
不经过点 ．”画出的图形是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线 与直线 相交，点M在直线 上，直线 不经过点M进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．直线 经过点M，故本选项不合题意；
B．点M不在直线 上，故本选项不合题意；
C．点M不在直线 上，故本选项不合题意；
D．直线 与直线 相交，点M在直线 上，直线 不经过点M，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这
两条直线为相交线．
6．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的
点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】根据垂线的定义可直接得出答案．
【详解】解：由垂线的定义可知，直线 ，
因此垂线经过的点是点C，
故选C．
【点睛】本题考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中
有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂
足．
7．（2023下·河南周口·七年级期中）如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 ，
若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平角的定义求出 ，然后根据角平分线的定义求出 ，再根据
对顶角相等求出 即可．
【详解】解： ，
，
平分 ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及对顶角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定
义以及对顶角相等这一性质．
8．（2024上·江苏扬州·七年级统考期末）如图， 于点 平分 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，根据垂线的定义，即可得到 的
度数，依据角平分线的定义，即可得到 的度数，由平角定义即可求解．
【详解】解： 于点 ，
，
平分 ，，
．
故选：C．
9．（2023下·天津宝坻·七年级校考阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ，射线
平分 ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据角平分线的概念求出 ，然后利用邻补角互补求解
即可．
【详解】∵射线 平分 ，若 ，
∴
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，邻补角互补，熟练掌握角平分线的性
质和平角的定义是解决此类题的关键．
10．（2019下·七年级单元测试）平面内三条直线的交点个数可能有（ ）
A． 个或 个
B． 个或 个
C． 个或 个或 个
D． 个或 个或 个或 个
【答案】D
【分析】根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解．
【详解】解：如图所示，分别有 个交点， 个交点， 个交点， 个交点，
∴ 交点个数可能有 个或 个或 个或 个．
故选 .
【点睛】本题考查平行线与相交线，能够根据题意画出图形，做到不重不漏是解题关键.
二、填空题
11．（2023下·江西新余·七年级新余四中校考期中）如图，直线 ， ， 相交于点
，则 的邻补角有 个．
【答案】2
【分析】根据邻补角的定义即可解答．
【详解】解：根据邻可知： 的邻补角是 或 ，共2个．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了邻补角的定义，两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延
长线，具有这种关系的两个角叫做邻补角．
12．（2023下·广东中山·七年级统考期中）如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播
方向发生了改变，这就是折射现象．图中 与 是不是对顶角？ ．（填“是”或
“不是”）
【答案】不是
【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可．
【详解】解：由对顶角的定义可知： 与 不是对顶角．
故答案为：不是．
13．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，已知 于 ， 于 ， ，
， ， ， ．则：
（1）点A到直线 的距离为 ；
（2）点A到直线 的距离为 ；
（3）点 到直线 的距离为 ；
（4）点 到直线 的距离为 ；
（5）点 到直线 的距离为 ．
【答案】 3.6 6 6.4 8 4.8
【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，正确理解点到直线的距离的定义是解答本题
的关键．
（1）根据点到直线的距离，可得点A到直线 的距离为线段 的长；
（2）根据点到直线的距离，可得点A到直线 的距离为线段 的长；
（3）根据点到直线的距离，可得点 到直线 的距离为线段 的长；
（4）根据点到直线的距离，可得点 到直线 的距离为线段 的长；
（5）根据点到直线的距离，可得点 到直线 的距离为线段 的长．
【详解】（1）解： ，
点A到直线 的距离为线段 的长， ；
故答案为： ．
（2）解： ，
点A到直线 的距离为线段 的长， ；
故答案为： ．
（3）解： ，
点 到直线 的距离为线段 的长， ；
故答案为： ．（4）解： ，
点 到直线 的距离为线段 的长， ；
故答案为： ．
（5）解： ，
点 到直线 的距离为线段 的长， ．
故答案为： ．
14．（2023下·广东东莞·七年级东莞市石碣袁崇焕中学校考阶段练习）如图，想在河堤两
岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是 ，理由是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短定义．首先观察图形，可以看出哪条线段是最短的，根据连
接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，结合 即可得到答案．
【详解】解：∵根据题意可知 ，
∴最短的是 ，
∴理由为：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
15．（2023下·全国·七年级专题练习）观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这
样的十条直线相交最多的交点个数有 ．
【答案】45
【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案．
【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10
=90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45，
故答案为：45．【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，
n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点．
16．（2023上·浙江·七年级专题练习）七巧板起源于宋代的“燕几图”，因其变化之式多
至千余，体物肖形，随手变幻，故世俗皆喜为之．数学活动小组用正方形纸片制作成图1
的七巧板，设计拼成图2的“花样滑冰”．现测得图1正方形纸片的对角线长为4，图2中
，则“花样滑冰”图案中，点A到 的距离为 ．
【答案】 / /
【分析】根据正方形的对角线相等且互相平分，结合图1可得 ，设
，则 ，根据 的长求出x的值，即可求出 的值，
的长即为点A到 的距离．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵图1正方形纸片的对角线长为4，可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点A到BC的距离为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，一元一次方程的应用，七巧板，解题的关键是求出
的长．
17．（2023下·河南焦作·七年级校考阶段练习）如图，有下列说法：①能与 构成同
旁内角的角的个数有2个，②能与 构成同位角的角的个数有2个；③能与 构成
同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .
【答案】①
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角
时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，
叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这
样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，
那么这样的一对角，叫做同旁内角．
【详解】解：与 构成同旁内角的是 ，有2个，故①正确；
与 构成同位角的角的是 ，有1个，故②错误；
与 构成同旁内角的角的是 ，有5个，故③错误；
故答案为：①．
【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念．
18．（2012下·七年级课时练习）如图，已知直线 ， 相交于O， 平分 ，
，则 ．【答案】 /35度
【分析】根据角平分线定义得到 ，根据对顶角性质得到 ．
本题主要考查了角平分线，对顶角．熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，是解决问题的
关键．
【详解】∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
19．（2023下·新疆阿勒泰·七年级校考期中）如图， ， ，垂足为 ，
经过点 ．求 、 的度数．
【答案】 ，
【分析】本题考查了几何图形中角度计算，涉及了垂直的定义和对顶角相等，首先根据对
顶角的性质得出 的度数，最后根据垂直的定义求出 ，根据角的和差求出∠2
的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
∴ ．
20．（2023下·湖北孝感·七年级校考期中）如图，直线 相交于点O， 把
分成两部分．
(1)直接写出图中 的对顶角为 ， 的邻补角为 ．
(2)若 ，且 ．求 的度数．
【答案】(1) ，
(2)135°
【分析】（1）根据对顶角和邻补角的概念求解即可；
（2）根据邻补角求得 的度数，根据对顶角求得 的度数，再根据比值，求得
的度数，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得： 的对顶角为 ， 的邻补角为
故答案为： ，
（2）由 可得 ， ，则
∵
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了对顶角相等，邻补角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等．
21．（2023下·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考开学考试）如图，点A、B、C、D在
正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1．按下述要求画图并回答问题：(1)作射线 ，连接 ；
(2)连结 ，并延长线段 到点 ，使 ，连结 ；
(3)过点 作直线 交射线 于点 ；
(4)过点 作线段 ，垂足为 ；
(5) 的面积为__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)
【分析】（1）以 为端点画射线 ，连接 ，作线段 即可；
（2）先画线段 ，再利用网格线的特点延长画线段 ， ，且满足 即可；
（3）利用网格线的特点画 ，交 于 即可；
（4）利用网格线的特点画 ，交 于 即可；
（5）利用三角形的面积公式直接计算即可．
【详解】（1）解：如图，射线 ，线段 即为所画的射线与线段，
；
（2）解：如（1）图，线段 即为所求作的线段，且 ；（3）解：如（1）图，直线 即为所求作的直线，由网格线的特点可得： ；
（4）解：如（1）图，线段 即为所求作的垂线段，由网格线的特点可得： ；
（5）解： ，
．
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是线段，射线的作图，利用网格线画平行线，画垂线，三角形的面积
的计算，掌握作图的基本方法与步骤以及理解作图语言是解本题的关键．
22．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）如图，已知 ， 相交于点 ， 于
点 ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查对顶角的定义、垂直的定义、角的和差关系及邻补角，熟练掌握对
顶角的定义、垂直的定义、角的和差关系及邻补角是解题的关键．由题意易得
，然后问题可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
23．（2023下·广东河源·七年级校考阶段练习）如图，直线 ， ， 相交于点 ．(1)写出 的邻补角．
(2)写出 ， 的对顶角．
(3)如果 ，求 ， 的度数．
【答案】(1) 的邻补角为 或 ．
(2) 的对顶角为 ， 的对顶角为 ．
(3) ，
【分析】（1）根据邻补角定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这
种关系的两个角，互为邻补角进行分析；
（2）根据对顶角定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向
延长线进行分析即可；
（3）根据邻补角互补、对顶角相等可得答案．
【详解】（1）解： 的邻补角是： ， ；
（2） 的对顶角是 ， 的对顶角是 ；
（3） ，
， ．
【点睛】此题主要考查了邻补角和对顶角，关键是掌握邻补角和对顶角的定义和性质．
24．（2023下·广东清远·七年级统考期中）如图，直线 相交于点O， ，垂
足为O．
(1)图中 的补角是____________________， 的对顶角是___________；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) 和 ； ；
(2) ．
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，即可解答；（2）先利用邻补角的性质求出 的度数，然后根据垂直定义可得 ，从而
利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】（1）解： 的邻补角是 和 ， 的对顶角是 ；
故答案为： 和 ；
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角的定义，邻补角的性质，垂线的定义，角的和与差．利
用数形结合的思想是解题关键．
25．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）按下述要求画图，并回答问题：
（1）作射线 ；
（2）延长线段 至点D，使 ；
（3）作 的垂线 ，垂足为点E；
（4）测量点C到 的距离，结果是_________厘米．
（测量结果以答题卡图形为准，精确到0.1厘米）
【答案】见解析
【分析】本题考查线段、射线、直线作图，注意线段、射线、直线的区别再根据题意作图
即可．
【详解】（4）测量结果以答题卡为准
26．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是
的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．(1)过点P画 的垂线，交 于点E；过点P画 的垂线，垂足为F；
(2)线段 的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所
以线段 这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
【答案】(1)图见解析
(2) ， ， ，垂线段最短
【分析】（1）如图，找点 ，连接 ，与 交点即为 ，过 点作竖直的线，与 交
点即为 ；
（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：由题意作图如下， 是 的垂线， 是 的垂线．
（2）解：线段 的长度是点P到 的距离，线段 的长度是点E到直线OB的距离，
由垂线段最短可知， ，
故答案为： ， ， ，垂线段最短．
【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
