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第 15 章 轴对称过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．根
据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重
合，进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选A．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，由等边得等角求解即可．
由AB=AC可得△ABC为等腰三角形，再根据顶角可求解底角即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵∠A=120°，
180°−120°
所以∠C=∠B= =30°．
2
故选：C ．3．在平面直角坐标系中，已知点P(3,4)，则点P关于x轴对称点P′的坐标为（ ）
A．(3,4) B．(4,3) C．(−3,4) D．(3,−4)
【答案】D
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标变化，熟练掌握坐标变换规律是解题的
关键．关于x轴对称的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：点P(3,4)关于x轴对称时，横坐标保持3不变，纵坐标变为原数的相反数，
即4变为−4，
因此，对称点P′的坐标为(3,−4)，
故选：D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°．若AC=2，则AB的长为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
【答案】B
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边等于斜
边的一半求解即可．
【详解】解：∵∠C=30°，∠B=90°，AC=2，
1
∴AB= AC=1．
2
故选B．
5．如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
△BCE的周长等于50，则BC的长是（ ）
A．22 B．23 C．32 D．33【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段
垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AE=BE，得到
AE+CE+BC=50，即AC+BC=50，求出BC=50−AC=50−27=23，即可得到答
案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵ △BCE的周长等于50，
∴BE+CE+BC=50，
∴ AE+CE+BC=50，即AC+BC=50，
∴ BC=50−AC=50−27=23，
故选：B．
6．如图，把△ABC折叠，使点B与点C重合，展开后得到折痕与BC交于点M，交AB于
点N，连接AM,CN，则下列结论正确的是（ ）
A．AM平分∠BAC B．AM⊥BC C．BN=CN D．
AM=CN
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一
点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
由题中折叠可知，MN为线段BC的垂直平分线，可得到BN=CN，即可求解．
【详解】解：由题中折叠可知，MN为线段BC的垂直平分线，
∴BN=CN，故C正确，符合题意，
其余选项均不能证明，不符合题意，
故选：C．
7．等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为4cm，
则该等腰三角形的腰长为（ ）A．1cm B．5cm C．9cm D．5cm或9cm
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程(2x+x)−(5+x)=4或
(5+x)−(2x+x)=4，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：如图，
设腰长为2x，一腰的中线为y，
则(2x+x)−(5+x)=4或(5+x)−(2x+x)=4，
解得：x=4.5，x=0.5，
∴2x=9或1，
①△ABC三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理；
②△ABC三边是1、1、9，1+1<9，不符合三角形三边关系定理；
所以，该等腰三角形的腰长为9cm，
故选：C．
8．如图，AB=10，BC=8，∠A=∠ACD，则△BCD的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定AD=CD是关键．
根据∠A=∠ACD，得AD=CD，则CD+BD=10，由此即可求解．
【详解】解：∵∠A=∠ACD，
∴AD=CD，∵AB=AD+BD=10，
∴CD+BD=10，
∴△BCD的周长是BD+DC+BC=10+8=18，
故选：A ．
9．银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成
了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核
心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要
求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ）
A．三角形的三条中线的交点处
B．三角形的三条角平分线的交点处
C．三角形的三条垂直平分线的交点处
D．三角形的三条高线的交点处
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，根据线段垂直平分线的性质定理，
即可求解．
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且交易中心到到三个
种植区的距离相等，
∴这个交易中心应建在三角形的三条垂直平分线的交点处．
故选：C．
10．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图1中
∠≝=20°，则图3中的∠CFE的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角相等是解题的关键．图1中，由题意知∠≝=∠EFB=20°，求出图
2中∠GFC=140°，图3中根据∠CFE=∠GFC−∠EFB求出度数．
【详解】解：图1中，∵纸带是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠≝=∠EFB=20°，∠EFC=180°−20°=160°，
∵折叠，
∴图3的∠GFC与图2的∠GFC相等，且图2与图3的∠EFB=20°，
在图2中，∠GFC=160°−∠EFB=160°−20°=140°，
在图3中，∠CFE=∠GFC−∠EFB=140°−20°=120°．
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点
E，若AE=2，则BE的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件．
由等腰三角形的性质可以求得AD⊥BC，以及∠B和∠C的度数，从而可以求得AD、
AB的长，从而可以求得BE的长，据此求解即可．
【详解】如图，连接AD，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=30°，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥AB于点E，EA=2，
∴∠DEA=90°，∠DEB=90°，
∴∠BAD=60°，∠EDA=30°，
∴AD=2AE=4，
∴AB=2AD=8，∴BE=AB−AE=8−2=6，
故答案为：6．
1
12．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为
2
半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若
∠B=30°，∠A=45°，则∠ACD的度数为 ．
【答案】75°/75度
【分析】先由基本尺规作图-作线段垂直平分线确定MN是线段BC的垂直平分线，再
由垂直平分线的性质及等腰三角形性质得到∠DCB=∠B=30°，在△ABC中，由三
角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
则∠DCB=∠B=30°，
在△ABC中，∠B=30°，∠A=45°，则∠ACB=180°−30°−45°=105°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=105°−30°=75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及基本尺规作图-作线段垂直平分线、垂直平分
线的性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，掌握基本尺规作图-作线段垂
直平分线的作法、灵活运用相关几何性质是解决问题的关键．
13．如图，D为△ABC的边AC上一点，点A关于直线BD对称的点E恰好在线段BC上，
连接DE，若AB=4,AC=6,BC=7，则△CDE的周长是 ．【答案】9
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是
解答本题的关键．
根据轴对称的性质得AD=DE，BE=AB=4，所以CE=BC−BE=3，最后根据
△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AD+CE=AC+CE，代入数据即可求解．
【详解】解：∵点A关于直线BD的对称点E恰好在线段BC上，AB=4，
∴AD=DE，BE=AB=4，
∴CE=BC−BE=7−4=3，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AD+CE=AC+CE=6+3=9，
故答案为：9．
14．如图，已知△ABC．小明和小亮两位同学合作一道尺规作图题：
1
小明：分别以点B和点C为圆心，以相同长（大于 BC）为半径作弧，两弧分别交于
2
点M和点N，作直线MN交AB于点D，连接CD．
小亮：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，与AB、AC分别交于E、F两点，再分
1
别以点E和点F为圆心，以相同长（大于 EF）为半径作弧，两弧交于点G，作射线
2
AG，交CD于点H．
若∠B=34°，∠ACB=72°，则∠AHD的大小为 ．
【答案】75°/75度【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等边对等角．由题意得
∠BAC=180°−∠B−∠ACB=74°，由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直
平分线，AG为∠BAC的平分线，可得∠B=∠BCD=34°，
1
∠DAH= ∠BAC=37°，则∠ADH=∠B+∠BCD=68°，进而可得
2
∠AHD=180°−∠ADH−∠DAH=75°．
【详解】解：∵∠B=34°，∠ACB=72°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=74°．
由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，AG为∠BAC的平分线，
1
∴∠B=∠BCD=34°，∠DAH= ∠BAC=37°，
2
∴∠ADH=∠B+∠BCD=68°，
∴∠AHD=180°−∠ADH−∠DAH=75°．
故答案为：75°．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分） 如图，在三角形ABC中，点D是AB上一点，且AC=CD=DB．
(1)若∠ACD=32°，求∠B的度数．
(2)若AB=BC，求∠B的度数．
【答案】(1)∠B=37°
(2)∠B=36°
【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握
相关知识点是解题的关键．
（1）由AC=CD得到∠A=∠ADC，结合∠ACD=32°，利用三角形内角和定理求
出∠ADC=74°，由CD=BD得到∠B=∠BCD，再利用三角形外角的性质即可求
出∠B的度数；
（2）设∠B=α，根据等边对等角和三角形外角的性质表示出∠A=∠ACB=2α，再利用三角形内角和定理列出方程，求出α的值即可解答．
【详解】（1）解：∵AC=CD，
∴∠A=∠ADC，
∵∠A+∠ADC=180°−∠ACD=180°−32°=148°，
∴∠ADC=74°，
∵CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵∠B+∠BCD=∠ADC，
∴2∠B=74°，
∴∠B=37°；
（2）解：设∠B=α，
∵AC=CD，CD=BD，
∴∠A=∠ADC，∠B=∠BCD=α，
∵∠ADC=∠B+∠BCD=2α，
∴∠A=∠ADC=2α，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB=2α，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴2α+2α+α=180°，
解得：α=36°，
∴∠B=36°．
16．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
(1)分别写出以下顶点的坐标：A________；B________；C________；
(2)作与△ABC关于y轴成轴对称的△A B C ．
1 1 1
(3)直接写出△ABC的面积________．
【答案】(1)(3,0)；(−4,3)；(−2,5)(2)见详解
(3)10
【分析】本题考查了画轴对称图形，点的坐标，利用网格求三角形的面积，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．
（1）认真读取图中的点的坐标，即可作答．
（2）根据轴对称图形的性质，找出点A ,B ,C ，再依次连接，即可作答．
1 1 1
（3）运用割补法进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，A(3,0),B(−4,3),C(−2,5)
故答案为：(3,0)；(−4,3)；(−2,5)
（2）解：△A B C 如图所示：
1 1 1
（3）解：△ABC的面积
1 1 1
=5×7− ×2×2− ×3×7− ×5×5=35−2−10.5−12.5=10．
2 2 2
17．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以点B为圆心，以BA为半径作弧，交
AC于点D，连接BD．
(1)请用尺规作线段CD的垂直平分线PQ（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)若PQ交BC于点E，连接DE，且AB=3，BC=7，求△BDE的周长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了画垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键；
（1）根据题意作线段CD的垂直平分线PQ，即可求解；
（2）根据作图可得AB=BD，根据垂直平分线的性质可得DE=CE，进而根据三角形
的周长公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，直线PQ即为所求．
（2）解：因为以点B为圆心，以BA为半径作弧，交AC于点D，所以AB=BD．
因为PQ垂直平分CD，所以DE=CE．
所以△BDE的周长为BD+BE+DE=AB+BC=10．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF=∠B，
分别与AB,AC相交于点E和点F．
(1)求证：∠BED=∠FDC；
(2)若DE=DF，求证：BE=CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质：
（1）根据三角形的内角和定理和平角的定义，即可得出结论；（2）证明△BDE≌△CFD，即可得证；
【详解】（1）证明：∵
∠B+∠BDE+∠BED=180°,∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠EDF=∠B，
∴∠BED=∠FDC；
（2）由（1）知：∠BED=∠FDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DE=DF，
∴△BDE≌△CFD，
∴BE=CD.
19．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°．
(1)利用尺规作图法作AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E；（保留作图痕迹，
不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，连接CD，求∠BCD的度数．
【答案】(1)作图见解析
(2)30°
【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等边对等角，线段垂直平分线的性
质，三角形的内角和定理，
对于（1），分别以点A，C为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点G，H，过这两个
点作直线，交AB,AC于点D，E，则直线GH即为所求作的直线；
对于（2），根据等边对等角得∠ACB=70°，再根据线段垂直平分线的性质得
AD=CD，即可求出∠ACD=40°，然后根据∠BCD=∠ACB−∠ACD求出答案.
【详解】（1）解：如图所示；（2）解：如图所示，
∵AB=AC,∠A=40°，
180°−40°
∴∠B=∠ACB= =70°.
2
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=30°.
20．（8分）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，过点A
作AD⊥BC，垂足为D，且BD=DE，连接AE．
(1)求证：AB=EC．
(2)若CD=8，AC=10，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的
两个端点的距离相等．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE=EC，AE=AB，进而证明AB=EC；（2）根据题意求出AB+BD=8，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC，
∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AE=AB，
∴AB=EC；
（2）解：∵AB=EC，BD=DE，
∴AB+BD=DE+EC=CD=8，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC=8+8+10=26．
21．（10分）定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对
的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，△MPQ与
△MPN有公共边MP和公共角∠M，且PQ=PN，则△MPQ与△MPN是双赢三角形．
如图2，在△ABC中，D是AB边上任意一点．
(1)若△ACD和△ACB是“双赢三角形”，∠BCD=42°，则∠B= ；
(2)如图3，延长CD到点E，连接AE和BE，∠ACD=∠ECB，
∠CDB+∠CBE=180°，AD=EB．
①试说明：△ACD与△ACB是“双赢三角形”；
②若BC=12，AC=18，求DE的长；
③若∠CAB=54°，∠ABC=78°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)69°
(2)①证明见解析；②DE=6；③132°
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内
角和与外角性质，熟练掌握相关的知识和方法并读懂新定义概念是解题的关键．
（1）利用新定义可得CB=CD，根据等边对等角求解；（2）①根据AAS证明△ADC≌△EBC可得CD=CB，据此证明即可；
②由△ADC≌△EBC得CE=AC=18，再利用线段和差求解即可；
③根据等腰三角形的性质，结合外角性质求∠ACE，再利用等腰三角形的性质求
∠AEC，最后利用角的和差求解即可．
【详解】（1）∵△ACD和△ACB是“双赢三角形”，
∴CB=CD，
180°−∠BCD
∴∠B=∠CDB= =69°，
2
故答案为：69°；
（2）①∵∠CDB+∠CBE=180°，∠CDB+∠CDA=180°，
∴∠CDA=∠CBE，
在△ADC和△EBC中，
{∠ACD=∠BCE
)
∵ ∠CDA=∠CBE ，
AD=EB
∴△ADC≌△EBC(AAS)，
∴CD=CB，
∴△ACD与△ACB是“双赢三角形”；
②由①得△ADC≌△EBC，
∴CE=AC=18，
又∵CD=CB=12，
∴DE=CE−CD=18−12=6；
③由①得CD=CB，
∴∠CDB=∠ABC=78°，
∵∠CDB=∠ACE+∠CAB，
∴∠ACE=∠CDB−∠CAB=78°−54°=24°，
由②得CE=AC，
180°−∠ACE
∴∠AEC=∠CAE= =78°，
2
由由①得△ADC≌△EBC，
∴∠CEB=∠CAB=54°，
∴∠AEB=∠AEC+∠CEB=78°+54°=132°．
