学科网（北京）股份有限公司
1 /
3.4 一元一次不等式的应用
题型一：列一元一次不等式
1．（24-25 八年级下·四川成都·期末）2025年U20亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足
球联赛，每一支队伍需要进行24 场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0 分，其中一支队伍在前
20 场比赛中，负2 场，积分超过了48 分，设该球队胜了x 场，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
(
)
3
20
48
x
x
+
−
B．
(
)
3
18
48
x
x
+
−
C．
(
)
3
20
48
x
x
+
−
D．
(
)
3
18
48
x
x
+
−
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是正确理解题意．
设该球队前20 场比赛中胜了x 场，由负1场，可知平了(
)
18
x
−
场，根据积分超过了48 分，列出不等式即可．
【详解】解：根据题意，得
(
)
3
18
48
x
x
+
−
故选：B．
2．（24-25 七年级下·广东东莞·阶段练习）某超市花费750 元购进草莓100 千克，销售中有10% 的正常损耗，
为避免亏本(其他费用不考虑)，售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x 元，根据题意所列不等式
学科网（北京）股份有限公司
2 /
正确的是( )
A．
(
)
100 1 10%
750
x
−
B．
(
)
100 1 10%
750
x
+
C．
(
)
100 1 10%
750
x
+
D．
(
)
100 1 10%
750
x
−
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，利用销售收入=销售单价×销售数量，结合为避免
亏本（即销售收入不低于进货总价），即可列出关于x 的一元一次不等式，此题得解．
【详解】解：根据题意得：
(
)
100 1 10%
750
x
−
．
故选：A．
3．（24-25 八年级下·河南郑州·阶段练习）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往
往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高(
)
m
x
的范围可表示为（ ）.
A．
4.5
x
B．
4.5
x
C．
4.5
x
D．
4.5
x
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
根据不等式的定义解答即可．
【详解】解：由题意可得，
4.5
x
．
故选：C．
4．（24-25 八年级下·贵州毕节·阶段练习）燃放某种烟花时，为了确保安全，燃放者在点燃引火线后要在燃
放前转移到10m 以外的安全区域．已知引火线的燃烧速度0.02m/s，燃放者离开的速度为4m/s，那么引火线
的长度应满足什么条件？设引火线的长度为cm
x
（ ）
A．
10
0.02 100
4
x
B．
10
0.02 100
4
x
C．
10
0.02 100
4
x
D．
10
0.02 100
4
x
【答案】B
【分析】此题属于一元一次不等式应用题，解题的关键是理解题意，找出不等关系．
设引火线的长度为cm
x
，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】解：设引火线的长度为cm
x
，根据题意得：
学科网（北京）股份有限公司
3 /
10
0.02 100
4
x
．
故选：B
5．（24-25 七年级下·山东青岛·期末）太原地铁“一号线”正在进行修建，预计2024年年底通车试运营，标
志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7 辆，
该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6 辆，若购进载重
量为8吨的卡车a 辆，则a 需要满足的不等式为（ ）
A．(
)
(
)
8 5
10 7
6
166
a
a
+
+
+
−
B．(
)
(
)
8 5
10 7
6
166
a
a
+
+
+
−
C．
(
)
8
10 6
166
a
a
+
−
D．
(
)
8
10 6
166
a
a
+
−
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意可得载重量为8吨的卡车共有(
)
5
a
+
辆，
载重量为10吨的卡车共有(
)
7
6
a
+
−
辆，再根据题意列出不等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关
键．
【详解】解：由题意得，(
)
(
)
8 5
10 7
6
166
a
a
+
+
+
−
，
故选：A ．
6．（24-25 七年级下·湖南常德·期末）2025 年3 月12 日是我国的第47 个植树节，为划定常德市生态保护
的边界，《常德市国土空间总体规划(2021
2035
−
年) 》明确生态保护红线面积不低于3173.75平方千米．若
用(
x 平方千米) 表示生态保护红线面积，则x 满足的关系为（ ）
A．
3173.75
x
B．
3173.75
x
C．
3173.75
x
D．
3173.75
x
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的应用，根据题意，生态保护红线面积不低于3173.75平方千米，即大于等于
3173.75平方千米，即可得出
3173.75
x
，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，生态保护红线面积不低于3173.75平方千米，即大于等于3173.75平方千米，
∴
3173.75
x
，
学科网（北京）股份有限公司
4 /
故选：D．
7．（24-25 七年级下·湖南永州·期末）2025年道州龙船赛期间，为满足停车需要，组委会要求施工方将观
礼台附近
2
600m 的空地平整为临时停车位，完成平整时间是3小时内．开始的半小时，由于天气原因，只平
整了
2
60m ．若施工方在剩余时间内每小时平整土地
2
m
x
，则根据题意可列不等式为（ ）
A．
(
)
60
3
0.5
600
x
+
−
B．
(
)
60
3
0.5
600
x
+
−
C．600 60
0.5
3
x
−
−
D．0.5 600 60
3
x
+
−
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设施工方在剩余时间内每小时平整土地
2
m
x
，根据题意列不
等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关键．
【详解】解：设施工方在剩余时间内每小时平整土地
2
m
x
，
由题意得，
(
)
60
3
0.5
600
x
+
−
，
故选：A ．
8．
（24-25 七年级下·吉林长春·期末）一个工程队原定在10 天内至少要挖土
3
600m ，前两天一共完成了
3
120m ，
由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问：后6 天内平均每天至少要挖土多少立方米？若
设后6 天内平均每天要挖土
3
m
x
，根据题意可列不等式为（ ）
A．120
6
600
x
+
B．120
6
600
x
+
C．120
6
600
x
+
D．120
6
600
x
+
【答案】A
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，根据题意，工程队原计划10 天内至少挖土600 立方米，前两
天完成120 立方米后，因工期提前两天，剩余任务需在接下来的6 天内完成．设后6 天每天挖土x 立方米，
则总挖土量为前两天完成的量加上后6 天的量，应至少达到600 立方米．由此可列不等式．
【详解】解：总任务量：原计划10 天内至少挖土600 立方米．
已完成量：前两天共完成120 立方米．
剩余时间：总工期提前两天后变为8 天，已用2 天，剩余8
2
6
−
=
天．
列不等式：后6 天每天挖土x 立方米，总挖土量为120
6x
+
，需满足至少600 立方米，即120
6
600
x
+
，
故选：A
题型二：一元一次不等式实际应用之积分问题
1．（24-25 七年级下·湖北荆州·期末）在一场篮球比赛中，某队罚篮得分为10分，投进2 分球和3分球共48
学科网（北京）股份有限公司
5 /
个．如果这支球队在本场比赛中总得分超过115分，那么他们至少投进（ ）个3分球．
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找出数量关系，设投进x 个3分球，则2 分球投
进(
)
48
x
−
个，根据总得分超过115分立不等式，求解后确定x 的最小整数值．
【详解】解：设投进x 个3分球，则2 分球投进(
)
48
x
−
个，
根据题意得：
(
)
10
2 48
3
115
x
x
+
−
+
解得：
9
x
x 为整数，
至少投进10个3分球。
故选：C．
2．（24-25 七年级下·湖北襄阳·期末）七年级举办古诗词知识竞赛，共有20 道题，每一题答对得10分，答
错或不答都扣5分．规定初赛成绩超过90分晋级，如果要晋级，至少要答对的题数是（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设答对x 道题，则答错或不答的题数为(
)
20
x
−
道，根据题意
得
(
)
10
5 20
90
x
x
−
−
，然后解不等式且检验即可，读懂题意，找出不等关系，列出一元一次方程是解题的
关键．
【详解】解：设答对x 道题，则答错或不答的题数为(
)
20
x
−
道，
根据题意，
(
)
10
5 20
90
x
x
−
−
，
190
2
12
15
3
x
=
，
∵x 为整数，
∴
13
x
，
∴至少需答对13道题，
故选：C ．
3．（24-25 八年级下·河南平顶山·期末）某校组织开展消防安全知识竞赛活动，共25 道题，选对一题得4
学科网（北京）股份有限公司
6 /
分，不选或选错一题扣2 分，若得分不低于60 分可得奖，则要得奖至少应选对的题数是（ ）
A．20
B．19
C．18
D．17
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的
量的不等量关系．设应选对x 道题，则不选或错选的有(
)
25
x
−
道，根据题意列不等式求解即可．
【详解】解：设应选对x 道题，则不选或错选的有(
)
25
x
−
道，
依题意得：
(
)
4
2 25
60
x
x
−
−
，
解得：
1
183
x
，
∵x 是正整数，
∴至少应选对19 道题才能获奖，
故选：B．
4．（24-25 七年级下·江苏苏州·阶段练习）某校航空兴趣小组开展了航空航天知识竞赛，共有20 道题目，
答对一题得5 分，答错一题扣3 分，小颖的得分在76 分以上（含76 分），则她至少答对了 道
题．
【答案】17
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据得分条件建立不等式是解题的关键．设答对题数为x，根
据小颖“得分在76 分以上（含76 分）”使用符号列不等式求解即可．
【详解】解：设她答对了x 道题，根据题意，得
(
)
5
3 20
76
x
x
−
−
，
解得，
17
x
，
故答案为：17 ．
5．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）七年级举办数学解题竞赛，共有20 道题，每一题答对得10 分，答错
或不答扣5 分．规定初赛成绩超过100 分晋级决赛，小明参加了本次竞赛活动，若小明想晋级决赛，则他
至少答对 道题．
【答案】14
【分析】本题考查了不等式的应用，熟练掌握解不等式是解题的关键．设答对了x 道，答错或不答有(
)
20
x
−
道，根据题意，得
(
)
10
5 20
100
x
x
−
−
，解答即可．
学科网（北京）股份有限公司
7 /
【详解】解：设要答对了x 道，答错或不答有(
)
20
x
−
道，
根据题意，得
(
)
10
5 20
100
x
x
−
−
，
解得
40
3
x
又x 是正整数，
故x 的最小值为14，
答：参赛人员最少需要答对14道题才能晋级．
故答案为：14．
6．（24-25 七年级下·河北廊坊·期末）为了增强同学们的环保意识，学校举行了以“环保知多少”为主题的知
识竞赛，分笔试和面试两个环节，通过笔试选拔优秀选手参加面试．每个环节的竞赛题都是25 道题，满分
100 分．计分规则为：每道题答对得4 分，答错扣1 分，不答得0 分．
(1)笔试环节，一位参赛同学答对的题数是不答的题数的5 倍，得分为79 分，则该同学答对、答错和不答的
题分别有多少道？
(2)面试环节，若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于92 分才可以被评为“环保知识小达人”，
则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“环保知识小达人”？
【答案】(1)该同学答对20 道题，答错1 道题，不答4 道题
(2)参赛者至少需答对24 道题才能被评为“环保知识小达人”
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方
程组和不等式是解题的关键．
（1）设该同学答对x 道题，答错y 道题，则不答的题有(
)
25
x
y
−
−
道，根据一共得79 分建立方程组求解即
可；
（2）设参赛者答对n 道题，则答错了(25
)
n
−
道题，根据得分不少于92 分建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该同学答对x 道题，答错y 道题，则不答的题有(
)
25
x
y
−
−
道．
根据题意，得
(
)
5 25
4
79
x
x
y
x
y
=
−
−
−
=
，
解得
20
1
x
y
=
=
，
25
25
20
1
4
x
y
−
−
=
−
−=
．
答：该同学答对20 道题，答错1 道题，不答4 道题；
学科网（北京）股份有限公司
8 /
（2）解：设参赛者答对n 道题，则答错了(25
)
n
−
道题．
依题意，得
(
)
4
25
92
n
n
−
−
解得
117
5
n
，即
2
235
n
n
为正整数，
n
的最小值为24．
答：参赛者至少需答对24 道题才能被评为“环保知识小达人”．
7．（23-24 八年级下·山东菏泽·期末）4 月 26 日我校举办了一年一度的科技节，科技节是我校为学生搭建
科技创新平台，展现师生科技创新形象及科学素养的重大节日．数学组将组织开展“数学知识”竞赛，各班选
派一名同学参加．其中某一环节共有20 道题，答对一题得5 分，答错或不答每题扣3 分，得分不低于60
分将有奖品赠送．如果皓皓想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？
【答案】他至少需要答对15 道题
【分析】本题主要考查了不等式的应用，设他需要答对x 道题，根据得分不低于60 分将有奖品赠送，列出
不等式，解不等式即可．
【详解】解：设他需要答对x 道题，则答错(
)
20
x
−
道题，根据题意得：
(
)
5
3 20
60
x
x
−
−
，
解得：
15
x
，
答：他至少需要答对15 道题．
题型三：一元一次不等式实际应用之打折销售问题
1．（24-25 七年级下·河南郑州·开学考试）一件皮衣的进价是800 元，标价是1440 元，结果没有人来买，
店主决定打折出售，但希望利润不低于35%，请问这件皮衣最多可以打（ ）折
A．五五
B．六折
C．六五
D．七五
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意找出不等关系，列出不等式是解题关键．设这件皮衣
打x 折，根据题意“利润不低于35%”列出不等式解出x 的范围即可．
【详解】解：设这件皮衣打x 折．
由题意可列1440
800
800 35%
10
x
−
解得：
7.5
x
学科网（北京）股份有限公司
9 /
这件皮衣最多可以打七五折．
2．（24-25 八年级下·福建漳州·阶段练习）某品牌手机进价为每台1600元，标价为每台2400元．店庆期间，
商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最低可打（ ）折
A．六
B．七
C．八
D．九
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一
次不等式是解题的关键．设该品牌手机能打x 折，则根据利润率不低于5%，可得出一元一次不等式，解出
即可得出答案．
【详解】解：设该品牌手机能打x 折，
由题意得2400
1600
1600 5%
10
x
−
，
解得：
7
x
，即最低可打7 折．
故选：B．
3．（24-25 七年级下·四川绵阳·期末）某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加
销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打（ ）
A．8折
B．6 折
C．8.5折
D．9折
【答案】A
【分析】此题考查一元一次不等式的应用，能根据题意列出不等式是解题的关键．
设打x 折，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】设打x 折，由题得，
(
)
100 1 50
100
100 20
10
x
%
%
+
−
，
解得
8
x
，
至多可以打8 折．
故选：A．
4．（24-25 七年级下·山西大同·期末）商场为答谢顾客，进行打折促销活动，某品牌一级能效空调进价为每
台2000 元，标价为每台2750 元．为保证利润率不低于10% ，则最多可打（ ）
A．九折
B．八折
C．七折
D．六折
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设该商品打x 折，根据利润等于标价乘以折扣减去进
价列出不等式求解即可．
【详解】解：设该商品打x 折，
学科网（北京）股份有限公司
10 /
由题意得，2750
2000
2000 10%
10
x
−
，
解得
8
x
，
∴x 的最小值为8，
∴最多可打八折，
故选：B．
5．（24-25 八年级下·甘肃张掖·阶段练习）进价为200 元的商品，标价是300 元，要使利润率不能少于5%，
那么这种商品最多可以按 折销售？
【答案】七/7
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设这种商品按x 折销售，根据利
润率不低于5%建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：设这种商品按x 折销售，
由题意得：300 0.1
200
5%
200
x
−
，
解得
7
x
，
则这种商品最多能按七折销售，
故答案为：七．
6．（24-25 八年级下·广东揭阳·阶段练习）某种商品的进价为880 元，出售时标价为1200 元，后来由于该
商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打 折．
【答案】七七
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，正确列出不等式．
设打了x 折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．
【详解】解：设打x 折
则1200
880
880 5%
10
x
−
，
解得
7.7
x
，
即最多可打七七折．
故答案为：七七．
7．（24-25 七年级下·江苏无锡·阶段练习）某种商品的进价为40 元，出售时标价为60 元，后来由于该商品
积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打 折．
【答案】七/7
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
学科网（北京）股份有限公司
11 /
关键．设商店打x 折销售，利用利润= 销售价格−进价，结合要保证利润率不低于5%，即可得出关于x 的
一元一次不等式，求解即可得出结论．
【详解】解：设商店打x 折销售，
依题意得：60
40
40 5%
10
x
−
，
解得：
7
x
．
故答案为：七．
8．（24-25 八年级下·贵州贵阳·阶段练习）某品牌护眼灯的进价为1000 元，商店的标价1500 元．“五一节”
期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则最低可打 折．
【答案】8/八
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设该护眼灯打x 折销售，根据利润= 售价−进价= 进价利润率
列不等式求解即可．
【详解】解：设该护眼灯打x 折销售，
根据题意，得1500
1000
1000 20%
10
x −
，
解得
8
x
，
故该护眼灯最低可打8折．
故答案为：8．
题型四：一元一次不等式实际应用之利润销售问题
1．（24-25 八年级下·山西太原·期末）山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有700 余年历史．其核心产地为
吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全
国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共100盒，已知黄米粽每盒利润为10元，江米粽每盒
利润为20 元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于1600元，则最多能购进黄米粽 盒．
【答案】40
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进x 盒黄米粽，则购进(
)
100
x
−
盒江米粽，利用总利润=
每盒黄米粽的销售利润购进黄米粽的数量+ 每盒江米粽的销售利润购进江米粽的数量，结合总利润不低
于1600元，可列出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．根据各数量之间的关
系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设购进x 盒黄米粽，则购进(
)
100
x
−
盒江米粽，
学科网（北京）股份有限公司
12 /
根据题意得：
(
)
10
20 100
1600
x
x
+
−
，
解得：
40
x
，
∴x 的最大值为40 ，
∴最多能购进黄米粽40 盒．
故答案为：40 ．
2．（2025·福建泉州·二模）某食品零售店计划购进100 千克软糖，第一次购进A 软糖m 千克，进价为每千
克12 元；第二次购进B 软糖(
)
100
m
−
千克，进价为每千克18 元；现将两种软糖混合后以每千克15 元出售，
若商店售完这些软糖能够盈利，且正整数m 是10 的倍数，则m 的值可以是 （只要写出一个满足条件
的m 即可）
【答案】60
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据商店售完这些软糖能够盈利，可列出关于m 的一元一次
不等式，解之可得出m 的取值范围，结合100
m
−
为正整数且正整数m 是10 的倍数，可得出m 的值，任取
其一即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：
(
)
(
)
15
100
12
18 100
m
m
m
m
+
−
+
−
，
解得：
50
m
，
又∵100
m
−
为正整数，且正整数m 是10 的倍数，
∴m 可以为60，70，80，90．
故答案为：60（答案不唯一）．
3．（24-25 九年级下·山西吕梁·阶段练习）扫拖一体机集扫地、拖地、吸尘等多种功能于一体，深受广大消
费者的青睐．某款扫拖一体机的进价为500元一台，商店按进价提高20%的价格出售，在“618年中大促”活
动中，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于15% 的价格降价出售，则该扫拖一体机每台最多可降价多
少元？
【答案】25 元．
学科网（北京）股份有限公司
13 /
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据各数量之间的关系，列出一元一次不
等式．设该扫拖一体机每台可降价x 元，利用利润= 售价- 进价，结合利润率不低于15% ，可列出关于x 的
一元一次不等式，求出不等式的解集，并在解集范围内取最大值即可．
【详解】解：设该扫拖一体机每台可降价x 元，
根据题意得：
(
)
500
1
20%
500
500 15%
x
+
−
−
，
解得：
25
x
，
x
的最大值为25 ．
答：该扫拖一体机每台最多可降价25 元．
4．（2025·江西赣州·模拟预测）为迎接端午节水果销售旺季，某商家计划购进甲、乙两种水果进行销售，
甲种水果的进价为10元/千克，乙种水果的进价为20 元/千克．甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售
价为26 元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共500千克，要使总销售利润不低于2400元，则甲种水果最多
购进多少千克？
【答案】甲种水果最多购进300千克
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．理解题意并列出正确的不等式关系是解题的关键．
根据题意列出不等式并计算即可．
【详解】解：设甲种水果购进a 千克，依题意，
得(
)
(
)(
)
14 10
26
20
500
2400
a
a
−
+
−
−
，解得：
300
a
．
答：甲种水果最多购进300千克．
5．（25-26 八年级上·全国·期末）阅读下列素材，完成任务．
如何设计水果的购进方案
素材1
某水果店计划用9600 元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优
红”的进价比“晨香”高4 元/千克，用1800 元能购进的“左优红”和用1200 元能
购进的“晨香”一样多．
素材2
根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利
润的1.25 倍，同样获得120 元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左
优红”葡萄多3 千克．
问题解决
学科网（北京）股份有限公司
14 /
任务1
确定进价：求两种葡萄每千克的进价；
任务2
确定利润：求两种葡萄每千克的利润；
任务3
确定购进方案：若要使总利润不低于9000 元，则最多能购进“左优红”葡萄多
少千克？
【答案】任务1：“左优红”葡萄的进价为12 元/千克，“晨香”葡萄的进价为8 元/千克；
任务2：“左优红”葡萄的利润为10 元/千克，“晨香”葡萄的利润为8 元/千克；
任务3：若要使总利润不低于9000 元，则最多能购进“左优红”葡萄300 千克．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，寻找等量关系或不等关系
是解题的关键；
（1）设“左优红”葡萄的进价为x 元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可；
（2）设“晨香”葡萄的利润为a 元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可；
（3）设购进“左优红”葡萄m 千克，根据题意，列不等式，解不等式即可．
【详解】解：任务1：设“左优红”葡萄的进价为x 元/千克，则“晨香”葡萄的进价为(
)
4
x −
元/千克．
由题意，得1800
1200
4
x
x
=
−
，
解得
12
x =
，经检验，
12
x =
是原分式方程的解，且符合题意，则
4
12
4
8
x−
=
−
= ．
答：“左优红”葡萄的进价为12 元/千克，“晨香”葡萄的进价为8 元/千克．
任务2：设“晨香”葡萄的利润为a 元/千克，则“左优红”葡萄的利润为1.25a 元/千克．
由题意，得120
120
3
1.25
a
a
−
= ，解得
8
a = ，
经检验，
8
a = 是原分式方程的解，且符合题意，则1.25
1.25 8
10
a =
=
．
答：“左优红”葡萄的利润为10 元/千克，“晨香”葡萄的利润为8 元/千克．
任务3：设购进“左优红”葡萄m 千克，购进“晨香”葡萄n 千克，
由题意，得12
8
9600
m
n
+
=
，
2400 3
2
m
n
−
=
，
若要使利润不低于9000 元，则10
8
9000
m
n
+
，即
2400
3
10
8
9000
2
m
m
−
+
，
解得
300
m
，
m
的最大值为300．
学科网（北京）股份有限公司
15 /
答：若要使总利润不低于9000 元，则最多能购进“左优红”葡萄300 千克．
6．（24-25 七年级下·山西临汾·期末）某科技公司研发出新型智能手表和智能手环，准备投入生产销售．若
生产2 只智能手表和3 只智能手环的总成本为1600 元，生产3 只智能手表和1 只智能手环的总成本为1700
元．
(1)求生产每只智能手表和每只智能手环的成本分别是多少元？
(2)已知智能手表的售价为每只800 元，智能手环的售价为每只350 元．公司计划生产这两种产品共100 只，
为了使总利润不低于25000 元，该公司至少应生产多少只智能手表？（利润= 售价−成本）
【答案】(1)生产每只智能手表的成本是500 元，生产每只智能手环的成本是200 元
(2)该公司至少应生产67 只智能手表
【分析】此题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题
的关键；
（1）设生产每只智能手表的成本为x 元，生产每只智能手环的成本为y 元．根据题意列方程组求解；
（2）设该公司生产智能手表m 只，则生产智能手环(
)
100
m
−
只，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设生产每只智能手表的成本为x 元，生产每只智能手环的成本为y 元．
根据题意可列方程组：
2
3
1600
3
1700
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得：
500
200
x
y
=
=
．
答：生产每只智能手表的成本是500 元，生产每只智能手环的成本是200 元．
（2）解：设该公司生产智能手表m 只，则生产智能手环(
)
100
m
−
只．
可列不等式：(
)
(
)(
)
800
500
350
200 100
25000
m
m
−
+
−
−
，
解得：
200
3
m
，
即
2
66 3
m
，
因为m 为产品数量，应为整数，所以m 的最小值为67．
答：该公司至少应生产67 只智能手表．
7．（24-25 七年级下·河北石家庄·期末）为进一步提升摩托车和电动自行车骑乘人员的安全防护水平，公安
部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，某商店销售A，B 两种头盔，批发价和零售价如表
所示．
A 种头
B 种头
学科网（北京）股份有限公司
16 /
盔
盔
批发价（元／个）
60
40
零售价（元／个）
80
50
(1)该商店第一次批发两种头盔共120 个，用去5600 元，求A，B 两种头盔各批发了多少个？
(2)该商店第二次仍然批发这两种头盔共200 个进行销售（批发价和零售价不变），若将两次批发的两种头
盔全部售完后，所获利润不低于3960 元，求A 种头盔第二次最少采购多少个？
【答案】(1)第一次批发A 种头盔40 个，批发B 种头盔80 个
(2) A 种头盔第二次最少采购36 个
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设第一次批发A 种头盔x 个，批发B 种头盔y 个，根据第一次批发两种头盔共120 个，用去5600 元，
列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该商店第二次采购了m 个A 种头盔，则采购了(200
)
m
−
个B 种头盔，根据将两次批发的两种头盔全
部售完后，所获利润不低于3960 元，结合批发价和零售价，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设第一次批发A 种头盔x 个，批发B 种头盔y 个，依题意得：
120
60
40
5600
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
40
80
x
y
=
=
．
答：第一次批发A 种头盔40 个，批发B 种头盔80 个．
（2）解：设第二次采购m 个A 种头盔，则采购(200
)
m
−
个B 种头盔，
根据题意得：(80
60)(
40)
(50
40)(200
80)
3960
m
m
−
+
+
−
−
+
，
解得：
36
m
，
m
为非负整数，
m
的最小值为36．
答：A 种头䀁第二次最少采购36 个．
8．（24-25 七年级下·山西临汾·阶段练习）近年来，我国国防力量在多个领域取得了显著的发展，国产飞机
模型很受国人喜爱．某商店计划购进两款飞机模型：A 款是歼20
−
隐身战斗机，B 款是运20
−
大型运输机．每
学科网（北京）股份有限公司
17 /
个A 款模型的进价比每个B 款模型的进价多5 元，3 个A 款模型和4 个B 款模型的购买金额一样．
(1)求每个A 款模型和B 款模型的进价分别是多少？
(2)商店购进A，B 两款飞机模型共50个．
①若总购买金额不超过900元，则最多购进A 款模型多少个？
②若商店把这50个模型全部售出，每个A 款模型和B 款模型的零售价分别是30元和20 元，为使商店的利
润不低于382元，请直接写出商店至少购进多少个A 款模型．
【答案】(1)每个A 款模型和B 款模型的进价分别是20 元和15元
(2)①30；②27 个
【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的数量关系列出方
程和不等式．
（1）设每个B 款模型的进价为x 元，则A 款模型的进价为
5
x + 元，根据题意列方程求解；
（2）①据总购买金额不超过900元的条件，设购进A 款模型的数量，列不等式求解；
②根据利润不低于382元的条件，设购进A 款模型的数量，列不等式求解．
【详解】（1）解：设每个B 款模型的进价为x 元，则A 款模型的进价为
5
x + 元，
根据题意，3(
5)
4
x
x
+
=
，解得
15
x =
．
因此，A 款进价为15 5
20
+ =
元，B 款进价为15元．
答：每个A 款模型的进价是20 元，每个B 款模型的进价是15元．
（2）解：①设购进A 款模型a 个，则B 款模型为50
a
−
个．
根据题意，得20
15(50
)
900
a
a
+
−
，解得
30
a
．
最多购进A 款模型30个．
答：最多购进A 款模型30个．
②设购进A 款模型n 个，则购进B 款模型(50
)
n
−
个．
A 款模型每个利润为30
20
10
−
=
元，B 款模型每个利润为20 15
5
−
= 元，
总利润不低于382元，可列不等式10
5(50
)
382
n
n
+
−
，
解得
26.4
n
．
学科网（北京）股份有限公司
18 /
因为n 为整数，所以n 的最小值为27 ．
答：商店至少购进27 个A 款模型．
题型五：一元一次不等式实际应用之方案问题
1．（24-25 七年级下·福建福州·阶段练习）某商场在销售、A、B 两种型号玩具，已知购买1 个A 型玩具和
2 个B 型玩具共需200 元；购买2 个A 型玩具和1 个B 型玩具共需280 元．
(1)求一个A 型玩具和一个B 型玩具的价格各是多少元？
(2)某公司准备购买这两种型号的玩具共20 个送给幼儿园，且购买金额不能超过1000 元，若要求A、B 两种
型号玩具都要购买，请你帮该公司设计一个最省钱的购买方案．
【答案】(1)一个A 型玩具的价格为120 元，一个B 型玩具的价格为40 元
(2)购买A 型玩具1 个，B 型玩具19 个费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设一个A 型玩具的价格为x 元，一个B 型玩具的价格为y 元，根据“购买1 个A 型玩具和2 个B 型玩具
共需200 元；购买2 个A 型玩具和1 个B 型玩具共需280 元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解
之即可得出结论；
（2）设购买m 个A 型玩具，则购买(
)
20
m
−
个B 型玩具，根据购买金额不能超过1000 元，即可得出关于m
的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各购买方案，再求出两种方
案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设一个A 型玩具的价格为x 元，一个B 型玩具的价格为y 元，
依题意，得：
2
200
2
280
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
120
40
x
y
=
=
．
答：一个A 型玩具的价格为120 元，一个B 型玩具的价格为40 元．
（2）解：设购买m 个A 型玩具，则购买(
)
20
m
−
个B 型玩具，
依题意，得：
(
)
120
40 20
1000
m
m
+
−
，
解得：
2.5
m
．
∵m 为非正整数，要求A、B 两种型号玩具都要购买，
∴m = 1，2．
学科网（北京）股份有限公司
19 /
∴共有2 种购买方案，
方案1：购买A 型玩具1 个，B 型玩具19 个，费用为120 19 40
880
+
=
元；
方案2：购买A 型玩具2 个，B 型玩具18 个，费用为2 120 18 40
960
+
=
元；
∵880
960
，
∴方案1 购买A 型玩具1 个，B 型玩具19 个费用最少．
2．（24-25 八年级下·河南周口·阶段练习）近年来，河南省委、省政府十分重视生态环境保护．某公交公司
计划购买A 型和B 型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买A 型公交车2 辆，B 型公交车1 辆，共需600
万元；若购买A 型公交车3 辆，B 型公交车2 辆，共需1020 万元．
(1)求A 型和B 型公交车每辆的价格各为多少万元；（用二元一次方程解答）
(2)若该公交公司计划购买A 型和B 型公交车共12 辆，使其总费用少于2460 万元，则最少应购买A 型公交
车多少辆？这种购车方案共花费多少钱？
【答案】(1) A 型公交车每辆的价格为180 万元，B 型公交车每辆的价格为240 万元
(2)最少应购买A 型公交车8 辆，共花费2400万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解与应用，一元一次不等式的求解与应用，根据题意设出未知数
并列式是解决本题的关键．
（1）设出未知数，根据题目所花费的费用列二元一次方程组求解即可．
（2）设出A 型公交车a 辆，由A 型和B 型公交车共12 辆，可得B 型公交车的数量，再根据总费用列一元一
次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A 型公交车每辆的价格为x 万元，B 型公交车每辆的价格为y 万元．
由题意，得
2
600
3
2
1020
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得
180
240
x
y
=
=
．
答：A 型公交车每辆的价格为180 万元，B 型公交车每辆的价格为240 万元．
（2）解：设购买A 型公交车a 辆，则购买B 型公交车(
)
12
a
−
辆．
由题意，得
(
)
180
240 12
2460
a
a
+
−
．解得
7
a
．
∴最少应购买A 型公交车8 辆．
则购买B 型公交车的辆数为12
4
a
−
=
．
这种购车方案共花费8 180
240 4
2400
+
=
（万元）．
3．（24-25 七年级下·广东广州·期末）某校七年级560名学生和11位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆，
客运公司有A 、B 两种型号的客车可供租用.已知满员时，1辆A 型客车和1辆B 型客车每次可运送96人；3
学科网（北京）股份有限公司
20 /
辆A 型客车和2 辆B 型客车每次可运送232 人．
(1)求A 型客车和B 型客车的载客量分别是多少人？
(2)学校计划租用11辆客车，一次运送全部师生到历史博物馆．
①最多可以租用多少辆A 型客车？
②若A ，B 两种型号客车的租金分别是1000元和1200元，则共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
【答案】(1) A 型客车的载客量为40 人，B 型客车的载客量为56人；
(2)①最多可以租用2 辆A 型客车；②共有3种租车方案，租用2 辆A 型客车，9辆B 型客车的租金最低
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用；
（1）设A 型客车的载客量为x 人，B 型客车的载客量为y 人，根据1辆A 型客车和1辆B 型客车每次可运送96
人；3辆A 型客车和2 辆B 型客车每次可运送232 人；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）①设可以租用m 辆A 型客车，则可以租用(
)
11 m
−
辆B 型客车，根据一次运送全部师生到历史博物馆，
列出一元一次不等式，解不等式即可；
②由①可知，
0
m =
，1，2 ，共有3种租车方案，再分别求出3种方案的租金，然后比较即可．
【详解】（1）解：设A 型客车的载客量为x 人，B 型客车的载客量为y 人，
根据题意得：
96
3
2
232
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
40
56
x
y
=
=
，
答：A 型客车的载客量为40 人，B 型客车的载客量为56人；
（2）解：①设可以租用m 辆A 型客车，则可以租用(
)
11 m
−
辆B 型客车，
由题意得：
(
)
40
56 11
560 11
m
m
+
−
+
，
解得：
13
216
m
，
m
为非负整数，
m
的最大值为2 ，
答：最多可以租用2 辆A 型客车；
②由①可知，
0
m =
，1，2 ，
共有3种租车方案：
方案1：租用11辆B 型客车，租金为1200 11
13200(
=
元) ；
学科网（北京）股份有限公司
21 /
方案2 ：租用1辆A 型客车，10辆B 型客车，租金为1000 1 1200 10
13000(
+
=
元) ；
方案3：租用2 辆A 型客车，9辆B 型客车，租金为1000
2
1200 9
12800(
+
=
元) ；
13200
13000
12800
，
租用2 辆A 型客车，9辆B 型客车的租金最低，
答：共有3种租车方案，租用2 辆A 型客车，9辆B 型客车的租金最低．
4．（24-25 七年级下·湖南湘潭·期末）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加
劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3 亩甲作物和2 亩
乙作物需要27 名学生，种植2 亩甲作物和2 亩乙作物需要22 名学生．根据以上信息，解答下列问题：
(1)种植1 亩甲作物和1 亩乙作物分别需要多少名学生？
(2)种植甲、乙两种作物共10 亩，且种植甲种作物不超过7 亩，所需学生人数不超过55 人，问有多少种种
植方案?
【答案】(1)种植1 亩甲作物需5 名学生，1 亩乙作物需6 名学生．
(2)3 种种植方案．
【分析】（1）设种植1 亩甲作物需要学生x 人，1 亩乙作物需要y 名学生．列出关于x ，y 的二元一次方程
组，解之即可得出结论；
（2）设种植甲作物m 亩，则乙作物(
)
10
m
−
亩．可得出关于m 的一元一次不等式组，解之可得出m 的取值
范围，再结合m 为正整数，即可得出各种植方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，并计算整数解．
【详解】（1）解：设种植1 亩甲作物需要学生x 人，1 亩乙作物需要y 名学生．
根据题意得：
3
2
27
2
2
22
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解这个方程组得
5
6
x
y
=
=
．
答：种植1 亩甲作物需5 名学生，1 亩乙作物需6 名学生．
（2）设种植甲作物m 亩，则乙作物(
)
10
m
−
亩．
根据题意，得
(
)
5
6 10
55
7
m
m
m
+
−
解得：5
7
m
．
学科网（北京）股份有限公司
22 /
∵m 为整数，
∴
5,6,7
m =
．
∴学校共有三种种植方案．
5．（24-25 七年级下·山东德州·期末）某学校计划暑假期间建设一间活动教室．需要采购五人桌和两人桌两
种类型的活动课桌．已知购买3 张五人桌和5 张两人桌需花费2050 元；购买4 张五人桌和2 张两人桌需花
费1800 元．
(1)求每张五人桌和两人桌的价格．
(2)学校根据教室布局，计划采购16 张活动课桌，要求预算不超过4500 元，求至少采购几张两人桌？
(3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳50 名学生，求所有满足条件的采购方案．
【答案】(1)每张五人桌的单价为350 元，两人桌的单价为200 元
(2)至少采购8 张两人桌
(3)共有三种采购方案：采购两人桌8 张，则采购五人桌为8 个；采购两人桌9 张，则采购五人桌为7 张；
采购两人桌10 张，则采购五人桌为6 张
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的求解，需由二元一次方程组的解法求
出五人桌和两人桌的价格是解决本题的关键．
（1）设出未知数，根据五人桌和两人桌花费情况列二元一次方程组，由二元一次方程组的求法求解即可．
（2）设采购两人桌m 张，则可表示出采购五人桌的数量，再由第一问求出的单价，由预算不超过4500 元
列不等式求解即可．
（3）由活动教室至少要容纳50 名学生列不等式，结合第二问m 的取值范围可得具体m 的取值，再根据m
的取值求采购方案即可．
【详解】（1）解：设每张五人桌的单价为x 元，两人桌的单价为y 元．
由题意可得：
3
5
2050
4
2
1800
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得
350
200
x
y
=
=
答：每张五人桌的单价为350 元，两人桌的单价为200 元．
（2）解：设采购两人桌m 张，则采购五人桌为(
)
16
m
−
张，
计划采购16 张活动课桌，要求预算不超过4500 元，
(
)
200
350 16
4500
m
m
+
−
解得
22
1
7
3
3
m
=
，
∴至少采购8 张两人桌．
学科网（北京）股份有限公司
23 /
（3）解：设采购两人桌m 张，则采购五人桌为(
)
16
m
−
张，
∵活动教室至少要容纳50 名学生，
∴
(
)
2
5 16
50
m
m
+
−
，
解得：
10
m
，
∴1
7
10
3
m
，
∵m 取整数，∴
8
m =
或9 或10，
当
8
m =
时，16 8
8
−= ，
方案为：采购两人桌8 张，则采购五人桌为8 个；
当
9
m =
时，16 9
7
−=
，
方案为：采购两人桌9 张，则采购五人桌为7 张；
当
10
m =
时，16 10
6
−
=
，
方案为：采购两人桌10 张，则采购五人桌为6 张．
6．
（24-25 七年级下·湖北黄冈·期末）某校七年级560 名学生和11 位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆．客
运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示．
车型
A 型
B 型
载客量/人
40
56
租金/元
1000
1200
学校计划租用11 辆客车，那么
(1)最多可以租多少辆A 型客车？
(2)共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
【答案】(1)最多可以租2 辆A 型客车
(2)共有三种租车方案方案一：租用11 辆 B 型客车方案二：租用1 辆A 型客车，再租用10 辆B 型客车；
方案三：租用2 辆A 型客车，再租用9 辆 B 型客车；方案三的租金最低
【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，不等式的整数解问题；
（1）设租用A 型客车x 辆，则 B 型车辆有(
)
11
x
−
辆，依题意列不等式得：
(
)
40
56 11
560 11
x
x
+
-
?
，再
解不等式，求解不等式的最大整数解即可；
（2）根据（1）中不等式的非负整数解可得方案，再分别计算租金即可．
学科网（北京）股份有限公司
24 /
【详解】（1）解：设租用A 型客车x 辆，则 B 型车辆有(
)
11
x
−
辆，依题意列不等式得：
(
)
40
56 11
560 11
x
x
+
-
?
解得：
13
216
x £
，
∵x 为整数，
∴最多可以租2 辆A 型客车；
（2）解：∵
13
216
x £
，
∵x 为非负整数，
∴
2
x =
或1或0 ，
∴共有三种租车方案
方案一：租用11 辆 B 型客车
所需租金为：11 1200
13200
=
(元)
方案二：租用1 辆A 型客车，再租用10 辆B 型客车
所需租金为：1000 10 1200 13000
+
?
(元)
方案三：租用2 辆A 型客车，再租用9 辆 B 型客车
所需租金为：2 1000
9 1200
12800
+
=
(元)
综上所述方案三的租金最低，即租用2 辆A 型客车，再租用9 辆 B 型客车．
7．（24-25 七年级下·江苏南通·期末）小张为公司团建活动租车．了解到客运公司有两种型号的客车可供租
用，每辆车的载客量和租金如下表所示．
车型
A 型
B 型
载客量(人/辆)
40
56
租金(元/辆)
1000
1200
(1)小张核算后，向公司申报租金费用3900元(恰好全部用完)，会计认为他核算错误．你赞同会计的说法吗？
请判断，并说明理由．
(2)公司共有246 人参加团建，计划租5辆车，共有几种租车方案，哪种方案最划算？
【答案】(1)小张核算错误，理由见解析
(2)共有3种租车方案，方案1：租用5辆B 型客车；方案2 ：租用1辆A 型客车，4 辆B 型客车；方案3：租
用2 辆A 型客车，3辆B 型客车，方案3最划算．
学科网（北京）股份有限公司
25 /
【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）假设小张核算正确，设租用x 辆A 型客车，y 辆B 型客车，利用总租金= 每辆A 型客车的租金租用A
型客车的数量+ 每辆B 型客车的租金租用B 型客车的数量，可列出关于,x y的二元一次方程，结合,x y均
为非负整数，可得出原方程无解，进而可得出假设不成立，即小张核算错误；
（2）设租用m 辆A 型客车，则租用(
)
5
m
−
辆B 型客车，根据租用的客车的总载客量不少于246 人，可列出
关于m 的一元一次不等式，解之可得出m 的取值范围，结合m 为非负整数，可得出各租用方案，再求出各
租车方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：小张核算错误，理由如下：
假设小张核算正确，设租用x 辆A 型客车，y 辆B 型客车，
根据题意得：1000
1200
3900
x
y
+
=
，
39 10
12
x
y
−
=
，
又
,x y
均为非负整数，
原方程无解，
假设不成立，即小张核算错误；
（2）设租用m 辆A 型客车，则租用(
)
5
m
−
辆B 型客车，
根据题意得：
(
)
40
56 5
246
m
m
+
−
，
解得：
17
8
m
，
又
m
为非负整数，
m
可以为0 ，1，2 ，
共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B 型客车，所需总租金为1200 5
6000(
=
元) ；
方案2 ：租用1辆A 型客车，4 辆B 型客车，所需总租金为1000 1 1200 4
5800(
+
=
元) ；
方案3：租用2 辆A 型客车，3辆B 型客车，所需总租金为1000 2 1200 3
5600(
+
=
元) ，
6000
5800
5600
，
方案3最划算．
8．（24-25 七年级下·江苏连云港·期末）某快递企业为提高工作效率，拟购买A ，B 两种型号智能机器人进
行快递分拣，相关信息如表：
学科网（北京）股份有限公司
26 /
信息一
信息二
A 型机器人台数
B 型机器人台数
总费用/万元
A 型机器人每台每天可分拣快递22 万件；
B 型机器人每台每天可分拣快递18万件．
1
3
260
3
2
360
(1)求A ，B 两种型号智能机器人的单价．
(2)现该企业准备用不超过700 万元购买A ，B 两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能
使每天分拣快递的件数最多？最多多少万件？
【答案】(1) A 型智能机器人的单价为80万元，B 型智能机器人的单价为60 万元
(2)当该企业购买A 型智能机器人5台，B 型智能机器人5台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为200 万
件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出一元一次方程；（2）( )
2 根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设A 型智能机器人的单价为x 万元，B 型智能机器人的单价为y 万元，利用总价= 单价数量，结合信
息一的信息，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A 型智能机器人m 台，则购买B 型智能机器人(
)
10
m
−
台，利用总价= 单价数量，结合总价不
超过700 万元，可列出关于m 的一元一次不等式，解之可得出m 的取值范围，结合m ，(
)
10
m
−
均为正整数，
可得出各购买方案，再求出选择各方案每天分拣快递的件数，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设A 型智能机器人的单价为x 万元，B 型智能机器人的单价为y 万元，
根据题意得：
3
260
3
2
360
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
80
60
x
y
=
=
．
答：A 型智能机器人的单价为80万元，B 型智能机器人的单价为60 万元；
（2）解：设购买A 型智能机器人m 台，则购买B 型智能机器人(
)
10
m
−
台，
根据题意得：
(
)
80
60 10
700
m
m
+
−
，
解得：
5
m
，
学科网（北京）股份有限公司
27 /
m
，(
)
10
m
−
均为正整数，
m
可以为1，2 ，3，4 ，5，
该企业共有5种购买方案，
方案1：购买A 型智能机器人1台，B 型智能机器人9台，每天可分拣快递22 1 18 9
184(
+
=
万件) ；
方案2 ：购买A 型智能机器人2 台，B 型智能机器人8台，每天可分拣快递22 2 18 8
188(
+
=
万件) ；
方案3：购买A 型智能机器人3台，B 型智能机器人7 台，每天可分拣快递22 3 18 7
192(
+
=
万件) ；
方案4 ：购买A 型智能机器人4 台，B 型智能机器人6 台，每天可分拣快递22 4 18 6
196(
+
=
万件) ；
方案5：购买A 型智能机器人5台，B 型智能机器人5台，每天可分拣快递22 5 18 5
200(
+
=
万件) ，
184
188 192
196
200
，
该企业选择购买方案5，能使每天分拣快递的件数最多，最多为200 万件．
答：当该企业购买A 型智能机器人5台，B 型智能机器人5台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为200 万
件．
9．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，但各自推出了不同的优
惠方案，优惠方案如下所述．
甲商场：累计购买500 元后，超出500 元的部分按90%收费；
乙商场：累计购买超过200 元后，超过200 元的部分按95%收费．
请你根据以上信息，帮助顾客分析到哪家商场购物花费少？
【答案】当累计花费不超过200 元或等于800 元时，到两家超市购物化费相同；当累计购物花费在200 ~ 800
元时到乙商场优惠，当累计购物花费800 元以上时到甲商场便宜
【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设累计购物x 元，先分别表示出每个购物金额段的花费，再分类讨论求解即可．
【详解】解：设累计购物x 元，
由题意得，对于甲商场：0
500
x
时，y
x
=
甲
；当
500
x
时，
(
)
500
500
90%
0.9
50
y
x
x
=
+
−
=
+
甲
；
对于乙商场：0
200
x
时，y
x
=
乙
；当
200
x
时，
(
)
200
200
95%
0.95
10
y
x
x
=
+
−
=
+
乙
；
（1）当0
200
x
时，甲乙都不优惠，所以当两个商场花费一样；
（2）200
500
x
时，
(
)
0.95
10
0.05
10
y
y
x
x
x
−
=
−
+
=
−
甲
乙
，
∵
200
x
，
∴
0
y
y
−
甲
乙
，
学科网（北京）股份有限公司
28 /
∴乙商场花费少，省钱；
（3）当
500
x
时，
① 若甲商场更优惠：0.9
50
0.95
10
x
x
+
+
解得，
800
x
；
②若乙商场更优惠
0.9
50
0.95
10
x
x
+
+
解得，
800
x
；
③若两商场同样优惠
0.9
50
0.95
10
x
x
+
=
+
解得，
800
x =
，
综上，当累计花费不超过200 元或等于800 元时，到两家超市购物化费相同；当累计购物花费在200 ~ 800元
时到乙商场优惠，当累计购物花费800 元以上时到甲商场便宜．
题型六：一元一次不等式实际应用之分配问题
1．（24-25 七年级下·陕西宝鸡·期末）现用甲，乙两种运输车，将40 吨救灾物资运往灾区，甲种运输车每
辆载重5 吨，乙种运输车每辆载重4 吨，安排甲、乙两种车辆合计不超过9 辆，则甲种运输车至少应安排
几辆？
【答案】甲种运输车辆至少需要4 辆．
【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，设安排甲种运输车x 辆，则安排乙种运输车40
5
4
x
−
辆，根
据甲、乙两种车辆合计不超过9 辆建立不等式求解即可．
【详解】解：设安排甲种运输车x 辆，则安排乙种运输车40
5
4
x
−
辆．则
40 5
9
4
x
x
-
+
?
，
∴4
40 5
36
x
x
+
-
?
，
解得：
4
x ，
故甲种运输车至少需要4 辆．
2．（24-25 七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100 名学生参加垃圾分类志愿者助力活
动．六年级学生每人要完成2 次助力分类，七年级学生每人要完成5 次助力分类．为了保证垃圾分类助力
总次数不少于360 次，最少需要多少名七年级学生参加活动？
【答案】最少需要54 名七年级学生参加活动
学科网（北京）股份有限公司
29 /
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x 名七年级学生参加活动，则需要(
)
100
x
−
名六年级学
生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360 次，可列出关于x 的一元一次不等式，解得x 的取
值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】解：设需要x 名七年级学生参加活动，则需要(
)
100
x
−
名六年级学生参加活动，
根据题意得：(
)
2 100
5
360
x
x
−
+
，
解得：
160
3
x
，
又∵x 为正整数，
∴x 的最小值为54．
答：最少需要54 名七年级学生参加活动．
3．（24-25 七年级下·陕西榆林·期末）某水果批发商要将一批车厘子和草莓运至甲地，该批发商找了8 辆货
车进行运输．为节约成本，每辆货车只能装同一种水果且装满，每辆货车可以装4 吨车厘子或3 吨草莓，
水果批发商需要运出两种水果不少于30 吨，那么运输车厘子的货车至少需要多少辆？
【答案】运输车厘子的货车至少需要6 辆
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．
设运输车厘子的货车需要x 辆，则运输草莓的货车需要(
)
8
x
−
辆，根据水果批发商需要运出两种水果不少于
30 吨，可列出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】解：设运输车厘子的货车需要x 辆，则运输草莓的货车需要(
)
8
x
−
辆，
根据题意得：
(
)
4
3 8
30
x
x
+
−
，
解得：
6
x
，
∴x 的最小值为6．
答：运输车厘子的货车至少需要6 辆．
4．（24-25 九年级下·贵州六盘水·阶段练习）为落实义务教育阶段相关政策，加强中小学社会实践活动，某
学校计划租用甲、乙两种类型的客车接送七年级600 名师生参加研学活动．已知租用甲种客车7 辆，乙种
客车4 辆；或者甲种客车4 辆，乙种客车8 辆时，全部师生刚好一人一座．
(1)请问每辆甲种客车和乙种客车分别有多少个座位？
(2)学校还需要继续租用这两种类型车辆接送八年级师生700 人参加研学活动，在规定租用这两种客车共12
学科网（北京）股份有限公司
30 /
辆的情况下，至少需要租用甲种客车几辆？
【答案】(1)每辆甲种客车有60 个座位，每辆乙种客车有45 个座位
(2)至少需要租用甲种客车11 辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）根据租用的两种客车的总载客量不少于700 人，正确列出一元一次不
等式．
（1）设每辆甲种客车有x 个座位，每辆乙种客车有y 个座位，根据“当租用甲种客车7 辆，乙种客车4 辆；
或者甲种客车4 辆，乙种客车8 辆时，全部师生刚好一人一座”，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解
之即可得出结论；
（2）设租用甲种客车m 辆，则租用乙种客车(12
)
m
−
辆，根据租用的两种客车的总载客量不少于700 人，
可列出关于m 的一元一次不等式，解之可得出m 的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）设每辆甲种客车有x 个座位，每辆乙种客车有y 个座位，
根据题意得：
7
4
600
4
8
600
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
60
45
x
y
=
=
．
答：每辆甲种客车有60 个座位，每辆乙种客车有45 个座位；
（2）解：设租用甲种客车m 辆，则租用乙种客车(12
)
m
−
辆，
根据题意得：60
45(12
)
700
m
m
+
−
，
解得：
32
3
m
，
又
m
为整数，
m
的最小值为11．
答：至少需要租用甲种客车11 辆．
5．（24-25 七年级下·广西南宁·阶段练习）某中学计划组织七年级师生进行春季研学活动，活动负责人李老
师了解到，某租车公司有A 、B 两种型号的客车共15 辆，它们的载客量、每天的租金和车辆数如下表所示，
已知在15 辆客车都坐满的情况下，共载客570 人．
车型
A
B
载客量/（人/辆）
45
30
学科网（北京）股份有限公司
31 /
租金/（元/辆）
400
280
车辆数（辆）
a
b
(1)求表中a 和b 的值；
(2)李老师结合学校的实际情况，计划租用A 型、B 型客车共12 辆，同时送七年级师生到基地参加研学活动，
且租车总费用不超过4300 元．求最多能租用多少辆A 型客车？
【答案】(1)a 的值为8，b 的值为7
(2)最多能租用7 辆A 型客车
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式
是解此题的关键．
（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
（2）设租用A 型客车x 辆，则租用B 型客车(
)
12
x
−
辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：
15
45
30
570
a
b
a
b
+
=
+
=
，
解得：
8
7
a
b
=
=
，
∴a 的值为8，b 的值为7 ；
（2）解：设租用A 型客车x 辆，则租用B 型客车(
)
12
x
−
辆，
由题意可得：
(
)
400
280 12
4300
x
x
+
−
，
解得：
5
7 6
x
，
∵x 为整数，
∴x 最大值为7 ，
∴最多能租用7 辆A 型客车．
6．（24-25 八年级下·广东清远·阶段练习）某公司为支援四川灾区建设，计划在15 天内生产活动板房408
套，前3 天每天生产24 套，以后每天至少生产多少套，才能在规定时间内完成任务？
【答案】至少生产28 套
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出不等关系式是解题的关键．
不等关系式：前3 天每天生产的套数+ 后12天生产的套数
408
套，列不等式，即可求解．
学科网（北京）股份有限公司
32 /
【详解】解：以后每天至少生产x 套，才能在规定时间内完成任务，
由题意得，
(
)
3 24
15
3
408
x
+
−
，
解得：
28
x
，
答：以后每天至少生产28 套，才能在规定时间内完成任务．
题型七：一元一次不等式实际应用之和差倍问题
1．（24-25 八年级下·四川成都·期中）今年春节，《哪吒之魔童降世》上映后非常火爆，哪吒、敖丙等角色
的玩偶深受大家的喜爱，成都某商场准备采购一批这样的玩偶套装进行销售，用16000 元采购A 套装的件
数是用7500 元采购B 套装的件数的2 倍，并且一件A 套装的进价比一件B 套装的进价多10 元．
(1)求A、B 套装每套的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进A、B 套装共150 件进行试销，已知每件A 套装的售价为230 元，每件B 套装售价为210
元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800 元．求至多购进A 套装多少件？
【答案】(1)160 元；150 元
(2)80 件
【分析】（1）设B 套装每套的进价是x 元，则A 套装每套的进价是(
)
10
x +
元，根据用16000 元采购A 套
装的件数是用7500 元采购B 套装的件数的2 倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A 套装m 件，则购进B 套装(
)
150
m
−
件，根据这批货全部售出且获得的利润不多于9800 元，
列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：设B 套装每套的进价是x 元，则A 套装每套的进价是(
)
10
x +
元，
由题意得：16000
7500
2
10
x
x
=
+
，
解得：
150
x =
，
经检验，
150
x =
是分式方程的解，且符合题意，
10
150 10
160
x
+
=
+
=
，
答：A 套装每套的进价是160 元，B 套装每套的进价是150 元；
（2）解：设购进A 套装m 件，则购进B 套装(
)
150
m
−
件，
学科网（北京）股份有限公司
33 /
由题意得：(
)
(
)(
)
230 160
210 150 150
9800
m
m
−
+
−
−
，
解得：
80
m
，
答：至多购进A 套装80 件．
2．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物
传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30 本文学名著和
20 本人物传记共需1150 元，10 本文学名著比10 本人物传记多50 元．
(1)求每本文学名著和人物传记各多少元？
(2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20 本，总费用不超过2000
元，请求出人物传记至多买多少本？
【答案】(1)每本文学名著和人物传记各25，20 元
(2)33 本
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键．
（1）设每本文学名著和人物传记各x 元、y 元，根据30 本文学名著和20 本人物传记共需1150 元，10 本文
学名著比10 本人物传记多50 元，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设人物传记买m 本，购买的文学名著比人物传记多20 本，总费用不超过2000 元，列出一元一次不等
式，求解即可．
【详解】（1）解：设每本文学名著和人物传记各x 元、y 元，依题意，得
30
20
1150
10
10
50
x
y
x
y
+
=
=
+
，
解得：
25
20
x
y
=
=
，
答：每本文学名著和人物传记各25，20 元．
（2）设人物传记买m 本，依题意，得
25(20
)
20
2000
m
m
+
+
，
解得：
100
3
m
，
∴m 取最大整数为33．
答：人物传记至多买33 本．
3．（24-25 七年级下·四川内江·阶段练习）某公司生产甲、乙两种机械设备，每台乙种设备的成本是甲种设
备的1.5 倍．公司若生产4 台甲种设备，6 台乙种设备，共需花费资金52 万元．
学科网（北京）股份有限公司
34 /
(1)甲、乙两种设备每台的成本分别是多少万元?
(2)若甲、乙两种设备每台的售价分别是6 万元、10 万元，公司决定生产两种设备共60 台，计划销售后获
利不低于126 万元，且甲种设备至少生产55 台，则该公司有哪几种生产方案?
【答案】(1)甲种设备每台的成本是4 万元，乙种设备每台的成本是6 万元
(2)该公司有3 种生产方案：方案一：甲生产55 台，乙生产5 台；方案二：甲生产56 台，乙生产4 台；方
案三：甲生产57 台，乙生产3 台．
【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合，根据给定的不等关系建立一元一次不等式
是解决本题的关键．
（1）设甲种设备每台的成本x 万元，乙种设备每台的成本y 万元，根据“每台乙种设备的成本是甲种设备的
1.5 倍；生产4 台甲种设备，6 台乙种设备，共需花费资金52 万元”列方程组，求解即可；
（2）设甲种设备生产m 台，则乙种设备生产（60-m）台，根据“获利不低于126 万元，且甲种设备至少生
产55 台”列不等式，求出m 取值范围即可确定生产方案．
【详解】（1）解：设每台甲种设备的成本是x 万元，每台乙种设备的成本是y 万元．
根据题意，得
1.5
4
6
52
y
x
x
y
=
+
=
，
解得
4
6
x
y
=
=
，
故每台甲种设备的成本是4 万元，每台乙种设备的成本是6 万元；
（2）解：设甲种设备生产m 台，则乙种设备生产(
)
60
m
−
台．
根据题意，得(
)
(
)(
)
6
4
10
6
60
126
m
m
−
+
−
−
，
解得
57
m
．
又∵
55
m
，且m 为整数，
∴m 的取值有55，56，57．
故该公司有3 种生产方案：方案一：甲生产55 台，乙生产5 台；方案二：甲生产56 台，乙生产4 台；方
案三：甲生产57 台，乙生产3 台．
4．（24-25 七年级下·广东湛江·期末）湛江海湾大桥是一座连接坡头区与霞山区的跨海大桥．该大桥限重标
志牌显示，载重后总质量超过49 吨的车辆禁止通行．现有一辆自重15 吨的卡车，要运输若干套某种设备，
每套设备由1 个A 部件和3 个B 部件组成，这种设备必须成套运输．已知1 个A 部件和2 个B 部件的总质
量为2.8 吨，2 个A 部件和3 个B 部件的质量相等．
学科网（北京）股份有限公司
35 /
(1)求1 个A 部件和1 个B 部件的质量各是多少；
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．
【答案】(1)1 个A 部件的质量为1.2吨，1 个B 部件的质量为0.8吨
(2)该卡车一次最多可运输9 套这种设备通过此大桥
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）先设1 个A 部件的质量为x 吨，1 个B 部件的质量为y 吨，再结合已知1 个A 部件和2 个B 部件的总
质量为2.8 吨，2 个A 部件和3 个B 部件的质量相等，进行列出方程组，即可作答．
（2）理解题意，设该卡车一次可运输m 套这种设备通过此大桥．结合载重后总质量超过49 吨的车辆禁止
通行．现有一辆自重15 吨的卡车，列出不等式，再解得
85
4
9
9
9
m
=
，因为m 为整数，所以m 的最大值是
9，即可作答．
【详解】（1）解：设1 个A 部件的质量为x 吨，1 个B 部件的质量为y 吨，
由题意得：
2
2.8
2
3
x
y
x
y
+
=
=
，
解得：
1.2
0.8
x
y
=
=
，
答：1 个A 部件的质量为1.2吨，1 个B 部件的质量为0.8吨
（2）解：设该卡车一次可运输m 套这种设备通过此大桥．
根据题意得：(
)
1.2
0.8 3
15
49
m
+
+
，
解得：
85
4
9
9
9
m
=
．
∵m 为整数，
∴m 的最大值是9，
答：该卡车一次最多可运输9 套这种设备通过此大桥．
5．（24-25 七年级下·辽宁盘锦·期末）期中考试后，八年一班张老师对在期中考试中取得优异成绩的同学进
行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，已知若购买甲种笔记本10 个，乙种笔记本20 个需
花费200 元；若购买甲种笔记本20 个，乙种笔记本10 个则需花费250 元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35 个，正好赶上
商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2 元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8
学科网（北京）股份有限公司
36 /
折出售．如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225 元，则至多需要购买多少个甲种笔记
本？
【答案】(1)购买一本甲种笔记本10 元，一本乙种笔记本5 元；
(2)至多需要购买21 个甲种笔记本．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，列出二元一次方程组和
一元一次不等式是解题的关键．
（1）设购买一本甲种笔记本x 元，一本乙种笔记本y 元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设需要购买m 本甲种笔记本，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解；
【详解】（1）解：设购买一本甲种笔记本x 元，一本乙种笔记本y 元，
根据题意，得
10
20
200
20
10
250
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
10
5
x
y
=
=
．
答：购买一本甲种笔记本10 元，一本乙种笔记本5 元；
（2）解：设需要购买m 本甲种笔记本，
根据题意，得(
)
(
)
10
2
5 0.8 35
225
m
m
−
+
−
，
解得
1
214
m
，
∵m 为整数，
∴m 的最大整数解为21，
答：至多需要购买21 个甲种笔记本．
6．（24-25 八年级上·福建福州·期末）福州立志中学开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（2）班负
责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单
价多5 元，且用200 元购买绿萝的盆数与用300 元购买吊兰的盆数相同．
(1)求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
(2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的3 倍，且资金不超过800 元，求购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】(1)购买绿萝的单价为10 元，购买吊兰的单价为15 元
(2)购买吊兰的数量最多是17 盆
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正
确列出分式方程和不等式是解此题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
37 /
（1）设购买绿萝的单价为x 元，则购买吊兰的单价为(
)
5
+
x
元，根据“用200 元购买绿萝的盆数与用300 元
购买吊兰的盆数相同”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买吊兰的数量为a 盆，则购买绿萝的数量为3a 盆，根据“资金不超过800 元”列出一元一次不等式，
解不等式即可得解．
【详解】（1）解：设购买绿萝的单价为x 元，则购买吊兰的单价为(
)
5
+
x
元，
由题意得：200
300
5
x
x
=
+
，
解得：
10
x =
，
经检验，
10
x =
是原分式方程的解，且符合题意，
则
5
15
x+
=
，
答：购买绿萝的单价为10 元，购买吊兰的单价为15 元；
（2）解：设购买吊兰的数量为a 盆，则购买绿萝的数量为3a 盆，
由题意得：15
10 3
800
a
a
+
，
解得：
7
17 9
a
，
a
为正整数，
a
的最大值为17，
答：购买吊兰的数量最多是17 盆．
7．（24-25 八年级下·陕西榆林·期末）我国农谚有云：“春分有雨家家忙，先种瓜豆后插秧”，种植户农民刘
大伯开辟了一处耕种区，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A 种菜苗的价格比菜苗基地贵5 元，用
375 元在市场上购买A 种菜苗捆数和用300 元在菜苗基地购买的捆数一样多．
(1)求菜苗基地每捆A 种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B 种菜苗的价格是30 元，刘大伯决定用800 元在菜苗基地购买A，B 两种菜苗共30 捆，刘
大伯至少能买到多少捆A 种菜苗？
【答案】(1)菜苗基地每捆A 种菜苗的价格为20 元
(2)刘大伯至少能买到10 捆A 种菜苗
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设菜苗基地每捆A 种菜苗的价格为x 元，则市场上每捆A 种菜苗的价格为(
)
5
+
x
元，利用数量= 总价
单价，结合用375 元在市场上购买A 种菜苗捆数和用300 元在菜苗基地购买的捆数一样多，可列出关于x
的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
学科网（北京）股份有限公司
38 /
（2）设购买m 捆A 种菜苗，则购买(
)
30
m
−
捆B 种菜苗，利用总价= 单价数量，结合总价不超过800 元，
可列出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A 种菜苗的价格为x 元，则市场上每捆A 种菜苗的价格为(
)
5
+
x
元，
根据题意得：375
300
5
x
x
=
+
，
解得：
20
x
，
经检验，
20
x
是所列方程的解，且符合题意，
答：菜苗基地每捆A 种菜苗的价格为20 元；
（2）解：设购买m 捆A 种菜苗，则购买(
)
30
m
−
捆B 种菜苗，
根据题意得：
(
)
20
30 30
800
m
m
+
−
，
解得：
10
m
，
m
的最小值为10，
答：刘大伯至少能买到10 捆A 种菜苗．
题型八：一元一次不等式实际应用之工程问题
1．（24-25 八年级下·四川成都·期末）成都市域铁路S5 线，又称成都地铁眉山线，是连接成都天府新区与
眉山市东坡区的重要轨道交通线路，其中某标段路基工程长度为10000米，由甲，乙两个工程队施工，已知
甲队每天铺设路基长度比乙队多10 米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的4
5．
(1)求甲、乙两队每天各铺设路基多少米？
(2)为加快进度，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，若工期要求不超过160 天，
求两队至少需合作多少天才能确保完成该标段．
【答案】(1)甲队每天铺设路基50 米，乙队每天铺设路基40 米
(2)两队至少需合作50 天才能确保完成该标段
【分析】1
（）设甲队每天铺设路基x 米，则乙队每天铺设路基(
)
10
x −
米，根据某标段路基工程长度为10000米，
甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的4
5 ，列出分式方程，解分式方程即可；
2
（）设两队需合作y 天才能确保完成该标段，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，
工期要求不超过160 天，结合1
（）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出相应的分式方
学科网（北京）股份有限公司
39 /
程和不等式．
【详解】（1）解：设甲队每天铺设路基x 米，则乙队每天铺设路基(
)
10
x −
米，
由题意得：10000
4
10000
5
10
x
x
=
−
，
解得：
50
x =
，
10
50 10
40
x
−
=
−
=
，
答：甲队每天铺设路基50 米，乙队每天铺设路基40 米；
（2）设两队需合作y 天才能确保完成该标段，
由题意得：
(
)
10000
50
40
160
50
y
y
−
+
+
，
解得：
50
y
，
答：两队至少需合作50 天才能确保完成该标段．
2．（23-24 八年级下·江苏盐城·阶段练习）端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子
是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10 元，用6000 元购进豆沙粽的盒
数和用8000 元购进肉粽的盒数相同．
(1)求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？
(2)现有一批粽子需要在14 天内（包括14 天）加工完，已知甲队单独加工20 天完成，乙队单独加工30 天
完成，目前甲队有工人12 人，乙队有工人10 人，这批粽子由甲乙两队合作完成，两队合作4 天后，乙队
另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？
【答案】(1)每盒豆沙粽的进价为30 元，每盒肉粽的进价为40 元
(2)5 人
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解此题的关键是根据题意列出分式方程和不等式，
注意分式方程要检验．
（1）根据用6000 元购进豆沙粽的盒数和用8000 元购进肉粽的盒数相同的数量关系列分式方程，求解即可．
（2）设乙队调走y 人，由题意可得，甲队的工作效率为1
20 ，乙队的工作效率为1
30 ，合作4 天后剩余2
3 ，
全部工作需要在14 天内（包括14 天）加工完，据此列不等式并解不等式即可．
【详解】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为x 元，则每盒肉粽的进价为(
)
10
x +
元，
依题意得：6000
8000
10
x
x
=
+
.
方程两边乘(
)
10
x x +
得
学科网（北京）股份有限公司
40 /
(
)
6000
10
8000
x
x
+
=
.
解得：
30
x =
，
检验：当
30
x =
时，(
)
10
0
x x +
.
所以，原分式方程的解为
30
x =
.
∴
10
40
x+
=
答：每盒豆沙粽的进价为30 元，每盒肉粽的进价为40 元．
（2）根据题意可知，甲队的工作效率为1
20 ，乙队的工作效率为1
30 ，合作4 天完成
1
1
1
4 20
30
3
+
=
，剩余2
3 ，
设乙队调走y 人，则
1
10
1
2
10 20
10
30
3
y
−
+
解得
5
y
即乙队最多调走5人．
答：乙队最多调走5人．
3．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期末）某单位为美化环境，计划对面积为1600 平方米的区域进行绿化，现
安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.2 倍，并
且在独立完成面积为480 平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用2 天．
(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
(2)若该单位每天需付给甲队的绿化费用为550 元，付给乙队的费用为500 元，要使这次的绿化总费用不超
过19800 元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】(1)甲工程队每天能完成绿化的面积是48 平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40 平方米
(2)至少应安排甲队工作4 天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x 平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.2x 平方米，根
据工作时间= 工作总量工作效率结合在独立完成面积为480 平方米区域的绿化时甲队比乙队少用2 天，即
可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m 天，则需安排乙队工作1600
48
40
m
−
天，根据总费用
550
=
甲队工作时间500
+
乙队
工作时间结合这次的绿化总费用不超过19800 元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其最小值即
可得出结论．
学科网（北京）股份有限公司
41 /
【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是x 平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.2x
平方米，
依题意，得：480
480
2
1.2
x
x
−
=
，
解得：
40
x =
，
经检验，
40
x =
是原方程的解，且符合题意，
∴1.2
48
x =
．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是48 平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40 平方米；
（2）解：设安排甲队工作m 天，则需安排乙队工作1600
48
40
m
−
天，
依题意，得：
1600
48
550
500
19800
40
m
m
−
+
，
解得：
4
m
，
所以m 最小值是4．
答：至少应安排甲队工作4 天．
4．（24-25 八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）某市的道路改造工程，先由甲、乙两个工程队合作10 天，
再由甲单独干20 天，恰好完成全部工作的5
6 ．已知甲工程队单独完成工程所需天数是乙工程队单独完成工
程所需天数的2 倍．
(1)求甲、乙工程队单独完成此项工程各需多少天；
(2)如果甲工程队施工每天需付施工费1 万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5 万元，甲工程队至少需单独
施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64 万元？
【答案】(1)60 天，30天
(2)36天
【分析】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，一元一次不等式的应用，找到合适的等量关系是解决
问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．
（1）设乙单独完成此项工程需要x 天，则甲单独完成需要2x 天，根据题意列出方程求解即可；
（2）设甲单独做了y 天，先算出剩下的工程所需时间，再根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设乙单独完成此项工程需要x 天，则甲单独完成需要2x 天，
10
20
10
5
2
6
x
x
+
+
=
，
解得：
30
x =
，
经检验
30
x =
是原方程的解．
学科网（北京）股份有限公司
42 /
2
60
x
=
，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60 天，30天；
（2）解：设甲单独做了y 天，
则剩余工程两队合作需要：
1
1
1
20
60
60
30
3
y
y
−
+
=
−
天，
由题意得：
(
)
20
1
2.5
64
3
y
y
+
−
+
，
解得：
36
y
，
答：甲工程队至少要单独施工36天．
5．（24-25 九年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度比乙
队多50m，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5 天．
(1)求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？
(2)我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需
费用为1.2 万元，乙队每天所需费用为0.5 万元，求在总费用不超过40 万元的情况下，至多安排甲队施工
多少天？
【答案】(1)甲工程队每天修路100 米，乙工程队每天修路50 米
(2)20 天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设乙工程队每天修路x 米，则甲工程队每天修路(
)
50
x +
米，根据工作时间= 工作总量工作效率结合
两队各自修建公路500m时甲队比乙队少用5 天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲工程队施工m 天，则安排乙工程队施工(
)
72
2m
−
天，根据总费用不超过40 万元，即可得出
关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设乙工程队每天修路x 米，则甲工程队每天修路(
)
50
x +
米，
依题意，得：500
500
5
50
x
x
−
=
+
，
解得：
1
50
x =
，
2
100
x = −
经检验，
1
50
x =
，
2
100
x = −
都是原方程的解，但负数不合题意应舍去，
50
x
=
，
50
100
x
+
=
，
甲工程队每天修路100 米，乙工程队每天修路50 米；
学科网（北京）股份有限公司
43 /
（2）解：设安排甲工程队施工m 天，则安排乙工程队施工
(
)
3600 100
72
2
50
m
m
−
=
−
天，
依题意，得：
(
)
1.2
0.5 72
2
40
m
m
+
−
，
解得：
20
m≤
，
又
m
为整数，
m
的最大值为20．
答：至多安排甲工程队施工20 天．
题型一：一元一次不等式之几何问题
1．
（24-25 七年级下·江苏苏州·期末）有一副三角尺，其中
ABC
中，
90
A
=
，
45
B
=
；DEF
中，
90
D
?
? ，
60
F
=
．将这副直角三角尺按如图①放置．此时边BC 与EF 在同一直线上，且三角尺DEF 的顶点E 落
在边BC 的中点处．若将三角尺DEF 绕点E 按逆时针方向旋转，旋转角为(
)
0
90
．
(1)当= ______时，DE
AB
∥
；当= ______时，EF
AB
∥
：
(2)如图②，设边EF 所在直线与边AB 所在直线交于点M ，边DE 所在直线与边AC 所在直线交于点N ，记
=
AME
，
CNE
=
．在整个旋转过程中，请探究a 与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若4
150
a
+
，直接写出的取值范围．
【答案】(1)15；45
(2)
60
−
=
或
60
+
=
(3) 27
45
q <
<
鞍
或45
75
q <
<
鞍
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质及三角形内角和定理，
（1）根据当
45
DEC
ABC
=
=
时，DE
AB
∥
，当
45
FEC
ABC
?
?
? 时，EF
AB
∥
，求出结论即可；
（2）分两种情况：当0
45
时或当45
90
时，分别根据三角形内角和定理求出结论即可；
（3）分两种情况：当0
45
时或当45
90
时，分别列不等式解决即可．
【详解】（1）解：
ABC
中，
90
A
=
，
45
ABC
=
，
学科网（北京）股份有限公司
44 /
当
45
DEC
ABC
=
=
时，DE
AB
∥
，
DEF
中，
90
D
?
? ，
60
F
=
，
30
DEF
=
，
45
30
15
FEC
q
\
=?
?
?
? ；
当
45
FEC
ABC
?
?
? 时，EF
AB
∥
，
45
FEC
q
\
=?
? ；
（2）解：当0
45
时，
60
−
=
，理由如下：
ABC
中，
90
A
=
，
45
ABC
=
，
180
45
135
MBE
\ ?
?
?
?，
(
)
180
135
45
BEM
CEF
BME
BME
=
=
−
+
=
−
，
30 ,
180
90
45
45
DEF
NCE
?
靶
=
?
?
?
?
，
(
)
(
)
180
180
30
45
45
60
CNE
NEC
NCE
BME
BME
=
−
+
=
−
+
−
+
=
+
，
即
60
−
=
；
当45
90
时，
60
+
=
，理由如下：
ABC
中，
90
A
=
，
45
ABC
=
，
(
)
180
45
135
BEM
BME
BME
=
−
+
=
−
，
45
CEM
BME
\ ?
? ?
，
30 ,
180
90
45
45
DEF
NCE
?
靶
=
?
?
?
?
，
(
)
(
)
180
180
30
45
45
60
CNE
NEC
NCE
BME
BME
=
−
+
=
−
+
+
+
=
−
，
即
60
+
=
；
综上所述，
60
−
=
或
60
+
=
；
（3）解：当0
45
时，由题意得：
学科网（北京）股份有限公司
45 /
60
b
a
-
=
?
，
180
135
45
q
a
+
=
?
?
? ，
60
b
a
\
=
?
，
45
=
−
，
4
150
a
b
+
<
°
，
(
)
(
)
4 45
60
45
150
−
+
+
−
27
q
\
>
? ，
27
45
q
?
?
\
<
；
当45
90
时，由题意得：
60
b
a
+
=
?
，
(
)
180
180
180
45
45
BEM
=
−
=
−
−
−
=
+
，
60
b
a
\
=
?
，
45
a
q
=
-
? ，
4
150
a
b
+
<
°
，
(
)
(
)
4
45
60
45
150
−
+
−
−
75
q
\
<
? ，
45
75
q
?
?
\
<
；
综上所述，的取值范围是27
45
q <
<
鞍
或45
75
q <
<
鞍
．
2．（24-25 七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在
ABC
中，
100 ,
:
3:5
BAC
B
C
=
=
，在边BC 上有一
点D 从B 向C 运动，运动到点C 处停止．
(1)当
90
ADB
=
时，求
CAD
的度数；
(2)如图2，把ACD
沿直线AD翻折，点C 的对应点为M ，若点M 在
ABC
的内部（不包含
ABC
的边）．
①直接写出
CAD
的取值范围；
②探索
BDM
与
BAM
之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，在点D从B 向C 运动过程中，设
BAD
=
，同时将BC 绕点B 按顺时针方向旋转，即
CBC
=
，且满足
:
2 : 3
=
，若运动过程中
,
AD BC所在直线相交于点P ，当
120
BPD
时，求的
取值范围．
【答案】(1)40
学科网（北京）股份有限公司
46 /
(2)①40
50
CAD
；②
20
BAM
BDM
+
=
，见解析
(3)12
100
且
60
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用．
（1）设
3 ,
5
B
x
C
x
=
=
，根据三角形内角和定理求出
30 ,
50
=
=
B
C
，再根据
ADB
是ACD
的外角，
由
ADB
C
CAD
= +
，即可求解；
（2）①根据题意结合（1）中，分别求出当点M 落在BC 上，即AD
BC
⊥
时，当点M 落在AB 上时，CAD
的临界值，再根据点M 在
ABC
的内部（不包含
ABC
的边），即可得出
CAD
的取值范围为
40
50
CAD
；②延长AM 交BC 于点N，由翻折可知：
50
AMD
C
=
=
，利用三角形外角的性质进
行推导即可；
（3）设
2 ,
3
x
x
=
=
，当射线AD与射线BC交于点P 时，利用三角形内角和定理结合
120
BPD
，求
出
12
；当射线DA与射线C B交于点P 时，同理求出
108
，当直线AD与直线BC平行时，得到
60
=
，
再结合
100
BAD
，即可得出结论．
【详解】（1）解：设
3 ,
5
B
x
C
x
=
=
，
在
ABC
中：
∵
180
BAC
B
C
++
=
，
∴
80
B
C
+
=
∠
∠
，即8
80
x =
，
∴
10
x =
，
∴
30 ,
50
=
=
B
C
．
∵
ADB
是ACD
的外角，
∴
ADB
C
CAD
= +
，
∵
90
ADB
=
，
∴
90
50
40
CAD
=
−
=
；
（2）解：①由（1）可得当点M 落在BC 上，即AD
BC
⊥
时，
40
CAD
=
，
如图，当点M 落在AB 上时，
则
1
50
2
CAD
MAD
BAC
=
=
=
，
∵点M 在
ABC
的内部（不包含
ABC
的边），
∴
CAD
的取值范围为40
50
CAD
；
学科网（北京）股份有限公司
47 /
②
20
BAM
BDM
+
=
，证明如下：
延长AM 交BC 于点N，
由翻折可知：
50
AMD
C
=
=
，
∵
AMD
∠
是MND
的外角，
∴
AMD
AND
BDM
=
+
，
∵
AND
是ABN
的外角，
∴
AND
BAM
B
=
+，
∴
AMD
BAM
B
BDM
=
++
，
∴
20
BAM
BDM
AMD
B
+
=
−=
；
（3）解：∵
:
2 : 3
=
，可设
2 ,
3
x
x
=
=
，
如图1，当射线AD与射线BC交于点P 时，
∵
180
BPD
BAD
ABP
=
−
−
，
(
)
180
2
3
30
x
x
=
−
−
+
150
5x
=
−
，
且
120
BPD
，
∴150
5
120
x
−
，
∴
6
x
，
∴
12
；
如图2，当射线DA与射线C B交于点P 时，
学科网（北京）股份有限公司
48 /
180
150
3
ABP
ABC
CBC
x
=
−
−
=
−
，
∵
BPD
BAD
ABP
=
−
(
)
2
150
3
x
x
=
−
−
5
150
x
=
−
，
且
120
BPD
，
∴5
150
120
x−
，
∴
54
x
，
∴
108
，
当直线AD与直线BC平行时，则
180
BAD
ABC
+
=
，
∴2
3
30
180
x
x
+
+
=
，
∴
30
x =
，
∴
60
=
，
∵AD
BC
、
所在直线相交于点P，
∴
60
，
又∵点D 从B 运动到点C 停止，
∴0
100
，
∴12
100
且
60
．
3．（24-25 八年级下·宁夏银川·期末）如图，在
ABC
中，
6cm
BC =
．射线AG
BC
，点E 从点A 出发沿
射线AG 以2cm/s的速度运动，当点E 先出发1s 后，点F 也从点B 出发沿射线BC 以3.5cm/s 的速度运动，分
别连接AF ，CE ．设点F 运动时间为t（s），其中
0
t
．
学科网（北京）股份有限公司
49 /
(1)当t 为何值时，AE
CF
=
？
(2)当t 为何值时，
ABF
ACE
ABC
S
S
S
+
．
【答案】(1)
8
11
t =
或16
3 时，AE
CF
=
；
(2)当
8
0
11
t
时，
ABF
ACE
ABC
S
S
S
+
．
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的面积，解一元一次方程以及解一元一次不等式．
（1）分类讨论：当点F 在点C 左侧时，点F 再点C 的右侧时，可得关于t 的一元一次方程，根据解方程，
可得答案；
（2）根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，
可得不等式，计算即可．
【详解】（1）解：分两种情况讨论：
①点F 在点C 左侧时，AE
CF
=
，
则(
)
2
1
6
3.5
t
t
+
=
−
，
解得
8
11
t =
；
②当点F 在点C 的右侧时，AE
CF
=
，
则(
)
2
1
3.5
6
t
t
+
=
−
，
解得
16
3
t =
；
综上所述，
8
11
t =
或16
3 时，AE
CF
=
；
（2）解：∵平行线间的距离相等，
∴
ABF
S△
、
ACE
S
、
ABC
S
的高相等，
当BF
AE
BC
+
时，
ABF
ACE
ABC
S
S
S
+
，
(
)
7
2
1
6
2 t
t
+
+
，
解得
8
11
t
，
当
8
0
11
t
时，
ABF
ACE
ABC
S
S
S
+
．
4．（24-25 七年级下·全国·假期作业）如图，在
ABC
中，
6cm
BC =
．射线AG
BC
，点E 从点A 出发沿
射线AG 以2cm/s的速度运动，当点E 出发1s 后，点F 也从点B 出发沿射线BC 以3cm/s 的速度运动，分别连
学科网（北京）股份有限公司
50 /
接AF ，CE ．设点E 运动时间为( )
t s ，其中
0
t
．
(1)若
BAF
BAC
，则t 的取值范围是 ；
(2)当t 为何值时，AE
CF
=
；
(3)是否存在某一时刻t，使
ABF
ACE
ABC
S
S
S
+
=
．若存在，请求出t 的值；若不存在请说明理由．
【答案】(1)0
3
t
(2)
9
5
t =
或9
(3)存在，
9
5
t =
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的
性质是解题的关键；
（1）由
BAF
BAC
可得出BF
BC
，然后根据点F 的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论；
（2）分别表示出AE 和CF 的长度，由AE
CF
=
即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由
+
=
ABF
ACF
ABC
S
S
S
结合
ABF
ACE
ABC
S
S
S
+
=
可得出
ACE
ACF
S
S
=
( 点F 在线段BC 上) ，根据平行
线的性质可得出
ACF
△
和
ACE
△
的高相等，进而可得出AE
CF
=
，即2
6
=
−
t
(
)
3
1
t −
，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：
BAF
BAC ，
BF
BC
，
(
)
3
1
t −
解得：
3
t ，
当0
3
t
时，
BAF
BAC
，
故答案为：0
3
t
；
（2）解：由题意得：
2
AE
t
=
，BF = (
)
3
1
t −
，
6
=
−
CF
(
)
3
1
t −
或CF = (
)
3
1
6
t −
−
，
AE
CF
=
，
2
6
=
−
t
(
)
3
1
t −
或
(
)
2
3
1
6
t
t
=
−
−
，
学科网（北京）股份有限公司
51 /
解得：
9
5
t =
或9，
即
9
5
t =
或9时，AE
CF
=
；
（3）解：
ABF
ACF
ABC
ABF
ACE
ABC
S
S
S
S
S
S
+
=
+
=
，
，
ACE
ACF
S
S
=
( 点F 在线段BC 上) ，
AG
∥BC ，
ACF
△
和
ACE
△
的高相等，
AE
CF
∴
=
，
即2
6
=
−
t
(
)
3
1
t −
，
解得：
9
5
t =
，
即当
9
5
t =
秒时，
ABF
ACE
ABC
S
S
S
+
=
．
5．（24-25 七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图：在长方形ABCD中，
4cm
AB
CD
=
=
，
3cm
BC =
，动点P
从点A 出发，先以1cm / s 的速度沿A
B
→
，然后以2cm / s的速度沿B
C
→
运动，到C 点停止运动，设点P 运
动的时间为t 秒(
)
0
t
．
(1)①当点P 在AB 上时，
BPD
△
的面积与时间t 的关系S =________．
②当
BPD
△
的面积
2
2cm
S =
时，时间t = ________秒．
(2)点P 整个运动过程中，是否存在这样的t ，使得
BPD
△
的面积
2
4cm
S
？如果存在，请求出t 的取值范围；
如果不存在，请说明理由．
(3)若另一动点Q 与动点P 同时从点A 出发，先以2cm / s的速度沿A
B
→
，然后以3cm / s的速度沿B
C
→
运
动，到C 点后立即原路返回，并且在边AB ，BC 上的速度等于原速，当点P 停止时点Q 也随之停止．在整
个运动过程中，是否存在时间t 使得
BPD
△
的面积总大于BQD
的面积，如果存在，直接写出t 的取值范围；
如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)①
3
6
2 t
−
；②8
3 或
1
4 2
学科网（北京）股份有限公司
52 /
(2)存在；
4
0
3
t
或5
5.5
t
(3)存在；
12
0
5
t
或4
5.5
t
【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可；
②分两种情况：当点P 在AB 上时，当点P 在AB 上时，分别列出方程求出结果即可；
（2）分两种情况：当点P 在AB 上时，当点P 在AB 上时，分别列出不等式求出结果即可；
（3）分四种情况：当点Q 从点A 向点B 运动时，当点Q 从点B 向点C 运动时，当点Q 从点C 向点B 运动
时，当点Q 从点B 向点A 运动时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：①当点P 在AB 上时，
BPD
△
的面积与时间t 的关系为：
(
)
1
3
3
4
6
2
2
S
t
t
=
−
=
−
；
②当0
4
t
时，点P 在AB 上，
3
6
2
2 t
−
=
，
解得：
8
3
t =
；
当4
5.5
t
时，点P 在BC 上，
(
)
1
4 2
4
2
2
t
−
=
，
解得：
1
4 2
t =
，
综上分析可知：
8
3
t =
或
1
4 2 ；
（2）解：存在；
当0
4
t
时，点P 在AB 上，
3
6
4
2 t
−
，
解得：
4
3
t
，
∴此时
4
0
3
t
；
当4
5.5
t
时，点P 在BC 上时，
(
)
1
4 2
4
4
2
t
−
，
解得：
5
t
，
∴此时5
5.5
t
；
综上分析可知：
4
0
3
t
或5
5.5
t
；
（3）解：存在；
当0
2
t
时，点Q 从点A 向点B 运动，BP
BQ
，
∴
BPD
BQD
S
S
，
学科网（北京）股份有限公司
53 /
∴当0
2
t
时，
BPD
BQD
S
S
；
当2
3
t
时，点Q 从点B 向点C 运动，则
(
)
3
1
6
4 3
2
2
2
t
t
−
−
，
解得：
12
5
t
，
∴当
12
2
5
t
时，
BPD
BQD
S
S
；
当3
4
t
时，点Q 从点C 向点B 运动，则
(
)
3
1
6
4 3 4
2
2
t
t
−
−
，
解得：
4
t
，
∴此时没有符合条件的t 存在；
当4
5.5
t
时，点Q 从点B 向点A 运动，
(
)
(
)
1
1
4 2
4
3 2
4
2
2
t
t
−
−
，
整理得：(
)
(
)
4
4
3
4
t
t
−
−
，
∵此时4
5.5
t
，
∴
4
0
t −
，
∴(
)
(
)
4
4
3
4
t
t
−
−
总成立，
∴4
5.5
t
时，
BPD
BQD
S
S
；
综上分析可知：
12
0
5
t
或4
5.5
t
时，
BPD
BQD
S
S
．
6．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，
ABC
中，
90
ABC
=
，
4
AB =
，
3
BC = ．动点P 从点A 出发，
沿折线A
B
C
→
→
以每秒1个单位长度运动，到达点C 时停止，设点P 运动的时间为t 秒．
(1)点P 整个运动过程中，共需___秒；
(2)若
APC
△
的面积为2 时，求t 的值；
(3)若
APC
△
的面积大于3
2 时，求t 的取值范围．
【答案】(1)7
(2)t 的值为4
3 或6
学科网（北京）股份有限公司
54 /
(3)
1
1
6 4
t
【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论．
（1）先求出运动的路程，再根据时间= 路程速度，即可求解；
（2）分两种情况：当P 在AB 上运动(
)
0
4
t
时，当P 在BC 上运动(
)
4
7
t
时，根据三角形的面积公式
列方程即可求解；
（3）根据当0
4
t
时，
1
3
3
2
2
APC
S
t
=
，当4
7
t
时，
(
)
1
3
4 7
2
2
APC
S
t
=
−
，即可求解．
【详解】（1）解：
4
AB =
，
3
BC = ，
点P 整个运动过程中，路程为4
3
7
+ = ，
点P 整个运动过程中，所需时间为7 1
7
= 秒，
故 答 案 为：7 ；
（2）当P 在AB 上运动(
)
0
4
t
时，
1
1
3
2
2
2
APC
S
BC AP
t
=
=
=
，
解 得：
4
3
t =
，
当P 在BC 上运动(
)
4
7
t
时，
(
)
1
1
4 7
2
2
2
APC
S
AB PC
t
=
=
−
=
，
解得：
6
t =
，
综上可得t 的值为4
3 或6 ；
（3）当0
4
t
时，
1
3
3
2
2
APC
S
t
=
，
解得：
1
t ，
当4
7
t
时，
(
)
1
3
4 7
2
2
APC
S
t
=
−
，
解得：
1
6 4
t
，
综上可得：
1
1
6 4
t
．
7．（24-25 七年级上·江苏南京·期末）【概念提出】
已知
AOB
及射线OC ，我们称
AOC
BOC
AOB
+
的值为OC 与
AOB
的“关联度”，并用符号(
)
,
OC
AOB
表
示，其中
,
,
AOC
BOC
AOB
都在0到180之间（含0和180）．
(1)若
40 ,
30
AOB
AOC
=
=
，则(
)
,
OC
AOB
= ；
(2)尺规作图：如图1，已知
AOC
，作一条射线OB ，使得(
)
,
2
OC
AOB
=
．
学科网（北京）股份有限公司
55 /
（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明）
【拓展延伸】
(3)如图2，已知
120 ,
60
MON
AOB
=
=
，射线OB 与射线ON 重合，射线OC 位于
MON
内部或边上，
将图2 中的
AOB
绕点O 按顺时针方向以每秒2的速度旋转，(
)
,
OC
AOB
的值随旋转时间及OC 的位置
变化而变化．
①如图3，当旋转时间为45 秒时，(
)
,
OC
AOB
的最小值为 ；
②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，
(
)
4
,
5
OC
AOB
．
【答案】(1)1 或5
2
(2)见解析
(3) 2 75
【分析】（1）根据题意，分射线OC 在
AOB
的内部或外部2 种情况计算即可；
（2）由(
)
,
2
OC
AOB
=
，分射线OB 在OC 下方、在
AOC
内部、在OA上方3 种情况讨论，得出
2
AOB
AOC
=
符合题意，再利用尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作出
AOC
的2 倍即可得到射
线OB ；
（3）①根据题意，讨论
180
AOC
BOC
+
和
180
AOC
BOC
+
，分别计算出(
)
,
OC
AOB
的取值
范围，即可得出最小值；②设旋转时间为t 秒，结合图形可得30
120
t
，再分3 种情况讨论：30
60
t
；
60
90
t
；90
120
t
；再结合
(
)
4
,
5
OC
AOB
，运用不等式的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：若射线OC 在
AOB
的内部，则
40
30
10
BOC
AOB
AOC
=
−
=
−
=
，
(
)
30
10
,
1
40
AOC
BOC
OC
AOB
AOB
+
+
=
=
=
；
若射线OC 在
AOB
的外部，则
40
30
70
BOC
AOB
AOC
=
+
=
+
=
，
学科网（北京）股份有限公司
56 /
(
)
30
70
5
,
40
2
AOC
BOC
OC
AOB
AOB
+
+
=
=
=
；
综上所述，(
)
,
1
OC
AOB
= 或5
2 ．
故答案为：1 或5
2 ．
（2）解：
(
)
,
2
OC
AOB
=
，
2
AOC
BOC
AOB
+
=
，
2
AOC
BOC
AOB
+
=
，
若射线OB 在OC 下方，此时
AOC
BOC
AOB
+
=
，
2 AOB
AOB
=
，即
0
AOB
= （不符合题意，舍去）；
若射线OB 在
AOC
内部，此时
BOC
AOC
AOB
=
−
，
2
AOC
AOC
AOB
AOB
+
−
=
，
2
3
AOB
AOC
=
，即射线OB 为
AOC
的三等分线，
由于尺规作图不能三等分任意角，故不符合题意，舍去；
若射线OB 在OA上方，此时
BOC
AOC
AOB
=
+
，
2
AOC
AOC
AOB
AOB
+
+
=
，
2
AOB
AOC
=
，
如下图，则射线OB 即为所求：
（3）解：①当旋转时间为45 秒时，
2
45
90
BON
=
=
，
90
60
30
AON
BON
AOB
=
−
=
−
=
，
射线OC 位于
MON
内部或边上，
下面分2 种情况讨论：
当
180
AOC
BOC
+
，此时
60
BOC
AOC
AOB
AOC
=
+
=
+
，
(
)
2
60
,
60
AOC
BOC
AOC
OC
AOB
AOB
+
+
=
=
，
由图可知，
30
AOC
，
学科网（北京）股份有限公司
57 /
(
)
2
60
2 30
60
,
2
60
60
AOC
OC
AOB
+
+
=
=
；
当
180
AOC
BOC
+
，此时
360
300
AOC
BOC
AOB
+
=
−
=
，
(
)
300
,
5
60
AOC
BOC
OC
AOB
AOB
+
=
=
=
；
综上所述，(
)
,
OC
AOB
的最小值为2．
故答案为：2．
②当射线OC 在
AOB
内部或边上时，则有
60
AOC
BOC
AOB
+
=
=
，
此时(
)
60
,
1
60
AOC
BOC
OC
AOB
AOB
+
=
=
=
，不符合题意，
射线OC 不能在
AOB
内部或边上，即
AOB
的两边都在
MON
的外部，
设旋转时间为t 秒，
当射线OA从图2 的位置旋转至ON ，则
60 2
30
t =
=
，
当射线OB 从图2 的位置旋转至OM ，则
(
)
360 120
2
120
t =
−
=
，
30
120
t
；
当
180
MOA
=
时，如图，
则
180
60
AON
MON
=
−
=
，此时
30
60
2
60
t =
+
=
，
当
180
AOC
BOC
+
，此时
60
BOC
AOC
AOB
AOC
=
+
=
+
，
(
)
2
60
2 60
60
,
3
60
60
AOC
BOC
AOC
OC
AOB
AOB
+
+
+
=
=
=
，
此时(
)
,
OC
AOB
的最小值为3，不符合题意，
在30
60
t
范围内不存在符合题意的旋转时间；
当
180
NOB
=
时，如图，
学科网（北京）股份有限公司
58 /
则
180
60
BOM
MON
=
−
=
，此时
180 2
90
t =
=
，
当
180
AOC
BOC
+
，此时
60
AOC
BOC
AOB
BOC
=
+
=
+
，
(
)
2
60
2 60
60
,
3
60
60
AOC
BOC
BOC
OC
AOB
AOB
+
+
+
=
=
=
，
此时(
)
,
OC
AOB
的最小值为3，不符合题意，
在90
120
t
范围内不存在符合题意的旋转时间；
当60
90
t
时，如图，
当
180
AOC
BOC
+
，由①中的结论有：(
)
,
5
OC
AOB
=
，符合题意；
当
180
AOC
BOC
+
，此时有
60
BOC
AOC
=
+
或
60
AOC
BOC
=
+
，
令(
)
,
4
OC
AOB
，则2
60
4
60
AOC
+
或2
60
4
60
BOC
+
，
解得：
90
AOC
或
90
BOC
，
射线OC 位于
MON
内部或边上，
90
=
AON
或
90
BOM
=
，
当
90
AON
=
时，
30 90 2
75
t =
+
=
，
当
90
BOM
=
时，
120 90 2
75
t =
−
=
，
当
75
t =
时，
(
)
4
,
5
OC
AOB
．
学科网（北京）股份有限公司
59 /
故答案为：75．
题型二：一元一次不等式实际应用解答题压轴
1．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）十一黄金周（7 天）期间，易达一家计划租车一周去旅行，
在看过租车公司的方案后，认为有以下两种方案比较适合（注：两种车型的油耗相同）：
周租金/
元
平均每天免费行驶（里程/千
米）
超出免费里程费用（元/千
米）
A
型
1740
100
1.5
B
型
2640
220
1.2
解决下列问题：
(1)如果此次旅行的总行程为800 千米，请通过计算说明租用哪种型号的车划算．
(2)设本次旅行行程为a 千米（a 是正整数），请通过计算说明如何根据旅行行程选择省钱的租车方案．
【答案】(1)租用A 型车划算
(2)当旅行行程小于1300千米时选A 型车，等于1300千米时任选，大于1300千米时选B 型车
【分析】本题考查了分段计费问题的应用（租车费用计算）及分类讨论思想，涉及“总费用=周租金+超出免
费里程的费用”的分段逻辑；解题的关键是根据行程是否超出免费里程计算两种车型的总费用，（1）问直
接代入计算比较，（2）问分情况讨论行程范围确定省钱方案．
（1）总行程800千米，分别计算A、B 型车的总费用：先判断行程是否超免费里程，超出自费部分=（总行
程7
−天免费里程）超出单价，总费用=周租金+超出自费部分，再比较两者费用；
（2）设行程a 千米，分
100 7(
a
A
、B 均不超免费里程）、100 7
220 7(
a
A
超、B 不超）、
220 7(
a
A
、
B 均超）三种情况，分别列两种车型费用表达式，通过比较大小确定省钱方案．
【详解】（1）解：（1）总行程800千米，比较A、B 型车费用
①A 型车费用：
7 天免费里程100 7
700
=
=
千米，800
700
，超出800 700
100
−
=
千米
总费用1740 100 1.5
1740 150
1890
=
+
=
+
=
元
②B 型车费用：
学科网（北京）股份有限公司
60 /
7 天免费里程
220 7
1540
=
=
千米，800
1540
，无超出费用
总费用
2640
=
元
∵1890
2640
，
∴租用A 型车划算
答：租用A 型车划算
（2）根据行程a 千米选择省钱方案
7 天A 免费里程
700
=
千米，B 免费里程1540
=
千米，分三种情况：
①当
700
a
时：
A 型费用
1740
=
元，B 型费用
2640
=
元，
∵1740
2640
，选A 型
②当700
1540
a
时：
A 型费用
(
)
1740 1.5
700
1.5
690
a
a
=
+
−
=
+
B 型费用
2640
=
元，令1.5
690
2640
a+
=
，解得
1300
a =
若700
1300,1.5
690
2640
a
a
+
，选A 型
若
1300
a =
，两者费用相等，任选
若1300
1540,1.5
690
2640
a
a
+
，选B 型
③当
1540
a
时：
A 型费用
1.5
690,
a
B
=
+
型费用
(
)
2640 1.2
1540
1.2
792
a
a
=
+
−
=
+
令1.5
690
1.2
792
a
a
+
=
+
，解得
340
a =
（舍去，因
1540)
a
∵
1540
a
时，1.5
690
1.2
792
a
a
+
+
，选B 型
综上：当
1300
a
时选A 型;
1300
a =
时任选;
1300
a
时选B 型
答：当旅行行程小于1300千米时选A 型车，等于1300千米时任选，大于1300千米时选B 型车
2．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）在学习完综合与实践《低碳生活》之后，同学们的节能环保意识有了
显著的提高．某小组同学利用课余时间开展了一项关于“新能源汽车充电桩现状”的调查活动，请你帮他们完
成下面的活动报告．
活动课题
了解“新能源汽车充电桩的现状”
活动目的
运用所学知识探究新能源汽车充电桩问题，提倡“低碳生活，绿色出行”．
调查数据
某月，“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量
学科网（北京）股份有限公司
61 /
1
及市场份额的统计图如图：
调查数据
2
某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个地上充电桩的占地
2
3m ，每个
地下充电桩的占地
2
1m ．已知新建1 个地下充电桩比新建1 个地上充电桩多
0.1 万元，新建2 个地上充电桩和1 个地下充电桩共需要0.7 万元．
问题一
统计图中“国家电网”的公共充电桩数量是________，市场份额是________；
问题二
求该小区新建1 个地上充电桩和新建1 个地下充电桩各需要多少万元．具体
解题步骤如下：
问题三
若该小区计划用不超过16.32 万元的资金新建60 个充电桩，且地上充电桩的
数量不超过20 个，求共有哪几种建设方案．
具体解题步骤如下：
问题四
考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过
2
m
a
，在问题三的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a 的取值范
围是________．
【答案】问题一：8 万台，16% ；
问题二：该小区新建1 个地上充电桩需要0.2 万元，新建1 个地下充电桩需要0.3 万元．
问题三：一共有4 种方案，分别为
方案①新建17 个地上充电桩，43 个地下充电桩；
方案②新建18 个地上充电桩，42 个地下充电桩；
方案③新建19 个地上充电桩，41 个地下充电桩．
方案④新建20 个地上充电桩，40 个地下充电桩．
学科网（北京）股份有限公司
62 /
问题四：96
98
a
【分析】本题考查条形统计图，二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，试题内容较多，读懂题
意，找出等量关系和不等关系是解题的关键．
问题一：根据条形统计图的特征求解即可；
问题二：找出等量关系建立二元一次方程组求解；
问题三：根据超过16.32 万元建立不等式求解即可；
问题四：先计算四种方案占地面积，再根据仅有两种方案可供选择得出a 的取值范围．
【详解】问题一：该月投放公共充电桩的总的数量：5 10%
50
=
（万台），
“国家电网”的公共充电桩数量是：50 15 10 5 2
2
2 1.5 1 0.5 3
8
−
−
−−−−−
−−
−= （万台），
它的市场份额是：8
16%
50 =
，
故答案为：8 万台，16% ；
问题二：由题意，设新建1 个地上充电桩需要x 万元，地下充电桩需要y 万元．
0.1
2
0.7
y
x
x
y
=
+
+
=
．
0.2
0.3
x
y
=
=
．
答：该小区新建1 个地上充电桩需要0.2 万元，新建1 个地下充电桩需要0.3 万元．
问题三：设建造m 个地上充电桩，则地下充电桩为(
)
60
m
−
个，
则
(
)
0.2
0.3 60
16.32
m
m
+
−
16.8
m
，
又
m
为整数，
20
m≤
，整数m 的值为17，18，19，20．
一共有4 种方案，分别为
方案①新建17 个地上充电桩，43 个地下充电桩；
方案②新建18 个地上充电桩，42 个地下充电桩；
方案③新建19 个地上充电桩，41 个地下充电桩．
方案④新建20 个地上充电桩，40 个地下充电桩．
问题四：
方案①：
17 3
43
94
a =
+
=
（平方米），
方案②：
18 3
42
96
a =
+
=
（平方米），
学科网（北京）股份有限公司
63 /
方案③：
19 3 41
98
a =
+
=
（平方米），
方案④：
20 3 40
100
a =
+
=
（平方米），
若仅有两种方案可供选择，直接写出a 的取值范围是：96
98
a
．
3．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）综合与实践：阅读下列材料，回答问题．
某校大礼堂要需要制作10 个矩形铝合金窗框，每个窗框由3 根长管（长度2.8 米/根）和
4 根短管（长度2.1米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行
切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于2.1米）称为废料．已知有A 型材（长度为6.0
米/根）、B 型材（长度为6.3米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为30 元/
米，且只能整根购买．数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发
表了意见：
小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，
因此废料最少时原材料的购买成本最低；
小颖：若全部采用B 型材比全部采用A 型材的购买成本更高；
小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低．
(1)请写出一根A 型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度；
(2)如果只使用B 型材制作1 个铝合金窗框，则至少需要多少根B 型材？请写出切割方法；
(3)请设计一种方案使得这10 个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，并求出最低成本．（方案应说
明A，B 两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据一根A 型材的长度，结合每根长管的长度2.8 米/根和每根短管的长度2.1米/根，进行分
类讨论即可；
（2）先一根B 型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度，再根据切割方法进行确定方案，即可求解；
（3）根据每种切割方法的废料对边可得可切割的方案组合有：①②，①⑥，②⑥，①②⑥，分别进行
求解即可．
【详解】（1）解：一根A 型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度如下：
方法①：每根A 型材切割出长管2 根、短管0 根，废料长度为每根0.4 米；
方法②：每根A 型材切割出长管1 根、短管1 根，废料长度为每根1.1米；
学科网（北京）股份有限公司
64 /
方法③：每根A 型材切割出长管0 根、短管2 根，废料长度为每根1.8米；
（2）解：一根B 型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度如下∶
方法④：每根B 型材切割出长管2 根、短管0 根，废料长度为每根0.7 米
方法⑤：每根B 型材切割出长管1 根、短管1 根，废料长度为每根1.4米
方法⑥：每根B 型材切割出长管0 根、短管3 根，废料长度为每根0 米
制作一个铝合金窗框可能的方案有∶
方案：1 根B 型材按方法④切割出长管2 根、短管0 根，废料长度0.7 米，
1 根B 型材按方法⑤切割出长管1 根、短管1 根，废料长度1.4米，
1 根B 型材按方法⑥切割出长管0 根、短管3 根，废料长度0 米，
答：至少需要3 根B 型材，按方案切割．
（3）解：依题意，共需切割出长管30根、短管40 根，
比较方法①与方法④，
0.4
0.7
，
方法①比方法④的废料更少，
选择方法①；
同理比较方法②与方法⑤，选择方法②；
比较方法③与方法⑥，选择方法⑥；
故可切割的方案组合有：①②，①⑥，②⑥，①②⑥，
方案一：①②，
设用于方法①切割的A 型材为x 根，则用于方法②切割的A 型材为（30
2x
-
）根，
30
2
40
x
−
，
解得：
5
x −，不符合题意，
故此方案舍去；
方案二：①⑥，
设用于方法①切割的A 型材为x 根，
2
30
x
=
，
解得：
15
x =
，
废料为：15 0.4
6
=
（米），
用于方法⑥切割的B 型材为40
14
3
根，废料为：6.3 2.1
4.2
−
=
（米），
学科网（北京）股份有限公司
65 /
总废料为：6
4.2
10.2
+
=
（米）；
总费用为：
(
)
30 15 6 14 6.3
5346
+
=
（元）；
方案三：②⑥，
用于方法②切割的A 型材需要30根，废料为：30 1.1
33
=
（米），
则用于方法⑥切割的B 型材为40
30
4
3
−
根，6.3 2.1
4.2
−
=
（米），
总废料为：33 4.2
37.2
+
=
（米）；
总费用为：
(
)
30 30 6
4 6.3
6156
+
=
（元）；
方案四：①②⑥，
设用于方法①切割的A 型材为x 根（0
15
x
），废料为：0.4x 米，
则用于方法②切割的A 型材为（30
2x
-
）根，废料为：(
)
30
2
1.1
33
2.2
x
x
−
=
−
（米），
方法①②的总废料为：(
)
33 1.8x
−
米，
用于方法⑥切割的B 型材为
(
)
40
30
2
10
2
3
3
x
x
−
−
+
=
根，
当10
2
3
x
+
为整数时没有废料，
0
15
x
，
当
13
x =
，10
2
12
3
x
+
=
时，
当使方法①②⑥的总废料最小为33 1.8
9.6
x
−
=
米；
故用于方法①切割的A 型材为13根，
用于方法②切割的A 型材为4 根，
用于方法⑥切割的B 型材为12根，
总费用为：
(
)
30 17 6 12 6.3
5328
+
=
（元）；
故选方案四；
故切割方法为：
12 根B 型材按方法⑥切割，得到36 根短管；
13 根A 型材按方法①切割，得到26 根长管；
4 根A 型材按方法②切割，得到4 根长管和4 根短管．
最低成本为：5328元．
4．（24-25 七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2 件和乙商品3
学科网（北京）股份有限公司
66 /
件共需270 元；购进甲商品3 件和乙商品2 件共需230 元．商场决定甲商品以每件40 元出售，乙商品以每
件90 元出售．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60 件，购进乙种的件数不低于46 件，且不超过甲种件数的4 倍．购
进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40 件时，则乙种商品超过的部分按进价打8 折．请
设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】(1)甲商品每件的进价为30元，乙商品每件的进价为70 元
(2)购进甲种商品12件，乙种商品48 件时，最大利润为1192元
【分析】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用；
（1）设甲种商品每件的进价为x 元，乙种商品每件的进价为y 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程
组，即可求解；
（2）设购进甲种商品m 件，则乙种商品为(60
)
m
−
件，根据题意列出不等式组，得出m 为整数，即m 可取12、
13、14；进而分别求得甲乙的利润，将m 的值代入，比较大小即可求解．
【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价为x 元，乙种商品每件的进价为y 元，根据题意得，
2
3
270
3
2
230
x
y
x
y
+
=
+
=
，得
30
70
x
y
=
=
，
答：甲商品每件的进价为30元，乙商品每件的进价为70 元
（2）解：设购进甲种商品m 件，则乙种商品为(60
)
m
−
件，根据题意得，
60
46
60
4
m
m
m
−
−
解得：12
14
m
且m 为整数，即m 可取12、13、14；
设
60
n
m
=
−
，
根据题意当购买n 件(
)
40
n −
，其中前40 件进价70 元，后(
)
40
n −
件进价56元，因此：
乙的利润为：
(
)
40
90
70
−
+ (
) (
)
40
90
56
n −
−
= 40 20
+ (
)
40
34
n −
甲的利润为
(
)
40
30
10
m
m
−
=
总利润10m
=
+ 800
(
)
34
40
n
+
−
学科网（北京）股份有限公司
67 /
10m
=
800
+
34(60
+
m
−
40)
−
10m
=
800
+
34(20
+
)
m
−
10m
=
800
+
680
+
34m
−
=
24m
−
1480
+
当
12
m =
时，总利润=
24 12
−
1480
+
=
288 1480
1192
−
+
=
元
当
13
m =
时，总利润=
24 13
−
1480
+
=
312 1480
1168
−
+
=
元
当
14
m =
时，总利润=
24 14
−
1480
+
=
336 1480
1144
−
+
=
元
1192
1168
1144
当
12
m =
时，总利润为1192元，为最大值．最优方案为购进甲种商品12件，乙种商品48 件，最大利润为
1192元．
5．（24-25 七年级下·重庆渝中·期末）为积极响应国家“碳达峰、碳中和”目标，某工业园推出碳交易奖惩试
点项目，以促进企业节能减排，最终实现绿色发展．该工业园A，B 两家企业2023 年碳排放量及2024 年碳
排放配额如下表：
企业
2023 年碳排放量（吨）
2024 年碳排放配额（吨）
A
8000
7200
B
2500
3000
碳交
易
规则
①碳排放超过配额，超过部分需按80 元/吨购买碳排放权；
②碳排放未超过或刚好达到碳排放配额，园区管委会奖励企业5000 元，且结余
部分可以按30 元/吨出售碳排放权．
已知，两家企业2024 年1 4
−月碳排放总量为3400 吨，且企业A 月均排放量比企业B 的2 倍少50 吨．
(1)求1 4
−月期间，两家企业月均碳排放量各多少吨？
(2)企业A 从2024 年5 月开始，加大对企业B 的帮扶力度，并承诺5 月到12 月期间月平均碳排放量不超过
企业B 的1.8倍，结果2024 年A，B 两企业全年碳排放的总量为9000 吨．企业B 在2024 年的碳交易中是需
要购买还是出售碳排放权？若需购买，最少支出多少元？若能出售，最多获利多少元？
(3)企业B 从2025 年起，年碳排放总量比前一年多20%，直至碳达峰，其峰值为7500 吨．按（2）中2024
年最低排放量计算，企业B 在2030 年能否实现碳达峰？（参考数据：
3
1.2
1.73
，
4
1.2
2.07
，
5
1.2
2.49
，
6
1.2
2.99
）
【答案】(1)A，B 两家企业月均碳排放量分别为550 吨和300 吨；
学科网（北京）股份有限公司
68 /
(2)企业B 购买碳排放权的金额最少为16000 元；
(3)2030 年企业B 能实现碳达峰．
【分析】（1）设1 4
−月期间，企业A，B 的月均碳排放量分别为x，y 吨．根据题意，得
4(
)
3400
2
50
x
y
x
y
+
=
=
−
，
解方程组即可．
（2）设5 12
−
月期间，企业A，B 的月均碳排放量分别为m 吨和n 吨．由题意，得
(
)
3400
8
9000
m
n
+
+
=
．结
合
1.8
m
n
，不等式的性质解答即可．
（3）根据题意，得
4
5
3200 1.2
7500
3200 1.2
＜
＜
，解答即可．
本题考查了方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设1 4
−月期间，企业A，B 的月均碳排放量分别为x，y 吨．
根据题意，得
4(
)
3400
2
50
x
y
x
y
+
=
=
−
解得
550
300.
x
y
=
=
，
答：A，B 两家企业月均碳排放量分别为550 吨和300 吨．
（2）解：设5 12
−
月期间，企业A，B 的月均碳排放量分别为m 吨和n 吨．
由题意，得
(
)
3400
8
9000
m
n
+
+
=
．
整理，得
700
m
n
=
−
．
又
1.8
m
n
，
则700
1.8
n
n
−
．
解得
250
n
．
当
250
n =
时，企业B 全年碳排放量最少，其总量为300 4
250 8
3200
+
=
（吨）．
因为3200 3000
＞
，所以企业B 需要购买碳排放权．
企业B 购买碳排放权的金额最少为：(
)
3200
3000
80
16000
−
=
（元）
答：企业B 购买碳排放权的金额最少为16000 元．
（3）解：因为
4
5
3200 1.2
7500
3200 1.2
＜
＜
，所以再经过5 年，即2029 年企业B 能实现碳达峰．
答：2030 年企业B 能实现碳达峰．
6．（2025·重庆·模拟预测）为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，
这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4 元，小李花了3000 元购买大果，5000 元购买中果，且购进的中
学科网（北京）股份有限公司
69 /
果数量是大果数量的2 倍．
(1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？
(2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加
价4a 元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，
小李准备降价促销：中果每千克降价a 元，大果每千克降价5 元进行销售．预计除了10 千克中果和2 千克
大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980 元，求a 的最小值．
【答案】(1)中果每千克进价20 元，则大果每千克进价为24 元；
(2)9
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设中果每千克进价x 元，则大果每千克进价为(
4)
x +
元，根据小李花了3000 元购买大果，5000 元购
买中果，且购进的中果数量是大果数量的2 倍．然后列分式方程即可求解．
（2）分阶段求出总收入=(
)
9912
452a
+
元、总成本
8000
=
元，根据总利润=总收入−总成本(
)
1912
452a
=
+
元，
依题意列不等式即可作答．
【详解】（1）解：设中果每千克进价x 元，则大果每千克进价为(
4)
x +
元，依题意：
∴5000
3000
2
4
x
x
=
+
，
解并检验得：
20
x
，
大果每千克进价为(
4)
24
x +
=
元，
答：中果每千克进价20 元，则大果每千克进价为24元；
（2）解：已知中果购进5000
250
20 =
（千克），大果购进 3000
125
25 =
（千克），总成本 5000 3000
8000
+
=
（元）．
第一阶段销售：
中果售价比进价高50%，售价20 1.5
30
=
（ 元/千克）．
售出量250 (1
20%)
200
−
=
（千克），收入 200 30
6000
=
（元）．
大果在进价基础上加价4a元，售价(
)
24
4a
+
元/千克．售出量125 (1
40%)
75
−
=
（千克），收入
(
)
75
24
4a
+
元．
剩余：中果0.2 250
50
=
（ 千克），大果 0.4 125
50
=
（千克）．
第二阶段促销（降价销售）：
中果每千克降价 a 元，新售价(30
a
−
)元/千克．
学科网（北京）股份有限公司
70 /
剩余50千克中，损坏10千克不能售出，可售量为50 10
40
−
=
（千克），收入
(
)
40
30
a
−
元．
大果每千克降价5 元，新售价(
)
(
)
24
4
5
19
4
a
a
+
−
=
+
元/千克．
剩余50千克中，损坏2 千克不能售出，可售量50 2
48
−
=
千克，收入
(
)
48
19
4a
+
元．
总收入
(
)
(
)
(
)
6000
75 24
4
40 30
48 19
4
(9912
452
a
a
a
a
=
+
+
+
−
+
+
=
+
)元，
总利润=总收入−总成本(
)
(
)
9912
452
8000
1912
452
a
a
=
+
−
=
+
元，
由要求总利润不少于 5980 元，得：1912
452
5980
a
+
，解得
9
a
，
因此，
9
a
，最小值为 9．
7．（2025·福建南平·二模）某中学七年级师生在学校大礼堂分为A，B，C，D 四个方阵观看“新生军训文艺
汇演”，演出结束，礼堂内师生有组织、有秩序地尽快疏散撤离．方阵A 的师生从A 号门往安全出口1 撤离；
方阵B 的师生从B 号门往安全出口1 撤离，当方阵B 的第一个人行进至A 号门时，需等待方阵A 的最后一
人离开A 号门满足间距后，队伍再继续行进；方阵D，C 撤离方式类比方阵A，B，如图所示．假设疏散撤
离时：
①所有人员排成单列行进；
②队列中人员的间隔是均匀的；
③队列匀速地撤离礼堂；
④礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处即为完全撤离；
⑤忽略门的宽度及学生在礼堂内排成单列的时间．
(1)若每个方阵均有40 人，撤离时人与人之间的间距为0.75 米，队伍行进的速度为1.5 米/秒．
①求方阵A 所有人员完全撤离的时间；
②求方阵B 所有人员完全撤离的时间．
(2)如图，每个方阵均有m 人，撤离时人与人之间的间距为d 米，队伍行进的速度为v 米/秒，求礼堂内各方
阵最后一个人完全撤离的时间．
【答案】(1)①方阵A 所有人员完全撤离的时间为27.5 秒；②方阵B 所有人员完全撤离的时间为47.5 秒
学科网（北京）股份有限公司
71 /
(2)
(
)
(
)
(
)
(
)
24
1
12
12
2
1
12
m
d md
v
t
m
d md
v
+
−
=
+
−
【分析】本题考查了不等式的实际应用；
（1）①方阵A 所有人员队列长度加上12即为撤离行驶的路程，再除以撤离速度即可；
②先判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A 号门的时候，方阵A 的最后一个人是否离开A 号门0.75
米，再求方阵B 所有人员完全撤离的时间．
（2）先判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A 号门的时候，方阵A 的最后一个人是否离开A 号门0.75
米，再求方阵B 所有人员完全撤离的时间，即为礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间．
【详解】（1）解：①因为撤离时人与人之间的间距为0.75 米，队伍行进的速度为1.5 米/秒，考虑方阵A
（同理方阵D）师生的撤离，该方阵最后一个人到达安全出口1 即为完全撤离，所用时间为：
(
)
12
40 1
0.75
27.5
1.5
+
−
=
（秒）
答：方阵A 所有人员完全撤离的时间为27.5 秒；
②需判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A 号门的时候，方阵A 的最后一个人是否离开A 号门0.75
米
因为(
)
40 1
0.75
0.75
12
1.5
1.5
−
+
，所以方阵B的第一个人到达A 号门的时候，方阵A 的最后一人离开A 号门
还没有0.75 米，此时需等待方阵A 的最后一人离开A 号门0.75 米，队伍再继续行进，这时方阵B 所有人员
完全撤离所用时间为：
(
)
12
2 40 1
0.75
47.5
1.5
+
−
=
（秒）
答：方阵B 所有人员完全撤离的时间为47.5 秒；
（2）解：设礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处所用时间为t 秒，因为每个方阵有m 人，撤离时人与
人之间的间距为d 米，队伍行进的速度为v 米/ 秒，先考虑方阵A 师生的撤离，该方阵最后一个人达到安全
出口1 即为完全撤离，所用时间为
(
)
1
12
1
m
d
t
v
+
−
=
；
方阵B 最后一个人达到安全出口1 所用时间为
(
)
2
24
1
m
d
t
v
+
−
=
，
在所有人员排成单列行进撤离的假设下，分两种情况：
情况一：
当方阵B 的第一个人到达A 号门的时候，方阵A 的最后一个人不影响方阵B 师生的撤离，这种情形出现的
条件是(
)
1
12
m
d
d
v
v
−
+
，这时两个方阵的人员完全撤离所用时间为：
学科网（北京）股份有限公司
72 /
(
)
24
1
m
d
t
v
+
−
=
；
情况二：
当方阵B 的第一个人行进至A 号门时，方阵A 的最后一人离开A 号门还没有d 米，此时需等待方阵A 的最
后一人离开A 号门d 米时，队伍再继续行进，这种情形出现的条件是(
)
1
12
m
d
d
v
v
−
+
，这时两个方阵内的
人员完全撤离所用时间为：
(
)
12
2
1
m
d
t
v
+
−
=
，
综上，
(
)
(
)
(
)
(
)
24
1
12
12
2
1
12
m
d md
v
t
m
d md
v
+
−
=
+
−
．
1．（24-25 七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图为金银河影城的价目表．某社团16 人去此影城看电影，打
算以比赛奖金6000 元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买多
少盒爆米花？（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制
列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量．本题主要考查一元一次不等式在实际消费场景的应用，
熟练掌握“根据总花费限制列不等式，结合整数取值确定最值”是解题关键．
【详解】解：设可买x 盒爆米花．由题意得，
(
)
16 320
90
35 16
6000
x
x
+
+
−
，
解得
9
511
x
，
学科网（北京）股份有限公司
73 /
∴x 最大为5 ．
故选：B．
2．（24-25 七年级下·广东广州·期末）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥
补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车.已知搭公交车每移动1公里产生的碳排放量为
0.04 公斤，驾驶汽车每移动1公里产生的碳排放量为0.17 公斤.假设小玲每天上下班驾驶汽车或搭公交车的
来回总距离皆为20 公里，与驾驶汽车相比，要使减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，则她
至少要搭公交车上下班（ ）天．
A．310
B．309
C．308
D．307
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．设改搭公交车上下班x 天，利用减少产生的碳排放量= 每天减少产生的碳排放量改搭公交车上下班
的天数，结合减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，可列出关于的一元一次不等式，解之可
得出x 的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】解：设改搭公交车上下班x 天，根据题意得：
(
)
0.17
0.04
20
800
x
−
，
解得：
9
30713
x
，
又∵x 正整数，
∴x 的最小值为308，
∴至少要改搭公交车上下班308 天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量．
故选：C．
3．（24-25 七年级下·河北唐山·期末）为进行豌豆种子发芽实验，现将240 个豌豆分成4 组，放在四个盘子
中．每个盘中，豌豆的数量都是奇数，其中一个盘中豌豆的数量少，另外三个盘中豌豆的数量多且数量相
同．问：应该如何分？设豌豆数量多的三个盘均有x 个，则正确的是（ ）
A．依题意豌豆数量少的盘中有(
)
240
x
−
个
B．依题意240
3x
x
−
C．x 有最小值，也有最大值
D．
61
x =
是正确解，也是唯一解
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式的应用．设三个数量多的盘中各有x 个豌豆，数量少的盘中有y 个．根据
题意，3
240
x
y
+
=
，且y
x
，同时x 和y 均为奇数．通过分析x 的取值范围及奇偶性，判断选项的正确性．根
据题意正确的列出不等式是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
74 /
【详解】解：A、数量少的盘子应为
240
3
y
x
=
−
，而非240
x
−，本选项错误．
B、由y
x
，得240 3x
x
−
，本选项错误．
C、由y
x
，得240 3x
x
−
，
解得
60
x
由
0
y
得3
240
x
，
解得
80
x
，
∴ x 的取值范围为61
79
x
且为奇数，
故x 有最小值61 和最大值79，本选项正确．
D、x 可取61、63、…、79 等多个奇数值，并非唯一解，本选项错误．
故选：C．
4．（24-25 七年级下·四川遂宁·期末）篮球比赛积分规则是胜一场得2 分，负一场得1 分．2025 年某篮球
联赛中，太阳队与月亮队要争夺出线权，太阳队当时的战绩是17 胜13 负，后面还有6 场比赛；月亮队当
时的战绩是15 胜16 负，后面还有5 场比赛．为了确保出线，太阳队在后面的比赛中至少
．．要胜多少场？（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】本题考查不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式求解．先算出各队目前的得分，设太
阳队在后面的比赛中要胜x 场，根据题意．计算两队当前积分及后续比赛可能获得的最高积分，建立不等式
求解即可．
【详解】解：目前太阳队得分为：17 2 13
47
+
=
分，后面还要比赛6 场；
月亮队得分为：15 2 16
46
+
=
分，后面还要比赛5场，
月亮队最多胜5场，得分为46
2 5
56
+ =
，
设太阳队在后面的比赛中要胜x 场，
为确保出线，根据题意可得
(
)
47
2
6
56
x
x
+
+
−
，
解得
3
x ，
取最小整数解为：4 ．
故选：B．
5．（24-25 八年级下·山西运城·期中）众所周知，玉露香梨的果肉如羊脂般白嫩，肉质纯净似雪，轻咬一口，
香甜滋味瞬间在味蕾绽放，深受人们的喜爱．某超市购进玉露香梨的价格为80元/ 箱，出售时的标价为120
元/ 箱，后来应广大客户的要求，商店决定让利打折出售，但要保证每箱的利润率不低于5%，则至多可以
学科网（北京）股份有限公司
75 /
打几折？若设打x 折销售，则可列不等式为（ ）
A．120
80 5%
x
B．120
80
80 5%
x−
1
C．120
80 5%
10
x
D．
x
120
80
0
%
80 5
1
−
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题的关键．设打x 折销售，则
打折后的售价为120 10
x
，利用“利润率不低于5%”进行列式即可．
【详解】解：设打x 折销售，
则打折后的售价为120 10
x
，
根据题意得：
x
120
80
0
%
80 5
1
−
，
故选：D．
6．（25-26 七年级上·全国·课后作业）某音乐厅决定在春节期间举办学生专场音乐会，入场券分零售票和团
体票，其中团体票占总票数的2
3 ．若在12 月份购票，团体票每张票价40 元，零售票每张票价50 元，结果
12 月份共售出团体票总票数的3
5 ，并售出零售票的1
4 ．1 月份团体票按每张50 元销售．据推测，团体票和
零售票均能按时全部售出，若要使1 月的票款收入超过12 月的票款收入的1.5 倍，则1 月份的零售票的票
价不能低于每张 元（票价必须为整数）．
【答案】68
【分析】先设1 月份零售票票价、总票数，再分别表示出12 月和1 月的票款收入，根据1 月票款收入超过
12 月票款收入1.5 倍列不等式求解．本题主要考查一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据数量关系列
不等式并求解是解题的关键．
【详解】设1 月份的零售票的票价不能低于每张x 元，总票数a 张，根据题意得：
2
2
3
1
3
2
1
1
50
40
50
1.5
5
3
4
3
5
3
4
3
a
x
a
a
a
+
+
，
解得：40
1
121
3
4
4
a
ax
a
+
，
总票数
0
a
，
解得：
2
67 3
x
；
票价必须为整数，
1
月份的零售票的票价不能低于每张68 元．
7．（24-25 七年级下·北京·期末）某班级共有 40 名学生，现在需要投票评选出 10名“优秀少先队员”．班
学科网（北京）股份有限公司
76 /
内所有学生都具有评选资格．每位学生需给n 名不同学生投票(n 为正整数)．所有人的投票都被有效计入，
最终要保证得票最多10名学生都获得不少于班级一半学生的选票，则n 的最小值为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了不等式的应用，若无法满足得票最多10 名学生都获得不少于班级一半学生的选票，考
虑无法满足的最大情况：总票数的最大值为前9 名学生得票均为40 票，其余31名学生均为19票，即总票数
最大值为9 40 31 19
949
+
=
票，然后根据要保证得票最多10 名学生都获得不少于班级一半学生的选票，
得全班总票数大于949，列不等式求解即可．
【详解】解∶根据题意，得40
9 40 31 19
n
+
，
解得
29
23 40
n
，
又n 是正整数，
∴n 的最小值为24，
故答案为∶24．
8．（24-25 七年级下·河南许昌·期末）油电混合动力汽车结合了传统内燃机汽车和纯电动汽车的优点，可提
高燃油经济性、减少排放并提升驾驶体验．小李驾驶一台油电混合动力汽车从甲地去往乙地，总路程为240
千米．已知每行驶1千米电费为0.3元，每行驶1千米油费比电费多0.4 元，若小李想要使此次行程花费的油
费和电费总计不超过128元，则至少需要在纯电模式下行驶 千米．
【答案】100
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设在纯电模式下行驶x 千米，根据题意得
(
)(
)
0.3
0.3
0.4
240
128
x
x
+
+
−
，然后解不等式即可，找出题中不等关系，列出不等式是解题的关键．
【详解】解：设在纯电模式下行驶x 千米，
根据题意得，
(
)(
)
0.3
0.3
0.4
240
128
x
x
+
+
−
，
解得：
100
x
，
∴至少需要在纯电模式下行驶100千米，
故答案为：100．
9．（24-25 七年级下·新疆·期末）某健身器材专卖店推出两种优惠活动如下表，并规定购物时只能选择其中
一种．
活动
一
所购商品按原价打八折
学科网（北京）股份有限公司
77 /
活动
二
所购商品按原价每满300 元减80 元．（说明：所购商品原价为300 元，可减80 元，需付款220 元；
所购商品原价为770 元，可减160 元，需付款610 元）
若购买一件原价在900 元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一
件这种健身器材的原价为a 元，则a 的取值范围是 ．
【答案】300
400
a
或600
800
a
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．
根据该专卖店推出两种优惠活动，求分别求出选择活动一及选择活动二需付款金额， 再分0
300
a
，
300
600
a
及600
900
a
三种情况考虑，分别列不等式解不等式可得答案．
【详解】解：这种健身器材的原价为a 元，则活动一需付款0.8a 元，
活动二：当0
300
a
时，需付款a 元，当300
600
a
时，需付款(
)
80
a −
元，当600
900
a
时，需付款(
)
160
a −
元，
①当0
300
a
时，
0.8
a
a
，
此时无论a 为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当300
600
a
时，
80
0.8
a
a
−
，
解得300
400
a
，即当300
400
a
时，活动二更合算，
③当600
900
a
时，
160
0.8
a
a
−
，
解得600
800
a
，
即当600
800
a
时，活动二更合算．
综上，当300
400
a
或600
800
a
时，活动二更合算．
故答案为：300
400
a
或600
800
a
.
10．（24-25 七年级下·湖南株洲·期末）书籍是人类进步的阶梯（高尔基语）．某校七年级为校园读书节活
动订购了10 本《骆驼祥子》和12 本《钢铁是怎样炼成的》，总费用420 元．已知订购10 本《骆驼祥子》
与订购9 本《钢铁是怎样炼成的》的费用相同．
(1)求《骆驼祥子》和《钢铁是怎样炼成的》每本分别是多少元？
(2)该学校准备再订购《骆驼祥子》和《钢铁是怎样炼成的》共36 本，订购的总费用不超过688 元，订购《钢
铁是怎样炼成的》的数量不低于《骆驼祥子》订购的数量，请你设计最省钱的订购方案，并求出该方案所
需的费用是多少元？
【答案】(1)《骆驼祥子》每本18 元，《钢铁是怎样炼成的》每本20 元
(2)订购《骆驼祥子》18 本，则订购《钢铁是怎样炼成的》18 本，所需的费用最小是684 元
学科网（北京）股份有限公司
78 /
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根
据不等关系列出不等式，是解题的关键．
（1）设《骆驼祥子》每本x 元，《钢铁是怎样炼成的》每本y 元，根据费用=单价数量列出二元一次方程
组求解；
（2）设订购《骆驼祥子》m 本，则订购《钢铁是怎样炼成的》(
)
36
m
−
本，由题意列出一元一次不等式组，
解出未知数范围，设所需费用为W 元，则
(
)
18
20 36
2
720
W
m
m
m
=
+
−
= −
+
，根据一次函数性质求出结果即
可．
【详解】（1）解：设《骆驼祥子》每本x 元，《钢铁是怎样炼成的》每本y 元，
根据题意得，
10
12
420
10
9
x
y
x
y
+
=
=
，
解得
18
20
x
y
=
=
，
答：《骆驼祥子》每本18 元，《钢铁是怎样炼成的》每本20 元；
（2）设订购《骆驼祥子》m 本，则订购《钢铁是怎样炼成的》(
)
36
m
−
本，
根据题意得，
(
)
18
20 36
688
36
m
m
m
m
+
−
−
解得16
18
m
，
设所需费用为W 元，则
(
)
18
20 36
2
720
W
m
m
m
=
+
−
= −
+
，
2
0
−
，
W 随m 的增大而减小，
当
18
m =
时，W 有最小值，
2 18 720
684
W = −
+
=
（元），
此时，36
18
m
−
=
（本），
答：订购《骆驼祥子》18 本，则订购《钢铁是怎样炼成的》18 本，所需的费用最小是684 元．
11．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给绘画比赛中获
奖的学生．若购买1 本笔记本和1 支中性笔花了20 元；购买1 本笔记本和3 支中性笔花了28 元．
(1)求1 本笔记本和1 支中性笔的单价分别是多少元？
(2)如果学校一共要购进100 件奖品，总费用不能超过900 元，那么学校最多能买多少个笔记本？
【答案】(1)一本笔记本16 元，一支中性笔4 元
学科网（北京）股份有限公司
79 /
(2)41 个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，正确得出不等关系，列出不等式是解
题关键．
（1）设一本笔记本单价x 元，一支中性笔单价y 元，由题意可列方程组{ x+y=20
x+3y=28
，求解出方程组的解即可；
（2）设学校购进m 个笔记本，则购进中性笔(
)
100
m
−
支，由（1）可知一本笔记本16 元，一支中性笔4 元，
根据总费用不能超过900 元可列不等式16m+4(100−m)≤900，求解出不等式的解即可．
【详解】（1）解：设一本笔记本单价x 元，一支中性笔单价y 元，
依题意可列{ x+y=20
x+3y=28
，
解得：
16
4
x
y
=
=
，
答：一本笔记本16 元，一支中性笔4 元；
（2）设学校购进m 个笔记本，则购进中性笔(
)
100
m
−
支，
由题意可得16m+4(100−m)≤900
解得：m≤41
2
3 ，
m
为非负整数，
∴0≤m≤41，
则学校最多购买41 个笔记本．
12．（24-25 七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）智能清洁机器人因其高效、便捷的特性，正逐渐受到各大商
场的喜爱．某商场为节省人力成本，购进了A ，B 两种型号智能清洁机器人共15台，且购进的这批智能清洁
机器人1小时恰好能处理完整个商场．已知该商场的总面积是10500平方米，如图是关于该批智能清洁机器人
的信息：
(1)分别求出该商场购进的A ，B 两种型号智能清洁机器人的数量；( 列方程组解答)
(2)该商场开了一家总面积为7000 平方米的分店，计划再次购进A ，B 两种型号的智能清洁机器人共10台( 两
学科网（北京）股份有限公司
80 /
种型号均购买) 供分店使用．
①要使购进的这批智能清洁机器人在1小时内能处理完新商场，有多少种采购方案？
②若商场此次购买预算不超过27100 元，请在①的所有方案中确定最终方案．
【答案】(1)该商场购进5台A 种型号的智能清洁机器人，10台B 种型号的智能清洁机器人；
(2)①共有3种采购方案，方案1：采购1台A 种型号的智能清洁机器人，9台B 种型号的智能清洁机器人；
方案2 ：采购2 台A 种型号的智能清洁机器人，8台B 种型号的智能清洁机器人；方案3：采购3台A 种型号
的智能清洁机器人，7 台B 种型号的智能清洁机器人；
②最终方案为：采购3台A 种型号的智能清洁机器人，7 台B 种型号的智能清洁机器人．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：( )
1 找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；( )
2 根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
( )
1 设该商场购进x 台A 种型号的智能清洁机器人，y 台B 种型号的智能清洁机器人，根据“购进了A ，B 两
种型号智能清洁机器人共15台，且购进的这批智能清洁机器人1小时恰好能处理完整个商场”，可列出关于x ，
y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
( )
2 ①设采购m 台A 种型号的智能清洁机器人，则采购(
)
10
m
−
台B 种型号的智能清洁机器人，根据要使购
进的这批智能清洁机器人在1小时内能处理完新商场，可列出关于m 的一元一次不等式，解之可得出m 的取
值范围，再结合m 为正整数，即可得出各采购方案；
②根据商场此次购买预算不超过27100 元，可列出关于m 的一元一次不等式，解之可得出m 的取值范围，
再结合m≤
10
3 且m 为正整数，即可确定最终方案．
【详解】（1）解：设该商场购进x 台A 种型号的智能清洁机器人，y 台B 种型号的智能清洁机器人，
根据题意得：{
x+y=15
500x+800y=10500
，
解得：{ x=5
y=10
，
答：该商场购进5台A 种型号的智能清洁机器人，10台B 种型号的智能清洁机器人；
（2）①解：设采购m 台A 种型号的智能清洁机器人，则采购(
)
10
m
−
台B 种型号的智能清洁机器人，
根据题意得：500m+800(10−m)≥7000，
解得：m≤
10
3 ，
又
m
为正整数，
m
可以为1，2 ，3，
学科网（北京）股份有限公司
81 /
共有3种采购方案，
方案1：采购1台A 种型号的智能清洁机器人，9台B 种型号的智能清洁机器人；
方案2 ：采购2 台A 种型号的智能清洁机器人，8台B 种型号的智能清洁机器人；
方案3：采购3台A 种型号的智能清洁机器人，7 台B 种型号的智能清洁机器人；
②解：根据题意得：2000m+3000(10−m)≤27100，
解得：m≥2.9，
又∵m≤
10
3 ，且m 为正整数，
3
m
= ，此时10
10 3
7
m
−
=
−=
(台)，
最终方案为：采购3台A 种型号的智能清洁机器人，7 台B 种型号的智能清洁机器人．
13．（25-26 八年级上·陕西延安·开学考试）某微型货车最大载重量为1600kg ，现接到装运一批设备的任务，
每套设备由2 个A 部件和1 个B 部件组成，需成套装运．已知1 个A 部件和3 个B 部件总质量为210kg ，2
个A 部件的质量和1 个B 部件的质量相等．
(1)求1 个A 部件和1 个B 部件的质量各是多少千克？（用二元一次方程组求解）
(2)为防止A 、B 部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为160kg 的垫板和隔板，求该微型货车一次最
多可装运多少套设备？
【答案】(1)1 个A 部件30 千克，1 个B 部件60 千克
(2)一次最多可装运12 套设备
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设1 个A 部件的质量是x 千克，1 个B 部件的质量是y 千克，根据“1 个A 部件和3 个B 部件总质量为
210kg ，2 个A 部件的质量和1 个B 部件的质量相等”建立二元一次方程组求解；
（2）该微型货车一次最多可装运m 套设备，计算出一套设备的重量，则由题意建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：设1 个A 部件的质量是x 千克，1 个B 部件的质量是y 千克．根据题意得：
3
210
2
x
y
x
y
+
=
=
，
解得：
30
60
x
y
=
=
，
答：1 个A 部件30 千克，1 个B 部件60 千克；
（2）解：该微型货车一次最多可装运m 套设备，根据题意得：
(
)
2 30 1 60
1600 160
m
+
−
，
学科网（北京）股份有限公司
82 /
∴
12
m
，
∴m 的最大值为12，
答：一次最多可装运12 套设备．
14．（24-25 八年级上·广西桂林·阶段练习）在某市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为
2
3600m 的区域
进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天能完成绿化的面积是乙工程队每天能完
成绿化面积的2 倍，如果两工程队各自独立完成
2
600m 的绿化面积，那么甲工程队比乙工程队少用6 天．
(1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
(2)若甲工程队每天绿化费用为1.2 万元，乙工程队每天绿化费用为0.5 万元，社区要使这次绿化的总费用不
超过40 万元，且乙工程队施工时间不超过36 天，则一共有多少种安排方案？（工作天数为整数）
【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是
2
100m 、
2
50m ；
(2)一共有3 种安排方案．
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是
2
x m ，根据题意列出方程：600
600
6
2
x
x
−
=
，解方程即可；
（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务，由题意得：100
50
3600
a
b
+
=
，则
72
2
b
a
−
=
，
根据题意得出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是
2
m
x
，
根据题意得：600
600
6
2
x
x
−
=
，
解得：
50
x =
，
经检验，
50
x =
是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是
(
)
2
50 2
100 m
=
，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是
2
100m 、
2
50m ；
（2）解：设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务，
由题意得：100
50
3600
a
b
+
=
，则
72
2
b
a
−
=
，
根据题意得：
72
1.2
0.5
40
2
b
b
−
+
，
解得：
32
b
，
因为：
36
b
，
学科网（北京）股份有限公司
83 /
所以32
36
b
，
又b 是整数，可取32 或33 或34 或35 或36，
且
72
2
b
a
−
=
也是整数，则b 可取32 或34 或36，
答：一共有3 种安排方案．
15．（24-25 七年级下·全国·阶段练习）某单位计划购进A，B，C 三种型号的礼品共2700 件，其中C 型号
的礼品500 件，A 型号的礼品比B 型号的礼品多200 件．已知三种型号的礼品单价如下表所示：
型号
A
B
C
单价（元）
30
20
10
(1)求计划购进A 和B 两种型号的礼品分别多少件．
(2)实际购买时，在计划总价格不变的情况下，解答下列问题：
若只购进B，C 两种型号的礼品，且B 型号的礼品件数不超过C 型号的礼品件数的2 倍，则B 型号的礼品
最多购进多少件？
【答案】(1)计划购进A 型号礼品1200 件，B 型号礼品1000 件
(2)B 型礼品最多购进2440 件
【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设计划购进B 型号礼品x 件，则计划购进A 型号礼品(
)
200
x +
件，根据“购进A，B，C 三种型号的礼
品共2700 件”建立一元一次方程求解；
（2）设购进B 型号礼品m 件，表示出购进C 型号礼品数量，根据“B 型号的礼品件数不超过C 型号的礼品
件数的2 倍”建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：设计划购进B 型号礼品x 件，则计划购进A 型号礼品(
)
200
x +
件，
依题意，得：
200
500
2700
x
x
+
+
+
=
，
解得：
1000
x =
，
200
1200
x
+
=
．
答：计划购进A 型号礼品1200 件，B 型号礼品1000 件；
（2）解：设购进B 型号礼品m 件，则购进C 型号礼品
(
)
30 1200
20 1000 10 500
20
6100
2
10
m
m
+
+
−
=
−
件，
依题意，得：
(
)
2 6100
2
m
m
−
，
解得：
2440
m
．
学科网（北京）股份有限公司
84 /
答：B 型礼品最多购进2440 件．
16．（24-25 七年级下·广东潮州·期末）2023 年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5 月14 日至5 月21
日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以3:0 战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13 次登顶．5 月
15 日该项赛事的小组赛票价如下：
2023 年道达尔能源苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦
标赛
TotalEnergies BWF Sudirman Cup Finals 2023
票价总览图
小组赛
日期
时间
A
B
C
5/15
MON
10:00
¥380
¥180
¥80
17:00
¥480
¥280
¥180
(1)若购买10:00场次的A 类门票和B 类门票共7 张，总票价为1860 元，A、B 两类门票各买了多少张？
(2)若再次购买17:00场次的A 类门票和C 类门票共10 张，且总票价不超过2100 元，最少购买C 类门票多
少张？
(3)已知购买10:00场次的B 类门票和C 类门票各若干张，共花费1620 元，有哪些购买方案？
【答案】(1)A 类门票买了3 张，B 类门票买了4 张
(2)最少购买C 类门票9 张
(3)共有2 种购买方案，方案1：购买B 类门票5 张，C 类门票9 张；方案2：购买B 类门票1 张，C 类门票
18 张
【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，分析题意，理清数量关系是解题的关
键．
（1）设A 类门票买了x 张，B 类门票买了y 张，根据“购买门票共7 张，总票价为1860 元”列出方程组，求
解即可；
（2）设购买C 类门票m 张，则购买A 类门票(
)
10
m
−
张，根据“总票价不超过2100 元”列出不等式，求解即
可；
（3）设购买B 类门票a 张，C 类门票b 张，根据“共花费1620 元”列出二元一次方程，求出正整数解，即可
学科网（北京）股份有限公司
85 /
解答．
【详解】（1）解：设A 类门票买了x 张，B 类门票买了y 张，
根据题意得：
7
380
180
1860
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
3
4
x
y
=
=
．
答：A 类门票买了3 张，B 类门票买了4 张；
（2）解：设购买C 类门票m 张，则购买A 类门票(
)
10
m
−
张，
根据题意得，
(
)
480 10
180
2100
m
m
−
+
，
解得：
9
m
，
∴m 的最小值为9．
答：最少购买C 类门票9 张；
（3）解：设购买B 类门票a 张，C 类门票b 张，
根据题意得：180
80
1620
a
b
+
=
，
∴
4
9
9
a
b
=
−
．
又∵a，b 均为正整数，
∴
5
9
a
b
=
=
或
1
18
a
b
=
=
，
∴共有2 种购买方案，
方案1：购买B 类门票5 张，C 类门票9 张；
方案2：购买B 类门票1 张，C 类门票18 张．
