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期末重难点真题特训之易错必刷题型（88题36个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、三角形的边相关概念
1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）下列每组数分别是三根小木棒的长度，下列长度的三条线段能组成三角
形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【分析】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据两边之和大于第三边判断即可．
【详解】解：∵ ，与两边之和大于第三边不一致，
∴A不符合题意；
∵ ，与两边之和大于第三边一致，构成三角形，
∴B符合题意；
∵ ，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形，
∴C不符合题意；
∵ ，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形，
∴D不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级上·北京·期中）已知a,b,c为 的三边，且满足 ， ，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边数量关系的运用，解一元一次不等式，理解三边数量关系，掌握解一元一次不等
式的方法是解题的关键．
根据三角形三边数量关系“两边之和大于第三边，两边之和小于第三边”得到 ， ，结合
， ，可得 ， ，再根据不等式的取值方法“同大取大，同小取小，大小
小大中间找，大大小小无解”即可求解．
【详解】解：∵a,b,c为 的三边，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，解得， ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知 的三边长均为整数， 的周长为偶数．
(1)若 ， ，求 的长．
(2)若 ，求 的最大值．
【答案】(1) 或10
(2)13
【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
（1）根据三角形的三边关系求出 的取值范围，再由 为偶数即可得出结论；
（2）根据 ， 的周长为偶数，可得 为正整数，且 为奇数，再根据 ，
即可得出 的最大值．
【详解】（1）解：∵由三角形的三边关系知， ，即： ，
∴ ，
又∵ 的周长为偶数，而 、 为奇数，
∴ 为偶数，且 为正整数，故 或10；
（2）解：∵ ， 的周长为偶数，
∴ 为正整数，且 为奇数，
∵
∴ 的最大值为13．
易错必刷题二、三角形的高、中线与角平分线相关计算
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 是高， 是角平分线， 是中线，则下列说法中
错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．
根据上述知识逐项进行判断即可．
【详解】解：∵ 是 的中线，，A说法正确，不符合题意；
是高，
，
，B说法正确，不符合题意；
是角平分线，
，而 与 不一定相等，C说法错误，符合题意；
，
，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，
的三个顶点都在格点上，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可．
【详解】解：根据网格特点可知， 交 的延长线于点D，
∵
∴ 的面积 ，
故答案为：
3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在 中， ， ．
(1)若 是偶数，求 的长；
(2)已知 是 的中线，若 的周长为10，求 的周长．
【答案】(1)
(2) 的周长
【分析】本题考查了三角形三边关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，三角形中线含义；
（1）由三角形三边关系得 ，得 边的取值范围，再由 是偶数，即可求解；（2）由 是 的中线及 的周长为10，可得 ，根据 即可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
又 ， ，
，
又 是偶数，
；
（2）解： 是 的中线，
．
的周长为10，
，
，
，
，
又 ，
的周长 ．
易错必刷题三、三角形的内角计算
1．（24-25八年级上·四川广元·期中）【探究】如图①，在 中， 的平分线与 的平分线相交于
点 ．
（1）若 ， ，则 _____度， _____度；
（2） 与 的数量关系为_____，并说明理由．
【应用】如图②，在 中， 的平分线与 的平分线相交于点 ， 的外角平分线与
的外角平分线相交于点 ，写出 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）50，115；（2） ，见解析；（3） ，见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）依据三角形内角和定理进行计算即可；
（2）依据 分别平分 ，可得 ，再根据三角形内角和定理，
即可得到结论；
（3）依据 的外角平分线与 的外角平分线相交Q，可得 ，
再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】（1）
∵ 的平分线与 的平分线相交于点P，
故答案为：50，115
（2）
证明：∵ 分别平分 ，
（3）
理由：∵ 的外角平分线与 的外角平分线相交于点Q，
中
又易错必刷题四、三角形的外角计算
1、（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在 中， ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识．
（1）利用三角形的外角以及三角形的内角和定理计算即可．
（2）利用三角形内角和定理构建方程求出 即可解决问题．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
，
．
易错必刷题五、多边形相关概念
1．（2024七年级上·全国·专题练习）探究归纳题：
【试验分析】（1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作
________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线；
【拓展延伸】
（2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线；
【探索归纳】
（3）对于n边形 ，共有________条对角线（用含n的代数式表示）；
【特例验证】
（4）十边形共有________条对角线．
【答案】（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3） ；（4）35
【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式 是解题关键．
（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）根据对角线的定义，可得答案；
（3）根据探索，可发现规律；
（4）根据对角线的公式，可得答案．
【详解】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经
过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
故答案为∶1，1，1，1，2；
（2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线；
故答案为：5，9；
（3）由（1），（2）可知，对于n边形 ，共有 条对角线；
故答案为： ；
（4）当 时， ，∴十边形有35对角线．
故答案为：35．
易错必刷题六、多边形内角和与外角和
1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为 ．
多算进去的那个内角为多少度？
【答案】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和为180的整数倍以及多边形的内角
和公式．
根据多边形的内角和应为180的整数倍即可求解．
【详解】解：∵当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∴多算进去的内角度数为： ．
易错必刷题七、全等图形
1．（2024八年级上·江苏·专题练习）玩具店有 三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B
型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中 的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那
么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？
【答案】选用A型材料最省钱，要用36元
【分析】本题考查全等图形的定义和性质，方案选择问题，全选A型板时，要与 的正方形全等，需满足所选
A型板中小正方形的总数与 的正方形中小正方形的总数相等．
【详解】解：拼成 的正方形全等的图案：
用A型板12块，每块3元，花费 （元），
用B型板12块，每块4元，花费 （元），
用C型板9块，每块5元，花费 （元）．
所以，选用A型材料最省钱，要用36元．
易错必刷题八、全等三角形的性质1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）榫卯结构是我国古代建筑，家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将
两块全等的木楔（ ）水平钉入长为 的长方形木条中（点 ， ， ， 在同一条直线上）．
若 ，则木楔 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到 ，再根据线段的和差关
系求解即可．
【详解】解；∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
2．（24-25八年级上·海南·期中）如图，在 中， ， ， ，点 为 的中
点，如果点 在线段 上以 的速度由 点向 点运动，点 在线段 上由 点向 点运动，设运动时间
是 ，则 （用含有 的代数式表示）．若发现 与 恰好全等，则点 运动速度可能为
．
【答案】 2或3/3或2
【分析】本题考查了全等三角形的性质定理，能根据全等三角形的性质定理得出
两种情况是解此题的关键．注意：全等三角形的对应边相等．根据点P的运动速度，表示出 即可；设点 的运
动速度为 ，根据全等三角形的性质得出两个情况∶① ，② ，代入后
先求出t，再求出x即可．
【详解】解：∵点 在线段 上以 的速度由 点向 点运动，∴ ，
设点 的运动速度为 ，
， ．
点 为 的中点，
①当 时，
，
，
，
，
；
②当 时，
，
，
，
；
综上，当点 的运动速度为 或 时，能够使 与 全等．
故答案为： ；2或3．
3．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图， ，点A，F，C，E在一条直线上．
(1)求证： ；
(2)连接 ．若 ，求 的度数．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和；
（1）由 可得 ，即可得到 ；
（2）由 可得 ，再由 得到 ，最后根据
列方程计算即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
易错必刷题九、全等三角形的判定
1．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，已知 的三个内角和三条边长，则甲、乙两个三角形中（
）
A．只有甲与 全等 B．只有乙与 全等
C．甲、乙都与 全等 D．甲、乙都不与 全等
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理．根据三角形全等的判定定理 、 、 、 、 逐个
进行分析即可．
【详解】解：甲三角形有两条边与 对应相等，但夹角不一定相等，不能判断甲三角形与 全等；乙有两个角及一个的对边与 对应相等，根据 可以判定乙三角形与 全等；
所以与 全等的只有乙，
故选：B．
2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，点A，F，C，D在同一条直线上， ， ，若要使
，需要添加的一个条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理解答，即可．
【详解】解：根据题意得： ， ，
添加 ，可利用角边角证明 ．
故答案为： （答案不唯一）
3．（24-25八年级上·全国·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个
支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图， 表示小球静止时的位置，当小明用
发声物体靠进小球时，小球从 摆到 位置，此时过点B作 于点D，且测得到点B到 的距离为
；当小球摆到 位置时， 与 恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作 于
点E，测得点C到 的距离为 ．
(1)判断CE与 的数量关系，并证明；
(2)求两次摆动中点B和C的高度差DE的长．
【答案】(1) ．理由见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可．
（1）证 即可求解；
（2）由题意得： ，根据 得出 ，即可求解；
【详解】（1）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴两次摆动中点B和C的高度差DE的长为 ．
易错必刷题十、倍长中线模型
1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1． 是 的
中线． ，写出一个符合条件的 的值．
【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法：
①延长 到E，使得 ；
②连接 ．通过三角形全等把 、 、 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ．从而得到 的取值范围是______，所
以 的可能取值为______．
方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题解决】
（2）如图2、 ，连接 、 ， 是 的中点．连接 ．求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，若 ，延长 交 于点 ， ，求 的面积．【答案】（1） ；3（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）2
【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键．
（1）根据提示证 即可求解；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，证 得 ， ，进而可
得 ，再证 即可；
（3）由（2）可得： ， ，进一步得 ；根据题意
可证 ，据此即可求解；
【详解】（1）解：∵ 是 的中线．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
可得 ，
即： ，
∴ ， 的可能取值为3
故答案为： ；3（答案不唯一）
（2）证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，如图所示：
由题意得： ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴∵ ,
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：
由（2）可得： ，
∴
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
易错必刷题十一、旋转模型
1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1， 是正方形， ，当 在 边上， 在 边上时，请你探究 、 与 之间的
数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2， 是正方形， ，当 在 的延长线上， 在 的延长线上时，请你探究 、
与 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1） ，证明见解析（2） ，证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．
（1）结论： ．将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，然后求出
，利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，
从而得解；
（2）结论： ，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论： ．
理由：如图1，将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，
则： ， ， ，
∴ ，即： 三点共线，
，
∴ ，
∴ ，
，
在 和 中，
，
，
，又 ，
．
（2）结论： ．
理由：如图2，将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，
则： ，
同法（1）可得： ，
，
又 ，
．
易错必刷题十二、垂线模型
1．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图
2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
【问题发现】（1）如图2，已知 中， ， ，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，
垂足分别为E，F，求证： ；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的面积．【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的
关键．
（1）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，根据全等三角形的性质推出 ；
（2）根据余角的性质得到 根据全等三角形的性质得到 ， ，等量代换得到结论；
（3）由（2）得 且 ，得到 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明： ，
，
又 ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
（2）解： ，理由如下：
， ，
，
又 ，
∴ ，
， ，
，
即 ；
（3）解：由（2）得 且 ， ，
∴ ，
∴
，∴ ，则 ，
∴ ．
易错必刷题十三、全等三角形的综合
1．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图， ， ， ， ，垂足分别为 ．
(1)求证： ；
(2)延长 至点 ，使得 ，连接 交 于点 ，若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意，证明 ，即可求解；
（2）根据 ，可得 ，再证 ，得到 ，由
，即可求解．
【详解】（1）证明： ， ， ，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ，
， ，，
，
，即 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践；已知 ，
操作发现：
（1）将 和 按图①方式摆放，点E落在AB上，DE所在的直线交 于点F，请直接写出线段
的数量关系．
问题解决：
（2）将 和 按图②方式摆放，DE所在的直线交 于点F．（1）中的结论是否仍然成立？请说
明理由．
（3）将 和 按图③方式摆放，DE所在的直线交 所在直线于点F．（1）中的结论还成立吗？
请直接写出 与DE之间的数量关系．
【答案】（1） ；（2）仍然成立，理由见解析；（3）结论不成立，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握举一反三的数学思想是解题关键．（1）连接 ，由题意得 ，证 得 即可；
（2）连接 ，由题意得 ，证 得 即可；
（3）连接 ，由题意得 ，证 得 即可；
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ,
连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：仍然成立，理由如下：
∵ ，
∴ ,
连接 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：结论不成立，
∵ ，
∴ ,
连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
3．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习） ， ， 的平分线 ， 相交于点E．(1)如图1， ______；
(2)如图2，过点E作直线 ， ， 的垂线，垂足分别为F，G，H，证明： ；
(3)如图3，过点E的直线与 ， 分别相交于点B，C（B，C在 的同侧）求证：E为线段 的中点；
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
(3)证明过程见详解
【分析】（1）根据 平分 ， 平分 ，可得 ， ，
再根据 ，有 ，即有 ，问题随之得解；
（2）先证明 ，即有 ，同理可证： ，则问题得解；
（3）在 上取一点M，使得 ，连接 ，先证明 ，即有 ， ，
在（1）中已证明 ，即有 ， ，即可得
，再证明 ，即有 ，问题得解．
【详解】（1）解： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）证明： ， 平分 ，
， ，
，
，，
同理可证： ，
；
（3）证明：在 上取一点 ，使得 ，连接 ，如图，
平分 ， 平分 ，
， ，
， ，
，
， ，
在（1）中已证明 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
为线段 的中点．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形
的判定与性质是解答本题的关键．
易错必刷题十四、角平分线的性质与判定
1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图， 是 中 的角平分线， 于点 ， ，
， ，则 长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，过D作 于F，根据角平分线性质求出
，根据 和三角形面积公式求出即可．
【详解】解：如图，过D作 于F，
∵ 是 中 的角平分线， 于点E， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故选：A．
2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在 中， ，点D在 的外部，且 平分
，过点D作 ，交 的延长线于点E， ，交 于点F，连接 ．若 ，
，则 的度数为 ．【答案】
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质．连接 ，过点D作 ，交 的延长线
于点G，证明 平分 ， 平分 ，利用三角形的外角性质求得 ，进一步计算即可求解．
【详解】解：连接 ，过点D作 ，交 的延长线于点G，
∵ ， ， ，
∴ 平分 ，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 ， ， 平分 ， 于点E，点F在
上， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】（1）证明 即可；
（2）证明 ，结合 ，列式计算即可．
本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的
关键．
【详解】（1）证明：∵ ， 平分 ， ，
∴
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， 平分 ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
易错必刷题十五、轴对称的性质
1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，在 上各取
一点连成的虚线，沿该虚线剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查剪纸问题，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．对于此类问题，只要亲自动手
操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】解：由于得到的图形的中间是正方形，可以得到图形：
故选：B．
2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在 中，点 与点 关于直线 对称，直线 分别交 ，
于点 ， ，连接 ， 平分 ， ，则 的度数为 ．
【答案】 /40度
【分析】本题考查了轴对称的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，由轴对称的性质得 ，由角
平分线的定义得 ，从而 ，然后利用三角形内角和定理列式求解即可．
【详解】解：∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一
张长方形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)30°
(2)证明过程见详解
【分析】（1）根据长方形的性质可得 ，可求出 的度数，根据折叠可得 ，由此
可得 ，在 中，运用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等，可得 ， ，再
根据折叠的性质可得 ， ，结合全等三角形的判定方法
即可求证．
【详解】（1）解：∵长方形具有四个内角均为直角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵把一张长方形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的度数为30°；
（2）证明：∵长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等，∴ ， ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查长方形的性质，平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理的运用，全等三角形的判
定，掌握长方形，折叠，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，全等三角形的判定是解题的关键．
易错必刷题十六、垂直平分线的性质与判定
1．（24-25八年级上·河北保定·期中）在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， 的垂直平
分线分别交 ， 于点 ， ．若 ， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是分类讨论．根据线段垂直平分线的性质可得： ，
，分两种情况：当点 在点 左侧时，当点 在点 的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：如图，当点 在点 左侧时，
垂直平分 ， 垂直平分 ，
， ，
的周长为 ；
当点 在点 的右侧时，垂直平分 ， 垂直平分 ，
， ，
的周长为 ；
综上所述， 的周长为 或 ，
故选：D．
2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图， 是 的边 的垂直平分线， 为垂足， 交 于点 ，
且 ， ，则 的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到 ，再根据三角形的周长公
式即可得到答案．解题的关键是掌握：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【详解】解：∵ 是 的边 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的周长是 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在 中， 、 分别垂直平分 和 ，交 于M、N两
点， 与 相交于点F．(1)若 长为16 ，求 的周长；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ，再根据三角形周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到 ，根据对顶角相等、直角三角形的性质求出
，根据等腰三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的
距离相等是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ 分别垂直平分 和
∴ ，
∴ 的周长
．
∵ ，
∴ 的周长为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题十七、等腰三角形的判定与性质
1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图， 中， 是 边上一点， ， ，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，也考查了三
角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
设 ，然后根据 ， ，表示出 和 的度数，最后根据三角形的内角和
定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ．
设 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选D．
2．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，D为边 上
的动点，点 关于 ， 的对称点分别是点 ， ，连接 ， ， ， 面积的最小值为
．
【答案】18
【分析】本题考查求三角形面积最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得 ， ， ， ，等量代换得
， ，得 是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当 时， 取最小值，
即可作答．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵点 关于 ， 的对称点分别是点 ， ，
∴ 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴当 最小即 取最小值时， 的面积最小，
∴当 ， 取最小值，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积的最小值 ，
故答案为：18．
3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）等腰三角形是特殊的三角形，红领巾，屋顶，衣架，三角铁的横截面等，都
有着等腰三角形的身影．等腰三角形中除了两腰相等，还有其他相等的线段，如，等腰三角形两腰上的中线相等．
下面我们继续进行等腰三角形中的线段探究之旅：
如图1， 中， ， 是底边 的中线， 于点 于点 ．(1) 与 相等吗？请证明你的结论．
(2)若将底边中点D沿着对称轴移动到其他位置（不与点A重合），如图2，图3所示，其他条件不变， 与
还相等吗？请证明你的结论．
(3)根据以上探究你得到什么性质？请用文字语言描述出来．
【答案】(1) ；见解析
(2)成立；见解析
(3)等腰三角形底边中线上的点到两腰的距离相等
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判
定方法．
（1）证明 ，得出 即可；
（2）根据解析（1）的证明方法，进行证明即可；
（3）根据解析（1）（2）得出的结论，进行解答即可．
【详解】（1）解： 与 相等；
∵ ， 是底边 的中线，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：成立；
∵ ， 是底边 的中线，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：根据以上探究可以得到：等腰三角形底边中线上的点到两腰的距离相等．
易错必刷题十八、等边三角形的判定与性质
1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知 ， 平分 ，点D是 上一点，且 ，点
C是 上一动点，点P是 上一动点，连接 ，则 的最小值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质．作 垂足为 ，推出 的最小
值是 的长，在 中，利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，作点C关于 的对称点 ，连接 ，由轴对称的性质得 ，
作 垂足为 ，
∴ ，
∴ 的最小值是 的长，
在 中， ， ，
∴ ，即 的最小值是10．
故选：B．
2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，点O是等边三角形 内一点， ．以 为一
边作等边三角形 ，连接 ．当 时， 是等腰三角形．【答案】 或 或
【分析】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键；先求出
， ， ，分三种情况讨论：① ，则 ，②
，则 ，③ ，则 ，分别求出α的角度即可.
【详解】解： 和 是等边三角形，
， ， ， ，
，
，
在 和 中，
，
（ ），
，
，
， ， ，
当 时，
，
；
当 时，
，
，
，
当 时，
，
，
．故答案为： 或 或 ．
3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ， 是 边上的点， 于 ，
于 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质，含 度角的直角三角形的性质
（1）连接AD．根据等腰三角形三线合一的特性，可知AD也是 的角平分线，根据角平分线上的点到角两
边的距离相等，那么 ；
（2）由 可求得 ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得BD、 的长，即可求解．
【详解】（1）证明：连接AD．
， ，
∴点 是 边上的中点，
平分 ，
、 分别垂直AB、 于点 和 ．
；
（2）解： ， ，
，
于 ， 于 ．
，
，
．
易错必刷题十九、同底数幂的乘法1．（24-25八年级上·海南·期中）若 ， ，则 （ ）
A．32 B．16 C．4 D．64
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用．根据 ，然后代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：A．
2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知 ， ， ， ， ， 之间的关系是 ，
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．由题意得， ，
，再利用同底数幂的乘法，找出 ， ， 之间等量关系即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
3．（2024七年级上·上海·专题练习）规定： ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)判断， 与 是否相等，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析【分析】本题考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，解一元一次方程，解答本题的关键理解新定义，代入数据，
求出相应式子的值．
（1）根据规定和同底数幂的乘法计算即可；
（2）根据规定和同底数幂的乘法得到一个关于 的一元一次方程，然后解方程即可求得 的值；
（3）根据规定和同底数幂的乘法计算即可．
【详解】（1）解： ，
．
（2）解： ，
，
，
．
（3）解： ，
理由： ，
，
．
易错必刷题二十、幂的乘方与积的乘方
1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）若 成立，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．利用积的乘方
与幂的乘方运算法则可得 ，再根据各字母的指数相等得到 ， ，对两方程求解即可
得出答案．
【详解】解： ， ，
，
， ，解得： ， ．
故选：A．
2．（24-25八年级上·海南·期中）计算： ．
3
【答案】 /1.5
2
【分析】逆用公式 解答即可．
本题考查了积的乘方的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：
．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出 的值，再把所求式
子变形为 ，进一步变形得到 ，据此代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
．
易错必刷题二十一、同底数幂的除法1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，理清指数的变化是解题的
关键．
先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，即可得出答案．
【详解】解：
．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法与除法运算；
（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法与除法运算即可；
（2）先变形，再利用同底数幂的乘法与除法法则运算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：．
3．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可．
【详解】解：
．
易错必刷题二十二、整式乘法
1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知关于 的二次三项式 有一个因式为 ，求另一个因式和
的值．
【答案】另一个因式为 ，m的值为
【分析】本题考查多项式的乘法，掌握多项式的乘法法则是解题关键．设另一个因式是 ，利用多项式乘法法
则展开后，再利用对应项系数相等求解即可．
【详解】解：设 的另一个因式是 ，
依题意可得： ，
所以 ，
所以 ， ， ，
解得： ．
所以另一个因式为 ，m的值为 ．
2．（24-25八年级上·北京·期中）计算：
(1)
(2)
(3)【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的混合运算，
（1）先算乘方，再算乘法，即可解答；
（2）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答；
（3）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
．
3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，直接根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可．
【详解】解：
．
易错必刷题二十三、已知多项式乘积不含某项求字母的值1．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）计算 （ 为常数）的值，把 ， 的值代入
计算时，粗心的小明把 的值看错了，其结果等于9，细心的小红把正确的 ， 的值代入计算，结果恰好也是
9，为了探个究竟，小红又把 的值换成了2024，结果竟然还是9，根据以上情况，探究其中的奥妙，并推断出
的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则，单项式乘以多项式
的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据题意可知 的结果与y值无关，则
，据此求解即可．
【详解】解：
，
根据题意可知 的结果与y值无关，
∴ ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值： ．其中 ， ．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，
先根据整式的乘法和除法运算，再代入求值即可．
【详解】原式
．
当 时，原式 ．
3．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】 ，46
【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，理解整式混合运算的运算顺序和计算法则，是解题关键．
先利用多项式乘以多项式展开，再进行整式的加减计算，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，
，
∴代数式 的值为46．
易错必刷题二十四、整式的化简求值
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
【答案】(1) ，6
(2) ，
【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题
的关键．
（1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把 代入计算；
（2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把 代入计算．
【详解】（1）解：，
当 ， 时，
原式 ；
（2）解：
，
当 时，原式 ．
易错必刷题二十五、平方差公式与几何图形
1．（2024八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式计算下列各题：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；
（1）利用平方差公式进行计算即可得解；
（2）利用平方差公式进行计算即可得解；
（3）二次利用平方差公式进行计算即可得解；（4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
2．（24-25六年级上·上海·期中）计算：
【答案】
【分析】此题考查了平方差公式，首先利用平方差公式的逆运算求解，然后计算乘法即可．
【详解】解：
．
3．（24-25九年级上·云南文山·阶段练习）将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形），如图所示：(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（写
成多项式乘法的形式）
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．
A． B．
C． D．
(4)根据（3）中所得公式，当 ， 时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2) ， ，
(3)D
(4)
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用：
（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出答案：
（2）根据图形列出代数式，即可求解；
（3）根据（1）（2）所求即可得到答案；
（4）根据 进行求解即可．
【详解】（1）解： 由题意得， ，
故答案为： ；
（2）解：该长方形的宽是 ，长是 ，面积是 ；
故答案为： ， ， ．
（3）解：由（1）（2）可知 ，故选：D；
（4）解：当 ， 时， ．
易错必刷题二十六、完全平方公式与几何图形
1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式，解题的关键是掌握以
上运算法则．
（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可；
（2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项；
（3）首先根据平方差公式计算，然后根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：．
2．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）【阅读理解】
若 满足 ，求 的值．
解：设 ， ，
则 ， ，
所以
．
【解决问题】若 满足 ，求 的值；
【答案】110
【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．设 ， ，
则 ， ，然后利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：设 ， ，
则 ， ，
所以
．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读学习】
做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观地获取结论．例1：如图1，可得等式 ．
例2：如图2，可得等式 ．
【问题解决】
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 的大正方形．若用不同的形式表示这
个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知 ．求 的值．
【拓展应用】
（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为 和 的正方形拼在一起，
三点在同一直线上，连接 ．若这两个正方形的边长满足 ，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1） ；（2）45；（3）20
【分析】（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，
由两个结果相等即可得出结论．
（2）由（1）可知， ，代入数值计算即可；
（3）根据题意得到 ，再采用数形结合得到阴影部分的面积为 ，计
算即可；
本题考查了几何面积与多项式的关系，正确掌握多项式变化与几何面积的关系，通过等面积法理解因式分解结果
以及规律．
【详解】解：（1）∵正方形面积为 ，
小块四边形面积总和为：∴ ．
（2）由（1）可知，
．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为：
．
易错必刷题二十七、知二求三
1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知 ， ，分别求下列式子的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)12
(2)21
(3)126
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
（1）根据完全平方公式得出 ， ，根据 得出结
果即可；
（2）根据 ， ，求出 ，得出 ，最后代入求值即可；
（3）根据 ， ，变形求出 的值即可．
【详解】（1）解： ， ，， ，
，
∴ ，
；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（3）解： ．
2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知： ， 互为相反数且 ，求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)36
(2)0
【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式 是解本题的关键．
（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用平方差化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：∵ ， 互为相反数，
∴ ，
∵ ，
；
（2）解： ，∴ ．
3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知 ，求
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
（1）根据 ，即可解答；
（2）根据 ，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
易错必刷题二十八、因式分解
1．（2024八年级上·全国·专题练习）把下列各式分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
【分析】本题考查因式分解．
（1）首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可；
（2）首先提取公因式，进而结合平方差公式分解因式得出答案；
（3）首先提取公因式，进而结合平方差公式分解因式得出答案；
（4）首先去括号，再利用完全平方公式分解因式得出即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）某些形如 的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘
法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角
和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子 和 分解因式，如图，； ．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查十字相乘法分解因式，仿照题中例题求解过程分解因式即可．
【详解】（1）解：如图，
由图知 ．
（2）解：如图，
由图知 ．
（3）解：如图，由图知 ．
3．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）“我们把多项式 及 叫做完全平方式．”如果一个
多项式不是完全平方式．我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，
使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不
能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值．
例如：分解因式： ，
解：原式
例如：求代数式 的最小值．
解： ，可知当 时， 有最小值为 ．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ________．
(2)当 、 为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小值．
(3)当 、 为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1)
(2)当 ， 时，最小值为
(3)当 ， 时，最小值
【分析】本题主要考查因式分解：
（1）原式 ；
（2） ， ， ；
（3）原式 ．
【详解】（1）（2）
， ，
当 ， 时，多项式 有最小值为 ．
（3）
， ，
当 ， 时，多项式 有最小值．
即当 ， 时，多项式 有最小值 ．
易错必刷题二十九、分式有意义的条件
1．（2024八年级上·全国·专题练习）x取何值时，下列分式有意义：
(1)
(2)
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)x为任意实数
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零时分式有意义是解题的关键．
（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；
（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
【详解】（1）解：要使 有意义，
得 ．
解得 ，
当 时， 有意义；
（2）解：要使 有意义，得 ．
解得 ，
当 时， 有意义；
（3）解：要使 有意义，得 ．
而对任意实数 ， ，
所以，x为任意实数， 有意义．
易错必刷题三十、分式的基本性质
1．（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “号．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
（1）根据分式的基本性质变形即可；（2）根据分式的基本性质变形即可；
（3）根据分式的基本性质变形即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争
论：
① ，② ．
小刚说：“①，②两式都是对的．”
小明说：“①，②两式都是错的．”
他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？
【答案】两人的说法都是错的，见解析
【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式仍成立
是解题关键．根据分式的性质分析即可．
【详解】解：他们两人的说法都是错的．
①式是对的，
左边的分式是一定有意义的，
，
分式的分子、分母同时除以 ，分式的值不变．
②式是错的，
分式的分子、分母同时乘 ，这里的 有可能为 ，
分式的值可能改变．
3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知 为整数，且分式 的值是整数，求 的所有可能值．
【答案】 的所有可能值为0， ，
【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是得出2是 的倍数．
根据x为整数，且分式的值为整数，可得2是 的倍数，可得答案．
【详解】解： ．
由题意知 或 或 或 ，．
又 ，
舍去，
故 的所有可能值为0， ， ．
易错必刷题三十一、通分、约分
1．（22-23八年级上·全国·单元测试）约分
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以
同一个非0的数或式子，分式的值不变．
（1）首先将分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可；
（2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（22-23八年级上·全国·单元测试）约分：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【分析】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以
同一个非0的数或式子，分式的值不变．
（1）根据分式的基本性质求解即可；
（2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可；
（3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可；
（4）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可；
（5）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式
；
（3）原式
；（4）原式
；
（5）原式
．
3．（22-23八年级上·全国·单元测试）通分：
(1) ， ， ；
(2) ， ；
(3) ， ， ．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， ；
(3) ， ， ．
【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先求出最简公分母是 ，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）先求出最简公分母是 ，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；
（3）先求出最简公分母是 ，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：最简公分母是 ，
所以 ， ， ；（2）解：最简公分母是 ，
所以 ， ；
（3）解：最简公分母是 ，
所以 ， ，
．
易错必刷题三十二、分式的四则运算
1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）（1）计算：
（2）计算：
【答案】（1） ；（2）1
【分析】本题主要考查分式的混合运算；
（1）先因式分解，再应用除法法则，再约分计算即可；
（2）先应用乘法分配律，再约分计算即可．
【详解】解：（1）
；（2）
2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）化简： ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
【详解】解：原式
．
3．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘
方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最
简分式或整式．
（1）先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（2）把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
易错必刷题三十三、分式化简求值
1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）先化简 ，然后从 ，2，1，3中选择一个你喜
欢的 值代入求值．
【答案】 ，取 ，原式
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
，当 时,分式无意义，
当 时,原式 ．
2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把
除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式 ．
3．（24-25八年级上·海南海口·期中）先化简，再求值 ，其中 与1、3构成
的三边长，且 为整数．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三边关系，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，然后根
据三角形三边关系得到 ，然后代数求解即可．
【详解】解：原式，
与1、3构成 的三边长，且 为整数，
，
又 为整数，
，
当 时，原式 ．
易错必刷题三十四、解分式方程
1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ,
去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得 ，系数化为1，得 ，
经检验， 是原方程的根，
故 是原方程的根．
（2）∵ ，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
经检验， 使得分母无意义，是原方程的增根，
故原方程无解．
2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)方程无解
(2)
【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以 得： ，
即 ，
解得： ，
经检验，当 时， ，
故原方程无解；（2）解：
方程两边同时乘以 得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
3．（24-25八年级上·重庆·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，注意要检验．
【详解】（1）解：
方程两边乘以 ，得： ，
解得： ，
检验：把 代入 ，得： ，
∴分式方程的解是 ；
（2）解：
方程两边乘以 ，得：
，
解得： ，
检验：把 代入 ，得： ，∴ 是分式方程的增根，
∴分式方程无解．
易错必刷题三十五、分式方程增根、无解问题
1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知关于 的方程：
(1)当 为何值时，原方程无解；
(2)当 为何值时，原方程的解为负数．
【答案】(1)当 或 或 时，原方程无解．
(2)当 且 时，原方程的解为负数．
【分析】本题考查的知识点是解分式方程、分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值、解不等式，解题关
键是熟练掌握分式方程无解的条件．
（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的 能令最简公分母为 ，据此进行解答；
（2）通过解分式方程得到 的值，然后根据已知条件列出关于 的不等式，通过解不等式可以求得 的值．
【详解】（1）解：方程两边同乘以 得：
解得： ，
原方程无解，
或 或
当 或 或 时，原方程无解．
（2）解： 原方程的解为负数
且
当 且 且 时，原方程的解为负数．
当 且 时，原方程的解为负数．
2．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知关于 的分式方程 ．
(1)若分式方程有增根，求 的值；
(2)若分式方程无解，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把分式方程化为整式方程，再结合增根，得出 ，然后代入 ，进行计算，即可作答．
（2）先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和 都满足条件，即可作答．
【详解】（1）解：去分母，得 ．
由分式方程有增根，得 ．
．
把 代入 ，得 ．
解得 ．
的值为 ．
（2）解：去分母，得 ．
①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即 时分式方程无解．
②将上式整理，得 ．
当 ，即 时，分式方程无解．
综上，若分式方程无解， 的值为 或 ．
3．（23-24八年级上·湖南永州·期中）已知关于 的方程 ．
(1)当 ， 时求分式方程的解；
(2)当 时，求 为何值时，分式方程 无解．
【答案】(1)
(2)当 或3或9时原方程无解．
【分析】本题主要考查解分式方程．
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可．
【详解】（1）解：当 ， 时，分式方程为 ，
去分母得： ，
解得： ，经经验 是原方程的解；
（2）解：当 时，分式方程为 ，
去分母得： ，
整理得， ，
（1）当整式方程无解时， ， ，
（2）当分式方程产生增根时，增根为 或 ，
①当 时， ， ，
②当 时， ， ，
综上所述，当 或3或9时原方程无解．
易错必刷题三十六、分式方程的实际应用
1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，
乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、
乙两人每小时加工零件各多少个？
【答案】甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意可以得到相等关系：乙用的时间-甲用的时间 ，据此列出方程，
解方程，求出方程的解并检验即可得到答案．
【详解】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工 个零件，根据题意得
，
解得， ，
经检验， 是原方程的根，
∴ ，
答：甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进
这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，
且第二次购进的数量是第一次的2倍．
(1)求该店两次购进这款书签各多少个？(2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的 后，由于天气的影响，游客量减
少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，
则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
【答案】(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
(2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出
分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签 个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第
一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，
列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签 个，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个．
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，
由题意得：
解得： ，
答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅
读并解决相应的问题．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种
商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
设……
解法一
等量关系：甲商品数量=乙商品数量
设……
解法二
等量关系：甲商品进价-乙商品进价
(1)解法一所列方程中的 表示_____（填序号），解法二所列方程中的 表示_____（填序号）；①甲种商品每件进价 元；②乙种商品每件进价 元；③甲种商品购进 件
(2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题．
(3)商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？
【答案】(1)①，③
(2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元
(3)至多购进甲种商品12件
【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与
不等关系是解本题的关键．
（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案；
（2）选择解法一，设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为 元，根据用2000元购进甲种商品
和用1200元购进乙种商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设甲种商品购进x件，则乙种
商品购进x件，甲种商品每件进价为 元，乙种商品每件进价为 元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品
每件的进价多20元，列出方发出，解方程即可；
（3）设甲商品购进a件，则乙商品购进 件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，
求解a的范围，可得答案．
【详解】（1）解：由甲商品数量=乙商品数量，可得： 中的x表示甲种商品每件进价x元，
由甲商品进价-乙商品进价=20可得： 中的x表示甲种商品购进x件；
故答案为：①，③；
（2）解：如下两种解答中选择其中一种即可．
若选择“解法一”，过程如下：
解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为 元，
由题意得： ，
方程两边同乘 ，
得 ，
整理得 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，，
答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元；
若选择“解法二”，过程如下：
解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，
由题意得：
，
方程两边同乘 ，
得 ，
整理得 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
， ，
答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元；
（3）解：设甲种商品购进 件，则乙种商品购进 件，
由题意，得 ，
解得 ，
答：至多购进甲种商品12件．
1．（2024·贵州·模拟预测）化简 结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的化简，掌握同分母的分式求和及约分是解决问题的关键．
根据同分母的分式加法运算法则求解后约分即可得到结论．
【详解】．
故选：D．
2．（2024八年级上·湖北·专题练习）如图，从边长为 的正方形纸片中剪去一个边长为 的正方形
，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何图形与完全平方公式；由题意知，大正方形面积减去小正方形面积即为长方形的面积．
【详解】解：
；
故选：C．
3．（2024·云南昆明·模拟预测）新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰
家到大理约 ，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了 ，设原来小杰
自驾去大理的平均速度是 ，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题案的关键是读懂题意，根据“所需时间比原来缩短了
”列方程即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
故选：B．4．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）若 可以因式分解为 ，那么 的值为（ ）
A．−1 B．1 C．−2 D．2
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，将 展开，利用对应项相同，求出 的值，即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若分式 的值是正数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且 可得 ，据此即可求
解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键．
【详解】解：∵分式 的值是正数，且 ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
6．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在 中，点 ， 分别为 ， 的中点，且
，则阴影部分的面积为 ．
【答案】【分析】本题考查根据中点性质求面积，涉及三角形中线将三角形面积等分的性质．根据三角形中线性质，逐渐
找到各个三角形之间面积的关系，代值求解即可得到答案．
【详解】解： 点 分别为 的中点，
，
点 分别为 的中点，
，
，
，
，
故答案为： ．
7．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图， ， ， ，点P在线段 上以
的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 上以 的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为
．当 时， 与 全等．
【答案】1或1.5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得 ， ，则 ，再分两种
情况：当 ， ， ，当 ， 时， ，分别求
解即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：根据题意得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 ， ， ，即 ， ，
解得： ， ，
当 ， 时， ，
即 ， ，
解得： ， ；
综上所述，当 1或1.5时， 与 全等，
故答案为：1或1.5．
8．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．
若多项式 可分解为 ．则 的值为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了因式分解中十字相乘法．直接利用多项式乘法进而得出 ， 的值，进而得出答案．
【详解】解： 多项式 可分解为 ，
，
，
则 ， ，
解得： ， ，
故 ．
故答案为：8．
9．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若 ，则代数式 的值为
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，由条件可得 ，再化简 ，再整体代入计算即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴；
故答案为：
10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 中， 的平分线相交于点O，
过点O，且 ，分别交 于点M、N．则 的周长为 ．
【答案】18
【分析】由在 中， 与 的平分线相交于点 ，过点 作 ，易证得 与 是
等腰三角形，继而可得 的周长等于 ．此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行
线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．
【详解】解： 在 中， 、 的平分线相交于点 ，
，
，
，
，
，
同理 ，
的周长是： ．
故答案为：18．
11．（2024八年级上·湖北·专题练习）计算或因式分解：
(1)计算 ；(2)因式分解： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的四则运算和因式分解，掌握整式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式、单项式除单项式的运算法则直接进行计算即可求解；
（2）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：原式 ，
．
（2）解： ，
，
．
12．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)方程无解
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解；
（2）解：
去分母得： ，移项合并得： ，
解得： ，
经检验 是增根，分式方程无解．
13．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在 中， ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识．
（1）利用三角形的外角以及三角形的内角和定理计算即可．
（2）利用三角形内角和定理构建方程求出 即可解决问题．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
，
．
14．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 是一个筝
形，其中 ， ，“飞扬”数学兴趣小组在探究筝形的性质时，还得出以下结论：
① 平分 与 ；
② ， ；③四边形 的面积 ；
④ ．
(1)以上结论请你任选一个进行证明；
(2)若点O到四边形 四条边的距离相等，请你判断筝形四条边的数量关系，并简要说明理由（提示：可以直
接用题中的结论）．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的判定及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相
关判定和性质是解题的关键．
（1）选 ， ，利用垂直平分线的判定证明即可；
（2）先过点O作 ，证得 ，同理可证的 ，从而得证
【详解】（1）② ， ；证明如下：
，
∴点A在线段 的垂直平分线上，
又
∴点C线段 的垂直平分线上，
∴ 是线段 的垂直平分线，
即 ， ；
（2） ，理由如下：
， ，
， ，
∵点O到四边形 四条边的距离相等，
如图，先过点O作 ，
，
∴ 平分线 ，
即
又 ，
，
，
，
同理可证： ，15．（2024八年级上·黑龙江·专题练习） 是经过 的顶点 的一条直线， ， ， 分别是直线
上的两点，连接 ， ， ．
(1)如图①，若直线 经过 的内部，且点 ， 在射线 上， ．求证： ；
(2)如图②，若直线 不经过 的内部， ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）由题可得 ，再由全等三角形的判定和性质得出 ，则 ， ，
即可得出 ．
（2）同（1）可得 ，则 ， ，再由 即可得出 ．
【详解】（1）在 中， ．
，
，
．
，
．
在 和 中，
，
，， ．
，
．
（2） ．
证明： ，
．
在 中， ，
．
在 和 中，
，
，
， ，
，
．
