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4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
（第2 课时+坐标平面内图形的平移）
题型一：求点沿着x 轴平移后的坐标
1．（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A 与点B 关于y 轴对称，将点A 向右
平移4 个单位长度后，点A 的坐标为(
)
6, 1
−
，则点B 的坐标是（ ）
A．(
)
3, 1
−
−
B．(
)
2, 1
−
−
C．(
)
1, 1
−−
D．(
)
3, 2
−
−
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点，关于y 轴对称的点的坐标，
先根据平移求出点A 的坐标，再根据对称可得答案.
【详解】解：点A 向右平移4 个单位长度的坐标为(6, 1)
−
，
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∴点
(6
4, 1)
A
−
−
，即
(2, 1)
A
−
.
∵点A 与点B 关于y 轴对称，
∴点
( 2, 1)
B −
−
.
故选：B.
2．
（24-25 八年级下·宁夏中卫·期末）在平面直角坐标系中，点(
)
2, 3
−
向右平移3 个单位长度后的坐标是（ ）
A．(
)
5, 3
−
B．(
)
1, 3
−−
C．(
)
2,0
D．(
)
2, 6
−
【答案】A
【分析】本题主要考查了点的平移规律， “左右移，横减加，纵不变；上下移，纵加减，横不变”．根据点
的平移规律，向右平移3 个单位长度，纵坐标不变，横坐标加3，即可得到答案．
【详解】解：点(
)
2, 3
−
向右平移3 个单位长度，则平移后的点的坐标为(
)
5, 3
−
，
故选：A．
3．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）将点
(
)
3, 2
A a +
−
向左平移4 个单位长度得到点A，且点A在y 轴上，
则a 的值是（ ）
A．2
B．2
−
C．1
D．1
−
【答案】C
【分析】本题主要考查了点的平移，坐标轴上的点的特征，掌握相关知识点是解题的关键．根据点
(
3, 2)
A a +
−
向左平移4 个单位长度得到点
(
3
4, 2)
A a
+
−
−
，再根据该点在y 轴上横坐标为0，可得答案．
【详解】解：∵点
(
3, 2)
A a +
−
向左平移4 个单位长度得到点
(
3
4, 2)
A a
+
−
−
，
即
(
1, 2)
A a
−
−
．
∵点A在y 轴上，
∴
1
0
a−=
，
解得
1
a = ．
故选：C．
4．（23-24 八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点
(
)
1,2
A −
向右平移2 个单位长度得到
点B ，则点B 关于x 轴的对称点C 坐标是( )
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A．(
)
1, 2
−
B．(
)
1, 2
−−
C．(
)
1,2
D．(
)
3,2
−
【答案】A
【分析】本题考查了平移与轴对称的性质，根据点的平移得B 的坐标(
)
1,2 ，根据轴对称的性质得出C 的坐
标是(
)
1, 2
−
，即可求解．
【详解】解：点
(
)
1,2
A −
向右平移2 个单位长度得到的B 的坐标为(
)
1
2,2
−+
，即(
)
1,2 ，
则点B 关于x 轴的对称点C 的坐标是(
)
1, 2
−
，
故选：A．
5．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）点
(
)
1,3
P
向上平移3 个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．(4,3)
B．(1, 3)
−
C．( 1,3)
−
D．(1,6)
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化，根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐
标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：点
(
)
1,3
P
向上平移3 个单位，则所得到的点的坐标为(1,6)
故选：D．
6．（2023·河南南阳·一模）如图，在等腰
ABC
中，
5
AB
BC
=
=
，
2 5
AC =
，点A，B 分别在x 轴，y 轴上，
且BC
x
∥轴，将
ABC
沿x 轴向左平移，当点A 与点O 重合时，点B 的坐标为（ ）
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A．(
)
2,2
−
B．(
)
2,4
−
C．(
)
3,2
−
D．(
)
3,4
−
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：
横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了两点间的距离公式．设
( ,0)
A x
，(0, )
B
y ，则
(5, )
C
y ．分
别根据
5
AB =
，
2 5
AC =
列出方程
2
2
25
x
y
+
=
①，
2
2
(
5)
20
x
y
−
+
=
②，求出
3
x = ，
4
y =
，再根据平移的
规律求解．
【详解】解：设
( ,0)
A x
，
(0, )
B
y ，则
0
x
，
0
y
．
5
BC =
，BC
x
∥轴，
(5, )
C
y
．
5
AB =
，
2
2
25
x
y
+
=
①，
2 5
AC =
，
2
2
(
5)
20
x
y
−
+
=
②，
①−②得，10
25
5
x −
=
，
3
x
=
，
(3,0)
A
，
3
OA = ．
把
3
x = 代入①，得
4
y = （负值舍去），
(0,4)
B
，
将
ABC
沿x 轴向左平移，当点A 与点O重合时，点B 的坐标为( 3,4)
−
．
故选：D．
7．（24-25 八年级下·安徽宿州·期中）将点
(
)
1,1
P m +
向右平移1 个单位长度后，正好落在y 轴上，则m 的值
是 ．
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【答案】2
−
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟知点的坐标平移规律和坐标轴上点坐标特征是解答的关键．根
据点的坐标平移规律“左减右加”和y 轴上的点的横坐标为0 求解即可．
【详解】解：∵点
(
)
1,1
P m +
向右平移1 个单位长度后，正好落在y 轴上，
∴
1 1
0
m+ + =
，
解得：
2
m = −，
故答案为：2
−．
8．
（24-25 八年级下·重庆忠县·期中）已知点
( , 3)
P a −
向左平移1 个单位长度得到点
3
(3,
)
Q
−
，则a 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：右移横坐标加，左移减；上移纵坐
标加，下移减．根据点的坐标的平移规律可得
1
3
a−=
，即可得a 的值．
【详解】解：点
( , 3)
P a −
向左平移1 个单位长度得到点
3
(3,
)
Q
−
，
1
3
a
−= ，
解得：
4
a =
，
故答案为：4．
题型二：求点沿着y 轴平移后的坐标
1．
（24-25 八年级上·全国·单元测试）点(
)
,
5
A a a +
向下平移8个单位到达点B ，点A 与B 恰好关于x 轴对称，
则点A 坐标是 ．
【答案】(
)
1,4
−
【分析】本题考查了平移与轴对称的坐标变换，掌握平移与轴对称的坐标变换特征是解题关键．
根据点的平移规律：“左减右加，上加下减”，可得平移后的点，根据关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐
标互为相反数，可得答案．
【详解】解：∵点(
)
,
5
A a a +
向下平移8个单位到达点B ，
∴(
)
,
5 8
B a a + −
，即
(
)
,
3
B a a −
，
∵点A 与B 恰好关于x 轴对称，
∴
5
(
3)
a
a
+
= −
−
解得：
1
a = −，
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∴
(
)
1,4
A −
．
故答案为：(
)
1,4
−
．
2．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·期末）已知点A 的坐标为(
)
2,1 ，将点A 向下平移4 个单位长度，得到的点A
的坐标为 ．
【答案】(
)
2, 3
−
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标
上移加，下移减．将点A 的横坐标不变，纵坐标减去4 即可得到点A的坐标．
【详解】解：点A 的坐标为(
)
2,1 ，
将点A 向下平移4 个单位长度，得到的点A的坐标是(
)
2, 3
−
，
故答案为：(
)
2, 3
−
．
3．
（23-24 九年级上·山东济南·开学考试）将点
( 3 2)
P −，向下平移4 个单位得到点P，则点P的坐标为 ．
【答案】( 3
2)
−
−
，
【分析】将点P 的横坐标不变，纵坐标减去4 即可得到点P的坐标．
【详解】解：点
( 3 2)
P −，向下平移4 个单位得到点P，
点Q 的横坐标是3
−，纵坐标为2 4
2
−= −，即
)
3
(
2
P−
−
，
．
故答案为：( 3
2)
−
−
，
．
4．（23-24 八年级下·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，将点(
)
2,3 向上平移1 个单位长度，所得到的点
的坐标是 ．
【答案】(
)
2,4
【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案．
【详解】解：将点(
)
2,3 向上平移1 个单位长度，所得到的点的坐标是(
)
2,4 ，
故答案为：(
)
2,4 ．
5．（24-25 七年级下·广西南宁·期中）平面直角坐标系中有一点
(
)
2 1
A
，，若将点A 向上平移3 个单位长度得
到点B ，则点B 的坐标是 ．
【答案】(
)
2 4
，
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【分析】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，即可得出平移后点
的坐标．
【详解】解：将点A 向上平移3 个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为(
)
2 4
，，
故答案为：(
)
2 4
，．
题型三：求点沿着x 轴、y 轴平移后的坐标
1．（23-24 八年级下·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，将点
(
)
2,1
P −
向左平移4 个单位长度，再向上平
移3 个单位长度得到点
'P 的坐标是（ ）
A．(
)
2,4
B．(
)
6,4
−
C．(
)
1, 3
−
D．(
)
5,5
−
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；
纵坐标上移加，下移减，是解题的关键．
根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断．
【详解】∵点
(
)
2,1
P −
向左平移4 个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到点
'P ，
∴2
4
6
−−
= −，1 3
4
+ =
，
∴
(
)
6,4
P−
．
故选：B．
2．（24-25 七年级下·云南怒江·期中）将点
(
)
3, 2
A −
−
向右平移5 个单位长度，得到点
1A ，再把点
1A 向上平移
4 个单位长度得到点
2
A ，则点
2
A 的坐标为（ ）
A．(
)
2, 2
−
−
B．(
)
2,2
C．(
)
3,2
−
D．(
)
3,2
【答案】B
【分析】本题考查的是坐标与图形变化−平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解
答．
【详解】解：将点
(
)
3, 2
A −
−
向右平移5 个单位长度，得到点
1( 3
5, 2)
A −+
−
，即(2, 2)
−
，
再把点
1A 向上平移4 个单位长度得到点
2
A ，则点
2
A 的坐标为(2, 2
4)
−+
，即(2,2)．
故选：B．
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3．（24-25 七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，将点
(
)
,
A m n 先向右平移3 个单位长度，再向上
平移2 个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．
【答案】(
)
3,
2
m
n
+
+
【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，将点
(
)
,
A m n 先向右平移3 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到
点B ，则点B 的坐标为(
)
3,
2
m
n
+
+
．
故答案为：(
)
3,
2
m
n
+
+
．
4．（2024·山西·模拟预测）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截
图，若在以O 为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块向左移动2 个格子，再向下移动6 个格
子，点A 恰好落在点
(
)
3,1
B
处，则上方的方块移动前点A 所在位置的坐标为 ．
【答案】(
)
5,7
【分析】本题考查了坐标平移的性质：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐
标，左减右加，据此求解即可．
【详解】解：∵将点A 向左移动2 个格子，再向下移动6 个格子恰好落在点
(
)
3,1
B
处，
即将点(
)
31
B
，向右移动2 个格子，再向上移动6 个格子得到点A，
∴
(
)
3
2,1
6
A
+
+
，即(
)
5,7
A
，
故答案为：(
)
5,7 ．
5．（24-25 七年级下·新疆喀什·期中）
ABC
中，
(
)
(
)
(
)
2
5
5
2
3 3
A
B
C
−
−
−
−
，
，
，
，
，，现将它向右平移2 个单
位长度，再向上平移3 个单位长度，得到对应点
1
1
1
A
B
C
，，
的坐标分别为 ．
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【答案】(
)
0
2
−
，
，(
)
31
−，，(
)
5 6
，
【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移，纵坐标加，即可得到结论．
【详解】解：∵将
ABC
向右平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，
∴
(
)
(
)
(
)
1
1
1
2
2
5
3
5
2
2
3
3
2 3
3
A
B
C
−+
−+
−+
−
+
+
+
，
，
，
，
，
，
即
(
)
(
)
(
)
1
1
1
0
2
31
5 6
A
B
C
−
−
，
，
，，
，，
故答案为：(
)
0
2
−
，
，(
)
31
−，，(
)
5 6
，．
6．（24-25 九年级下·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系xOy 中，作点(
)
1, 1
P
−
关于y 轴的对称点
1P ，再将点
1P 向上平移3 个单位，得到点
2P ，则点
2P 的坐标为 ．
【答案】(
)
1,2
−
【分析】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握坐标变换的性质是解题关键．
利用关于y 轴对称的点的性质（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出的坐标，再直接利用平移的性质得出
答案．
【详解】解：∵点(
)
1, 1
P
−
关于y 轴的对称点为点
1P ，
∴点
(
)
1
1, 1
P −−
，
∵将点
1P 向上平移3 个单位，得到点
2P ，
∴点
2P 的坐标为(
)
1, 1 3
−−+
，即(
)
1,2
−
．
故答案为：(
)
1,2
−
．
题型四：由平移方式确定点坐标
1．（23-24 七年级下·四川德阳·阶段练习）已知△ABC 内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b
－6），如果点A 在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A 点坐标为（ ）
A．（6，－9）
B．（2，－6）
C．（－9，6）
D．（2，3）
【答案】D
【分析】点A 向右平移2 个单位，向下平移6 个单位得到A1（4，3），由此可得结论．
【详解】解：由题意，点A 向右平移2 个单位，向下平移6 个单位得到A1（4，3），
∴点A 坐标（4−2，−3＋6），即（2，3），
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故选：D．
2．（24-25 八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，把
ABC
经过一定的变换得到A B C
，若
ABC
上一点P
的坐标为( , )
x y ，则这个点在A B C
中的对应点P的坐标为（ ）
A．(
,
2)
x y
−
−
B．(
2,
)
x
y
−+
−
C．(
,
2)
x y
−
+
D．(
2,
2)
x
y
−+
+
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出
旋转后的点的坐标．先观察
ABC
和A B C
得到把
ABC
向上平移2 个单位，再关于y 轴对称可得到
A B C
，然后把点
(
)
,
P x y 向上平移2 个单位，再关于y 轴对称得到点的坐标为(
)
,
2
x y
−
+
，即为P点的坐
标．
【详解】解：∵把
ABC
向上平移2 个单位，再关于y 轴对称可得到A B C
，
∴点
(
)
,
P x y 的对应点P的坐标为(
)
,
2
x y
−
+
．
故选：C．
3．（24-25 八年级下·山东聊城·阶段练习）将点(
)
A a
b
，
先向左平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长
度得到点(
)
B
b
a
−，
，则点B 的坐标是 ．
【答案】
5
1
2
2
−
−
，
【分析】根据平移得到关于a
b
，的方程，求出a
b
，的值即可解题．
【详解】将点(
)
A a
b
，
平移后点的坐标为(
)
2
3
a
b
−
−
，
，
由题可得：
2
3
a
b
b
a
−
= −
−
=
，解得：
1
2
5
2
a
b
= −
=
，
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∴点B 的坐标是
5
1
2
2
−
−
，
，
故答案为：
5
1
2
2
−
−
，
．
4．（24-25 七年级下·湖北武汉·期末）点
(
)
6
2 ,
3
A
x x
−
−
在x 轴的上方，将点A 向上平移4 个单位长度，再向
左平移1 个单位长度后得到点B，点B 到x 轴的距离大于点B 到y 轴的距离，则x 的取值范围是 ．
【答案】3
6
x
【分析】先根据平移表示出点B 的坐标，再根据点B 到x 轴的距离大于点B 到y 轴的距离列不等式求解即
可．
【详解】解：∵点
(
)
6
2 ,
3
A
x x
−
−
在x 轴的上方，将点A 向上平移4 个单位长度，再向左平移1 个单位长度
后得到点B，
∴
(
)
6
2
1,
3
4
A
x
x
−
−
−+
，即
(
)
5
2 ,
1
A
x x
−
+
，且
3
0
x −即
3
x ，
∴
1
0
x+
，5
2
0
x
−
，
∵点B 到x 轴的距离大于点B 到y 轴的距离，
∴
1
5
2
x
x
+
−
，即
1
2
5
x
x
+
−，解得：
6
x
，
∴3
6
x
．
故答案为3
6
x
．
5．（24-25 七年级下·河南信阳·期中）若线段AB
y
∥
轴，且
3
AB = ，点A 的坐标为(
)
21，，现将线段AB 先向
左平移1 个单位，再向下平移两个单位，则平移后B 点的坐标为 ．
【答案】(
)
1 2
，或(
)
1
4
−
，
【分析】先由AB
y
∥
轴且
3
AB = 得出点B 的坐标，再根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下
移减”可得答案．
【详解】解：∵线段AB
y
∥
轴，且
3
AB = ，其中点A 的坐标为(
)
21，，
∴点B 的坐标为(
)
2 4
，或(
)
2
2
−
，
，
则线段AB 先向左平移1 个单位，再向下平移两个单位后B 点的坐标为(
)
1 2
，或(
)
1
4
−
，
．
故答案为：(
)
1 2
，或(
)
1
4
−
，
．
6．（2025 八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，线段AB 平移后得到线段A B
，点(
)
2,1
A
的对应
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点为
(
)
2, 3
A−
−
，则点
(
)
6, 1
B−
−
的对应点B 的坐标为 ．
【答案】(
)
2,3
−
【分析】本题考查坐标平面内点的平移，熟记点的平移法则是解决问题的关键．先由点
(
)
2,1
A
的对应点为
(
)
2, 3
A−
−
，得到平移方式是向左平移4 个单位长度、向下平移4 个单位长度，点
(
)
6, 1
B−
−
按照反方向平
移即可得到对应点B 的坐标．
【详解】解：在平面直角坐标系中，线段AB 平移后得到线段A B
，点
(
)
2,1
A
的对应点为
(
)
2, 3
A−
−
，则平
移方式是向左平移4 个单位长度、向下平移4 个单位长度，
点
(
)
6, 1
B−
−
按照反方向：向右平移4 个单位长度、向上平移4 个单位长度得到对应点(
)
2,3
B −
，
故答案为：(
)
2,3
−
．
7．（24-25 八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，点A、B 的坐标为(
)
1,0 、(
)
0,2 ，将AB 平移到A B
，已知A
坐标为(
)
3,1 ，则点B的坐标为 ．
【答案】(
)
2,3
【分析】本题主要考查了直角坐标系中平移的性质，根据平移的特征可知点A 向右平移2 个单位，再向上
平移1 个单位长度得到点A，则将点B 向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位长度得到点B，即可求解．
【详解】解：根据点
1,0
A
平移到点
(
)
3,1
A
，可知横坐标增加2，纵坐标增加1，
∴将点A 向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位长度得到点A，
∴将点B 向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位长度得到点B，
∴点
(
)
0
2,2
1
B
+
+
，即
(
)
2,3
B
．
故答案为：(
)
2,3 ．
8．（24-25 八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知点
(
)
4,2
A −
、点
(
)
2, 1
B
−
，将线段 AB 平移得到
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线段 DC ． 若点 A 的对应点是
(
)
1,4
D −
，则点 B 的对应点 C 的坐标是 ．
【答案】(
)
5,1
【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下
减．根据点A 到点D 的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案．
【详解】解：点(
)
4,2
A −
平移后对应点
(
)
1,4
D −
，
点A 的平移规律是先向右平移3个单位，再向上平移2 个单位，
点
(
)
2, 1
B
−
的对应点C 的坐标为(
)
2
3, 1
2
+
−+
，
即
(
)
5,1
C
，
故答案为：(
)
5,1 ．
9．（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，线段AB 两端点的坐标分别为(
)
1,0
A −
，
(
)
0,3
B
将线段AB 平移到线CD，其中一个对应点C 的坐标是(
)
4,2 ，则另一个对应点D 的坐标是 ．
【答案】(
)
5,5 或(
)
3, 1
−
【分析】本题考查了点的平移，掌握点的平移规律“左减右加，上加下减”是关键，根据题意，分类讨论，得
到平移规律即可求解．
【详解】解：当点
(
)
1,0
A −
与点
(
)
4,2
C
对应时，平移规律为：向右平移5个单位，向上平移2 个单位，
∴点
(
)
0,3
B
对应的点D 坐标为：(
)
0
5,3
2
+
+
，即(
)
5,5 ；
当点(
)
0,3
B
与点
(
)
4,2
C
对应时，平移规律为：向右平移4 个单位，向下平移1个单位，
∴点
(
)
1,0
A −
对应的点D 坐标为：(
)
1
4,0 1
−+
−
，即(
)
3, 1
−
；
∴点D 的坐标是(
)
5,5 或(
)
3, 1
−
，
故答案为：(
)
5,5 或(
)
3, 1
−
．
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10．（24-25 八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：(
)
(
)
1,0 ,
0,2
A
B
，若将线段AB 平移至
1
1
A B ，则2a
b
−
的
值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐
标上移加，下移减是解决问题的关键．
根据点A 和
1A 的坐标确定出横向平移规律，点B 和
1
B 的坐标确定出纵向平移规律，即可求出a、b 的值，然
后代入求解即可．
【详解】解：∵
(
)
1,0
A
，
(
)
1 3,
A
b ，
(
)
0,2
B
，
(
)
1
,4
B a
，
∴平移规律为向右3 1
2
−=
个单位，向上4 2
2
−=
个单位，
∴
0
2
2
a = +
=
，
0
2
2
b =
+
=
∴2
2 2 2
2
a b
−= −
=
．
故答案为：2．
11．
（24-25 七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，平移线段AB ，使点A 移到点C ，点B 移到点D ，
若A B
C
，，
三点的坐标分别为(
) (
) (
)
4,7
4, 1
1,4
−
−
−
，
，
，则点D 的坐标为 ．
【答案】(
)
9, 4
−
−
【分析】根据(
)
(
)
4,7
1,4
A
C −
，
确定是一个向左平移5 个单位，向下平移3 个单位的平移变换，确定平移坐
标即可．
本题考查了坐标的平移，根据坐标确定平移方式，再确定平移坐标是解题的关键．
【详解】解：根据
(
)
(
)
4,7
1,4
A
C −
，
确定是一个向左平移5 个单位，向下平移3 个单位的平移变换，
故点
(
)
4, 1
B −
−
平移后的坐标为
(
)
9, 4
D −
−
．
故答案为：(
)
9, 4
−
−
．
12．（24-25 七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，(
)
1,
2
A m
n
−
−
，(
)
2,
B m
n
+
，平移线段
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AB ，使点A，B 均落在坐标轴上，则点A 平移后的对应点的坐标是 ．
【答案】(
)
3,0
−
或(
)
0, 2
−
【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，
图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移
加，下移减．设平移后点A、B 的对应点分别是A、B．分两种情况进行讨论：①A在y 轴上，B在x 轴
上；②A在x 轴上，B在y 轴上．
【详解】解：设平移后点A、B 的对应点分别是A、B．
分两种情况：
①A在y 轴上，B在x 轴上，则A横坐标为0，B纵坐标为0，
∴线段AB 向右平移
(
)
0
1
1
m
m
−
−
= −
个单位，向下平移n 个单位，
∴
(
)
1 1
,
2
A m
m n
n
−+ −
−
−
，即
(
)
0, 2
A
−
，
此时点B 平移后的对应点的坐标是
(
)
1,0
B
，符合题意；
②A在x 轴上，B在y 轴上，则A纵坐标为0，B横坐标为0，
∴线段AB 向右平移
(
)
0
2
2
m
m
−
+
= −
−
个单位，向下平移
2
n−个单位，
∴
(
)
1
2,
2
2
A m
m
n
n
−−
−
−
−
+
，即
(
)
3,0
A−
，
此时点B 平移后的对应点的坐标是
(
)
0,2
B
，符合题意；
故答案为：(
)
0, 2
−
或(
)
3,0
−
．
13．（24-25 七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知
(
)
(
)
3,6 ,
7,3
A
B
，平移线段AB 至CD（A
与C 对应），使得C，D 两点都在坐标轴上，此时，C 点坐标为 ．
【答案】(
)
0,3 或(
)
4,0
−
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移性质（对应点坐标变化量相等） 与坐
标轴上点的坐标特征是解题关键，分两种情形：C 在x 轴且D 在y 轴，或C 在y 轴且D 在x 轴 ．利用平移
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性质（对应点坐标变化量相同），结合坐标轴上点的坐标特征（x 轴上点纵坐标为0 ，y 轴上点横坐标为0 ）
列方程求解．
【详解】解： 情形一：C 在x 轴，D 在y 轴
设
(
)
,0
C a
，
(
)
0,
D
b
∵
(
)
(
)
3,6
,0
A
C a
→
，
(
)
(
)
7,3
0,
B
D
b
→
，平移时横、纵坐标变化量相同
∴ 横坐标变化：
3
0 7
a−= −；纵坐标变化：0 6
3
b
−
=
−
解得
4
a = −，
3
b = −，即
(
)
4,0
C −
情形二：C 在y 轴，D 在x 轴
设
(
)
0,
C
c ，
(
)
,0
D d
∵
(
)
(
)
3,6
0,
A
C
c
→
，
(
)
(
)
7,3
,0
B
D d
→
，平移时横、纵坐标变化量相同
∴ 横坐标变化：0 3
7
d
−=
−；纵坐标变化：
6
0 3
c−
=
−
解得
4
d =
，
3
c = ，即
(
)
0,3
C
故答案为：(
)
0,3 或(
)
4,0
−
．
题型五：已知平移前后点的坐标，判断平移方式
1．（23-24 七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点
(
)
1,4
A
，(
)
0,2
B
，(
)
3,0
C −
，
(
)
1, 1
D −−
，
(
)
5, 3
E
−
，
(
)
4,0
F
．将线段AB ，CD，EF 沿x 轴或y 轴方向平移后，恰好组成一个首尾相接
的三角形．若点B 与点C 平移后的对应点均为点O，则线段EF 需先向左平移 个单位长度，再向上
平移 个单位长度．
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【答案】 3 2
【分析】本题主要考查了平移变换，已知平移前后的坐标，判断平移方式，正确掌握平移的规律，是解题
关键．先根据点B 与点C 平移后的对应点均为点O，得到线段AB ，CD的平移规律，得出点A、D 平移后
的坐标，即为点F、E 平移后坐标，再利用平移的规律得出线段EF 的平移单位．
【详解】解：设EF 平移后的线段为E F，如图所示：
∵点B 与点C 平移后的对应点均为点O，
∴线段AB 沿y 轴向下平移了2 个单位长度，点A 平移后的坐标为(
)
1,2 ，
线段CD沿x 轴向右平移了3 个单位长度，点D 平移后的坐标为(
)
2, 1
−
，
∵平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，且
(
)
5, 3
E
−
，
(
)
4,0
F
，
∴点E 需平移到(
)
2, 1
−
，点F 需平移到(
)
1,2 ，
∵5 3
2
−=
，4 3 1
−= ，3 2
1
−+
= −，0
2
2
+
=
，
∴线段EF 需先向左平移3 个单位长度，再向上平移2 个单位长度．
故答案为：3，2．
2．（24-25 七年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知
ABC
，点D
为AC 边上一点，在方格纸内将
ABC
经过两次平移后得到A B C
，图中标出了平移后点D 的对应点D¢．
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(1)画出平移后的A B C
并写出平移方式；
(2)判断线段AB 与A B
的关系是 ．
(3)线段AB 扫过的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2) AB
A B AB
A B
=
∥
,
(3)33
【分析】本题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用平移的性质求解即可；
（3）利用平移的性质分解成两个平行四边形求解即可．
【详解】（1）解：如图，A B C
即为所作，
平移方式：将
ABC
先向右平移6 个单位长度，再向下平移3 个单位长度；
（2）解：由平移的性质得，AB
A B AB
A B
=
∥
,
；
（3）解：如图，
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线段AB 扫过的面积为6 5 3 1
33
+ =
．
故答案为：33．
3．（24-25 七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1 的方格纸内将三角形ABC 经过
平移后得到三角形A B C
，图中标出了点B 的对应点B．
(1)画出三角形A B C
，其中点
,
A C 的对应点分别为点
,
A C
；
(2)这个平移过程可以看作三角形ABC 先向___________平移___________个单位长度，再向___________平
移___________个单位长度；
(3)若三角形ABC 经过一次平移得到三角形A B C
，求线段BC 平移过程中扫过的面积．
【答案】(1)见解析
(2)左，5，下，2
(3)20
【分析】本题考查平移的性质，平移作图，解题的关键是掌握平移的性质．
（1）根据点B 和点B的位置，得出平移的方向和距离，据此可解决问题；
（2）根据（1）所画图形即可解决问题；
（3）根据平移的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，A B C
即为所求；
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（2）解：这个平移过程可以看作
ABC
先向左平移5个单位，再向下平移2 个单位，
故答案为：左，5，下，2 ；
（3）解：
5
20
S = =
．
4．（24-25 七年级下·河南信阳·期末）
ABC
与A B C
在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)分别写出下列各点的坐标：A_____；B_____；C_______；
(2)说明A B C
由
ABC
经过怎样的平移得到？
(3)求
ABC
的面积．
【答案】(1)(
)
3,1
−
，(
)
2, 2
−
−
，(
)
1, 1
−
−
(2)
ABC
先向左平移4 个单位，再向下平移2 个单位得到A B C
(3)2
【分析】本题考查了由图形变换判断平移方式，点的坐标，利用网格求三角形面积根据网格图中对应点的
位置确定出平移的方式是解题的关键．
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（1）根据图示即可得出A、B、C三点的坐标；
（2）利用对应点位置变化得出答案；
（3）直接利用
ABC
所在直角梯形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）解：根据图示得
( 3,1)
A−
，
( 2, 2)
B−
−
，
( 1, 1)
C−−
；
故答案为：( 3,1)
−
；( 2, 2)
−
−
；( 1, 1)
−−
．
（2）解：
ABC
先向左平移4 个单位，再向下平移2 个单位；（或先向下平移2 个单位，再向左平移4 个
单位）得到A B C
；
（3）解：
1
1
1
(1 3) 2
1 3
1 1
2
2
2
2
ABC
S
=
+
−
−
=
．
5．（24-25 七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，
ABC
经过平移得到A B C
．
(1)分别写出点,
A A的坐标：A ，A ．并说明A B C
是由
ABC
经过怎样的平移得到的．
(2)若点
(
)
,2
M m
n 是
ABC
内部一点，经过相同的平移后对应点M的坐标为(
)
2 ,
m n ，求m 和n 的值．
【答案】(1)(
)
4,4
−
，(
)
0, 2
−
，A B C
是由
ABC
先向右平移4 个单位长度，再向下平移6 个单位长度得到
的
(2)
4,
6
m
n
=
=
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平移规律，是解题的关键．
（1）根据图形写出点,
A A的坐标即可，根据点A 向右平移4 个单位长度，再向下平移6 个单位长度得到点
A得出A B C
是由
ABC
先向右平移4 个单位长度，再向下平移6 个单位长度得到的；
（2）根据点
(
)
,2
M m
n 是
ABC
内部一点，经过相同的平移后对应点M的坐标为(
)
2 ,
m n ，列出方程，解方
程即可．
【详解】（1）解：根据图形可知：
(
)
4,4
A −
，
(
)
0, 2
A
−
；
∵点A 向右平移4 个单位长度，再向下平移6 个单位长度得到点A，
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∴A B C
是由
ABC
先向右平移4 个单位长度，再向下平移6 个单位长度得到的；
（2）解：∵点
(
)
,2
M m
n 是
ABC
内部一点，经过相同的平移后对应点M的坐标为(
)
2 ,
m n ，
∴
4
2
m
m
+
=
，2
6
n
n
−
=
，
解得：
4,
6
m
n
=
=
．
6．
（24-25 七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是(
)
5,4
A −
、
(
)
4,1
B −
、
(
)
2,3
C −
、
(
)
3,5
D −
，四边形ABCD通过平移得到四边形A B C D
，点A 、B 、C 、D 的对应点
分别是点A、B、C、D¢，其中点D¢的坐标是(
)
3,4 ．
(1)请在图中画出四边形A B C D
；
(2)四边形A B C D
可以由四边形ABCD经过怎样的平移得到？请写出一种平移的方式．
【答案】(1)图见解析
(2)四边形ABCD先向右平移6 个单位，再向下平移1 个单位得到四边形A B C D
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键：
（1）根据对应点的坐标，确定平移规则，画出四边形A B C D
即可；
（2）根据对应图形，写出平移方式即可．
【详解】（1）解：如图，四边形A B C D
即为所求；
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（2）由图可知，四边形ABCD先向右平移6 个单位，再向下平移1 个单位得到四边形A B C D
．
7．（24-25 七年级下·广东阳江·期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000 多年的历史，如图
是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1 的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为(
)
2,4
−
，
(
)
1,2 ．
(1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并写出C、D 两颗棋子的坐标：C( ， )，D( ， )．
(2)线段AB 平移后得到线段A B
，点A 的对应点是
(
)
1,3
A
，说明平移方式，并求出点B 的对应点B的坐标．
【答案】(1)图见解析，2，1；2
−，1
−
(2)向右平移3 个单位长度，向下平移1 个单位长度，点B的坐标为(
)
4,1 ．
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
（1）直接利用(
)
2,4
A −
，
(
)
1,2
B
得出原点的位置进而建立坐标系得出答案；
（2）利用所建立的平面直角坐标系可得出平移后点的坐标可得答案．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
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24 /
由图可知，
(
)
2,1
C
，
(
)
2, 1
D −
−
；
（2）解：由题意得，平移方式是：向右平移3 个单位长度，向下平移1 个单位长度．
∴点B的坐标为(
)
4,1 ．
8．（24-25 七年级下·广西南宁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC 经过平移得到三角形
A B C
．
(1)分别写出点A，A的坐标；
(2)请说明三角形A B C
是由三角形ABC 经过怎样的平移得到的；
(3)若点
(
)
,
1
M m n +
是三角形ABC 内部的一点，平移后的对应点M的坐标为(
)
1,
2
m
−
−
，求m 和n 的值．
【答案】(1)
1,0
A
，
(
)
4,4
A−
(2)左移5 个单位长度，上移4 个单位长度
(3)
4
3
m
n
=
= −
【分析】本题考查作图−坐标与图形变化−平移，二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握平移称变换的
性质．
（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
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25 /
（3）利用平移变换的性质，构建方程组求解．
【详解】（1）解：由图可得：
1,0
A
，
(
)
4,4
A−
；
（2）解：三角形A B C
是由三角形ABC 向左平移5 个单位，向上平移4 个单位得到．
（3）解：∵点
(
)
,
1
M m n +
是三角形ABC 内部的一点，平移后的对应点M的坐标为(
)
1,
2
m
−
−
，
∴
5
1
1 4
2
m
n
m
−
= −
+ +
=
−
解得
4
3
m
n
=
= −
；
9．（24-25 七年级下·湖北随州·期末）已知三角形A B C
是由三角形ABC 经过平移得到的，它们各顶点在平
面直角坐标系中的坐标如表所示：
三角形ABC
(
)
2
A a −
，
(
)
0
2
B
−
，
(
)
1 2
C
，
三角形A B C
(
)
1
1
A
−
，
(
)
4
B
b
，
(
)
3
C
c
，
(1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：
ABC
先向___________平移___________个单位长度，再向
___________平移___________个单位长度可以得到A B C
；
(2)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：
a =___________，b = ___________，c = ；
(3)在平面直角坐标系xOy 中画出三角形ABC 和三角形A B C
．
【答案】(1)右，4，上 ，1
(2) 3
− ，1
−，5；
(3)见解析
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26 /
【分析】本题考查作图—平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．解题的关
键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连
接对应点即可得到平移后的图形．
（1）点
(
)
0
2
B
−
，
向右平移4 个单位得到点
(
)
4
B
b
，
，点
(
)
1 2
C
，向上平移1 个单位得到点
(
)
3
C
c
，；
（2）利用点平移的规律可确定a 、b 、c 的值；
（3）描点画图即可．
【详解】
（1）解：点
(
)
0
2
B
−
，
向右平移4 个单位得到点
(
)
4
B
b
，
，点
(
)
1 2
C
，向上平移1 个单位得到点
(
)
3
C
c
，，
故答案为：右，4，上 ，1．
（2）解：∵
(
)
2
A a −
，
，
(
)
0
2
B
−
，
，
(
)
1 2
C
，，
(
)
1
1
A
−
，
，
(
)
4
B
b
，
，
(
)
3
C
c
，，
∴
1 4
3
a = −
= −，
2 1
1
b = −+ = −，
5
c =
，
故答案为：3
− ，1
−，5；
（3）解：如图，三角形ABC 及三角形A B C
即为所作．
10．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，将四边形ABCD平移后，顶点
(
)
2 3
C
，的坐标变成了(
)
2,0 ，这
时点
(
)
(
)
(
)
2,7
1,5 ,
3,5
A
B
D
，
的坐标分别变成了什么？画出四边形ABCD平移后得到的图形．
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【答案】点
(
)
2,7
A
变成(
)
2,4 ；点(
)
1,5
B
变成(
)
1,2 ；点
(
)
3,5
D
变成(
)
3,2 ；图见解析．
【分析】本题考查了平移的性质、图形与坐标等知识点．根据点C 平移后的对应点，计算出平移的方向和
单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点(
)
(
)
(
)
2,7
1,5 ,
3,5
A
B
D
，
平移后的
坐标，进而画出图形即可．
【详解】解：由题可知
(
)
2 3
C
，的坐标变成了(
)
2,0 ；
∴平移方式是向下平移3 个单位长度；
∴点
(
)
2,7
A
向下平移3 个单位长度得到(
)
2,4 ；
点
(
)
1,5
B
向下平移3 个单位长度得到(
)
1,2 ；
点
(
)
3,5
D
向下平移3 个单位长度得到(
)
3,2 ；
四边形ABCD平移后得到的图形如图所示：
11．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，将三角形ABC 平移，得到三角形
1
1
1
A BC ，其中任意一点(
)
0
0
,
P x
y
平移后的对应点为
(
)
1
0
0
5,
3
P x
y
+
+
．写出三角形ABC 的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点
1
1
1
,
,
A B C 的
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28 /
坐标．
【答案】平移规律为向右平移5 个单位长度，向上平移3 个单位长度；
1(3,6)
A
，
1(1,2)
B
，
1(7,3)
C
．
【分析】本题考查了作图-平移变换，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离.
利用点P 与点P1的坐标特征得到点P 向右平移5 个单位长度，向上平移3 个单位长度得到点P1，然后利用
此平移规律写出
1
1
1
A
B
C
、、
的坐标．
【详解】解：∵点
(
)
0
0
,
P x
y
经平移后对应点为
(
)
1
0
0
5,
3
P x
y
+
+
，
∴平移规律为向右平移5 个单位长度，向上平移3 个单位长度，
∴平移后得到三角形
1
1
1
A BC 的坐标分别为：
1(3,6)
A
，
1(1,2)
B
，
1(7,3)
C
．
12．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，图形Ⅱ可以由图形I 经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什
么变化？
【答案】见详解
【分析】本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是掌握平移的性质．
根据图形的平移变换作答即可．
【详解】解：图（1）将图形I 向左平移3 个单位长度，再向下平移6 个单位长度得到图形Ⅱ．把平移前各
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点的横坐标都减3，纵坐标都减6，就得到平移后各对应点的坐标；
图（2）将图形I 向右平移6 个单位长度，再向上平移8 个单位长度得到图形Ⅱ．把平移前各点的横坐标都
加6，纵坐标都加8，就得到平移后各对应点的坐标．
题型六：已知图形的平移求点的坐标
1．（24-25 八年级下·河北保定·期末）如图，点
(1,0)
A
、点B 在y 轴上，将
OAB
△
沿x 轴负方向平移，平移后
的图形为DEC
，且点C 的坐标为( , )
a b ，且
2
2
3
a
b
b
=
−
+
−
−，则点E 的坐标 ．
【答案】( 2,0)
−
【分析】本题考查坐标与图形变换-平移、二次根式的性质，熟练掌握图形变换过程中点的坐标特征是解答
的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出a、b 值，根据平移的性质即可得出点E 坐标．
【详解】解：
2
2
3
a
b
b
=
−
+
−
−
，
∴
2
0,2
0
b
b
-
?
?
，
∴2
0
b
−
=
，
2
b
=
，
则
3
a = −，
点C 的坐标为( , )
a b ，
点C 的坐标为( 3,2)
−
，
点B 在y 轴上，点C 的坐标为( 3,2)
−
，
B
点向左平移了3 个单位长度，
(1,0)
A
向左平移3 个单位得到( 2,0)
−
点E 的坐标为：( 2,0)
−
，
故答案为：( 2,0)
−
．
2．
（24-25 七年级下·江苏南通·期中）如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是
(3,5), (3,4),
(2,4),
(2,5)
A
B
C
D
，
将线段AB 先向右再向下平移之后得到线段EF ，点A 的对应点为
( , )
E m n ，若点E 到直线AD的距离等于点
F 到直线AB 的距离，则
,
m n的数量关系为 ．
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【答案】
8
n
m
= −
+
【分析】此题考查坐标与图形的平移，关键是根据坐标与图形的平移特点解答．根据坐标得出AB
y
∥
轴，
AD
x
∥轴，进而利用两点的距离得出方程解答．
【详解】解；正方形ABCD四个顶点的坐标分别是
(3,5)
A
，
(3,4)
B
，
(2,4)
C
，
(2,5)
D
，
AB
y
∥轴，AD
x
∥轴，
设
( , )
F s t ，
线段AB 平移之后得到线段EF ，点
(3,5)
A
的对应点为
( , )
E m n ，
3
3
4
5
s
m
t
n
−
=
−
−
=
−
，
1
s
m
t
n
=
=
−
，
( ,
1)
F m n
−
，
点E 到AD的距离等于点F 到AB 的距离，
5
3
n
m
−
=
−，
8
n
m
= −
+ ，
故答案为：
8
n
m
= −
+ ，
3．（24-25 七年级下·天津滨海新·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 平移至线段CD，BD．若点
(
)
2, 2
B −
−
的对应点为
(
)
1,2
D
，则点(
)
3,0
A −
的对应点C 的坐标是 ．
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【答案】(
)
0,4
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移
加，下移减．
根据点B、D 的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：∵点
(
)
2, 2
B −
−
的对应点为
(
)
1,2
D
∴平移规律为向右平移3 个单位，向上平移4 个单位，
∴点
(
)
3 0
A −, 的对应点C 的坐标为(
)
0,4 ．
故答案为：(
)
0,4 ．
5．（24-25 七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知(
)
(
)
3,2 ,
2,4
A
B
−
，将线段AB 平移至CD，A 与C 对应，B 与
D 对应，若点D 恰好在y 轴上，点C 恰好在x 轴上，则点C 坐标是（ ）
A．(
)
6,0
−
B．(
)
6,0
C．(
)
5,0
−
D．(
)
5,0
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标的平移，掌握平移的性质是解题关键．根据题意设
(
)
,0
C m
，
(
)
0,
D
n ，由平移
得性质可知，将点A 平移到点C 的过程与将点C 平移到点D 的过程一致，列式求解即可得到答案．
【详解】解：点D 恰好在y 轴上，点C 恰好在x 轴上，
设
(
)
,0
C m
，
(
)
0,
D
n ，
(
)
(
)
3,2 ,
2,4
A
B
−
，将线段AB 平移至CD，A 与C 对应，B 与D 对应，
(
)
3
0
2
0
2
4
m
n
−−
=
−
−
=
−
，解得：
5
2
m
n
= −
=
，
(
)
5,0
C
−
，
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故选：C．
6．（24-25 七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点(
)
3,
A m
n
+
，(
)
,
1
B m n +
都在第一象限，将线
段AB 平移，使平移后的点A 、B 分别落在x 轴和y 轴上，则点A 平移后的对应点的坐标是（ ）
A．(
)
1,0
−
B．(
)
1,0
C．(
)
3,0
−
D．(
)
3,0
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换．根据点的坐标平移规则“左减右加，上加右减”求解即可．
【详解】解：设平移向量为(
)
,h k ，则平移后点A 的坐标为(
)
3
,
m
h n
k
+ +
+
，点B 的坐标为(
)
,
1
m
h n
k
+
+ +
，
根据题意，平移后的点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，
∴平移后的点A 的对应点的纵坐标为0，即
0
n
k
+
=
，解得k
n
= −，
点B 的对应点的横坐标为0，即
0
m
h
+
=
，解得h
m
= −
，
∴平移后的点
(
)
3
,
A m
h n
k
+ +
+
平移后的对应点的坐标是(
)
3
,
m
m n
n
+ −
−
，即(
)
3,0 ，
故选：D．
7．（24-25 七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标分别为(2, 1), (1,0)
A
B
−
，将
线段AB 平移后，点A 的对应点A的坐标为(0,1)，则点B 的对应点B的坐标为 ．
【答案】(
)
1,2
−
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键．坐标轴的平移口诀为“左
减右加，上加下减”，即横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减．
先由点A 和点A确定平移方式，即可求出点B的坐标．
【详解】解：由点
(2, 1)
A
−
平移至点
(
)
0,1
A
得，点A 向左移2 个单位，向上平移了2 个单位，得到点A，
∴
(1,0)
B
向左移2 个单位，向上平移了2 个单位后得到点
(
)
1,2
B−
，
故答案为：(
)
1,2
−
．
题型七：已知平移后的坐标求原坐标
1．
（23-24 八年级上·安徽滁州·期中）若将点A 先向左平移1 个单位，再向上平移4 个单位，得到的(
)
3,2
B −
，
则点A 的坐标为（ ）
A．(
)
2,6
−
B．(
)
4,6
−
C．(
)
2, 2
−
−
D．(
)
4, 2
−
−
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【答案】C
【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下
移减．设
(
)
,
A x y ，将点A 先向左平移1 个单位，再向上平移4 个单位可得(
)
1,
4
x
y
−
+
，再根据(
)
3,2
B −
可
得
1
3
x −= −，
4
2
y +
=
，然后再解方程即可．
【详解】解：设
(
)
,
A x y ，将点A 先向左平移1 个单位，再向上平移4 个单位可得(
)
1,
4
x
y
−
+
，
∵得到的(
)
3,2
B −
，
∴
1
3
4
2
x
y
−= −
+
=
，
解得：
2
2
x
y
= −
= −
，
∴
(
)
2
2
A −
−
,
，
故选：C．
2．
（24-25 七年级下·北京怀柔·期末）若点
(
)
,
P x y 向下平移3 个单位后位于坐标原点，则P 点坐标为 ．
【答案】(
)
0,3
【分析】本题考查了坐标的平移，掌握“纵坐标上加下减，横坐标左加右减”是解题关键．根据平移的规律求
解即可．
【详解】解：点
(
)
,
P x y 向下平移3 个单位后位于坐标原点(
)
0,0 ，
0
x
= ，
3
0
y −
=
，
3
y
= ，
P 点坐标为(
)
0,3 ，
故答案为：(
)
0,3 ．
3．（23-24 八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点
(
)
,
A x y 向左平移个4 单位长度，再向下平
移3 个单位长度后与点
(
)
1, 2
B
−
重合，则点A 的坐标是 ．
【答案】(
)
5,1
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，根据所给平移方式，将点B 进行反向平移即可解决问题．
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【详解】解：由题知，将点
(
)
1, 2
B
−
向上平移3 个单位长度后，所得点的坐标为(
)
1,1 ，
再将点(
)
1,1 向右平移4 个单位长度后，所得点的坐标为(
)
5,1 ，
即点A 的坐标是(
)
5,1 ．
故答案为：(
)
5,1 ．
4．（24-25 八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位
后坐标是(
)
1, 2
−−
，那它原来的位置坐标是 ．
【答案】(
)
1,1
【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的
横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果
把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位
长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点
的坐标即可直接求解．
【详解】解：设原来的位置坐标是(
)
,x y ，
∵该点先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位后坐标是(
)
1, 2
−−
，
∴
2
1
x −
= −，
3
2
y −
= −，
解得：
1
x = ，
1
y = ，
∴原来的位置坐标是(
)
1,1 ．
故答案为：(
)
1,1 ．
5．（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，
1
1
1
A BC
△
是由
ABC
先向右平移4 个单位长度，再
向上平移6 个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：
(
)
1 2,1
A
，
(
)
1 6,1
B
，
(
)
1 5,4
C
，则
ABC
的顶点A 的
坐标为 ．
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【答案】(
)
2, 5
−
−
【分析】设顶点A 的坐标为：(
)
,x y ，根据平移规律可知：
(
)
1
4,
6
x
A
y
+
+
，再利用
(
)
1 2,1
A
即可求出x，y 的
值．
【详解】解：设顶点A 的坐标为：(
)
,x y ．
由题意可知：
∵
1
1
1
A BC
△
是由
ABC
先向右平移4 个单位长度，再向上平移6 个单位长度得到的，
∴
(
)
1
4,
6
x
A
y
+
+
，
∵
(
)
1 2,1
A
，
∴
4=2
x +
，
6=1
y +
，解得：
2
x = −，
5
y = −，
∴
(
)
2, 5
A −
−
，
故答案为：(
)
2, 5
−
−
题型一：点坐标规律探索
1．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）已知
(
)
2,2
M
，规定“先作点M 关于x 轴对称，再将对称点向左平移1个
单位”为一次变换．那么连续经过2025次变换后，点M 的坐标变为（ ）
A．(
)
2023,2
−
B．(
)
2023, 2
−
−
C．(
)
2024, 2
−
−
D．(
)
2024,2
−
【答案】B
【分析】本题考查了坐标系中点的对称变换和平移变换，由
(
)
2,2
M
，根据题意得第一次变换后点M 的坐
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36 /
标变为(
)
1, 2
−
；第二次变换后点M 的坐标变为(
)
0,2 ；第三次变换后点M 的坐标变为(
)
1, 2
−−
；第四次变换
后点M 的坐标变为(
)
2,2
−
；；则有奇数次变换点M 在x 轴下方纵坐标为2
−，横坐标为“2 减去次数”，偶
数次变换点M 在x 轴上方，纵坐标为2 ，横坐标为“2 减去次数”，然后通过规律即可求出连续经过2025次
变换后点M 的坐标，读懂题意，找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵
(
)
2,2
M
，
∴第一次变换后点M 的坐标变为(
)
1, 2
−
；
第二次变换后点M 的坐标变为(
)
0,2 ；
第三次变换后点M 的坐标变为(
)
1, 2
−−
；
第四次变换后点M 的坐标变为(
)
2,2
−
；
；
∴奇数次变换点M 在x 轴下方纵坐标为2
−，横坐标为“2 减去次数”，偶数次变换点M 在x 轴上方，纵坐标
为2 ，横坐标为“2 减去次数”，
∴第2025次变换后的点M 在x 轴下方，点M 的纵坐标为2
−，横坐标为2
2025
2023
−
= −
，
∴点M 的坐标变为(
)
2023, 2
−
−
，
故选：B．
2．（25-26 八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点出发，第1 次运动到
点
(
)
1 1,1
P
，第2 次运动到点
(
)
2 2,0
P
，第3 次运动到点
(
)
3 3, 2
P
−
，第4 次运动到点
(
)
4 4,0 ,
P
．按这样的
运动规律，点
2025
P
的坐标是（ ）
A．(
)
2025,1
B．(
)
2023, 2
−
C．(
)
2024,0
D．(
)
2025,0
【答案】A
【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照1，
0，2
−，0 的顺序，每4 个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．利用规律求
解即可．
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37 /
【详解】解：由图可得，从
(
)
1 1,1
P
开始，纵坐标的变化是按照1，0，2
−，0 的顺序，每4 个点为一组循环
变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．
2025 4
506
1
=
，
2025
P
的纵坐标与
(
)
1 1,1
P
的纵坐标相同，
2025
P
的坐标为(
)
2025,1 ，
故选A．
3．（23-24 八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，
1
2
3
A A A
△
，
3
4
5
A A A
△
，
5
6
7
A A A
，…都
是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点
(
)
1
2,0
A −
，
(
)
2
1, 1
A
−
−
，
(
)
3 0,0
A
，…；则根据图示规律，点
2024
A
的
坐标为（ ）
A．(
)
1, 1012
−−
B．(
)
1010,0
C．(
)
2,1012
−
D．(
)
1014,0
−
【答案】C
【分析】本题考查点的坐标变化规律，抓住点
4n
A 坐标的变化规律是解题的关键．依次求出点
iA （i 为正整
数）的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由图可得，(
)
1
2,0
A −
，(
)
2
1, 1
A
−−
，(
)
3 0,0
A
，(
)
4
2,2
A
−
，A5(−4,0)，A6(−1,−3)，A7(2,0)，A8(−2,4)……
其中，
(
)
4
2,2
A
−
，A8(−2,4)，
结合图象可得，
4n
A 的横坐标等于2
−，纵坐标等于2n ，
2024
4 506
2 1012
= ?
?
，
点
2024
A
的坐标为(
)
2,1012
−
，
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38 /
故选C．
4．（23-24 七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A 从(
)
1,0 出发，向上运动1 个单位
长度到达点(
)
1,1
B
，分裂为两个点，分别向左、右运动到点
(
)
0,2
C
，
(
)
2,2
D
，此时称动点A 完成第一次跳
跃，再分别从C，D 点出发，每个点重复上面的运动，到达点
(
)
1,4
G −
，
(
)
1,4
H
，(
)
3,4
I
，此时称动点A
完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A 完成第2024 次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）
A．(2023,4046)
B．(2024,22023)
C．(2025,4048)
D．(2025,22024)
【答案】C
【分析】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．根据题意找到点坐标变化的
规律即可．
【详解】解：由题意可得
(
)
A 1,0 ，
(
)
2,2
D
，(
)
3,4
I
每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，
则动点A 完成第2024 次跳跃时，最右边一个点纵坐标为2024×2=4048，
横坐标为2024 1
2025
+ =
．
故选：C．
5．（24-25 七年级下·湖北黄冈·期末）如图，长方形ABCD的两边BC 、CD分别在x 轴、y 轴上，点C 与原
点重合，点
(
)
1,2
A −
．将长方形ABCD沿x 轴无滑动的向右滚动，经过第1 次滚动，点A 对应点记为
1A ；经
过第2 次滚动，点A 对应点记为
2
A ；……；以此类推，经过第2025 次滚动，点
2025
A
对应的坐标为__________．
A．(3037,2)
B．(3037,1)
C．(3038,2)
D．(3038,1)
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【答案】D
【分析】先确定长方形的边长，分析滚动过程中坐标的变化规律，找出循环周期，再根据周期计算第2025次
滚动后点
2025
A
的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中图形滚动的坐标变化规律，熟练掌握找循环周期
及根据周期计算坐标的方法是解题的关键．
【详解】解：∵
(
)
1,2
A −
，
∴
2
AB =
，
1
BC = ．
第一次滚动后，
1A 的坐标为(
)
2,1 ；
第二次滚动后，
2
A 的坐标为(
)
3,0 ；
第三次滚动后，
3
A 的坐标为(
)
3,0 ；
第四次滚动后，
4
A 的坐标为(
)
5,2 ．
观察可得滚动周期为4 ，每滚动4 次，横坐标增加6 ，纵坐标按1,0,0,2循环．
2025 4
506
1
=
，即经过506个完整周期后，再滚动1次．
一个周期横坐标增加6 ，506个周期横坐标增加506 6
3036
=
．
初始
(
)
1,2
A −
，经过506个周期后对应点横坐标为−1+3036=3035 ，再滚动1次（第一次滚动规律），横坐标
变为3035+3=3038，纵坐标为1 ．
所以
2025
A
的坐标为(3038,1)．
故选：D ．
6．（24-25 八年级上·四川广安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”
方向排列，如 (
)
1,0 ，(
)
2,0 ，(
)
2,1 ，(
)
3,2 ，(
)
3,1 ，(
)
3,0 ，(
)
4,0 ，
，根据这个规律探索可得，第30
个点的坐标为（ ）
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40 /
A．(
)
6,4
B．(
)
6,5
C．(
)
7,3
D．(
)
8,1
【答案】D
【分析】本题考查了点的规律的探究，横坐标为1 的点有1 个，纵坐标只是0；横坐标为2 的点有2 个，纵
坐标是0 或1；横坐标为3 的点有3 个，纵坐标分别是0，1，2横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横
坐标为偶数，则从0 开始数．
【详解】解：把第一个点(1,0) 作为第一列，(2,1) 和(2,0) 作为第二列，
依此类推，则第一列有一个点，第二列有2 个点，
第n 列有n 个点．则n 列共有(
1)
2
n n+
个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
因为1 2
3
7
28
+ + ++
=
，
则第30 个点一定在第8 列，由下到上是第1 个点．
因而第30 个点的坐标是(
)
8,1 ．
故选：D．
7．
（24-25 七年级下·黑龙江·阶段练习）如图，已知
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
3
4
5
6
1,1
2, 1
4,4
6, 4
7,1
8, 1
A
A
A
A
A
A
−
−
−
，
，
，
，
，
，
(
)
(
)
7
8
10,4
12, 4
A
A
−
，
，按这样的规律，则点
2025
A
的坐标为（ ）
A．(
)
3038, 1
−
B．(
)
3037, 1
−
C．(
)
3037,1
D．(
)
3038,1
【答案】C
【分析】本题考查坐标的规律问题，先找到点的规律，然后计算解题即可，解题的关键是找到点的坐标规
律．
【详解】解：由题可知，每4 个点纵坐标重复一次，横坐标向右平移6 个单位长度，
∴2025 4
506
1
=
，
则
2025
A
的横坐标为：506 6 1
3037
+ =
，纵坐标为1，
故选：C．
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8．（24-25 七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M 自
(
)
0 1,0
P
处向上运动1个单位至
(
)
1 1,1
P
，然后向左运动2 个单位至
2P 处，再向下运动3个单位至
3P 处，再向右运动4 个单位至
4P 处，再向上
运动5个单位至
5P 处，…，如此继续运动下去，则
2023
P
的坐标为（ ）
A．(
)
1011, 1011
−
−
B．(
)
505, 506
−
−
C．(
)
505,505
−
D．(
)
1011, 1012
−
−
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形变化，根据象限中点的特征，探究规律即可．
【详解】解：点M 自
(
)
0 1,0
P
处向上运动1个单位至
(
)
1 1,1
P
向左运动2 个单位至
(
)
2
1,1
P −
再向下运动3个单位至
(
)
3
1, 2
P −−
再向右运动4 个单位至
(
)
4 3, 2
P
−
再向上运动5个单位至
(
)
5 3,3
P
再向左运动6 个单位至
(
)
6
3,3
P −
再向下运动7 个单位至
(
)
7
3, 4
P −
−
再向右运动8个单位至
(
)
8 5, 4
P
−
再向上运动9个单位至
(
)
9 5,5
P
再向左运动10个单位至
(
)
10
5,5
P
−
……
由规律可知，M 每运动4 次则会回到原来的象限
2023 4
505
3
=
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2023
P
在第三象限
观察第三象限的点：
(
)
(
)
(
)
3
7
10
1, 2 ,
3, 4 ,
5,5
P
P
P
−−
−
−
−
可知：
1
1
,
2
2
n
n
n
P
−+
−−
2023
P
的坐标为
2023 1
2023 1
,
2
2
−
+
−
−
即
(
)
2023
1011, 1012
P
−
−
．
故选：D．
9．（24-25 七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点
(1,0)
A
，点A 第一次向左跳动至
1( 1,1)
A −
，第二次向右跳动至
2(2,1)
A
，第三次向左跳动至
3( 2,2)
A −
，第四次向右跳动至
4(3,2)
A
，依照此
规律跳动下去，点A 第2025次跳动至
2025
A
的坐标 ．
【答案】(
)
1013,1013
−
【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，仔细观
察点的坐标变化规律，利用规律求解即可．
【详解】解：观察点的跳动规律，奇数次跳动时，横坐标是
1(
2
n
n
+
−
为跳动次数），纵坐标是
1
2
n + ．
当
2025
n =
时，横坐标为
2025 1
1013
2
+
−
= −
，纵坐标为2025 1
1013
2
+ =
，
所以
2025
A
的坐标为( 1013,1013)
−
．
故答案为：( 1013,1013)
−
．
10．（24-25 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、
向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1 个单位．其行走路线如下图所示．那么蚂蚁第124 次移动到
的点
124
A
的坐标是
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【答案】(
)
62,0
【分析】本题主要考查的是坐标点的规律，解题的关键是通过观察得到其中的周期．
利用点的运动周期找到规律，然后进行求解即可．
【详解】解：通过观察蚂蚁运动的轨迹可以发现蚂蚁的运动是有周期性的，
蚂蚁每运动4 次为一个周期，
可得：124
4
31
=
，
即点
124
A
是蚂蚁运动了31 个周期，
此时与之对应的点是
4
A ，
点
4
A 的坐标为(
)
2 0,
，
则点
124
A
的坐标为(
)
62,0 ，
故答案为：(
)
62,0 ．
11．（24-25 八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1
个单位，再向右平移1 个单位，得到点
(
)
1 1,1
A
；把
1A 先向上平移2 个单位长度，再向左平移2 个单位长度，
得到点
(
)
2
1,3
A
−
；把
2
A 先向下平移3 个单位长度，再向左平移3 个单位长度，得到点
(
)
3
4,0
A −
；把
3
A 先向
下平移4 个单位长度，再向右平移4 个单位长度，得到点
(
)
4 0, 4
A
−
，…，按此规律依次进行下去，则点
2025
A
的坐标为 ．
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【答案】(
)
2025,1
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考
题型．先根据平移规律得到第n 次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n 个单位长度，再向下或向上
平移n 个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点
4n
A 的坐标为(
)
0, 4n
−
，由
此求解即可．
【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1 个单位，再向右平移1 个单位，得到点
(
)
1 1,1
A
；
把点
1A 向上平移2 个单位，再向左平移2 个单位，得到点
(
)
2
1,3
A
−
；
把点
2
A 向下平移3 个单位，再向左平移3 个单位，得到点
(
)
3
4,0
A −
；
把点
3
A 向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，得到点
(
)
4 0, 4
A
−
，
第n 次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n 个单位长度，再向下或向上平移n 个单位得到下一个
点，
O
到
1A 是向右平移1 个单位长度，向上平移1 个单位长度，
1A 到
2
A 是向左2 个单位长度，向上平移2 个单位长度，
2
A 到
3
A 是向左平移3 个单位长度，向下平移3 个单位长度，
3
A 到
4
A 是向右平移4 个单位长度，向下平移4 个单位长度，
4
A 到
5
A 是向右平移5 个单位长度，向上平移5 个单位长度，
可以看作每四次坐标变换为一个循环，
点
4n
A 的坐标为(
)
0, 4n
−
，
2025
4 506 1
=
+
，
点
2024
A
的坐标为(
)
0, 2024
−
，
点
2025
A
的坐标为(
)
2025,1 ．
故答案为：(
)
2025,1 ．
12．（24-25 七年级下·广西南宁·期中）如图，弹性小球从点
(
)
0,1
P
出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正
方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1 次碰到正方形的边时的点为
(
)
1 2,0
P
，第2
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45 /
次碰到正方形的边时的点为
2P ，第n 次碰到正方形的边时的点为
nP ，则点
2025
P
的坐标是 ．
【答案】(0,3)
【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6 次反弹为
一个循环组依次循环是解题的关键．
根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6 次反弹为一个循环组依次循环，用2025 除以6，根据商和
余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：∵弹性小球从点
(
)
0,1
P
出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹
时反射角等于入射角，
∴小球第1 次碰到正方形的边时的点为
(
)
1 2,0
P
，
小球第2 次碰到正方形的边时的点为
(
)
2 4,1
P
，
小球第3 次碰到正方形的边时的点为
(
)
3 0,3
P
，
小球第4 次碰到正方形的边时的点为
(
)
4 2,4
P
，
小球第5 次碰到正方形的边时的点为
(
)
5 4,3
P
，
小球第6 次碰到正方形的边时的点为P6(0,1)，重复，
∴小球每6 次碰撞是一个循环组，
∵2025 6
337
3
=
，
∴
2025
P
的坐标与
3P 相同，
∴P2025(0,3)．
故答案为：(
)
0,3 ．
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46 /
题型二：平移综合中新定义问题
1．（24-25 八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，给出如下定义：
点P 的“甲变换”：将点P 向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度；
点P 的“乙变换”：将点P 向右平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度．
若对点
(
)
,0
A m
进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点B 落在y 轴上，则点B 的坐标为 ．
【答案】(
)
0,0
【分析】本题考查了新定义，平移变换，理解点的“甲变换”和“乙变换”的定义是解题的关键．根据“甲变换”
和“乙变换”的平移方式得到
(
)
3,0
B m +
，再结合点B 落在y 轴上，即可得到点B 的坐标．
【详解】解：由题意可知，点
(
)
,0
A m
进行1 次“甲变换”得到的坐标为(
)
1,0
2
m −
+
，即(
)
1,2
m −
，
再进行2 次“乙变换”后，得到点B 坐标为(
)
1
2
2,2 1 1
m −+
+
−−
，即(
)
3,0
m +
，
点B 落在y 轴上，
点B 的横坐标为0，
点B 的坐标为(
)
0,0 ，
故答案为：(
)
0,0 ．
2．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）定义新运算：
在平面直角坐标系中，{ , }
a b 表示动点从原点出发，沿着x 轴正方向(
)
0
a
或负方向(
)
0
a
平移a 个单位长
度，再沿着y 轴正方向(
)
0
b
或负方向(
)
0
b
平移b 个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x 轴负方向
平移2 个单位长度，再沿着y 轴正方向平移1 个单位长度，记作
2,1
−
；其加法运算法则为：
{ , } { , }
{
,
}
a b
c d
a
c b
d
+
=
+
+
，其中a，b，c，d 为实数．若{2,5} { , }
{1, 2}
m n
+
=
−
，则m
n
+
= ．
【答案】8
−
【分析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根
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据题意列出二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：∵{2,5} { , }
{1, 2}
m n
+
=
−
，
∴根据加法运算法则，得
2
1
5
2
m
n
+
=
+
= −
，
解得：
1
7
m
n
= −
= −
，
则
(
)
1
7
8
m
n
+
= −+ −
= −，
故答案为：8
−．
3．（24-25 七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系xOy 中的任意一点
(
)
,
M x y ，给出如下定义：记
a
x
y
=
+
，b
x
y
= −+
，将点(
)
,
P a b 与点
(
)
,
Q b a 称为点M 的一对卫星点．例如，点
(
)
1, 5
P
−
与点
(
)
5,1
Q −
为点
(
)
3, 2
M
−
的一对卫星点．将点
(
)(
)
2
1,
1
0
C
m
m
m
−
−
+
向右平移m 个单位长度，向下移动m 个单位，得到点
C，若点C的一对卫星点重合，则m = ．
【答案】1
3
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
(
)
3
1, 2
1
C
m
m
−
−
+
，
此时，
(
)
3
1
2
1
a
m
m
m
=
−+ −
+
=
，
(
) (
)
3
1
2
1
5
2
b
m
m
m
= −
−
+ −
+
= −
+
，
则C点的卫星点为(
)
, 5
2
m
m
−
+
和(
)
5
2,
m
m
−
+
，
∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等），
∴
5
2
m
m
= −
+
，
解得，
1
3
m =
，
故答案为：1
3 ．
4．（2025·河北秦皇岛·一模）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，
,a b 表示动点从原点出发，沿着x 轴正方向(
)
0
a
或负方向(
)
0
a
．平移a 个
单位长度，再沿着y 轴正方向(
)
0
b
或负方向(
)
0
b
平移b 个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x 轴
负方向平移2 个单位长度，再沿着y 轴正方向平移1个单位长度，记作
2,1
−
．
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②加法运算法则：
,
,
,
a b
c d
a
c b
d
+
=
+
+
，其中a ，b ，c ，d 为实数．
若
4,6
,
7,10
m
n m
n
+
+
−
=
，则mn = ．
【答案】
7
4
−
【分析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根
据题意列出二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：∵
4,6
,
7,10
m
n m
n
+
+
−
=
，
根据加法运算法则，得
4
7
6
10
m
n
m
n
+
+
=
+
−
=
，
解得：
7
2
1
2
m
n
=
= −
，
则
7
1
7
2
2
4
mn
=
−
= −
，
故答案为：
7
4
−
．
5．（24-25 七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于点
(
)
,
P x y ，定义一种变换T ：将
点
(
)
,
P x y ）变换为
(
)
0
0
0
,
P
x
y
，其变换规则为
0
0
x
ax
by
y
bx
ay
=
+
=
−
，其中,a b 为常数．我们则称
(
)
0
0
0
,
P
x
y
是(
)
,
P x y
的“T 变点”．
(1)已知点(8, 1)
−
是点(1,2) 的“T 变点”，
①求6b
a
−的算术平方根；
②已知点
(
)
,2
1
A m
m −
经过变换T 后得到点B ，再将点B 先向左移1 个单位，再向上移5 个单位得到点C ，
若点C 落在坐标轴上，求点A 的坐标；
(2)约定：如果一个点的纵坐标比横坐标的2 倍还多4，我们就称这个点为“美点”，已知点(1, )
k 是点(1,1) 的“T
变点”，若点
(
)
,
M a b 就是一个“美点”，且
(
)
,
M a b 是N 的“T 变点”，求N 的坐标．
【答案】(1)①4；②1 ,0
2
或(7,13)
(2)(1,0)
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义正确列出二元一次方程组是本题解题的关键．
（1）根据点(8, 1)
−
是点(1,2) 的“T 变点”，求出,a b 的值；①代入,a b 的值求解算术平方根即可；②根据定
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义求出B 点坐标，再根据平移与坐标的关系求出C 点坐标，根据C 在坐标轴上，令其横纵坐标分别为 0 求
出m 的值，代入A 点坐标即可；
（2）根据点(1, )
k 是点(1,1) 的“T 变点”得出一个,a b 的关系式，再根据点
( , )
M a b 就是一个“美点”，得出,a b 另
一个关系式，联立求解,a b ，最后根据
( , )
M a b 是N 的“T 变点”求出N 点坐标即可．
【详解】（1）解：∵点(8, 1)
−
是点(1,2) 的“T 变点”，
8
2
1
2
a
b
b
a
=
+
−=
−
，
解得：
2,
3
a
b
=
=
，
①6
6 3 2
16
b
a
−
= −
=
，
∴6b
a
−的算术平方根为 4 ；
②
2
3(2
1)
8
3,
3
2(2
1)
2
B
B
x
m
m
m
y
m
m
m
=
+
−
=
−
=
−
−
=
−
，
∴
(8
3,2
)
B
m
m
−
−
，
(8
4,7
)
C
m
m
−
−
，
∵点C 在坐标轴上，
∴8
4
0
m−
=
或7
0
m
−
=
，
∴
1
2
m =
或7，
∴
1 ,0
2
A
或(7,13)；
（2）解：∵点(1, )
k 是点(1,1) 的“T 变点”，
1
a
b
+
= ，
∵点
( , )
M a b 就是一个“美点”，
2
4
b
a
=
+ ，
1,
2
a
b
= −
=
，
设
( , )
N x y ，
∵
( , )
M a b 是N 的“T 变点”，
1
2
2
2
x
y
x
y
−= −+
=
+
，
解得：
1,
0
x
y
=
=
，
(1,0)
N
．
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6．
（24-25 七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M 上的任意点
(
)
,
P x y ，给出如下定义：将点(
)
,
P x y
平移到
(
)
,
P x
n y
n
+
−
称为将点P 进行“n 型平移”，点P' 称为将点P 进行“n 型平移”的对应点；将图形M 上
的所有点进行“n 型平移”称为将图形M 进行“n 型平移”．例如，将点
(
)
,
P x y 平移到
(
)
1,
1
P
x
y
+
−
称为将点P
进行“1 型平移”，将点
(
)
,
Q x y 平移到
(
)
1,
1
Q
x
y
−
+
称为将点Q 进行“ 1
−型平移”．已知点(
)
(
)
1,4 ,
2,3
A
B
−
．
(1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段AB 进行“2 型平移”后的对应线段A B
，直接写出A，B的坐标；
(2)将线段AB 进行“n 型平移”后与y 轴有公共点，直接写出n 的取值范围_____；
(3)将（1）中四边形ABB A
进行“n 型平移”后与x 轴有公共点，请直接写出n 的取值范围是____．
【答案】(1)平面直角坐标系和平移见解析，点A坐标为(
)
1,2 ，点B坐标为(
)
4,1
(2) 2
1
n
−
(3)1
4
n
【分析】本题主要考查坐标与图形的平移变换，属于创新题型．理解“n 型平移”的意定义，熟练运用点的平
移规律是解题关键．
（1）根据题目中“n 型平移”的定义得到A，B的坐标，从而得到线段；
（2）当点B 向上移到y 轴上时，求得n 的最小值；继续下移，当A 点在y 轴上时，n 取得最大值．
（3）当点B向下移到x 轴上时，求得n'的最小值；四边形继续下移，当A 点在x 轴上时，n 取得最大值．
【详解】（1）解：平面直角坐标系和平移后的线段A B
如图所示，
∴平移后点A坐标为(
)
1
2,4
2
−+
−
，即(
)
1,2 ，点B坐标为(
)
2
2,3
2
+
−
，即(
)
4,1 ；
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（2）解：将线段AB 进行“n 型平移”后点A坐标为(
)
1
,4
n
n
−+
−
，点B坐标为(
)
2
,3
n
n
+
−
，
∵与y 轴有交点，
∴1
0
n
−+
，2
0
n
+
，
解得2
1
n
−
，
故答案为：2
1
n
−
；
（3）解：（1）中四边形ABB A
进行“n 型平移”后点的坐标为(
)
1
,4
n
n
−+
−
，(
)
2
,3
n
n
+
−
，(
)
4
,1
n
n
+
−
，
(
)
1
,2
n
n
+
−
，
∵与x 轴有交点，
∴4
0
n
−
，1
0
n
−
，
解得1
4
n
，
故答案为：1
4
n
．
题型三：平移综合应用
1．（24-25 七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(
)
3,5 ，(
)
3,0 ．将
线段AB 向下平移2 个单位长度再向左平移4 个单位长度，得到线段CD，连接AC ，BD；
(1)直接写出坐标：点C （____________，__________），点D （___________，___________）
(2) M ，N 分别是线段AB ，CD上的动点，点M 从点A 出发向点B 运动，速度为每秒1 个单位长度，点N
从点D出发向点C 运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN
x
∥轴？
(3)点P 是直线BD上一个动点，连接PC ，PA，当点P 在直线BD上运动时，请直接写出
CPA
与
PCD
，
PAB 的数量关系．
【答案】(1) 1 3,
−
；1
2
,
−
−
；
(2)14
3 秒后，MN
x
∥轴
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(3)当点P 在线段BD上时，APC
PCD
PAB
+
=
；当点P 在BD的延长线上时，PAB
PCD
APC
=
+
；
当点P 在DB的延长线上时，
PCD
PAB
APC
=
+
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质：
（1）根据平移的性质求解；
（2）设t 秒后MN
x
∥轴，根据MN
x
∥轴，得到点M 与点N 的纵坐标相同，据此构建方程求解即可；
（3）分三种情形：①如图1 中，当点P 在线段BD上时，②如图2 中，当点P 在BD的延长线上时，③如
图3 中，当点P 在DB的延长线上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵AB 向下平移2 个单位长度，再向左平移4 个单位长度，得到线段CD，
(
)
(
)
3,5 ,
3,0
A
B
∴
(
)
1,3
C −
，
(
)
1,
2
D −
−
，
故答案为：1 3,
−
；1
2
,
−
−
；
（2）解：设t 秒后MN
x
∥轴，
∵MN
x
∥轴，
∴点M 与点N 的纵坐标相同，
∴5
0.5
2
t
t
−=
−，
解得
14
3
t =
，
∴14
3 秒后，MN
x
∥轴；
（3）解：①如图1 中，当点P 在线段BD上时，
作PE
AB
交AC 于点E，
∴
APE
PAB
=
．
∵CD
AB
∥
（平移的性质），
∴PE
CD
∥
，
∴
PCD
CPE
=
，
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∴
APC
CPE
APE
PCD
PAB
=
+
=
+
；
②如图2 中，当点P 在BD的延长线上时，
作PF
AB
∥
，
∴
APF
PAB
=
．
∵CD
AB
∥
（平移的性质），
∴PF
CD
∥
，
∴
PCD
CPF
=
，
∴
PAB
APF
CPF
APC
PCD
APC
=
=
+
=
+
；
③如图3 中，当点P 在DB的延长线上时，
PCD
PAB
APC
=
+
．
作PG
AB
，同②可证
PCD
PAB
APC
=
+
．
2．（24-25 七年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点
(
)
2 5
A −，，点
(
)
2 0
B −，沿水平方向向
右分别平移4 个和8 个单位长度，点A 和点B 的对应点分别是点D 和点C．顺次连接A，B，C，D 得到四
边形ABCD．
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(1)直接写出点C 和点D 的坐标；
(2)若将四边形ABCD沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
，图中阴影部分的面积是72
5 ，求
1
1
C D
与x 轴的交点E 的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点(
)
2
P
n
−，
是坐标系内一动点，连接PO，PE，当三角形POE 的面积是四边形ABCD
的面积的1
5 时，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(
)
6 0
C
，，
(
)
2 5
D
，；
(2) 22 ,0
5
；
(3)
30
2, 11
−
或
30
2,
11
−
−
．
【分析】（1）根据平移的性质解答即可；
（2）设点E 的坐标为(
)
,0
x
由题意，得
1
1
8
BC
BC
=
=
，1
1
BC
BC
∥
，1
1
1
BC
BB
⊥
．根据题意
1 1 1
1
ABCD
A B C D
S
S
=
四边形
四边形
得到
1 1
72
5
BB C E
S
S
=
=
阴影
四边形
，解答即可．
（3）根据
1
22
11
.
2
5
5
POE
S
n
n
=
=
三角形
列式解答即可．
本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点
(
)
2 5
A −，，点
(
)
2 0
B −，沿水平方向向右分别平移4 个和8 个单位长度，点A 和点B 的
对应点分别是点D 和点C．
∴
(
)
2
4 5
D −+ ，即
(
)
2 5
D
，，
(
)
2
8 0
C −+ ，即
(
)
6 0
C
，，
故
(
)
6 0
C
，，
(
)
2 5
D
，．
（2）解：设点E 的坐标为(
)
,0
x
由题意，得
1
1
8
BC
BC
=
=
，
1
1
BC
BC
∥
，
1
1
1
BC
BB
⊥
．
∵
1 1 1
1
ABCD
A B C D
S
S
=
四边形
四边形
．
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∴
1 1
72
5
BB C E
S
S
=
=
阴影
四边形
∴(
)
1
72
8
2
2
5
BE +
=
，
解得
32
5
BE =
．
∴
32
2
5
x +
=
，
解得
22
5
x =
．
∴点E 的坐标是22 ,0
5
．
（3）解：∵
1
(4 8) 5
30.
2
ABCD
S
=
+
=
四边形
1
22
11
.
2
5
5
POE
S
n
n
=
=
三角形
∴11
1 30.
5
5
n =
∴
30.
11
n =
则点P 的坐标是
30
2, 11
−
或
30
2,
11
−
−
．
3．（24-25 七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点(
)
(
)
(
)
0,2
2,0
4,0
A
B
C
−
，
，
．
(1)如图①，三角形ABC 的面积为___________；
(2)如图②，将点B 向右平移7 个单位长度，再向上平移4 个单位长度，得到对应点D，求三角形ACD 的面
积；
(3)在（2）条件下，点
(
)
,3
P m
是平面内一动点，若三角形PAO 的面积等于三角形ACD 的面积的一半，求点
P 的坐标．
【答案】(1)6
(2)9
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(3)点P 的坐标为
9 ,3
2
－
或9 ,3
2
．
【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程
解决问题．
（1）求出OA，OB ，OC ，利用三角形面积公式可得结论．
（2）连接OD ，根据
ADC
AOD
ODC
AOC
S
S
S
S
=
+
−
，求解即可．
（3）根据面积关系构建方程，求出m 即可．
【详解】（1）解：点
(0,2)
A
，
( 2,0)
B −
，
(4,0)
C
，
2
OA
=
，
2
OB =
，
4
OC =
，
1
(2
4) 2
6
2
ABC
S
=
+
=
，
故答案为：6 ．
（2）解：连接OD ．
∵
( 2,0)
B −
，点B 向右平移7 个单位长度，再向上平移4 个单位长度，得到对应点D，
∴
(5,4)
D
，
∴
1
1
1
2 5
4 4
2 4
9
2
2
2
ADC
AOD
ODC
AOC
S
S
S
S
=
+
−
=
+
−
=
；
（3）解：由题意，1
1
2
9
2
2
m
=
，
解得
9
2
m =
，
点P 的坐标为
9 ,3
2
−
或9 ,3
2
．
4．（24-25 七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A，B 在x 轴正半轴上，且点A 在点B 的左
边，将线段AB 进行平移得到线段CD，点A 的对应点为点C，点B 的对应点为点D．
(1)若点
(2,0)
A
，
(5,0)
B
，
(
)
3,2
C
．则点D 坐标为__________，CD =__________；
(2)点M 是第四象限上的一个动点，过点M 作MN 垂直y 轴于点N，连接DN ，DM ，AM ．若点
( ,0)
A m
，
( ,0)
B b
，
1
3, 2
C m
b
+
，
(3
,
)
D
a
m m
−
，DMN
的面积为
2
a+
，点D 到直线MN 的距离为2．问：是否存在
m，使得
ACM
△
面积是BCM
面积的2 倍？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
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【答案】(1)(6,2) ，3；
(2)存在，
3
2
m =
．
【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系，三角形面积公式．
（1）求出点A 的平移规律，点B 用相同的平移规律即可得到点D 的坐标，根据两点间的距离公式即可得到
CD；
（2）先根据平移规律求出
1
a
m
=
+ ，
2
b
m
=
，根据点D 到直线MN 的距离为2，得到点M，N 的纵坐标为
2
m−
，
2
m
，根据DMN
的面积为
2
a+
求出
3
MN
m
=
+ ，做出图形，根据等底三角形面积比等于高的比计算即
可．
【详解】（1）解：∵
(2,0)
A
，
(
)
3,2
C
，
∴点A 向右平移了1 个单位，向上平移了2 个单位；
∴点B 的对应点为点
(6,2)
D
，
∴
(
)
(
)
2
2
6
3
3 3
3
CD =
−
+
−
=
．
故答案为：(6,2) ，3；
（2）解：∵点A 在x 轴正半轴上，
( ,0)
A m
，
∴
0
m
，
∵将线段AB 进行平移得到线段CD，点A 的对应点为点C，点B 的对应点为点D，点
( ,0)
A m
，
( ,0)
B b
，
1
3, 2
C m
b
+
，
(3
,
)
D
a
m m
−
，
∴
3
3
m
m
a
m b
+ −
=
−
−，1
0
0
2 b
m
−
=
−，
∴
1
a
m
=
+ ，
2
b
m
=
，
∴
( ,0)
A m
，
0
(2
)
,
B
m
，
(
)
3,
C m
m
+
，
(2
3,
)
D
m
m
+
，
∵点D 到直线MN 的距离为2，
∴点M，N 的纵坐标为
2
m−
，
2
0
m−
∴
2
m
，
∴
3
2
m
m
+
，
∵DMN
的面积为
2
1 2
3
a
m
m
+
=
+ +
=
+ ，
∴1
2
2
3
2 MN
a
m
=
+
=
+ ，
∴
3
MN
m
=
+ ，
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即
(
)
3,
2
M m
m
+
−
且
∥
MC
y 轴，
如图，
∵
ACM
△
面积是BCM
面积的2 倍，
∴点A 到CM 的距离是点D 到CM 的距离的2 倍，
∴
(
)
3
2
3
2
m
m
m
m
+ −
=
+ −
解得：
3
2
m =
，符合0
2
m
，
∴
3
2
m =
．
5．（24-25 七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知平面直角坐标系中，点
(
)
,0
A a
，(
)
0,
B
b ，a、b 满足
(
)
2
2
4
0
a
b
+
+
−
=
．
(1)求
AOB
的面积；
(2)将线段AB 经过水平、竖直方向平移后得到线段A B
，直线A B
交x 轴于点C，
(
)
5,2
A
．
①求点C 的坐标；
②如图2，线段A B
上一点(
)
,
P m n ，求：m
n
、之间的数量关系．
【答案】(1)
4
OAB
S
=
△
(2)①
(
)
4,0
C
；②
2
8
=
−
n
m
【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b 的值，再根据三角形面积公式求解即可；；
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（2）①连接BC ，BA，过点A作A D
x
⊥
轴于点D，表示出
ABA
S
，然后根据
ABA
AOB
A AD
OBPQ
S
S
S
S
=
+
−
梯形
得到2
4
12
c+
=
，求出
(
)
4,0
C
；
②如图，连接BC 、BP、AP ，过点P 作PQ
x
⊥
轴于点Q，由平移性质可知，AB
A B
∥
，得到AB
B C
，
求出
12
ABP
ABC
S
S
=
=
，然后根据
ABP
AOB
APQ
OBPQ
S
S
S
S
=
+
−
四边形
求解即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
2
2
4
0
a
b
+
+
−
=
∴
2
0
a +
=
，4
0
b
−
=
即
2
a = −，
4
b =
∴
(
)
2,0
A −
，
(
)
0,4
B
∴
1
1
2 4
4
2
2
OAB
OA O
S
B
=
=
=
；
（2）①连接BC ，BA，过点A作A D
x
⊥
轴于点D
设
(
)
,0
C c
由平移性质可知，AB
A B
∥
，BB
AA
∥
∴点C 到AB 的距离= 点A到AB 的距离
∴
(
)
1
1
2
4
2
4
2
2
ABA
ABC
S
S
OA OB
c
c
=
=
=
+
=
+
∵
(
)
5,2
A
且
(
)
(
)
1
1
2
4
5
4
5
2
2
12
2
2
ABA
AOB
A AD
OBPQ
S
S
S
S
=
+
−
=
+
+ −
+
=
梯形
∴2
4
12
c+
=
，解得
4
c =
∴
(
)
4,0
C
；
②如图，连接BC 、BP、AP ，过点P 作PQ
x
⊥
轴于点Q，
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由平移性质可知，AB
A B
∥
∴AB
B C
∴
12
ABP
ABC
S
S
=
=
∵
ABP
AOB
APQ
OBPQ
S
S
S
S
=
+
−
四边形
∴
1
1
1
12
(4
)
2 4
(
2)
2
2
2
m
n
n m
=
+
+
−
+
解得
2
8
=
−
n
m
．
6．（24-25 七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC 进行平移，平移
后点A，B，C 的对应点分别是点D ，E ，F ．点
(
)
0,
A
a ，点
(
)
0,
B
b ，点
1
, 2
D a
a
，点
1
,
4
2
E m
b
a
−
+
．
(1)若
(
)
1,0
C
，则F 的坐标为_____；（用含a 的式子表示）
(2)若
1
a = ，求m 的值；
(3)若点
1
,
3
4
C
a
m
−
+
，其中
0
a
．直线CE 交y 轴于点M ，且三角形BEM 的面积为1，试探究AF 和BF 的
数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
1
1
,
2
F
a
a
+
−
(2)
6
m =
(3) AF
BF
=
，见解析
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平
移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定
难度．
（1）先通过点A 与点D 、点B 与点E 的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点C 平移后对应点F
的坐标；
（2）当
1
a = 时，得出A、B、D、E 四点的坐标，再根据平移的规律得到
1
1
1
4
1
2
2
m
b
b
−
=
−
= −
，即可求出m 的值；
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（3）由平移的规律得出
1
1
4
2
2
a
m
b
a
a
b
a
=
−
−
=
−
+
①
②，变形整理得到1
1
3
4
4
2
m
a
+ =
+
，那么CE
x
∥轴，根据三
角形BEM 的面积
1
1
2 BM EM
=
= ，求出
2
(0,2)
(0,6)
a
A
B
= ，
，
，( 2,5)
C −
．根据点F 与点C 是对应点，得出
(0,4)
F
，求出
2
AF
BF
=
=
．
【详解】（1）已知
(0, )
A
a 平移后得到
1
, 2
D a
a
，的坐标的变化为
0
a
a
−
= ，即向右平移a 个单位；纵坐标的
变化为1
1
2
2
a
a
a
−
= −
，即向下平移1
2 a个单位，
同理，
(0, )
B
b 平移后得到
1
,
4
2
E m
b
a
−
+
，从B 到E 的坐标变化为(
)
0
m
b
m
b
−
−
=
−
，纵坐标变化为
1
4
2 a
b
+
−
，结合A 到D的平移规律，可知整体平移是向右a 个单位，向下1
2 a 个单位，
点
(1,0)
C
，按照上述平移规律，向右平移a 个单位，的坐标变为1 a
+
；向下平移1
2 a 个单位，纵坐标变为
1
1
0
2
2
a
a
−
= −
，
∴点F 的坐标为
1
1
,
2
a
a
+
−
；
（2）解：当
1
a = 时，
由三角形ABC 平移得到三角形DEF ，
(
)
(
)
0,1 ,
0,
A
B
b 的对应点分别为
1
1, 2
D
，
1
,4 2
E m
b
−
可得
1
1
1
4
1
2
2
m
b
b
−
=
−
= −
，
解得
6
5
m
b
=
=
．
∴m 的值为6；
（3）由三角形ABC 平移得到三角形DEF ，
(
)
0,
A
a ，
(
)
0,
B
b 的对应点分别为
1
, 2
D a
a
，
1
,
4
2
E m
b
a
−
+
．
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可得
1
1
4
2
2
a
m
b
a
a
b
a
=
−
−
=
−
+
①
②，
由②得
4
b
a
=
+
③，
把③代入①，得
2
4
m
a
=
+
，
∴1
1
3
4
4
2
m
a
+ =
+
，
∴点C 与点E 的纵坐标相等，
∴CE
x
∥轴，
∴点
1
0,
4
2
M
a
+
，
∴三角形EBM 的面积
1
1
2 BM EM
=
= ，
∵
0
a
，
∴
1
1
4
4
2
2
BM
a
a
a
=
+
−
+
=
，EM
a
=
．
∴
2
1
1
4 a = ，
∴
2
a =
，
∴
(
)
0,2
A
，
(
)
0,6
B
，
(
)
2,5
C −
．
又∵在平移中，点F 与点C 是对应点，
∴
(
)
0,4
F
，
∴
4 2
2
AF = −=
6
4
2
BF =
−
=
，
∴AF
BF
=
．
7．（24-25 七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点
( ,0), (0, ),
(0, 4)
A a
B
b C
−
，且a 和b 满足
2
(
4)
2
0
+
+
−
=
a
b
．将线段AB 平移，使得点A、B 分别与点C、D 重合．
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(1)请直接写出点A、B、D 的坐标：A______，B______，D______；
(2)如图，若点P 为直线AB 上一点，将点P 向右平移t 个单位到点P，当点P在直线CD上时，
①求t 的值．
②若三角形COP的面积是三角形DOP的面积的2 倍，求点P 的坐标．
【答案】(1)( 4,0),(0,2),(4, 2)
−
−
(2)①
12
t =
；②
1
2
28
8
( 4,0),
,
3
3
P
P
−
−
−
【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出a ，b 的值，进而得到A ，B 的坐标，根据A ，C
的坐标平移变换规则，将B 进行相同的变换，即可得到D 的坐标，
（2）①设直线CD与x 轴的交点为E，则AE
t
= ，证明三角形ABE的面积= 三角形ABC 的面积，再利用面
积公式建立方程求解即可；
②当点P在线段CD的延长线时，当三角形COP的面积是三角形DOP的面积的2 倍时，如图，连接OD ，
OP，CD
DP
=
，设
(
)
,
P x y
,而
(
)
0, 4
C
−
，
(
)
4, 2
D
−
，再利用中点坐标公式求解即可；当点P在线段CD上
时，设
( ,
)
P e f
，当三角形COP的面积是三角形DOP的面积的2 倍时，如图，连接OD ，OP，取CP的中
点N ，则CN
NP
P D
=
=
，再利用中点坐标公式求解即可.
【详解】（1）解：∵(
)
2
4
2
0
a
b
+
+
−
=
，(
)
2
4
0
a +
，2
0
b
−
，
∴
4
0
a+
=
，2
0
b
−
=
，
解得：
4
a = −，
2
b =
，
∴
(
)
4,0
A −
，
(
)
0,2
B
，
∵将线段AB 平移，使得点A、B 分别与点C、D 重合，
(
)
0, 4
C
−
，
∴点C 为点A 向右平移4 个单位，向下平移4 个单位，
将点B 向右平移4 个单位，向下平移4 个单位，得到
(
)
0
4,2
4
D
+
−
，即：
(
)
4, 2
D
−
，
（2）解：①设直线CD与x 轴的交点为E，则AE
t
= ，连接AC ，BE ，
AB
CD
∥
，
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三角形ABE的面积= 三角形ABC 的面积，
( 4,0), (0,2),
(0, 4)
A
B
C
−
−
,
6,
4,
2
BC
OA
OB
=
=
=
,
三角形ABC 的面积
1
12
2 BC OA
=
=
，
1
12
2 AE OB
=
，
12
AE
=
，
即
12
t =
；
②当点P在线段CD的延长线时，当三角形COP的面积是三角形DOP的面积的2 倍时，如图，连接OD ，
OP，
∴CD
DP
=
，
设
(
)
,
P x y
,而
(
)
0, 4
C
−
，
(
)
4, 2
D
−
，
∴
8
x = ，
0
y =
，
∴点
1 (8,0)
P
，
∴点
( 4,0)
P −
；
当点P在线段CD上时，设
( ,
)
P e f
，当三角形COP的面积是三角形DOP的面积的2 倍时，如图，连接OD ，
OP，取CP的中点N ，则CN
NP
P D
=
=
，
∵
(
)
4, 2
D
−
，
∴
(
)
2
4,2
2
N
e
f
−
+
，
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∵
(
)
0, 4
C
−
，
∴
(
)
2 2
4
e
e
=
−
，
(
)
4
2 2
2
f
f
−+
=
+
，
解得：
8
3
e =
，
8
3
f = −
，
∴
8
8
,
3
3
P
−
，
∴
8
8
12,
3
3
P
−
−
，即
28
8
,
3
3
P
−
−
；
综上所述，
( 4,0)
P −
或
28
8
,
3
3
P
−
−
．
1．（23-24 七年级下·宁夏吴忠·期中）编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B 在坐标系中的坐标分别为
(
)
1,2
A −
、
(
)
2,3
B −
，当飞机A 飞到指定位置的坐标是(
)
2,2 时，飞机B 的坐标是（ ）
A．(
)
1,5
B．(
)
1,3
C．(
)
4,5
−
D．(
)
5,3
−
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，根据A 的坐标得到平移规律，再根据平移规律得到B 的
坐标，掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：飞机A 从
(
)
1,2
A −
飞到(
)
2,2 时，向右平移了3个单位，
∴飞机B 从(
)
2,3
−
向右平移3个单位到达(
)
2
3,3
−+
，即(
)
1,3 ，
故选：B．
2．（24-25 七年级下·广西南宁·期中）已知，在平面直角坐标系中A，B 两点的坐标分别为(
)
3,2 ，(
)
1,5 ，将
线段AB 平移到线段CD，若点A 的对应点C 的坐标为(
)
2, 2
−
−
，则点D 的坐标是（ ）
A．(
)
4, 1
−
−
B．(
)
4
1
−
,
C．(
)
4,1
D．(
)
4,1
−
【答案】D
【分析】本题考查坐标系内线段的平移，根据A 点平移前后坐标判断出平移方式，进而可得点D 的坐标．
【详解】解：
(
)
2, 2
C −
−
与
(
)
3,2
A
对应，
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平移方式为：向左平移
(
)
3
2
5
−−
=
个单位长度，向下平移
(
)
2
2
4
−−
=
个单位长度，
点B 的坐标为(
)
1,5 ，
点D 的坐标是(
)
1 5,5
4
−
−
，即(
)
4,1
−
，
故选D．
3．（24-25 七年级下·广西钦州·阶段练习）如图，这是一所学校的平面示意图，图中小正方形的边长代表100
m，已知图书馆的坐标是(
)
3, 1
−
．若报告厅、实验楼的位置恰好在格点上，则下列说法正确的是（ ）
A．报告厅的坐标为(
)
0, 5
−
B．实验楼与图书馆之间的实际距离是400 m
C．实验楼的坐标为(
)
1, 1
−
D．图书馆位于报告厅东北方向300m 处
【答案】B
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的应用．关键根据已知点坐标确定其他点的坐标，理解坐标中横、 纵
坐标所代表的位置含义(左右、上下方 向的格点变化，根据口诀：左减右加纵不变，上加下减横不变)；根
据已知图书馆的坐标建立坐标系，进而确定其他地点的坐标、距离和方向关系．
【详解】解：A、图书馆坐标是(
)
3, 1
−
，在平面直角坐标系中，从图书馆向左移动3 个单位(因为横坐标从3
变为0 )，向下移动3个单位(纵坐标从1
−变为4
−)，所以符合报告厅坐标为(
)
0, 4
−
；故A 选项不符合题意；
B、由图可得实验楼坐标与图书馆坐标纵坐标相同，横坐标相差4 个单位，因为每个单位代表100m，所以
它们之间的距离为4 100
400
=
m，所以“实验楼与图书馆之间的实际距离是400 m”；故B 选项符合题意；
C、由图可得实验楼坐标与图书馆坐标纵坐标相同，横坐标相差4 个单位，图书馆坐标是(
)
3, 1
−
，在平面直
角坐标系中，从图书馆向左移动4 个单位(因为横坐标从3变为1
−)，所以实验楼的坐标为(
)
1, 1
−−
；故C 选
项不符合题意；
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D、报告厅坐标为(
)
0, 4
−
，图书馆坐标是(
)
3, 1
−
；根据两点间距离公式，图书馆与报告厅的距离
(
)
(
)
2
2
3
0
1 4
3 2
=
−
+ −+
=
，故图书馆与报告厅的距离3 2 100
300 2
=
；故D 选项不符合题意；
故选：B．
4．（24-25 七年级下·四川凉山·阶段练习）设方程组(
)
1
3
3
4
ax
by
a
x
by
−
=
−
−
=
的解是
1
1
x
y
=
= −
那么把（a，b）先沿y
轴向上平移5 个单位，再沿x 轴向左平移4 个单位得到点的坐标为（ ）
A．（-2，3）
B．（3，-1）
C．（-6，8）
D．（2，8）
【答案】C
【分析】先把
1
1
x
y
=
= −
代入方程组(
)
1
3
3
4
ax
by
a
x
by
−
=
−
−
=
求解得
2
3
a
b
= −
=
，从而得点(-2，3)，再根据平移点的坐标
变换规律“左减百加上加下减”得出平移后的点的坐标即可．
【详解】解：把
1
1
x
y
=
= −
代入方程组(
)
1
3
3
4
ax
by
a
x
by
−
=
−
−
=
，得
1
3
3
4
a
b
a
b
+
=
−+
=
，解得：
2
3
a
b
= −
=
，
∴点(-2，3)，
∵把（a，b）先沿y 轴向上平移5 个单位，再沿x 轴向左平移4 个单位
∴点(-2，3)平移后的点的坐标为：(-2-4，3+5)，即(-6，8)，
故选：C．
5．（24-25 七年级下·河南濮阳·期末）如图，平面直角坐标系内有一条线段AB ，(3,0)
A
，(0,1)
B
，若将线段
AB 平移至
1
1
A B ，则a
b
+
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查平面直角坐标系中平移规律，解题的关键是熟练掌握在平面直角坐标系中，图形的平移
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与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
根据点的坐标的变化分析出AB 的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b 的值即可解答．
【详解】∵点
(3,0)
A
平移后得到
1(4, )
A
b ，点
(0,1)
B
平移后得到
1( ,3)
B a
，
∴点A 横坐标从3变为4，右平移了4 3 1
−= 个单位．
点B 纵坐标从1变为3，向上平移了3 1
2
−=
个单位．
∵线段AB ，整体平移，
∴平移规律相同，
∴A 点向上平移2 个单位，
0
2
2
b =
+
=
．
B 点向右平移1个单位，
0 1 1
=
+ =
a
．
∴
1 2
3
a
b
+
= +
=
故选C．
6．
（2025·河南周口·模拟预测）如图，Rt AOB
的边OB 在x 轴上，
90 ,
30 ,
2
OAB
ABO
AO
=
=
=
，将AOB
沿y 轴向上平移得到A O B
，若O B
恰好经过AB 边的中点M，则点A 的对应点A的坐标为（ ）
A．7 ,3 3
2
B．7 , 3
2
C．(
)
1,3 3
D．
3 3
1, 2
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，分别过点
,
A M 作
,
AG
OB MH
OB
⊥
⊥
，垂足分别为
,
G H ，利用直角三角形的性质及勾股定理求出(
)
1, 3
A
，
3
2
MH =
，可
得AOB
沿y 轴向上平移3 个单位得到A O B
，根据平移的性质即可解答．
【详解】解：分别过点
,
A M 作
,
AG
OB MH
OB
⊥
⊥
，垂足分别为
,
G H ，
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则
90 ,
90
AGO
MHO
=
=
，
∵
90
OAG
AOG
AOG
ABO
+
=
+
=
，
∴
OAG
ABO
=
，
∵
30 ,
2
ABO
AO
=
=
，
∴
30
OAG
ABO
=
=
，
∴
1
1
2
OG
AO
=
= ，
∴
2
2
3
AG
AO
OG
=
−
=
，
∴(
)
1, 3
A
，
∵
90 ,
30 ,
2
OAB
ABO
AO
=
=
=
，
∴
2
4
OB
AO
=
=
，
∴
2
2
2 3
AB
OB
AO
=
−
=
，
∵点M 是AB 边的中点，
∴
1
3
2
BM
AB
=
=
，
∵
30 ,
90
ABO
MHB
=
=
，
∴
1
3
2
2
MH
BM
=
=
，
∴AOB
沿y 轴向上平移3 个单位得到A O B
，
∴
3
1, 3
2
A
+
，即
3 3
1, 2
A
，
故选：D．
7．
（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的顶点(
)
(
)
2,0 ,
0,1
B
C
−
．现将矩形ABOC
平移到矩形A B O C
位置，使O点平移到点
(
)
4,2
O
位置，则A点的坐标为 ．
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【答案】(
)
2,3
【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A 的坐
标为(
)
2,1
−
，再根据平移后点O 的对应点O的坐标为(
)
4,2 ，得点A 的对应点A的横坐标为2
4
2
−+
=
，纵
坐标为1 2
3
+
= ，据此即可得出点A的坐标．
【详解】解：∵矩形ABOC 的顶点
)
,
,
,
( 2 0)
(01
B
C
−
，
∴点A 的坐标为(
)
2,1
−
，
∵平移后点O 的对应点O的坐标为(
)
4,2 ，
∴点A 的对应点A的横坐标为2
4
2
−+
=
，纵坐标为1 2
3
+
= ，
∴点A的坐标为(
)
2,3 ．
故答案为：(
)
2,3 ．
8．（24-25 七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中xOy 中，线段AB 平移至
1
1
A B 位置．若
(
)
5,8
A −
的
对应点是
(
)
1 9,6
A
，则(
)
8,6
B −
的对应点
1
B 的坐标是 ．
【答案】(6,4)
【分析】根据点A 到点
1A 确定出平移规律，再根据相同的平移规律即可求解．
【详解】解：∵
(
)
5,8
A −
的对应点是
(
)
1 9,6
A
，
∴可得向右平移了
(
)
9
5
14
−−
=
个单位，向下平移了8 6
2
−
=
个单位，
∴
(
)
8,6
B −
的对应点
1
B 的坐标是(
)
8 14,6
2
−+
−
，即(
)
6,4
故答案为：(
)
6,4
9．（23-24 七年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(
)
5 4
A −，，(
)
1 2
B −，，将线段
AB 平移，得到线段CD（点A 的对应点为点C，点B 的对应点为点D），线段AB 上任一点(
)
,x y 在平移后
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的对应点为(
)
,
x
s y
t
+
−
，其中
0
s
，
0
t
．
（1）若点C 与点B 恰好重合，则s = ，t = ；
（2）若
5
s
t
+ =
，且平移后三角形BCD的面积最大，则此时s = ，BCD
的面积为 ．
【答案】 4 2 5 5
【分析】本题主要考查平移的性质和两点之间的距离，
( )
1 根据平移的性质得到点
(
)
5
,4
C
s
t
−+
−
，结合点C 与点B 恰好重合即可求得s 和t；
( )
2 平移的性质得三角形BCD的面积等于三角形ABC 的面积，过C 作EF
x
⊥
轴，过A 作AE
EF
⊥
，过B 作
BF
EF
⊥
，由平移得点C(
)
5
,4
s
t
−+
−
，将
ABC
ACE
BCF
ABFE
S
S
S
S
=
−
−
梯形
3
10
s
=
−
，即可求得答案．
【详解】解（1）∵线段AB 上任一点(
)
,x y 在平移后的对应点为(
)
,
x
s y
t
+
−
，
∴点A 的对应点为点
(
)
5
,4
C
s
t
−+
−
，
∵点C 与点B 恰好重合，
∴5
14
2
s
t
−+ = −
−=
，
，
解得：
4,
2
s
t
=
=
，
故答案为：4，2；
（2）由平移的性质得，AB
CD
∥
，AB
CD
=
，
∴三角形BCD的面积等于三角形ABC 的面积，
过C 作EF
x
⊥
轴，过A 作AE
EF
⊥
，过B 作BF
EF
⊥
，如图，
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由平移得点C(
)
5
,4
s
t
−+
−
，
∵
5
s
t
+ =
，点
(
)
5 4
A −，，
(
)
1 2
B −，，
则
ABC
ACE
BCF
ABFE
S
S
S
S
=
−
−
梯形
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
1
1
1
5
5
5
1
2
5
5
4
4
5
1
4
2
2
2
2
s
s
s
t
s
t
=
−+ −−
+ −+ −−
−
−+ −−
−
−
−
−+ −−
−−
3
10
s
=
−
∵
0
t
，
∴当
5
s = 时，面积最大，此时
5
ABC
S
=
，
故答案为：5，5．
10．（24-25 八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直角坐标系中，ABC
的顶点都在网格点上，其中，C 点
坐标为(
)
1,2
(1)将
ABC
先向左平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到
'
'
'
A B C
．则
'
'
'
A B C
的三个顶点坐标分
别是
'A （ ， ）、
'B （ ， ）、
'
C （ ， ）
(2)计算三角形ABC 的面积．
【答案】(1)0,0 2,4
1,3
−
；；
；
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(2)5
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握平移规则，是解题的关键：
（1）根据点的平移规则，左减右加纵不变，上加下减横不变，进行求解即可；
（2）借助网格求面积即可．
【详解】（1）解：由图和题意，得：(
)
(
)
2, 1 ,
4,3
A
B
−
，
∵将
ABC
先向左平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到
'
'
'
A B C
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
2, 1 1 ,
4
2,3 1 ,
1 2,2 1
A
B
C
−
−+
−
+
−
+
，
即：
(
)
(
)
(
)
0,0 ,
2,4 ,
1,3
A
B
C
−
；
（2）三角形ABC 的面积为：
(
)
1
1
1
1 3
4
1 3
1 3
5
2
2
2
+
−
−
=
．
11．（23-24 七年级下·广东广州·期中）如图所示，平面直角坐标系中有
ABC
，把
ABC
向左平移3 个单位
长度，再向下平移3 个单位长度得到A B C
．
(1)在图中画出三角形A B C
．
(2)连接BC，探究
CBC
与
B C O
之间的数量关系，并说明理由；
(3)若点
(
)
1,2
5
M a
b
−
−
是三角形ABC 内一点，它随三角形ABC 按（1）中方式平移后得到的对应点为点
(
)
2
7,4
N
a
b
−
−
，求a 和b 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
90
B C O
CBC
+
=
，理由见解析
(3)3，4
【分析】（1）根据题意直接平移作图即可；
（2）设B 点右边的格点为点D，连接CD可得∠CBC'+∠CBD=180°，∠B'C'O=∠BCD，则有
小学
初中
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∠CBC′+(90°−∠B′C′O)=180°，将式子进行整理即可求解；
（3）根据题意可得{a−1−3=2a−7
2b−5−3=4−b
，求解出a，b 的值即可．
【详解】（1）解：如图，图中A B C
即为所求图形；
（2）
90
B C O
CBC
+
=
，理由如下：
如图，连接BC，B 点右边的格点设为点D，连接CD，
∠CBC'+∠CBD=180°，∠B'C'O=∠BCD，
∵∠CBD=90°−∠BCD，
∴∠CBD=90°−∠B'C'O，
∴∠CBC′+(90°−∠B′C′O)=180°，
90
B C O
CBC
=
+
；
（3）由于A B C
是由
ABC
向左平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到的，
∵点
(
)
1,2
5
M a
b
−
−
是三角形ABC 内一点，它随三角形ABC 按（1）中方式平移后得到的对应点为点
(
)
2
7,4
N
a
b
−
−
，
∴{a−1−3=2a−7
2b−5−3=4−b
，
解得{a=3
b=4
，
即a 和b 的值分别为3，4．
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12．（25-26 七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形ABC 中，任意一点
(
)
,
P a b 经平移后对应点
(
)
1
2,
3
P a
b
−
+
，将
ABC
作同样的平移得到
1
1
1
A BC
△
．求
1
1
1
,
,
A B C 的坐标．
【答案】
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1,4 ,
3,2 ,
2,1
A
B
C
−
−
【分析】本题考查了平移， 根据点P 和点
1P 得出平移变换的方式，进而根据同样的平移方式画出平移后图
象，继而根据平面直角坐标系求得
1
1
1
A BC
△
的坐标即可．
【详解】解∶∵点
(
)
,
P a b 经平移后对应点
(
)
1
2,
3
P a
b
−
+
，
∴P 点向上平移3 个单位，向左平移2 个单位，
∴
ABC
向上平移3 个单位，向左平移2 个单位得到
1
1
1
A BC
△
，
如图，
1
1
1
A BC
△
即为所求，
∴
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1,4 ,
3,2 ,
2,1
A
B
C
−
−
．
13．（24-25 七年级下·吉林通化·期末）如图，
ABC
在直角坐标系中
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(1)若把
ABC
向上平移2 个单位，再向左平移1 个单位得到A B C
，写出A、B的坐标，并在图中画出
平移后A B C
图形.( 其中A、B、C分别是A、B、C 的对应点，不写画法)
(
A______，______) ；(
B______，
______) ；
(2)求出平移后A B C
的面积．
(3)已知点P 在y 轴上，以A，C，P 为顶点的三角形的面积为A B C
面积的1
2 ，则P 点的坐标为______．
【答案】(1)见解析，3
−，0，2，3；
(2)7 ；
(3)
1
0,
3
−
或
13
0, 3
【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建
方程解决问题．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C 的对应点A
B
C
，，
即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）设
(0,
)
P
m ，构建方程求解．
【详解】（1）如图，A B C
即为所求，
(
)
(
)
3,0
2,3
A
B
−
，
；
故答案为：3
−，0，2，3；
（2）A B C
的面积
1
1
1
4 5
2 4
5 3
1 3
7
2
2
2
= −
−
−
=
；
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（3）设
(0,
)
P
m ，则有1
7
2
3
2
2
m
−
=
，
解得
1
3
m = −
或13
3 ，
1
0,
3
P
−
或
13
0, 3
．
故答案为：
1
0,
3
−
或
13
0, 3
．
14．（24-25 七年级下·湖南·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点(
)
,
2
A a a +
，(
)
,
4
B b b −
，且实数a ，b
满足
1
5
0
a
a
b
−+
−
=
．
(1)直接写出A ，B 两点的坐标；
(2)将线段AB 向左平移m 个单位，再向下平移n 个单位，得到线段DE ，使点D 落在x 轴上，点E 落在y 轴
上，设C 点的坐标为(
)
,
m n ，连接BC ，AC ，求
ABC
的面积．
(3)如图②，连接AD，BE ，P 为线段BE 上一点，
(
)
0,
Q
t 为y 轴上一动点，若
1
2
QAD
PAD
S
S
，求t 的取值
范围．
【答案】(1)
(
)
(
)
1,3 ,
5,1
A
B
(2)4
(3) 1
23
5
5
t
且
12
5
t
【分析】（1）根据非负数的性质可得
1,
5
a
b
=
= ，即可求解；
（2）根据平移的性质可得
5,
3
m
n
=
=
，从而得到点
(
)
5,3
C
，即可求解；
（3）根据平移的性质可得
(
)
(
)
4,0 ,
0, 2
D
E
−
−
，设AD交y 轴于点K，连接OA，则
+
=
ODK
OAK
OAD
S
S
S
，从
而得到
12
0, 5
K
，再由AD
BE
∥
，可得
PAD
ADE
S
S
=
△
△
，然后结合
1
2
QAD
PAD
S
S
，可得
1
2
QK
KE ，然后分
两种情况：当
12
5
t
时，当
12
5
t
时，即可求解．
【详解】（1）解：∵
1
5
0
a
a
b
−+
−
=
，
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∴
1
0,5
0
a
a
b
−
=
−
=
，
解得：
1,
5
a
b
=
= ，
∵点
(
)
,
2
A a a +
，
(
)
,
4
B b b −
，
∴A ，B 两点的坐标为(
)
(
)
1,3 ,
5,1
A
B
；
（2）解：∵将线段AB 向左平移m 个单位，再向下平移n 个单位，得到线段DE ，使点D 落在x 轴上，点E 落
在y 轴上，(
)
(
)
1,3 ,
5,1
A
B
，
∴
5,
3
m
n
=
=
，
∴点
(
)
5,3
C
，
∴AC
x
∥轴，BC
y
∥
轴，
∴AC
BC
⊥
，
5
1
4,
3
1
2
AC
BC
=
−
=
=
−
=
，
∴
ABC
的面积为1
1
4
2
4
2
2
AC
BC
=
=
；
（3）解：由（2）得：将线段AB 向左平移5 个单位，再向下平移3 个单位，得到线段DE ，AD
BE
∥
，
∵
(
)
(
)
1,3 ,
5,1
A
B
，
∴
(
)
(
)
4,0 ,
0, 2
D
E
−
−
，
如图，设AD交y 轴于点K，连接OA，则
+
=
ODK
OAK
OAD
S
S
S
，
∴1
1
1
4
1
4 3
2
2
2
+
=
OK
OK
，
∴
12
5
OK =
，
∴
12
0, 5
K
，
∵AD
BE
∥
，
∴
PAD
ADE
S
S
=
△
△
，
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79 /
∵
1
2
QAD
PAD
S
S
，
∴
1
2
QAD
ADE
S
S
，
∴
1
2
QK
KE ，
∵点Q 不能与点K 重合，
∴
12
5
t
，
当
12
5
t
时，
12
1 12
2
5
2
5
t
−
+
，
解得：12
23
5
5
t
；
当
12
5
t
时，12
1 12
2
5
2
5
t
−
+
，
解得：1
12
5
5
t
；
综上所述，t 的取值范围为1
23
5
5
t
且
12
5
t
．
15．（24-25 七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知(
)
0
A a，，(
)
0
B b，，
(
)
1 4
C −，，a 、b 满
足(
)
2
2
4
0
a
b
+
+
−
=
．平移线段AB 得到线段CD，使点A 与点C 对应，点B 与点D 对应，连接AC 、BD．
(1)求a ，b 的值，并直接写出点D 的坐标；
(2)点P 在射线AB （不与点A ，B 重合）上，连接PC 、PD．
①若
PCD
△
的面积是
PBD
△
的面积的2 倍，求点P 的坐标；
②设
PCA
=
，
PDB
=
，
DPC
=
．直接写出，，满足的关系式．
【答案】(1)
2
a = −，
4
b =
，点D 的坐标为
(
)
5 4
D
，；
(2)①
(
)
1 0
P
，或(
)
7,0 ；
②点P 在B 点左侧时，
+
=
；点P 在B 点右侧时，
−
=
．
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80 /
【分析】本题主要考查了图形的平移、平行线的性质、平方根的非负性、平方的非负性，解决本题的关键
是根据平移的性质确定点的坐标，根据平行线的性质找到角之间的关系．
（1）根据平方根的非负性、平方的非负性，求出a 、b 的值，再根据点A 、C 的坐标之间的关系判断平移
的方向和距离，再根据平移的方向和距离求出点D 的坐标；
（2）①根据点C 、D 的坐标可知
6
CD =
，利用网格求出点P 到线段CD的距离为4 ，利用三角形的面积公
式求出PCD
的面积为12，根据
PCD
△
的面积是
PBD
△
的面积的2 倍，可知PBD
的面积是6 ，根据三角
形的面积公式即可求出
3
PB = ，从而可知点P 的坐标是(
)
1,0 或(
)
7,0 ；②过点P 作PE
AC
，由平移可知
AC
BD
，所以可得：PE
AC
BD
，根据平行线的性质找角之间的关系即可，本题应分点P 在点B 左侧和
点P 在点B 右侧两种情况讨论．
【详解】（1）解：(
)
2
2
4
0
a
b
+
+
−
=
，
2
0
a
+
=
，
4
0
b−
=
，
解得：
2
a = −，
4
b =
，
点A 的坐标是(
)
2,0
−
，点B 的坐标是(
)
4,0 ，
如下图所示，
点C 的坐标是(
)
1,4
−
，
点A 向右平移
(
)
1
2
1
−−−
= 个单位长度，向上平移4 0
4
−
=
个单位长度得到点C ，
点B 向右平移1个单位长度，向上平移4 个单位长度得到点D ，
则点D的坐标是(
)
5,4 ；
（2）①解：由平移可知，直线AB
CD
，且它们之间的距离是4 ，
由网格可知
6
CD =
，
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81 /
PCD
的面积是1
6 4
12
2
=
，
PCD
△
的面积是
PBD
△
的面积的2 倍，
PBD
的面积是1 12
6
2
=
，
1
4
2
2
PBD
S
PB
PB
=
=
，
2
6
PB
=
，
3
PB
= ，
点P 的横坐标是4 3 1
−= 或4 3
7
+ =
，
点P 的坐标是(
)
1,0 或(
)
7,0 ；
②解：当点P 在点B 左侧时，
如下图所示，过点P 作PE
AC
，
由平移可知AC
BD
，
PE
AC
BD
，
CPE
PCA
=
=
，
DPE
PDB
=
=
，
DPC
CPE
DPE
=
+
，
DPC
PCA
PDB
=
+
，
=
+
；
当点P 在点B 的右侧时，
如下图所示，过点P 作PE
AC
，
由平移可知AC
BD
，
PE
AC
BD
，
CPE
PCA
=
=
，
DPE
PDB
=
=
，
DPC
CPE
DPE
=
−
，
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DPC
PCA
PDB
=
−
，
=
−
；
综上所述，点P 在B 点左侧时，
+
=
；点P 在B 点右侧时，
−
=
．
