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学科网（北京）股份有限公司 1 / 3.3 一元一次不等式及其解法 题型一：判断是否为一元一次不等式 1．（24-25 八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A．1 1 5 x + B． 2 4 x C．2 3 x y + − D． 5 3 x + − 2．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A．1 1 2 x + B． 2 9 x C．2 5 x y + D．( 3) 0 x − − 3．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A．1 2 4 x + B． 3 0 x −= C． 5 0 4 x + D．( 1) 0 x x + 4．（24-25 八年级下·贵州贵阳·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A．1 1 2 x + B． 5 0 2 x − C． 2 9 x = D．2 5 x y + 5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 2 / A．3 5 1 x y − B． 2 4 0 x x − C．3 1 1 0 4 x −− D．6 5 6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A．( ) 3 1 4 2 x x x − + + B． 2 1 0 y y − + C．1 1 1 2 3 6 x + = D．2 3 2 4 x y + + 题型二：根据一元一次不等式的定义求参数 1．（24-25 八年级下·陕西西安·阶段练习）已知( ) 1 2 3 2 m m x − − + 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值 为 ． 2．（24-25 七年级下·重庆·期末）已知 ( ) 2 3 3 6 0 m m x − − − − 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为 3．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）关于x 的不等式( ) 3 4 1 0 a a x − − + 是一元一次不等式，则a 的值 为 ． 4．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）若( ) 1 2 3 0 n n x − − + 是关于x 的一元一次不等式，则n 的值为 ． 5．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）若 3 3 5 4 m m x + − 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值是 ． 6．（24-25 八年级下·山东潍坊·期中）( )1 2 0 m m x − + 是关于x 的一元一次不等式，则此不等式的解集 是 ． 题型三：解一元一次不等式（解答题） 1．（23-24 七年级下·广西河池·期末）解不等式 ( ) 4 1 2 x x + + ，并在数轴上表示解集． 2．（24-25 七年级下·安徽合肥·阶段练习）解不等式：2 1 3 2 1 3 2 x x − − −，并把解集在数轴上表示出来． 3．（25-26 八年级上·江苏盐城·开学考试）（1）解不等式3 5 2 2 x x − ． （2）解不等式 1 5 2 2 x x − − ，并把它的解在数轴上表示出来． （3）解不等式 5 2 3 1 2 3 4 x x − + − ，并把它的解在数轴上表示出来． 学科网（北京）股份有限公司 3 / 4．（24-25 八年级下·全国·阶段练习）解下列不等式： (1)5 12 2(4 3) x x − − ； (2) 4 3 1 1 3 2 x x + − − ． 5．（24-25 八年级下·山东青岛·阶段练习）（1）解不等式： 2 2 3 x x + − ，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式 3 1 6 3 3 6 x x − − − −的非正整数解． 6．（24-25 八年级下·山东青岛·阶段练习）解下列不等式，并在数轴上表示解集， (1)7 3 9 3 x x − + (2) ( ) 1 1 3 2 x x − − − 7．（24-25 七年级下·吉林·期末）解不等式： 2 4 3 2 x x − ，并把解集在数轴上表示出来． 8．（24-25 七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：2 1 2 3 7 x x − − + ，并把它的解集表示在数轴上． 题型四：求一元一次方程中整数解 1．（2025·吉林松原·模拟预测）不等式4 3 1 x + 的最大整数解为（ ） A．2 − B．1 − C．0 D．2 2．（24-25 七年级下·山东德州·期末）关于x 不等式 2 x a − 有且只有2 个负整数解，那么a 的取值范围是 （ ） A．5 4 a − − B．5 4 a − − C．5 4 a − − D．5 4 a − − 3．（24-25 七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x 的不等式2 2 0 x a − 的正整数解是1、2、3，则a 的取值范 围是（ ） A． 7 3 2 a B．5 4 a 学科网（北京）股份有限公司 4 / C． 7 3 2 a D．3 4 a 4．（24-25 八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于x 的不等式3 0 x m − 有2 个正整数解，则m 的取值范围是（ ） A． 6 m B．6 9 m C．6 9 m D．6 9 m 5．（24-25 七年级下·安徽合肥·期末）关于x 的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有 且只有四个，则m 的取值范围是（ ） A．4 3 m − − B．6 5 m − − C．5 4 m − − D．3 2 m − − 6．（24-25 八年级下·陕西西安·期末）关于x 的不等式 0 x m − 恰有两个正整数解，则m 值可能是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25 七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x 的不等式 0 x a − 的正整数解为1，2，3，则a 的取值范 围是（ ） A．3 4 a B． 2 a C．3 4 a D．3 4 a 8．（24-25 七年级下·河北承德·期中）若关于x，y 的方程组 3 4 2 3 2 x y x y m + = + = − + 的解满足 5 2 y x − −，则m 的 最小整数解为（ ） A．0 B．3 − C．4 − D．5 − 9．（24-25 七年级下·江苏淮安·阶段练习）如果关于x 的不等式2 5 2 1 x a − + 至少有4 个正整数解，那么a 的 取值范围是（ ） A．1 2 a B．1 2 a C． 1 a D． 1 a 10．（2025 七年级下·全国·专题练习）不等式 7 3 2 1 2 2 x x − + + 的负整数解有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．（2025·江苏南通·一模）关于x 的不等式2 0 x b + 恰有三个非负整数解，则b 的取值范围是（ ） A．6 4 b − − B．6 4 b − − C．6 4 b − − D．6 4 b − − 学科网（北京）股份有限公司 5 / 题型五：在数轴上表示一元一次不等式的解集 1．（24-25 七年级下·湖南株洲·期末）不等式2 1 3 x −的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25 七年级下·河北·期末）不等式3(1 ) 2 4 x x − − 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25 七年级下·山西阳泉·期末）不等式5 4 3 x x + 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25 八年级下·四川达州·阶段练习）一个不等式的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是 （ ） A．2 < 6 x − − B． 1 2 x− C． 3 0 x − D． 3 0 x + 5．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）在数轴上表示不等式组2 2 x − ，正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北襄阳·三模）不等式 3 x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25 八年级下·重庆·开学考试）请用不等式表示如图的解集． （1） ； 学科网（北京）股份有限公司 6 / （2） ； （3） ； （4） ． 题型六：已知一元一次不等式的解求参数 1．（24-25 七年级下·贵州毕节·阶段练习）不等式ax a 的解集为 1 x ，则a 的取值范围是（ ） A． 0 a B． 0 a C． 0 a D． 0 a 2．（24-25 七年级下·陕西安康·期末）已知关于x 的不等式2 4 2 3 x x a − 的解集为 3 x −，则a 的值为( ) A．5 − B．5 C．6 − D．6 3．（24-25 七年级下·湖南邵阳·阶段练习）如果不等式( ) ( ) 4 2 4 a x a − − 的解集为 2 x ，则a 必须满足的 条件是（ ） A． 4 a B． 4 a C． 4 a D． 0 a 4．（24-25 八年级下·福建漳州·阶段练习）如果关于x 的不等式( ) 2 2 a x a + + 的解集为 1 x ，那么a 的取 值范围是（ ） A． 0 a B． 0 a C． 2 a − D． 2 a − 5．（24-25 七年级下·山东济宁·期末）已知关于x 的不等式( ) 3 4 a x + 的解集是 4 3 x a + ，则a 的取值范围 是 （ ） A． 3 a B． 3 a − C． 3 a D． 3 a − 6．（25-26 七年级上·全国·课后作业）若关于x 的不等式 2 2 mx m − 可变形为 2 2 m x m − ，则m 的取值范围 是（ ） A． 0 m B． 0 m C． 2 m D． 2 m 7．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）若关于x 的不等式( ) 2 5 0 m n x m n − + − 的解集为 10 7 x ，则关于x 的 学科网（北京）股份有限公司 7 / 不等式mx n 的解集为（ ） A． 3 5 x B． 3 5 x C． 5 3 x D． 5 3 x 题型七：二元一次方程组与一元一次不等式综合 1．（24-25 八年级下·山东枣庄·阶段练习）关于x 、y 的方程组 3 2 4 3 x y k x y k − = − − = 的解中 5 x y − ，则k 的取 值范围为（ ） A． 3 k B． 3 k C． 8 k D． 8 k 2．（24-25 七年级下·吉林长春·阶段练习）若关于x y ，的方程组 3 5 5 3 1 x y m x y m + = − + = + 的解满足 1 x y + ，则 4 2 m m + − − 的化简结果是（ ） A．6 B．-6 C．2 D．-2 3． （24-25 七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x y ，的二元一次方程组 3 4 3 5 5 x y m x y − = + + = 的解满足 0 x y + ， 则m 的取值范围是（ ） A． 1 m − B． 1 m − C． 2 m − D． 2 m − 4．（24-25 九年级下·广东广州·阶段练习）关于x，y 的方程组 4 6 2 x y x y m − = + = 的解满足不等式 5 x y − ，则m 的范围是（ ） A． 1 m − B． 1 m − C． 9 m − D． 9 m − 5．（24-25 七年级下·河南新乡·期末）若关于x 、y 的二元一次方程组 3 4 3 5 5 x y m x y + = + − = 的解x y ，则m 的 取值范围是（ ） A． 2 m − B． 2 m − C． 1 2 m − D． 1 2 m − 学科网（北京）股份有限公司 8 / 题型一：一元一次不等式中定义新运算问题 1．（25-26 七年级上·全国·课后作业）对实数,a b ，定义运算“★”： ( ) 0 ( 0) a a a b b a = ★ ，设 ( ) ( ) 1 1 y x x = −− − ★ ， 则不等式 0 y 的解为（ ） A． 1 x B．1 1 x − C． 1 x − D． 1 x −或 1 x 2．（24-25 七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）定义一种新运算为a b ax by = + ，例如( ) 2 3 2 3 x y − = − + ．若 2 1 1 1 2 3 1 k k = + = − 的解满足 4 x y − ，则满足条件的k 的取值范围是 ． 3．（24-25 七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）对于x y ，定义一种新运算“”：x y ax by = − ，其中a b ，为常 数，已知：2 1 2a b = − 3 4 3 4 3 1 a b = = − = ， ． (1)求a b ，的值； (2)求不等式 1 3 2 4 m m+ 的解集． 4．（24-25 七年级下·吉林·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数 m 和 n，规定 2 m n m n m n = - ? ※ ， 如： 2 1 2 1 2? 1?2 0 = −= ※ ． (1)求( ) 2 3 − ※ ； (2)若 3 ? 6 m − ※ ，求 m 的取值范围． 5． （24-25 七年级下·江苏泰州·阶段练习）在实数范围内定义一种运算★，其运算规则是 ( ) 3 2 a b a b ab = + − ★ ， 如 ( ) 2 5 3 2 5 2 2 5 1 = + − = ★ ，根据这个规则解决问题： (1)( ) 3 2 − = ★ ______． (2)解不等式3 6 x ★ ． (3)小明在解方程( ) 2 a k b + = ★ 时发现，无论k 取何值，都有a ，b 使上式成立，求出a ，b 的值． 学科网（北京）股份有限公司 9 / 6．（24-25 七年级下·青海玉树·期末）在实数范围内定义一种运算“※”，其运算规则为 2 x y mx ny = − ※ ，已 知 ( ) 2 1 10 − = ※ ，2 3 6 = − ※ (1)求m、n 的值； (2)求不等式 1 3 2 x − ※ 的解集． 7．（24-25 七年级上·江苏苏州·阶段练习）对有理数x 、y 定义运算： 3 x y ax by = − − ※ ，其中a 、b 为常数， 已知 ( ) 2 3 6 − = ※ ． (1)若 5 3 b = ，则a =______． (2)请用含有a 的代数式表示b ； (3)若( ) 3 6 1 − ※ ，求a 的取值范围； 题型二：求一元一次不等式解的最值 1．（24-25 七年级下·陕西商洛·期末）若 2 x = 是关于x 的不等式3 2 0 x a − + 的一个解，则a 可取的最大整 数值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）已知 2 5 x y = − = 是不等式 3 4 kx y + 的一个解，则整数k 的最小值为（ ） A．6 B．5 C．6 − D．5 − 3．（24-25 八年级下·山东枣庄·阶段练习）满足不等式 2 x 的x 的最小值是a，满足不等式 6 x −的x 的最 大值是b，则a b + = ． 4．（24-25 八年级上·湖南岳阳·期末）已知当 2 x 时x 的最小值为a ，当 3 x −时x 的最大值为b ，则 ab = ． 5．（23-24 七年级下·江苏泰州·期末）关于x 的不等式1 1 2 2 x n − + 的最小整数解为n ，则n 的值为 ． 6．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）已知实数a b c ，，， 2 a b + = ， 1 c a − = ．若 3 a b − ，则a b c + + 的最 大值为 ． 7．（24-25 八年级下·河南平顶山·期中）对于实数对( ) ,a b ，定义偏左数为 2 3 l a b P + = ，偏右数为 2 3 r a b P + = ．对 学科网（北京）股份有限公司 10 / 于实数对( ) 1,3 x − ，若 1 l r P P − ，则x 的最小整数值是 ． 8．（24-25 七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x 的方程3 5 9 k x − = −的解是非负数，则k 的最小值为 ． 题型三：解|x|≥a 型解一元一次不等式 1． （24-25 七年级下·浙江宁波·期末）已知不等式( ) ( ) 1 1 2 5 1 2 2 2 2 x a x − − − − + 的解是 1 2 x ，则a＝ ． 2．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）请阅读下面求含绝对值的不等式 3 x 和 3 x 的解集过程． 对于含绝对值的不等式 3 x ，从图1 的数轴上看：大于3 −而小于3 的数的绝对值小于3，所以 3 x 的解 集为3 3 x − ；对于含绝对值的不等式 3 x ，从图2 的数轴上看：小于3 −或大于3 的数的绝对值大于3， 所以 3 x 的解集为 3 x −或 3 x ． (1)求含绝对值的不等式 2 x 的解集； (2)已知含绝对值的不等式 1 x a − 的解集为 3 b x ，求a，b 的值． 3．（23-24 七年级下·江苏盐城·阶段练习）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 3 x ，x 表示到原点的距离小于3 的数，从如图1 所示的数轴上看：大于3 −而小于3 的数，它们到原点的 距离小于3，所以 3 x 的解集是3 3 x − ； 3 x ，x 表示到原点的距离大于3 的数，从如图2 所示的数轴上看：小于3 −的数和大于3 的数，它们到原 点的距离大于3，所以 3 x 的解集是 3 x −或 3 x ． 解答下面的问题： 学科网（北京）股份有限公司 11 / (1)解不等式| 5| 3 x − ． (2)解不等式| 3| 5 x − ． (3)直接写出不等式 5 | 1 2 | x x −+ + 的解集： ． 4．（25-26 七年级上·全国·课后作业）观察下列不等式及其解集： ① 1 x 的解集为： 1 x 或 1 x −； ② 1 2 x 的解集为： 1 2 x 或 1 2 x − ； ③ 100 x 的解集为： 100 x 或 100 x − ．回答下列问题： (1) 3 x 的解集是___________． (2)归纳：当 0 a 时，不等式x a 的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式2 1 3 x + ． 5．（24-25 八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们 把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求 3 x 和 3 x 的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴ 3 x 的解集为3 3 x − ， ∵ ∴ 3 x 解集为 3 x 或 3 x −． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式 1 x 的解集为______； (2)解不等式 2 6 x + ； (3)求不等式 2 3 7 x x − + + 的解集． 学科网（北京）股份有限公司 12 / 6．（24-25 七年级下·河北保定·期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含 有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式 2 x 的 解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出 2 x = 时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如 图所示．观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于2； 点A 与点B 之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结 论：不等式 2 x 的解集为 2 x −或 2 x ． 【迁移应用】 (1)填空： 5 x 的解集是_____； (2)求绝对值不等式 1 3 x + 的解集； (3)已知关于x 、y 的二元一次方程组 2 2 2 2 3 x y m x y m − = − − −+ = + 的解满足 3 x y + ，则m 的取值范围_____． 7．（24-25 七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如 0 x x = − 表示数轴上表示x 这 个数的点到原点的距离，那么式子 1 x − 可理解为：数轴上表示x 这个数的点到表示1 这个数的点的距离， 于是解不等式 1 2 x − 则是要在数轴上找出到1 的距离小于或等于2 的所有点，观察数轴可以看出，在数轴 上到1 的距离小于或等于2 的点对应的数都在1 −和3 之间（包含1 −和3 两个点），这样我们就可以得到不 等式 1 2 x − 的解集为1 3 x − ． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式 6 x 的解集为___________． 学科网（北京）股份有限公司 13 / (2)求不等式 2 3 x − 的解集． (3)求不等式4 1 5 3 x + − 的解集． 1．（24-25 七年级下·河北邯郸·期末）关于x y ，的方程组 2 4 1 2 x y k x y k − = − − = 的解中，x 与y 的差不大于3，则k 的取值范围是（ ） A． 2 k B． 1 k C． 1 k D． 2 k 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式 3 2 x x + 的解集为（ ） A． 3 2 x B． 3 2 x C． 3 x D． 3 x 3．（24-25 七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法中，错误的是（ ） A． 3 x = 是不等式2 1 x 的解 B．不等式2 1 x 的解是 3 x = C． 1 2 x 是不等式2 1 x 的解集 D．不等式2 1 x 有无数个解 4．（24-25 七年级下·陕西商洛·阶段练习）若关于x 的一元一次不等式 0 x a + 的解集为 3 x ，则关于x 的 一元一次不等式( ) 1 1 a x a − −− 的解集是（ ） A． 1 x − B． 1 2 x − C． 1 2 x − D． 1 x − 5．（24-25 七年级下·河北张家口·期末）已知不等式( ) ( ) 2 1 2 2 1 a x a − − 的解集是 2 x ，则a 的取值范围在 数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25 七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x y ，的方程组 2 4 2 3 2 x y x y m + = + = − + 的解满足 1 2 x y − − ，则整数m 的最小值为（ ） A．1 − B．0 C．1 D．2 7．（24-25 七年级下·吉林·期末）已知 7 x ，且 1 2 y x = − ，则y 的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 14 / 8．（24-25 七年级下·全国·期末）不等式( ) 4 2 2 3 x x − −的非负整数解的个数为 个． 9．（24-25 七年级下·山东德州·阶段练习）若关于x 的一元一次方程4 1 3 1 x m x + + = −的解是负数，则m 的 取值范围是 ． 10．（24-25 七年级下·江苏泰州·阶段练习）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x ，即当n 为非负整 数时，若 1 1 2 2 n x n − + ，则x n = ，如0.46 0, 3.67 4 = = ．给出下列关于x 的结论： ①1.493 1 = ；②若1 1 4 2 x − = ，则实数x 的取值范围是9 11 x ；③2 2 x x = ； ④x y x y + = + ；⑤当 0 x ，m 为非负整数时，有 2013 2013 m x m + = + ； 其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号 ） 11．（24-25 八年级下·宁夏银川·阶段练习）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 5 3 2 1 2 2 x x + + − 解： 5 2 3 2 x x + − + ⋯⋯第一步 3 2 5 2 x x − −+ ，⋯⋯第二步 2 1 x − −，⋯⋯第三步 1 2 x ，⋯⋯第四步 (1)任务一： ①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ； ②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ； (2)任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上． 12．（24-25 九年级下·甘肃临夏·阶段练习）解不等式： 2 1 2 6 x x x + − −，并把解集在数轴上表示出来． 13．（24-25 七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知 0 b ，且 1 2 3 a b c b c d c d a + = + + = + + = + ， ， ，求 + + + a b c d 的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 15 / 14．（23-24 七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的 探究，首先对 2 x 和 2 x 进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式 2 x 的解集表示在数轴上（如图1），可得 2 x 的解集是：2 2 x − ；将 不等式 2 x 的解集表示在数轴上（如图2），可得 2 x 的解集是：< 2 x − 或 2 x ． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式x a （ 0 a ）的解集为______，不等式x a （ 0 a ）的解集为______； (2)解不等式 1 4 x − ； (3)求不等式 1 2 5 x x − + + 的解集．
