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4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
（第1 课时+坐标平面内图形的轴对称）
题型一：利用关于x 轴对称的特点求点坐标
1．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点
(
)
1, 8
A
−
关于x 轴的对称点的坐标为（ ）
A．(
)
1, 8
−
B．(
)
1,8
C．(
)
1,8
−
D．(
)
1, 8
−−
【答案】B
【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于x 轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于
x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【详解】解：点
(
)
1, 8
A
−
关于x 轴的对称点的坐标为(
)
1,8 ，
故选：B．
2．（21-22 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）点
(
)
1, 2
P
−
关于x 轴对称的点的坐标为（ ）
A．(
)
1, 2
−−
B．(
)
1,2
−
C．(
)
1, 2
−
D．(
)
1,2
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标规律．熟练掌握平面直角坐标系中关于x
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轴对称的点的坐标规律是解题的关键．
关于x 轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据此性质来求解点
(
)
1, 2
P
−
关于x 轴对称的
点的坐标即可．
【详解】解：
(
)
1, 2
P
−
关于x 轴对称的点的坐标为(
)
1,2 ，
故选：D．
3．（25-26 八年级上·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，点
(
)
2025, 2026
A
−
关于x 轴对称的点落在
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征、各象限内点的坐标特征，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．先求出点
(
)
2025, 2026
A
−
关于x 轴对称的点的坐标，再判断其所在象限即可．
【详解】点
(
)
2025, 2026
A
−
关于x 轴对称的点为(
)
2025,2026 ，
该点落在第一象限，
故选A．
4．（24-25 八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
(2, 1)
A
−
，则点A 关于x 轴的对称点的
坐标（ ）
A．(2,1)
B．( 2,1)
−
C．( 2, 1)
−
−
D．( 1,2)
−
【答案】A
【分析】此题主要考查了关于x 轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，
纵坐标互为相反数．利用关于x 轴的对称点的坐标特点可得答案．
【详解】解：点
(2, 1)
A
−
，
点A 关于x 轴的对称点的坐标是(2,1) ，
故选：A ．
5．（24-25 八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中A 点坐标为(
)
4,2
−
，点C 与点B 关于x 轴对称．则
点C 的坐标是（ ）
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A．(
)
1, 2
−−
B．(
)
1,2
−
C．(
)
2,1
−
D．(
)
1, 2
−
【答案】C
【分析】本题考查了根据点的坐标确定平面直角坐标系，关于x 轴对称点的坐标特征，先由点A 的坐标，
画出平面直角坐标系，从而得到点B 的坐标，再根据关于x 轴对称点的坐标特征确定出点C 的坐标即可．
【详解】解：如图，根据A 点坐标为(
)
4,2
−
，建立直角坐标系，
(
)
2, 1
B
−
−
点C 与点B 关于x 轴对称，
(
)
2,1
C
−
，
故选：C
6．（24-25 七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点(
)
2
1,
1
P
m
−
+
关于x 轴的对称点为
1P ，
1P 关
于直线y
x
=
的对称点为
2P ，则点
2P 在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－对称及关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟悉关于x 轴、直线y
x
=
对称时点的坐标变化规律是解题的关键．根据题意，用m 表示出点
2P 的坐标，据此进行判断即可．
【详解】解：由题知，
点(
)
2
1,
1
P
m
−
+
关于x 轴的对称点
1P 的坐标可表示为(
)
2
1,
1
m
−−
−
，
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点
1P 关于直线y
x
=
的对称点
2P 的坐标可表示为(
)
2
1, 1
m
−
−
−
，
因为
(
)
2
2
1
1
0
m
m
−
−= −
+
，1
0
−
，
所以点
2P 在第三象限．
故选：C．
7．（24-25 七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，
90
A
=
，
4
OA =
，OB 平
分
AOx
点，(
)
1,
2
B a
a
−
−
关于x 轴的对称点是（ ）
A．(
)
4, 3
−
−
B．(
)
5, 2
−
C．(
)
4, 3
−
D．(
)
5, 3
−
【答案】C
【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x 轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等
三角形是解题的关键．
过B 点作BC
x
⊥
轴于点C ，则
(
)
AAS
OCB
OAB
≌
，即OC
OA
=
，可求B 点坐标，最后求出关于x 轴的对
称点的坐标即可．
【详解】解：如图，过B 点作BC
x
⊥
轴于点C ，则
(
)
1,0
C a −
，
∴
90
OCB
A
=
= ，
∵OB 平分
AOC
，
∴
BOC
AOB
=
，
又∵OB
OB
=
，
∴
(
)
AAS
OCB
OAB
≌
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∴
4
OC
OA
=
=
，
∴
1
4
a−=
，
∴
5
a =
，
∴
2
3
a −
=
，
∴
(
)
4,3
B
，
∴
(
)
4,3
B
关于x 轴的对称点的坐标为(
)
4, 3
−
，
故选：C．
8．（25-26 八年级上·全国·随堂练习）如果点
( 1,9)
A −
和点
( , )
B m n 关于x 轴对称，那么mn = ．
【答案】9
【分析】本题考查两点关于x 轴对称的点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标相等．
根据题意得到
1
m = −，
9
n = −，然后代入求解即可．
【详解】解：∵点
( 1,9)
A −
和点
( , )
B m n 关于x 轴对称，
1
m
= −，
9
n = −，
∴
(
)
1
9
9
mn = −−
=
．
故答案为：9．
9．（24-25 八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知
(
)
2, 1
A a −
−
与点
(
)
1,
2
B
b
−
+
关于x 轴对称，则a
b
+
= ．
【答案】0
【分析】根据关于x 轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可．
本题考查了x 轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键．
【详解】解：
(
)
2, 1
A a −
−
与点
(
)
1,
2
B
b
−
+
关于x 轴对称，
故
2
1,
2
1
a
b
−
= −
+
= ，
解得
1,
1
a
b
=
= −，
故
1 1
0
a
b
+
= −=
，
故答案为：0．
10．（24-25 八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点(
)
7,6
A −
与点
(
)
,
B a b 关于x 轴对称，则
a
b
+
= ．
【答案】13
−
【分析】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
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直接利用关于x 轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a ，b 的值，进而得出答案．
【详解】解：∵(
)
7,6
A −
与点
(
)
,
B a b 关于x 轴对称，
∴
7,
6
a
b
= −
= −
∴a
b
+
=
7
6
13
−−= −
故答案为：13
−
．
11．
（24-25 七年级下·江西上饶·期中）若点(
)
,3
A x
与点
(
)
2,
B
y 关于x 轴对称，则：
2
x
y
−
的立方根 ．
【答案】2
【分析】本题考查关于x 轴对称点的特征，代数式的值，立方根，掌握关于x 轴对称点的特征，代数式的值，
立方根是解题关键．根据关于x 轴对称的两点坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出x 、y 的值，
进而求出
2
x
y
−
，最后根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：点
(
)
,3
A x
与点
(
)
2,
B
y 关于x 轴对称，
2
x =
，=
3
y −
，
(
)
2
2
2
3
8
x
y
−
=
−−
=
，
2
x
y
−
的立方根为3 8
2
=
，
故答案为：2 ．
12．（24-25 八年级上·江西上饶·期末）已知点
(
)
,4
A m
与点(
)
3,
B
n 关于x 轴对称，那么(
)
2021
m
n
+
的值
为 ．
【答案】1
−
【分析】本题考查坐标与图形−轴对称变换，乘方的运算，根据关于x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互
为相反数，求出
,
m n的值，代入计算即可．
【详解】解：∵点
(
)
,4
A m
与点(
)
3,
B
n 关于x 轴对称，
∴
3
m =
，n = −4，
∴(
)
(
)
2021
2021
3
4
1
m
n
+
=
−
= −；
故答案为：1
−．
13．（24-25 八年级上·全国·期末）已知点(
)
3 3
P a
b
+
，与点
(
)
5,
2
Q
a
b
−
+
关于x 轴对称，则a = ，
b = ．
【答案】 1
2
−
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【分析】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标特征及二元一次方程组的解法，解题的关键在于根据对称条
件建立方程组．根据关于x 轴对称的点的坐标特征，点P 和点Q 的横坐标相等，纵坐标互为相反数，从而
建立方程组求解a 和b 的值．
【详解】解：点
(
)
3 ,3
P a
b
+
与点
(
)
5,
2
Q
a
b
−
+
关于x 轴对称，
3
5
2
3
a
b
a
b
+
= −
+
= −
，
解得
1
2
a
b
=
= −
，
故答案为：1，2
−．
14．（24-25 七年级下·上海宝山·期末）与(
)
2,
3
A −
−
关于x 轴对称的点的坐标为 ．
【答案】(
)
2, 3
−
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反
数是解题的关键．根据关于x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点(
)
2,
3
A −
−
关于x 轴的对称点的坐标为(
)
2, 3
−
，
故答案为：(
)
2, 3
−
．
题型二：利用关于y 轴对称的特点求点坐标
1．（24-25 八年级上·全国·期末）已知点
(
)
1,2
1
M m
m
−
−
关于y 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围是
（ ）
A．
1
2
m
B．
1
m
C．
1
2
m
或
1
m
D．1
1
2
m
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标与轴对称，解一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解
题关键．先判断出点
(
)
1,2
1
M m
m
−
−
在第二象限，再根据第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0 建立
不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：点
(
)
1,2
1
M m
m
−
−
关于y 轴的对称点在第一象限，
点
(
)
1,2
1
M m
m
−
−
在第二象限，
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1
0
m
−
，2
1
0
m−
，
解得：1
1
2
m
，
故选：D．
2．（24-25 八年级下·陕西西安·开学考试）平面直角坐标系中，若点
(
)
2
1,3
A
x −
与点(
)
1,
1
B
y
−
−
关于y 轴对
称，则xy的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数、
纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点坐标与轴对称变换规律可得
(
)
2
1
1
0
x −+ −
=
，
1
3
y −=
，则可得,x y的值，代入计算即可得．
【详解】解：∵平面直角坐标系中，若点
(
)
2
1,3
A
x −
与点
(
)
1,
1
B
y
−
−
关于y 轴对称，
∴
(
)
2
1
1
0
x −+ −
=
，
1
3
y −=
，
∴
1
x = ，
4
y =
，
∴
1 4
4
xy =
=
，
故答案为：4．
3．（24-25 八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若
(
)
1,
1
A
m
−
−
与点
(
)
,2
B n
关于y 轴对称．则m
n
+
=
【答案】4
【分析】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，直接利用关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反
数，纵坐标不变，得出m , n 的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点
(
)
1,
1
A
m
−
−
与点
(
)
,2
B n
关于y 轴对称，
∴
1,
1
2
n
m
=
−=
，
解得：
3
m =
，
则
3 1
4
m
n
+
= + =
．
故答案为：4 ．
4．（24-25 八年级上·山东德州·阶段练习）若点
(
)
3,4
A a −
和点
(
)
1,
6
B
b
−
+
关于y 轴对称，则点(
)
,b a
−
在第
象限．
【答案】一
【分析】本题考查了轴对称，判断点所在的象限，关于y 轴对称对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标
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相等，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵点
(
)
3,4
A a −
和点
(
)
1,
6
B
b
−
+
关于y 轴对称，
∴
(
)
3
1
0,4
6
a
b
−+ −
=
=
+
，
解得
4,
2
a
b
=
= −，
∴(
)
2,4 在第一象限，
故答案为：一．
5．（24-25 八年级上·山东聊城·阶段练习）若点
(
)
, 2
A a −
和点(
)
1,
5
B
b
−
+
关于y 轴对称，则点
(
)
,
C a b 在第
象限．
【答案】四
【分析】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握关于y 轴对称的点的坐标规律．
根据关于y 轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得C 点坐标，再根据点所在象限可得答案．
【详解】解：由点
(
)
, 2
A a −
和点(
)
1,
5
B
b
−
+
关于y 轴对称，得：
1
a = ，
5
2
b+
= −，
解得：
1
a = ，
7
b = −，
∴点
(
)
1, 7
C
−
在第四象限，
故答案为：四．
6．（25-26 八年级上·全国·随堂练习）已知，点
(3, 1)
P
−
与点
(
,1
)
Q a
b
b
+
−
关于y 轴对称，则
b
a 的值为 ．
【答案】25
【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，有理数的乘方；
根据关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等求出
2
b =
，
5
a = −，再根据有理数的乘方运算法
则计算即可．
【详解】解：∵点
(3, 1)
P
−
与点
(
,1
)
Q a
b
b
+
−
关于y 轴对称，
∴3
a
b
= −−
，1 1 b
−= −，
∴
2
b =
，
5
a = −，
∴
(
)
2
5
25
b
a = −
=
，
故答案为：25 ．
6．（24-25 八年级上·河北石家庄·期末）若点(
)
1
,1
P
m
n
+
−
与点
(
)
4,3
Q −
关于y 轴对称，则m
n
+
的值是 ．
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【答案】1
【分析】根据两点关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可．
本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可．
【详解】解：∵点(
)
1
,1
P
m
n
+
−
与
(
)
4,3
Q −
关于y 轴对称，
∴1
4,1
3
m
n
+
=
−
=
，
解得
3,
2
m
n
=
= −，
故
3 2
1
m
n
+
= −
= ，
故答案为：1．
题型三：平面直角坐标系中其他对称轴
1．（24-25 八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰Rt
ABO
△
沿直角边OA翻折，点
B 落在点C 处，若点A 坐标为(
)
4,3 ，则点C 坐标为（ ）
A．(
)
6, 1
−
B．(
)
6, 2
−
C．(
)
7, 1
−
D．(
)
7, 2
−
【答案】C
【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地
作出辅助线是解题的关键．
作AF
y
⊥
轴于点F，作CE
FA
⊥
交FA 的延长线于点E，由(
)
4,3
A
，得
3
4
OF
AF
=
=
，
，由翻折得
90
AC
AB
OA
OAC
OAB
=
=
=
=
∠
，∠
，则
CAE
AOF
=
，可证明
(AAS)
CAE
AOF
△
≌
△
，得
3
4
AE
OF
CE
AF
=
=
=
=
，
，则
(
)
7,3
E
，求得
(
)
7, 1
C
−
，即可解答．
【详解】解：作AF
y
⊥
轴于点F，作CE
FA
⊥
交FA 的延长线于点E，如图
90
E
AFO
=
=
，
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∵
(
)
4,3
A
，
∴
3
4
OF
AF
=
=
，
．
∵将等腰直角三角形ABO沿直角边OA翻折，点B 落在点C 处，
∴AC
AB
OA
=
=
，
90
OAC
OAB
=
=
，
∴
90
CAE
FAO
AOF
=
−
=
．
在CAE
和AOF
中：
CAE
AOF
E
AFO
AC
OA
=
=
=
∴
(AAS)
CAE
AOF
△
≌
△
，
∴
3
4
AE
OF
CE
AF
=
=
=
=
，
．
∵
3
4
7
EF
AE
AF
=
+
= +
= ，
∴
(
)
7,3
E
．
又∵点C 的横坐标为7，纵坐标为3 4
1
−
= −，
∴
(
)
7, 1
C
−
．
故选C．
题型四：格子中的对称问题求面积
1．（24-25 八年级上·广西桂林·阶段练习）ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C 三点在格
点上．
(1)作出
ABC
关于x 轴对称的
1
1
1
A BC
△
，并写出
1
C 点的坐标；
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(2)作出
ABC
关于y 轴对称的
2
2
2
A B C
，并写出
2
C 点的坐标；
(3)求
ABC
的面积．
【答案】(1)见详解，(
)
3, 4
−
(2)见详解，(
)
3,4
−
(3) 5
2
【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A BC
即为所求，
1
C 点的坐标为(
)
3, 4
−
；
（2）如图，
2
2
2
A B C
即为所求，
2
C 点的坐标为(
)
3,4
−
；
（3）ABC
的面积
(
)
1
1
1
5
1 2
3
2 1
1 2
2
2
2
2
=
+
−
−
=
．
2．（24-25 八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，
ABC
的三个顶点的坐标分别为
( 3,4)
A −
，
( 4,1)
B −
，
( 1,2)
C −
．
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(1)在图中作出
ABC
关于x 轴的对称图形
1
1
1
A BC
△
；
(2)请直接写出点A、B、C 关于y 轴的对称点A、B、C的坐标：A ；B ；C ；
(3)求
ABC
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)(3,4) ；(4,1) ；(1,2)
(3)4
【分析】本题考查作图−轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A BC
△
即为所求．
（2）解：∵点
( 3,4)
A −
、
( 4,1)
B −
，
( 1,2)
C −
关于y 轴的对称点A、B、C，
∴
(3,4)
A
，
(4,1)
B
，
(1,2)
C
．
故答案为：(3,4) ；(4,1) ；(1,2) ．
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（3）解：
ABC
的面积为
1
1
1
3 3
3 1
2 2
1 3
4
2
2
2
−
−
−
=
．
3．（24-25 八年级上·江苏徐州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知
(
)
3,3
A
，(
)
2,0
B −
，(
)
2, 2
C
−
．
(1)在平面直角坐标系中画出
ABC
；
(2)若点D 与点C 关于y 轴对称，则点D 的坐标为____________
(3)求
ABC
的面积；
(4)已知点P 为x 轴上的一点，若
6
ABP
S
=
△
时，则点P 的坐标为_______．
【答案】(1)见解析
(2)(
)
2, 2
−
−
(3)11
(4)(
)
2 0,
或(
)
6,0
−
【分析】本题考查了点的坐标与轴对称变换，三角形的面积等知识点，熟练掌握点的坐标变换规律是解题
的关键．
（1）先根据点的坐标描出点A，B，C，再顺次连接即可；
（2）根据点的坐标关于y 轴对称的变换规律即可；
（3）利用割补法求
ABC
的面积；
（4）设点(
)
,0
P m
，则
2
BP
m
=
+
，利用三角形的面积公式可得一个关于m 的绝对值方程，解方程即可．
【详解】（1）如图所示：
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（2）点D 与点C 关于y 轴对称，
(
)
2, 2
C
−
，
点D 的坐标为(
)
2, 2
−
−
．
（3）
1
1
1
5 5
4 2
3 5
5 1
2
2
2
ABC
S
=
−
−
−
25
4
7 5
2 5
.
.
=
−
−
−
，
11
=
．
ABC
的面积等于11．
（4）设(
)
,0
P m
，则
2
BP
m
=
+
，
由
1
2 3
6
2
ABP
S
m
=
+
=
得
2
4
m+
= ，
解得
2
m =
或
6
m = −．
点P 的坐标为(
)
2 0,
或(
)
6,0
−
．
4．（24-25 八年级上·天津红桥·期中）如图在平面直角坐标系中，
ABC
各顶点的坐标分别为：(
)
4,0
A
，
(
)
1,4
B −
，
(
)
3,1
C −
．
(1)请在图中作A B C
，使A B C
和
ABC
关于x 轴对称，点A 、B 、C 的对应点分别为A、B、C；并
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请写出A、B、C的坐标；
(2)求
ABC
的面积．
【答案】(1)作图见解析，
(
)
4,0
A
、
(
)
,1
4
B−
−
、
(
)
,3
1
C−
−
(2) 23
2
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，求三角形面积．
（1）先找出A、B、C 的对应点A、B、C，然后顺次连接A、B、C即可得到答案，根据A、B、C的
位置，写出A、B、C的坐标即可；
（2）用
ABC
所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，A B C
即为所求；
；
∴
(
)
4,0
A
、
(
)
1,
4
B−
−
、
(
)
3, 1
C−
−
；
（2）解：
1
1
1
23
7 4
1 7
2 3
4 5
2
2
2
2
ABC
S
=
−
−
−
=
△
．
5．（24-25 八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(
)
3,2
−
，点B 的坐标
为(
)
1,4 ，已知点C 在x 轴上，且
90
ABC
=
，点A 关于x 轴的对称点为点D．
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(1)在图中画出点C，D，点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 ；
(2)连接
,
,
BC CD DA ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)图见解析，(
) (
)
3,0
3, 2
−
−
，
(2)22
【分析】此题主要考查了关于x 轴对称的点的坐标，以及割补法求几何图形的面积，解题的关键是掌握点的
坐标的变化规律．
（1）根据点C 在x 轴上，且
90
ABC
=
，可得点C 的坐标，根据关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不
变，纵坐标互为相反数可得点D 的坐标；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图：
点C 在x 轴上，且
90
ABC
=
，
点C 的坐标为(
)
3,0 ，
点A 关于x 轴的对称点为点D，点A 的坐标为(
)
3,2
−
，
点D 的坐标为(
)
3, 2
−
−
；
故答案为：(
)
3,0 ，(
)
3, 2
−
−
；
（2）解：如图：
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四边形ABCD的面积为：
1
1
1
6 6
2 4
2 4
6 2
36
4
4
6
22
2
2
2
−
−
−
=
−−−
=
．
6．（24-25 八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在直角坐标系中，
(
)
1,5
A −
，(
)
3,0
B −
，
(
)
4,3
C −
．
(1)在图中作出
ABC
关于y 轴对称的图形
1
1
1
A BC
△
；
(2)写出点
1A 、
1
B 、
1
C 的坐标；
(3)求
ABC
的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
(
)
1 1,5
A
，
(
)
1 3,0
B
，
(
)
1 4,3
C
(3)11
2
【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形．熟练掌握作轴对称图形，轴对称的性质，
坐标与图形是解题的关键．
（1）利用轴对称的性质作图即可；
（2）根据轴对称的性质作答即可；
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（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图
1
1
1
A BC
△
，即为所求；
（2）解：由题意得
(
)
1 1,5
A
，
(
)
1 3,0
B
，
(
)
1 4,3
C
．
（3）解：由题意知
1
1
1
11
3 5
3 2
3 1
2 5
2
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
=
△
．
∴
ABC
的面积为11
2 ．
7．（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为
(
) (
) (
)
1,0
2,3
3,1
−
−
−
，
，
．
(1)作出
ABC
关于y 轴对称的A B C
，并写出B
C
，
两点的坐标；
(2)求A B C
的面积．
【答案】(1)见解析，
(
)
(
)
2,3
3,1
B
C
，
(2)2.5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得A
B
C
、、
的坐标，描出A
B
C
、、
，
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并顺次连接A
B
C
、、
即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，A B C
即为所求，则
(
)
(
)
2,3
3,1
B
C
，
；
（2）解：
1
1
1
2 3
1 3
1 2
1 2
2.5
2
2
2
A B C
S
=
−
−
−
=
．
8．（25-26 八年级上·全国·随堂练习）如图，
ABC
在平面直角坐标系中．
请回答下列问题：
(1)在图中作出
ABC
关于y 轴对称的图形A B C
，点B的坐标为________；
(2)若点
(
1,3)
M m −
与点
( 2,
1)
N
n
−
+
关于x 轴对称，则m = ________，n = ________；
(3)求
ABC
的面积．
【答案】(1)见解析，(4,0)
(2) 1
−，4
−
(3)4
【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，割补法求面积；
（1）根据轴对称的性质找出点A，B，C 关于y 轴对称的点A，B，C，顺次连接即可得到A B C
，然后
根据所作图形可得点B的坐标；
（2）根据关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数列式求解即可；
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（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，A B C
即为所求，点B的坐标为(4,0) ．
故答案为：(4,0) ；
（2）∵点
(
1,3)
M m −
与点
( 2,
1)
N
n
−
+
关于x 轴对称，
∴
1
2
m−= −，3
1
n
−=
+ ，
∴
1
m = −，n = −4，
故答案为：1
−，4
−；
（3）
1
1
1
3 4
2 3
2 1
2 4
4
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
=
．
9．（23-24 八年级上·江西抚州·阶段练习）ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示，(
)
2,4
A
，(
)
1,1
B
，
(
)
3,2
C
三点在格点上．
(1)作出
ABC
关于x 轴对称的
1
1
1
A BC
△
，并写出点
1A 的坐标为 ；
(2)
ABC
的面积为 ；
【答案】(1)图见解析，点
1A 的坐标为(
)
2
4
−
，
(2) 5
2
【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图、三角形的面积等知识点，掌握轴对称变换的定义与性质是，
解题的关键．
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（1）先作出、、
A
B
C 关于x 轴的对称点
1
1
1
A
B
C
、、
，然后再顺次连接即可；然后再确定点
1A 的坐标即可；
（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，
1
1
1
A BC
△
即为所求，点
1A 的坐标为(
)
2
4
−
，
．
故答案为：(
)
2
4
−
，
．
（2）解：
ABC
的面积为
1
1
5
2 3
1 2 2
1 3
2
2
2
−
−
=
．
故答案为：5
2 ．
题型五：格子中的对称问题求最值
1．（24-25 八年级上·广东广州·期中）
ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出
ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A BC
△
并写出
1
B 的坐标；
(2)求
ABC
的面积；
(3)在x 轴上画出点P，使PB
PC
+
最小（不写作法）．
【答案】(1)
1
B 的坐标为(
)
1,2
−
，图见解析
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(2)5
(3)见解析
【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的
性质是解题的关键．
（1）作出
ABC
各顶点关于y 轴的对称点，顺次连接即可，根据
1
B 的位置可写出坐标；
（2）利用割补法求解；
（3）作点B 关于x 轴的对称点B，连接B C
交x 轴于点P，由BP
PC
B P
PC
B C
+
=
+
，可得点P 即为所
求．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A BC
△
即为所求，
1
B 的坐标为(
)
1,2
−
；
（2）解：
1
1
1
4 3
2 2
2 3
4 1
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
12
2 3 2
=
−−−
5
= ；
（3）解：如图，点P 即为所求．
2．
（23-24 八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC
三个顶点的坐标分别为(
)
2,4
A −
，
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(
)
2,1
B −
，
(
)
5,2
C −
．
(1)将
ABC
的三个顶点的横坐标乘2
- ，纵坐标乘2，得到对应的点
1A ，
1
B ，
1
C ，请画出
1
1
1
A BC
△
．
(2)
ABC
的面积为__________；
1
1
1
A BC
△
的面积为__________（直接写出结果）．
(3)点P 为x 轴上一点，且
1
PA
PB
+
的值最小，画出点P，并求出点P 的坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2) 9
2 ；18
(3)点P 的坐标为(
)
2 0,
，画图见解析
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的图形变换(坐标缩放)、三角形面积计算、最短路径问题(将军饮马
模型) ，解题的关键是掌握坐标变换规律、利用割补法或底高公式计算三角形面积、运用轴对称性质转化最
短路径问题．
（1）画
1
1
1
A BC
△
：根据坐标变换规则，分别计算
1
1
1
A
B
C
、、
的坐标(横坐标(
)
2
−
，纵坐标2)
，再在坐标系
中描点并连接；
（2）求
ABC
与
1
1
1
A BC
△
的面积：先判断
ABC
的形状(AB 垂直x 轴，可作底)，用“底高2
”计算面积
1
1
1
A BC
△
是
ABC
经缩放得到，面积比为缩放比的平方(横纵缩放比分别为2，面积比为2 2
4)
=
；
（3）找x 轴上使
1
PA
PB
+
最小的点P：利用轴对称，作点A 关于x 轴的对称点A，连接
1
A B
，与x 轴的交
点即为P，再求
1
A B
的直线解析式，令
0
y =
得P 的坐标．
【详解】（1）解：由坐标变换规则计算各点坐标：
(
)
2,4
A −
→
(
) (
)
1[
2
2 ,
A
−
−
(
)
1
4 2]
4,8
A
→
；
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(
)
2,1
B −
→
(
) (
)
1[
2
2 ,
B
−
−
(
)
1
1 2]
4,2
B
→
；
(
)
5,2
C −
→
(
) (
)
1[
5
2 ,
C
−
−
(
)
1
2 2]
10,4
C
→
；
在平面直角坐标系中描出
1
1
1
(4,8)
(4,2)
(10,4)
A
B
C
、
、
，顺次连接三点，即得
1
1
1
A BC
△
．
（2）解：① 计算
ABC
的面积：
∵
(
)
2,4
A −
、
(
)
2,1
B −
，
∴ AB
x
⊥
轴, AB 长度
4 1
3
=
−=
；
过
(
)
5,2
C −
作AB 的垂线，水平距离为| 2
( 5) | 3
−−−
=
；
∴
1
2
=
ABC
S
AB
高
1
9
3 3
2
2
=
=
．
② 计算
1
1
1
A BC
△
的面积：
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1
1
1
A BC
△
是
ABC
经“横缩放2 倍、纵缩放2 倍”得到，面积比
2 2
4
= =
；
∴ S△A1
B1C1
4
4 4.5
18
ABC
S
=
=
=
．
故答案为：9
2 ；18．
（3）解：作点(
)
2,4
A −
关于x 轴的对称点A，则
(
)
2, 4
A−
−
；
设直线
1
A B
的解析式为y
kx
b
=
+
，代入
(
)
2, 4
A−
−
、
(
)
1 4,2
B
：
{−4=−2k+b
2=4k+b
解得：
1
k = ，
2
b = −；
∴ 直线
1
A B
的解析式为
2
y
x
=
−
．
令
0
y =
，则0
2
x
=
−，
∴
2
x =
；
∴ 点P 的坐标为(
)
2 0,
，在x 轴上描出(
)
2,0
P
如图所示．
3．（24-25 八年级上·全国·期末）如图，
ABC
在平面直角坐标系中，且
(
)
1,3
A
、
(
)
4,1
B −
、
(
)
3, 2
C −
−
．
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(1)在图中画出线段BC 关于y 轴对称的线段
1
1
B C ，并直接写出点
1
C 的坐标为 ；
(2)在（1）的基础上，直接写出
1
1
AB C
△
的面积为 ；
(3)在x 轴上有一条长度是1 的运动线段MN（点M 在点N 左边），使得BM
MN
NA
+
+
最小，请画出点M．
（保
留必要的画图的痕迹）．
【答案】(1)见解析，(
)
3, 2
−
(2)5.5
(3)见解析
【分析】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及最短路线问题，画一个图形的轴对称图形时，是先
从确定一些特殊的对称点开始．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点
关于某直线的对称点，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形．
（1）根据轴对称的性质，得到线段BC 的端点关于y 轴对称的点，再连接
1
1
B C 即可；根据点
1
C 的位置即可
得出点
1
C 的坐标；
（2）根据割补法即可得到
1
1
AB C
△
的面积；
（3）作点B 关于x 轴的对称点B，作AA
x
∥轴，使得
1
AA
MN
=
= ，连接A B
交x 轴于一点，则该交点即
为点M．
【详解】（1）解：如图所示，线段
1
1
B C 即为所求，点
1
C 的坐标为(
)
3, 2
−
；
故答案为：(
)
3, 2
−
；
（2）解：
1
1
AB C
△
的面积为
1
1
1
3 5
2 3
3 1
2 5
5.5
2
2
2
−
−
−
=
；
故答案为：5.5；
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（3）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B，作AA
x
∥轴，使得
1
AA
MN
=
= ，连接A B
交x 轴于一点，
则该交点即为点M，连接AN ，
由AA
MN
∥
，AA
MN
=
，可得四边形A MNA
为平行四边形，故AN
A M
=
，
由轴对称的性质，可得BM
BM
=
，故BM
AN
B M
A M
A B
+
=
+
=
（最短），
而MN 的长为定值，故此时BM
MN
NA
+
+
最小．
4．（24-25 九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，
ABC
三个顶点的坐标分别是(
)
1,1
A
，
(
)
4,2
B
，
(
)
3,4
C
．
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的图形A B C
（用刻度尺作图，禁止反复涂抹）；
(2)求
ABC
的面积；
(3)在x 轴上作一点P ，使得PA PB
+
的值最小．画出点P（在（1）问坐标系作图，保留作点P 的过程痕迹），
并直接写出PA PB
+
最小值．
【答案】(1)见解析
(2) 7
2
(3)3 2 ，图见解析
【分析】此题重点考查作图- 轴对称变换、轴对称- 最短路线问题、三角形的面积公式、勾股定理等知识，
正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键．
（1）先找到点(
)
1,1
A
，
(
)
4,2
B
，
(
)
3,4
C
关于y 轴的对称点分别为
(
)
1,1
A−
、
(
)
4,2
B−
、
(
)
3,4
C−
，再画出
A B C
即可；
（2）取点E(1,4)、
(
)
4,4
F
、H(4,1)，画出正方形AEFH ，由S△ABC=S正方形AEFH−S△AEC−S△BFC−S△AHB求得
7
2
ABC
S
=
△
；
（3）作点A 关于x 轴的对称点
(
)
1, 1
M
−
，连接BM 交x 轴于点P ，则PA
PM
=
，所以PA+PB=PM+PB=BM，
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则PA PB
+
的值最小，取点
(
)
4, 1
N
−
，连接MN 、BN ，求得PA+PB=BM=√MN2+BN2=3√2，则PA PB
+
的最
小值为3 2 ．
【详解】（1）解：点(
)
1,1
A
，
(
)
4,2
B
，
(
)
3,4
C
，
点A ，B ，C 关于y 轴的对称点分别为
(
)
1,1
A−
、(
)
4,2
B−
、(
)
3,4
C−
，
连接A B
、B C
、A C
，
A B C
就是所求的三角形．
（2）解：取点E(1,4)、
(
)
4,4
F
、H(4,1)，连接AE 、EF 、FH 、AH ，
S△ABC=3×3−
1
2 ×3×2−
1
2 ×2×1−
1
2 ×3×1=
7
2，
ABC
的面积为7
2 ．
（3）解：作点A 关于x 轴的对称点
(
)
1, 1
M
−
，连接BM 交x 轴于点P ，
点P 就是所求的点，
PA PB
+
的最小值为3 2 ．
理由：取点
(
)
4, 1
N
−
，连接AM 、MN 、BN ，
AM
被x 轴垂直平分，
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PA
PM
=
，
∴PA+PB=PM+PB=BM，
PA
PB
+
的值最小，
90
MNB
=
，MN=BN=3，
∴PA+PB=BM=√MN2+BN2=√32+32=3√2，
PA
PB
+
的最小值为3 2 ．
5．（24-25 八年级上·云南大理·期末）已知：如图，ABC
三个点的坐标分别为
(0, 2)
A
−
，(2, 4)
−
B
，(4, 1)
C
−
．
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的图形
1
1
1
A BC
△
；写出
1
1
1
A BC
△
各顶点坐标；
(2)求
ABC
的面积．
(3)在x 轴上找一点P，使得它到点A 和点C 的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析，点
1A 的坐标为(
)
0, 2
−
，点
1
B 的坐标为(
)
2, 4
−
−
，点
1
C 的坐标为(
)
4, 1
−
−
(2)5
(3)见解析
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【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答
本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，再根据
1
1
1
A BC
△
各顶点在坐标系中的位置写出顶点坐标即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）作点C 关于x 轴的对称点C,连接AC，交x 轴于点P，则点P 即为所求，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A BC
△
即为所求．
点
1A 的坐标为(
)
0, 2
−
，点
1
B 的坐标为(
)
2, 4
−
−
，点
1
C 的坐标为(
)
4, 1
−
−
；
（2）解：
ABC
的面积为
(
)
1
1
1
2
3
4
2 2
2 3
10
2 3
5
2
2
2
+
−
−
=
−−=
．
（3）解：如图，作点C 关于x 轴的对称点C,连接AC，交x 轴于点P，连接CP ，
则PA
PC
PA
PC
AC
+
=
+
=
，此时点P 到点A 和点C 的距离和最小，故点P 即为所求作．
6．（24-25 七年级上·全国·期末）已知如图，ABC
在平面直角坐标系xOy 中，其中
(
)
1,2
A
，(
)
3,1
B
，(
)
4,3
C
，
试解答下列各题：
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(1)作出
ABC
关于y 轴对称的A B C
，并写出A B C
三个顶点的坐标；A（ ）；B（ ）；C（ ）．
(2)在x 轴上画出点P，使PA
PC
+
最小．
【答案】(1)见解析，1
−，2；3
−，1；4
−，3
(2)见解析
【分析】本题考查了作轴对称图形，关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关
键．
（1）先得出点A、B、C 分别关于y 轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）作点A 关于x 轴的对称点
1A ，连接
1AC ，交x 轴于点P，连接AP ，由
1
1
PA
PC
PA
PC
AC
+
=
+
可得
点P 为所要求作的点．
【详解】（1）如图所示，A B C
即为所求，
∴
(
)
1,2
A−
，
(
)
3,1
B−
，
(
)
4,3
C−
；
（2）如图所示，点P 即为所求．
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7．（24-25 八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，
ABC
的三
个顶点都在格点上．
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的A B C
；
(2)点P 为y 轴上一动点，当PA PB
+
取得最小值时，点P 的坐标为_________．
【答案】(1)图见解析
(2)(
)
0,3
【分析】本题考查了作图——轴对称变换及最短路径问题．
（1）利用关于y 轴对称的点的坐标得到A
B
C
、、
的坐标，然后描点即可；
（2）连接BA交y 轴于P 点，根据两点之间线段最短可判断P 点满足条件，从而得到P 点坐标．
【详解】（1）解：如图，A B C
为所作；
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（2）如图，根据轴对称的性质可知，PA PB
PA
PB
+
=
+
，连接BA交y 轴于P 点，此时点P 即为所求作，
P 点坐标为(
)
0,3 ．
故答案为：(
)
0,3 ．
8．（24-25 八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，
(
)
1,2
A
，
(
)
3,1
B
，
(
)
2, 1
C −
−
．
(1)在图中作出ABC
关于y 轴的对称图形
1
1
1
A BC
．
(2)写出点
1A ，
1
B ，
1
C 的坐标（直接写答案）
1A ________；
1
B ________；
1
C ________
(3)在x 轴上找出点P，求PA PB
＋
的最小值（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)(
)
1,2
−
，(
)
3,1
−
，(
)
2, 1
−
(3)见解析
【分析】本题考查轴对称作图，根据轴对称写出点的坐标；
（1）分别作出A，B，C 关于y 轴的对应点
1A ，
1
B ，
1
C ，然后连接得到
1
1
1
A BC
即可．
（2）根据
1A ，
1
B ，
1
C 的位置写出坐标即可．
（3）作点A 关于x 轴的对称点
2
A ，连接
2
BA 交x 轴于点P，点P 即为所作．
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【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A BC
即为所作；
（2）解：
1A ，
1
B ，
1
C 的坐标分别为(
)
1,2
−
，(
)
3,1
−
，(
)
2, 1
−
，
故答案为：(
)
1,2
−
，(
)
3,1
−
，(
)
2, 1
−
；
（3）解：如图，点P 即为所作．
9．（24-25 八年级上·江苏淮安·期末）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，ABC
三个顶点
的坐标分别为(
)
2,4
A −
、(
)
5,2
B −
、
(
)
3,1
C −
．
(1)画出
ABC
关于x 轴的对称图形
1
1
1
A BC
△
；若点
(
)
,
G m n 是线段AB 上的一点，则点G 在线段
1
1
A B 上的对
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应点的坐标为______；
(2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在y 轴上找一点P ，使得PAC
的周长最短．
【答案】(1)画图见解析，(
)
,
m
n
−
(2)画图见解析
【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用轴对称求线段的最值，解题的关键是掌握轴对称的性
质．
（1）先根据轴对称的性质找到对应点位置，再顺次连接，根据关于x 轴对称的点的坐标特点可得其对称点
的坐标；
（2）根据轴对称找最短路径，在网格中找到A 点关于y 轴的对称点Q ，再连接CQ ，与y 轴交于P，此时
AP
CP
+
最小，则AP
CP
AC
+
+
最小，即PAC
的周长最小．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A BC
△
即为所求作的三角形；
∵点
(
)
,
G m n 是线段AB 上的一点，
∴点G 在线段
1
1
A B 上的对应点的坐标为(
)
,
m
n
−
．
（2）解：如图，点P 即为所求；
题型六：对称问题之中点坐标问题
1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐
标系，若点A 的坐标为(
)
2, 5 ，则点B 的坐标为 ．
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【答案】(
)
2,
5
−
−
【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质即可得解，熟练掌握中心对称的性质是解此题
的关键．
【详解】解：由题意以及中心对称的性质可得，若点A 的坐标为(
)
2, 5 ，则点B 的坐标为(
)
2,
5
−
−
，
故答案为：(
)
2,
5
−
−
．
2．（2025·广东肇庆·一模）DeepSeek 公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确
性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：(
)
2,3
A
表示起点，(
)
8,7
B
表示终点．如果DeepSeek 软件需要在
点A 和点B 之间设置一个中转站，且中转站到点A 和点B 的距离相等，则中转站的坐标为 ．
【答案】(
)
5,5
【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为(
)
,x y ，
根据中点坐标公式进行求解即可．
【详解】解：设中转站的坐标为(
)
,x y ，
∵中转站到点A 和点B 的距离相等，
∴中转站为AB 的中点，
∴
2
8
5
2
3
7
5
2
x
y
+
=
=
+
=
=
，
∴中转站的坐标为(
)
5,5 ．
故答案为：(
)
5,5 ．
3．（24-25 九年级下·江西抚州·期中）DeepSeek 公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为
测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：
(
)
1,6
A
表示起点，(
)
5,8
B
表示终点．如果软件
需要在线段AB 之间设置一个中转站，且中转站到点A 和点B 的距离相等，则中转站的坐标为 ．
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【答案】(
)
3,7
【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为(
)
,x y ，
根据中点坐标公式进行求解即可．
【详解】解：设中转站的坐标为(
)
,x y ，
∵中转站到点A 和点B 的距离相等，
∴中转站为AB 的中点，
∴
1 5
6 8
3
7
2
2
x
y
+
+
=
=
=
=
，
，
∴中转站的坐标为(
)
3,7 ．
故答案为：(
)
3,7 ．
题型一：轴对称综合之线段和最短问题
1．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
=60
B
，AD
BC
⊥
于点D，P 是AD
上的一个动点，PE
AC
⊥
于点E，连接CP ．若
6
AD =
，则PC
PE
+
的最小值是（ ）．
A．5
B．6
C．8
D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题等知识点，正确作出辅助线成为解
题的关键．
如图：作BE
AC
⊥
于E交AD于P，连接
,
P C PB
，根据等边三角形的判定与性质可得
6
BE
AD
=
=
，点C
关于AD的对称点为点B，从而得出当P、B、E 在同一直线上且BE
AC
⊥
时，PC
PE
+
的值最小为BE即可
解答．
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【详解】解：如图：作BE
AC
⊥
于E交AD于P，连接
,
P C PB
，
∵在
ABC
中，AB
AC
=
，
=60
B
，
∴
ABC
是等边三角形，
∵AD
BC
⊥
，BE
AC
⊥
，
∴
6
BE
AD
=
=
，BD
CD
=
，
∴点C 关于AD的对称点为点B，
PC
PB
=
，
PC
PE
PB
PE
+
=
+
，
∴当P、B、E 在同一直线上且BE
AC
⊥
时，PC
PE
+
的值最小为BE，
∴PC
PE
+
的最小值是6．
故选：B．
2．（2025·安徽马鞍山·三模）在
ABC
中，
60
ABC
=
，
6
AB =
，
10
BC =
，点P 为AB 上一点，Q 为
ABC
内部一点，且
:
3:5
ABQ
QBC
S
S
=
，则PQ
AQ
+
的最小值为（ ）
A．3 3
2
B．3 2
C．3 3
D．3
【答案】C
【分析】本题考查轴对称求最短距离，角平分线的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；能够
通过给的面积关系，确定Q 点的位置是解题的关键．
设Q 点到AB 的距离为h，Q 点到BC 的距离为k ，根据面积比求得h
k
= ，则Q 点在
ABC
的角平分线上，
作A 点关于BQ 的对称点E ，当P 、Q 、E 三点共线，且EP
AB
⊥
时，PQ
AQ
+
的值最小，此时最小值为PE，
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在等边三角形BPE 中求出PE的长即可．
【详解】解：设Q 点到AB 的距离为h，Q 点到BC 的距离为k ，
1
1
:
6
:
10
3:5
2
2
ABQ
QBC
S
S
h
k
=
=
，
h
k
=
，
Q
点在
ABC
的角平分线上，
作A 点关于BQ 的对称点E ，
PQ
AQ
PQ
QE
PE
+
=
+
，
当P 、Q 、E 三点共线，且EP
AB
⊥
时，PQ
AQ
+
的值最小，此时最小值为PE，
60
ABC
=
，
ABE
是等边三角形，
6
BE
AB
=
=
，
30
PEB
=
，
3
BP
= ，
2
2
6
3
3 3
PE
=
−
=
，
PQ
AQ
+
的最小值为3 3 ，
故选：C．
3．（24-25 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，
ABC
是等腰三角形，
13,
10,
AB
AC
BC
AD
=
=
=
是
ABC
的
高线，且
12
AD =
．点E ，F 分别是
,
AD AC 上任意一点，连接
,
CE EF ，则CE
EF
+
的最小值为（ ）
A．12
B．10
C．120
13
D．65
6
【答案】C
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41 /
【分析】利用等腰三角形的对称性，将CE 转化为BE ，则CE
EF
BE
EF
+
=
+
，根据垂线段最短，当BF
AC
⊥
时，BE
EF
+
取得最小值，即BF 的长度，再通过三角形面积公式求出BF ．本题主要考查了等腰三角形的性
质以及垂线段最短，熟练掌握等腰三角形三线合一和利用面积法求线段长度是解题的关键．
【详解】解：连接BE 、BF ，
∵ AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
∴ AD是BC 的垂直平分线，
∴ BE
CE
=
，
∴ CE
EF
BE
EF
+
=
+
．
根据垂线段最短，当B 、E 、F 三点共线，且BF
AC
⊥
时，BE
EF
+
取得最小值，即BF 的长度．
∵
1
1
2
2
ABC
S
BC AD
AC BF
=
=
△
，
10
BC =
，
12
AD =
，
13
AC =
，
∴ 1
1
10 12
13
2
2
BF
=
，
解得
120
13
BF =
．
∴ CE
EF
+
的最小值为120
13 ．
故选：C．
4．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知在直角三角形ABC 中，
3
BC = ，
4
AC =
，
5
AB =
．动点D
在AC 边上运动，过D点作DE
AB
⊥
，垂足为点E ．则在点D 的运动过程中，DB
DE
+
的最小值为（ ）
A．12
5
B．24
5
C．5
D．27
5
【答案】B
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42 /
【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点B 关于AC 的对称点F ，过点F 作
FG
AB
⊥
于点G ，交AC 于点H ，连接BH ，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得DB
DE
+
的最小值为FG ，
进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点F ，过点F 作FG
AB
⊥
于点G ，交AC 于点H ，连接BH ，
∴BH
FH
=
，
∴当D 和H 重合时，DB
DE
HB
DE
HF
HG
FG
+
=
+
=
+
=
，
∵FG
AC
∴DB
DE
+
的最小值为FG
∵
3
BC = ，
4
AC =
，
5
AB =
．
∴
2
6
BF
BC
=
=
∵
1
1
2
2
ABF
S
AC
BF
AB FG
=
=
∴
6 4
24
5
5
BF
AC
FG
AB
=
=
=
，
故选：B．
5．（24-25 八年级上·广西河池·期中）如图，在等边ABC
中，AD是ABC
的中线，
,
5,
CE
AB AD
P
⊥
=
是
AD上一个动点，则PB
PE
+
最小值的是（ ）
A．2.5
B．5
C．7.5
D．10
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
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43 /
根据等边三角形的性质得到AD
BC
⊥
，
5
AD
CE
=
= ，点B 关于AD的对称点为点C ，如图所示，连接CP ，
当点
, ,
C P E 三点共线时，取最小值，最小值为
5
CE =
，由此即可求解．
【详解】解：∵ABC
是等边三角形，AD是ABC
的中线，
,
5
CE
AB AD
⊥
=
，
∴AD
BC
⊥
，
5
AD
CE
=
= ，
∴点B 关于AD的对称点为点C ，
如图所示，连接CP ，
∴PB
PE
PC
PE
CE
+
=
+
，
∴当点
, ,
C P E 三点共线时，取最小值，最小值为
5
CE =
，
∴PB
PE
+
最小值的是5，
故选：B ．
6．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，等边
ABC
的边长为4，AD是BC 边上的中线，F 是AD边上
的动点，E 是AC 边上一点，若
2
AE =
，当EF
CF
+
取得最小值时，则
ECF
的度数为（ ）
A．15
B．22.5
C．30
D．60
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到
CM 是解题的关键．作点E 关于AD对称的点M，连接CM ，与AD交于点F，推出EF
CF
+
最小时即为CM ，
再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E 关于AD对称的点M，连接CM ，与AD交于点F，
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44 /
∵
ABC
是等边三角形，AD是BC 边上的中线，
∴AD
BC
⊥
，AD平分
BAC
，
∴M 在AB 上，
∴MF
EF
=
，
∴EF
CF
MF
CF
CM
+
=
+
，
∵两点之间线段最短，
∴当
,
,
C F M 时，EF
CF
+
最小，且为CM ，
∵
2
AE =
，
∴
2
AM =
，即点M 为AB 中点，
∵
ABC
是等边三角形，
∴CM 平分
ACB
，
60
ACB
=
∴
1
30
2
ECF
ACB
=
=
，
故选：C．
7．（24-25 八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M ，N 为小正方形顶点，直线l 经过小正
方形顶点A ，B ，C ，D，在直线l 上求一点P 使PM
PN
+
最短，则点P 应位于（ ）
A．点A 处
B．点B 处
C．点C 处
D．点D 处
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点M 关于直线l 的对称点
1
M ，连接
1
NM 交直线l 于点P，
此时PM
PN
+
最短，据此结合图形可得答案．
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45 /
【详解】解：如图所示，作点M 关于直线l 的对称点
1
M ，连接
1
NM 交直线l 于点P，此时PM
PN
+
最短，
由图可知，
1
NM 交直线l 于点P，
∴点P 应选在C 点，
故选：C．
8．（24-25 八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，E 为AC
上一点，且
8
5
AE =
，AD平分
BAC
交BC 于D．若P 是AD上的动点，则PC
PE
+
的最小值等于 ．
【答案】26
5
【分析】本题考查轴对称−最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．作点
E 关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，连接E P，由对称可得PE
PE
=
，所以
PC
PE
PC
PE
CE
+
=
+
，且当C 、P 、E依次共线时PC
PE
+
的值最小，最小值为CE，作CH
AB
⊥
于
H，利用等面积法和勾股定理求出CE即可．
【详解】解：如图，作点E 关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，连接E P，
由对称可得PE
PE
=
，
∴PC
PE
PC
PE
CE
+
=
+
，且当C 、P 、E依次共线时PC
PE
+
的值最小，最小值为CE，作CH
AB
⊥
于
H．
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∵
90
ACB
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，
∴
2
2
2
2
6
8
10
AB
AC
BC
，
∴
2
2
1
1
ABC
S
AC
B
BC
A
CH
=
=
，
∴AC BC
AB CH
=
，
∴
24
5
AC BC
CH
AB
=
=
，
∴
2
2
2
2
24
18
6
5
5
AH
AC
CH
=
−
=
−
=
，
∴
8
5
AE
AE
=
=
，
∴
2
EH
AH
AE
=
−
= ，
∴
2
2
2
2
24
26
2
5
5
CE
CH
E H
=
+
=
+
=
，
故答案为：26
5 ．
9．（24-25 八年级上·福建福州·期末）如图，点E 在等边三角形ABC 的边BC 上，
4
BE =
，射线CD
BC
⊥
，
垂足为C，P 是射线CD上一动点，F 是线段AB 上一动点，当EP FP
+
的值最小时，
6
BF =
，则AB 的长为
【答案】8
【分析】本题主要考查轴对称—最短路径，等边三角形的性质，含30角的直角三角形的性质，根据题意，
作点E 关于CD的对称点E，连接PE，当点E，P，F 三点共线，EF
AB
⊥
时，EP FP
+
的值最小，由此
即可求解．
【详解】解：如图所示，作点E 关于CD的对称点E′，连接PE，
PE
PE
CE
CE
=
=
，
，
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EP
FP
PE
PF
EF
+
=
+
，
当点E，P，F 三点共线，EF
AB
⊥
时，EP FP
+
的值最小，
ABC
是等边三角形，
60
B
AB
BC
AC
=
=
=
，
，
E F
AB
⊥
，
90
90
60
30
FE B
B
=
−=
−
=
，
2
BE
BF
=
，
6
4
BF
BE
=
=
，
，
2
12
BE
BF
=
=
，
CE
CE
=
，
12
2
2
4
CE
BE
CE
=
+
=
+
，
解得，
4
CE =
，
4
4
8
AB
BC
=
=
+
=
，
故答案为：8．
10．（24-25 七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在
ABC
中，
10,
BA
BC
BD
=
=
是边AC 的中线，E 是边
BD上的动点，F 是边BC 上的动点．若
ABC
的面积为48，则CE
EF
+
的最小值为 ．
【答案】48
5
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，理解转化思想和掌握三角形的面积公式是解题的关键．先根据
轴对称的性质和垂线段最短确定最小值，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】解：过A 作AF
BC
⊥
于F，交BD于E，连接CE ，
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48 /
∵
10,
BA
BC
BD
=
=
是边AC 的中线，
∴BD垂直平分AC ，
∴AE
CE
=
，
∴CE
EF
AE
EF
AF
+
=
+
，
∴CE
EF
+
的最小值即为线段AF 的长，
∵
ABC
的面积为：1
1 10
48
2
2
BC AF
AF
?
醋
=
，
解得：
48
5
AF
，
则CE
EF
+
的最小值为48
5 ，
故答案为：48
5 ．
11．（2025·内蒙古·二模）如图，两条平行线1
2
,
l l 之间的距离为2，线段AB 在2l 上滑动，且
2
AB =
，C 为1l 上
任意一点，则CA CB
+
的最小值为 ．
【答案】2 5
【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质求线段和的最小值，过点B 作点B 关于直线1l 的对称点B，连
接AB交1l 于点C，可得出当点A，C，B三点共线时，CA CB
+
值最小，此时CA CB
AC
B C
AB
+
+
=
，
利用轴对称的性质得出
4
BB=
，
90
ABB
=
，再利用勾股定理即可得出AB．
【详解】解：过点B 作点B 关于直线1l 的对称点B，连接AB交1l 于点C，
当点A，C，B三点共线时，CA CB
+
值最小，此时CA CB
AC
B C
AB
+
+
=
，
根据轴对称的性质可知，
90
ABB
=
，
∵两条平行线1
2
,
l l 之间的距离为2，
∴
4
BB=
，
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49 /
又∵
2
AB =
，
∴
2
2
2
2
2
4
2 5
AB
AB
BB
=
+
=
+
=
，
即CA CB
+
的最小值为：2 5 ，
故答案为：2 5
12．（23-24 八年级上·四川乐山·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
10
AB =
，
24
ABC
S
=
，AD是
BAC
的平分线．若点P 和Q 分别是线段AD和AC 上的动点，则PC
PQ
+
的最小值是 ．
【答案】24
5 /4.8
【分析】本题主要考查了轴对称-最短问题、勾股定理、三角形面积公式等知识点，学会利用轴对称解决最
短问题以及等面积法求线段的长度是解题的关键．
如图：作Q 关于直线AD的对称点Q，过C 作CF
AB
⊥
于F，通过轴对称把问题转化为两点之间线段最短
及垂线段最短，再利用等面积法求解即可．
【详解】解：如图：作Q 关于直线AD的对称点Q，过C 作CF
AB
⊥
于F，
∵AD是
BAC
的平分线
∴点Q在直线AB 上，
∵点Q 和点Q关于直线AD 对称，
∴PQ
PQ
=
，
∴PC
PQ
PC
PQ
+
=
+
，
点Q随着点Q 的运动而运动，当且仅当点Q和点F 重合时PC
PQ
+
有最小值CF ，
在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
10
AB =
，
24
ABC
S
=
，
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∴
1
2
ABC
S
CF AB
=
，即
1
24
10
2 CF
=
，
∴
24
5
CF =
，
∴PC
PQ
+
的最小值24
5 ，即PC
PQ
+
的最小值24
5 ．
故答案为：24
5 ．
题型二：轴对称综合之线段和周长最小问题
1．（23-24 八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，已知
30
AOB
=
，P 是
AOB
内部的一点，且
4
OP =
，
点M ，N 分别是射线OA和射线OB 上的动点，则PMN
的周长的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，对称的性质，两点间线段最短等知识，利用对称性把求三
角形周长的最小值转化为折线段的最小值是解题的关键．
【详解】解：如下图所示，
分别作点P 关于OA，OB 的对称点E ，H ，连接MH ，NE ，EH ，OE ，OH ，
由对称的性质可得：MH=MP，NP=NE，OH=OE=OP=4，∠POA=∠EOA，∠POB=∠HOB，
∵∠AOB=∠POB+∠POA=30°，∴∠HOE=∠POB+∠HOB+∠POA+∠EOA=2(∠POB+∠POA)=60°，
∴△HOE是等边三角形，
∴HE=4，
∴MN+MP+NP=MN+MH+NE≥HE=4，
当M 、N 在线段HE 上时，PMN
的周长的最小，最小值为线段HE 的长，
即最小值为4 ．
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故选：B．
2．（24-25 八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，在四边形ABCD中，
130 ,
90
BAD
B
D
=
=
=
，在BC 、
CD上分别找一点M 、N ，当AMN
的周长最小时，
MAN
的度数为（ ）
A．60
B．70
C．80
D．90
【答案】C
【分析】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，利用
对称作辅助线是解决最短问题的关键．
延长AB 到A使得BA
AB
=
，延长AD到A使得DA
AD
=
，连接AM
，
''
A N ，得出当A、M 、N 、
''
A 依
次共线时，AMN
的周长最小为
''
A A
，此时，推出
(
)
2
AMN
ANM
A
A
+
=
+
，进而得出
MAN
的度
数．
【详解】解：如图，延长AB 到A使得BA
AB
=
，延长AD到A使得DA
AD
=
，连接AM
，
''
A N ，
90
ABC
ADC
=
=
，
∴,
A A关于BC 对称，
,
A A关于CD对称，
,
BA
BA MB
AB
=
⊥
，
MA
MA
=
，
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同理：NA
NA
=
，
AMN
的周长
''
''
MA
NA
MN
MA
NA
MN
A A
=
+
+
=
+
+
，且当A、M 、N 、
''
A 依次共线时，AMN
的周长
最小为
''
A A
，
此时，∵MA
MA
=
，NA
NA
=
，
,
A
MAB
A
NAD
=
=
，
2
,
2
AMN
A
MAB
A
ANM
A
NAD
A
=
+
=
=
+
=
，
(
)
2
AMN
ANM
A
A
+
=
+
，
130
BAD
=
，
180
50
A
A
BAD
+
=
−
=
，
2 50
100
AMN
ANM
+
=
=
，
180
100
80
MAN
=
−
=
，
故选：C．
3．（24-25 七年级下·重庆南岸·期末）如图，点P 位于
AOB
内部，点M 和N 分别在射线OA，OB 上．若
30
AOB
=
，
5
OP =
，点P 到OA的距离为2 ，到OB 的距离为1，则PMN
周长的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】分别作点P 关于OA、OB 的对称点C 、D ，连接OC 、OD 、CM 、DN 、PC 、PD、CD，当点
M 、N 同时在CD上时，PMN
的周长最小．
【详解】解：分别作点P 关于OA、OB 的对称点C 、D ，连接OC 、OD 、CM 、DN 、PC 、PD、CD，
∵点P 关于OA的对称点为C ，
5
OP =
，
30
AOB
=
，
∴PM
CM
=
，
5
OC
OP
=
= ，
COA
POA
=
，
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∵点P 关于OB 的对称点为D ，
∴PN
DN
=
，
5
OD
OP
=
= ，
DOB
POB
=
，
∴
5
OC
OD
OP
=
=
= ，
2
2
2
60
COD
COA
POA
POB
DOB
POA
POB
AOB
=
+
+
+
=
+
=
=
，
∴
COD
△
是等边三角形，
∴
5
CD
OC
OD
=
=
=
，
∴PM
MN
PN
CM
MN
DN
CD
+
+
=
+
+
，
当点M 、N 同时在CD上时取“ = ”，
此时PM
MN
PN
+
+
的值最小，即PMN
的周长最小，最小值为CD的长，为5，
∴PMN
的周长的最小值为5．
故选：C．
4．（24-25 八年级下·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，(
)
0,3
A
，(
)
14,0
B
，(
)
14,2
C
，M ，N
是线段OB 上的两个动点，且
2
MN =
，则AOM
与
NCB
△
周长和的最小值为 ．
【答案】30
【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形性质等知识，作点C 关于OB 的对称点E，作
AT
MN
，使得AT
MN
=
，连接AT
MN
∥
，使得AT
MN
=
，连接TN ，NE，ET ．则(
)
2,3
T
，(
)
14, 2
E
−
，
求出AM
CN
+
的最小值，可得结论．
【详解】解：作点C 关于OB 的对称点E，作AT
MN
∥
，使得AT
MN
=
，连接TN ，NE ，ET ．则(
)
2,3
T
，
(
)
14, 2
E
−
，
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∴
2
2
12
5
13
ET =
+
=
，
∵AT
MN
=
，AT
MN
∥
，
∴四边形ATNM 是平行四边形，
∴AM
TN
=
，
∵E，C 关于OB 对称，
∴NC
NE
=
，
∴
13
AM
CN
TN
NE
TE
+
=
+
=
，
∴AM
CN
+
的最小值为13，
∵
(
)
0,3
A
，
(
)
14,0
B
，
(
)
14,2
C
，
∴
3
OA = ，
14
OB =
，
2
BC =
，
∴
14
OM
MN
BN
+
+
=
，
∴
14
12
OM
BN
MN
+
=
−
=
，
∵AOM
与
NCB
△
的周长的和为：
OA OM
AM
CN
BN
CB
+
+
+
+
+
OA CB
OM
BN
AM
CN
=
+
+
+
+
+
3 2 12
AM
CN
= + +
+
+
17
AM
CN
=
+
+
，
∴AOM
与
NCB
△
的周长的和的最小值为17 13
30
+
=
．
故答案为：30．
5．（24-25 七年级下·上海徐汇·期末）如图，边长为6 的等边
ABC
中，BF 是AC 上的中线且
3 3
BF =
，
点D 在BF 上，连接AD，在AD右侧作等边
ADE
，连接EF ，则
AEF
△
的周长最小值为 ．
【答案】3
3 3
+
/3 3
3
+
【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是证明点E 的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E 的运动轨迹，
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点E 在射线CE 上运动(
)
30
ACE
=
，作点A 关于直线CE 的对称点M，连接FM 交CE 于点E，此时
AE
FE
+
的值最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接CE ，如图所示：
∵
ABC
ADE
△
，△
均为等边三角形，
∴
6
60
AB
AC
AD
AE
BAC
DAE
ABC
=
=
=
=
=
=
，
，
，
∴
60
BAD
DAC
CAE
=
−
=
，
∴
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，
∴
ABD
ACE
=
，
∵
1
3
3 3
2
AF
CF
AC
BF
=
=
=
=
，
，
∴
1
60
30
2
ABD
CBD
ACE
BF
AC
=
=
=
=
⊥
，
，
∴点E 在射线CE 上运动(
)
30
ACE
=
，
作点A 关于直线CE 的对称点M，连接FM 交CE 于点E，连接EM ，
∴AE
FE
EM
FE
+
=
+
，
∵AF 为定值，
∴当AE
FE
+
最小时，
AEF
△
的周长最小，
∵两点之间线段最短，
∴当点E 在点E处时，
AEF
△
的周长最小，且最小值为AF
FM
+
的长，
∵
2
60
CA
CM
ACM
ACE
=
=
=
，
，
∴
ACM
△
是等边三角形，
∴
6
AM
AC
CM
=
=
=
，
∵AF
FC
=
，
∴FM
AC
⊥
，
∴
90
AFB
AFM
=
=
，
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∵AB
AM
=
，
60
BAF
MAF
=
=
，AF
AF
=
，
∴
(
)
SAS
ABF
AMF
≌
，
∴
3 3
FM
BF
=
=
，
∴
AEF
△
周长的最小值是
3 3 3
AF
FE
AE
AF
FM
+
+
=
+
= +
．
故答案为：3
3 3
+
．
6．（24-25 八年级下·贵州毕节·期中）如图，点A 是
45
MON
=
内部一点，且
7
OA =
，分别在边OM ，ON
上各取一点B ，C ，分别连接A ，B ，C 三点组成三角形，则
ABC
最小周长为 ．
【答案】7 2
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点A 关于OM 的对称点A，点A 关于ON 的对称点A，连
接A A
交OM 于B ，交ON 于C ，连接OA、OA，由轴对称的性质可得AB
A B
=
，A C
AC
=
，
7
OA
OA
OA
=
=
=
，AOM
A OM
=
，AON
A ON
=
，从而可得当A、B 、C 、A在同一直线上时，ABC
的周长最小，为A A
，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作点A 关于OM 的对称点A，点A 关于ON 的对称点A，连接A A
交OM 于B ，交ON 于
C ，连接OA、OA，
由轴对称的性质可得：AB
A B
=
，A C
AC
=
，
7
OA
OA
OA
=
=
=
，
AOM
A OM
=
，
AON
A ON
=
，
∴
ABC
的周长
AB
AC
BC
A B
BC
A C
A A
=
+
+
=
+
+
，
∴当A、B 、C 、A在同一直线上时，
ABC
的周长最小，为A A
，
∵
45
MON
=
，
∴
90
A OA
A OM
AOM
AON
A ON
=
+
+
+
=
，
∴
2
2
7 2
A A
OA
OA
=
+
=
，
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∴
ABC
最小周长为7 2 ，
故答案为：7 2 ．
7．（24-25 八年级下·湖北咸宁·期中）如图，四边形ABCD中，AB
DC
，
90
ABC
=
，
5
AB =
，
6
BC =
，
点P 是CD边上一动点，则PAB
周长的最小值为 ．
【答案】18
【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，作点B 关于CD的对称点B，连接AB证明
13
PA
PB
PA
PB
AB
+
=
+
=
，再计算PAB
周长即可．
【详解】解：如图，作点B 关于CD的对称点B，连接AB
5
AB =
，
6
BC
CB
=
= ，
12
BB
=
，
90
ABC
=
，
2
2
2
2
5
12
13
AB
AB
BB
=
+
=
+
=
，
PC
垂直平分线段BB，
PB
PB
=
，
13
PA
PB
PA
PB
AB
+
=
+
=
，
PA
PB
+
的最小值为13，
PAB
的周长最小值为
13 5
18
PA
PB
AB
+
+
=
+ =
．
题型三：轴对称综合之角度问题
1．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，点M 为线
段AD上一动点（点M 不与点
,
A D 重合），连接
,
BM CM ．
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(1)如图1，求证：BM
CM
=
．
(2)过点B 作BE
CM
⊥
，交CM 延长线于点E ．设
ABM
=
．
①如图2，求
MBE
的度数（用含的代数式表示）；
②如图3，当点E 与点D 关于直线BM 对称时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①2②
15
=
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性
质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）根据条件得出
ABC
为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出AD垂直平分线段BC ，根据线
段垂直平分线的性质即可得出结论；
（2）①根据（1）中结论得出
ACM
ABM
=
=
，继而得出
45
MCB
MBC
=
=
−
，最后利用直角三
角形的性质进行求解即可；
②利用轴对称的性质得出
MBD
MBE
=
，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵
90
BAC
=
，AB
AC
=
，
∴
ABC
为等腰直角三角形，
∵AD
BC
⊥
，
根据等腰三角形的三线合一得，
AD垂直平分线段BC ，
∴BM
CM
=
；
（2）解：①∵AB
AC
=
，
ACB
ABC
=
，
由（1）得BM
CM
=
，
MCB
MBC
=
，
∴
ACB
MCB
ABC
MBC
−
=
−
，
即
ACM
ABM
=
=
，
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由（1）得
ABC
为等腰直角三角形，
45
ACB
ABC
=
=
，
45
MCB
MBC
=
=
−
，
∵BE
CM
⊥
，
∴BCE
为直角三角形，
∴
(
)
90
2
MBE
MCB
MBC
=
−
+
=
；
②∵点E 与点D 关于直线BM 对称，
BD
BE
=
，
又BM
BM
=
,
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BDM
BEM
≌
，
∴
MBD
MBE
=
，
∴45
2
−
=
，
解得
15
=
．
2．（24-25 七年级下·吉林长春·期末）综合与实践
【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从
A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦
利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
【模型解决】如图①，小明将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于
直线l 的对称点B，连结AB与直线l 交于点C，点C 就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明
对此进行了说明，以下是说明过程：
如图③，在直线l 上另取任意一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，B C
．
点B 与点B关于直线l 对称，
直线l 是BB的垂直平分线．
CB
=________，C B=________，
AC
CB
AC
+
=
+ = ．
在
AC B
△
中，AB
AC
C B
+
，
AC
CB
AC
C B
+
+
，即
+
AC
CB最小．
“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问
题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________．
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请你完成上面填空．
【模型应用】如图④，在
ABC
中，直线m 是边BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上的动点．若
5
AB =
，
4
AC =
，
7
BC =
，则
APC
△
周长的最小值为________．
【模型拓展】如图⑤，已知
40
MON
=
，P 为
MON
内一定点，OM 上有一点A，ON 上有一点B，当PAB
的周长取最小值时，
APB
的大小是为________度．
【答案】模型解决：CB，C B，CB
AB
，
，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边
模型应用：9
模型拓展：100
【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称
转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值．
模型解决：利用点B 与点B关于直线l 对称，根据垂直平分线性质得CB
CB
=
，C B
C B
=
，将
+
AC
CB转
化为AC
CB
AB
+
=
，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路
径 ．
模型应用：根据题意知点C 关于直线m 的对称点为点B，故当点P 与点D 重合时，AP
CP
+
值的最小，APC
△
周长有最小值，求出AB 长度即可得到结论．
模型拓展：设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P、P，当点A、B 在P P
上时，PAB
周长为
PA
AB
BP
PP
+
+
=
，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出
APB
的度数．
【详解】模型解决：如图③，在直线l 上另取任意一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，B C
．
点B 与点B关于直线l 对称，
直线l 是BB的垂直平分线．
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CB
CB
=
，C B
C B
=
，
AC
CB
AC
CB
AB
+
=
+
=
∴
．
在
AC B
△
中，AB
AC
C B
+
，
AC
CB
AC
C B
+
+
，即
+
AC
CB最小．
“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问
题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B 在直线同侧的问题转
化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决．
故答案为：CB，C B，CB
AB
，
，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边；
模型应用：解：如图，直线m 与AB 交于点D，
∵直线m 垂直平分BC ，
∴B、C 关于直线m 对称，
∴当P 和D 重合时，AP
CP
+
的值最小，最小值等于AB 的长，
∵
5
AB =
，
4
AC =
，
∴
APC
△
周长的最小值是
5
4
9
AB
AC
+
= +
=
．
故答案为：9；
模型拓展：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P′、P″，连接OP、OP、P P
，交OM 、ON 于点A、B，
连接PA、PB ，此时PAB
周长的最小值等于P P
．
由轴对称性质可得，OP
OP
OP
=
=
，
P OA
POA
=
，
P OB
POB
=
，
∴
2
2 40
80
P OP
MON
=
=
=
，
∴
(
)
180
80
2
50
OP P
OP P
=
=
−
=
，
又∵
50
BPO
OP B
=
=
，
50
APO
AP O
=
=
，
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∴
100
APB
APO
BPO
=
+
=
．
故答案为100．
1．（24-25 八年级下·河南开封·阶段练习）过
(4, 2)
A
−
和(
)
2, 2
B −
−
两点的直线一定（ ）
A．垂直于x 轴
B．平行于x 轴
C．经过原点
D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中直线的位置与点坐标的关系，解题的关键是根据两点纵坐标相同判
断直线与x 轴的位置关系．
通过观察A 、B 两点坐标的特征，根据坐标与直线位置关系来判断直线情况．
【详解】
,
A B 两点的纵坐标相等，横坐标不相等，所以过
,
A B 两点的直线一定平行于x 轴．
故选：B．
2．（24-25 八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点(
)
5,2
A −
关于y 轴的对称点的坐标是（ ）
A．(
)
5, 2
−
−
B．(
)
5,2
C．(
)
2,5
−
D．(
)
2, 5
−
−
【答案】B
【分析】本题考查了坐标系中对称的点的坐标变化规律，理解横纵坐标的变化规律是解题关键．根据关于y
轴对称点的坐标特征：横坐标取相反数，纵坐标不变即可求解。
【详解】解：(
)
5,2
A −
关于y 轴的对称点的坐标为：(
)
5,2 ，
故选：B．
3．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点A ，
交y 轴于点B ，再分别以点
,
A B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径画弧，两弧交于点P ，若点P 的坐标为
1
2
,
2
1
a
a
−
+
，则a 的值为（ ）
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A．1
2
B．2
C．1
D．5
【答案】D
【分析】本题考查了作图- 基本作图，每个象限内点的坐标特点，解分式方程以及角平分线的性质，关键是
掌握各象限角平分线上的点的坐标特点横坐标的绝对值= 纵坐标的绝对值．根据基本作图可判断OP 平分
AOB
，则利用第一象限的角平分线上点的坐标特征得到
1
2
2
1
a
a
=
−
+ ，然后解关于a 的分式方程即可．
【详解】解：由作法得OP 平分
AOB
，
即点P 在第一象限的角平分线上，
所以
1
2
2
1
a
a
=
−
+ ，
解得：
5
a =
，
经检验，
5
a =
是原方程的解，且符合题意，
故选：D．
4．
（24-25 八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，若点
(
)
1
,1
A
m
n
+
−
与点(
)
3,2
B −
关于y 轴对称，则m
n
+
的值是（ ）
A．5
−
B．3
−
C．3
D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特
征．根据关于y 轴对称的点的坐标特点：两个点关于y 轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，即
可得出答案．
【详解】解：∵点
(
)
1
,1
A
m
n
+
−
与点(
)
3,2
B −
关于y 轴对称，
∴
1
3
m+ = ，1
2
n
−
=
，
解得：
2
m =
，
1
n = −，
∴
2 1 1
m
n
+
=
−= ．
故选：D．
5．（24-25 八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(
)
3,
A
m 与点(
)
3, 2
B
−
关于x 轴对称，则
点A 关于y 轴的对称点的坐标是（ ）
A．(
)
2,3
B．(
)
3,2
−
C．(
)
3, 2
−
D．(
)
3, 2
−
−
【答案】B
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【分析】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，①关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反
数；②关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据关于x 轴对称的点的规律，关于y 轴对称
的点的规律，可得答案．
【详解】解：∵点(
)
3,
A
m 与点(
)
3, 2
B
−
关于x 轴对称，
∴
2
m =
，
∴点A 坐标为(
)
3,2 ，
∴点A 关于y 轴的对称点的坐标是(
)
3,2
−
，
故选：B．
6．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）如图，定点P 位于
AOB
的内部，在射线OA和OB 上分别确定点M ，
N ，使PM
MN
+
最小，则点M 和点N 的位置应选在（ ）
A．点C 和点E
B．点D 和点E
C．点C 和点F
D．点D 和点F
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题．
利用轴对称的性质进行求解即可．
【详解】解：如图所示，
利用网格找到P 点关于OA的对称点P，连接P E
，交OA于点M ，即为点D ，
点E 即为点N ，此时，PM
PM
=
，PM
MN
+
最小，
故选：B．
7．（24-25 八年级下·广东河源·期末）如图，已知
ABCD
，
90
ABC
=
，顶点(
)
(
)
1,3 ,
1,1 ,
(3,1
A
B
C
），规
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定“把
ABCD
先沿x 轴翻折，再向左平移1 个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024 次变换后，
ABCD
的对角线交点M 的坐标变为（ ）
A．(
)
2022, 2
−
−
B．(
)
2022,2
−
C．(
)
2023, 2
−
−
D．(
)
2023,2
−
【答案】B
【分析】本题主要考查图形变换规律问题，解题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特
征．
先求得M 点坐标，再根据题意列出经过变换后M 点的坐标，然后发现规律即可得解．
【详解】解：∵
ABCD
中，点M 是对角线交点，且
(
)
1,3
A
，
(
)
3,1
C
，
∴
1 3 3 1
,
2
2
M
+
+
，即
(
)
2,2
M
经过1 次变换后M 点的坐标为(
)
1,
2
−
，
经过2 次变换后M 点的坐标为(
)
0,2 ，
经过3 次变换后M 点的坐标为(
)
1,
2
−
−
，
…，
经过n 次变换后M 点的坐标为
(
)
2
,2
1
n
n
−
−
，
则
2024
n =
时，M 点的坐标为
(
)
2024
2
2024,2
1
−
−
，即(
)
2022,2
−
．
故选：B．
8．（24-25 八年级下·湖南郴州·期中）已知点
(
)
,
A a b ，(
)
4,3
B
关于y 轴对称，则a
b
+
= ．
【答案】1
−
【分析】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，代数式求值，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标
规律：
①关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
②关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
小学
初中
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66 /
③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b 的值，然后代入代数式进行计算即可
得解．
【详解】解：点
(
)
,
A a b ，(
)
4,3
B
关于y 轴对称，
4
a
= −，
3
b =
，
4 3
1.
a
b
+
= −+ = −
故答案为：1.
−
9．（25-26 七年级上·全国·课后作业）如图，以长方形ABCD的中心为原点建立坐标系．点A 的坐标是(
)
3,2 ，
则点B 的坐标是 ，点C 的坐标是 ，点D 的坐标是 ．
【答案】 (
)
3, 2
−
(
)
3, 2
−
−
(
)
3,2
−
【分析】本题考查了图形与坐标、轴对称图形的性质，利用数形结合求解是解题的关键．根据关于坐标轴
对称的点的坐标特征，结合图形可得出答案．
【详解】解：如图所示，以长方形ABCD的中心为原点建立坐标系，即长方形ABCD关于坐标轴对称，
∵点A 的坐标是(
)
3,2 ，
∴点B 与点A 关于x 轴对称，则(
)
3, 2
B
−
；
点C 与点B 关于x 轴对称，则
(
)
3, 2
C −
−
．
点D 与点A 关于x 轴对称，则
(
)
3,2
D −
;
故答案为：(
)
3, 2
−
，(
)
3, 2
−
−
，(
)
3,2
−
．
10．（24-25 八年级上·浙江宁波·期中）已知有序数对(
)
,a b 及常数k ，我们称有序数对(
)
,
ka
b a
b
+
−
，为有
序数对(
)
,a b 的“k 阶结伴数对”．如(
)
3,2 的“1 阶结伴数对”为(
)
1 3
2,3
2
+
−
即(
)
5,1 ．若有序数对(
)(
)
,
0
a b
b
与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，则此时k 的值为 ．
【答案】
3
2
−
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67 /
【分析】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，理解新定义并掌握坐标点关于y 轴对称的规律是解题
的关键．根据题目的定义，可求出有序数对(
)
,a b 的“k 阶结伴数对”为 (
)
,
ka
b a
b
+
−
，再利用(
)
,a b 与
(
)
,
ka
b a
b
+
−
关于y 轴对称，得到
0,
a
ka
b
b
a
b
+
+ =
=
-
，联立两个等式即可求出k 的值．
【详解】解：由题意得，有序数对(
)
,a b 的“k 阶结伴数对”为 (
)
,
ka
b a
b
+
−
，
有序数对(
)
,a b （
0
b
）与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，
(
)
,a b
与(
)
,
ka
b a
b
+
−
关于y 轴对称，
0,
a
ka
b
b
a
b
\
+
+ =
=
-
，
(
)
1
0,
2
k a
b
a
b
\
+
+
=
=
，
(
)
2
1
0
b
k
b
\
+
+
=
，
又
0
b
，
(
)
2 1
1
0
k
\
+
+ = ，
解得：
3
2
k = −
．
故答案为：
3
2
−
．
11．（24-25 八年级上·四川广安·阶段练习）已知点(
)
2
,5
A
a
b
a
−
+
，
(
)
2
1,
B
b
a
b
−
−+
；
(1)若点A，B 关于x 轴对称，求a，b 的值；
(2)若点A，B 关于y 轴对称，求(
)
2022
4a
b
+
的值．
【答案】(1)
8
a = −，
5
b = −
(2)1
【分析】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，代数式求值．
（1）根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；
（2）根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b 的值，然后代入代数式
进行计算即可．
【详解】（1）解：∵点A、B 关于x 轴对称，
∴{ 2a−b=2b−1
5+a=−(−a+b)，
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68 /
解得
8
5
a
b
= −
= −
，
∴
8
a = −，
5
b = −；
（2）解：∵点A、B 关于y 轴对称，
∴{2a−b=−(2b−1)
5+a=−a+b
，
解得
1
3
a
b
= −
=
，
∴(
)
(
)
2022
2022
4
4
3
1
a
b
+
= −+
= ．
12．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知
(
)
1,2
A −
，
(
)
3,0
C −
．
(1)若点B 与点A 关于y 轴对称，则点B 的坐标为______；
(2)在平面直角坐标系中画出
ABC
；
(3)
ABC
的面积为______．
【答案】(1)(
)
1,2
(2)见解析
(3)2
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，关于y 轴对称的点的特征等，数形结合是解题的关键．
（1）关于y 轴对称，根据“横坐标互为相反数，纵坐标相等”求解即可；
（2）根据点的坐标在平面直角坐标系中找到相应位置，并依次连接即可；
（3）直接利用三角形面积公式求解即可；
【详解】（1）若点B 与点A 关于y 轴对称，
(
)
1,2
A −
，
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69 /
点B 的坐标为(
)
1,2 ．
故答案为：(
)
1,2 ．
（2）如图所示：
（3）由图知，
1
2 2
2
2
ABC
S
=
=
．
故答案为：2．
13．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(
)
2,4 ，
(
)
1,2 ，(
)
5,3 和(
)
1, 2
−−
．
(1)画出
ABC
关于x 轴对称的
1
1
1
A BC
△
（点
1A ，
1
B 分别是点A ，B 的对应点），并写出点
1
C 的坐标；
(2)在图中的平面直角坐标系中画出点E ，使得以D ，E ，
1A ，
1
B 四点组成的四边形是轴对称图形，且对称
轴是y 轴，并写出点E 的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)见详解，
(
)
2, 4
E −
−
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70 /
【分析】本题考查了轴对称的性质，轴对称和轴对称图形，坐标变换，解题的关键是正确理解坐标系中对
称的性质．
（1）根据轴对称的特征得出点、、
A
B
C 的位置再顺次连接即可得解；
（2）根据轴对称的特征得出点E ，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：
ABC
关于x 轴对称的
1
1
1
A BC
△
，如图1 即为所求；
由图可知，
(
)
1 5, 3
C
−
；
（2）如图2，四边形ABDE 即为所求，
由图可知，
(
)
2, 4
E −
−
．
14．（24-25 七年级下·贵州毕节·期末）如图，在正方形网格中，
ABC
的顶点都在格点上，按下列要求作
图（不写作法，保留作图痕迹）：
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71 /
(1)作出
ABC
关于直线MN 对称的A B C
；
(2)在直线MN 上作一点P，使得PAC
的周长最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了作图-轴对称变换．
（1）首先确定A、B、C 三点关于MN 轴对称的对称点位置，再连接即可；
（2）连接AC交直线MN 于点P，则AP
CP
AP
C P
AC
+
=
+
=
，即可知PAC
的周长最小．
【详解】（1）解：如图所示：A B C
即为所求；
（2）解：如图所示：连接AC交直线MN 于点P，点P 即为所求．
AP
CP
AP
C P
AC
+
=
+
=
，
∴此时AP
CP
+
最小，PAC
的周长
AC
AP
CP
=
+
+
最小，
∴点P 即为所求．
15．（24-25 八年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点分别为
(2,1)
A
，( 1,1)
B −
，
( 1, 1)
C −−
(2, 1)
D
−
，线段MN 在矩形ABCD的外面．给出如下定义：将线段MN 关于直线l 对称，得到线段M N，
若线段M N不在矩形ABCD的外面，则称线段MN 为矩形ABCD关于直线l 的对称线段，线段M N与线段
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72 /
MN 中点间的距离为线段MN 到矩形ABCD的对称距离．
(1)如图，已知点
1( 2,0)
M −
，
1
3 ,1
2
N
−
，
2(0,2)
M
，
2(1,2)
N
在线段
1
1
M N ，
2
2
M N 中，是矩形ABCD关于y 轴
的对称线段的是______，该线段到矩形ABCD的对称距离为______；
(2)过点( ,0)
a
作x 轴的垂线l ．
①已知点
( ,
4)
M m m +
，(
1,
5)
N m
m
+
+
，若存在m ，使线段MN 是矩形ABCD关于直线l 的对称线段，则a 的
取值范围是______；
②已知点
( ,
4
)
M m m
a
+
+
，(
1,
5
)
N m
m
a
+
+ +
，若存在m ，使线段MN 是矩形ABCD关于直线l 的对称线段，
则线段MN 到矩形ABCD的对称距离d 的取值范围是______．
【答案】(1)
1
1
M N ，7
2 ；
(2)①
5
1
2
a
−
−；②5
5
3
d
．
【分析】（1）分别写出
1( 2,0)
M −
，
1
3 ,1
2
N
−
，
2(0,2)
M
，
2(1,2)
N
关于y 轴对称的坐标，即可得出答案，
然后再写出相应的中点坐标，求出其距离即可；
（2）①过点( ,0)
a
作x 轴的垂线l ，那么该直线为x
a
=
，然后写出点
( ,
4)
M m m +
，
(
1,
5)
N m
m
+
+
关于直线
x
a
=
的对称点为
(2
,
4)
M
a
m m
−
+
，
(2
1,
5)
N
a
m
m
−
−
+
，据题意可知，点
( ,
4)
M m m +
，
(
1,
5)
N m
m
+
+
，在
矩形ABCD的外面，
(2
,
4)
M
a
m m
−
+
，
(2
1,
5)
N
a
m
m
−
−
+
在矩形ABCD的内部，那么有0
5
1
m
+ ，那
么有5
4
m
−
−，然后分成
5
m = −和
4
m = −讨论即可得出答案；②点
( ,
4
)
M m m
a
+
+
，
(
1,
5
)
N m
m
a
+
+ +
关
于直线x
a
=
的对称点为
(2
,
4
)
M
a
m m
a
−
+
+
，
(2
1,
5
)
N
a
m
m
a
−
−
+ +
，根据题意可知，点
( ,
4
)
M m m
a
+
+
，
(
1,
5
)
N m
m
a
+
+ +
在矩形ABCD的外面，
(2
,
4
)
M
a
m m
a
−
+
+
，
(2
1,
5
)
N
a
m
m
a
−
−
+ +
，在矩形ABCD的内
部，那么有0
5
1
m
a
+ +
，那么有5
4
a
m
a
−−
−−
，然后分成
5
m
a
= −−
和
4
m
a
= −−
分别讨论出a 的范
围，进而得到d 的范围．
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73 /
【详解】（1）解：由题意可知，
1( 2,0)
M −
，
1
3 ,1
2
N
−
，关于y 轴对称的坐标分别为
3(2,0)
M
，
3
3 ,1
2
N
，
3
3
M N 在矩形ABCD的内部，
2(0,2)
M
，
2(1,2)
N
关于y 轴对称的坐标分别为
4(0,2)
M
，
(
)
4
1,2
N
−
，
4
4
M N 不
在矩形ABCD的内部， 那么矩形ABCD关于y 轴的对称线段的是
1
1
M N ，如图所示：
那么
1
1
M N 、
3
3
M N 的中点为
3
2
0 1
2
(
,
)
2
2
−−
+
，
3
2
1
2
(
, )
2
2
+
，即
7 1
(
, )
4 2
−
、7 1
( , )
4 2 ，
那么
7 1
(
, )
4 2
−
、7 1
( , )
4 2 之间的距离为7
7
7
(
)
4
4
2
−−
=
，该线段到矩形ABCD的对称距离为7
2 ，
故答案为：
1
1
M N ，7
2 ；
（2）解：①过点( ,0)
a
作x 轴的垂线l ，那么该直线为x
a
=
，
点
( ,
4)
M m m +
，
(
1,
5)
N m
m
+
+
关于直线x
a
=
的对称点为
(2
,
4)
M
a
m m
−
+
，
(2
1,
5)
N
a
m
m
−
−
+
，
根据题意可知，点
( ,
4)
M m m +
，
(
1,
5)
N m
m
+
+
，在矩形ABCD的外面，
(2
,
4)
M
a
m m
−
+
，
(2
1,
5)
N
a
m
m
−
−
+
在矩形ABCD的内部，
那么有0
5
1
m
+ ，那么有5
4
m
−
−，
那么当
5
m = −时，M 点为( 5, 1)
−
−
，( 4,0)
−
N
，
(2
5,
4)
M
a
m
+
+
，
(2
4,
5)
N
a
m
+
+
，为保证
(2
5,
4)
M
a
m
+
+
，
(2
4,
5)
N
a
m
+
+
在矩形ABCD的内部，如图所示：
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74 /
那么需要满足1
2
4
1
a
−
+
，即
5
3
2
2
a
−
−
，
那么当
4
m = −时，M 点为( 4,0)
−
，( 3,1)
N −
，
(2
4,0)
M
a
+
，
(2
3,1)
N
a
+
，为保证
(2
4,0)
M
a
+
，
(2
3,1)
N
a
+
在矩形ABCD的内部，如图所示：
那么需要满足1
2
3 1
a
−
+ ，即2
1
a
−
−，
综上，
5
1
2
a
−
−；
故答案为：
5
1
2
a
−
−；
②过点( ,0)
a
作x 轴的垂线l ，那么该直线为x
a
=
，
点
( ,
4
)
M m m
a
+
+
，
(
1,
5
)
N m
m
a
+
+ +
关于直线x
a
=
的对称点为
(2
,
4
)
M
a
m m
a
−
+
+
，
(2
1,
5
)
N
a
m
m
a
−
−
+ +
，
根据题意可知，点
( ,
4
)
M m m
a
+
+
，
(
1,
5
)
N m
m
a
+
+ +
在矩形ABCD的外面，
(2
,
4
)
M
a
m m
a
−
+
+
，
(2
1,
5
)
N
a
m
m
a
−
−
+ +
，在矩形ABCD的内部，
那么有0
5
1
m
a
+ +
，那么有5
4
a
m
a
−−
−−
，
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那么当
5
m
a
= −−
时，M 点为( 5
, 1)
a
−−
−
，( 4
,0)
N
a
−−
，
(3
5, 1)
M
a
+
−
，
(3
4,0)
N
a
+
，为保证
(3
5, 1)
M
a
+
−
，
(3
4,0)
N
a
+
在矩形ABCD的内部，如图所示：
那么需要满足1
3
4
1
a
−
+
，即
5
1
3
a
−
−，
此时，M 点为( 5
, 1)
a
−−
−
，
( 4
,0)
N
a
−−
的中点为
9
1
(
,
)
2
2
a
−
−
−
，
(3
5, 1)
M
a
+
−
，
(3
4,0)
N
a
+
的中点为
9
1
(
3 ,
)
2
2
a
+
−
，则线段MN 到矩形ABCD的对称距离d 为9
9
3
(
)
4
9
2
2
a
a
a
+
−−
−
=
+
，那么4
5
d
；
那么当
4
m
a
= −−
时，M 点为( 4
,0)
a
−−
，
( 3
,1)
N
a
−−
，
(3
4,0)
M
a
+
，
(3
3,1)
N
a
+
，为保证
(3
4,0)
M
a
+
，
(3
3,1)
N
a
+
在矩形ABCD的内部，如图所示：
那么需要满足1
3
3 1
a
−
+ ，即
4
2
3
3
a
−
−
，
此时，M 点为( 4
,0)
a
−−
，( 3
,1)
N
a
−−
的中点为
7
1
(
, )
2
2
a
−
−
，
(3
4,0)
M
a
+
，
(3
3,1)
N
a
+
的中点为7
1
(
3 , )
2
2
a
+
，
则线段MN 到矩形ABCD的对称距离d 为7
7
3
(
)
4
7
2
2
a
a
a
+
−−
−
=
+
，那么5
13
3
3
d
；
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综上，5
5
3
d
；
则线段MN 到矩形ABCD的对称距离d 的取值范围是5
5
3
d
；
故答案为：5
5
3
d
．
