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专题01 一次函数的图象和性质
（题型突破·举一反三）
题型01 一次函数中k 和b 的作用
题型02 根据一次函数图象或性质求参数
题型03 多个一次函数图象共存问题
题型04 一次函数图象的平移
题型05 一次函数中的将军饮马问题
▌题型01 一次函数中k 和b 的作用
【典例1】
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关
键．根据一次函数解析式中k、b 的符号可判断选项A、D；令
0
y =
，求得
1
x = ，则可判断选项B；根据图
象的升降可判断C，最后可确定错误的选项．
【详解】解：
1
0
1
0
k
b
= −
=
，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，且函数值y 随自变量x 的增大而减小；
故A、D 两个选项正确；
令
1
0
y
x
= −+ =
，得
1
x = ，
即图象与x 轴交于点(1 0)
，，
故选项B 正确；
由于图象从左往右是下降的，故当
1
x 时，
0
y
，
故选项C 错误；
故选：C．
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【变式1-1】
【答案】四
【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点位于的象限，根据函数增减性可知
0
k
，从而得到
0
k
−
，
通过点在象限的特征进行判断即可．
【详解】解：正比例函数y
kx
=
中，y 的值随着x 值的增大而增大，
0
k
，
0
k
−
∴
，
则点(3,
)
k
−
在第四象限，
故答案为：四．
【变式1-2】
【答案】2
【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得𝑚的值是解题的关键，注意利用
图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得𝑚的值，再由图象的位置进行取舍，可求得𝑚的值．
【详解】解：∵函数𝑦= (𝑚+ 1)𝑥𝑚2−3是正比例函数，
∴𝑚2 −3 = 1，
解得𝑚= ±2，
∵图象经过第一、三象限，
∴𝑚+ 1 > 0，
∴𝑚> −1，
∴𝑚= 2．
故答案为：2．
【变式1-3】
【答案】＞
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质等知识点，掌握正比例函数的性质成为解题的关键．
根据正比例函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵−2 < 0，
∴y 随x 的增大而减小，
∵点𝐴(−2，𝑦1)，𝐵(−1，𝑦2)都在正比例函数𝑦= −2𝑥的图象上，且−2 < −1，
∴𝑦1 > 𝑦2．
故答案为：＞．
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【变式1-4】
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数中k 值的大小比较，解题的关键是作直线
1
x = 与已知直线产生交点，将k 值
转为交点的纵坐标．作直线
1
x = 与两直线分别交于A，B 两点，将k 值的大小比较转化为A，B 两点的纵坐
标大小比较．
【详解】如下图所示，作直线
1
x = 与两直线分别交于A，B 两点，易得(
)
1
1
A ,k ，
(
)
2
1
B
,k
，
由图知，
A
B
y
y
，即
1
2
k
k
．
故选：A．
【变式1-5】
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可．
【详解】解：A、由函数
3
y
x
= −
可知，当
0
x =
时，
0
y =
，则图象经过点(
)
0,0 ，该选项错误；
B、由函数
3
y
x
= −
可知，当
3
0
k = −
时，则y 随x 的增大而减小，该选项错误；
C、由函数
3
y
x
= −
可知，当
1
x = 时，=
3
y −
，该选项错误；
D、由于函数
3
y
x
= −
，
3
0
k = −
，则函数图象经过第二、四象限正确；
故选：D．
【变式1-6】
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵
2
1
y
x
= −
+ ，2
0,1
0
−
，
∴函数图象经过一、二、四象限，y 随x 的增大而减小，
当
0
x =
时，
1
y = ，
∴当
0
x
时，
1
y ，当
0
x
时，
1
y ，图象必过点(
)
0,1 ；
综上：只有选项B 成立；
故选B．
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【变式1-7】
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线
1
1
1
y
k x
b
=
+
与直线
2
2
2
y
k x
b
=
+
平行，那么
1
2
1
2
,
k
k b
b
=
．根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平行
时，k 值相同而b 值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D．
【详解】解：A、一次函数
3
1
y
x
m
=
+
−中，
∵
3
0
k =
，
∴y 随x 的增大而增大，故本选项说法正确；
B、当
1
m 时，
1
0
m−
，一次函数
3
1
y
x
m
=
+
−与
3
y
x
=
的图象是两条平行线，故本选项说法正确；
C、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限，
1
0
m−
，即m
1
，故本选项说法错误；
D、一次函数
3
1
y
x
m
=
+
−中，
∵
3
0
k =
，
∴不论m 取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确．
故选：C．
【变式1-8】
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与𝑘、𝑏的值有关是解题的关键．根据一次
函数的性质：𝑘> 0，y 随x 的增大而增大；𝑘< 0，y 随x 的增大而减小，进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑘，y 随x 的增大而增大，
∴𝑘> 0，
∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【变式1-9】
【答案】二
【分析】本题考查了一次函数的性质；根据一次函数的性质和图象，即可求解．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，𝑦随𝑥的增大而增大，且𝑘𝑏< 0，
∴𝑘> 0, 𝑏< 0，
∴函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【变式1-10】
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【答案】C
【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数𝑦= −𝑥+ 𝑏中的𝑘= −1 <
0可得出y 随x 的增大而减小，根据−1 < −
1
3 < 2可得出𝑦2 > 𝑦1 > 𝑦3．
【详解】解：∵一次函数𝑦= −𝑥+ 𝑏中的𝑘= −1 < 0，
∴y 随x 的增大而减小，
∵−1 < −
1
3 < 2，
∴𝑦2 > 𝑦1 > 𝑦3，
故选：C．
【变式1-11】已知一次函数𝑦=
5
3 𝑥+ 2，当−3 ≤𝑥≤3时，y 的最大值等于 ．
【答案】7
【分析】根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】∵一次函数𝑦=
5
3 𝑥+ 2中，
5
3 > 0，
∴y 随x 的增大而增大，
∵−3 ≤𝑥≤3，
∴当𝑥= 3时，y 有最大值，最大值为
5
3 × 3 + 2=7，
故答案为：7．
▌题型02 根据一次函数图象或性质求参数
【典例2】
【答案】2
3
m
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b 的关系．根据一次函数图象与系数的关系
得到
2
0
m−
，3
9
0
m−
，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】∵一次函数
(
)
2
3
9
y
m
x
m
=
−
+
−
的图象经过第一、三、四象限，
∴
2
0
m−
，3
9
0
m−
，
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解得2
3
m
，
故答案为：2
3
m
．
【变式2-1】
【答案】1
−（答案不唯一，任意负数均可）
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当
0
k ，
0
b
时，一次函数y
kx
b
=
+
的图象在
一、三、四象限是解答此题的关键．
先根据一次函数
2
y
bx
= −
−的图象经过一、三、四象限判断出b 的符号，再写出符合条件的b 的值即可．
【详解】解：∵一次函数
2
y
bx
= −
−的图象经过一、三、四象限，
∴
0
b
−
，
∴
0
b
∴b 可以等于1
−（答案不唯一）．
故答案为：1
−（答案不唯一）．
【变式2-2】
【答案】D
【分析】正比例函数的解析式为𝑦= 𝑘𝑥，其中𝑘≠0，据此求解．
【详解】解：∵ 𝑦= (𝑚−1)𝑥+ 𝑛是正比例函数，
∴ 𝑚−1 ≠0且𝑛= 0，
∴ 𝑚≠1且𝑛= 0．
故选D．
【变式2-3】
【答案】
0
k
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的增减性列出关于k 的不等式即可．
【详解】解：∵函数
1
y
kx
=
−的y 值随x 的增大而减小，
∴
0
k
，
故答案为：
0
k
．
【变式2-4】
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵𝑦= (2𝑚−1)𝑥𝑛+3 + (𝑚−5)是关于x 的一次函数，
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∴{ 𝑛+ 3 = 1
2𝑚−1 ≠0
，
解得：{
𝑛= −2
𝑚≠
1
2
，
故选：C．
【变式2-5】
【答案】2
4
m
−
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，当
0,
0
k
b
时，函数图象经
过一、二、三象限，当
0,
0
k
b
时，函数图象经过一、三、四象限，当
0,
0
k
b
时，函数图象经过一、
二、四象限，当
0,
0
k
b
时，函数图象经过二、三、四象限．
依据一次函数
(
)
4
2
y
m
x
m
=
−
+
+
的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项
不小于零，进而得到的m 取值范围．
【详解】解：一次函数
(
)
4
2
y
m
x
m
=
−
+
+
的图象不经过第三象限，
4
0
2
0
m
m
−
+
解得：2
4
m
−
．
故答案为：2
4
m
−
．
【变式2-6】
【答案】
4
3
k
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
先根据题意得出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．
【详解】解：∵当
1
2
x
x
时，
1
2
y
y
，
∴4 3
0
k
−
，
解得
4
3
k
．
故答案为：
4
3
k
．
【变式2-7】
【答案】3
2
【分析】本题考查一次函数的性质，分
0
k 和
0
k
，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可．
【详解】解：当
0
k 时，y 随x 的增大而增大，
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∴当
4
x = 时，
4
1
5
y
k
=
−=
，解得：
3
2
k =
，
当
0
k
时，y 随x 的增大而减小，
∴当
2
x =
时，
2
1
5
y
k
=
−=
，解得：
3
k = （舍去）；
故答案为：3
2 ．
【变式2-8】
【答案】﹣1
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到：2m﹣1＞0，由此求得m 的取值范围，然后写出m 的一个值．
【详解】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+1 的值都是随x 的增大而减小，
∴2m﹣1＜0，
∴m＜1
2．
∴m＝﹣1 符合题意．
故答案为：﹣1．
【变式2-9】
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数的
符号，进而求解m 的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数
(
)
2
y
m
x
=
−
的图象经过二、四象限，
∴
2
0
m−
，
解得
2
m
．
故选：C．
【变式2-10】
【答案】(1)当
0
m
，n 为任意数时，y 随x 的增大而增大
(2)当
0,
0
m
n
=
时，函数图象经过原点
(3)若图象经过第一、二、三象限，
0,
0
m
n
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数图象的性质解答．
（1）根据一次函数y
kx
b
=
+
，
0
k 时，y 随x 的增大而增大，可得答案；
（2）根据一次函数y
kx
b
=
+
，
0
b =
且
0
k
时，函数的图象经过原点，可得答案；
（3）根据一次函数y
kx
b
=
+
，
0
k ，
0
b
时，函数的图象经过第一、二、三象限，可得答案．
【详解】（1）解：当
0
m
，n 为任意数时，y 随x 的增大而增大；
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（2）解：当
0,
0
m
n
=
时，函数图象经过原点；
（3）解：若图象经过第一、二、三象限，
0,
0
m
n
▌题型03 多个一次函数图象共存问题
【典例3】
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据b 的正负判断一次函数图象所经过的象
限．根据一次函数图象与系数的关系分析即可解答．
【详解】解：当𝑏> 0时，
一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏的图象经过第一、二、三象限；
一次函数𝑦= 𝑏𝑥+ 3的图象经过第一、二、三象限；
当𝑏< 0时，
一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏的图象经过第一、三、四象限；
一次函数𝑦= 𝑏𝑥+ 3的图象经过第一、二、四象限；
显然只有A 选项符合题意．
故选：A．
【变式3-1】
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是数形结合．
依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可．
【详解】解：若正比例函数𝑦= 𝑎𝑥的图象从左往右下降，则𝑎< 0，此时，一次函数𝑦= 𝑥+ 𝑎的图象与y 轴
交于负半轴，且从左往右上升，故A 选项错误，B 选项正确；
若正比例函数𝑦= 𝑎𝑥的图象从左往右上升，则𝑎> 0，此时，一次函数𝑦= 𝑥+ 𝑎的图象与y 轴交于正半轴，
且从左往右上升，故D 选项错误；而C 选项不合题意．
故选：B．
【变式3-2】
【答案】①④
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【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数
和一次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：因为正比例函数𝑦1 = 𝑎𝑥经过一、三象限，
所以𝑎> 0，故①正确；
一次函数𝑦2 = −
1
2 𝑥+ 𝑏经过一、二、四象限，
所以𝑏> 0，故②错误；
由图像可得，当𝑥 ＜ 0时，𝑦2 > 𝑦1
故③错误；
正比例函数𝑦1 = 𝑎𝑥与一次函数𝑦2 = −
1
2 𝑥+ 𝑏的图象交于点𝑃
则𝑎× 2 = −
1
2 × 2 + 𝑏
则𝑏−2𝑎= 1
故④正确；
故答案为：①④
【变式3-3】
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b 的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根
据一次函数𝑦= 𝑥+ 𝑎−1的图象经过第二象限，可以得到𝑎−1 > 0，从而可以得到a 的取值范围，然后即可
得到一次函数𝑦= 𝑎𝑥−𝑎经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑥+ 𝑎−1的图象经过第二象限，
∴𝑎−1 > 0，
解得𝑎> 1，
∴−𝑎< −1，
∴一次函数𝑦= 𝑎𝑥−𝑎的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
【变式3-4】
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的图象和性质，分m、n 同正，同负，一正一负，分别判断出正
比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得出答案．
【详解】解：①当
0
mn
时，m、n 同号，y
mnx
=
过一、三象限，
m，n 同正时，y
mx
n
=
+
经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限；
②当
0
mn
时，m、n 异号，y
mnx
=
过二、四象限，
0
m
，
0
n
时，y
mx
n
=
+
经过一、三、四象限；
0
m
，
0
n
时，y
mx
n
=
+
过一、二、四象限；
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结合各选项可知D 正确，
故选：D．
【变式3-5】
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象；
分
0
m
和
0
m
，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可．
【详解】解：当
0
m
时，函数
(
)
0
y
mx m
= −
过二、四象限，函数
2
y
x
m
=
+
过一、二、三象限，选项B 中
函数图象符合；
当
0
m
时，函数
(
)
0
y
mx m
= −
过一、三象限，函数
2
y
x
m
=
+
过一、三、四象限，均不符合；
故选：B．
【变式3-6】
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数的图象确定两个函数经过的象限及升降，即可作
出判断．
【详解】解：∵y
kx
=
和y
x
k
=
+
（k 为常数，
0
k
），
∴函数y
kx
=
过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数y
x
k
=
+
的图象经过一，三、四，且图
象是上升的，
故A、B、C 不合题意，
D 选项符合题意；
故选：D．
【变式3-7】
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题．分
0
k
和
0
k
两种情况讨论：当
0
k
时，分析两函数图像经过的象限；
0
k
时，再分析两函数图像经过的
象限，即可获得答案．
【详解】解：分两种情况：
①当
0
k
时，正比例函数y
kx
=
的图像过原点，且过第一、三象限，
而一次函数y
x
k
=
−
的图像经过第一、三、四象限，无选项符合；
②当
0
k
时，正比例函数y
kx
=
的图像过原点、且过第二、四象限，
而一次函数y
x
k
=
−
的图像经过第一、二、三象限，选项D 符合．
故选：D．
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【变式3-8】
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y1＝ax+b 图象分析可得a、b 的符号，进而可得﹣
ab 的符号，从而判断y2＝﹣abx 的图象是否正确，进而比较可得答案．
【解答】解：A、由图象可知a＜0，b＞0，
∴﹣ab＞0，
由正比例函数y2＝﹣abx 经过二四象限，则﹣ab＜0，矛盾，不正确，不符合题意；
B、由一次函数图象可知a＞0，b＞0，
∴﹣ab＜0，
由正比例函数经过二四象限，则﹣ab＜0，正确，符合题意；
C、由一次函数图象可知a＞0，b＜0，
∴﹣ab＞0，
由正比例函数经过二四象限，则﹣ab＜0，矛盾，不正确，不符合题意；
D、没有正比例函数图象，不正确，不符合题意；
故选：B．
【变式3-9】
【答案】B
【分析】根据图象分别确定𝑘的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．
【详解】解：根据图象知：
A、𝑘< 0，则−𝑘> 0，正比例函数的图象不对，不符合题意；
B、𝑘> 0，则−𝑘< 0．图象正确，符合题意；
C、当𝑘> 0，𝑦= 𝑥+ 𝑘过一、二、三象限，不符合题意；
D、正比例函数的图象不对，不符合题意；
故选：B．
【变式3-10】
【答案】D
【分析】利用正比例函数的图象和一次函数的图象逐一判断即可求解．
【详解】解：①、由正比例函数图象得：𝑚𝑛< 0，由一次函数图象得：𝑚> 0，且𝑛> 0，则𝑚𝑛> 0，则
①错误，故不符合题意；
②、由正比例函数图象得：𝑚𝑛< 0，由一次函数图象得：𝑚> 0，且𝑛< 0，则𝑚𝑛< 0，则②正确，故符
合题意；
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③、由正比例函数图象得：𝑚𝑛> 0，由一次函数图象得：𝑚> 0，且𝑛< 0，则𝑚𝑛< 0，则③错误，故不
符合题意；
④、由正比例函数图象得：𝑚𝑛> 0，由一次函数图象得：𝑚< 0，且𝑛< 0，则𝑚𝑛> 0，则④正确，故符
合题意，
故选D．
▌题型04 一次函数图象的平移
【典例4】
【答案】
2
3
y
x
=
+
【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点
是解题的关键．
【详解】解：正比例函数
2
y
x
=
的图象向上平移3 个单位长度后得到函数图象的解析式为：
2
3
y
x
=
+ ，
故答案为：
2
3
y
x
=
+ ．
【变式4-1】
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可．
【详解】解：将直线1 :
l
y
x
m
= −+
向下平移1 个单位长度得2 :
1
l
y
x
m
= −+
−，
∵2 :
1
l
y
x
= −+ ，
∴
1 1
m−= ，解得
2
m =
，
故答案为：2．
【变式4-2】
【答案】
2
1
y
x
=
+
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将一次函数
2
4
y
x
=
−
的图象先向左平移4 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，所得到的
图象对应的函数表达式是
(
)
2
4
4
3
2
1
y
x
x
=
+
−
−
=
+ ，
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故答案为：
2
1
y
x
=
+ ；
【变式4-3】
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，根据平移的性质可得平移后的解析式为
(
)
2
4
y
x
m
=
+
−
，再结
合正比例函数图像过原点可得答案．
【详解】解：将一次函数
2
4
y
x
=
−
的图像向左平移m 个单位长度后，
得到
(
)
2
4
y
x
m
=
+
−，
把(
)
0,0 代入，
得
(
)
0
2 0
4
m
=
+
−
，
解得
2
m =
，
故选C．
【变式4-4】
【答案】
3
10
y
x
=
+
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将一次函数
3
2
y
x
=
+
的图像先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的函数
解析式为：
(
)
3
3
2 1
y
x
=
+
+
−，即
3
10
y
x
=
+
，
故答案为：
3
10
y
x
=
+
．
【变式4-5】
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．根
据一次函数图象平移规律即可得到𝑏−2 < 0，根据一次函数性质判断即可．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过第一、二、三象限，
∴𝑘> 0, 𝑏> 0，
∵把其图象向下平移2 个单位长度，则图象经过第一、三、四象限，
∴𝑏−2 < 0，解得𝑏< 2，
∴0 < 𝑏< 2．
故选：B．
【变式4-6】
【答案】𝑦= 3𝑥−24
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【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移变换规律是解题关键．根据一次函
数图象的平移变换规律即可得．
【详解】解：将抛物线𝑦= 3𝑥−4向上平移4 个单位长度，再向右平移8 个单位长度，则平移后的抛物线的
解析式为𝑦= 3(𝑥−8) −4 + 4，即𝑦= 3𝑥−24，
故答案为：𝑦= 3𝑥−24．
【变式4-7】
【答案】4
【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数上点的坐标特征，三角形的面积，计算OA和OB 的长是解
本题的关键．利用平移的规律求得平移后的直线解析式，然后分别计算
0
x =
和
0
y =
时对应的值，可得OA和
OB 的值，根据AOB
的面积为2，列方程可得结论．
【详解】解：直线
4
y
x
=
沿y 轴向上平移a 个单位长度后，得到直线
4
y
x
a
=
+
，
当
0
y =
时，0
4x
a
=
+
，
∴
4
a
x = −
，
∵直线
4
y
x
a
=
+
与x 轴交于点A，
∴
4
4
a
a
OA = −
=
，
当
0
x =
时，y
a
=
，
∴OB
a
=
，
∵AOB
的面积为2，
∴1
2
2
4
a
a
=
，
∴
4
a =
（负值舍去）．
故答案为：4．
▌题型05 一次函数中的将军饮马问题
【典例5】
【答案】(0，1)
【分析】作点M 关于y 轴对称的点M′，连接M′N 交y 轴于点P，则此时PM+PN 的值最小，利用一次
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函数图象上点的坐标特征可求出点A，B 的坐标，结合M、N 分别是AB、OA 的中点，可得出点M，
N 的坐标，由点M′与点M 关于y 轴对称可得出点M′的坐标，由点M′，N 的坐标，利用待定系数法可
求出直线M′N 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标．
【详解】解：作点M 关于y 轴对称的点M′，连接M′N 交y 轴于点P，则此时PM+PN 的值最小.
当x=0 时，y=2×0+4=4，
∴点B 的坐标为(0，4)；
当y=0 时，2x+4=0，解得：x=-2，
∴点A 的坐标为(-2，0)．
∵M、N 分别是AB、OA 的中点，
∴点M 的坐标为(-1，2)，点N 的坐标为(-1，0)，
∴点M′的坐标为(1，2)．
设直线M′N 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将M′(1，2)，N(-1，0)代入y=kx+b 得：
{ 𝑘+ 𝑏= 2
−𝑘+ 𝑏= 0，
解得：{𝑘= 1
𝑏= 1，
∴直线M′N 的解析式为y=x+1．
当x=0 时，y=0+1=1，
∴点P 的坐标为(0，1)．
故答案为：(0，1)．
【变式5-1】
【答案】5√2
【分析】根据点的对称性，可OE=OP=OF=5，∠EOA=∠POA，∠POB=∠FOB，AP=AE，BP=BF；根据
两点之间线段最短，可判断三角形周长最小时的值；根据正比例函数的性质，可得∠AOB=45°；根据勾
股定理即可求解.
【详解】解：作点P 关于OA 和OB 的对称点分别为E 和F，连接EF，作OH⊥EF 交EF 于点H，如下
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图：
∵点P 关于OA 和OB 的对称点分别为E 和F
∴OE=OP=OF=5，∠EOA=∠POA，∠POB=∠FOB，AP=AE，BP=BF
∵三角形PAB 的周长=PA+PB+AB=AE+BF+AB
∴当E、A、B、P 四点共线时，三角形的周长最小，此时三角形PAB 的周长=EF
∵∠EOA=∠POA，∠POB=∠FOB
∴∠EOF=2∠AOB
∵点A（m，m）在直线y=x 上
∴∠AOB=45°
∴∠EOF=90°
∴EF=√52 + 52 = 5√2
故答案为：5√2.
【变式5-2】
【答案】B
【分析】作点D 关于x 轴对称的点𝐷′，连接𝐶𝐷′交x 轴于点P，此时𝑃𝐶+ 𝑃𝐷的值最小，先利用待定系
数法求出直线𝐶𝐷′的解析式，再将y=0 代入𝑦= −4
3 𝑥−2求出x 的值，即可得到点P 的坐标。
【详解】解：由题意可知：
∵直线𝑦= 2
3 𝑥+ 4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B，
∴𝐴(−12，0)，𝐵(0，4)，
∵C 在直线𝑦= 2
3 𝑥+ 4，且𝐶(𝑚，2)，
∴2
3 𝑚+ 4 = 2，解之得：𝑚= −3，即𝐶(−3，2)，
∵点D 为线段𝑂𝐵的中点，
∴𝐷(0，2)即：𝐶𝐷= 3，
∵△𝑃𝐶𝐷的周长= 3 + 𝑃𝐶+ 𝑃𝐷，
∴若想使三角形周长最小，则需𝑃𝐶+ 𝑃𝐷的值最小，
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作点D 关于x 轴对称的点𝐷′，连接𝐶𝐷′交x 轴于点P，此时𝑃𝐶+ 𝑃𝐷的值最小，
∵𝐶(−3，2)，𝐷′(0，−2)，
设直线𝐶𝐷′的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
利用待定系数法可得{−3𝑘+ 𝑏= 2
𝑏= −2
，解之得：{𝑘= 4
−3
𝑏= −2
∴直线𝐶𝐷′的解析式为𝑦= −4
3 𝑥−2，
令𝑦= 0，得𝑥= −3
2，即𝑃(−3
2 ，0)，
故答案为：B．
