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5.3 一次函数的意义
题型一：判断是否为一次函数
1．(25-26 八上·宁夏银川第三中学·期中)下列函数：①y=
x
6；②y=
4
x；③y=3−
1
2 x；④y=−√3x；⑤y=x2−2x−1，
其中是一次函数的有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如 y=kx+b（k≠0）的函数是一次函数，
逐一判断各函数是否符合.
【详解】∵ 一次函数的一般形式为 y=kx+b（k≠0），
① y=
x
6 =
1
6 x+0，符合定义；
② y=
4
x，分母含自变量 x，不是整式，不符合定义；
③ y=3−
1
2 x=−
1
2 x+3，符合定义；
④ y=−√3x=−√3x+0，符合定义；
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⑤ y=x2−2x−1，最高次项为2 次，不符合定义；
∴ 是一次函数的有①、③、④，共3 个.
故选：C.
2．下列函数中，y 是x 的一次函数的是（ ）
A．y=3x
B． y=−
2
x
C．y=
1
x +5
D．y=x2−3x+5
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b，（k 为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．
根据一次函数的定义判断即可．
【详解】解：A.y=3x是一次函数，符合题意；
B.y=−
2
x不是一次函数，不符合题意；
C.y=
1
x +5不是一次函数，不符合题意；
D.y=x2−3x+5不是一次函数，不符合题意；
故选：A．
3．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A．y=−4x
B．y=4x2+6
C．y=
1
2 x−1
D．y=5−
3
x
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b 为常数，k≠0，自
变量次数为1；正比例函数的定义是形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，其中k 叫做比例系数．正比例函数
一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. y=−4x是正比例函数，是一次函数，不符合题意；
B. y=4x2+6不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意；
C. y=
1
2 x−1不是正比例函数，是一次函数，符合题意；
D. y=5−
3
x不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意；
故选：C．
4．(24-25 八下·河北廊坊第十六中学·月考)下列函数为一次函数的有（ ）
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①y=x+6；②y−x=−2(x+1)；③y=−x2+4x−1；④y=4x．
A．①②④
B．①③
C．①②
D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的函数是一次函
数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：①y=x+6是一次函数，符合题意；
②y−x=−2(x+1)，即y−x=−2x−2，则y=−x−2是一次函数，符合题意；
③y=−x2+4x−1不是一次函数，不符合题意；
④y=4x是一次函数，符合题意；
∴一次函数的有①②④，
故选：A．
5．(24-25 八下·上海浦东新区川沙中学·期末)下列四个函数中属于一次函数的是（ ）
A．y=
1
x (x≠0)
B．y=
1
2 +x
C．y=x2+1
D．y=1
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如y=kx+b(k≠0)，k，b为常数，
则y是x的一次函数，由一次函数的定义可得答案．
【详解】解：A、y=
1
x不是一次函数，故不符合题意；
B、y=
1
2 +x是一次函数，故符合题意；
C、y=x2+1不是一次函数，故不符合题意；
D、y=1不是一次函数，故不符合题意；
故选：B．
6．有下列五个式子：①y=
2x
3 ；②y=
2
3x；③y=−x+1；④y=
1
2 (x−3)；⑤y=2x2+1．其中，表示y 是x 的一次函
数的有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k，b 为常数，k≠0，自变量次数
为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：①y=
2x
3 ，变形为y=
2
3 x+0，符合一次函数的定义，
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②y=
2
3x不符合一次函数的定义，
③y=−x+1符合一次函数的定义，
④y=
1
2 (x−3)，变形为y=
1
2 x−
3
2，符合一次函数的定义，
⑤y=2x2+1不符合一次函数的定义，
综上，表示y 是x 的一次函数的有①③④，共3 个，
故选：C．
题型二：根据一次函数的定义求参数
1．(25-26 八上·山东济南育英中学教育集团·月考)已知y=(k−1)x|k|+(k2−4)是一次函数，则k的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如y=kx+b (k≠0)的函数叫做一次函数；由题意得：k−1≠0且|k|=1，
据此即可求解；
【详解】解：由题意得：k−1≠0且|k|=1，
解得：k=−1，
故答案为：−1
2．(25-26 八上·四川巴中平昌县兰草小学·月考)若函数y=(2m+1)x2+(1−2m)x+1（m为常数）是一次函数，则
m= ．
【答案】−
1
2/−0.5
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如y=kx+b(k≠0)的式子，就叫做y是x的一次函数，据此进行列式得
2m+1=0,1−2m≠0，计算得出m=−
1
2，即可作答．
【详解】解：∵函数y=(2m+1)x2+(1−2m)x+1（m为常数）是一次函数，
∴2m+1=0,1−2m≠0，
解得m=−
1
2，
故答案为：−
1
2．
3．已知函数y=(m−1)x+m2−1．
（1）当m 时，y是x的一次函数；
（2）当m 时，y是x的正比例函数．
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【答案】 ≠1 =−1
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b 为常数，k≠0，自变量次数
为1．
（1）根据一次函数的定义可知m−1≠0，求出m的取值范围即可；
（2）根据正比例函数的定义可知m−1≠0且m2−1=0，从而可求得m 的值．
【详解】解：（1）根据一次函数的定义可知：m−1≠0，
解得：m≠1．
（2）∵函数y=(m−1)x+m2−1是正比例函数，
∴m−1≠0且m2−1=0，
解得：m=−1．
故答案为：≠1；=−1．
4．对于函数y=(k−3)x+k+3，当k 时，它是关于x的正比例函数；当k 时，它是关于x的一次函数．
【答案】 =−3 ≠3
【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关
键．若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b均为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为
自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx（k为常数，且k≠0）的形式，则称
y是x的正比例函数，据此即可解答．
【详解】当y是关于x的正比例函数时，得k−3≠0，k+3=0，
解得k=−3；
当y是关于x的一次函数时，得k−3≠0，
解得k≠3；
故答案为：=−3，≠3
5．(25-26 八上·甘肃白银·期中)已知函数y=(m−2)x3−|m|+m+7
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【答案】(1)m=−2
(2)x=
1
2
【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定
义是解决此题的关键．
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（1）根据一次函数的定义即可列出关于m 的方程和不等式，从而求出m 的值；
（2）将y=3代入一次函数中，即可求出x 的值．
【详解】（1）解：由y=(m−2)x3−|m|+m+7是一次函数得{3−|m|=1
m−2≠0
，
解得m=−2．
故当m=−2时，y=(m−2)x3−|m|+m+7是一次函数；
（2）解：由（1）可知y=−4x+5．
当y=3时，3=−4x+5，解得x=
1
2．
故当x=
1
2时，y 的值为3．
6．已知函数y=(m−3)x2−n+(m+n)．
(1)当m，n 取何值时，此函数为一次函数？
(2)当m，n 取何值时，此函数为正比例函数？
【答案】(1)n=1,m≠3
(2)m=−1,n=1
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如y=kx+b(k≠0)的函数是一次函
数，形如y=kx的函数是正比例函数．
（1）根据一次函数的定义即可解答；
（2）根据正比例函数的定义即可解答．
【详解】（1）解：当函数y=(m−3)x2−n+(m+n)是一次函数时，
2−n=1，且m−3≠0，
解得n=1,m≠3，
所以当m≠3,n=1时，函数y=(m−3)x2−n+(m+n)是一次函数．
（2）解：当函数y=(m−3)x2−n+(m+n)是正比例函数时，
2−n=1,m+n=0，且m−3≠0，
解得n=1,m=−1，
所以当m=−1,n=1时，函数y=(m−3)x2−n+(m+n)是正比例函数．
题型三：判断一个点是否在一次函数上
1．下列各点中在直线y=−5x+1上的是（ ）
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A．(−3,16)
B．(2,9)
C．(
1
3 ,
2
3)
D．(
3
5 ,4)
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征.理解一次函数图像上的点的坐标一定满足关系式y=−5x+1
是解答关键．
通过将各点的x坐标代入直线方程 y=−5x+1，计算对应的y值，并与点的y坐标比较，判断点是否在直线上．
【详解】解： A、x=−3时，y=−5×(−3)+1=15+1=16，(−3,16)在直线上，故此项符合题意；
B、x=2时，y=−5×2+1=−10+1=−9，(2,9)不在直线上，故此项不符合题意；
C、x=
1
3时，y=−5×
1
3 +1=−
5
3 +1=−
2
3，(
1
3 ,
2
3)不在直线上，故此项不符合题意；
D、x=
3
5时，y=−5×
3
5 +1=−3+1=−2，(
3
5 ,4)不在直线上，故此项不符合题意.
故选：A．
2．(24-25 八上·福建漳州·期中)下列各点在函数y=2x−1图像上的是（ ）
A．(−2,3)
B．(1,1)
C．(1,−3)
D．(−1,−1)
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的图像，把各点代入y=2x−1即可求解，掌握一次函数的图像是解题的关
键．
【详解】解：A、当x=−2时，y=2×(−2)−1=−5≠3，
∴(−2,3)不在函数y=2x−1图像上，不符合题意；
B、当x=1时，y=2×1−1=1，
∴(1,1)在函数y=2x−1图像上，符合题意；
C、当x=1时，y=2×1−1=1≠−3，
∴(1,−3)不在函数y=2x−1图像上，不符合题意；
D、当x=−1时，y=2×(−1)−1=−3≠−1，
∴(−1,−1)不在函数y=2x−1图像上，不符合题意；
故选：B．
3．(2025 九·江苏省苏州市·模拟)下列各点中，在一次函数y=−
1
2 x+4图象上的是（ ）
A．(−4,2)
B．(−4,−2)
C．(4,2)
D．(4,−2)
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式
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是解题的关键．将各选项中的横坐标代入一次函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中给出的纵坐标
对比，判断该点是否在函数图象上．
【详解】解：当x=−4时，y=−
1
2 ×(−4)+4=2+4=6≠2．故(−4,2)不在一次函数y=−
1
2 x+4图象上；
当x=−4时，y=−
1
2 ×(−4)+4=2+4=6≠−2．故(−4,−2)不在一次函数y=−
1
2 x+4图象上；
当x=4时，y=−
1
2 ×4+4=−2+4=2．故(4,2)在一次函数y=−
1
2 x+4图象上；
当x=4时，y=−
1
2 ×4+4=−2+4=2≠−2．故(4,−2)不在一次函数y=−
1
2 x+4图象上；
故选：C．
4．(24-25 八下·广东惠州惠阳区惠华学校·月考)下列的点在函数y=3x+2图象上的是（ ）
A．(−1,5)
B．(−1,1)
C．(1,5)
D．(1,−1)
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
y=kx+b是解题的关键．依据题意，分别代入各选项中点的横坐标，求出y值，再对照各点的纵坐标，即可得
出结论．
【详解】解：A．当x=−1时，y=−3+2=−1≠5，点(−1,5)不在函数y=3x+2的图象上，选项不符合题意；
B．当x=−1时，y=−3+2=−1≠1，点(−1,1)不在函数y=3x+2的图象上，选项不符合题意；
C．当x=1时，y=3+2=5，点(1,5)在函数y=3x+2的图象上，选项符合题意；
D．当x=1时，y=3+2=5≠−1，点(1,−1)不在函数y=3x+2的图象上，选项不符合题意．
故选：C．
题型四：已知点在一次函数图象上求代数式的值
1．(24-25 八上·浙江温州苍南县·期末)已知点A(x1,a)，B(x1+1,b)都在函数y=−2x+3的图象上，下列对于a，b的
关系判断正确的是（ ）
A．a−b=2
B．a−b=−2
C．a+b=2
D．a+b=−2
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键,将点A、B代入函数解析式，
联立方程消去x1，得到a与b的关系式，然后即可求解.
【详解】解：∵点A(x1,a)在函数y=−2x+3上，
代入得：a=−2x1+3,
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∴x1=
3−a
2 ，
∵点B(x1+1,b)在函数y=−2x+3上，
代入得：b=−2(x1+1)+3=−2x1−2+3=−2x1+1，
∴x1=
1−b
2 ，
∴
3−a
2 =
1−b
2 ，
化简得 3−a=1−b，即 a−b=2，
故选：A.
2．点(a,b)在y=3x−1的函数图象上，则代数式6a−2b+1= ．
【答案】3
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由点代入
函数解析式可得b 与a 的关系，进而求出3a−b的值，再代入代数式计算．
【详解】解：∵点(a,b)在y=3x−1的函数图象上，
∴b=3a−1，
即3a−b=1，
∴6a−2b+1=2(3a−b)+1=3；
故答案为3．
3．(25-26 八上·福建三明列东中学·月考)点P(a,b)在函数y=3x的图象上，则代数式6a−2b+2025的值等于 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一次函数的性质，代数式求值．
根据点P(a,b)在函数y=3x的图象上，求出b=3a，代入6a−2b+2025计算即可．
【详解】∵点P(a,b)在函数y=3x的图象上，
∴b=3a，
∴6a−2b+2025
=6a−2×3a+2025
=6a−6a+2025
=2025．
故答案为：2025．
4．(24-25 八下·河北唐山路南区友谊中学·月考)若点P(a,b)是直线y=x−3上一点，则代数式a2−2ab+b2−1的值
为 ．
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【答案】8
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、代数式求值，整体代入是关键．
先求出a−b=3，再化简代数式，最后整体代入即可．
【详解】∵点P(a,b)是直线y=x−3上一点，
∴b=a−3，即a−b=3，
∴原式=(a−b)2−1=32−1=9−1=8
故答案为：8．
5．(24-25 九下·福建泉州五中·月考)直线y=−3x+2过点P(a,b)，则3a+b+2023值为 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．
将点P 的坐标代入一次函数解析式中，求出的3a+b=2，再整理体代入计算即可．
【详解】解：将点P(a,b)代入y=−3x+2得：
−3a+2=b，
即：3a+b=2，
∴3a+b+2023=2+2023=2025．
故答案为：2025．
6．(24-25 八上·安徽宿州砀山县·期末)若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y=3x+m上，且x1−x2=3，则y1−y2= ．
【答案】9
【分析】本题考查的是一次函数的定义．根据题意得到x1=x2+3，将x1,x2代入函数的解析式，求出函数值作
差即可．
【详解】解：∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y=3x+m上，且x1−x2=3，
∴x1=x2+3，
∴y1−y2=(3x1+m)−(3x2+m)=[3(x2+3)+m]−(3x2+m)=9．
故答案为：9．
题型五：利用待定系数法求一次函数解析式
1．(25-26 八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)已知一次函数的图象经过A(−1,0)，B(1,2)两点．
(1)求这个一次函数的关系式；
(2)试判断点(2,3)是否在这个一次函数的图象上并说明理由．
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【答案】(1)
y=x+1
(2)点(2,3)在一次函数y=x+1的图象上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解
此题的关键．
（1）利用待定系数法，将点A(−1,0)，B(1,2)代入一次函数y=kx+b，解方程组求k和b即可；
（2）将点(2,3)的横坐标代入函数解析式，计算y值，与点的纵坐标比较即可判断．
【详解】（1）解：设一次函数关系式为y=kx+b，
把A(−1,0)，B(1,2)代入得：
{−k+b=0
k+b=2 ，解得{k=1
b=1，
∴这个一次函数的关系式为y=x+1；
（2）解：点(2,3)在一次函数y=x+1的图象上，理由如下：
当x=2时，y=2+1=3，
∴点(2,3)在一次函数y=x+1的图象上．
2．(25-26 八上·四川成都第十二中学（四川大学附属中学）·期中)已知一次函数图象经过点(−2,7),(2,−1)
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求出图象与两个坐标轴的交点坐标．
【答案】(1)y=−2x+3
(2)交x轴于点(
3
2 ,0)，交y轴于点(0,3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解
题的关键．
（1）利用待定系数法解题即可；
（2）将x=0，y=0分别代入，即可算得答案．
【详解】（1）解：设一次函数为y=kx+b(k≠0)，代入(−2,7),(2,−1)，
{7=−2k+b
−1=2k+b
，
解得{k=−2
b=3
，
∴ y=−2x+3；
（2）解：当x=0时，y=−2×0+3=3；
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当y=0时，0=−2x+3，x=
3
2；
那么图象交x轴于点(
3
2 ,0)，交y轴于点(0,3)．
3．(25-26 八上·安徽合肥五十中学西校·期中)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,−1)和点B(1,5)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)若点C(m,−4)也在该函数图象上，求m的值．
【答案】(1)y=3x+2
(2)−2
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象性质．
（1）利用待定系数法，将已知点坐标代入函数式得到方程组，解出系数即可得到函数表达式；
（2）对于点在该函数图像上，将其坐标代入表达式解方程即可求出参数值．
【详解】（1）解：将点A(−1,−1)和点B(1,5)代入y=kx+b，
得：{−1=−k+b
5=k+b
解得：{k=3
b=2
所以一次函数的表达式为y=3x+2
（2）解：将点C(m,−4)代入y=3x+2，
得：−4=3m+2
解得：m=−2
4．已知y+6与x+1成正比例，当x=3时，y=2．
(1)求出y 与x 的函数表达式；
(2)若点(m,−2)在这个函数的图象上，求m 的值．
【答案】(1)y=2x−4
(2)1
【分析】本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键．
（ 1）设y+6=k(x+1)，然后把x=3，y=2代入求解即可；
（ 2）把点(m,−2)代入表达式y=2x−4即可求出m 的值．
【详解】（1）解：设y+6=k(x+1)，
将x=3，y=2代入，得
8=k(3+1)，
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解得k=2，
∴y+6=2(x+1)，
∴y 与x 之间的函数表达式为y=2x−4；
（2）解：将点(m,−2)代入表达式得
−2=2m−4，
解得：m=1．
5．已知一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当自变量x=5时，函数值y=2．求出该函数的表达式，并画
出它的图象．
【答案】该函数的表达式为 y=−3x+17；图象见解析
【分析】此题考查待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，解题关键在于掌握待定系数法求一次
函数解析式．
设该函数的表达式为y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法可求出一次函数解析式，即可求解．
【详解】解：设该函数的表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵当自变量x=4时，函数值y=5；当自变量x=5时，函数值y=2，
∴{4k+b=5
5k+b=2
，
解得：{k=−3
b=17
，
∴该函数的表达式为 y=−3x+17，
画出它的图象，如图：
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6．(24-25 八上·安徽宿州第二初级中学·月考)已知平面直角坐标系中三点A(−1,−3),B(1,1),C(4,6)，试判断这
三点是否在同一条直线上，并说明理由．
【答案】A、B、C 三点不在同一直线上，理由见解析
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，利用待定系数法求出直线AB的解析式，
再判断点C 是否在直线AB上即可得到结论．
【详解】解：A(−1,−3),B(1,1),C(4,6)三点不在同一直线上，理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则{−k+b=−3
k+b=1
，
∴{ k=2
b=−1
，
∴直线AB的解析式为y=2x−1，
在y=2x−1中，当x=4时，y=7，
∴C(4,6)不在直线AB上，
∴A(−1,−3),B(1,1),C(4,6)三点不在同一直线上．
7．(24-25 八上·江苏新沂第二中学·月考)已知y与x成一次函数，当x=0时，y=3，当x=2时，y=7．
(1)写出y与x之间的函数关系式．
(2)计算x=4时，y的值．
(3)计算y=4时，x的值．
【答案】(1)y=2x+3
(2)y=11
(3)x=
1
2
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值和自变量的值，正确求出对应的一次函
数解析式是解题的关键．
（1）设出对应的解析式并利用待定系数法求解即可；
（2）把x=4代入（1）所求的函数解析式中求出y 的值即可；
（3）把y=4代入（1）所求的函数解析式中求出x 的值即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
∵当x=0时，y=3，当x=2时，y=7，
∴{2k+b=7
b=3
，
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∴{k=2
b=3
，
∴y与x之间的函数关系式为y=2x+3；
（2）解：在y=2x+3中，当x=4时，y=2×4+3=11；
（3）解：在y=2x+3中，当y=2x+3=4时，x=
1
2．
题型六：判断实际问题中变量是否满足一次函数
1．(25-26 八上·山东青岛五区联考·期中)下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积S(m2)与边长a(m)之间的关系
B．等腰三角形的周长为10cm，底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的关系
C．铅笔每支2 元，购买铅笔的总价y（元）与购买的数量n（支）之间的关系
D．小明进行100m 短跑训练，跑完全程所需时间t(s)与速度v(m/s)之间的关系
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的定义，写出两个变量之间的函数关系式，进行判断即可．
【详解】解：A、S=a2，不是正比例函数，不符合题意；
B、y=10−2x，不是正比例函数，不符合题意；
C、y=2n，是正比例函数，符合题意；
D、t=
100
v ，不是正比例函数，不符合题意；
故选C．
2．(25-26 八上·安徽淮北五校·期中)下列属于正比例函数关系的是（ ）
A．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h
B．仓库的粮食总量为常数W，每天的销量m与销售的天数t
C．行驶的路程s是常数时，行驶的速度v与时间t
D．正方形的面积S与它的边长a
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数关系的识别，理解正比例函数关系的定义是关键．
正比例函数关系可以用数学方程式y=kx(k≠0)表示，其中x 和y 是两个变量，k 是一个常数，叫做比例系数，
当x 增加时，y 同样会增加，并且增加的幅度与x 的增加幅度相同；当x 减少时，y 也会减少，并且减少的
幅度与x 减少幅度相同，即x,y的比值一定，根据定义判定即可．
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【详解】解：A、三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h，
∵S=
1
2 ah，
a
2是常数，
∴
a
2 =
S
h的比值一定，属于正比例函数关系，符合题意；
B、仓库的粮食总量为常数W ，每天的销量m与销售的天数t，
W,m,t不成正比例函数关系，不符合题意；
C、行驶的路程s是常数时，行驶的速度v与时间t，
∵s=vt，路程s是常数，
∴速度v与时间t不成正比例函数关系，不符合题意；
D、正方形的面积S与它的边长a，
∵S=a2，
∴正方形的面积S与它的边长a不成正比例函数关系，不符合题意；
故选：A ．
3．(24-25 八下·广东广州番禺区·期末)下面的三个问题中都有两个变量：
①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x 与它的面积y；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y 与放水时间x；
③从A 地到B 地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y 与铺设天数x．
其中，变量y 与变量x 之间的函数关系是一次函数的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数，分别求出每个情境中变量y 与x 的函数关系式，判断是否为一次函数即可．
【详解】解∶①：等腰三角形的底边长为3，面积公式为y=
1
2 ×㡳×高，代入底长3，得y=
1
2 ×3×x=
3
2 x，即y=
3
2 x，
是正比例函数（一次函数），符合条件；
②：泳池匀速放水，剩余水量y与时间x的关系为y=V−vx（V为初始水量，v为放水速度），属于一次函数，符
合条件；
③：铺设总长度固定时，每日铺设长度y与天数x满足y=
L
x（L为总长度），不符合一次函数．
综上，满足一次函数关系的是①和②，
故选∶A．
4．(24-25 八下·北京丰台区·期末)下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ）
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A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化
B．圆的周长C随着半径r的变化而变化
C．面积为20 的三角形的一边a，随着这边上的高h的变化而变化
D．矩形的一边长为a，比它的邻边短2．矩形的周长l随着边长a的变化而变化
【答案】B
【分析】本题主要考查正比例函数的定义．先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一
般地，形如y=kx(k≠0)的函数叫做正比例函数，进行判断即可．
【详解】解：A.S=x2，是二次函数；
B.C=2πr，是正比例函数；
C.a=
40
h ，是反比例函数；
D.l=2(a+a+2）=4a+4，是一次函数；
故选：B．
5．(24-25 八·北京二中教育集团·期末)下面的三个问题中都有两个变量：
①在压力F(N)一定的情况下，物体对地面的压强P(Pa)与受力面积S(m2)；
②冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度T(℃)与冷冻时间t(min)；
③在弹性限度内，弹簧原长度为6cm，弹簧挂重物后的长度y(cm)与弹簧受到的拉力x（N）．
其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（ ）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的概念，掌握一次函数的概念是关键；判断每个情境中的变量关系是否为一
次函数，需根据一次函数的定义（形如y=kx+b，k≠0）逐一分析．
【详解】解：情境①：压强P与受力面积S的关系为P=
F
S（F为定值），此式为反比例函数，不符合一次函数
的形式，故①不符合；
情境②：温度T与时间t的关系为T=−2t（每分钟下降2℃），此式为T=−2t+0，符合一次函数y=kx+b的形式（b=0），
故②符合；
情境③：弹簧长度y与拉力x的关系为y=kx+6（k为弹性系数），此式符合一次函数的形式，故③符合；
综上，符合一次函数的是②③，
故选：B．
6．写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断：y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？
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(1)某小区的物业费是按房屋产权面积每平方米1.5 元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y（单
位：元）与房屋产权面积x（单位：m2）之间的关系．
(2)汽车离开车站4km后，再以40km/h的平均速度继续行驶了xh，汽车离开车站的距离y（单位：km）与时
间x（单位：h）之间的关系．
【答案】(1)y=1．5x，y 是x 的一次函数，也是x 的正比例函数．
(2)y=4+40x，y 是x 的一次函数，但不是x 的正比例函数．
【分析】本题考查一次函数与正比例函数的概念．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
（1）根据每月应缴的物业费=单位面积的物业费×房屋面积即可得出答案；
（2）依据汽车离开汽车站所走的路程=原来的距离+x小时行驶的距离列出关系式即可．
【详解】（1）解：根据题意有y=1.5x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数．
（2）解：根据题意有y=4+40x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数．
题型七：列一次函数解析式并求值
1．(24-25 八下·山东聊城阳谷县实验中学·月考)阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻
名．某商店计划购进A，B两种品牌的红富士苹果共50 箱进行销售．A品牌红富士苹果的价格为38 元/箱，B
品牌红富士苹果的价格为30 元/箱．
(1)若A品牌红富士苹果购进x箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为y元，尝试确定y与x的函数关系？
(2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740 元，则最多可购进A品牌红富士苹果多少箱？
【答案】(1)y=8x+1500(0≤x≤50且x为整数)
(2)30
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出y与x的函数关系式、掌握一元一次不等
式的解法是解题的关键．
（1）根据总费用=A品牌红富士苹果的价格×购进A品牌红富士苹果的箱数+B品牌红富士苹果的价格×购进B
品牌红富士苹果的箱数计算即可；
（2）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，从而得到x的最大值即可．
【详解】（1）解：y=38x+30(50−x)=8x+1500，
∴y与x的函数关系为y=8x+1500(0≤x≤50且x为整数)．
（2）根据题意，得y≤1740，即8x+1500≤1740，
解得x≤30．
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答：最多可购进A品牌红富士苹果30箱．
2．(24-25 八下·河北石家庄正定县·期中)王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、
乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社
表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出
部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
(2)若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总
费用较少的一家．
【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式为y甲=620×0.85x=527x，乙旅行社收取
组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式为y乙= {
558x
(0≤x≤20)
465x+1860
(x>20)
；
(2)若王老师组团参加两日游的共有32人，选择乙旅行社．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意．
（1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式；
（2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
甲旅行社收取组团两日游的总费用y甲=620×0.85x=527x
当0≤x≤20时，乙旅行社收取组团两日游的总费用y乙=620×0.9x=558x，
当x>20时，乙旅行社收取组团两日游的总费用y乙=620×0.9×20+620×0.75(x−20)=465x+1860，
∴乙旅行社收取组团两日游的总费用y乙= {
558x
(0≤x≤20)
465x+1860
(x>20)
，
答：甲旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式为y甲=620×0.85x=527x，乙旅行社收取组团两
日游的总费用y与x之间的函数关系式为y乙= {
558x
(0≤x≤20)
465x+1860
(x>20)
．
（2）解：当x=32时，
甲旅行社收取总费用y甲=527×32=16864（元）
乙旅行社收取总费用y乙=465×32+1860=16740（元）
∵16864>16740，
∴乙旅行社收取总费用较少，
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答：若王老师组团参加两日游的共有32人，选择乙旅行社．
3．(24-25 八上·浙江宁波鄞州区·期末)某商场准备购进A，B 两种商品进行销售，A 商品的进价为每件 30 元，
售价为 40 元，B商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 A，B 两种商品共 100 件，设购
进A 商品x件，总利润为y元．
(1)写出y（元）关于 x（件）的函数关系式；
(2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案．
【答案】(1)y=−10x+2000
(2)方案一：A 商品60 件，B 商品40 件；方案二：A 商品61 件，B 商品39 件；方案三：A 商品 62 件，B 商
品38 件．
【分析】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组
成为解题的关键．
（1）设购进A 商品x件，则购进B 商品(100−x)件，然后根据总利润为A、B 两种商品的利润之和列出函数
解析式即可；
（2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x 的范围，然后确定进
货方案即可．
【详解】（1）解：设购进A 商品x件，则购进B 商品(100−x)件，
由题意可得：总利润y=(40−30)x+(60−40)(100−x)=−10x+2000，即y=−10x+2000．
（2）解：由题意可得：{−10x+2000≥1380
x≥60
，
解得：60≤x≤62，
∵x 为整数，
∴x=60，61，62
所以，所有的进货方案如下：方案一：A 商品60 件，B 商品40 件；方案二：A 商品61 件，B 商品39 件；
方案三：A 商品 62 件，B 商品38 件．
4．(24-25 八上·福建宁德霞浦县·期中)某电信公司手机的A 套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机
每月必须缴月租费18 元，另外，通话费按0.15元/min计；B 套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按0.2
元/min计．
(1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系；
(2)若每月平均通话时间为300min，你选择哪种套餐？并说明理由．
【答案】(1)A 套餐：y=0.15x+18，B 套餐：y=0.2x
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(2)选B 套餐，理由见解析
【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键．
（1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x(min)之间的关系式即可；
（2）将x=300分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：A 套餐y=18+0.15x，B 套餐y=0.2x，
所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x(min)之间的关系分别为：y=18+0.15x，y=0.2x．
（2）解：当x=300时，
A 套餐：y=0.15×300+18=63（元），
B 套餐：y=0.2×300=60（元），
因为60<63，
所以选B 套餐更优惠．
5．(24-25 八上·陕西咸阳兴平·期中)兴平大蒜是咸阳市兴平的特产，具有全国农产品地理标志，其种植历史
悠久，蒜皮紫红色、整齐美观，营养丰富．个体户小李购进一批兴平大蒜，到农贸市场零售，已知卖出的
大蒜质量x（kg）与销售收入y（元）之间的关系如下表所示．
x（kg）
1
2
3
4
5
…
y（元）
10.5
21
31.5
42
52.5
…
(1)求出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的正比例函数；
(2)当x=7时，求销售收入y的值．
【答案】(1)y=10.5x；y是x的正比例函数；
(2)73.5．
【分析】此题考查了列函数解析式和正比例函数、求函数值等知识．
（1）由表格可知： 大蒜质量量每增加1kg，销售收入增加10.5 元，据此得到函数解析式，再根据正比例函
数的定义进行判断即可；
（2）把x=7代入（1）中的函数解析式即可．
【详解】（1）解：由表格可知： 大蒜质量量每增加1kg，销售收入增加10.5 元，
∴y=10.5+10.5(x−1)=10.5x，
即y=10.5x；
则y是x的正比例函数；
（2）当x=7时，y=10.5x=10.5×7=73.5，
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即当x=7时，销售收入y的值为73.5．
6．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价
和零售价如下表所示：
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
4.8
4
零售价/（元/kg）
7.2
5.6
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共20kg花90 元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m 元，设批发甲种蔬菜nkg，求m 与n 的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【答案】(1)批发甲蔬菜12.5kg，乙蔬菜7.5kg；
(2)m=320+0.8n；
(3)至少批发甲种蔬菜60kg．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量
之间的关系成为解题的关键．
（1）设批发甲蔬菜xkg，乙蔬菜(20−x)kg，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共20kg花90 元”列一元
一次方程求解即可；
（2）设批发甲种蔬菜nkg，乙蔬菜(80−n)kg，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可；
（3）设批发甲种蔬菜nkg，乙蔬菜(80−n)kg，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元”列不等式
求解即可．
【详解】（1）解：设批发甲蔬菜xkg，乙蔬菜(20−x)kg，
由题意得：4.8x+4(20−x)=90， 解得：x=12.5，
乙蔬菜为：(20−12.5)kg=7.5kg．
答：故批发甲蔬菜12.5kg，乙蔬菜7.5kg．
（2）解：设批发甲种蔬菜nkg，乙蔬菜(80−n)kg，
由题意得：m=4.8n+4(80−n)=320+0.8n．
答：m 与n 的函数关系为：m=320+0.8n．
（3）解:设批发甲种蔬菜nkg，乙蔬菜(80−n)kg，
由题意得(7.2−4.8)n+(5.6−4)(80−n)≥176， 解得n≥60．
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答：至少批发甲种蔬菜60kg．
题型一：一次函数的认识综合解答题
1．【阅读理解】
点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若 d1≤d2，则称d1为
点P的“微距值”；若 d1>d2， 则称d₂为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例
如，点P(−3,5)到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，因为3<5，所以点P的“微距值”为3．
【知识应用】
(1)点A(2,−3)的“微距值”为 ；
(2)若点B(a,3)的“微距值”为2， 求a 的值；
(3)若点C在直线y=−3x+6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．
【答案】(1)2
(2)a=2或a=−2．
(3)(
8
3 ,−2)或(−2,12)．
【分析】
（1）根据“微距值”的定义，先求出点A(2,−3)到x轴和y轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点A(2,−3)
到x轴的距离d1=|−3|=3，到y轴的距离d2=|2|=2，比较d1与d2大小．
（2）由点B(a,3)的“微距值”为2，点B到x轴的距离d1=|3|=3，“微距值”为2，根据定义可知d2=|a|且d2=2，进
而求解a的值．
（3）设点C的坐标为(x,y)，由点C在直线y=−3x+6上，得y=−3x+6．点C的“微距值”为2，分两种情况讨论：
一是当d1≤d2时，d1=2；二是当d1>d2时，d2=2，分别求解x和y的值确定点C坐标．
【详解】（1）解：点A(2,−3)到x轴的距离d1=|−3|=3，到y轴的距离d2=|2|=2．
∵3>2，即d1>d2，
∴点A的“微距值”为d2=2，
故答案为:2．
（2）解：点B(a,3)到x轴的距离d1=|3|=3，
∵点B的“微距值”为2，且3>2，
∴点B到y轴的距离d2=|a|=2．
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∴a=2或a=−2．
（3）解：设点C的坐标为(x,y)，
∵点C在直线y=−3x+6上，
∴y=−3x+6．
情况一：当d1≤d2时 此时d1=2，即|y|=2．
当y=2时，代入y=−3x+6，得2=−3x+6，
移项可得3x=6−2，即3x=4，
解得x=
4
3，
此时d2=|x|= |
4
3| =
4
3，
∵2>
4
3，
∴不满足d1≤d2，舍去．
当y=−2时，代入y=−3x+6，得−2=−3x+6，
移项可得3x=6+2，即3x=8，解得x=
8
3，
此时d2=|x|= |
8
3| =
8
3，∵2<
8
3，满足d1≤d2，
∴点C坐标为(
8
3 ,−2)．
情况二：当d1>d2时 此时d2=2，即|x|=2．
当x=2时，代入y=−3x+6，
得y=−3×2+6=0，此时d1=|y|=0，
∵0<2，不满足d1>d2，
∴舍去．
当x=−2时，代入y=−3x+6，
得y=−3×(−2)+6=12，此时d1=|y|=12，
∵12>2，满足d1>d2，
∴点C坐标为(−2,12)．
综上，点C的坐标为(
8
3 ,−2)或(−2,12)．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，以及对新定义“微距值”的理解与应用．解
题关键在于准确根据定义判断“微距值”是点到x轴还是y轴的距离，对于含有参数的情况（如第（2）（3）问），
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25 /
要分情况讨论，结合点所在直线方程求解坐标．
2．(24-25 八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)如图，在边长为1 的小正方形网格中建立平面直角坐标
系xOy，坐标原点为O，A(3,4)，B(1,2)，C(5,1)．
(1)作出△ABC关于y 轴的对称图形△DEF，其中A，B，C 分别落在点D，E，F 并在图中标注出字母D，E，
F；
(2)写出S△DEF= ；
(3)如图，点P 是x 轴上一动点，并且满足PA+PB的值最小，请在图中找出点P 的位置，并求出点P 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)点P 的位置见解析，点P 的坐标为(
5
3 ,0)
【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握轴对称的性质，是
解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，画出△DEF即可；
（2）利用分割法求出三角形的面积即可；
（3）作点A 关于轴的对称点A′，连接A′B，与x轴的交点即为点P．
【详解】（1）解：如图，△DEF即为所作；
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（2）解：S△DEF=4×3−
1
2 ×2×3−
1
2 ×2×2−
1
2 ×4×1=5；
（3）解：如图，点P 即为所求；
由图可知点A′的坐标为(3,−4)，点B 的坐标为(1,2)，
设直线A′B的解析式为y=kx+b，代入得：
{3k+b=−4
k+b=2
，解得{k=−3
b=5
，
∴y=−3x+5，
令y=0，则−3x+5=0，
解得x=
5
3，
∴点P 的坐标为(
5
3 ,0)．
3．(25-26 八上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)如图，在长方形ABCD中，AB=2cm，BC=8cm．点M为线
段BC的中点．动点P按照M→B→M的路径，以每秒2cm的速度运动；动点Q按照从点C到点M的路径，以每
秒1cm的速度运动；P、Q两点同时出发，当点Q运动到点M时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)当t=1时，PQ=___________；当t=3时，PQ=___________．
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(2)用含t代数式表示线段PQ．
(3)以PQ为边向上作正方形PQEF，正方形PQEF与长方形ABCD重叠部分的面积为S(S>0)，用含t代数式表示．
(4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3 时，t=___________．
【答案】(1)5cm；3cm
(2)PQ= { t+4(0≤t<2)
12−3t(2≤t<4)
(3)S=
{
2t+8(0≤t<2)
24−6t (2≤t≤
10
3 )
9t2−72t+144(
10
3 <t≤4)
(4)4−√3
3
【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，列一次函数解析式，解题的关键是理解题意，
熟练掌握长方形的面积公式．
（1）根据点P、Q 的运动速度，求出结果即可；
（2）分两种情况：当0≤t<2时，当2≤t≤4时，分别求出结果即可；
（3）分三种情况：当0≤t<2时，当2≤t≤
10
3 时，当
10
3 <t≤4，根据PQ的长度求出重叠部分的面积即可；
（4）根据重叠部分的面积等于3 列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵点M为线段BC的中点，
∴BM=CM=
1
2 BC=4cm，
当t=1时，MP=2×1=2(cm)，CQ=1cm，
∴MQ=MC−CQ=4−1=3(cm)，
∴PQ=MP+MQ=2+3=5(cm)；
当t=3时，MP=4−(2×3−4)=2(cm)，CQ=3cm，
∴MQ=MC−CQ=4−3=1(cm)，
∴PQ=MP+MQ=2+1=3(cm)；
（2）解：当0≤t<2时，MP=2t，MQ=MC−CQ=4−t，
∴PQ=MP+MQ=2t+4−t=t+4；
当2≤t≤4时，MP=4−(2t−4)=8−2t，MQ=MC−CQ=4−t，
∴PQ=MP+MQ=8−2t+4−t=12−3t；
综上分析可知：PQ= { t+4(0≤t<2)
12−3t(2≤t<4)
．
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（3）解：当0≤t<2时，PQ=t+4，
∵此时4≤t+4<6，
∴4≤PQ<6，
∴重叠部分面积：S=2(t+4)=2t+8；
当2≤t≤4时，PQ=12−3t，
令12−3t≥2，
解得：t≤
10
3 ，
当2≤t≤
10
3 时，重叠部分面积为：S=2(12−3t)=24−6t；
当
10
3 <t≤4时，重叠部分面积为：S=(12−3t)2=9t2−72t+144；
综上分析可知：S=
{
2t+8(0≤t<2)
24−6t (2≤t≤
10
3 )
9t2−72t+144(
10
3 <t≤4)
．
（4）解：当0≤t<2时，2t+8=3，
解得：t=−
5
2（不符合题意，舍去）；
当2≤t≤
10
3 时，24−6t=3，
解得：t=
7
2 >
10
3 （不符合题意，舍去）；
当
10
3 <t≤4时，(12−3t)2=3，
解得：t1=4−√3
3 ，t2=4+ √3
3 （不符合题意，舍去）
综上分析可知：当重叠部分的面积等于3 时，t=4−√3
3 ．
4．(23-24 八下·湖南株洲第二中学初中部·期中)定义：直线y=ax+b与直线y=bx+a互为“友好直线”．如：直线
y=2x+1与直线y=x+2互为“友好直线”．
(1)点M(m,2)在直线y=−x+4的“友好直线”上，则m= ；
(2)直线y=4x+3上的一点M(m,n)又是它的“友好直线”上的点，求点M 的坐标：
(3)对于直线y=ax+b上的任意一点M(m,n)，都有点N(2m,m−2n)在它的“友好直线”上，求a、b 的值．
【答案】(1)
3
4
(2)点M的坐标为(1,7)
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(3){
a=1
b=−
1
2
【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”
定义（直线y=ax+b的友好直线为y=bx+a），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求
解各问题．
（1）先根据定义求出y=−x+4的友好直线，再将点M(m,2)代入友好直线解析式，求解m；
（2）先求出y=4x+3的友好直线，再根据点M(m,n)同时在两条直线上，列方程组求解坐标；
（3）先写出y=ax+b的友好直线，再根据M(m,n)在原直线、N(2m,m−2n)在友好直线上，分别列出等式，结合
任意m均成立的条件，求出a、b．
【详解】（1）解：∵直线y=−x+4的友好直线为y=4x−1
（根据定义，交换a=−1、b=4得友好直线y=bx+a），
又∵点M(m,2)在y=4x−1上，
∴2=4m−1，解得m=
3
4．
故答案为：
3
4．
（2）解：∵直线y=4x+3的友好直线为y=3x+4
（交换a=4、b=3得），
∵点M(m,n)在y=4x+3和y=3x+4上，
∴{n=4m+3
n=3m+4
，
解得{m=1
n=7
，
∴点M的坐标为(1,7)．
（3）∵直线y=ax+b的友好直线为y=bx+a，
∵点M(m,n)在y=ax+b上，
∴n=am+b①；
∵点N(2m,m−2n)在y=bx+a上，
∴m−2n=b⋅2m+a②，
将①代入②：m−2(am+b)=2bm+a，
整理得：(1−2a−2b)m−(2b+a)=0，
∵对任意m该等式均成立，
∴系数需为0，
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即{1−2a−2b=0
2b+a=0
，解得{
a=1
b=−
1
2
．
5．(24-25 八下·山西临汾古县·期末)阅读与思考
下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
有关“匀速变化一次函数”的研究报告智慧小组研究对象：匀速变化一次函数
研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究
研究内容：
【一般概念】设y 是x 的一次函数，我们取自变量x 的取值范围内的两个不同的值x1，x2，当x1到x2变化时，
对应的y 的值由y1到y2也随之变化，这时我们称比值
y2−y1
x2−x1为y 在x1与x2之间的平均变化速度，当y 在自变量x
取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y 是x 的匀速变化一次函数．
【例题研究】根据匀速变化一次函数的概念，对函数y=5x−3的研究如下：
当x1=1时，y1=5×1−3=2；当x2=0时，y2=5×0−3=−3．
y2−y1
x2−x1 =
−3−2
0−1 =5．
当x3=−1时，y3=5×(−1)−3=−8；当x4=−2时，y4=5×(−2)−3=−13．
y4−y3
x4−x3 =
−13−(−8)
−2−(−1) =5．
∵y 在自变量x 的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数5，
∴y 是x 的匀速变化一次函数．
【深入探索】通过上述方法可以验证函数y=3x+1为y 关于x 的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度
刚好等于 ▲ ．
发现结论：若(x1,y1)，(x2,y2)是函数y=kx+b图象上的两点，则
y2−y1
x2−x1 = ■ ．我们只需再取图象上两点就可以快
速地验证y 是不是x 的匀速变化一次函数．
任务
(1)填空：上述材料中的▲=______，■=______．
(2)请说明材料中的结论是如何验证函数y=kx+b（k，b 是常数，且k≠0）是y 关于x 的匀速变化一次函数的．
【答案】(1)3；k
(2)见解析
【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，正确理解题意是解题的关键．
（1）对于第一空，当x1=0时，y1=1，x2=1时，y2=4，据此求出
y2−y1
x2−x1的值即可得到答案；对于第二空，根据题
小学
初中
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意可得y1=kx1+b，y2=kx2+b，据此求出
y2−y1
x2−x1的值即可得到答案；
（2）设(x3,y3)，(x4,y4)是函数y=kx+b图象上的另外两点，则y3=kx3+b，y3=kx3+b，求出
y4−y3
x4−x3的结果，即可验
证结论．
【详解】（1）解：在y=3x+1中，当x1=0时，y1=1，x2=1时，y2=4，
∴
y2−y1
x2−x1 =
4−1
1−0 =3，
∴该函数的平均变化速度刚好等于3；
∵(x1,y1)，(x2,y2)是函数y=kx+b图象上的两点，
∴y1=kx1+b，y2=kx2+b，
∴
y2−y1
x2−x1 =
(kx2+b)−(kx1+b)
x2−x1
=
kx2−kx1
x2−x1 =k．
（2）解：设(x3,y3)，(x4,y4)是函数y=kx+b图象上的另外两点，
∴y3=kx3+b，y3=kx3+b，
∴
y4−y3
x4−x3 =
kx4−kx3
x4−x3 =k，
∵
y2−y1
x2−x1 =
y4−y3
x4−x3 =k，
∵y 在自变量x 的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度都是k，
∴函数y=kx+b是y 关于x 的匀速变化一次函数．
1．(24-25 八上·广东省深圳市·期中)下列函数：①y=
x
6；②y=
4
x；③y=3−
1
2 x；④y=
3x2
x −2；⑤y=x2−(x−3)(x+2)；
⑥y=6x，其中是一次函数的有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
E．1
【答案】C
【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如y=kx+b，k≠0），
逐一判断即可．
【详解】解：①y=
x
6可化为y=
1
6 x，符合一次函数定义；
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②y=
4
x不符合一次函数定义；
③y=3−
1
2 x可化为y=−
1
2 x+3，符合一次函数定义；
④y=
3x2
x −2化简为y=3x−2（x≠0），定义域不全为实数，不符合一次函数定义；
⑤y=x2−(x−3)(x+2)展开化简为y=x+6，符合一次函数定义；
⑥y=6x不符合一次函数定义．
综上，①、③、⑤符合条件，共3 个，选C．
故选：C．
2．(2024·陕西省西安市·模拟)已知一次函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0），若k+b+2=0，则该一次函数的图
象必经过点（ ）
A．(1,−2)
B．(2,−1)
C．(
1
2 ,1)
D．(1,2)
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，由条件k+b+2=0可得k+b=−2，根据一次函数图象的性质，若点(x,y)在
图象上，则y=kx+b，将选项中的点代入函数，验证是否满足k+b=−2即可确定答案，熟练掌握一次函数的性
质是解此题的关键．
【详解】解：∵k+b+2=0，
∴k+b=−2，
A、点(1,−2)，代入函数得y=k⋅1+b=k+b=−2，与条件完全一致，故必经过该点，符合题意；
B、点(2,−1)，代入得y=2k+b，若满足2k+b=−1，需解方程组{ k+b=−2
2k+b=−1
，解得k=1，b=−3，但若取k=−1，b=−1
（满足k+b=−2），此时y=2×(−1)+(−1)=−3≠−1，故不必然经过该点，不符合题意；
C、点(
1
2 ,1)，代入得y=
1
2 k+b，若满足
1
2 k+b=1，需解方程组{
k+b=−2
1
2 k+b=1 ，解得k=−6，b=4，但若取k=1，b=−3，
此时y=
1
2 ×1+(−3)=−2.5≠1，故不必然经过该点，不符合题意；
D、点(1,2)代入得y=k⋅1+b=k+b=−2≠2，显然矛盾，故不可能经过该点，
故选：A．
3．(24-25 八下·福建泉州鲤城区福建泉州外国语学校·期末)定义：若点P(x,y)中的x，y满足{x2=y+t
y2=x+t
（t为常数，
且x≠y），则称点P为“生长点”，下列各点是一次函数y=2x−4图象上的“生长点”的为（ ）
A．(−1,−6)
B．(1,−2)
C．(2,0)
D．(3,−4)
【答案】B
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【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，新定义．根据“生长点”的定义，点需满足方程组{x2=y+t
y2=x+t
且x≠y，
同时位于直线y=2x−4上，需逐一验证选项是否满足条件．
【详解】解：A、 当x=−1时，y=2×(−1)−4=−6，故点(−1,−6)在一次函数y=2x−4图象上，则t=x2−y=(−1)2−(−6)=7，
t=y2−x=(−6)2−(−1)=37，t不唯一，不符合题意；
B、当x=1时，y=2×1−4=−2，故点(1,−2)在一次函数y=2x−4图象上，则t=x2−y=12−(−2)=3，t=y2−x=(−2)2−1=3，
符合题意；
C、当x=2时，y=2×2−4=0，故点(2,0)在一次函数y=2x−4图象上，则t=x2−y=22−0=4，t=y2−x=02−2=−2，t不唯
一，不符合题意；
D、当x=3时，y=2×3−4=2，故点(3,−4)不在一次函数y=2x−4图象上，不符合题意；
故选：B．
4．(2025·江苏省南京市·模拟)记住a⋅b是两个实数a 与b 的一种运算．已知a⋅0=1−a，函数y=m⋅(x+1)(m≠1)为
正比例函数，则4⋅5=（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据y=m⋅(x+1)(m≠1)为正比例函数，设
y=m⋅(x+1)=kx，由a⋅0=1−a令m⋅(x+1)=kx中x=−1即可，进一步即可得出k=m−1，则y=m⋅(x+1)=(m−1)x，代入
y=m⋅(x+1)=(m−1)x计算即可．
【详解】解：∵y=m⋅(x+1)(m≠1)为正比例函数，
∴设y=m⋅(x+1)=kx，
∵a⋅0=1−a，
∴只需令m⋅(x+1)=kx中x=−1即可，
即m⋅(−1+1)=m⋅0=1−m=−k，
∴k=m−1，
∴y=m⋅(x+1)=(m−1)x，
∴要求4⋅5中，令m=4，x=4代入y=m⋅(x+1)=(m−1)x得
∴4⋅5=4⋅(4+1)=(4−1)×4=12，
故选：A．
5．(24-25 八下·福建福州连江县·期中)已知一次函数y=ax−a−b（a，b是常数，a≠0），若a+b<0，点P(2,m)(m<0)
在该函数图象上，则下列说法正确的是（ ）
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A．a<0且|a|>|b|
B．a<0且|a|<|b|
C．a>0且|a|>|b|
D．a>0且|a|<|b|
【答案】A
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根
据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到m=a−b<0，结合a+b<0即可推导参数关系，进而判断选
项．
【详解】解：点P(2,m)在函数图象上，代入y=ax−a−b得：
m=2a−a−b=a−b
∵m<0，
∴a−b<0，即a<b，
∵a+b<0，即b<−a，
∴a<b<−a
∴a<0，|a|>|b|．
故选：A ．
6．(24-25 八上·江苏宿迁沭阳县·期末)若点P(x,y)满足x+y=k，则称点P具有性质H(K)．例如点Q(3,4)具有性质
H(7)．如图，在长方形ABCD中点A(3,2)，点C(−3,−2)，AB⊥x轴，CB⊥y轴．长方形ABCD边上存在两点M，N均
具有性质H(−2)，则线段MN长为（ ）
A．3
B．2√3
C．3√2
D．2√13
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、一次函数的图象与性质，读懂题意并熟练掌握以上知识点是解题的关键．根
据题意可知点M、N的坐标满足x+y=−2，即y=−x−2，则点M、N为直线y=−x−2与长方形ABCD边的交点，进而
求得点M、N的坐标，得到CM、CN的长度，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知，点M、N的坐标满足x+y=−2，
∴y=−x−2，
则点M、N为直线y=−x−2与长方形ABCD边的交点，如图所示，
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∵C(−3,−2)
∴xM=−3，yN=−2，
代入y=−x−2得，yM=1，xN=0，
∴M(−3,1)，N(0,−2)，
∴CM=1−(−2)=3，CN=0−(−3)=3，
∴MN=√CM2+CN2=√32+32=3√2．
故选：C．
7．若点(a+1,b−1)在函数y=−
1
2 x上，则2a+4b= ．
【答案】2
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是将点的坐标代入函数解析式．将坐标
(a+1,b−1)代入y=−
1
2 x得到关于a、b的等式，再对所求式子进行变形求值．
【详解】解：因为点(a+1,b−1)在函数y=−
1
2 x的图象上，所以b−1=−
1
2 (a+1)，整理得a+2b=1，两边同时乘以2
得2a+4b=2．
故答案为：2．
8．(24-25 八上·辽宁本溪·期末)若点P(m,n)在直线4x+3y=11上，且m，n都是正整数，则点P坐标是 ．
【答案】(2,1)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由点P(m,n)在直线4x+3y=11上，则4m+3n=11，然后根据题意
求二元一次方程组的正整数解即可，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．
【详解】解：∵点P(m,n)在直线4x+3y=11上，
∴4m+3n=11，
∵m，n都是正整数，
∴m=2，n=1，
∴点P坐标是(2,1)，
故答案为：(2,1)．
9．(24-25 八上·江苏苏州立达中学校·月考)对于三个数a、b、c，用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数，例
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如，max{−1,2,3}=3，max{−1,2,a}= {2(a≤2)
a(a>2)
．那么观察图象，可得到max{x+1,2−x,2x−1}的最小值为 ．
【答案】
3
2
【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌
握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，
根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解．
【详解】解：根据图示，联立方程求交点得，
①2x−1=x+1，解得，x=2；
②2x−1=2−x，解得，x=1；
③2−x=x+1，解得，x=
1
2；
∴当x>2时，2x−1>x+1>2−x，则max{x+1,2−x,2x−1}=2x−1>3；
当x=2时，2x−1=x+1>2−x，则max{x+1,2−x,2x−1}=2x−1=2×2−1=3；
当1<x<2时，x+1>2x−1>2−x，则max{x+1,2−x,2x−1}=x+1,2<x+1<3；
当x=1时，x+1>2x−1=2−x，则max{x+1,2−x,2x−1}=x+1=1+1=2；
当
1
2 <x<1时，x+1>2−x>2x−1，则max{x+1,2−x,2x−1}=x+1,
3
2 <x+1<2；
当x=
1
2时，x+1>2−x>2x−1，则max{x+1,2−x,2x−1}=x+1=
3
2；
当x<
1
2时，2−x>x+1>2x−1，则max{x+1,2−x,2x−1}=2−x>
5
2；
综上所述，mmx{x+1,2−x,2x−1}的最小值为
3
2，
故答案为：
3
2．
10．(24-25 八上·安徽池州·期中)定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于
n(n>0)的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，(2,1)为一次函数y=x−1的“3 阶和点” ．
（1）若点(−1,−1)是y关于x的正比例函数y=mx的“n阶和点”，则m= ，n= ；
（2）若y关于x的一次函数y=kx−2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5 阶和点”，k= ．
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【答案】 1 2 6 或−
1
4
【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法．
（1）由点(−1,−1)在正比例函数y=mx的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m 的值，由点
(−1,−1)是y 关于x 的正比例函数y=mx的“n阶和点”，可求出n 的值；
（2）利用分类讨论的方法和“5 阶和点”的定义求得“5 阶和点”，再利用待定系数法解答即可．
【详解】解：（1）∵点(−1,−1)是y 关于x 的正比例函数y=mx的点，
∴−m=−1，
∴m=1，
∵点(−1,−1)到两坐标轴的距离之和等于2，
∴点(−1,−1)是y 关于x 的正比例函数y=mx的“2 阶和点”，
∴n=2．
故答案为：1，2；
（2）设一次函数y=x+3图象的“5 阶和点”为(a,b)，则|a|+|b|=5，b=a+3，
一次函数y=x+3图象经过第一、二、三象限，
当(a,b)在第一象限时，a+b=5，
∴a=1，b=4，
∴一次函数y=x+3图象的“5 阶和点”为(1,4)，
∴一次函数y=kx−2的图象经过(1,4)，
∴k−2=4，
∴k=6；
当(a,b)在第二象限时，−a+b=5，由于b=a+3，此种情形不存在；
当(a,b)在第三象限时，−a−b=5，
∴a=−4，b=−1，
∴一次函数y=x+3图象的“5 阶和点”为(−4,−1)，
∴一次函数y=kx−2的图象经过(−4,−1)，
∴−4k−2=−1，
∴k=−
1
4．
综上，y关于x的一次函数y=kx−2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5 阶和点”，k 的值为6 或−
1
4，
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故答案为：6 或−
1
4．
11．(25-26 八上·陕西西安西光中学教育集团·期中)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(m+1,−m+3)．
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)试判断点P是否在直线y=−x+4上，并说明理由．
【答案】(1)P(4,0)
(2)点P在直线y=−x+4上，理由见解析
【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特点、一次函数的图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）令点P的纵坐标为0即可解题；
（2）将点P的坐标代入解析式验证即可．
【详解】（1）解：∵点P的坐标为(m+1,−m+3)，且点P在x轴上，
−m+3=0，
解得：m=3，
P(4,0)；
（2）解：点P在直线y=−x+4上，理由如下：
当x=m+1时，y=−(m+1)+4=−m+3，
∴点P在直线y=−x+4上．
12．(25-26 九上·浙江温州实验学校·期中)已知关于x 的一次函数y=2ax+x−a+1（a 为常数，且a≠0）．
(1)当自变量1 对应的函数值为5 时，求a 的值；
(2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q 的坐标．
【答案】(1)3
(2)(
1
2 ，
3
2)
【分析】本题主要考查代入求值和整式中某项系数为0 的条件等知识点，解决此题的关键是正确的计算；
（1）根据题意把自变量和函数值代入解析式，即可解决问题；
（2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包
含a，把所有含a 的项合并在一起，令其系数为0 即可；
【详解】（1）解：把x=1，y=5代入y=2ax+x−a+1（a 为常数，且a≠0）得，5=2a+1−a+1，
解得a=3；
（2）解：∵y=2ax+x−a+1=(2x−1)a+x+1，
∴当x=
1
2时，可有y= (2×
1
2 −1)a+
1
2 +1=0−
3
2 =
3
2 ，
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∴对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点(
1
2 ，
3
2)，
∴Q (
1
2 ，
3
2)．
13．(24-25 七下·江苏泰州姜堰区南苑学校·期中)已知关于x、y的二元一次方程组{3x+2y=m+1
2x+y=m−1
．
(1)若5x+3y=6，求m的值；
(2)若x、y均为非负数，求m的取值范围；
(3)已知w=3x−4y+m，在（2）的条件下，求w的最大值和最小值．
【答案】(1)m=3；
(2)3≤m≤5；
(3)当m=3时，w最小=−5，当m=5时，w最大=11．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解、一元一次不等式组的求解以及一次函数的性质．熟练掌
握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及一次函数的增减性是解题的关键．
（1）本题可先求解方程组得出x、y关于m的表达式，再将其代入5x+3y=6中，进而求出m的值．
（2）根据x、y均为非负数，可得到关于m的不等式组，求解该不等式组即可得到m的取值范围．
（3）先将w=3x−4y+m转化为关于m的表达式，再结合（2）中m的取值范围，根据一次函数的性质求出w的
最大值和最小值．
【详解】（1）解：{3x+2y=m+1
①
2x+y=m−1
②
②×2−①得：
4x+2y−(3x+2y)=2(m−1)−(m+1)，
x=m−3，
把x=m−3代入②得：
2(m−3)+y=m−1，
2m−6+y=m−1，
y=−m+5，
∵5x+3y=6
∴5(m−3)+3(−m+5)=6
解得m=3；
（2）解：∵x、y均为非负数
∴{ m−3≥0
−m+5≥0
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由m−3≥0得m≥3，
由−m+5≥0得m≤5
∴m的取值范围是3≤m≤5；
（3）解：w=3x−4y+m
=3(m−3)−4(−m+5)+m
=3m−9+4m−20+m
=8m−29
∵3≤m≤5
∵w=8m−29中8>0，w随m的增大而增大
∴当m=3时，w取得最小值， w最小=8×3−29=−5
当m=5时，w取得最大值， w最大=8×5−29=11
14．如图，已知点A(6,0)、点B(0,−2)．
(1)求直线AB所对应的函数表达式；
(2)在x轴上找一点P，使其满足PA=PB，求P 点的坐标．
(3)在（2）的条件下，求△PAB的面积
【答案】(1)y=
1
3 x−2
(2)(
8
3 ,0)
(3)
10
3
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离，
（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的表达式；
（2）设点P 的坐标为(m,0)，结合点A，B 的坐标可得出PA，PB的长，结合PA=PB可得出关于m 的方程，
解之即可得出m 的值，进而可得出点P 的坐标．
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（3）根据S△PAB=
1
2 ×PA×OB求解即可．
【详解】（1）解：设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将A(6,0)、B(0,−2)代入，得{ b=−2
6k+b=0
，解得{ k=
1
3
b=−2
，
∴直线AB 所对应的函数表达式为y=
1
3 x−2；
（2）解：设点P 的坐标为(m,0)．因为点A 的坐标为(6,0)，点B 的坐标为(0,−2)，
∴PA=|m−6|，PB=√m2+22
又∵PA=PB，
∴(m−6)2=m2+22
∴m=
8
3，
∴点P 的坐标为(
8
3 ,0)
（3）解：S△PAB=
1
2 ×PA×OB=
1
2 ×(6−
8
3 )×|−2|=
10
3 ．
15．(23-24 八上·浙江杭州拱墅区·期末)综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数
y1=ax−b，y2=bx−a（a，b 均不为0，且a≠b），同学们利用图形计算器画出a，b 不同取值下的两个一次函数
的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（a=1，b=2；a=2，b=−1；a=−1，b=−2时的函数
图象，得到了不同情况下函数y1和y2的图象的交点坐标．
数学思考：（1）请从（I）当a=1，b=2时；（Ⅱ）当a=2，b=−1时；（Ⅲ）当a=−1，b=−2时，三组值中任选一
组，求此时函数y1和y2的图象的交点坐标．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题．
①“运河小组”提出问题：不论a，b 如何取值，函数y1和y2的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，
并求出这个定值．
②“武林小组”提出问题：若a>b，要比较y1和y2的大小，需要分类讨论．请你比较y1和y2的大小．
③不论a，b 如何取值，当x 等于某个正数时，函数y1和y2的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出
结论．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）①证明见解析，定值为-1；②当x>−1时，y1>y2；当x=−1时，y1=y2；当
x<−1时，y1<y2；③当x=1时，y1+y2=0
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【分析】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键．
（1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可；
（2）①联立解析式，求出x的值，根据a，b均不为0，且a≠b，得到x=−1为定值即可；
②令y1−y2≥0，则(a−b)x+a−b≥0，得x≥−1；令y1−y2<0，则(a−b)x+a−b<0得x<−1；
③两解析式相加得）=(a+b)(x−1)，即x=1时，不论a，b如何取值，y1+y2=0．
【详解】解：（1）选择（Ⅰ）时函数y1=x−2和y2=2x−1的图象的交点坐标是(−1,−3)；
选择（Ⅱ）时函数y1=2x+1和y2=−x−2的图象的交点坐标是(−1,−1)；
选择（Ⅲ）时函数y1=−x+2和y2=−2x+1的图象的交点坐标是(−1,3)．
（2）①由题意，得ax−b=bx−a，
所以(a−b)x=b−a，
因为a≠b，
所以x=−1．
所以不论a，b 如何取值，函数y1和y2的图象的交点的横坐标都是定值−1．
②由题意，得y1−y2=(a−b)x+(a−b)=(a−b)(x+1)，
因为a>b，所以a−b>0，
所以当x>−1时，y1−y2>0，y1>y2；
当x=−1时，y1−y2=0，y1=y2；
当x<−1时，y1−y2<0，y1<y2．
③当x=1时，y1+y2=0．
