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5.5 一次函数的简单应用
题型一：方案分配问题之旅行问题
1．(24-25 八下·河北张家口张北县第三中学等校·期末)“这么近那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出
野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x 人参加该活动，购票总花费为y 元，这两种方案中y 关于
x 的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a 元），所有人都按半价优惠；
方案二：所有人都按六折优惠．
A．a=480
B．原票价为480 元/人
C．方案二中y 关于x 的函数解析式为y=480x
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D．当x>10时，方案一比方案二优惠
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中获取有效的信息，求出函数图象解析式是解题关键．本
题求出两种方案的解析式，选项逐一进行判断即可．
【详解】A、由图象可知：会员卡的费用为400 元，∴a=400，故本选项不符合题意；
B、方案二：2 人花费480 元，∴单人票价为240 元，
∴原票价为：240÷60%=400元，故本选项不符合题意；
C、∵方案二单人票价为240 元
∴方案二的解析式为：y=240x，故本选项不符合题意；
D、由题意得：方案一单人票价为：400×0.5=200元
∴方案一的解析式为：y=200x+400，
当200x+400<240x，即：x>10时，方案一比方案二更优惠，故本选项符合题意
故选D．
5．(25-26 八上·陕西咸阳实验学校·期中)某旅游景区的票价为150 元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠
方案：
方案一：每人票价打九折；
方案二：10 人以内（含10 人）不优惠，超过10 人的部分打八折．
设该旅行社组织x(x>10)人去该景区旅游，方案一中购票总金额为y1元，方案二中购票总金额为y2元．
(1)分别写出方案一、方案二中y1，y2与x之间的关系式；
(2)某单位共34 人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由．
【答案】(1)y1=135x
y2=120x+300
(2)选择方案二更优惠，见解析
【分析】本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关
键
（1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10 人原价，超过部分打八折，分段计算后合并．
（2）代入x=34计算两种方案的总费用，比较大小后得出结论．
【详解】（1）解：票价为150 元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为150×0.9=135元，
故y1=135x；
方案二：10 人以内（含10 人）不优惠，此时费用为150×10=1500元，超过10 人的部分的费用为
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150×0.8×(x−10)=120x−1200，
总费用为：y2=120x−1200+1500=120x+300．
（2）解：当x=34时，y1=135×34=4590，
y2=120×34+300=4080+300=4380．
∵4590>4380，
∴选择方案二更优惠．
3．(25-26 七上·重庆川外基础教育集团·期中)某游乐园票价为每人120 元，为了吸引客源，该游乐园在“双
11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下：
①若团体人数不足10 人，则不享受优惠；
②若团体人数在10 人及以上，则有两种优惠方案可供选择；
方案一：每人都享受七五折优惠；
方案二：其中10 人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠．
期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A 家庭有4 人，B 家庭有3 人，
C 家庭有2 人．
(1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？
(2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x 个人(x≥1)，请解
决下列问题：
①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y 元．试用含x 的代数式表示y；
若他们选择方案二，设购买门票共需花费w 元，试用含x 的代数式表示w．
②当x=8时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明．
【答案】(1)购买门票共需花费1080元
(2)①方案一：y=90x+810；方案二：w=72x+948；②选择方案二更划算
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确表示出不同的表达式是解题的关键．
（1）依据题意可得不享受优惠，计算即可；
（2）①依据题意，分别根据购票方案一，方案二，表示出购买门票的费用；
②依据题意，将x=8代入各个表达式对比即可．
【详解】（1）解：∵ A 家庭有4 人，B 家庭有3 人，C 家庭有2 人，
则共有4+3+2=9（人），
购买门票共需花费9×120=1080（元），
答：购买门票共需花费1080元；
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（2）解：①方案一:y=120×0.75(x+9)=90x+810；
方案二：w=10×0.85×120+0.6×120(x+9−10)=72x+948
②当x=8时，y=90×8+810=1530（元）；
w=72×8+948=1524（元），
∵1524<1530，
故选择方案二更划算．
4．(25-26 八上·广东深圳宝安区宝安中学外国语学校·月考)某班级计划在这学期组织学生到某地研学，参加
研学的班级人数估计为35 至45 人．甲、乙两家研学社的服务质量相当，且报价都是每人100 元，经过协
商，甲研学社表示可以给予每位学生七折优惠，乙研学社表示可先免去五位学生的研学费用，然后给予其
余学生八折优惠．若班级参加研学的人数为x，向甲、乙两家研学社支付的费用分别为y1和y2．
(1)写出y1，y2与x 的关系式；
(2)若班级参加研学的人数刚好为42 人，选择哪家研学社更经济实惠？
(3)该班级选择哪一家研学社支付的研学费用较少?
【答案】(1)y1与x 的关系式为y1=70x（35≤x≤45，且x为整数），y2与x 的关系式为y2=80x−400（35≤x≤45，且
x为整数）
(2)选择甲研学社更经济实惠，理由见解析
(3)当35≤x<40时，乙研学社费用较少；当x=40时，两家费用相同；当40<x≤45时，甲研学社费用较少
【分析】本题考查了一次函数的应用，写出y1，y2与x 的关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
（1）根据优惠情况分别写出y1，y2与x 的关系式即可；
（2）当x=42时分别计算y1，y2的值并比较大小即可得出结论；
（3）分别根据y1<y2、y1=y2、y1>y2列一元一次不等式并求出x 的取值范围即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意知，
y1=0.7×100x=70x（35≤x≤45，且x为整数）
，y2=0.8×100(x−5)=80x−400（35≤x≤45，且x为整数），
∴y1与x 的关系式为y1=70x（35≤x≤45，且x为整数），y2与x 的关系式为y2=80x−400（35≤x≤45，且x为整数）．
（2）解：当x=42时，y1=70×42=2940，y2=80×42−400=2960，
∵2940<2960，
∴选择甲研学社更经济实惠．
（3）解：当y1<y2时，70x<80x−400，
解得x>40，
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∴40<x≤45，
当y1=y2时，70x=80x−400，
解得x=40，
当y1>y2时，70x>80x−400，
解得x<40，
∴35≤x<40，
∴当35≤x<40时，选择乙研学社费用较少；当x=40时，两家费用相同，任选一家即可；当40<x≤45时，选择甲
研学社费用较少．
5．(24-25 八下·天津第五十五中学·期末)某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租
供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45 人，每辆乙种大客车的载客量为30 人，每辆甲种大客
车比乙种大客车贵120 元，3 辆甲种大客车和2 辆乙种大客车共计 1760 元．
(1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？
(2)学校计划在总费用2300 元的限额内，送234 名学生和6 名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名
教师，设共租用了汽车m 辆，其中租用甲种客车x 辆，租车费用为y 元．
①其中m 的值为 ；
②求y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围；
③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由．
【答案】(1)甲种大客车每辆车的租金为400 元，则乙种大客车每辆的租金为280 元
(2)①6；②y=120x+1680（x=4或x=5）；③租甲种客车4 辆，乙种客车2 辆时，最节省费用，最小费用为2160
元，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元一次不等式，一次函数与一次不等式组的综合应用，由题意得出租用x 辆甲
种客车与总租金用y 的函数关系是解决问题的关键．
（1）甲种大客车每辆车的租金为x 元，则乙种大客车每辆的租金为(x−120)元，根据题意，列出方程进行计
算即可；
（2）①根据租用5 辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6 辆得出结
果；
②根据题意可列出y 与x 的等式关系，再化简整理得出x，y 的表达式；再根据共有师生240 人，费用不超
过2300 元，列不等式组求解出x 的取值范围；
③由②中结论计算比较即可解答．
【详解】（1）解：设甲种大客车每辆车的租金为x 元，则乙种大客车每辆的租金为(x−120)元，
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根据题意得：3x+2(x−120)=1760，
解得：x=400，
则x−120=280，
答：甲种大客车每辆车的租金为400 元，则乙种大客车每辆的租金为280 元；
（2）①∵需要运送的总人数为234+6=240（人），
240÷45=5
1
9，
则租用5 辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6 辆，即m=6，
故答案为：6；
②设租甲种客车x（辆）、学校租车所需的总费用y（元），依题意，
得y=400x+280(6−x)
整理，得y=120x+1680．
所以y 与x 的函数关系式为：y=120x+1680；
由题意得，{ 45x+30(6−x)≥240
400x+280(6−x)≤2300
解得4≤x≤
31
6 ，
∵x为整数，
∴x的值为4 或5，
y=120x+1680（x=4或x=5）；
③则有两种租车方案：
甲种客车4 辆，乙种客车2 辆，租车需花费：400×4+280×2=2160（元）；
甲种客车5 辆，乙种客车1 辆，租车需花费：400×5+280=2280（元）．
∵2280>2160，
∴最少租车费用是2160 元，
则租甲种客车4 辆，乙种客车2 辆时，最节省费用，最小费用为2160 元．
6．(24-25 七下·江苏连云港灌云县·期末)这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被刷屏，
网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹VS大闸蟹、云雾茶PK碧螺春、海鲜VS汤包……2025年6月15日，连云港主
场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色battle被戏称为“蟹王争霸赛”．为给赛事加码，
连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至9月30日，凡持有2025年江苏省城市足球联赛购票
凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后7天内（十一假期不含在内）连云港市域内
景区、酒店优惠．
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已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．凡
球迷圆团体入住一律五折优惠．一个50人的团体在6月14日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．
(1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少
间？
(2)一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并
求出最低费用．
【答案】(1)租住了三人间8间，双人间13间
(2)一天6300元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案：48人住三人间，2人住双人间，则费用最低，
为5100元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，（1）设租住了三人间有a间，双人间有b间．注
意凡团体入住一律五折优惠，根据“租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元”列方程组
求解即可；
（2）设三人间住了x人，则双人间住了(50−x)人，住宿费=100×三人间的人数+150×双人间的人数，再结合x
的取值范围及实际情况，运用函数的性质即可得解；
解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．
【详解】（1）解：∵凡团体入住一律五折优惠，
∴三人间为每人每天200×0.5=100（元），双人间为每人每天300×0.5=150（元），
设租住了三人间有a间，双人间有b间，
依题意，得：{
3a+2b=50
100×3a+150×2b=6300
，
解得：{ a=8
b=13
，
答：租住了三人间8间，双人间13间；
（2）设三人间住了x人，则双人间住了(50−x)人，
∴一天的住宿费用为y=100x+150×(50−x)=−50x+7500(0≤x≤50)，
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∵−50<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x 满足
x
3、
50−x
2 为整数，且
x
3最大时，即x=48时，住宿费用最低，
此时y=−50×48+7500=5100<6300，
∴一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元，
∴住宿费用最低的设计方案为：48人住三人间，2人住双人间，则费用最低，为5100元．
题型二：方案分配问题之运输问题
1．(25-26 八上·安徽利辛县部分学校·月考)甲地有木材300 吨，乙地有木材400 吨．现将两地木材全部运往
A、B 两木艺加工厂，其中A厂需木材360 吨，B厂需木材340 吨．设从甲地运x吨木材到A厂（0≤x≤300），从
甲地运往两木艺厂的总运费为y1元，从乙地运往两木艺厂的总运费为y2元．
运费表
A厂
B厂
甲地
30
40
乙地
10
15
(1)木材运输配送表如下，请你填空（用含x的式子表示）：
甲地
乙地
A厂
x
②
B厂
①
③
①______；②______；③______；
(2)请分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
(3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费y2不得超过4800 元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木
艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值．
【答案】(1)①300−x，②360−x，③40+x
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(2)y1=−10x+12000(0≤x≤300)；y2=5x+4200(0≤x≤300)
(3)甲地运往A厂：120 吨，甲地运往B厂：180 吨；乙地运往A厂：240）吨，乙地运往B厂：160 吨，y总最小值=15600
【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意．
（1）设从甲地运x吨木材到A厂，根据“甲地有木材300 吨，乙地有木材400 吨．现将两地木材全部运往A、
B 两木艺加工厂，其中A厂需木材360 吨，B厂需木材340 吨”列代数式即可；
（2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可；
（3）根据总运费=y1+y2得到y总关于x的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：由题意得，①300−x，②360−x，③340−(300−x)=40+x，
故答案为：①300−x，②360−x，③40+x；
（2）解：由题意得，y1=30x+40(300−x)=30x+12000−40x=−10x+12000(0≤x≤300)；
y2=10(360−x)+15(40+x)=3600−10x+600+15x=5x+4200(0≤x≤300)；
（3）解：因为y2≤4800，即5x+4200≤4800，
可得5x≤600，
得x≤120，
又0≤x≤300，
得0≤x≤120．
∵y总=y1+y2=(−10x+12000)+(5x+4200)=−5x+16200，
一次函数y总=−5x+16200中，−5<0，
故y总随x增大而减小，
∴0≤x≤120内，x取最大值120 时，y总最小．
故调运方案为：甲地运往A厂：120 吨，甲地运往B厂：300−120=180吨；乙地运往A厂：360−120=240吨，乙
地运往B厂：40+120=160吨，
所以y总最小值=−5×120+16200=15600（元）．
2．(24-25 八下·云南红河州·期末)“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A 县的蔬
菜200 吨和B 县的蔬菜300 吨运往武汉的C 区和D 区．现确定运往C 区和D 区的蔬菜分别是240 吨和260
吨．已知从A、B 两县运蔬菜到C、D 两区的运费（元/吨）如下表所示，设A 县运往C 区的蔬菜为x 吨，
A
B
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C
20
15
D
25
24
(1)用含x 的代数式填空：A 县运往D 区的蔬菜吨数为________，B 县运往C 区的蔬菜吨数为________，B
县运往D 区的蔬菜吨数为________．
(2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？
【答案】(1)200−x,240−x,x+60
(2)W=4x+10040(0≤x≤200)，A 县运往C 区0 吨，运往D 区200 吨；B 县运往C 区240 吨，运往D 区60 吨．可
使总运费最少
【分析】本题考查列代数式，一次函数的实际应用，正确的列出代数式，一次函数的解析式，是解题的关
键：
（1）根据运往C 区和D 区的蔬菜量，列出代数式即可；
（2）根据总运费等于各部分的运费之和，列出函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵确定运往C 区和D 区的蔬菜分别是240 吨和260 吨，从A 县运往C 区的蔬菜为x 吨，
∴从A县运往D区的蔬菜为(200−x)吨，B 县运往C 区的蔬菜为(240−x)吨，从B 县运往D 区的蔬菜为
260−(200−x)=(x+60)吨；
（2）由题意，得：W=20x+15(240−x)+25(200−x)+24(x+60)
∴W=4x+10040(0≤x≤200)
∵4>0
∴W随x的增大而增大
∵0≤x≤200
∴当x=0时，总运费W 最小
∴A 县运往C 区0 吨，运往D 区200 吨；B 县运往C 区240 吨，运往D 区60 吨．可使总运费最少．
3．某公司要将总重量为220t的货物运送到距公司分别为50km和70km的A 地和B 地，公司拥有甲，乙两种
型号车辆共24辆，车辆的信息如下表：
车辆型
号
装载
量
每百千米油
耗
甲
10 t
12升
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乙
8 t
10升
(1)若每辆车都满载且刚好将220t货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？
(2)在（1）的条件下，现公司将12辆车派往A 地，其中甲种车辆m 辆，其余车辆派往B 地，且运往A 地的
货物不得多于106 t，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？
【答案】(1)甲14辆，乙10辆
(2)当派往A 地甲车5 辆，乙车7 辆，派往B 地甲车9 辆，乙车3 辆时，油耗最少，最少为161.6升
【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）设甲种车辆有x辆，乙种车辆有y辆，根据表格找到两个等量关系，列出方程组求解即可；
（2）根据题意求出m 的取值范围为2≤m≤5，设总油耗w升，然后写出w关于m的函数关系式，利用一次函数
的性质求出w的最小值即可．
【详解】（1）解：设甲种车辆有x辆，乙种车辆有y辆，
根据题意，{
x+y=24
10x+8y=220
，
解得{x=14
y=10
，
则甲种车辆14辆，乙种车辆10辆；
（2）设总油耗w升，
已知派往A 地的甲车m 辆，则派往A 地的乙车(12−m)辆，
根据题意需满足∶10m+8(12−m)≤106
解得m≤5
又∵乙车总数10辆，而需12辆车派往A 地，
∴m≥2，
∴m 的取值范围为2≤m≤5，
油耗计算∶
A 地∶甲车每辆油耗0.5×12=6升，乙车每辆油耗0.5×10=5升，
B 地∶甲车每辆油耗0.7×12=8.4升，乙车每辆油耗0.7×10=7升，
∴w=6m+5(12−m)+8.4(14−m)+7(m−2)=−0.4m+163.6，
∵−0.4<0，
∴ w随m增大而减小，
∴当m最大为5 时，w最小，
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w=−0.4m+163.6=−0.4×5+163.6=161.6升，
∴当派往A 地甲车5 辆，乙车7 辆，派往B 地甲车9 辆，乙车3 辆时，油耗最少，最少为161.6升．
4．(2025·湖北省荆门市·期末)为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往
A、B两地，甲厂有防疫物资60吨，乙厂有防疫物资40吨，A地需防疫物资70吨，B地需防疫物资30吨，每吨
防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往A地防疫物资x吨．
接收地
出发地
A地
B地
甲厂
7
10
乙厂
10
15
(1)直接写出x的取值范围： ．
(2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？
(3)因路况原因，从甲厂到A地的运输费用每吨增加了m百元，从乙厂“到B地的运输费用每吨降低了2m百元，
其它每吨运输费用不变，且1≤m≤4，请你探究总运费可以达到的最小值．
【答案】(1)30≤x≤60
(2)从甲厂运往A地防疫物资30吨，从甲厂运往B地防 疫物资30吨，从乙厂运往A地防疫物资40吨，从乙厂运
往B地防疫物资0吨，运输费用最低，最低费用为910百元
(3)940百元
【分析】（1）由题意可得从甲厂运往B地防疫物资(60−x)吨，从乙厂运往A地防疫物资(70−x)吨，从乙厂运
往B地防疫物资40−(70−x)=(x−30)吨，进而列出不等式组解答即可求解；
（2）设总费用为w百元，根据题意求出w与x的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解；
（3）设总费用为y百元，根据题意求出y与x的一次函数关系式，再分2−m<0、2−m=0和2−m>0三种情况，根
据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵从甲厂运往A地防疫物资x吨，
∴从甲厂运往B地防疫物资(60−x)吨，从乙厂运往 A地防疫物资(70−x)吨，从乙厂运往B地防疫物 资
40−(70−x)=(x−30)吨，
则{
x≥0
60−x≥0
70−x≥0
x−30≥0
，
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解得30≤x≤60，
故答案为：30≤x≤60；
（2）解：设总费用为w百元，
根据题意得，w=7x+10(60−x)+10(70−x)+15(x−30)=2x+850，
∵2>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=30时，w的值最小，最小值为2×30+850=910百元，
∴从甲厂运往A地防疫物资30吨，从甲厂运往B地防疫物资30吨，从乙厂运往A地防疫物资40吨，从乙厂运往
B地防疫物资0吨，运输费用最低，最低费用为910百元；
（3）解：设总费用为y百元，
根据题意得，y=(7+m)x+10(60−x)+10(70−x)+(15−2m)(x−30)=(2−m)x+850+60m，
当2−m<0，即2<m≤4时，y随x的增大而减小，
∵30≤x≤60，
∴x=60时，y的值最小，最小值为60(2−m)+850+60m=970百元；
当2−m=0，即m=2时，y=850+60×2=970百元；
当2−m>0，即1≤m<2时，y随x的增大而增 大，
∴当x=30时，y的值最小，最小值为30(2−m)+850+60m=910+30m，
当m=1时，910+30m=940， 此时y的最小值为940百元；
综上所述，总运费可以达到的最小值是940百元．
5．(23-24 八下·广东揭阳惠来县第一中学·期末)某市A，B两个蔬菜基地得知黄岗C，D两个灾民安置点分别
急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，
现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点，从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20 元和25 元，从B地
运往C，D两处的费用分别为每吨15 元和18 元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
(1)请填写表，用含x的代数式填空，结果要化简：
C
D
总计/t
A
______
______
200
B
x
______
300
总计/t
240
260
500
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(2)设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元(m>0)，其余线路的
运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】(1)240−x，x−40，300−x；
(2)w=2x+9200，总运费最小的调运方案：A调往C地200 吨，调往D地0 吨，B调往C地40 吨，调往D地260
吨；
(3)见详解
【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度．
（1）根据题意，用240 减x可得需要从A处运往C处的数量；用200 减去(240−x)可得从A处运往D处的数量；
300 减去x即为从B处运往D处的数量；
（2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得w与x的函数关系，列不等式组可解；
（3）本题根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当0<m<2时；当m=2时；当2<m<15时．
【详解】（1）解：由题意得：A调往C地(240−x)吨，调往D地200−(240−x)=(x−40)吨，B调往D地(300−x)吨，
C
D
总计/t
A
240−x
x−40
200
B
x
300−x
300
总计/t
240
260
500
故答案为：240−x，x−40，300−x；
（2）解：w与x之间的函数关系式为w=20(240−x)+25(x−40)+15x+18(300−x)=2x+9200，
由题意，得{
240−x≥0
x−40≥0
x≥0
300−x≥0
，
∴40≤x≤240，
在w=2x+9200中，
∵k=2>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=40时，总运费最小，
此时调运方案为：A调往C地200 吨，调往D地0 吨，B调往C地40 吨，调往D地260 吨；
（3）解：由题意得w=20(240−x)+25(x−40)+(15−m)x+18(300−x)=(2−m)x+9200，
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当0<m<2时，（2）中调运方案总费用最小；
当m=2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变，为9200 元；
当2<m<15时，2−m<0，∴w随x的增大而减小，所以x=240时总费用最小，
其调运方案如下：A调往C地0 吨，调往D地200 吨，B调往C地240 吨，调往D地60 吨．
6．(24-25 八下·吉林松原吉林油田第十二中学·月考)已知甲、乙两果园预计今年苹果的产量分别为120 吨和
130 吨，打算成熟后运到A、B两个仓库存放，已知A仓库可储存110 吨，B仓库可储存140 吨．设甲果园运
往A仓库的苹果x 吨，总运费为y 元．甲、乙两果园运送苹果到A、B两仓库的费用如下表：
甲果园
乙果园
A 仓库
160 元/吨
150 元/吨
B 仓库
200 元/吨
180 元/吨
(1)甲果园运往B仓库的苹果为______吨，乙果园运往A仓库的苹果为______吨，运往B仓库的苹果为______
吨（用含x 的代数式表示）；
(2)求y 与x 之间的函数解析式和自变量x 的取值范围；
(3)当甲果园运往A仓库多少吨苹果时，总运费最少？总运费最少是多少元？
【答案】(1)(120−x),(110−x),(20+x)；
(2)y=−10x+44100(0≤x≤110)；
(3)当甲果园运往A仓库110吨苹果时，总运费最少，总运费最少是43000元．
【分析】本题考查了列代数式，一次函数的应用等知识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据甲、乙两果园今年苹果的产量以及A、B两个仓库存放量进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论和表格中的数据进行计算，即可解答；
（3）利用一次函数的增减性进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：设甲果园运往A仓库的苹果x吨，则甲果园运往B仓库的苹果为(120−x)吨，乙果园运往A仓
库的苹果为(110−x)吨，运往B仓库的苹果为=140−(120−x)=(20+x)吨，
故答案为：(120−x),(110−x),(20+x)；
（2）解：由题意得：y=160x+200(120−x)+150(110−x)+180(20+x)=−10x+44100，
由题意得：{
x≥0
120−x≥0
110−x≥0
20+x≥0
，
解得：0≤x≤110，
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∴y与x之间的函数解析式：y=−10x+44100(0≤x≤110)；
（3）解：∵k=−10<0，
∴y随x的增大而减少，
∴当x=110时，y最小=−10×110+44100=43000（元），
∴当甲果园运往A仓库110吨苹果时，总运费最少，总运费最少是43000元．
7．(23-24 八下·山东日照·期末)A 校和B 校分别有库存电脑14 台和8 台，现决定支援给C 校12 台和D 校10
台．已知从A 校调运一台电脑到C 校和D 校的运费分别为40 元和10 元；从B 校调运一台电脑到C 校和D
校的运费分别为30 元和20 元．
(1)设A 校运往C 校的电脑为x 台，则A 校运往D 校的电脑为____台；B 校运往C 校的电脑为______台，B
校运往D 校的电脑为______台；
(2)求总运费W（元）关于x 的函数关系式；
(3)求出总运费W 最低的调运方案，最低运费是多少?
【答案】(1)(14−x)，(12−x)，(x−4)
(2)W=20x+420（4≤x≤12，且x为整数）
(3)A 校运4 台电脑到C 校，运10 台电脑到D 校；B 校运8 台电脑到C 校，运0 台电脑到D 校，最低费用为
500 元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据表格即可填空；
（2）利用总费用等于A 校运往C,D学校的费用加上B 校运往C,D学校的费用即可求解函数关系式；
（3）利用一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设A 校运往C 校的电脑为x 台，则A 校运往D 校的电脑为(14−x)台；B 校运往C 校的电
脑为(12−x)台，B 校运往D 校的电脑为10−(14−x)=(x−4)台，
故答案为：(14−x)；(12−x)；(x−4)；
（2）解：由题意得，W=40x+10(14−x)+30(12−x)+20(x−4)
=20x+420（4≤x≤12，且x为整数）
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（3）解：∵W=20x+420，k=20>0，
∴W随着x的增大而增大，
∴当x=4时，W最小，
∴最低运费是W=20×4+420=500（元），
总运费最低的调运方案为：A 校运往4 台电脑到C 校，运往10 台电脑到D 校；B 校运往8 台电脑到C 校，
运往0 台电脑到D 校．
答：最低运费为500元，总运费最低的调运方案为：A 校运4 台电脑到C 校，运10 台电脑到D 校；B 校运8
台电脑到C 校，运0 台电脑到D 校．
题型三：方案分配问题之销售问题
1．(24-25 八下·湖南长沙雅礼雨花中学·期末)“植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上
春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2 棵甲种树苗和3 棵乙种树苗共需240 元，购买3 棵甲种
树苗和2 棵乙种树苗共需210 元．
(1)求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600 棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗
的售价打9 折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2 倍，则学校应该如何设计购买方案，
才能使购买树苗的总费用最少？
【答案】(1)购买一棵甲种树苗需要30 元，一棵乙种树苗需要60 元
(2)购买甲种树苗400 棵，乙种树苗200 棵，才能使购买树苗的总费用最少
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数
关系式．
（1）设购买一棵甲种树苗需要x元，一棵乙种树苗需要y元，根据购买2 棵甲种树苗和3 棵乙种树苗共需240
元，购买3 棵甲种树苗和2 棵乙种树苗共需210 元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲种树苗m 棵，则购买乙种树苗(600−m)棵，根据购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量
的2 倍，列出一元一次不等式，解得m≤400，再设总费用为w 元，由题意列出w 关于m 的一次函数关系式，
然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买一棵甲种树苗需要x元，一棵乙种树苗需要y元，
由题意：{2x+3y=240
3x+2y=210
，
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解得：{x=30
y=60
，
答：购买一棵甲种树苗需要30 元，一棵乙种树苗需要60 元；
（2）解：设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(600−m)棵，
由题意得：m≤2(600−m)，
解得：m≤400，
设总费用为w元，
由题意得：w=30m+60×0.9(600−m)=−24m+32400，
∵−24<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=400时，w有最小值，此时，600−m=200，
答：购买甲种树苗400 棵，乙种树苗200 棵，才能使购买树苗的总费用最少．
2．(24-25 八下·云南保山腾冲·期末)“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某
景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10 万元．用
240 万元购买甲型房车的数量与用360 万元购买乙型房车的数量相等．
(1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？
(2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20 辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车
的数量不少于8 辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？
【答案】(1)甲型房车的单价为20 万元，乙型房车的单价为30 万元
(2)应购买甲型房车12 辆，乙型房车8 辆时，最低总费用为480 万元
【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数求最值的运用．
（1）设甲型房车的单价为x 万元，则乙型房车的单价为(x+10)万元，结合题意，列分式方程求解即可；
（2）设购买甲型房车a 辆，则购买乙型房车(20−a)辆，根据购买乙型房车的数量不少于8 辆，列出一元一
次不等式，得到a 的取值范围，设总费用为w 元，由题意列出w 关于a 的一次函数关系式，根据一次函数
求最值的方法即可求解．
【详解】（1）解：设甲型房车的单价为x 万元，则乙型房车的单价为(x+10)万元，
∵用240 万元购买甲型房车的数量与用360 万元购买乙型房车的数量相等，
∴
240
x =
360
x+10，
解得x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，
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∴x+10=30，
∴甲型房车的单价为20 万元，乙型房车的单价为30 万元；
（2）解：设购买甲型房车a 辆，则购买乙型房车(20−a)辆，
∵购买乙型房车的数量不少于8 辆，
∴20−a≥8，
解得a≤12，
设总费用为w 万元，
由题意可得：w=20a+30(20−a)=−10a+600，
∴w 随a 的增大而减小，
∴当a=12时，w 最小，此时w=480，20−a=8，
答：为使总费用最低，应购买甲型房车12 辆，乙型房车8 辆时，最低总费用为480 万元．
3．某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A 型、B 型两种型号的放大镜，若购买8 个A 型
放大镜和5 个B 型放大镜需用440 元；若购买4 个A 型放大镜和6 个B 型放大镜需用304 元．
(1)求每个A 型放大镜和每个B 型放大镜各多少元？
(2)该中学决定购买A 型和B 型放大镜共75 个，其中A 型放大镜的数量不少于B 型放大镜数量的3 倍，则
如何购买费用最少？最少费用多少元？
【答案】(1)每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为40 元，24 元
(2)当购买A 型放大镜57 个，B 型放大镜18 个，购买费用最少，最少费用2712 元．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，列出
方程组、不等式是解题的关键．
（1）设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元，再根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A 型放大镜a 个，再根据题意列出不等式求得a 的最小值，然后再根据题意列出购买费用w 与
a 的函数关系，最后根据一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元，
可得{8x+5y=440
4x+6y=304
，解得：{x=40
y=24
，
答：每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为40 元，24 元．
（2）解：设购买A 型放大镜a 个，则购买B 型放大镜(75−a)个，
根据题意可得：a≥3(75−a)，解得：a≥56.25（a 为整数），即a 的最小值为57，
所以购买费用为：w=40a+24(75−a)=16a+1800，
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∵16>0，
∴w 随a 的增大而增大，
∴当a=57时，最少费用2712 元．
∴当购买A 型放大镜57 个，B 型放大镜18 个，购买费用最少，最少费用2712 元．
4．(2025·黑龙江省七台河市·一模)某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700 吨，乙水果
大约1020 吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的A、B两种车皮共30 节，A种车皮每节运费2500 元，B
种车皮每节运费3000 元．
(1)设租车皮的总费用为y元，租A种车皮x节，请写出y和x之间的函数关系式．
(2)如果每节A车皮最多可装甲水果30 吨和乙水果20 吨，每节B车皮最多可装甲水果25 吨和乙水果40 吨，
装水果时按此要求安排A、B两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．
(3)计划下一次租用A、B两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用A、B两种车皮，请直接写出有哪几
种租车方案？
【答案】(1)y=−500x+90000
(2)共10 种方案，A 种车皮9 节，B 种车皮21 节，最低费用为85500 元
(3)(x,y)=(33,1)或(27,6)或(21,11)或(15,16)或(9,21)或(3,26)，所以共6 种租车方案．
【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立
函数模型并求解．
（1）根据关系，列出函数关系式，化简即可；
（2）根据题意列出不等式组，计算出x 的取值范围，即可知有10 种方案且计算出最低费用；
（3）列出方程式，解得其整数解即可．
【详解】（1）解：y=2500x+3000(30−x)=−500x+90000，
∴y和x 之间的函数关系式为y=−500x+90000；
（2）解：{ 30x+25(30−x)≥700
20x+40(30−x)≥1020
，
解得−10≤x≤9，
∵x≥0，
∴ x 的可能取值为0≤x≤9的整数，共10 种方案，
∵费用函数y=−500x+90000中，y 随x 增大而减小，
∴当x=9时，费用最低，
此时y=−500×9+90000=85500元，
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对应方案为A 种车皮9 节，B 种车皮21 节，
故答案为：共10 种方案，最低费用为85500 元；
（3）解：解方程2500x+3000y=85500，
化简为5x+6y=171，满足x≥1，y≥1，
整数解有：(x,y)=(33,1)或(27,6)或(21,11)或(15,16)或(9,21)或(3,26)，所以共6 种租车方案．
5．(24-25 七下·河南信阳·期末)某学校举行表彰大会，决定购买一批笔记本和文具盒作为优秀学生的奖品，
已知购买1 个文具盒和2 本笔记本共需16 元，购买2 个文具盒和3 本笔记本共需28 元．
(1)求购买1 个文具盒和1 本笔记本各需多少元？
(2)该学校决定购买文具盒和笔记本共100 件，且用于购买这些奖品的总费用不能超过650 元，求最多可购
买文具盒多少个？
(3)在（2）的条件下，若购买文具盒的数量不低于笔记本数量的1.5倍，请设计出费用最低的购买方案，并
求出最低费用．
【答案】(1)每个文具盒为8 元，每本笔记本为4 元
(2)62
(3)购买60 个文具盒，40 个笔记本费用最低，最低费用为640 元
【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题、一元一次不等式（组）的应用、一次函数的最值：
（1）设每个文具盒为x元，每本笔记本为y元，列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买文具盒a个，购买笔记本(100−a)个，根据题意列出不等式并求解即可；
（3）列出不等式并求解即可得到a 的取值，设学校购买奖品的总费用为w元，用a 表示出w，根据函数的
性质即可求解．
【详解】（1）解：设每个文具盒为x元，每本笔记本为y元，
依题意得{ x+2y=16
2x+3y=28
，
解得{x=8
y=4
，
故每个文具盒为8 元，每本笔记本为4 元；
（2）解：设购买文具盒a个，则购买笔记本(100−a)个，
根据题意得8a+4(100−a)≤650，
解得a≤
125
2 ，
∵a为整数，
∴最多可购买文具盒62 个；
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（3）解：根据题意得a≥1.5(100−a)，
解得a≥60，
∴60≤a≤
125
2 ，
∵a为正整数，
∴a=60或61 或62，
设学校购买奖品的总费用为w元，
则w=8a+4(100−a)=4a+400，
∵4>0，
∴随着a 增大w 增大，
∴当a=60时，w最小，最小值为8×60+4×(100−60)=640（元），
此时100−a=40，
∴购买费用最低的方案为：购买60 个文具盒，40 个笔记本费用最低，最低费用为640 元．
6．某县第一届运动会需要购买A，B 两种奖品，已知B 奖品比A 奖品价格每件高5 元，用200 元买到的A
种奖品与300 元买到的B 种奖品的数量一样．
(1)求A、B 两种奖品的单价各是多少元？
(2)运动会组委会计划购买A、B 两种奖品共80 件，购买费用不超过925 元，且A 种奖品的数量不大于B 种
奖品数量的3 倍，请求出购买总费用最少的方案．
【答案】(1)A 奖品的单价是10 元/件，B 奖品的单价是15 元/件
(2)购买总费用最少的方案是购买A 奖品60 件、B 奖品20 件
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．
（1）设A 奖品的单价是x 元/件，则B 奖品的单价是(x+5)元/件，根据用200 元买到的A 种奖品与300 元买
到的B 种奖品的数量一样．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A 种奖品a 件，购买总费用W 元，则购买B 种奖品(80−a)件，由题意得出W 与a 的一次函数
关系式，根据购买费用不超过925 元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3 倍，列出一元一次不等
式组，解得55≤a≤60，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设A 奖品的单价是x 元/件，则B 奖品的单价是(x+5)元/件，
根据题意，得：
200
x =
300
x+5，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解且符合题意，
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所以x+5=10+5=15，
答：A 奖品的单价是10 元/件，B 奖品的单价是15 元/件．
（2）解：设购买A 种奖品a 件，购买总费用W 元，则购买B 种奖品(80−a)件，
根据题意，得：W=10a+15(80−a)=−5a+1200，
∵购买费用不超过925 元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3 倍，
∴{−5a+1200≤925
a≤3(80−a)
，
解得：55≤a≤60，
∴W=−5a+1200(55≤a≤60)，
∵k=−5<0，
∴W 随a 的增大而减小，
∴当a=60时，W 取最小值，
最小值=−5×60+1200=900，
此时80−a=80−60=20．
答：购买总费用最少的方案是购买A 奖品60 件、B 奖品20 件．
7．(2025·青海省西宁市·模拟)西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某
小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12 株白丁香和7 株紫丁香共1160
元；购买9 株白丁香和14 株紫丁香共1570 元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45 株，其中紫丁香至少购买20 株，怎样购买总费用最少？最少
费用为多少元？
【答案】(1)50 元；80 元
(2)购买紫丁香20 株，白丁香25 株；2850 元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系
式是解题的关键：
（1）设白丁香的单价为x 元，紫丁香的单价为y 元，根据买12 株白丁香和7 株紫丁香共1160 元；购买9
株白丁香和14 株紫丁香共1570 元，列出方程组进行计算即可；
（2）设购买紫丁香m 株，总费用为w 元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设白丁香的单价为x 元，紫丁香的单价为y 元．
根据题意，列方程组{12x+7y=1160
9x+14y=1570
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解方程组得{x=50
y=80
；
答：白丁香的单价为50 元，紫丁香的单价为80 元；
（2）解：设购买紫丁香m 株，则购买白丁香(45−m)株，总费用为w 元．
根据题意，w=80m+50×(45−m)=30m+2250
∵30>0
∴w 随m 的增大而增大
又∵m≥20，
∴当m=20时，w最小=30×20+2250=2850．
答：购买紫丁香20 株，白丁香25 株时，总费用最少，最少费用为2850 元．
题型四：方案分配问题之月租问题
1．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的
函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．每月上网不足25 时，选择A 方式最省钱
B．每月上网时间为30 时，选择B 方式最省钱
C．每月上网费用为60 元，选择B 方式比A 方式时间长
D．每月上网时间超过70 时，选择C 方式最省钱
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的应用．ACD：根据图象可以直接判断；B：求出25 小时之后A 方式的函
数关系式，令y=50求出x 的值与30 进行比较，数形结合即可判断．
【详解】 解：A、由函数图象知，每月上网不足25 小时，选择A 方式最省钱．故A 项正确．
B、设25 小时之后A 方式的函数关系式为y=kx+b，
由题意可得{ 20=25k+b
120=50k+b
，解得{ k=4
b=−80
，
∴函数关系式为y=4x−80，
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令y=50，解得x=32.5>30，
∴当每月上网时间为30 小时，选择A方式最省钱．故B 项错误．
C、由函数图象知，每月上网费用为60 元，选择B 方式比A 方式时间长．故C 项正确．
D、由函数图象知，每月上网时间超过70 小时，选择C 方式最省钱．故D 项正确．
故选：B．
2．(24-25 八下·内蒙古呼和浩特秋实中学·期中)随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的
各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B 两种上网学习的月收费方式：
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/（元/h）
A
12
40
0.5
B
m
n
0.6
设每月上网学习时间为x 小时，方案A，B 的收费金额分别为yA,yB
(1)如图是yB与x 之间函数关系的图象，请根据图象填：m= ；n= ．
(2)求出yB与x(x≥50)之间的函数关系式 ．
(3)如果每月上网时间60 小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？
【答案】(1)10，50
(2)yB=0.6x−20
(3)如果每月上网时间60 小时，选择B 方式上网学习合算，理由见解析
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）观察函数图象，即可作答．
（2）先求出方案B 的超时费0.6元/h，再结合函数图象的信息进行列式化简，即可作答．
（3）分别算出当每月上网时间60 小时的时候，方案A，B 的收费金额，再进行比较，即可作答．
【详解】（1）解：由函数图象可知，m=10，n=50，
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故答案为：10，50；
（2）解：由图象知：m=10，n=50，超时费
25−10
75−50 =0.6（元/h）；
当x>50时，yB=10+(x−50)×0.6=0.6x−20，
故答案为：yB=0.6x−20；
（3）解：如果每月上网时间60 小时，选择B 方式上网学习合算，理由如下：
yA=12+(x−40)×0.5=0.5x−8(x≥40)
依题意，当x=60时，yA=0.5×60−8=22，
yB=0.6×60−20=16，
∵22>16，
∴如果每月上网时间60 小时，选择B 方式上网学习合算．
3．(25-26 八上·辽宁丹东第八中学·期中)“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新
能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车每日所需费用为y1元，租用乙公司的车每日所需费用为y2元，分别
求出y1,y2关于x的函数表达式；
(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同．
【答案】(1)y1=15x+80，y2=30x
(2)当租车时间为
16
3 小时时，两种方案所需费用相同
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由图象可知y1，y2分别过点(1,95),(0,80),(1,30)，然后根据待定系数法求解即可；
（2）联立（1）中函数解析式即可求解．
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【详解】（1）解：设直线y1=kx+b，由图象可把点(1,95),(0,80)代入得：
{k+b=95
b=80
，解得：{k=15
b=80
，
∴y1=15x+80，
设直线y2=k′x，把点(1,30)代入得：k′=30，
∴y2=30x；
（2）解：由（1）联立函数解析式得：
{y=15x+80
y=30x
，解得：{ x=
16
3
y=160
，
答：当租车时间为
16
3 小时时，两种方案所需费用相同．
4．(24-25 八上·河南郑州四中教育集团·月考)谷歌人工智能AlphaGo 机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们
关注，人工智能战胜李世石．某网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B 两种网上学习的月收费方式：
收费方
式
月使用费/
元
包时上网时间
/h
超时费/（元/h）
A
70
25
6
B
100
50
8
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为xh，方案A，B 的收费金额分别为yA元、yB元．
(1)当x≥50时，分别求出yA，yB与x 之间的函数关系式；
(2)若小明3 月份上该网站学习的时间为60 h，则他选择哪种方式上网学习合算？
【答案】(1)yA=6x−80，yB=8x−300
(2)选择B方式上网学习合算
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式和函数值．
（1）根据题意和表格中的数据，可以分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）将x=60代入（1）中的函数关系式，求出yA，yB的值，然后比较大小，即可得到选择哪种方式上网学习
合算．
【详解】（1）解：由题意可得，
当x≥50时，yA与x之间的函数关系式为：yA=70+(x−25)×6=6x−80，
yB与x之间的函数关系式为：yB=100+(x−50)×8=8x−300；
（2）解：当x=60时，
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yA=6×60−80=280，
yB=8×60−300=180，
∵280>180，
∴yA>yB，
故选择B方式上网学习合算．
5．某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪
加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，l1为方案一的函数图像，
l2为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30 元．根据图中信息解答下列问题
（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）：
(1)求l1对应的函数表达式．
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？
(3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？
【答案】(1)y1=150x
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600 元
(3)当销售件数少于120 时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120 时，选择两种方案所得到
的月工资一样；当销售件数多于120 时，选择方案一才能使月工资更多
【分析】（1）设l1对应的函数表达式为y1=k1x，由待定系数法就可以求出解析式；
（2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为150−30=120元，设l2对应的函数表达式为y2=(150−30)x+b，
利用待定系数法求得b=3600，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600 元；
（3）由y1=y2建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x 的值，再观察图像即可得出销售方
案．
【详解】（1）解：设l1对应的函数表达式为y1=k1x．
由题图，得6000=40k1，
解得k1=150，
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∴l1对应的函数表达式为y1=150x．
（2）（2）∵方案二中每件商品的销售提成比方案一少30 元，
∴设l2对应的函数表达式为y2=(150−30)x+b．
把(40,8400)代入，得8400=120×40+b，
y1=150x解得b=3600，
∴方案二中每月付给销售人员的底薪是3600 元．
（3）（3）由（1）知，y1=150x．由（2）知，y2=120x+3600．
令150x=120x+3600，解得x=120．
∴当销售数量为120 件时，两种方案所得到的月工资相等．
由题图可得，当销售件数少于120 时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120 时，选择两种
方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120 时，选择方案一才能使月工资更多．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，设计方案的运用，
解答时认真分析，弄清函数图像的意义是关键．
题型五：一次函数的实际应用之最大利润问题
1．(25-26 八上·安徽合肥第四十二中学·期中)某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60 吨（苹
果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果
橘子
每辆车装载量（吨）
4
6
每吨获利（元）
1200
1500
(1)设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，则y=_____（用含x的代数式表示）；
(2)求总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大
利润，并求出最大利润．
【答案】(1)−
2
3 x+10
(2)W=90000−1200x(0<x<15 且为3 的倍数)
(3)安排6 辆货车运苹果，安排6 辆货车运橘子，最大利润为82800元
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
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（1）根据货车装运苹果和橘子共60 吨，列出函数关系即可求解；
（2）根据W=1200×4x+1500×6y，代入（1）的解析式，即可求解；自变量x的取值范围同（1）；
（3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得x的范围，根据一次函数的性质即
可求解．
【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x 辆，装运橘子的货车有y 辆，
∵每辆车装载量苹果4 吨或橘子6 吨，
∴4x+6y=60，
即y=−
2
3 x+10，
∵{4x<60
x>0
，
解得0<x<15，且x为3 的倍数，
∴y=−
2
3 x+10 (0<x<15 且为3 的倍数)，
故答案为：−
2
3 x+10；
（2）解：∵y=−
2
3 x+10，
∴W=1200×4x+1500×6y
=1200×4x+1500×6(−2
3 x+10)
=90000−1200x(0<x<15 且为3 的倍数)；
（3）解：∵x≥y，
∴x≥−
2
3 x+10，
解得x≥6，
∵0<x<15，且x为3 的倍数，
∴6≤x<15，且x为3 的倍数，
∵W=90000−1200x，
k=−1200<0，
∴W随x增大而减小，
∴当x=6，y=−
2
3 ×6+10=6，此时W最大，最大值为90000−1200×6=82800（元）
即安排6 辆货车运苹果，安排6 辆货车运橘子，最大利润为82800元．
2．(25-26 八·安徽滁州部分学校·期中)某公司每月销售A,B两种型号的教学设备共20 台，每台的销售成本和
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售价如下表．
型号
A
B
成本/（万元/台）
3
5
售价/（万元/台）
4
8
(1)设该公司每月销售A型号设备x台，则每月销售B型号设备______台，每月共获得利润_____万元．
（用含x的
代数式表示，结果需化简）
(2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80 万元，则该公司如何安排购进A,B两种型号教学设备
的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润．
【答案】(1)(20−x)；(−2x+60)
(2)购进A型号设备10 台，B型号设备10 台时获利最大，最大利润为40 万元
【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题．
（1）销售A 种品牌设备x 台，B 种品牌设备(20−x)台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可
求出总利润；
（2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80 万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质
得出答案即可．
【详解】（1）解：∵每月销售A,B两种型号的教学设备共20 台，该公司每月销售A型号设备x台，
∴每月销售B型号设备为(20−x)台，
∴每月共获得利润为(4−3)x+(8−5)(20−x)，
即(−2x+60)万元，
故答案为：(20−x)；(−2x+60)．
（2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80 万元，
∴3x+5(20−x)≤80，
解得x≥10，
∵−2<0，
∴利润随x 的增大而减小，
∴当x=10时，获得利润最大，最大利润为−2×10+60=40（万元），
∴20−x=10，
∴此时，应购进A型号设备10 台，B型号设备10 台．
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3．(23-24 八下·贵州黔东南苗族侗族·期末)5G 时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B 两种型号
的5G 手机，进价和售价如下表所示：
价格
型号
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B 两种型号手机共花费32000 元．手机销售完成后共获得利润4400 元．
(1)营业厅购进 A、B 两种型号手机各多少部？
(2)若营业厅再次购进A、B 两种型号机共20 部，其中B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2 倍，请设计
一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)营业厅购进A，B 两种型号手机各6 部，4 部
(2)再次购进A 种型号机7 部，B 种型号机13 部，获得的利润最大，最大利润是9300 元
【分析】本题主要考查一元一次不等式、二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设营业厅购进A，B 两种型号手机各x 部、y 部，由题意可得方程组为{3000x+3500y=32000
400x+500y=4400
，进而求解
即可；
（2）设购进A 种型号机x 部，则购进B 种型号机(20−x)部，获得的利润为w 元，由题意易得w=−100x+10000，
然后可得20−x≤2x，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设营业厅购进A，B 两种型号手机各x 部、y 部，则：
{3000x+3500y=32000
400x+500y=4400
，
解之，得：{x=6
y=4
，
答：营业厅购进A，B 两种型号手机各6 部，4 部．
（2）解：设购进A 种型号机x 部，则购进B 种型号机(20−x)部，获得的利润为w 元，由题意得：
w=400x+500(20−x)=−100x+10000，
因为B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2 倍，
所以20−x≤2x，
解得：x≥
20
3 ，
因为w=−100x+10000，k=−100<0，
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所以w 随着x 的增大而减小，
所以当x=7时，w 取得最大值，此时w=9300，20−x=13，
所以方案为：再次购进A 种型号机7 部，B 种型号机13 部，获得的利润最大，最大利润是9300 元．
4．(25-26 九上·云南云南师范大学附属中学呈贡学校·月考)某汽车销售公司计划购买并销售A型和B 型两种
型号的新能源汽车．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示：
类型
进价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
a
26.8
B型
b
20.8
已知购进1辆A型车和1辆B型车共需45万元，购进4辆A型车与购进5辆B型车所需要的费用相同．
(1)求a，b的值；
(2)该公司计划购买A型车和B型车共20辆，且购买B 型车的数量x（单位：辆），不少于A型车数量的
4
3，该公
司将这20辆车全部售出后，所得利润为y万元，求y的最大值．
【答案】(1)a=25，b=20；
(2)y的最大值为24万元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用等知识点，找准等
量关系、正确列出二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的应用是解题的关键．
（1）由题意得{a+b=45
4a=5b
，然后解方程组即可；
（2）由题意得y=−x+36，然后求出12≤x≤20，再由一次函数的性质可得当x=12时，y有最大值．
【详解】（1）解：由题意得，
{a+b=45
4a=5b
，
解得{a=25
b=20
；
（2）解：由题意得，y=(26.8−25)(20−x)+(20.8−20)x=−x+36，
∵购买B型车的数量x不少于A型车数量的
4
3，
∴x≥
4
3 (20−x)，
解得x≥
80
7 ，
∵20−x≥0，x为正整数，
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∴12≤x≤20，
由y=−x+36可得：−1<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=12时，y有最大值，最大值为−12+36=24（万元），
∴y的最大值为24万元．
5．(25-26 八上·山东烟台福山区（五四制）·期中)据灯塔专业版数据，截至2025 年2 月18 日，《哪吒之魔
童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单
一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象；表面吊
儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿
童对哪吒的喜爱，某文创店准备购进A、B两款哪吒玩偶，两款玩偶的进价和利润如表（单位：元）
A 款
B 款
单个进价
a
a+5
单个利润
2
3
(1)已知花费400 元购进A款哪吒玩偶的数量和花费800 元购进B款哪吒玩偶的数量相等，求a的值；
(2)该店准备拿出2000 元全部用来购进这两种哪吒玩偶，且购进A款的数量不超过B款数量的4 倍，若玩偶
能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)a的值为5
(2)该文创店购进A 款266 个，B 款67 个时，能使利润最大，最大利润是733 元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）根据表格信息可得
400
a =
800
a+5，再进一步解方程并检验即可得到答案．
（2）设利润为w元，A 款购进x个，则B 款购进
2000−5x
10
个，利用总价=单价×数量，可找出w 关于x 的函数关
系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
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【详解】（1）解：由题意可得
400
a =
800
a+5，
解得a=5，
经检验，a=5是原分式方程的解，
则a的值为5．
（2）解：由（1）知，A 款单个进价为5 元，B 款单个进价为10 元，
设利润为w元，A 款购进x个，则B 款购进
2000−5x
10
个，
w=2x+3×
2000−5x
10
=0.5x+600，
∵0.5>0，
∴w随x的增大而增大，
∵购进A 款的数量不超过B 款数量的4 倍，
∴x≤
2000−5x
10
×4，
解得x≤266
2
3，
∵x为正整数，
∴当x=266时，w取得最大值，最大值733，
此时，B 款有
2000−5x
10
=67个，
答：该文创店购进A 款266 个，B 款67 个时，能使利润最大，最大利润是733 元．
6．(23-24 八下·河南开封·期末)端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大
相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、
乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1 元，用200 元购进甲种粽
子的个数与用300 元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200 个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2 倍，若
甲、乙两种粽子的售价分别为3 元/个、5 元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W
元．
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲粽子每个的进价为2 元，乙粽子每个的进价为3 元
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(2)①W 与m 的函数关系式为W=−m+400(
400
3 ≤m<200)
②购进甲粽子134 个，乙粽子66 个才能获得最大利润，最大利润为266 元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）设甲粽子每个的进价为x 元，则乙粽子每个的进价为(x+1)元，根据“用200 元购进甲种粽子的个数与
用300 元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲粽子m 个，则乙粽子(200−m)个，由题意得W=−m+400，再由甲种粽子的个数不低于乙种
粽子个数的2 倍，得m≥2(200−m)；
②由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种粽子的进价为x 元，则乙种粽子的进价为(x+1)元，根据题意得：
200
x =
300
x+1，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
答：甲种粽子的进价为2 元，则乙种粽子的进价为3 元；
（2）解：①设购进甲中粽子m 个，则购进乙粽子(200−m)个，根据题意得：
W=(3−2)m+(200−m)(5−3)=−m+400，
∴W 与m 的函数关系式为：W=−m+400，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2 倍，
∴m≥2(200−m)，
解得m≥
400
3 ，
∴
400
3 ≤m<200（m 为正整数）．
即W 与m 的函数关系式为W=−m+400(
400
3 ≤m<200)（m 为正整数）；
②由①可知，W=−m+400，−1<0，m 为正整数，
∴当m=134时，W 有最大值，最大值为W=−134+400=266，
此时200−134=66．
∴购进甲种粽子134 个，乙种粽子66 个时利润最大，最大利润为266 元．
7．(24-25 八下·陕西安康石泉县·期末)2023 年6 月4 日，神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆
满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．该航模店计划购买两种模型共100 个，每个“神舟”
模型成本为20 元，每个“天宫”模型成本为16 元，且每个“神舟”模型的售价为35 元，每个“天宫”模型的售
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价为25 元．设购买“神舟”模型a个，销售完这批模型获得的利润为w元．
(1)求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
(2)若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售完这批模型可
以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)w=6a+900
(2)购进“神舟”模型33 个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098 元
【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，准确列出函数解析式和一元一次不等式是关键．
（1）设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型(100−a)个，根据总利润列出函数解析式即可；
（2）根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半列出不等式，解不等式求出a≤
100
3 ，再根据一
次函数的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型(100−a)个，
则w=(35−20)a+(25−16)(100−a)=6a+900，
∴w与a的函数关系式为w=6a+900．
（2）∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，
∴a≤
1
2 (100−a)，解得a≤
100
3 ，
∵w=6a+900，6>0，a是正整数，
∴当a=33时，w最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33 个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098 元．
8．(24-25 八下·黑龙江牡丹江初中课改联盟第二子联盟·期末)为迎接九月开学季，某商场计划购进甲、乙两
种品牌的书包．已知每个乙品牌书包的进价比每个甲品牌书包贵30 元，且用2100 元购买甲品牌书包的数
量恰好与用3000 元购买乙品牌书包的数量相等．若甲品牌书包每个售价100 元，乙品牌书包每个售价150
元．
(1)甲、乙两种品牌书包每个进价分别是多少元？
(2)若商场计划购进甲、乙两种品牌书包共100 个．要求用于购进甲、乙两种品牌书包的资金不超过7660 元，
且购进甲品牌书包不超过80 个．设商场购进甲品牌书包a个，商场获利为y元，请求出y与a的函数解析式，
并设计出商场获利最大的进货方案，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲种书包每个进价是70 元，乙种书包每个进价是100 元
(2)y与a的函数解析式为y=−20a+5000（78≤a≤80）．商场购进甲品牌书包78 个，乙品牌书包22 个时获利最大，
最大利润为3440 元
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【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数解决实际问题，理清数量关系，正确列出方程与函数
是解题的关键．
（1）设甲种书包每个进价是x 元，乙种书包每个进价是(x+30)元．根据“用2100 元购买甲品牌书包的数量
恰好与用3000 元购买乙品牌书包的数量相等”列出方程，求解并检验即可；
（2）根据“利润＝单件利润×数量”列出解析式，并根据题意求出自变量a 的取值范围，再根据函数的增减
性求解即可．
【详解】（1）解：设甲种书包每个进价是x 元，乙种书包每个进价是(x+30)元．根据题意，得
2100
x =
3000
x+30，
解得x=70，
经检验，x=70是该方程的解．
∴x+30=100，
答：甲种书包每个进价是70 元，乙种书包每个进价是100 元．
（2）解：商场购进甲品牌书包a个，则购进乙品牌书包(100−a)个，
获利y=(100−70)a+(150−100)(100−a)=−20a+5000，
∵a 应满足{70a+100(100−a)≤7660
a≤80
，
解得78≤a≤80，
∴y与a的函数解析式为y=−20a+5000（78≤a≤80）．
∵−20<0，
∴y 随a 的增大而减小，
∴当a=78时，y 有最大值，为y=−20×78+5000=3440，
此时100−a=22，
∴商场购进甲品牌书包78 个，乙品牌书包22 个时获利最大，最大利润为3440 元．
9．(24-25 八上·河南驻马店上蔡县第五中学·期中)新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某
药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，其中A型号口罩所获利润2000元，B型号口罩获利3000元．已
知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．
(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，
设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？
【答案】(1)每只A型口罩的销售利润是0.5元，则每只B型口罩的销售利润是0.6元
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(2)该药店购进A型口罩4000只，则购进B型口罩6000只，才能使销售总利润最大
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握相关
知识．
（1）根据题意列出分式方程即可求解；
（2）先根据题意列出不等式求出m≥4000，再得到W=−0.1m+6000，最后根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每只A型口罩的销售利润是x元，则每只B型口罩的销售利润是1.2x元，
根据题意可得
2000
x +
3000
1.2x =9000，
解得：x=0.5，
经检验，x=0.5是原方程的解，
∴ 1.2x=0.5×1.2=0.6，
答：每只A型口罩的销售利润是0.5元，则每只B型口罩的销售利润是0.6元；
（2）设购进A型口罩m只，则购进B型口罩(10000−m)只，
根据题意得10000−m≤1.5m，
解得m≥4000，
W=0.5m+0.6(10000−m)=−0.1m+6000，
∵ −0.1<0，
∴ W随m的增大而减小，
∴当m=4000时，W最大，最大值为W=−0.1×4000+6000=5600，
答：该药店购进A型口罩4000只，则购进B型口罩6000只，才能使销售总利润最大．
题型六：一次函数的实际应用之行程问题
1．(24-25 九下·浙江丽水缙云区·期中)甲、乙两地相距240km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地
开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之
间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的关系如图所示．
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(1)分别求出轿车和货车的平均速度；
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；
(3)货车出发多长时间后，两车相距200km？
【答案】(1)轿车的平均速度为60km/h，货车的平均速度为40km/h；
(2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为80km；
(3)货车出发0.4h或5h后，两车相距200km．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系
式是解题的关键．
（1）轿车和货车到达目的地分别用时4h和6h，分别根据“速度=路程÷时间”计算即可；
（2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有6−4=2(h)的路程，根据“路程=时间×速度”计算即可；
（3）利用待定系数法，分别求出当0≤x≤2.4和4<x≤6时y关于x的函数关系式，分别将y=200代入关系式，求出
对应的x的值即可．
【详解】（1）解：根据“速度=路程÷时间”，轿车的平均速度为240÷4=60(km/h)，货车的平均速度为
240÷6=40(km/h)，
∴轿车的平均速度为60km/h，货车的平均速度为40km/h；
（2）解：根据“路程=时间×速度”，得40×(6−4)=80(km)，
∴轿车到达终点时，货车离终点的距离为80km；
（3）解：当0≤x≤2.4时，
设y与x的函数关系式为y=k1x+b1(k1、b1为常数，且k1≠0)．
将坐标(0,240)和(2.4,0)代入y=k1x+b1，
得{
b1=240
2.4k1+b1=0
，
解得{k1=−100
b1=240
，
∴y=−100x+240，
当y=200时，得−100x+240=200，
解得x=0.4；
由图象得：在2.4<x≤4时，无法达到200km；
当4<x≤6时，
设y与x的函数关系式为y=k2x+b2(k2、b2为常数，且k2≠0)．
将坐标(6,240)和(4,160)代入y=k2x+b2，
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得{6k2+b2=240
4k2+b2=160
，
解得{k2=40
b2=0
，
∴y=40x，
当y=200时，4x=200，
解得x=5．
∴货车出发0.4h或5h后，两车相距200km．
2．(25-26 八上·陕西西安西光中学教育集团·期中)已知A，B两地相距100 千米，甲、乙两人骑车同时分别从
A，B两地相向而行．如图，直线l1，l2分别表示甲、乙两人离A地的距离s与时间t之间的函数关系图象，根据
图象提供的信息，解答下列问题．
(1)分别求出甲、乙两人离A地的距离s（千米）与t（时）之间的函数关系式；
(2)经过多长时间，两人相距40 千米？
【答案】(1)l1：s=15t，l2：s=−20t+100
(2)4 小时或
12
7 小时
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及根据实际情况分情
况讨论列方程是解题的关键．
（1）根据一次函数的表达式形式，结合图象上的点坐标，利用待定系数法分别求出甲、乙对应的函数关系
式．
（2）分相遇前和相遇后两种情况，根据两人离A 地的距离关系列出方程求解．
【详解】（1）解：设l1的函数关系式为：s=kt，
因为s=kt过点(2,30)，即30=2k，
解得k=15，
故s=15t，
设l2的函数关系式为：s=at+b，
因为s=at+b过点(0,100)，即b=100，
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所以s=at+100，
又因为s=at+b过点(2,60)，即2a+100=60，
解得a=−20，
所以l2的函数关系式为：s=−20t+100；
（2）解：两人相距40 千米分两种情况：
①当相遇后相距40 千米时，即15t+20t−100=40，
解得t=4，
②当相遇前相距40 千米时，即−20t+100−15t=40，
解得t=
12
7 ，
所以经过4 小时或
12
7 小时时，两人相距40 千米．
3．(24-25 九下·浙江丽水景宁县、松阳县·期中)同一条公路连结A、B 两地，甲车从A 地匀速行驶去B 地，
乙车从B 地匀速行驶去A 地，甲车先出发，途中有事保留了0.5 小时．甲、乙两车与B 地的距离y(km)与甲
车行驶时间x(h)的函数关系如图所示．
(1)求甲、乙两车各自的平均速度；
(2)求线段DE所在直线的函数表达式．
(3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A 地的距离为多少千米？
【答案】(1)甲车的平均速度60 km h
⁄ ，乙车的平均速度80 km h
⁄
(2)直线DE的函数表达式y=−60x+150
(3)乙车出发
9
14小时后两车相遇，相遇时乙车离A 地的距离为
480
7 km
【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义．
（1）根据题干可知A，B 两地之间的距离为120km，FG为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点
C(1,60)为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度；
（2）根据题干求得点D 和点E 的坐标，利用待定系数法即可求得解析式；
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（3）利用待定系数法求得直线FG的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可．
【详解】（1）解：由题意知A，B 两地之间的距离为120km，
FG为乙车的函数关系，则
120
2.5−1 =
120
1.5 =80 km h
⁄ ，
点C(1,60)为甲车事前停留位置，则
120−60
1
=60km/h，
故甲车的平均速度60 km h
⁄ ，乙车的平均速度80 km h
⁄ ；
（2）解：由图可知点E(2.5,0)，
∵甲车途中有事保留了0.5 小时．
∴点D(1.5,60)，
设直线DE的函数表达式y=kx+b(k≠0)，则
{1.5k+b=60
2.5k+b=0
，
解得{k=−60
b=150
，
∴直线DE的函数表达式y=−60x+150；
（3）解：由图可知点F(1,0)，G(2.5,120)，
设直线FG的函数表达式y=mx+n(m≠0)，则
{
m+n=0
2.5m+n=120
，解得{ m=80
n=−80
，
∴直线DE的函数表达式y=80x−80，
联立{y=−60x+150
y=80x−80
，
解得{
x=
23
14
y=
360
7
，
则乙车出发
23
14 −1=
9
14小时后两车相遇，
相遇时乙车离A 地的距离为120−
9
14 ×80=
480
7 km．
4．某景区的同一线路上依次有A，B，C 三个景点（如图1）．小兴从A 景点出发，步行3500 米去C 景点，
共用时50 分钟；同时，桐桐以每分钟60 米的速度从B 景点出发，步行1500 米到达A 景点，休息10 分钟
后，桐桐改成骑电动车去C 景点，结果桐桐比小兴早5 分钟到达C 景点．两人行走时均为匀速运动，设小
兴步行的时间为t（分），两人各自距A 景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2 所示．
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(1)求m 的值，并说出m 的实际意义；
(2)求桐桐骑车时距A 景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t 的取值范围）；
(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值．
【答案】(1)m=25，m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间
(2)s=350t−12250
(3)t=
150
13 或
175
4
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关
键：
（1）利用路程除以时间求出m的值，根据m点的位置，确定m 的实际意义即可；
（2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分桐桐往景点A走，以及骑车往景点C两部分，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：m=1500÷60=25；
由题意和图象可知：m 表示桐桐从B 地步行到A 地所用的时间；
（2）设s=kt+b，
由题意，图象经过点(25+10,0),(50−5,3500)，即(35,0),(45,3500)，
则：{ 35k+b=0
45k+b=3500
，解得：{
k=350
b=−12250
，
∴s=350t−12250；
（3）由图象可知：小兴的步行速度为：3500÷50=70m/min，由（2）可知：桐桐骑车速度为：350m/min，
当0≤t≤25时，t=1500÷(70+60)=
150
13 ；
当35<t≤50时，350(t−35)=70t，解得：t=
175
4 ；
综上：t=
150
13 或
175
4 ．
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5．(24-25 八下·黑龙江牡丹江初中课改联盟第二子联盟·期末)甲、乙两车分别从相距360 千米的A、B两地同
时相向出发，甲车到达B地，停留1 小时后，返回A地，返回时速度是原速的
4
3倍，乙车匀速从B地驶往A地．如
图表示甲、乙两车距B地的路程y（千米）与两车行驶时间x（小时）的函数关系．
(1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时；
(2)求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数解析式，写出自变量的取值范围；
(3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260 千米？请直接写出答案．
【答案】(1)60，120
(2)y=120x−600(5≤x≤8)
(3)
2
3或
13
3 或
17
3
【分析】本题考查了实际问题的函数图像，一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题
的关键．
（1）根据速度=路程÷时间求解即可；
（2）用返回时行驶的速度× (x−5)表示即可；
（3）根据题意分3 种情况讨论，分别列出算式或方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，乙车的速度是360÷6=60（千米/时），
甲车从A 地到B 地的速度是360÷4=90（千米/时），
甲车返回时的速度是
4
3 ×90=120（千米/时）；
（2）解：根据题意得，y=120(x−5)=120x−600，
360÷120=3（小时），
∴5+3=8（小时），
∴自变量的取值范围是5≤x≤8；
（3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，(360−260)÷(60+90)=
2
3（小时）；
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当4 小时时，甲车到达B 地，
当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260 千米时，260÷60=
13
3 （小时）；
当甲返回时，60x−120(x−5)=260，
解得x=
17
3 （小时），
综上所述，出发
2
3或
13
3 或
17
3 小时后，行驶中的甲、乙两车相距260 千米．
6．(25-26 八·四川成都石室联合中学教育集团·期中)成都2025 年世界运动会期间，为展现智能科技与体育
赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已
知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，OA与BC分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离
y(m)与时间x(min)之间的关系，根据图象解答下列问题：
(1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离y与时间x之间的函数关系式；（不要求写x的取值范围）
(2)当1≤x≤3时，求“蜀韵”和“锦风”相距20m时的时间．
【答案】(1)y蜀韵=40x，y锦风=80x−80；
(2)1.5min或2.5min．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式以及根据函数关系
式列方程求解是解题的关键．
（1）对于“蜀韵”，其函数图象是过原点的直线，故设为正比例函数y=k1x，代入已知点坐标求解；对于“锦
风”，其函数图象是一次函数，设为y=k2x+b，代入已知点坐标求解．
（2）根据（1）中求出的两个函数关系式，分“锦风”在“蜀韵”前面和后面两种情况，列绝对值方程求解．
【详解】（1）解：设y蜀韵=k1x，
∵ y蜀韵=k1x过点A(4,160)，
∴ 160=4k1，
解得 k1=40，
∴y蜀韵=40x，
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设y锦风=k2x+b，
∵ y锦风=k2x+b过点B(1,0)，C(3,160)
∴ { 0=k2+b
160=3k2+b
解得k2=80，b=−80，
∴y锦风=80x−80；
（2）解：当1≤x≤3时，分两种情况：
情况一： y锦风−y蜀韵=20即80x−80−40x=20，
解得x=2.5，
情况二：y蜀韵−y锦风=20即40x−(80x−80)=20，
解得x=1.5，
答：“蜀韵”和“锦风”相距20m时的时间为1.5min或2.5min．
题型七：一次函数的实际应用之其他问题
1．(25-26 八上·广东深圳南山外国语集团·期中)初三的几位同学阅读了教材中《第十九章一次函数》的数学
活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，他们进行了以下试
验与探究．试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每隔1min记录一次容器中的水量，
由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量的水，因而得到如表中的一组数据：
时间t/min
1
2
3
4
5
…
水量y mL
⁄
5
8
11
a
17
…
(1)探究：根据上表中的数据，你用下面三个函数模型模拟水量y与时间t的关系：①y=
m
t ，②y=kt+b），
③y=pt2+qt+r，你认为选用函数___________（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并写出相应的表达式
______________和表中漏记的a的值_________．
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(2)应用：①若用100mL量筒进行测量，请估计第30 分钟时量筒是否滴满？________（填“是”或“否”）
②成年人每天大约需要饮水1600mL，请估计这个水龙头一天的漏水量可供一名成年人饮用多少天？（结果
保留一位小数）
【答案】(1)②，y=3t+2，14
(2)①否；②这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用2.7天
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练用待定系数法求一次函数是解题的关键．
（1）由题意可得，应该用一次函数模拟水量y与时间t的关系，根据待定系数法求得解析式即可解答；
（2）①将t=30代入函数解析式，即可解答；②计算水龙头一天的漏水量，再除以成年人每天需要的饮水量
即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，应该用一次函数模拟水量y与时间t的关系，故选函数②，
把t=5,y=17;t=1,y=5代入函数解析式可得，{17=5k+b
5=k+b
，
解得{k=3
b=2
，
∴水量y与时间t的解析式为y=3t+2，
故漏记的a=3×4+2=14；
故答案为：②，y=3t+2，14；
（2）解：①将t=30代入函数解析式，可得y=30×3+2=92<100，
∴在第30 分钟量筒没有滴满，
故答案为：否；
②由题意知水龙头每分钟滴水为3mL，
水龙头一天的漏水量为3×60×24=4320(mL)，
4320÷1600=2.7（天），
答：这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用2.7天．
2．(25-26 八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)科学家发现，声音传播的速度随温度的变化而变化，且满
足某种函数关系．某科学小组为探究声音在空气中的传播速度y（m s
⁄ ）与空气温度x（℃）之间的关系，在
标准实验室进行了多次实验，图表中记录了如下数据．
温度x ℃
⁄
0
5
10
15
20
声音在空气中的传
播速度y（m s
⁄ ）
332
334
336
338
340
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某地冬季室外温度为−15℃，小明同学看到烟花2秒后听到声响．
(1)求y与x的函数关系式并验证；
(2)求小明离烟花燃放地的距离（光的传播时间忽略不计）
【答案】(1)y=0.4x+332，验证见解析
(2)652m
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意、读懂表格、用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据表格所给数据特征可得声音传播速度与温度呈线性关系，设y=kx+b， 再利用待定系数法求解即
可；依次将表格中的数据代入验证即可；
（2）根据解析式求−15℃时的速度，再求距离．
【详解】（1）解： 由表格数据，当x=0时，y=332；
当x=20时，y=340，
设y=kx+b，
将点(0,332)，(20,340)代入得：
{332=k×0+b
340=20k+b
，解得{ k=0.4
b=332
，
∴y=0.4x+332，
验证：当x=5时，y=0.4×5+332=334，与表格数据一致；
当x=10时，y=0.4×10+332=336，与表格数据一致；
当x=15时，y=0.4×15+332=338，与表格数据一致；
∴y与x的函数关系式：y=0.4x+332
（2）解：当x=−15时，y=0.4×(−15)+332=−6+332=326（m s
⁄ ），
距离s=y×t=326×2=652（m）．
答：小明离烟花燃放地的距离为652 m．
3．(25-26 八上·陕西西安西光中学教育集团·期中)水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量
和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究．在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，
每5min记录一次容器中的水量，发现容器内盛水量w(mL)与滴水时间t(min)存在函数关系，并得到如表的一
组数据：
时间t/min
0
5
15
20
…
盛水量w(mL)
5
20
50
65
…
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(1)请根据表中信息在平面直角坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象，根据图象发现容器内盛水量
w(mL)与滴水时间t(min)，符合学习过的_____（选填“正比例”或“一次”）函数；
(2)根据以上判断，求w与t之间的函数关系式；
(3)推算该水龙头在这种漏水状态下一天（24 小时）的漏水量．
【答案】(1)图见解析，一次
(2)w=3t+5
(3)4325mL
【分析】本题考查了一次函数解析式、一次函数的图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）用描点法画出图象即可；
（2）根据待定系数法进行解题；
（3）令t=1440，代入解析式计算即可．
【详解】（1）解：w关于t的函数图象如图所示；
故答案为：一次；
（2）解：设容器内盛水量w与滴水时间t之间的函数关系式为w=kt+b，
∵w=kt+b过点(0,5)，即b=5，
w=kt+5，
又∵w=kt+b过点(5,20)，
即5k+5=20，解得：k=3，
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∴w与t之间的函数关系式为：w=3t+5；
（3）解：当t=60×24=1440时，w=3×1440+5=4325mL；
答：这个水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为4325mL．
4．(25-26 八上·山西晋中介休·期中)项目化学习
项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间．
项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生
物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（23℃）的最佳饮用时间”
为主题展开项目学习．
驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系．
研究步骤：
①取一桶桶装水，打开置于空气中；
②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数；
③数据分析，形成结论．
试验数据：
试验天数x/天
0
1
2
3
4
…
菌落总数
y/cfu⋅mL−1
15
20
25
30
35
…
问题解决：
(1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数x（天），纵轴表示菌落总数y（cfu⋅mL−1），将整理好的数
据在平面直角坐标系中描点、连线；
(2)观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（y）与试验天数（x）之间的函数关系式；
(3)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过50cfu⋅mL−1时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后
的最佳饮用时间是多少天？
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【答案】(1)见解析
(2)y=5x+15(x≥0)
(3)7 天
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可；
（2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可；
（3）求出函数值为50 时自变量的值即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点，
设y=kx+b，
则{k+b=20
b=15
，
∴{ k=5
b=15
，
∴y=5x+15(x≥0)；
（3）解：在y=5x+15(x≥0)中，当y=50时，x=7，
∵5>0，
∴y 随x 增大而增大，
∵桶装水菌落总数超过50cfu⋅mL−1时就要停止饮用，
∴y≤50，
∴0≤x≤7，
∴7−0=7，
答：桶装水打开后的最佳饮用时间是7 天．
5．(25-26 九上·浙江台州初中名校发展共同体·期中)在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表
现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站
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在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相
交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感．
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐
标系内，已知公路的左侧边界线l1经过点A(−8,1)和B(−4,3)，右侧边界线l2的函数表达式为y=−3x+6，l1和l2相
交于点P，即点P为灭点．
（1）求左侧边界线AB的函数表达式；
（2）求灭点P的坐标；
【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持l1的位置不变，将l2向上平移c个单
位长度(c>0)，使得灭点的纵坐标不小于6，求c的取值范围．
【答案】（1）y=
1
2 x+5；（2）(
2
7 ,
36
7 )；迁移应用：c≥6
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，涉及求出一次函数解析式，两直线的交点，一次函数的平
移等知识．
（1）利用待定系数法求AB的解析式即可．
（2）联立两直线，求出点P 的坐标即可．
迁移应用：由题意知l2平移后的函数表达式为y=−3x+6+c，再联立两直线，求出点P 的坐标，根据点P 的纵
坐标大于6 列出关于C 的一元一次不等式求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设左侧边界线AB的函数表达式为y=kx+b，
把A(−8,1)和B(−4,3)代入得：{−8k+b=1
−4k+b=3
，
解得{k=
1
2
b=5
，
∴左侧边界线AB的函数表达式为y=
1
2 x+5；
（2）解：联立{ y=
1
2 x+5
y=−3x+6
，解得{
x=
2
7
y=
36
7
，
∴灭点P的坐标为(
2
7 ,
36
7 )；
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迁移应用：解：将l2向上平移c个单位长度后得直线y=−3x+6+c，
联立{
y=−3x+6+c
y=
1
2 x+5
，
解得{
x=
2+2c
7
y=
36+c
7
，
∵灭点的纵坐标不小于6，
∴
36+c
7 ≥6，
解得c≥6，
∴ c的取值范围是c≥6．
6．(25-26 九上·北京第八十中学·期中)在数字时钟精准到毫秒的今天，鲜有人记得，千年前的华夏大地上，
古人已用智慧构建起精妙的计时系统——铜壶滴漏．我国现存最完整的成组型滴漏是元代仁宗延佑三年（公
元1316 年）铸造，全组由4 个安放在阶梯上的漏壶组成，最上层称日壶，第二层称月壶，第三层称星壶，
最底下一层称受水壶．受水壶铜盖中央插一把铜尺，尺上刻有12 时辰的刻度，铜尺前插一木制浮剑，木剑
下端是一块木板，叫浮舟．水由日壶按次沿龙头滴下，受水壶中的水随时间的推移而逐渐增加，浮剑逐渐
上升，从而读出时间．
铜壶滴漏作为我国古代重要的计时工具，为何通常由四个壶构成？为探寻其中奥秘，科学兴趣小组分别制
作了单壶模型与三壶补偿模型展开深入探究．
记录了当实验时间为t（单温：分钟）时，单壶模型受水壶水位y1（单位：厘米）和三壶补偿模型受水壶水
位y2（单位：厘米），部分数据如下：
t
0
10
20
30
40
50
60
y1
0
1.5
2.8
3.9
4.8
5.5
6.0
y2
0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与t，y2与t 的关系，回答下列问题：
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(1)y2可以看作是关于t 的正比例函数，解析式为________；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当t=45时，单壶模型与三壶补偿模型受水壶水位之差约为________cm（结果保留小数点后一位）；
②实验发现三壶补偿模型计时与标准时间基本一致，每小时受水壶水位上升12cm．当受水壶水位为3cm时，
用单壶模型计时比标准时间________（填写“快或慢”）________分钟（结果取整数）．
【答案】(1)y2=0.2t
(2)见解析
(3)①3.9；②慢，7．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求函数解析式、画函数图象、从函数图象获取信息等知识点，
根据函数图象获取所需信息是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）根据描点、连线的步骤画图即可；
（3）①先求得t=45时，y2=0.2×45=9.0；再观察图象可得y1≈5.15，然后作差并取近似数即可解答；②先求
得当y=3，三壶补偿模型（标准时间）：t2=3÷0.2=15分钟；再根据函数图象确定t1≈22分钟，然后比较作差即
可解答．
【详解】（1）解：设y2=kt，则2=10k，解得：k=0.2，
所以y2=0.2t．
（2）解：如图：函数y1，y2即为所求．
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（3）解：①当t=45时，y2=0.2×45=9.0；
观察函数图象，对于y1，当t=40时，y1=4.8；当t=50时，y1=5.5，
∴推测：当t=45时，y1≈5.15，
∴水位之差：9.0−5.15=3.85≈3.9cm．
故答案为：3.9．
②当y=3时，三壶补偿模型（标准时间）：t2=3÷0.2=15分钟，
单壶模型：由y1数据可得：y1=3时，t1≈22分钟，
∴单壶模型计时比标准时间慢，且慢22−15=7分钟．
故答案为：慢，7．
题型八：一次函数的实际应用之梯度收费问题
1．(25-26 八上·陕西西安交通大学附属中学空港实验学校·月考)西安市出租车价格是这样规定的：不超过3
千米，付车费8.5元，超过的部分按每千米2 元收费．已知李老师乘出租车行驶了x(x>3)千米，付车费y 元，
则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范
围）
【答案】y=2x+2.5
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列出关系式y=8.5+2(x−3)，再
化简即可．
【详解】解：y=8.5+2(x−3)=2x+2.5，
∴所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为y=2x+2.5．
故答案为：y=2x+2.5．
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2．(25-26 八上·辽宁沈阳第一二六中学教育集团·期中)为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯
水价”．计费方法如表：
每户每月用水量
水价
不超过12m3
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
设每户每月用水量为xm3，水费为y元，当12<x≤18时，则y关于x的函数关系式为 ．
【答案】y=6x−36
【分析】本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在12到18立方米时，水费由前12立方米
的固定费用和超出部分的费用组成．
【详解】解：当12<x≤18时，前12立方米水费为12×3=36元，超出部分为(x−12)立方米，按6元/立方米计费，
因此y=36+6(x−12)=6x−36．
故答案为：y=6x−36．
3．(25-26 八上·河北保定第十七中学教育集团·期中)为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户
采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
XX 居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量x（度）
电价（元/度）
第一档：0<x≤180
0.5
第二档：180<x≤350
0.6
第三档：x>350
0.8
本月实用金额：102
（元）
（大写）壹佰零贰圆
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用x 度来表示，实付金额用y 元来表示．
①当180<x≤350时，写出实付额y 元与月用电量x 度之间的函数关系式；
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②当x>350时，写出实付额y 元与月用电量x 度之间的函数关系式；
(2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；
(3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120 度和400 度，则实付金额分别为多少元？
【答案】(1)①y=0.6x−18；②y=0.8x−88
(2)这个家庭本月的实际用电量200 度
(3)实付金额分别为60 元、232 元
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意及表格可进行求解①②；
（2）由（1）可把y=102代入y=0.6x−18代入进行求解即可；
（3）根据题意分别计算电费即可．
【详解】（1）解：①当180<x≤350时，由表可知：
y=0.5×180+0.6(x−180)=0.6x−18；
即实付额y 元与月用电量x 度之间的函数关系式y=0.6x−18；
②当x>350时，由表可知：
y=0.5×180+0.6×(350−180)+0.8(x−350)=0.8x−88；
即实付额y 元与月用电量x 度之间的函数关系式y=0.8x−88；
（2）解：因为第一档最高电费为0.5×180=90元，而102>90，
所以用电量超过180 度。
假设用电量在第二档，将y=102代入y=0.6x−18得102=0.6x−18，解得x=200。
因为180<200≤350，假设成立，
所以该家庭本月实际用电量为200 度，
答：这个家庭本月的实际用电量200 度；
（3）解：由题意得：
小强家的电费为0.5×120=60（元）；
小华家的电费为y=0.8×400−88=232（元）；
答：实付金额分别为60 元、232 元．
4．(25-26 八上·辽宁本溪·期中)为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭
人口不超过4 人时户年用水量及分档计费标准：
计费档
户年用水量x m3
⁄
单价（元/m3）
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第一档
0<x≤300
2.73
第二档
300<x≤600
3.28
第三档
x>600
3.82
(1)当300<x≤600时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式；
(2)某户一年用水量是400m3，求该户这一年的水费；
(3)某户去年一年的水费是1311元，求该户去年一年的用水量．
【答案】(1)水费y（单位：元）与x之间的关系式为：y=3.28x−165
(2)1147元
(3)该户去年的用水量为450m3
【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键．
（1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可；
（2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解；
（3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，由分段函数的计算方法列式求解即可．
【详解】（1）解：第一档的水费为2.73×300=819（元），
第二档的水费为y=819+(x−300)×3.28=3.28x−165（元），
∴水费y（单位：元）与x之间的关系式为：y=3.28x−165；
（2）解：当某户一年用水量是400m3时，处于第二档，
∴y=3.28×400−165=1312−165=1147（元）；
该户这一年的用水费为1147 元．
（3）解：第一档的最高费用为2.73×300=819（元），
第二档的最高费用为3.28×600−165=1803（元），
因为819＜1311＜1803，所以该户的年用水量属于第二档，
所以3.28x−165=1311，
解得：x=450．
答：该户去年一年的用水量为450m3．
5．(24-25 八上·陕西咸阳渭城区底张晋公庙中学·期中)天然气收费标准如下表所示：
用气类型
气价
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居民生活用气
阶梯气价（每年每户）
228m3及以下部分
3.35 元/m3
228−348m3部分（不包含228m3包含348m3）
3.93 元/m3
348m3以上部分
4.80 元/m3
设某户每月用气量为x(m3)，应交燃气费为y（元）．
(1)写出用气量未超过348m3时，y与x之间的函数关系式；
(2)当小明家交燃气费为1156.8 元时，求小明家用气量．
【答案】(1)y= {
3.35x(0≤x≤228)
3.93x−132.24(228<x≤348)
(2)小明家用气量为328m3
【分析】本题考查一次函数，一元一次方程的应用．
（1）应交燃气费=每月用气量×气价；
（2）先求出x 范围，再列方程即可．
【详解】（1）解：由表格可知，当x≤228时，y=3.35x，
当228<x≤348时，y=3.93×(x−228)+228×3.35=3.93x−132.24，
∴用气量未超过348m3时，y 与x 之间的函数关系式为y= {
3.35x(0≤x≤228)
3.93x−132.24(228<x≤348)
；
（2）解：∵228×3.35=763.8（元），228×3.35+3.93×(348−228)=1235.4（元），
∴小明家用气量超过228m3，但不超过348m3，即228<x≤348，
∴3.93x−132.24=1156.8，
解得x=328；
∴小明家用气量为328m3．
6．(25-26 八上·陕西咸阳实验学校·期中)个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000 元的部分
不收税；月收入超过5000 元但不超过8000 元的部分征收3%的所得税；月收入超过8000 元但不超过17000
元的部分征收10%的所得税；月收入超过17000 元但不超过30000 元的部分征收20%的所得税…如某人月收
入15000 元，他应缴个人工资、薪金所得税：(8000−5000)×3%+(15000−8000)×10%=790（元）．
(1)当月收入超过8000 元但不超过17000 元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式；
(2)某人月收入9800 元，求他应缴所得税多少元；
(3)某人本月缴费540 元，求此人本月的工资是多少元．
【答案】(1)y=0.1x−710
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(2)270
(3)12500
【分析】本题主要考查了列一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
（1）月收入超过5000元但低于8000元的部分征收3%的所得税；月收入超过8000元但低于17000元的部分征
收10%的所得税，据此即可列出函数解析式；
（2）将x=9800代入（1）中解析式，即可求解；
（3）将y=540代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）由题意可得，y=(8000−5000)×3%+(x−8000)×10%=0.1x−710
即应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式为y=0.1x−710．
（2）当x=9800时，y=0.1x−710=0.1×9800−710=270（元）
某人月收入9800 元，求他应缴所得税270元
（3）当y=540时，540=0.1x−710，
解得x=12500，
此人本月的工资是12500元．
7．(25-26 八上·辽宁实验中学·期中)我市电费实行阶梯式收费，标准如下：
一户居民一个月用电
量的范围
电费价格/（元/千瓦时）
不超过200 千瓦时的
部分
0.55
超过200 千瓦时，但不
超过400 千瓦时的部
分
0.6
超过400 千瓦时的部
分
0.8
(1)设我市一户居民某月用电量x 千瓦时，当月的电费y 元，直接写出y 与x 的关系式；
(2)某户居民七月份用电量为260 千瓦时，求该户这个月的电费；
(3)某户居民八月份交电费170 元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时?
【答案】(1)当0≤x≤200时，y=0.55x；当200<x≤400时，y=0.6x−10；当x>400时，y=0.8x−90
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(2)146 元
(3)300 千瓦时
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值和求函数值，正确求出对应的函数关系式是解题的
关键．
（1）根据所给的收费方案列式求解即可；
（2）把x=260代入y=0.6x−10中，求出y 的值即可得到答案；
（3）可证明该户居民八月份用电量超过200 千瓦时，但不超过400 千瓦时，则把y=170代入y=0.6x−10中，
求出x 的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，当0≤x≤200时，y=0.55x；
当200<x≤400时，y=200×0.55+0.6(x−200)=0.6x−10；
当x>400时，y=200×0.55+0.6×(400−200)+0.8(x−400)=0.8x−90；
（2）解：在y=0.6x−10中，
当x=260时，y=0.6×260−10=146，
答：该户这个月的电费为146 元；
（3）解：∵200×0.55=110，200×0.55+0.6×(400−200)=230，
且110<170<230，
∴该户居民八月份用电量超过200 千瓦时，但不超过400 千瓦时，
在y=0.6x−10中，当y=0.6x−10=170时，x=300，
答：该户居民八月份用电量为300 千瓦时．
8．(25-26 八上·陕西西安碑林区西安交通大学附属中学·月考)为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡
居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
XX居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量x（度）
电价（元/度）
第一档：0<x≤180
0.50
第二档：180<x≤350
0.55
第三档：x>350
0.80
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本月实用金额：106.5
（元）
（大写）壹佰零陆元伍
角
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示，当180<x≤350时，写出实付额y元与月用电量x度之间
的函数关系式；
(2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；
(3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120 度和250 度，则实付金额分别为多少元
【答案】(1)y=0.55x−9
(2)这个家庭本月的实际用电量为210 度
(3)小强和小华家这一个月实付金额分别为60 元和128.5 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之
间的函数关系．
（1）当180<x≤350时，成一次函数关系，实付金额等于180度内的用电付出金额与超出180度的用电付出金
额的和，然后即可得到y 与x 的函数关系式；
（2）先计算出106.5元的用电量超出180度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解；
（3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：当180<x≤350时，则
y=0.50×180+0.55×(x−180)
=0.55x−9，
答：当180<x≤350时，y与x之间的函数关系式为y=0.55x−9；
（2）解：∵180度电费为：0.50×180=90，
350度电费为：0.55×350−9=183.5，
90<106.5<183.5，
∴该家庭本月用电量属于第二档，令y=106.5，则0.55x−9=106.5，
解的x=210，
答：这个家庭本月的实际用电量为210 度．
（3）解：当0<x≤180时，则y=0.50x；
∵120<180，
∴把x=120代入y=0.50x得y=0.50×120=60元；
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当180<x≤350时，则y=0.55x−9，
∵180<250≤350
∴当x=250时，则y=0.55x−9=0.55×250−9=128.5元．
答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60 元和128.5 元．
题型一：一次函数的实际应用综合
1．(25-26 八上·江苏盐城康居路初级中学·期中)一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速
度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，
通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯
．．．．．．，这个车速就
是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验．
如图1，汽车以速度v(m/s)匀速行驶通过路口A、B、C、D，且10≤v≤25．已知各路口红灯、绿灯均每隔30s交
替一次，其余因素忽略不计．
【模块一】特定速度的通行情况
设汽车在第0 秒出发，匀速行驶t(s)后路程为s(m)．图2 中射线OC6表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情
况．
（1）求s与t的函数表达式；
（2）汽车以这样的速度向路口D行驶，它能一路绿灯通过这四个路口吗，若能，请说明理由；若不能，请
计算从路口A出发到通过D路口的总时长（行程总时长=红灯等待时间+行驶时间）；
【模块二】绿波速度的通行情况
（3）①在这种红绿灯设置下，汽车若想一路绿灯匀速通过这四个路口，需优化通行速度，则“绿波速度”的
取值范围为________；
②若汽车以①中“绿波速度”的整数值匀速行驶，与（2）中相比优化后的总时长减少了多少秒（精确到1s）；
【模块三】交通系统优化效果对比
（4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比：
指标
优化前
优化后
行程总时长
18分钟
11分钟
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红灯等待次数
m次
n次（n≤5）
单次红灯平均等待时长
30秒
15秒
行驶速度
800米/分钟
1200米/分钟
求“绿波控制系统”优化前后的红灯等待次数．
【答案】（1）s=10t；
（2）从路口A出发到通过D路口的总时长为210秒；
（3）①
100
9 ≤v≤
25
2 ②43；
（4）优化前的红灯等待次数为6，优化后的红灯等待次数为4
【分析】本题考查从函数图象获取信息，求一次函数解析式，二元一次方程等，解题的关键是读懂题意与
图象，获取相关信息．
（1）由图2 可知，射线OC6过点(150,1500)，且函数为正比例函数，设s与t的函数表达式为s=kt，把(150,1500)
代入解析式求得k值，再回代入解析式即可；
（2）由图可知从路口A出发到通过D路口，只有到路口D时遇红灯，由路口D绿灯亮起时间即可得出；
（3）①由图可得绿灯通过路口B、C、D时速度取值，综合考虑即可；
②由“绿波速度”的整数值为v=12，可得优化后总时长，与（2）中总时长求差即可；
（4）由优化前后路程相等可列方程800 (18−
1
2 m) =1200 (11−
1
4 n)，整理得：4m−3n=12，由n≤5且n为正整数
可得n=4，即可得m=6．
【详解】解：（1）由图2 可知，射线OC6过点(150,1500)，且函数为正比例函数，
设s与t的函数表达式为s=kt，把(150,1500)代入解析式得：
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1500=150k，解得：k=10，
∴s与t的函数表达式为s=10t；
（2）由图2 可知，汽车以这样的速度向路口D行驶，它不能一路绿灯通过这四个路口，第210秒时，路口D绿
灯亮起，故从路口A出发到通过D路口的总时长为210秒；
（3）①绿灯通过路口B，则
900
100 ≤v≤
900
70 ，即9≤v≤
90
7 ，
绿灯通过路口C，则
1500
150 ≤v≤
1500
120 ，即10≤v≤
25
2 ，
绿灯通过路口D，则
2000
180 ≤v≤
2000
150 ，即
100
9 ≤v≤
40
3 ，
∴“绿波速度”的取值范围为
100
9 ≤v≤
25
2 ；
②“绿波速度”的整数值为v=12，总时长为2000÷12≈167（秒），
210−167=43（秒），
∴与（2）中相比优化后的总时长减少了43秒；
（4）由题意得：800 (18−
1
2 m) =1200(11−
1
4 n)，
整理得：4m−3n=12，
∴m=3+
3
4 n，
∵n≤5且n为正整数，
∴n=4，
∴m=6，
∴优化前的红灯等待次数为6，优化前后的红灯等待次数为4．
2．(25-26 八上·浙江杭州采荷中学·期中)根据以下信息，探索完成任务：
素材
1
采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用A、B两种型号的客车，其中A型车每辆租
金500 元，B型车每辆租金400 元
素材
2
4 辆A型车和3 辆B型车坐满后共搭载200 人，3 辆A型车和4 辆B型车坐满后共搭载185 人．
素材
3
该年级计划租用A、B两种型号的客车共20 辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的7 倍．
问题解决：
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(1)每辆A、B型车坐满后分别可以搭载几人？
(2)请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．
(3)若该年级准备只租用B型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18 名学生，则有5 名
学生未能上车；若安排1 辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少
辆B型车？有多少名学生参加研学活动？
【答案】(1)每辆A 型车坐满后可以搭载35 人，每辆B 型车坐满后可以搭载20 人
(2)当租用18 辆A 型车、2 辆B 型车时，租金最少，最少租金为9800 元
(3)该年级租用24 辆B 型车，有437 名学生参加研学活动
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，二元一次方程的
应用
（1）设每辆A 型车坐满后可以搭载x 人，每辆B 型车坐满后可以搭载y 人，根据素材2 列二元一次方程组
求解即可；
（2）由素材3 求出a 的取值范围，求出总租金的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可；
（3）设租用B 型车m 辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n 名学生，根据题意列出二元一次方程，
得到n=18+
23
m−1，结合题意得到m=2或m=24，求出n 的值，进而判断是否符合n 为整数且n≤20即可．
【详解】（1）解：设每辆A 型车坐满后可以搭载x 人，每辆B 型车坐满后可以搭载y 人，
由素材2 得：{4x+3y=200
3x+4y=185
，
解得：{x=35
y=20
，
∴每辆A 型车坐满后可以搭载35 人，每辆B 型车坐满后可以搭载20 人；
（2）解：设租用A 型车a 辆，则租用B 型车(20−a)辆，
由素材3 得：a≥7(20−a)，
a≥140−7a，
8a≥140，
a≥17.5，
∵a 为整数，
∴a≥18，
总租金R=500a+400(20−a)=100a+8000，
∵100>0，R 随a 增大而增大，
∴当a=18时，R 最小，
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此时B 型车数量为20−18=2辆，
R=100×18+8000=9800（元），
∴当租用18 辆A 型车、2 辆B 型车时，租金最少，最少租金为9800 元；
（3）解：设租用B 型车m 辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n 名学生，
由题意：18m+5=n(m−1)，
n=
18m+5
m−1 =18+
23
m−1，
∵n 为整数，且n≤20（B 型车最多搭载20 人），
∴
23
m−1为整数，m−1是23 的因数，
∵23 为质数，
∴m−1=1或m−1=23，
即m=2或m=24，
当m=2时，n=18+
23
1 =41>20，不合理，
当m=24时，n=18+
23
23 =19≤20，合理，
学生数=18×24+5=437，
∴该年级租用24 辆B 型车，有437 名学生参加研学活动．
3．(24-25 八下·黑龙江牡丹江初中课改联盟第三子联盟·期末)一条笔直公路上依次有A、B、C 三地，甲车从
B 地匀速行驶到A 地，到达A 地因故停留1 小时，然后按原路原速返回到C 地（调头时间忽略不计）：乙车
在甲车出发1 小时后，从A 地匀速行驶到C 地，到达C 地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各
自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C 两地相距的路程是___________千米；
(2)求甲车从A 地驶向B 地的过程中，y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40 千米．
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【答案】(1)120，120
(2)y=−120x+720(3≤x≤6)；
(3)甲车出发2 小时或2.4 小时或
23
3 小时，两车相距40 千米．
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据图象知点N(0,120)表示当乙出发时，甲已经出发距B 地120 千米，据此可求得甲车行驶的速度；
再求得各路段的距离；
（2）先求得点Q(3,360)，E(6,0)，利用待定系数法求解即可；
（3）分四种情况讨论，根据题意结合图形列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
先明确折线N-P-R-E-F 是甲车的对应图象，线段OM是乙车的对应图象，
其中，x(小时)表示乙车的行驶时间，y(千米)表示甲车距各自出发地的路程；
点N(0,120)表示当乙出发时，甲已经出发距B 地120 千米；
又∵乙车在甲车出发1 小时后出发，则甲车行驶1 小时的路程为120 千米，
∴120÷1=120(千米/小时)，
故甲车行驶的速度为120 千米/小时；
PQ段表示甲车在A 地滞留1 个小时，
点P 表示甲车到达乙地，
此时x=2，则甲车的行驶时间为2+1=3小时；
∴B、A 两地的距离为120×3=360(千米)；
点M 表示乙车达终点C 地，则A、C 两地的距离为480 千米，
∴B、C 两地的距离为480−360=120 (千米)；
故答案为：120，120；
（2）解：点P 表示甲车到达A 地，B、A 两地相距360 千米，
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则点P(2,360)，
PQ段表示甲车在A 地滞留1 小时，则点Q(3,360)；
点E 表示甲车由A 地返回B 地，用时360÷120=3(小时)，
∴点E(6,0)，
则甲车从A 地返回B 地对应线段为QE，
设QE的解析式为y=kx+b，
将点Q(3,360)，E(6,0)代入得，{3k+b=360
6k+b=0
，
解得{k=−120
b=720
，
∴QE的解析式为y=−120x+720(3≤x≤6)；
（3）解：由图象可知xM=yE=6，
∴点M(6,480)，
∴乙车的速度为480÷6=80(千米/小时)，
设甲车出发t 小时，两车相距40 千米，则乙车行驶(t−1)小时；
由（1）知，B、A 两地距离360 千米，B、C 两地相距120 千米，A、C 两地相距480 千米，甲车的速度为
120 千米/小时，
①在甲车由B→A 过程中(此时两车相向而行），
当x=2时，甲车列达A 地，（0<t≤3），
由题意得120t+80(t−1)+40=360或120t+80(t−1)−40=360，
解得t=2或t=2.4；
②在甲车在A 地滞留1 小时时，此时3<t≤4，
当t=3时，甲到达A 地，
此时乙与A 地的距离也就是它的路程为80×(3−1)=160>40，
∴此段甲、乙两车不可能相距40 千米，舍去；
③在甲车由A→C 且乙车到达终点之前(两车同向而行)，乙车到达终点C 时，即点M 处，x=6，
故此时t=7，此段4<t≤7时，乙车先到达终点C，
由题意得80(t−1)−120(t−4)=40，
解得t=9，此段不符合题意舍去；
④乙车到达终点之后(t>7)，
此时乙车停在C 地，
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当甲，乙两车相距40 千米时，
由题意得480−120(t−4)=40，
解得t=
23
3 ；
综上，甲车出发2 小时或2.4 小时或
23
3 小时，两车相距40 千米．
4．(25-26 九上·黑龙江佳木斯·月考)甲、乙两车从佳市出发前往哈市，甲车先出发匀速驶向哈市，15 分钟后
乙车出发，匀速行驶一段时间后出现故障，出现故障后维修了10 分钟，修好后减速慢行，速度减少了40km/h，
结果与甲车同时到达哈市，甲、乙两车距佳市的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图
所示，请结合图象信息，完成下列问题：
(1)a= ，甲车的速度是 km h
⁄ ；
(2)求甲车距佳市的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式；
(3)请直接写出甲车出发多长时间，甲、乙两车相距10km．
【答案】(1)
19
6 ；80
(2)y=80x+20
(3)甲车出发
1
8小时或
3
4小时或
7
4小时或
17
4 小时，相距10 千米
【分析】本题考查一次函数及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，运用分类讨论思想解决问题．
（1）由乙出现故障耗时10 分钟易得a=
19
6 ；甲从佳市到哈市共用了(4.5+
15
60)小时，利用速度公式计算甲的速
度即可；
（2）求出A 的坐标，用待定系数法可得甲车距佳市的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系
式；
（3）分四种情况：①乙车出发前，甲车出发10÷80=
1
8 h，与乙车相距10 千米；②乙车出发后，在甲车后面
10 千米；③乙出发后追上甲车，在甲车前面10 千米处；④乙车减速后，甲车在乙车后面10 千米处，分别
解得即可．
【详解】（1）解：a=3+
10
60 =
19
6 ，
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甲车速度：380÷(4.5+
15
60) =80km/h，
故答案为：
19
6 ，80；
（2）解：∵甲车先出发15 分钟，乙出发时，甲距佳市80×
15
60 =20（千米），
∴ A(0,20)，
设函数表达式为：y=kx+20，
将D(4.5,380)代入得：380=4.5k+20，
解得k=80，
∴函数表达式为y=80x+20；
（3）解：①乙车出发前，甲车出发10÷80=
1
8 h，与乙车相距10 千米；
设乙车开始的速度为xkm/h，3x+ (4.5−
19
6 )(x−40)=380，
解得x=100，
②乙车出发后，在甲车后面10 千米，设此时甲车已经出发m 小时，
则80m−10=100(m−
15
60)，
解得m=
3
4；
③乙出发后追上甲车，在甲车前面10 千米时，
设此时甲车已经出发n 小时，
80n+10=100(n−
15
60)，
解得n=
7
4；
④乙车减速后，甲车在乙车后面10 千米处，设此时甲车已经出发p 小时，
80p+10=3×100+(100−40)× (p−
19
6 −
15
60)，
解得p=
17
4 ，
综上所述，甲车出发
1
8小时或
3
4小时或
7
4小时或
17
4 小时，相距10 千米．
5．(25-26 八上·安徽蚌埠G5 联考·月考)如图①，在长方形ABCD中，AB=10cm,BC=8cm，点P从点A出发，
沿A→B→C→D的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A的路线运动，到点A停止．若点P
和点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时，点P和点Q同时改变速度，点P的
速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图②是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与时间x（秒）的
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函数关系图象；图③是点Q出发x秒后三角形AQD的面积S2(cm2)与时间x（秒）的函数关系图象．
(1)参照图②，求a,b及图②中c的值；
(2)设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需要走的路程为y2(cm)，请分别写出改变速度后，y1,y2与出
发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P和点Q相遇时x值．
【答案】(1)a=6,b=2,c=17
(2)y1=2x−6(x≥6),y2=22−x(x≥6)，相遇时x=
28
3
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题
的关键．
（1）由图象②可得，当x=a时，S△APD=
1
2 PA·AD=
1
2 a×8，求出a的值，进而可求出b和c的值；
（2）根据题意求出y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的关系式，进而可知点P、点Q相遇时y1=y2，解方程
即可求解；
【详解】（1）解：由图象②可得，当x=a时，S△APD=
1
2 PA·AD=
1
2 a×8，
解得a=6，
∴b=
10−1×6
8−6 =2，
∴c=8+
8+10
2 =17；
（2）解：由题意得，y1=2(x−6)+6×1=2x−6，y2=28−2×6−1×(x−6)=22−x，
即y1=2x−6(x≥6)，y2=22−x(x≥6)，
当点P、点Q相遇时，2x−6=22−x，
解得x=
28
3 ．
6．(25-26 八上·安徽阜阳颍上县·月考)综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用一批塑料花盆种植花卉美化学校的文化长廊．
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【项目准备】
（1）摆放方式：使用A，B 两种规格的塑料花盆分别按图1 和图2 的方式靠墙进行单侧摆放（起点和终点
各摆放一个，且每两个花盆之间的距离都一样）．
（2）规划探究：无论选择哪种摆放方式．设都需要x个塑料花盆，学校的文化长廊长度为ycm，用A 花盆按
图1 的方式进行摆放，则y 关于x的表达式为①______；若用B 花盆按图2 的方式进行摆放，则y 关于x的
表达式为②______．
【项目分析】
（1）项目条件：文化长廊总长为12.4m，每个A 花盆可种植1 株花卉，每个B 花盆可种植2 株花卉．
（2）方法确认：按图1，需要A 花盆③______个；按图2，需要B 花盆④______个．
【项目优化】
（1）优化方式：实践小组经过分析后决定要在文化长廊的两侧都摆放花盆，一边按图1 的方式摆放A 花盆，
另一边按图2 的方式摆放B 花盆．
（2）成本预算：实践小组计划用不超过500 元的价格采购一批玫瑰和蔷薇，已知一株玫瑰15 元，一株蔷
薇12 元，且玫瑰的数量不少于蔷薇的两倍，若设玫瑰采购了m 株（m为正整数），采购费为w 元，则w 关
于m 的函数表达式为⑤_______，采购的费用w 最少为⑥_______元
【项目实施】
根据以上分析，用最少的费用采购两种花来完成美化文化长廊实践活动（略）。
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①________；②_______；③_______；④_____；⑤_______；⑥_____．
【答案】①y=110x−80；②y=120x−80；③12；④11；⑤w=3m+408(22
2
3 ≤m≤30
2
3)；⑥477
【分析】本题考查一次函数的实际应用，不等式组的实际应用；
①根据图形可得，用A 花盆按图1 的方式进行摆放，一个花盆加中间部分的距离为140−30，再算上一开始
单独的花盆30，据此计算即可；
②根据图形可得，用B 花盆按图2 的方式进行摆放，一个花盆加中间部分的距离为160−40，再算上一开始
单独的花盆40，据此计算即可；
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③由文化长廊总长为12.4m=1240cm，根据①中解析式列方程计算即可；
④由文化长廊总长为12.4m=1240cm，根据②中解析式列方程计算即可；
⑤先求出花卉总数为12+2×11=34株，设玫瑰采购了m 株（m为正整数），采购费为w 元，则蔷薇采购了(34−m)
株，0≤m≤34，根据w=15m+12(34−m)化简，再根据题意列不等式组求出m的范围即可求解；
⑥根据w=3m+408随m的增大而增大，结合22
2
3 ≤m≤30
2
3，m为正整数，得到当m=23时，
w=3m+408=3×23+408=477最小．
【详解】解：规划探究：
①根据图形可得，用A 花盆按图1 的方式进行摆放，则y 关于x的表达式为y=(140−30)(x−1)+30=110x−80；
②根据图形可得，用B 花盆按图2 的方式进行摆放，则y 关于x的表达式为y=(160−40)(x−1)+40=120x−80；
【项目分析】
③12.4m=1240cm，
由题意可得y=110x−80=1240，
解得x=12，
∴文化长廊总长为12.4m，按图1，需要A 花盆12个；
④由题意可得y=120x−80=1240，
解得x=11，
∴文化长廊总长为12.4m，按图2，需要B 花盆11个；
【项目优化】
⑤∵文化长廊总长为12.4m，每个A 花盆可种植1 株花卉，每个B 花盆可种植2 株花卉，一边按图1 的方式
摆放A 花盆，另一边按图2 的方式摆放B 花盆
∴花卉总数为12+2×11=34（株）；
设玫瑰采购了m 株（m为正整数），采购费为w 元，则蔷薇采购了(34−m)株，0≤m≤34，
∴w 关于m 的函数表达式为w=15m+12(34−m)=3m+408；
由题意得{15m+12(34−m)≤500
m≥2(34−m)
，
解得22
2
3 ≤m≤30
2
3，
∴w 关于m 的函数表达式为w=3m+408(22
2
3 ≤m≤30
2
3)，
⑥∵w 关于m 的函数表达式为w=3m+408，3>0，
∴w随m的增大而增大，
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∵22
2
3 ≤m≤30
2
3，m为正整数，
∴当m=23时，w=3m+408=3×23+408=477最小，
∴采购的费用w 最少为⑥477元；
故答案为：①y=110x−80；②y=120x−80；③12；④11；⑤w=3m+408(22
2
3 ≤m≤30
2
3)；⑥477．
7．(25-26 九上·天津红桥区·月考)已知小华家、文具店、书店依次在同一条直线上，文具店、书店离小华家
的距离分别为1km，1.6km小华从家出发，先匀速骑行8min到达书店，在书店停留了12min，之后匀速骑行
3min到达文具店，在文具店停留7min后，再匀速骑行5min返回家．下面图中x 表示时间，y 表示离家的距离．图
象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)①填表：
小华离开家的时
间/min
4
15
23
30
小华离家的距离
/km
1
②填空：小华从文具店返回家的速度为______km/min；
③当0≤x≤23时，请直接写出小华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；
(2)若小华的哥哥与小华同时离开书店，小华的哥哥匀速步行直接返回家，他到家的时间比小华到家的时间
晚1min．在从书店返回家的过程中，对于同一个x 的值，小华离家的距离为y1，小华的哥哥离家的距离为y2，
当y1>y2时，求x 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)①0.8,1.6,1②0.2③当0≤x≤8时，y=0.2x；当8<x≤20时，y=1.6；当20<x≤23时，y=−0.2x+5.6．
(2)26<x<34
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）①根据图象及速度路程时间和路程速度时间计算即可；
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②根据速度=路程÷时间计算即可；
③利用一次函数待定系数法计算即可；
（2）写出与之间的函数关系式，求出两函数的交点的横坐标并根据图象得出当y1>y2时，的取值范围即可．
【详解】（1）解：①小华从家出发，先匀速骑行8min到达离家1.6km的书店，
则速度为1.6÷8=0.2km/min，
∴4 分钟时离家0.2×4=0.8km，
由图象知，在4 分钟到20分钟时，小华一直停留在书店，
∴15分钟时离家1.6km，
由图象知，在30 分钟时，小华在距家1km远的文具店，
∴30 分钟时离家1km；
故答案为：0.8,1.6,1；
②由图象知，小华从文具店返回家的时间是35-30=5分钟，距离是1km，
∴小华从文具店返回家的速度为1÷5=0.2km/min；
故答案为：0.2；
③当0≤x≤8时，
设直线解析式为y=kx，代入(8,1.6)得：
8k=1.6，
k=0.2，
∴解析式为：y=0.2x，
当8<x≤20时，y=1.6，
当20<x≤23时，
设直线解析式为y=kx+b，代入(20,1.6),(23,1)得：
{20k+b=1.6
23k+b=1
，
解得{k=−0.2
b=5.6
，
∴解析式为：y=−0.2x+5.6，
综上所述，当0≤x≤8时，y=0.2x；当8<x≤20时，y=1.6；当20<x≤23时，y=−0.2x+5.6；
（2）解：当23<x≤30时，
y1=1，
当30<x<35时，
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设y1=kx+b，代入(30,1),(35,0)得：
{30k+b=1
35k+b=0
，
解得{k=−0.2
b=7
，
∴解析式为：y1=−0.2x+7，
设y2=kx+b，代入(20,1.6),(36,0)得：
{20k+b=1.6
36k+b=0
，
解得{k=−0.1
b=3.6
，
∴解析式为：y2=−0.1x+3.6，
令y1=y2得：
−0.1x+3.6=1，
x=26，
−0.2x+7=−0.1x+3.6，
x=34，
由图象知，当26<x<34时，y1>y2．
1．(24-25 九下·浙江丽水景宁县、青田县·期中)甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行驶过程中，甲、
乙两车离A 城的距离y(km)与行驶时间x(h)的函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两车同时出发
B．乙车的速度为60km/h
C．乙车出发2h时，追上了甲车
D．当乙车到达B 城时，甲、乙两车相距60km
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【答案】C
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；
由图象得全程300km，乙车行完全程用3 小时，得速度为100km，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函
数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1 小时，求出甲、
乙两车相距50km可判断D．
【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2 小时，故选项A 错误；
由图象得全程300km，乙车行完全程用5−2=3(h)，平均速度为300÷3=100(km)，故选项B 错误；
设甲车行驶的图象为y=kx，把(6,300)代入得：6k=300，解得k=50，
所以，y=50x，
设乙车行驶的图象为y=mx+n，把(5,300)，(2,0)代入得：{5m+n=300
2m+n=0
，解得{ m=100
n=−200
，
所以，y=100x−200，
联立{
y=50x
y=100x−200
，
解得x=4，
∴乙车出发4−2=2(h)时，追上了甲车，故选项C 正确；
由图象得A，B 两地的距离为300km
甲车速度为300÷6=50(km h
⁄ )，
所以，当乙车到达B 城时，甲、乙两车相距50×(6−5)=50km，故选项D 错误；
故选：C．
2．(25-26 八上·山东济南长清区·期中)如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮
的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水
平距离是41cm，此时挂重物为（ ）kg．
x kg
⁄
0
1
2
y cm
⁄
2.5
8
13.5
A．8
B．7
C．5
D．10
【答案】B
小学
初中
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【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的计算是解题
的关键．根据题意，运用待定系数法可得一次函数解析式，再令y=41，代入计算即可．
【详解】解：∵秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，
∴设一次函数解析式为y=kx+2.5(k≠0)，
当x=1时，y=8，
∴k+2.5=8，
解得k=5.5，
∴一次函数解析式为y=5.5x+2.5，
当y=41时，得5.5x+2.5=41，
解得x=7，
∴所挂物重为7kg，
故选：B．
3．(25-26 八上·安徽合肥五十中学西校·期中)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速
跑步3000 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）
与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙用6 分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走2400 米才到达终点
C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12 分钟
D．甲乙两人之间的最远距离是960 米
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键，根据图象信息，结合速
度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可．
【详解】解：由图知，10−4=6(分)，
∴乙用6 分钟追上甲，
∴A正确，不符合题意；
甲的速度为240÷4=60(米/分)，
乙追上甲时，二人离终点的距离为3000−60×10=2400(米)，
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∴乙追上甲后，再走2400米才到达，
∴B正确，不符合题意；
乙的速度为60×10÷(10–4)=100(米/分)，
乙到达终点所用的时间为3000÷100=30（分），
当乙到达终点时甲走的路程为60×(30+4)=2040(米)，
当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为3000−2040=960(米)，
∴D正确，不符合题意；
∵当乙到达终点时甲走的路程为2040 米，
∴甲还需要(3000−2040)÷60=16(分)到达终点，
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了16分钟，
∴C错误，符合题意
故选：C．
4．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为4米/秒和6米/秒，开始时甲先跑100米后乙再
追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离S（米）与甲跑步所用时间t（秒）之间的
函数关系式为（ ）
A．S=−10t+100（0≤t≤10）
B．S=−2t+100（0≤t≤50）
C．S=−2t+150（25≤t≤75）
D．S=2t−150（0≤t≤75）
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式
是解题的关键．
先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关
系式并确定时间范围．
【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为t秒，得乙跑步所用时间为(t−
100
4 )=(t−25)秒，则甲跑
的路程为4t米，乙跑的路程为6(t−25)米．
由题意可得S=4t−6(t−25)=4t−6t+150=−2t+150．
当乙追上甲时，s=0，即−2t+150=0，
解得t=75；
当乙刚要出发时，
t=25，所以t的取值范围是25≤t≤75．
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所以甲、乙两人之间的距离S（米）与甲跑步所用时间t（秒）之间的函数关系式为S=−2t+150（25≤t≤75），
故选：C．
5．(25-26 八上·安徽宣城第十二中学·月考)国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速
行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离y(km)与两车行驶的时间t(h)之间的函数关系
如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．乙车的速度是100km/h
B．乙车比甲车晚出发1h，却早到1h
C．乙车出发后1.5h追上甲车
D．当甲、乙两车相距50km时，t=
5
4或
15
4
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键．
先设甲的函数关系式为y=kt，乙的函数关系式为y1=k1t+b1，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可．
【详解】解：设甲的函数关系式为y=kt，乙的函数关系式为y1=k1t+b1，
由函数图象得，将(5,300)代入到甲的函数关系式中，(1,0),(4,300)代入到乙的函数关系式中，
∴5k=300，{ 1×k1+b1=0
4×k1+b1=300
，
解得k=60,{ k1=100
b1=−100
，
∴甲的函数关系式为y=60t，乙的函数关系式为y1=100t−100，
A、乙车速度为300÷(4−1)=100km/h，该选项正确，不符合题意；
B、乙车在t=1时出发，在t=4到达，甲车在t=0时出发，在t=5到达，则乙车比甲车晚出发1h，却早到1h，该
选项正确，不符合题意；
C、联立两个函数解析式得{
y=60t
y1=100t−100 ，
解得{ t=2.5
y=150
，
∵乙车在t=1时出发，
∴乙车出发后1.5h追上甲车，该选项正确，不符合题意；
D、当乙出发前(0≤t<1)：60t=50，
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解得t=
5
6，选项中没有；
乙出发后到甲到达前((1≤t≤5)：|60t−100(t−1)|=50，
解得t=
5
4或t=
15
4 ；
乙到达后(t>4)：300−60t=50
解得t=
25
6 ，选项中也没有，故该选项错误，符合题意；
故选D．
6．(24-25 八下·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学校·期中)珊珊与姐姐司司相约去离家30km的图书馆看书，珊珊
9:00从家骑自行车去图书馆，司司9:30从家出发，乘车沿相同路线去图书馆，珊珊和司司的行进路程S（km）
与时间t（时）的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．10点时司司追上了珊珊；
B．司司坐车的平均速度是珊珊骑自行车的平均速度的2倍；
C．司司到达图书馆时，珊珊离目的地还有7.5km；
D．司司在距家11km处与珊珊相遇；
【答案】D
【分析】本题考查了根据函数图像获取信息，依次对选项判断即可．
【详解】解：A、根据图像，10点时交汇，此时司司追上了珊珊，选项正确，不符合题意；
B、司司坐车的平均速度=30÷(10.5−9.5)=30(km h
⁄ )
珊珊骑自行车的平均速度=30÷(11−9)=15(km h
⁄ )
30÷15=2
选项正确，不符合题意；
C、观察图像，司司到达图书馆时，珊珊又骑行了：11−10.5=0.5(h)
离目的地还有：15×0.5=7.5(km)；
选项正确，不符合题意；
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D、根据图像可知，10点时司司追上了珊珊，此时司司坐车行驶了：10−9.5=0.5(h)
此时距家30×0.5=15(km)
选项错误，符合题意；
故选：D．
7．(25-26 八上·陕西西安交通大学附属中学空港实验学校·月考)西安市出租车价格是这样规定的：不超过3
千米，付车费8.5元，超过的部分按每千米2 元收费．已知李老师乘出租车行驶了x(x>3)千米，付车费y 元，
则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范
围）
【答案】y=2x+2.5
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列出关系式y=8.5+2(x−3)，再
化简即可．
【详解】解：y=8.5+2(x−3)=2x+2.5，
∴所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为y=2x+2.5．
故答案为：y=2x+2.5．
8．有一个一次函数的图象，甲、乙两位同学分别说出了它的一些特点：甲：y随x的增大而减小；乙：当x<2
时，y>0．请你写出满足甲、乙两位同学要求的一个一次函数表达式． ．
【答案】y=−x+2（答案不唯一）
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，一次函数与不等式的关系，根据一次函数的性质写出符合
题意的表达式即可．
根据甲的条件，一次函数的一次项系数k需小于0；根据乙的条件，函数在x<2时y>0，可考虑函数在x=2时y=0，
且由于k<0，当x<2时y>0．
【详解】解：设一次函数为y=kx+b，由甲的条件，得k<0；
由乙的条件，当x<2时，y>0，可令函数在x=2时y=0，
即2k+b=0，解得b=−2k，
取k=−1，则b=2，则函数为y=−x+2，满足当x<2时，y=−x+2>0，
故答案为：y=−x+2（答案不唯一）．
9．(24-25 八上·江苏苏州震泽中学·期末)有一个最多能称10kg的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量
满足一定的关系，如下表，那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为 cm．
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重量(kg)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
长度(cm)
4.5
5
5.5
6
6.5
7
【答案】13.5
【分析】本题考查了一次函数的应用，求出弹簧的长度y(cm)与物体重量x(kg)的关系式是解题关键．由表格
可知，弹簧的长度y(cm)与物体重量x(kg)的关系是一次函数关系，利用待定系数法求出y=x+3.5，再根据弹
簧秤最多能称10kg，即可求出弹簧最长的长度．
【详解】解：由表格可知，弹簧的长度y(cm)与物体重量x(kg)的关系是一次函数关系，
则设y=kx+b，
根据表格中提供的数据知：得当x=1时，y=4.5；当x=2时，y=5.5，
∴{ 4.5=k+b
5.5=2k+b
，解得：{ k=1
b=3.5
，
∴y=x+3.5，
∵弹簧秤最多能称10kg，
∴当x=10时，y=10+3.5=13.5，
即在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为13.5cm，
故答案为：13.5
10．(2025·山西省临汾市·二模)电子体重秤原理：平台重物→
引发
表面形变→
引发
电阻形变→
引发
电流变化.内部电流变
化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏
板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数图象如图所示，当可变电阻R1为90 欧
时，对应被测人的质量为 千克．
【答案】75
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
先由待定系数法求出函数解析式，再把R1为90 欧代入解析式即可求解．
【详解】解：由图可知，R1与踏板上人的质量m之间的关系为一次函数关系，设函数关系式为R1=km+b（其
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中k，b为常数，0≤m≤120），
把(0,240)和(120,0)代入R1=km+b得：
{ b=240
120k+b=0
，解得{ k=−2
b=240
，
∴R1=−2m+240，
当R1为90 欧时，−2m+240=90，
解得：m=75，
故答案为：75．
11．(25-26 八上·重庆第二外国语学校·期中)随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某
公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知2 台A型机器人和3 台B型机器人每小时刚好可以清洁170 平方
米，3 台A型机器人和1 台B型机器人每小时刚好可以清洁150 平方米．
(1)一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题）
(2)某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好
可以清洁480 平方米，若设A型机器人有a台，B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a．
(3)在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1.2万元一台，B型机器人的售价为1 万元一台，设购买总费
用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；请说明理由．
【答案】(1)A 型机器人每小时清洁40 平方米，B 型机器人每小时清洁30 平方米
(2)a=12−
3
4 b
(3)购买9 台A 型机器人和4 台B 型机器人时，总费用W 最少，为14.8万元
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，一次函数基本性质，列代数式，解决最值问题，
解题的关键是理解题意，列出等量关系．
（1）设A 型机器人每小时清洁x平方米，B 型机器人每小时清洁y平方米，根据清洁方式列出二元一次方程
组求解即可；
（2）设A型机器人有a台，B型机器人有b台，根据工作效率列出方程，然后用含b的代数式表示a即可；
（3）根据题意列出一次函数，利用一次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设A 型机器人每小时清洁x平方米，B 型机器人每小时清洁y平方米，根据题意得，
{2x+3y=170
3x+y=150
解得{x=40
y=30
∴A 型机器人每小时清洁40 平方米，B 型机器人每小时清洁30 平方米；
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（2）解：设A型机器人有a台，B型机器人有b台，根据题意得，
40a+30b=480
整理得a=12−
3
4 b；
（3）解：由（2）得，设A型机器人有(12−
3
4 b)台，B型机器人有b台，根据题意得，
W=1.2× (12−
3
4 b) +b=0.1b+14.4，
∴当b取最小值时，W的值最小，
又∵a,b取正整数，
∴当b=4时，a=12−
3
4 ×4=9，W的值最小为W=0.1×4+14.4=14.8（万元），
∴购买9 台A 型机器人和4 台B 型机器人时，总费用W 最少，为14.8万元．
12．(25-26 八上·江西九江第一中学·期中)为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地电费采
取如下表所示的计费方式．已知嘉淇家7 月份用电量为280 千瓦时，缴纳电费164 元．
第一档
月用电量180 千瓦时以下（含180 千瓦时），每千瓦时价格0.55 元
第二档
月用电量180 千瓦时至300 千瓦时的部分（含300 千瓦时），每千瓦时比第一档提价a元
第三档
月用电量300 千瓦时以上的部分，每千瓦时比第一档提价0.3 元
(1)求a的值．
(2)设某户每月用电量为x千瓦时，应缴纳电费y元，求y与x的函数关系式．
(3)某户8 月份的电费为194 元，求该户8 月份的用电量．
【答案】(1)0.1
(2)y与x的函数关系式为y= {
0.55x(0≤x≤180)
0.65x−18(180<x≤300)
0.85x−78(x>300)
(3)该户8 月份的用电量为320 千瓦时
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一次函数的应用，解决此题的关键是读懂题意列出相关的
式子；
（1）先判断所在的电费档位，根据题意列出关于a 的一元一次方程，求解即可；
（2）根据题意列出函数关系式即可得到答案；
（3）先判断电费所在的档位，再代入相对应的函数关系式即可求解；
【详解】（1）解：由题可列方程为：180×0.55+(280−180)×(0.55+a)=164，
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解得：a=0.1 ，
故a的值为0.1；
（2）解：当0≤x≤180时，y=0.55x，
当180<x≤300时，y=0.55×180+(x−180)×0.65=0.65x−18，
当x>300时，y=0.55×180+(300−180)×0.65+(x−300)×(0.55+0.3)=0.85x−78故y与x的函数关系式为
y= {
0.55x(0≤x≤180)
0.65x−18(180<x≤300)
0.85x−78(x>300)
；
（3）解：当x=300 时，代入y=0.65x−18得：y=0.65×300−18=177（元）
∵194>177，
∴该用户的用电量超过了300 千瓦时，
把y=194代入y=0.85x−78得：194=0.85x−78，
∴x=320，
答：该户8 月份的用电量为320 千瓦时．
13．(25-26 八上·山东青岛五区联考·期中)某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子到菜市场售卖，
黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表：
价格
黄瓜
茄子
批发价（元/千克）
2.4
2
零售价（元/千克）
3.6
2.8
该蔬菜经营户当日批发了黄瓜和茄子共80千克，设批发了黄瓜x 千克，当日总利润为y 元．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)若当日的总利润为84元，求当日批发了茄子多少千克．
【答案】(1)y=0.4x+64(0≤x≤80)
(2)30千克
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件
（1）根据题意可以求得y 与x 的关系式；
（2）根据题意和表格可以求得购买的黄瓜的质量，从而可以解答本题
【详解】（1）解：由题意可得，
y=(3.6−2.4)×x+(2.8−2)×(80−x)
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=1.2x+0.8×(80−x)
=0.4x+64(0≤x≤80)
（2）解：当日的总利润为84元时，则
0.4x+64=84
解得x=50
80−50=30（千克）
答：当日批发了茄子30千克．
14．(25-26 九上·浙江杭州外国语学校·期中)为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果
——草莓．周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200 元采摘的甲种草莓比你用200 元
采摘的乙种草莓多1kg”小明说：“甲、乙两种草莓的单价之比为4:5．”
(1)根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价；
(2)由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销
售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知
采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半．设采摘乙种草莓为m千克，总费用为W元，
①请写出W 关于m 的关系式；
②如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）．
【答案】(1)甲、乙两种草莓的单价分别为40 元，50 元；
(2)①W=−2m+1360；②采摘甲种草莓27kg，乙种草莓13kg时费用最低，最低费用为1334 元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式、函
数解析式成为解题的关键．
（1）设甲、乙两种草莓的单价分别为4x元，5x元，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）①根据题意可列不等式10≤m≤
1
2 (40−m)可求得10≤m≤
40
3 且m 为正整数，再用m 表示出总费用W，
②运用一次函数的增减性求最值即可解答．
【详解】（1）解：∵甲、乙种草莓的单价之比为4:5，
∴设甲、乙两种草莓的单价分别为4x元，5x元，
由题意得
200
4x =
200
5x +1，
解得x=10．
经检验，x=10是方程的解，且符合题意，
4x=40，5x=50，
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答：甲、乙两种草莓的单价分别为40 元，50 元；
（2）解：①设采摘乙种草莓mkg，则采摘甲种草莓(40−m)kg，
由题意知，10≤m≤
1
2 (40−m)，
解得，10≤m≤
40
3 ，且m 为正整数，
∴总费用W=(40−m)×40×0.8+4×50+(m−4)×50×0.6=−2m+1360；
②∵W=−2m+1360，
∴−2<0，
∴W 随m 的增大而减小，
又∵10≤m≤
40
3 ，且m 是整数，
∴当m=13时，Wmin=−2×13+1360=1334．
答：采摘甲种草莓27kg，乙种草莓13kg时费用最低，最低费用为1334 元．
15．(24-25 八上·福建漳州·期中)两架无人机A、B准备在120米高空完成台商区“争创文明城市 共建美好家园”
的拍摄任务，无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升，无人机B从海拔30米处匀速上升．设无人机
海拔高度y（米）与时间x（秒）的关系如图所示．
(1)n = ；
(2)求无人机B在上升过程中，海拔高度y（米）与时间x（秒）之间的函数关系式；
(3)求当x为何值时，无人机B和无人机A相距10米．
【答案】(1)60
(2)y=3x+30
(3)x=5或x=15或x=
80
3
【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的应用，理解函数图象中点的坐标含义是解本题
的关键．
（1）由无人机A 从海拔10 米处以5 米/秒的速度匀速上升，列式计算求解n，再利用两个无人机在同一高度
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列方程求解m， 从而可得答案；
（2）设无人机B 在上升过程中，海拔高度y 米与时间x 秒之间的函数关系式为y=kx+b, 把(0,30),(10,60)代
入，利用待定系数法求解即可；
（3）先求得无人机A 在上升过程中，海拔高度y 米与时间x 秒之间的函数关系式，根据无人机B和无人机A
相距10米，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵无人机A 从海拔10 米处以5 米/秒的速度匀速上升，
∴n=10×5+10=60
故答案为：60
（2）解：设无人机B 在上升过程中，海拔高度y 米与时间x 秒之间的函数关系式为y=kx+b，
把(0,30),(10,60)代入可得：
{
b=30
10k+b=60
，
解得：{ k=3
b=30
，
∴无人机B 在上升过程中，海拔高度y 米与时间x 秒之间的函数关系式为y=3x+30.
（3）解：设无人机A在上升过程中，海拔高度y 米与时间x 秒之间的函数关系式为y=k1x+b1(k1≠0)
把(0,10),(10,60)代入可得：
{
b=10
10k+b=60
，
解得：{ k=5
b=10
，
∴y=5x+10，
依题意，|5x+10−(3x+30)|=10，
解得：x=5或x=15，
当无人机A达到120米停止后，无人机B需达到110米时与无人机A距离10米，
∴3x+30=110，
解得：x=
80
3 ，
∴x=5或x=15或x=
80
3 时，无人机B和无人机A相距10米．
