学科网（北京）股份有限公司
1 /
5.4.1 一次函数的图象与性质
（第1 课时 一次函数的图象）
题型一：根据一次函数的解析式判断经过的象限
1．(25-26 八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)一次函数y=kx+2（k是常数，k≠0）一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第一、四象限
D．第三、四象限
【答案】A
【分析】此题考查一次函数的图象的性质，根据题意可得一次函数y=kx+2的图象与y轴交于点(0,2)，位于y轴
正半轴，且无论 k>0 或 k<0，图象都会经过第一和第二象限．
【详解】解：一次函数y=kx+2中，b=2>0，
∴ 函数图象与y轴交于点(0,2)，位于y轴正半轴，
学科网（北京）股份有限公司
2 /
当k>0时，图象经过第一、二、三象限，
当k<0时，图象经过第一、二、四象限，
∴ 无论k为何值（k≠0），函数图象一定经过第一、二象限．
故选：A．
2．(25-26 八上·陕西西安西光中学教育集团·期中)若函数y=xm−3（m为常数）是正比例函数，则y关于x的一次
函数y=mx−m不经过的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查正比例函数的定义，判断一次函数经过的象限，先根据正比例函数的定义，求出m的值，
进而确定一次函数的解析式，进行判断即可．
【详解】解：∵函数y=xm−3（m为常数）是正比例函数，
∴m−3=1，
∴m=4，
∴y关于x的一次函数y=mx−m为y=4x−4，
∴一次函数的图像过一，三，四象限，不经过第二象限；
故选：B．
3．(25-26 九上·四川达州第一中学校·期中)已知实数a、b、c 满足
b+c
a =
a+c
b =
a+b
c =k（注：a+b+c≠0），则直线
y=kx−k 不经过 （ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质，分式的定义，一次函数的性质等知识．先根据题意得abc≠0，根据
b+c
a =
a+c
b =
a+b
c =k得到b+c=ka，a+c=kb，a+b=kc，即可得到2(a+b+c)=k(a+b+c)，求出k=2．根据函数性质得到
直线y=2x−2经过第一、第三和第四象限，不经过第二象限．
【详解】解：由题意得abc≠0，
∵
b+c
a =
a+c
b =
a+b
c =k，
∴b+c=ka，a+c=kb，a+b=kc，
∴2(a+b+c)=k(a+b+c)，
∵a+b+c≠0，
∴k=2．
学科网（北京）股份有限公司
3 /
∴直线解析式为y=2x−2，
∴ 直线经过第一、第三和第四象限，不经过第二象限．
故选：B
4．若abc<0，直线y=
a
b x−
c
a不经过第四象限，则直线y=(a+b)x+c一定不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由条件abc<0
和直线不经过第四象限，推导出a、b、c 的符号关系，判断所经象限即可．
【详解】解：∵直线y=
a
b x−
c
a不经过第四象限，abc<0，
∴
a
b >0且−
c
a >0，
∴由
a
b >0得a 与b 同号；
由−
c
a >0得
c
a <0，即c 与a 异号，
若a<0，则b<0，c>0，此时abc>0，与abc<0矛盾；
故a>0，b>0，c<0，
∴直线y=(a+b)x+c中，a+b>0，c<0，
∴直线y=(a+b)x+c一定不经过第二象限；
故选B．
5．一条直线y=kx+b，其中k+b=−2025，kb=2024，那么该直线经过（ ）
A．第二、四象限
B．第一、二、三象限
C．第一、三象限
D．第二、三、四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据k+b和
kb的值，判断k 和b 的符号，再根据一次函数图象与系数的关系确定直线经过的象限．
【详解】解：∵k+b=−2025<0，kb=2024>0，
∴k<0,b<0，
∴ 直线y=kx+b经过第二、三、四象限；
故选D．
题型二：已知一次函数经过的象限求参数
学科网（北京）股份有限公司
4 /
1．(24-25 九下·安徽淮南田家庵区龙湖中学·期中)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x 轴交于点(1,0)，且不
经过第二象限，则2k+b的值（ ）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．无法判断
【答案】A
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与其系数之间的关系，先把点(1,0)的
坐标代入解析式得到b=−k，再讨论k 的符号，从而确定一次函数图象经过的象限，即可得到答案．
【详解】解：∵图象经过点(1,0)，
∴k+b=0，即b=−k，
∴y=kx+b=kx−k，
当k>0时，一次函数y=kx−k经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意，
∴2k+b=2k+(−k)=k>0；
当k<0时，一次函数y=kx−k经过第一、二、四象限，不符合题意；
综上所述，2k+b>0，
故选：A．
2．(2025·四川省广元市·模拟)已知直线l1∶y=x+1与直线 l2∶y=kx−2(k≠0)在第二象限交于点 M，则k 的取值范
围是（ ）
A．k<−2
B．−2<k<0
C．0<k<2
D．k>2
【答案】A
【分析】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．根据一次函
数的图象与系数的关系，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵直线l1∶y=x+1与直线 l2∶y=kx−2(k≠0)在第二象限交于点M，
∴直线l2:y=kx−2(k≠0)过二、三、四象限，
∴k<0，
∵直线l1:y=x+1与x轴的交点为(−1,0)，
把点为(−1,0)代入y=kx−2得，k=−2，
∴直线l1:y=x+1与直线l2:y=kx−2(k≠0)在第二象限交于点M，则k<−2．
故选：A．
3．(2025·广东省广州市·模拟)已知一次函数y=(m−1)x+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m<1
B．m>1
C．m<2
D．m>2
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司
5 /
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象经过第一、二、四象限可得m−1<0，解不
等式即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数y=(m−1)x+3的图象经过第一、二、四象限，
∴m−1<0，
∴m<1，
故选：A．
4．(24-25 九下·河南周口扶沟县·月考)已知整数a 使得不等式组{
x+18
3 >2−x
x≥a
的解集为x>−3，且使得一次函数
y=(a+6)x+3的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a 的和为（ ）
A．−18
B．−9
C．−15
D．−12
【答案】D
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，直接解不等式，进而得出a 的取值范围，再利用一
次函数的性质得出a 的取值范围进而得出符合题意的值．
【详解】解：∵不等式组{
x+18
3 >2−x
x≥a
的解集为x>−3，
∴{x>−3
x≥a
的解集为x>−3，
∴a≤−3，
∵一次函数y=(a+6)x+3的图象不经过第四象限，
∴a+6>0，
解得：a>−6，
∴−6<a≤−3，
∴整数a 的值为：−5，−4，−3，
∴−5+(−4)+(−3)=−12．
故选：D．
5．(2025·江苏省南通市·模拟)已知直线y=kx+b经过第一、第二、第三象限，则k,b的取值范围是（ ）
A．k<0,b<0
B．k<0,b>0
C．k>0,b<0
D．k>0,b>0
【答案】D
【分析】根据一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0 ）的图象性质，分析k、b取值对直线经过象限的影响来求
解．本题主要考查了一次函数y=kx+b的图象与系数的关系，熟练掌握不同k、b取值对应直线经过的象限是
解题的关键．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，
学科网（北京）股份有限公司
6 /
∴k>0时， b>0时，
故选：D ．
6．(24-25 八下·四川眉山东坡区思蒙镇初级中学·期中)已知正比例函数y=(2t−1)x的图象上一点(x1,y1)且x1y1<0，
x1+y1>0，那么t 的取值范围是（ ）
A．t<0.5
B．t>0.5
C．t<0.5或t>0.5
D．不确定
【答案】A
【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质．根据x1y1<0，x1+y1>0确定点的横、纵坐标异号，得到正比
例函数y=(2t−1)x的图象经过第二、四象限，据此得到2t−1<0，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵x1y1<0，x1+y1>0，
∴该点的横、纵坐标异号，
∴正比例函数y=(2t−1)x的图象经过第二、四象限，
∴2t−1<0，
解得t<0.5．
故选A．
7．(23-24 八上·湖南长沙雅礼中学·期末已知过点(2,−3)的直线y=mx+n（m≠0）不经过第一象限，设s=m−2n，
则s 的取值范围是 ．
【答案】−
3
2 ≤s<6
【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据图象在坐标平面内的位置关系确定m 的取值范围，从而求解．
【详解】解：把x=2，y=−3代入y=mx+n中，可得：2m+n=−3，
因为过点(2,−3)的直线y=mx+n（m≠0）不经过第一象限；
所以可得：n≤0，m<0；
∴n=−3−2m≤0，
∴m≥−
3
2，
∴−
3
2 ≤m<0，
∴−
15
2 ≤5m<0，
∵s=m−2n=m+6+4m=5m+6，
∴−
3
2 ≤5m+6<6
学科网（北京）股份有限公司
7 /
∴−
3
2 ≤s<6．
故答案为：−
3
2 ≤s<6．
题型三：判断一次函数的图形是否正确
1．(25-26 九上·湖南长沙湖南师大附中星城实验学校·月考)已知点P(k,b)在第二象限，则一次函数y=kx+b的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到k<0,b>0，即可得出
结果．
【详解】点P(k,b)在第二象限，
∴k<0,b>0．
则一次函数经过一、二、四象限，
A 选项图象符合题意.
故选：A．
2．(25-26 八上·安徽合肥五十中学西校·期中)已知a+b+c=0，且a>b>c，则一次函数y=ax+b和y=cx的图象可能
是（ ）
A．
B．
学科网（北京）股份有限公司
8 /
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键．
根据a+b+c=0，且a>b>c，可知c<0，a>0,b<0或a>0,b>0；由c<0可判断A、B 选项，再分a>0,b<0和a>0,b>0两
种情况可判定B、D 选项．
【详解】解：∵a+b+c=0，且a>b>c，
∴c<0，a>0,b<0或a>0,b>0，
∵c<0，
∴函数y=cx的图像过二、四象限，故A、B 选项不符合题意；
当a>0,b<0，一次函数y=ax+b的函数值y 随x 的增大而增大，且与y 轴的交点在y 轴的负半轴，即B、D 选项
都不符合题意；
当a>0,b>0，一次函数y=ax+b的函数值y 随x 的增大而增大，且与y 轴的交点在y 轴的正半轴，即D 选项都
符合题意．
故选：D．
3．(25-26 八上·安徽六安霍邱县第三中学·期中)在同一坐标系中，一次函数y1=mx−n和y2=nx−m的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司
9 /
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质；根据一次函数的图象确定相应的系数，然后比较，找出矛盾
即可求解．
【详解】解：A、y1=mx−n中m<0,−n>0即m<0,n<0，y2=nx−m中−m>0,n>0，即m<0,n>0，矛盾，不符合题意；
B、 y1=mx−n中m>0,−n<0即m>0,n>0，y2=nx−m中−m>0,n<0，即m<0,n<0，矛盾，不符合题意；
C、y1=mx−n中m>0,−n>0即m>0,n<0，y2=nx−m中−m<0,n<0，即m>0,n<0，符合题意；
D、y1=mx−n中m>0,−n<0即m>0,n>0，y2=nx−m中−m<0,n<0，即m>0,n<0，矛盾，不符合题意；
故选：C．
4．(25-26 八上·山西运城垣曲县部分学校·期中)一次函数y=kx+b与y=bx−k在同一平面直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为y=kx+b，由一
次函数图象与性质得到k,b符号，再判断另一条直线是否满足y=bx−k即可得到答案．
【详解】解：A、如图所示：
假设①的表达式为y=kx+b，则k>0,b<0，
∴−k<0，
对于一次函数y=bx−k，图象下降、且与y轴负半轴相交，图②能表示一次函数y=bx−k图象，该选项符合题意；
B、如图所示：
学科网（北京）股份有限公司
10 /
假设①的表达式为y=kx+b，则k>0,b>0，
∴−k<0，
对于一次函数y=bx−k，图象上升、且与y轴负半轴相交，图②不能表示一次函数y=bx−k图象，该选项不符合
题意；
C、如图所示：
假设①的表达式为y=kx+b，则k>0,b<0，
∴−k<0，
对于一次函数y=bx−k，图象与y轴负半轴相交，图②不能表示一次函数y=bx−k图象，该选项不符合题意；
D、如图所示：
假设①的表达式为y=kx+b，则k<0,b<0，
∴−k>0，
对于一次函数y=bx−k，图象与y轴正半轴相交，图②不能表示一次函数y=bx−k图象，该选项不符合题意；
故选：A．
5．(25-26 八上·河南郑州经济技术开发区第四中学·月考)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx与y=3x−k的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司
11 /
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据正比例函数图象确定k的符号，进而得出一次函数的图象分布位
置，再结合图象判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：A、由正比例函数图象可知k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=3x−k的图象经过一二三象限，该选项图象错误，不合题意；
B、由正比例函数图象可知k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=3x−k的图象经过一二三象限，该选项图象正确，符合题意；
C、由正比例函数图象可知k>0，
∴一次函数y=3x−k的图象经过一三四象限，该选项图象错误，不合题意；
D、正比例函数图象是经过原点的一条直线，该选项图象错误，不合题意；
故选：B．
6．(24-25 八下·云南丽江·期末)下列表示一次函数y=kx+b（k, b是常数，且kb≠0）的图象与正比例函数y=bx的
图象可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象
与性质以及正比例函数的图象与性质．
分别对每个选项中一次函数y=kx+b中的b与正比例函数y=bx中的b的符号进行判断是否一致即可．
【详解】解：A、由图象可得一次函数y=kx+b中b>0，正比例函数y=bx中b<0，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由图象可得一次函数y=kx+b中b<0，正比例函数y=bx中b>0，矛盾，故本选项不符合题意；
C、由图象可得一次函数y=kx+b中b>0，正比例函数y=bx中b<0，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由图象可得一次函数y=kx+b中b<0，正比例函数y=bx中b<0，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
题型四：根据图象求两直线的交点
学科网（北京）股份有限公司
12 /
1．方程组{ ax+y=3
x+by=−1
所对应的函数图象如图所示，则2a+b的值为（ ）
A．1
B．−2
C．3
D．−5
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的交点与二元一次方
程组的解的对应关系是解题的关键．先根据函数图象的交点坐标确定方程组的解，再将解代入方程组求出a、
b的值，最后计算2a+b．
【详解】解：由图象可知，方程组{ ax+y=3
x+by=−1
的解为{x=−2
y=−1
．
把{x=−2
y=−1
代入ax+y=3，得−2a−1=3，解得a=−2．
把{x=−2
y=−1
代入x+by=−1，得−2−b=−1，解得b=−1．
所以2a+b=2×(−2)+(−1)=−5．
故选：D．
2．(24-25 八下·山东枣庄山亭区·期末)如图，已知直线y=ax−2与直线y=mx+b的交点的横坐标为−5，根据图象，
下列结论中错误的是（ ）
A．a<0
B．方程ax−2=mx+b的解是x=−5
C．b>0
D．不等式mx+b≥ax−2的解集是x≤−5
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司
13 /
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与
一元一次不等式及一次函数与二元一次方程组是解题的关键．依据题意，根据一次函数与一元一次不等式
的关系及一次函数与二元一次方程组及一元一次方程的关系求解即可．
【详解】解：由题意，直线y=ax−2的图象在第二、三、四象限，
∴a<0，
故A 正确，不合题意；
∵直线y=ax−2与直线y=mx+b的交点的横坐标为−5，
∴方程ax−2=mx+b的解是x=−5，
故B 正确，不合题意；
∵直线y=mx+b的图象与y 轴交于正半轴，
∴b>0，
故C 正确，不合题意；
结合图象可得，当x≥−5时，直线y=mx+b上的点都不在直线y=ax−2的下方，
∴不等式mx+b≥ax−2的解集为x≥−5，
故D 错误，符合题意．
故选：D．
3．(24-25 八上·安徽阜阳部分学校·期中)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的
图象分别为直线m和直线n，下列结论正确的是（ ）
A．k1⋅k2<0
B．b1⋅b2>0
C．k1+k2<0
D．b1−b2<0
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、有理数的加法法则，根据一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2均为y随
x增大而减小，可得：k1<0，k2<0，所以可得：k1k2>0，k1+k2<0，根据一次函数y=k1x+b1与y轴交点在x轴上
方，可得：b1>0，根据一次函数y=k2x+b2与y轴交点在x轴下方，b2<0，从而可得：b1b2<0，b1−b2>0，根据计
算结果进行判断即可．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2均为y随x增大而减小，
学科网（北京）股份有限公司
14 /
∴k1<0，k2<0，
∴k1k2>0，k1+k2<0，
故A 选项错误，C 选项正确；
∵一次函数y=k1x+b1与y轴交点在x轴上方，
∴b1>0，
∵一次函数y=k2x+b2与y轴交点在x轴下方，
∴b2<0，
∴b1b2<0，b1−b2=b1+(−b2)>0，
故B 选项和D 选项错误．
故选：C．
4．(24-25 八上·山东济宁金乡县·月考)如图y=−x+2向上平移m个单位后，与直线y=−2x+6的交点在第一象限，
则m的取值范围是 ．
【答案】1<m<4
【分析】y=−x+2向上平移m个单位后，得到新解析式为y=−x+2+m，直线y=−2x+6于坐标轴的交点为(0,6)，(3,0)，
当直线y=−x+2+m过(0,6)，(3,0)确定m 的值，后确定范围即可．
本题考查了一次函数的平移，直线与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键．
【详解】解：y=−x+2向上平移m个单位后，得到新解析式为y=−x+2+m，
又直线y=−2x+6于坐标轴的交点为(0,6)，(3,0)，
当直线y=−x+2+m过(0,6)，(3,0)时，解得m=4，m=1，
故与直线y=−2x+6的交点在第一象限的m的取值范围是1<m<4．
故答案为：1<m<4．
题型五：根据图象求解变量的取值范围
学科网（北京）股份有限公司
15 /
1．(25-26 八上·广东深圳宝安区宝安中学外国语学校·月考)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k，b的
取值范围是（ ）
A．k>0，b>0
B．k>0，b<0
C．k<0，b>0
D．k<0，b<0
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系
数的关系可得出k>0，b<0，此题得解．
【详解】解：观察图形可知：一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k>0，b<0．
故选：B．
2．已知一次函数y=kx−b+3x的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．−2
B．−3
C．−4
D．−5
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，先将函数解析式变形为y=(k+3)x−b，再根据增减性得出k+3>0，
即可求解．
【详解】解：y=kx−b+3x=(k+3)x−b，
由图可知，y 随x 的增大而增大，
∴ k+3>0，
∴ k>−3，
观察四个选项可知，只有选项A 满足条件，
学科网（北京）股份有限公司
16 /
故选：A．
3．(2025 九·安徽省阜阳市·模拟)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2（其中k1⋅k2≠0，
k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2．下列结论正确的是（ ）
A．b1+b2<0
B．k1⋅k2>0
C．2k2+b2>0
D．k1+k2<0
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，并能根据函数图象准
确判断k、b的正负是解题的关键．本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的
象限以及与y轴的交点位置再判断即可．
【详解】解：由一次函数l1：y=k1x+b1的图象可得：
k1>0，−1<b1<0，
由一次函数l2：y=k2x+b2的图象可得：
k2<0，1<b2<2，
∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2都过(1,0)，
∴k1+b1=0，k2+b2=0
∴0<k1<1，−2<k2<−1，
∴b1+b2>0， k1k2<0，2k2+b2<0，k1+k2<0，
正确的结论是D，符合题意，
故选D．
4．(2025·辽宁省朝阳市双塔区朝阳市·一模)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(
其中k1k2≠0,k1,k2,b1,b2为常数）的图象分别为直线l1,l2下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
17 /
A．b1+b2<0
B．b1b2>0
C．k1k2<0
D．k1−k2>0
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象，根据函数图象，可以得到b1=2，b2=−1，k1>k2>0，然后即可判断各个选
项中的说法是否正确．
【详解】解：由图象可得，b1=2，b2=−1，k1>k2>0，
A、b1+b2=2−1=1>0，故选项A 错误，不符合题意；
B、b1b2=2×(−1)=−2<0，故选项B 错误，不符合题意；
C、k1k2>0，故选项C 错误，不符合题意；
D、k1−k2>0，故选项D 正确，符合题意；
故选：D．
5．(24-25 八上·广西百色平果·期末)正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图象如图所示，则（ ）
A．ab<0
B．ka<0
C．kb>0
D．kab>0
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与正比例函数中的图象与系数的关系，通过图象找到k，a，b是解题的关键，通
过图象得到k<0，a<0，b<0即可求解．
【详解】解：由图得：正比例函数y=kx中k<0；一次函数y=ax+b中a<0，b<0，
A、ab>0，故该选项不符合题意；
B、ka>0；故该选项不符合题意；
C、kb>0；故该选项符合题意；
D、kab<0；故该选项不符合题意；
故选：C．
6．(2025 九·江苏省宿迁市·三模)若函数y=kx+b的图像如图所示，则关于x的不等式kx−
1
3 b>2x+4的解集为 ．
学科网（北京）股份有限公司
18 /
【答案】x<−2
【分析】本题考查了一次函数的图象，解一元一次不等式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
将(6,0)代入y=kx+b得b=−6k，则代入原不等式，化为(k−2)x>2(2−k)，再根据图象可得k<0，则k−2<0，即可求
不等式的解集．
【详解】解：将(6,0)代入y=kx+b得：6k+b=0，
∴b=−6k，
∴kx−
1
3 b>2x+4化为：kx−
1
3 ×(−6k)>2x+4，
∴(k−2)x>2(2−k)，
由函数图象可得：k<0，
∴k−2<0，
∴x<−2，
故答案为：x<−2．
题型六：一次函数图象与坐标轴交点问题
1．(25-26 八上·安徽合肥合肥新桥中学·期中)已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=
x+1
2 没有交点，且与y轴交
点的纵坐标为−2，则k+b= ．
【答案】−
3
2
【分析】本题考查了一次函数的性质，及一次函数与坐标轴的交点问题，由与y轴交点的纵坐标为−2，求得
b=−2，由与给定直线无交点，求得k=
1
2，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵ 一次函数y=kx+b 的图象与y 轴交点的纵坐标为−2，
∴ 当x=0时，y=b=−2，即b=−2，
又∵ 一次函数y=kx+b的图象与直线y=
x+1
2 =
1
2 x+
1
2没有交点，
学科网（北京）股份有限公司
19 /
∴直线y=kx+b与直线y=
1
2 x+
1
2平行，
∴k=
1
2，
∴k+b=
1
2 +(−2)=−
3
2，
故答案为：−
3
2．
2．已知一次函数y=(m+2)x+(m−5)，若y 随x的增大而增大，且此函数图像与y轴的交点在x轴下方，则m的取
值范围是 ．
【答案】−2<m<5
【分析】根据性质，得m+2>0，根据函数图像与y轴的交点在x轴下方，得m−5<0，解不等式即可．
本题考查了函数的性质，图象与y 轴交点的意义，解不等式，熟练掌握性质，交点的意义，是解题的关键．
【详解】解：根据性质，得m+2>0，解得m>−2；
根据函数图像与y轴的交点在x轴下方，得m−5<0，
解得m<5，
故m 的取值范围为−2<m<5，
故答案为：−2<m<5．
3．已知关于x 的方程ax−b=1的解为x=−1，则一次函数y=ax−b−1的图象与x 轴交点的坐标为 ．
【答案】(−1,0)
【分析】本题考查了方程解的意义，求一次函数与x 轴交点的坐标，熟练掌握方程解的意义及求一次函数
与x 轴交点的坐标是解题的关键．把x=−1代入ax−b=1，求得a=−1−b，则y=ax−b−1=(−1−b)x−b−1，再令y=0，
即可列方程求解．
【详解】解：把x=−1代入ax−b=1，得−a−b=1，
∴a=−1−b，
∴y=ax−b−1=(−1−b)x−b−1，
令y=0，则(−1−b)x−b−1=0，
解得x=−1，
∴一次函数y=ax−b−1的图象与x 轴交点的坐标为(−1,0)．
故答案为：(−1,0)．
4．(24-25 八下·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末)一次函数y=2x−3的图象与x轴的交点坐标是 ．
【答案】(
3
2 ,0)
学科网（北京）股份有限公司
20 /
【分析】本题考查了一次函数的图象．
将y=0代入计算即可．
【详解】解：将y=0代入y=2x−3得2x−3=0，
即x=
3
2，
∴一次函数y=2x−3的图象与x轴的交点坐标是(
3
2 ,0)，
故答案为：(
3
2 ,0)．
5．(24-25 八下·四川德阳中江县·月考)直线y=kx−2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分别交于点A，B，则
4
OA +
6
OB
的值是 ．
【答案】2
【分析】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
根据一次函数解析式得出OA=
2k−3
k ，OB=−2k+3，然后代入化简即可．
【详解】解：y=kx−2k+3，
∴当y=0时，x=−
3
k +2，当x=0时，y=−2k+3，
∴OA=−
3
k +2=
2k−3
k ，OB=−2k+3，
∴
4
OA +
6
OB =
4
2k−3
k
+
6
3−2k=
4k
2k−3 −
6
2k−3 =
4k−6
2k−3 =2，
故答案为：2．
6．(25-26 八上·陕西西安高新逸翠园初级中学·期中)关于x的方程ax−b=0的解是x=3，则函数y=ax−b的图象与
x轴的交点坐标是 ．
【答案】(3,0)
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易
得当y=0时，则转化为方程ax−b=0，进而问题可求解．
【详解】解：当y=0时，函数y=ax−b则转化为方程ax−b=0，
∴函数y=ax−b的图象与x轴的交点坐标是(3,0)；
故答案为(3,0)．
7．若一次函数y=−x+4 的图象与两坐标轴交于A，B 两点，则线段AB的长为 ．
【答案】4√2
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征，求
学科网（北京）股份有限公司
21 /
出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．设一次函数y=−x+4图象与y 轴交于点A，与x 轴交于点
B，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B 的坐标，进而可得出OA，OB的长，再利用勾股定理
可求出线段AB的长．
【详解】解：设一次函数y=−x+4图象与y 轴交于点A，与x 轴交于点B，
当x=0时，y=−1×0+4=4，
所以点A 的坐标为(0,4)，OA=4，
当y=0时，0=−x+4，解得：x=4，
所以点B的坐标为(4,0)，OB=4，
AB=√OA2+OB2=4√2,
故答案为：4√2．
题型七：与在坐标轴围成的三角形面积问题
1．(24-25 八下·新疆生产建设兵团第二师华山中学·月考)若直线y=−3x−6与坐标轴相交于点A，B，则△AOB的
面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据解析式求出点A，B 的坐标，进而求出边长，再
根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：设直线y=−3x−6与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，
当x=0时，y=−6，
∴ OB=6，
当y=0时，−3x−6=0，解得x=−2；
∴ OA=2，
∴ S△AOB=
1
2 OA⋅OB=
1
2 ×2×6=6，
故答案为：6．
2．一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则b的值为 ．
【答案】2 或−2
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b 分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关
键．分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b 的方程，可求得答案．
【详解】解：设直线与x 轴交于点A、与y 轴交于点B，
学科网（北京）股份有限公司
22 /
在y=2x+b中，令y=0，可得x=−
b
2，
令x=0，可得y=b，
∴A (−
b
2 ,0) ,B(0,b)，
∴OA= |−
b
2| ,OB=|b|，
∵S△AOB=1，
∴
1
2 OA⋅OB=1，即
1
2 × |−
b
2| ×|b|=1，
整理可得b2=4，
∴b=2或b=−2，
故答案为：2 或−2．
3．(24-25 八下·甘肃陇南康县·期末)一次函数y=−x+m经过第一象限，和两条坐标轴围成的三角形面积为2，
则m的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查一次函数的图象性质、截距概念及三角形面积公式的应用，同时需要结合象限的符
号特征进行取舍．先表示出一次函数y=−x+m与x轴、y轴交点坐标，再根据图象信息确定m取值范围，最后
根据“一次函数y=−x+m两条坐标轴围成的三角形面积为2”，确定m的值．
【详解】解：当x=0时，y=m，
当y=0时，x=m，
∴一次函数y=−x+m与x轴的交点为(m,0)，与y轴的交点为(0,m)
∵一次函数y=−x+m经过第一象限，且k=−1<0
∴一次函数y=−x+m图象与x轴、y轴交点均在正半轴，即m＞0
∵一次函数y=−x+m两条坐标轴围成的三角形面积为2
即
1
2 m2=2
∴ m=2或m=−2（舍）
故答案为：2．
4．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x−6与x轴的交点坐标为 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【答案】 (3,0) 9
【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键．
分别令x=0,y=0，求出直线y=2x−6与y,x轴的交点坐标，即可求解面积．
学科网（北京）股份有限公司
23 /
【详解】解：当y=0时，2x−6=0，
解得：x=3，
∴与x轴的交点坐标为(3,0)，
当x=0,y=−6，
∴与y轴的交点坐标为(0,−6)，
∴与两坐标轴围成的三角形的面积为：
1
2 ×3×6=9，
故答案为：(3,0)，9．
5．(24-25 八下·吉林长春榆树慧望中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与直线y=−
2
3 x+b与x
轴的交点分别为点A、B，这两条直线交于点C，若点C 的横坐标为−1，则△ABC的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一次函数的交点问题．
先求出A(−2,0)，C(−1,2)，将C(−1,2)代入y=−
2
3 x+b求出b=
4
3，进而求出B(2,0)，根据三角形面积公式计算即
可．
【详解】解：当y=0时，2x+4=0，
即x=−2，
∴A(−2,0)，
当x=−1时，y=2x+4=−2+4=2，
即C(−1,2)，
将C(−1,2)代入y=−
2
3 x+b得：
2
3 +b=2，
解得b=
4
3，
即y=−
2
3 x+
4
3，
当y=0时，−
2
3 x+
4
3 =0，
学科网（北京）股份有限公司
24 /
即x=2，
∴B(2,0)，
∴S△ABC=
1
2 ×(2+2)×2=4．
故答案为：4．
6．(24-25 八·北京十一学校·期中)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx−4(k≠0)与x轴的交点为A，与y轴的交点
为B，且S△AOB=4，则k的值为 ．
【答案】±2
【分析】先此题考查一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积，正确理解OA、OB的长度是
解题的关键．根据解析式确定点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出答案．
【详解】解：令y=kx−4(k≠0)中y=0得x=
4
k，令x=0得y=−4，
∴点A (
4
k ,0)，点B(0,−4)，
∴OA= |
4
k| ,OB=4，
∵S△AOB=4，
∴
1
2 ⋅|
4
k| ×4=4，
解得k=±2，
故答案为：±2．
题型八：画一次函数图象
1．(25-26 八上·辽宁沈阳法库县·期中)学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，
并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y=|x−1|−3的图象与性质进行探究，
下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
学科网（北京）股份有限公司
25 /
(1)列表：
x
−2
−1
0
1
2
3
4
y
0
−1
−2
a
−2
b
0
则a=_____，b=_____；
(2)描点并画出该函数的图象；
(3)①观察函数图象，当x_____时，y的值随x的值的增大而增大；
②观察函数图象，当−3≤y≤1时，x的取值范围是_____；
③观察函数图象，试判断函数y=|x−1|−3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值．
④观察函数图象，试判断函数y=|x−1|−3的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式．
【答案】(1)−3；−1
(2)图见解析
(3)①>1；②−3≤x≤5；③存在最小值，最小值是−3；④是，x=1
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
（1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可；
（2）描点，连线，画出函数图象即可；
（3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可．
【详解】（1）解：将x=1代入y=|x−1|−3，得：y=|1−1|−3=−3；
将x=3代入y=|x−1|−3，得：y=|3−1|−3=−1；
故a=−3，b=−1，
故答案为：−3，−1；
（2）解：描点，连线，画出函数图象如图：
学科网（北京）股份有限公司
26 /
（3）解：①由图象可知：x>1时，y的值随x的值的增大而增大；
②由图象可知，当−3≤y≤1时，x的取值范围是：−3≤x≤5；
③由图象可知，函数y=|x−1|−3存在最小值，为−3；
④由图象可知，函数y=|x−1|−3的图象是轴对称图形，对称轴为直线x=1，
故答案为：①>1，②−3≤x≤5．
2．(25-26 八上·重庆十一中教育集团·期中)探究与应用
【探究发现】
小文和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的
探究路径，即：定义→图象→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点A 是数轴上一点，
表示的数是1；点B 是数轴上一动点，若它表示的数是x，AB 的距离为y，随着x 的变化，AB 的距离y 会如
何变化呢？
（1）数学小组通过列表得到以下数据：
x
−2
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
3
2
1
0
1
2
3
m
…
其中m=________．
数学小组发现给定一个x 的值，就会有唯一的一个y 值与之对应，y 是x 的函数吗？________（填“是”或“不
是”）．
（2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质：
___________________________________________．
学科网（北京）股份有限公司
27 /
【应用拓展】
若点P(a,n)，Q(b,n)均在该函数图象上，请直接写出a，b 满足的数量关系：_________．
将该函数图象在直线y=2上方的部分保持不变，下方的图象沿直线y=2进行翻折得到新函数图象，若一次函
数y=kx+3与该函数图象只有一个交点，则k的取值范围为_________．（备注：直线y=2即过点(0,2)且与x轴平
行的直线）
【答案】（1）4，是；（2）见解析；（3）a+b=2；k>1或k≤−1
【分析】本题主要考查函数的图象和性质，数轴上两点间距离，二元一次方程组，涉及一次函数的图象与
性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．
（1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数；
（2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可；
（3）P(a,n)，Q(b,n)关于直线x=1对称，据此求解；作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数y=kx+3图
象与直线AC重合及AB平行时的k 值，即可得出答案．
【详解】解：（1）点B 表示的数是5，AB的距离为y=5−1=4，
给定一个x 的值，就会有唯一的一个y 值与之对应，因此y 是x 的函数，
故答案为：4，是；
（2）依题意得：y=|x−1|= {x−1(x≥1)
1−x(x<1)
描点、连线，则所画函数图象如图所示：
学科网（北京）股份有限公司
28 /
函数的性质：①该函数图象关于直线x=1对称；②当x=1时，函数有最小值0；③当x>1时，y 随x 的增大而
增大；④当x<1时，y 随x 的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分）
（3）由（2）中函数图象可得：P(a,n)，Q(b,n)关于直线x=1对称，
∴
a+b
2 =1，
∴ a+b=2，
翻折后新函数图象如下图所示：
则A(1,4)，C(−1,2)，B(3,2)，
对于一次函数y=kx+3，无论k 取何值，当x=0时，y值一定为3，
因此一次函数y=kx+3图象过定点(0,3)，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则{ m+n=4
3m+n=2
，解得{m=−1
n=5
，
∴直线AB的解析式为y=−x+5；
同理，直线AC的解析式为y=x+3，则点(0,3)在直线AC上，
由图知，若一次函数y=kx+3图象与直线AB平行，则k=−1，此时一次函数y=kx+3与该函数图象只有一个交点，
学科网（北京）股份有限公司
29 /
若一次函数y=kx+3图象与直线AC重合时，则k=1，此时一次函数y=kx+3与该函数图象有无数个交点，
∴当k>1或k≤−1时，一次函数y=kx+3与该函数图象只有一个交点，
故答案为： a+b=2；k>1或k≤−1．
3．(23-24 八下·贵州黔东南苗族侗族·期末)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,2)和点(−1,4)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象；
(3)当−1≤x<3时，求出y 的取值范围．
【答案】(1)y=−x+3
(2)见解析
(3)0<y≤4
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据待定系数法可进行求解；
（2）根据描点、连线可进行作图；
（3）根据（2）中函数图象可进行求解．
【详解】（1）解：将点(1,2)和点(−1,4)分别代入上式，得：{ k+b=2
−k+b=4
，
解之，得：{k=−1
b=3
，
∴这个函数解析式为：y=−x+3；
（2）解：所作函数图象如下：
学科网（北京）股份有限公司
30 /
（3）解：当x=−1时，y=4；当x=3时，y=0，结合（2）中函数图象可知：
∴y 的取值范围是：0<y≤4．
4．(24-25 八上·[名校联盟]江苏金坛茅麓中学·期中)先画图，再回答问题
(1)在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x+4，y=2x，y=2x−2的图象；
(2)点(1,2)、(2,−4)是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？
(3)如果(a,8)在y=2x−2的图象上，求a 的值．
【答案】(1)见解析
(2)点(1,2)在函数图象上，点(2,−4)不在函数图象上，且点(1,2)在函数y=2x的函数图象上
(3)a=5
【分析】本题主要考查了函数的图象以及图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的特征，是解题的
关键．
（1）分别求出直线与x 轴、y 轴的交点，用两点法即可作出图象；
（2）根据函数图象即可判断；
（3）把(a,8)代入y=2x−2即可求解．
【详解】（1）解：函数y=2x+4与坐标轴的交点坐标为(0,4)，(−2,0)，
学科网（北京）股份有限公司
31 /
函数y=2x经过点(0,0)，(1,2)，
函数y=2x−2与坐标轴的交点坐标为(0,−2)，(1,0)，
在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示：
（2）解：根据图象可知，点(1,2)在所画的函数y=2x的图象上，点(2,−4)不在所画的三个函数的图象上；
（3）解：将点(a,8)代入y=2x−2，得8=2a−2，
解得：a=5．
5．在学习函数的过程中，我们经历了通过列表，描点，连线来画函数图象，观察分析图象特征，从而概括
出函数性质的过程．下面是探究函数y=|x+1|−2的图象与性质的部分过程．列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
0
a
-2
-1
0
b
2
…
(1)直接写出表格中a=___________，b=___________；
(2)在平面直角坐标系中画出函数y=|x+1|−2的图象，并结合所画图象写出该函数的一条性质：___________；
(3)已知一次函数y=
1
3 x−
2
3的图象如图所示，请直接写出方程
1
3 x−
2
3 =|x+1|−2的近似解___________（精确到0.1）
【答案】(1)−1，1;
学科网（北京）股份有限公司
32 /
(2)图见解析；图象是关于x=−1所在直线为对称轴的轴对称图形；
(3)x=−1.8或x=0.5
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质和新函数的图象，会用描点法画出新函数图象是解题的关键；
（1）分别把x的代入解析式，即可得到答案；
（2）利用描点作图法作出图象，并写出一条性质即可；
（3）根据图象的交点求出即可；
【详解】（1）解：当x=−2时，a=|−2+1|−2=−1，
当x=2时，b=|2+1|−2=1，
故答案为：−1，1；
（2）解：画出函数图形如图：
有图象可知：此函数图象是关于x=−1对称的轴对称图形；
（3）解：由图象可知：
1
3 x−
2
3 =|x+1|−2的近似解为x=−1.8或x=0.5
6．(24-25 八下·广西南宁第八中学·期中)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)先列表，再用“两点法”画出一次函数y=x+1在平面直角坐标系中的图象；
(2)若点A、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0)，请你利用尺规作图在直线y=x+1上确定一点P，使得PA=PB；
学科网（北京）股份有限公司
33 /
(3)连接PA、PB，并求出△PAB的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5.25
【分析】本题考查了一次函数图像的绘制、线段垂直平分线的性质与三角形面积计算，解题的关键是熟练
运用相关知识进行操作与计算．
（1）当x=0、x=−1时，求出y 值，在平面直角坐标系中，描出点(0,1)和(−1,0)，然后用直线连接这两个点，
就得到一次函数图像．
（2）作线段AB的垂直平分线，与直线y=x+1的交点即为点P．
（3）先求出AB的长度，再确定△PAB中AB边上的高（即点P的纵坐标），最后根据三角形面积公式计算面积．
【详解】（1）解：列表如下图：
x
0
−1
y
1
0
一次函数y=x+1的图像如右图所示
（2）作线段AB的垂直平分线，与直线y=x+1的交点即为点P．
因为A(1,0)，B(4,0)，
所以线段AB中点坐标为(
1+4
2 ,
0+0
2 )=(2.5,0)，AB在x轴上，
所以AB的垂直平分线是直线x=2.5．
将x=2.5代入y=x+1，得y=2.5+1=3.5，
所以P(2.5,3.5)．
点P 如图所示
学科网（北京）股份有限公司
34 /
（3）解：因为A(1,0)，B(4,0)，
所以AB=4−1=3．
点P的纵坐标为3.5，
所以△PAB中AB边上的高就是点P的纵坐标的绝对值，即h=3.5．
所以S△PAB=
1
2 ×3×3.5=5.25．
7．(24-25 八下·河北衡水故城县·月考)在平面直角坐标系中，一次函数y=−4x−4的图象与x 轴，y 轴分别交于
点A，B．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B；
(2)①若点C(x1,y1)，D(x2,y2)在该一次函数的图象上，且x1<x2，则y1______y2（用“>”或“<”填空）；
②当−1<x<0时，y 的取值范围是______
(3)将一次函数y=−4x−4的图象沿y 轴向上平移m(m>0)个单位长度，所得直线与x 轴交于点E，若OE=2OA，
求m 的值．
【答案】(1)见解答图
(2)①>；②−4<y<0
(3)m 的值为12
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
（1）根据直线与坐标轴的交点即可求得A、B 的坐标，根据两点确定一条直线，作出一次函数的图象即可；
（2）①根据图象即可判断；②根据图象即可求得；
（3）求得平移后的函数解析式，进一步求得E 点的坐标，利用OE=2OA即可求得m 的值．
【详解】（1）解：已知一次函数y=−4x−4的图象与x 轴，y 轴分别交于点A，B，
当x=0时，y=−4，
学科网（北京）股份有限公司
35 /
∴B(0,−4)，
当y=0时，−4x−4=0．解得x=−1，
∴A(−1,0)，
函数图象如图．
（2）解：①由图象可知，一次函数y=−4x−4随x 的增大而减小，
∵点C(x1,y1)，D(x2,y2)在该一次函数的图象上，且x1<x2，
∴y1>y2，
故答案为：>；
②由图象可知，当−1<x<0时，y 的取值范围是−4<y<0，
故答案为：−4<y<0；
（3）解：将一次函数y=−4x−4的图象沿y 轴向上平移m(m>0)个单位长度，得到y=−4x−4+m，
令y=0，则求得x=
m−4
4 ，
∴E (
m−4
4 ,0)，
∵OE=2OA，
∴
m−4
4 =2，
∴m=12，
∴m的值为12．
题型九：一次函数图象的平移
1．(25-26 九上·浙江杭州外国语学校·月考)将直线y=kx向上平移3 个单位，再向右平移2 个单位，则所得直
学科网（北京）股份有限公司
36 /
线的解析式是（ ）
A．y=k(x−3)+2；
B．y=k(x−2)−3；
C．y=k(x−2)+3
D．y=k(x+2)+3
【答案】C
【分析】本题主要考查图象的平移规律，属于基础题型，熟练掌握和运用平移规律是做题的关键．根据平
移规律“左加右减，上加下减”，即可求出平移后的函数解析式．
【详解】解：由平移得直线的解析式为，
y=k(x−2)+3．
故选：C．
2．(25-26 八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)要从直线y=
2x+1
3 得到直线y=
2
3 x，就要把直线y=
2x+1
3 （ ）
A．向上平移
1
3个单位
B．向下平移1个单位
C．向左平移
1
2个单位
D．向右平移
1
2个单位
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．先将一次函数
的解析式整理为y=
2
3 x+
1
3，再根据平移的规律“上加下减，左加右减”，即可求解．
【详解】解：∵将一次函数的解析式y=
2x+1
3 整理，得y=
2
3 x+
1
3，
将一次函数y=
2
3 x+
1
3向下平移
1
3个单位，平移后的一次函数的解析式为y=
2
3 x；
将一次函数y=
2
3 x+
1
3向右平移
1
2个单位，平移后的一次函数的解析式为y=
2
3 (x−
1
2) +
1
3 =
2
3 x，
故一次函数y=
2
3 x+
1
3向下平移
1
3个单位或向右平移
1
2个单位，平移后的一次函数的解析式均为y=
2
3 x．
故选：D．
3．(25-26 八上·浙江金华兰溪聚仁中学·月考)将y=
1
2 x向右平移2 个单位长度，再向上平移2 个单位，所得的
直线的解析式是（ ）
A．y=
1
2 x+1
B．y=
1
2 x+3
C．y=
1
2 x−1
D．y=
1
2 x−3
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将y=
1
2 x向右平移2 个单位长度，再向上平移2 个单位，所得的直线的解析式是y=
1
2 (x−2)+2=
1
2 x+1，
学科网（北京）股份有限公司
37 /
故选：A．
4．(24-25 八下·四川德阳·期末)将函数y1=2x的图象向上平移3 个单位长度得到函数y2的图象，那么y2的图象
也可以看成是由y1的图象（ ）
A．向左平移
3
2个单位长度得到
B．向右平移
3
2个单位长度得到
C．向左平移3 个单位长度得到
D．向右平移3 个单位长度得到
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象的平移：上加下减，左加右减，掌握此平移特征是关键；根据平移特征
即可求解．
【详解】解：将函数y1=2x的图象向上平移3 个单位长度得到函数y2的图象，则y2=2x+3，
∵y2=2x+3=2 (x+
3
2)，
∴y2的图象也可以看成是由y1的图象向左平移
3
2个单位长度得到函数y2的图象．
故选：A．
5．(25-26 八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)将函数y=3x−2向上平移5 个单位长度，则平移后得到的一
次函数表达式为 ．
【答案】y=3x+3
【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，根据一次函数图象平移的规律求解，向上平移是“上加”．
【详解】解：将函数 y=3x−2 向上平移5 个单位长度，
根据“上加下减”的法则，在函数值上加5，
得到新函数表达式为 y=3x−2+5，即 y=3x+3．
故答案为 y=3x+3．
题型十：已知一次函数的平移求参数的范围
1．(25-26 八上·安徽蚌埠G5 联考·月考)将直线y=3x−1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、
三象限，则m的值可以是 （ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解
析式，根据图象经过第一、二、三象限，得到k>0,b>0，进行求解即可．
学科网（北京）股份有限公司
38 /
【详解】解：由题意，平移后的解析式为：y=3x−1+m，
∵平移后的直线经过第一、二、三象限，
∴m−1>0，
∴m>1；
∴m的值可以是2．
故选：D．
2．(25-26 八上·安徽合肥第四十五中学·月考)在平面直角坐标系中，将函数y=3x的图象向下平移m个单位，
使其与函数y=−3x+6的交点位于第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m>6
B．m<6
C．−6<m<6
D．−6≤m<6
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，将直线y=3x的图象向下平移m 个单位
可得y=3x−m，求出直线y=3x−m与直线y=−3x+6的交点，再由此点在第四象限可得出m 的取值范围．
【详解】解：将直线y=3x的图象向下平移m 个单位可得y=3x−m，
联立两直线解析式得：{ y=3x−m
y=−3x+6
，
解得：{
x=
6+m
6
y=
6−m
2
，
即交点坐标为(
6+m
6 ,
6−m
2 )，
∵交点在第四象限，
∴{
6+m
6 >0
6−m
2 <0
，
解得：m>6．
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x−4的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，得到一个正比例函数
的图像，则m的值为（ ）
A．−4
B．−2
C．2
D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，根据平移的性质可得平移后的解析式为y=2(x+m)−4，再结合
正比例函数图像过原点可得答案．
【详解】解：将一次函数y=2x−4的图像向左平移m个单位长度后，
学科网（北京）股份有限公司
39 /
得到y=2(x+m)−4，
把(0,0)代入，
得0=2(0+m)−4，
解得m=2，
故选C
4．(25-26 八上·陕西西安碑林区西安交通大学附属中学·月考)在平面直角坐标系中，若将一次函数y=3x+n的
图象向上平移2 个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则n的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解
析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y=3x+n+2，然后
把原点的坐标代入求值即可．
【详解】解：将一次函数y=3x+n的图象向上平移2 个单位后，得到y=3x+n+2，
把(0,0)代入，得到：n+2=0，
解得n=−2．
故答案为：−2．
5．一次函数y=2x+b的图像过点(0,2)，将函数y=2x+b的图像向上平移3 个单位长度，所得函数的表达式
为 ．
【答案】y=2x+5/y=5+2x
【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数图像的平移，
先将点(0,2)代入一次函数y=2x+b求出关系式，再根据平移法则“左加右减，上加下减”，可得答案.
【详解】解：将点(0,2)代入一次函数y=2x+b，
得b=2，
∴一次函数的表达式为y=2x+2．
将函数y=2x+2的图像向上平移3 个单位长度，
∴所得函数的表达式为y=2x+2+3=2x+5.
故答案为：y=2x+5.
6．(25-26 八上·安徽淮北·月考)已知直线y=3x−2向上平移m(m>0)个单位长度后经过点(−2,6)，则m 的值
为 ．
【答案】14
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
40 /
先求出函数平移后的解析式，再把点(−2，6)代入求出m 的值即可．
【详解】解：直线y=3x−2向上平移m(m>0)个单位长度后得到函数的解析式为y=3x−2+m，
∵平移后经过点(−2，6)，
∴3×(−2)−2+m=6，
解得m=14，
故答案为：14．
7．(24-25 八下·广东广州越秀区·期末)将直线y=−5x+3沿y轴向下平移6 个单位后得到直线m，则直线m与y轴
的交点坐标是
【答案】(0,−3)
【分析】本题考查的是一次函数的图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知函数图象平移的法则是解
答此题的关键．
根据“上加下减”的原则求出平移后新直线的解析式，再把x=0代入所得的解析式解答即可．
【详解】解：将直线y=−5x+3沿y 轴向下平移6 个单位后，得到y=−5x+3−6=−5x−3，
把x=0代入y=−5x−3得，y=−3，
所以该直线与y 轴的交点坐标是(0,−3)．
故答案为：(0,−3)．
题型十一：根据两直线的位置关系求解
1．(23-24 八上·甘肃张掖临泽县第二中学·月考)直线y1=2x−3与直线y2=2x+1的位置关系是（ ）
A．相交
B．垂直
C．平行
D．重合
【答案】C
【分析】此题考查了一次函数平移中两直线的位置关系，根据k1=2，k2=2，−3≠1，
即可判定位置关系，解题的关键是正确理解直线平行时k的值相等．
【详解】∵k1=2=k2，−3≠1，
∴直线y1=2x−3与直线y2=2x+1两直线平行，
故选：C．
2．将直线y=2x+3平移，使平移后的直线经过点(1，−6)，所得直线的表达式是 ．
【答案】y=2x−8
【分析】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质设平移后的直
学科网（北京）股份有限公司
41 /
线解析式为y=2x+b，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设平移后的直线解析式为：y=2x+b，
把(1，−6)代入y=2x+b，
得：−6=2×1+b，
解得b=−8，
则平移后的直线解析式为y=2x−8，
故答案为：y=2x−8．
3．(24-25 八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)已知直线y=kx−1是由直线y=−2x平移得到的，则直线y=kx−1
与x轴的交点坐标是 ．
【答案】(−
1
2 ,0)
【分析】本题考查了一次函数的平移，明确平行直线的解析式的k 值相等是解题的关键．先结合直线y=kx−1
是由直线y=−2x平移得到的，则k=−2，故y=−2x−1，再令y=0，求出对应的x的值，即可作答．
【详解】解：∵直线y=kx−1是由直线y=−2x平移得到的，
∴k=−2，
故y=−2x−1，
令y=0，所以0=−2x−1，
解得x=−
1
2，
即直线y=kx−1与x轴的交点坐标是(−
1
2 ,0)，
故答案为：(−
1
2 ,0)
4．(24-25 八下·河南洛阳新安县·期末)一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=3x的图象平行，且将一次函数
y=kx+b的图象向下平移3 个单位后经过点A(2,−3)，则b= ．
【答案】−6
【分析】根据图象平行，得k=3，于是y=3x+b向下平移3 个单位后为y=3x+b−3，把A(2,−3)代入解析式y=3x+b−3
解答即可．
本题考查了一次函数图象平行的条件，平移，图象过点，熟练掌握图象平行的条件和平移是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=3x的图象平行，
∴k=3，
∴一次函数解析式为y=3x+b，
学科网（北京）股份有限公司
42 /
∵一次函数y=kx+b的图象向下平移3 个单位，
∴平移后的解析式为y=3x+b−3，
∵新解析式经过点A(2,−3)，
∴−3=6+b−3
解得b=−6，
故答案为：−6．
5．(24-25 八下·山东滨州惠民县·期末)已知直线l1的解析式为y=−x−3，若直线l2与直线l1平行，且过点(4,−5)，
则直线l2的解析式为 ．
【答案】y=−x−1
【分析】本题考查了两直线平行的问题，设出直线l2的解析式，代入点(4,−5)，求出直线l2的解析式即可．
【详解】解：设直线l2的解析式为y=kx+b，
∵直线l2与直线l1平行，
∴k=−1，
把(4,−5)代入y=−x+b得−4+b=−5，
解得b=−1，
∴线l2的解析式为y=−x−1．
故答案为：y=−x−1．
6．(24-25 八上·江苏无锡江阴青阳初级中学·)已知直线l 与直线y=2x−3平行，且经过点(2,7)，直线l 的函数
表达式为 ．
【答案】y=2x+3
【分析】本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k 值相等是解题的关键．
根据两平行直线的解析式的k 值相等可设直线l的函数表达式为y=2x+b，再把经过的点的坐标代入函数解析
式计算求出b，从而得解．
【详解】解：∵直线l与直线y=2x−3平行，
∴设直线l的函数表达式为y=2x+b，
∵直线l经过点(2,7)，
∴7=2×2+b，
解得：b=3，
∴直线l的函数表达式为y=2x+3．
故答案为：y=2x+3．
学科网（北京）股份有限公司
43 /
7．(23-24 八上·安徽宣城第六中学·期中)与直线y=−3x+2垂直且过点(−2,3)的直线解析式是 ．
【答案】y=
1
3 x+
11
3
【分析】根据互相垂直的两条直线的k值的乘积为−1，设直线的解析式为：y=
1
3 x+b，再将点(−2,3)，代入求
解即可．
【详解】解：由题意，设直线的解析式为y=
1
3 x+b，将点(−2,3)代入，得：b=
11
3 ，
∴y=
1
3 x+
11
3 ；
故答案为：y=
1
3 x+
11
3 ．
8．(24-25 八上·辽宁沈阳新民·期中)如图，一次函数y=−2x+2的图象分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点C
在第一象限，AC与AB垂直，且AC=AB，则点C 的坐标为 ．
【答案】(3,1)
【分析】先求出A(1，0)，B(0，2)，得到OB=2，OA=1，如图所示，过点C 作CD⊥x轴于D，通过证明
△AOB≌△CDA得到CD=OA=1，AD=OB=2，进而得到OD=3，则C(3，1)．
【详解】解：在y=−2x+2中，当y=−2x+2=0时，x=1，当x=0时，y=−2x+2=2，
∴A(1，0)，B(0，2)，
∴OB=2，OA=1，
如图所示，过点C 作CD⊥x轴于D，
∴∠ADC=∠BOA=90°，
∵AC⊥AB，即∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠DAC=90°，
又∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠DAC，
∵AC=BA，
∴△AOB≌△CDA(AAS)，
学科网（北京）股份有限公司
44 /
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=3，
∴C(3，1)，
故答案为：(3，1)．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构
造全等三角形是解题的关键．
题型一：根据平移求取值范围
1．(24-25 八下·浙江台州三门县·期末)如图，A(2, 3), B(3, 0), C(5, 1), D(4, 4)，将直线l:y=−x+1以每秒2 个单
位长度向右平移t秒，当直线l与四边形ABCD有公共点时，t的取值范围为（ ）
A．1≤t≤3.5
B．2≤t≤4
C．1≤t≤3
D．2≤t≤2.5
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线
经过点B 和点D 时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题．
【详解】解：将y=0代入y=−x+1得−x+1=0，
解得x=1，
学科网（北京）股份有限公司
45 /
所以直线l 与x 轴的交点坐标为(1,0)．
令平移后的直线函数解析式为y=−x+b，
当平移后的直线经过点B 时，−3+b=0，
解得b=3，
所以此时直线的函数解析式为y=−x+3，
则t=(3−1)÷2=1(s)．
当平移后的直线经过点D 时，
−4+b=4，
解得b=8，
所以此时直线的函数解析式为y=−x+8，
令y=0得，−x+8=0，
解得x=8，
所以t=(8−1)÷2=3.5(s)，
所以当直线l 与四边形ABCD有公共点时，t 的取值范围是：1≤t≤3.5．
故选：A．
2．(2025·广东省广州市·模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A(−3,1)，点B(−1,1)，若将直线y=x向上平移d
个单位长度后与线段AB有交点，则d 的取值范围是（ ）
A．−3≤d≤−1
B．1≤d≤3
C．−4≤d≤−2
D．2≤d≤4
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．
先求出直线y=x平移后的解析式，再根据直线与线段AB有交点，分别求出直线经过点A 和点B 时d 的值，进
而确定d 的取值范围，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，将直线y=x向上平移d 个单位长度后得y=x+d
学科网（北京）股份有限公司
46 /
∵点A(−3,1)，点B(−1,1)，且直线y=x向上平移d 个单位长度后与线段AB有交点，
∴把A(−3,1)代入得1=−3+d，解得d=4；
把B(−1,1)代入得1=−1+d，解得d=2；
则2≤d≤4，
故选：D．
3．(24-25 八下·河北石家庄栾城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为3 的正方形ABCD在第一象限
内，AB∥y轴，点C的坐标为(6,4)，直线l的表达式为：y=2x+1．将直线l沿y轴向下平移m个单位，使平移后的
直线与正方形ABCD有交点，则m的取值范围是（ ）
A．1<m<12
B．3≤m≤10
C．3<m<11
D．3≤m≤12
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象的平移．
根据题意求得正方形各顶点的坐标，根据一次函数图象的平移规律可知平移后的直线方程为y=2x+1−m；把
点B 和D 的坐标代入进行解答即可．
【详解】解：∵点C的坐标为(6,4)，正方形ABCD边长为3，
∴A(3,1)，B(3,4)，D(6,1)，
将直线l沿y轴向下平移m个单位，
则平移后解析式为y=2x+1−m，
当y=2x+1−m过B(3,4)时，4=6+1−m，解得m=3；
当y=2x+1−m过D(6,1)时，1=12+1−m，解得m=12；
∴平移后的直线与正方形ABCD有交点，m的取值范围是3≤m≤12，
故选：D．
4．(24-25 八上·浙江嘉兴一中实验学校·月考)如图，△ABC是由直线l1:y=
1
3 x+
1
3 ,l2:y=−x−1,l3:y=3x−13围成的封
闭图形，若直线l:y=kx+k−2与△ABC没有交点，则k 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司
47 /
【答案】k<−
1
2/k<−0.5
【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题
的特点是解题的关键．分别利用当直线l:y=kx+k−2过点C 时及当直线l:y=kx+k−2过点A 时k的值，据此即可求
解．
【详解】解：一次函数y=
1
3 x+
1
3中，令y=0，得x=−1，
∴A(−1,0)，
将y=−x−1,y=3x−13联立方程组得：
{ y=−x−1
y=3x−13
，解得：{ x=3
y=−4
，
∴C(3,−4)，
一次函数y=k(x+1)−2中，令x+1=0，则x=−1，
故y=−2，
∴直线l:y=kx+k−2过定点D(−1,−2)，如图，
当直线l:y=kx+k−2过点C 时，将C(3,−4)代入得：
−4=3k+k−2，解得：k=−
1
2，
当直线l:y=kx+k−2过点A 时，则直线l与y轴平行，
所以将直线l绕点D 从直线AD位置逆时针旋转到直线CD位置时，与△ABC没有交点，
学科网（北京）股份有限公司
48 /
故直线l:y=kx+k−2与△ABC没有交点，则k 的取值范围是k<−
1
2，
故答案为：k<−
1
2．
题型二：一次函数的图形综合解答题
1．(24-25 八下·河北保定易县·期末)如图，线段MN两个端点的坐标分别为M(1,5),N(1,2)，一次函数y=kx+b的
图象与x 轴交于点A(4,0)，与y 轴交于点B(0,−3)．
(1)求一次函数y=kx+b的解析式．
(2)将直线y=kx+b向上平移a 个单位长度，使平移后的直线与线段MN有交点，求a 的取值范围．
【答案】(1)y=
3
4 x−3
(2)
17
4 ≤a≤
29
4
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题并认
真计算是解题的关键．
（1）把A(4,0)和B(0,−3)代入y=
3
4 x−3可求得解析式；
（2）设平移后的直线的解析式为y=
3
4 x−3+a，把M(1,5),N(1,2)分别代入，求出a 的值，进一步即可求得a
的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象与x 轴交于点A(4,0)，与y 轴交于点B(0,−3)．
∴把A(4,0)和B(0,−3)代入y=kx+b可得，
{4k+b=0
b=−3
，
解得{ k=
3
4
b=−3
，
∴这个一次函数的解析式为：y=
3
4 x−3；
（2）解：将直线y=
3
4 x−3向上平移a 个单位长度，得直线的解析式为：y=
3
4 x−3+a，
学科网（北京）股份有限公司
49 /
把M(1,5),N(1,2)分别代入y=
3
4 x−3+a，
得5=
3
4 −3+a，解得a=
29
4 ，
得2=
3
4 −3+a，解得a=
17
4 ，
∴a 的取值范围是
17
4 ≤a≤
29
4 ．
2．在平面直角坐标系xOy中，将函数y=−
1
2 x向上平移2 个单位，与y=kx−3(k≠0)的图象交于点(2,n)．
(1)求k,n的值；
(2)当x≤1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=kx−3的值，且小于函数y=−kx+5的值，直接
写出m的取值范围．
【答案】(1)k=2，n=1；
(2)−1<m≤2且m≠0．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌
握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）根据一次函数的平移得到新函数y=−
1
2 x+2，再求出两直线的交点坐标，得到n的值，再代入函数解析数
求出k的值即可；
（2）根据题意得：当x≤1时，mx>2x−3且mx<−2x+5，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最后确定取
值范围即可．
【详解】（1）解：将函数y=−
1
2 x向上平移2 个单位，得到新函数y=−
1
2 x+2，
当x=2时，n=−
1
2 ×2+2=1，
即函数y=−
1
2 x+2与函数y=kx−3(k≠0)的图象交于点(2,1)，
将点(2,1)代入函数y=kx−3(k≠0)，
则2k−3=1，
解得：k=2；
（2）解：由（1）得：k=2，
根据题意得：当x≤1时，mx>2x−3且mx<−2x+5，
mx>2x−3，
当0<x≤1时，m>2−
3
x，最大值在x=1时，得m>−1，
学科网（北京）股份有限公司
50 /
当x<0时，m<2−
3
x，2−
3
x >2恒成立，得m≤2，
综合得：−1<m≤2；
mx<−2x+5，
当0<x≤1时，m<
5
x −2，最小值在x=1时，得m<3，
当x<0时，m>
5
x −2，
5
x −2<−2恒成立，得m≥−2，
综合得：−2≤m<3；
综上可得：−1<m≤2且m≠0．
3．把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3 个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x−3的图象．
【阅读理解】
小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3 个单位长度，如何求平移后的函数表
达式？
老师给了以下提示：如图1，在函数y=−2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3 个单位长度，得到
A′、B′，直线A′B′就是函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3 个单位长度后得到的图象．
请你帮助小尧解决他的困难．
（1）将函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3 个单位长度，平移后的函数表达式为___________．
【解决问题】
（2）已知某一次函数的图象与直线y=−2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．
【拓展探究】
（3）一次函数y=−2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为
___________．（直接写结果）
【答案】（1）y=−2x+6；（2）y=2x；（3）y=
1
2 x−
3
2
【分析】（1）平移时k 的值不变，只有b 发生变化．可以先确定平移后与x 轴的交点坐标，然后利用待定系
数法即可求得；
学科网（北京）股份有限公司
51 /
（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x 轴对称的特点得出答案；
（3）在直线y=−2x取两点O(0,0)，S(−1,2)，根据旋转性质求得旋转后对应点Q(5,1)，T(3,0)，然后利用待定
系数法求出直线QT的解析式即可．
【详解】解：（1）将函数y=−2x的图象沿x 轴向右平移3 个单位长度，
平移后与x 轴的交点为(3,0)，将(3,0)代入y=−2x+b中，得
0=−6+b，
解得b=6，
所以平移后的函数表达式为y=−2x+6，
故答案为：y=−2x+6；
（2）解：在函数y=−2x的图象上取两个点A(0,0)、B(1,−2)，
关于x 轴对称的点的坐标A′(0,0)、B′(1,2)，
设直线A′B′的解析式为y=kx，
把B′(1,2)代入，得
k=2，
∴一次函数的表达式为y=2x；
（3）解：如图，在直线y=−2x上取两点O(0,0)，S(−1,2)，
∵一次函数y=−2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°，
∴点O、S绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后对应点为点Q、T，
过点P作PM⊥x轴于M，过点Q作QK⊥x轴于K，过点Q作QN⊥PM于N，
∵P(2,3)，
∴OM=2，PM=3，
由旋转可得∠OPQ=90°，OP=PQ，
∴∠OPM+∠QPN=90°，
∵PM⊥x，QN⊥PM，
∴∠PMO=∠QNP=90°，
∴∠PQN+∠QPN=90°，
∴∠OPM=∠PQN，
∴△POM≌△QPN(AAS)，
∴PN=OM=2，QN=PM=3，
∵QK⊥x轴，
学科网（北京）股份有限公司
52 /
∴四边形QNMK是矩形，
∴QK=MN=PM−PN=3−2=1，MK=QN=3，
∴OK=OM+MK=5，
∴Q(5,1)，
同理可求得点T(3,0)，
设直线TQ解析式为y=kx+b，
把Q(5,1)、T(3,0)代入，得
{5k+b=1
3k+b=0
，
解得：{
k=
1
2
b=−
3
2
，
∴旋转后得到函数解析式为：y=
1
2 x−
3
2．
故答案为：y=
1
2 x−
3
2．
4．(24-25 八上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·月考)探究与应用
【探究发现】
晓豫和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的
探究路径，即：定义→图象→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点A是数轴上一点，表
示的数是1；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，AB的距离为y，随着x的变化，AB的距离y会如何变化
呢？
（1）数学小组通过列表得到以下数据：
x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
m
1
0
1
2
3
4
…
其中m= ．
数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？ （填“是”或“不是”）
（2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ；
【应用拓展】
（3）若点P(a,n)，Q(b,n)均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系： ；
（4）将该函数图象在直线y=2上方的部分保持不变，下方的图象沿直线y=2进行翻折，得到新函数图象，若
一次函数y=kx+3与该函数图象只有一个交点，则k的取值范围为 ．（备注：直线y=2即过点(0,2)且与x轴平行
学科网（北京）股份有限公司
53 /
的直线）
【答案】（1）2，是；（2）见解析；（3）a+b=2；（4）k>1或k≤−1
【分析】本题主要考查函数的图象和性质，涉及一次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的
关键．
（1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数；
（2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可；
（3）P(a,n)，Q(b,n)关于直线x=1对称，据此求解；
（4）作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数y=kx+3图象与直线AC重合及BD平行时的k 值，即可得
出答案．
【详解】解：（1）点B 表示的数是−1，AB的距离为y=1−(−1)=1+1=2，
给定一个x 的值，就会有唯一的一个y 值与之对应，因此y 是x 的函数，
故答案为：2，是；
（2）依题意得：y=|x−1|= {x−1(x≥1)
1−x(x<1)
描点、连线，则所画函数图象如图所示：
学科网（北京）股份有限公司
54 /
函数的性质：①该函数图象关于直线x=1对称；②当x=1时，函数有最小值0；③当x>1时，y 随x 的增大而
增大；④当x<1时，y 随x 的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分）
（3）由（2）中函数图象可得：P(a,n)，Q(b,n)关于直线x=1对称，
∴
a+b
2 =1，
∴ a+b=2，
故答案为：a+b=2；
（4）翻折后新函数图象如下图所示：
则A(1,4)，C(−1,2)，B(3,2)，
对于一次函数y=kx+3，无论k 取何值，当x=0时，y值一定为3，
因此一次函数y=kx+3图象过定点(0,3)，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则{ m+n=4
3m+n=2
，解得{m=−1
n=5
，
∴直线AB的解析式为y=−x+5；
同理，直线AC的解析式为y=x+3，则点(0,3)在直线AC上，
学科网（北京）股份有限公司
55 /
由图知，若一次函数y=kx+3图象与直线BD平行，则k=−1，此时一次函数y=kx+3与该函数图象只有一个交点，
若一次函数y=kx+3图象与直线AC重合时，则k=1，此时一次函数y=kx+3与该函数图象有无数个交点，
∴当k>1或k≤−1时，一次函数y=kx+3与该函数图象只有一个交点，
故答案为：k>1或k≤−1．
5．(24-25 八下·河北邢台襄都区·期末)如图是8个台阶的示意图（各拐角均为90°，每个台阶宽、高分别为2和
1，A1B1为第一个台阶面，A2B2为第二个台阶面⋯，以此类推，A8M为第八个台阶面，建立如图所示的平面
直角坐标系．
(1)求直线MN的解析式，并判断点B1是否在直线MN上；
(2)点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8在直线 上（填直线的解析式）；
(3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线y=mx−20m+9(m≠0)表示，若使光线刚好照到所
有台阶（包含点M、N），求m的取值范围．
【答案】(1)y=−
1
2 x+8，B1(14,1)在直线MN上；
(2)y=−
1
2 x+9；
(3)
1
20 ≤m≤
9
4．
【分析】本题考查了一元一次函数的实际应用，用待定系数法求函数解析式，规律探索，解题关键是关键
题意得出点的坐标．
（1）设直线MN的解析式为y=kx+b，将M(0,8)，N(16,0)代入解析式即可求解，再将B1(14,1)代入判断；
（2）由每个台阶宽、高分别为2和1得A1(16,1)，N(16,0)，将直线直线y=−
1
2 x+8向上平移即可求解；
（3）将(0,8)和(16,0)代入即可求解．
【详解】（1）解：设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵每个台阶宽、高分别为2和1，
∴M(0,8)，N(16,0)，
将(0,8)和(16,0)代入解析式得{
8=b
0=16k+b
，
学科网（北京）股份有限公司
56 /
解得{k=−
1
2
b=8
，
∴直线MN的解析式为y=−
1
2 x+8，
当x=14时，y=−
1
2 ×14+8=1，
∴B1(14,1)在直线MN上；
（2）解：由每个台阶宽、高分别为2和1得A1(16,1)，N(16,0)，
根据图象可知，
将直线y=−
1
2 x+8向上平移1个单位，得到y=−
1
2 x+9，
同理：A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8在直线y=−
1
2 x+9上，
故答案为：y=−
1
2 x+9；
（3）解：由题意可得16m−20m+9=0，得m=
9
4，
把M(0,8)代入y=mx−20m+9(m≠0)可得−20m+9=8，
解得m=
1
20，
∴
1
20 ≤m≤
9
4．
6．(24-25 八下·湖北咸宁通城县·期末)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=x的图象与一次函数y=kx−k
的图象的交点为A(m,2)．
学科网（北京）股份有限公司
57 /
(1)求m和k的值；
(2)不等式kx−k<x的解集为________；
(3)设一次函数y=kx−k的图象与x轴交于点C，将一次函数y=kx−k的图象向右平移2个单位长度，交y=x的图象
于点E，交x轴于点D，四边形ACDE的面积为________．
【答案】(1)m=2，k=2；
(2)x<2；
(3)8．
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、解一元一次不等式、一次函数图象的平移．
（1）因为正比例函数y=x的图象与一次函数y=kx−k的图象的交点为A(m,2)，把点A的坐标代入正比例函数y=x，
可以求出m=2，从而可得点A的坐标是(2,2)，把点A的坐标代入y=kx−k，即可求出k的值；
（2）由（1）可知k=2，从而可得不等式2x−2<x，解不等式即可求出x的取值范围；
（3）首先求出直线y=2x−2与x轴的交点C的坐标为(1,0)，根据平移的方向和距离可知点D的坐标为(3,0)，从
而求出直线DE的解析式，解方程组求出点E的坐标，再根据S阴影=S△EOD−S△AOC即可求出结果．
【详解】（1）解：把点A(m,2)代入y=x，
可得：m=2，
∴点A的坐标为(2,2)，
把点A的坐标为(2,2)的坐标代入y=kx−k，
可得：2k−k=2，
解得：k=2；
（2）解：由（1）(1)可知k=2，
∴kx−k=2x−2，
学科网（北京）股份有限公司
58 /
∵ kx−k<x，
∴2x−2<x，
解得：x<2；
（3）解：由（1）可知一次函数的解析式为y=2x−2，
当y=0时，可得：2x−2=0，
解得：x=1，
∴点C的坐标是(1,0)，
∴OC=1，
∵把一次函数y=2x−2向右平移了2个单位长度，
∴平移后的函数解析式经过点D(3,0)，
∴OD=3，
设平移后的函数解析式是y=2x+b，
可得：2×3+b=0，
解得：b=−6，
∴平移后的函数解析式是y=2x−6，
解方程组{y=2x−6
y=x
，
解得：{x=6
y=6
，
∴点E的坐标是(6,6)，
∴S△AOC=
1
2 ×1×2=1，S△EOD=
1
2 ×3×6=9，
∴S阴影=S△EOD−S△AOC=9−1=8，
故答案为：8.
7．(2025·四川省德阳市·模拟)如图，已知A(−2,0)，B(0,4)，将线段AB平移到第一象限得线段A′B′，点A′的横
坐标为5，若作直线A′B′交x轴于点C(4,0)．
(1)求线段AB所在直线的解析式；
学科网（北京）股份有限公司
59 /
(2)直线AB上一点P(m,n)，求出m、n之间的数量关系；
(3)若点Q在y轴上，求QA′+QB′的取值范围．
【答案】(1)y=2x+4
(2)n=2m+4
(3)QA′+QB′≥4√10
【分析】本题考查待定系数法，函数图象与点的平移，轴对称的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）将点P 的坐标代入直线AB的解析式即可解答；
（3）求出直线AB后的直线A′B′的解析式为y=2x−8，进而求出A′(5,2)，根据点A 与点A′的坐标变化得到平移
方式，从而得到点B′(7,6)．作点A'关于y轴的对称点D(−5,2)，连接B′D，交y轴于Q，此时，QA′+QB′最小为B′D
的长，根据两点间距离公式求出B′D，即可解答．
【详解】（1）解：设线段AB所在直线的解析式为y=kx+b，
将A(−2,0)，B(0,4)代入y=kx+b中，{−2k+b=0
b=4
，
∴{k=2
b=4
，
∴线段AB所在直线的解析式为y=2x+4；
（2）解：点P(m,n)在直线AB:y=2x+4上，
∴n=2m+4；
（3）解：设直线AB:y=2x+4平移后的直线A′B′的解析式为y=2x+b′，
∵点C(4,0)在直线A′B′上，
∴2×4+b′=0，
∴b′=−8，
∴直线A′B′的解析式为y=2x−8，
∵点A′的横坐标为5，
∴把x=5代入函数y=2x−8，得y=2
∴A′(5,2)，
∵A(−2,0)，
∴点A′是点A向右移动5−(−2)=7个单位，再向上平移2个单位所得，
∴点B′也是由点B 向右移动7 个单位，再向上平移2个单位所得，
∵B(0,4)，
学科网（北京）股份有限公司
60 /
∴B'(7,6)，
作点A'关于y轴的对称点D(−5,2)，
连接B′D，交y轴于Q，此时，QA′+QB′最小，为B′D=√(7+5)2+(6−2)2=4√10，
∴QA′+QB′≥4√10．
8．(24-25 八下·湖北武汉东湖高新区·期末)平面直角坐标系中，直线AB的解析式为：y=kx−6k+6(k<0)过定点M，
分别交x轴、y轴于点A、B．
(1)直接写出定点M的坐标________；
(2)如图（1），当k=−1时，点C在线段AB上，点D在x轴上，满足OC=CD且∠OCD=45°，求点C的坐标；
(3)如图（2），平移直线AB交x轴负半轴于点E，交y轴负半轴于点F，使得AM=EF，连接ME交OB于点G，过
点M作MH⊥BG于点H，求
1
HG −
1
HB的值．
【答案】(1)M(6,6)
(2)C(12−6√2,6√2)
(3)
1
6
【分析】（1）根据解析式y=kx−6k+6=k(x−6)+6过定点M，即可求解；
（2）证明△ACD≌△BOC(AAS)得出CA=OB=6，进而设C(m,−m+12)，根据勾股定理建立方程，解方程，即
可求解；
（3）过M作MN⊥AE于点N，先证△AMN≌△EFO(AAS)，得到F(0,−6)，可得EF解析，求出点E坐标，进而求
出ME解析式，HB、GH，再代入求证即可．
【详解】（1）解：∵y=kx−6k+6=k(x−6)+6过定点M，
学科网（北京）股份有限公司
61 /
∴M(6,6)
（2）当k=−1时，y=−x+12，
当x=0时，y=12，当y=0时，x=12，
∴A(12,0)，B(0,12)，
∴OA=OB=12
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵∠OCD=45°，
∴∠ACO=∠ACD+∠OCD=∠ACD+45°，
又∵∠ACO=∠COB+∠OBA=∠COB+45°，
∴∠ACD=∠BOC，
又∵OC=CD，
∴△ACD≌△BOC(AAS)，
∴CA=OB=6，
设C(m,−m+12)，
∴2m=
m2−12m+72
6
，
解得：m=12−6√2，
∴C(12−6√2,6√2)；
（3）过M作MN⊥AE于点N，则∠MNA=∠FOE=90°，
∵平移直线AB交x轴负半轴于点E，交y轴负半轴于点F，
∴EF∥AB，
∴∠MAN=∠FEO，
又∵AM=EF
∴△AMN≌△EFO(AAS) ，
学科网（北京）股份有限公司
62 /
∴OF=MN=6，
∴F(0,−6)，
∵直线AB的解析式为：y=kx−6k+6(k<0)，
∴直线EF的解析式为y=kx−6，
当y=0时，x=
6
k，则E (
6
k ,0)，
当x=0时，y=−6k+6，则B(0,−6k+6)，
设ME的解析式为y=mx+n，代入E (
6
k ,0)和M(6,6)得：
{
6
k m+n=0
6m+n=6
解得：{
m=
k
k−1
n=
6
k−1
∴ME的解析式y=
k
k−1 x−
6
k−1．
当x=0时，y=−
6
k−1，则G (0,−
6
k−1)，
∵M(6,6)，MH⊥BG．
∴H(0,6)，
∴HG=6+
6
k−1=
6k
k−1，HB=−6k+6−6=−6k．
∴
1
HG −
1
HB =
k−1
6k −(−
1
6k)=
1
6．
【点睛】点睛片段本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，
熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
1．(24-25 八下·黑龙江绥化望奎县·期末)已知一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，则直线y=bx−k的
图象可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
63 /
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数y=kx+b的图
象经过第一、二、四象限，得到k<0,b>0，从而得到−k>0，再根据一次函数的性质判断y=bx−k的图象．
【详解】解：∵函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k<0,b>0，
∴−k>0，
∴y=bx−k的图象过第一、二、三象限，
故选：B．
2．(25-26 八上·安徽合肥第四十二中学·期中)已知过点（6,3）的直线y=mx+n(m≠0)不经过第四象限．设
S=m+2n，则（ ）
A．S有最大值，最大值为6
B．S有最小值，最小值为6
C．S有最大值，最大值为
1
2
D．S有最小值，最小值为
1
2
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线过点（6,3）且不经过第四象限，可得m>0，n≥0，
且6m+n=3．将S=m+2n用m 表示，根据m 的取值范围确定S 的最值．
【详解】∵ 直线y=mx+n过点（6,3），
∴6m+n=3，即n=3−6m．
∵ 直线不经过第四象限，
∴m>0，n≥0，
∴3−6m≥0，解得m≤0.5，
∴0<m≤0.5．
学科网（北京）股份有限公司
64 /
S=m+2n=m+2(3−6m)=m+6−12m=6−11m．
∵−11<0，
∴ S 随m 增大而减小．
∴ 当m=0.5时，S 取最小值，Smin=6−11×0.5=0.5；
当m→0时，S→6，但无法取到6，故S 无最大值．
∴ S 有最小值，最小值为
1
2．
故选：D．
3．(2025·陕西省咸阳市·二模)已知一次函数y=(k+2)x+b（k、b 为常数，且k≠−2）的图象不经过第一象限，
则k、b 的值可能是（ ）
A．k=−1,b=−2
B．k=−4,b=2
C．k=−1,b=2
D．k=−4,b=−1
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k，b 的符号是解答此题的关键．
先根据一次函数的图象经过一、二、四象限判断出函数k 及b 的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即
可．
【详解】解：∵一次函数y=(k+2)x+b（k、b 为常数，且k≠−2）的图象不经过第一象限，
∴k+2<0,b≤0，
∴k<−2，
∴k、b 的值可能是k=−4,b=−1．
故选：D
4．(24-25 八下·福建泉州晋江·期中)若直线y=kx+k+1经过点(m,n+2)和(m+1,2n−3)，且1<k<3，则n的值可以是
( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，根据坐标特征列出方程组是解题的关键．根据题意
列方程组得到n−5=k，由于1<k<3，于是得到1<n−5<3，即可得到结论．
【详解】解：依题意得：{
km+k+1=n+2
2n−3=k⋅(m+1)+k+1
，
∴n−5=k，
∵1<k<3，
∴1<n−5<3，
学科网（北京）股份有限公司
65 /
∴6<n<8，
故选：D．
5．(2025·安徽省合肥市·三模)如图，小云同学在“探索一次函数y=kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点
A(4,4)，点B(m,n)在第一象限内，若一次函数y=kx+b图象经过A,B，则下列判断不正确的是（ ）
A．当m=n时，b=0
B．当m>n>4时，k>0
C．当m+n=4时，k>0
D．当m<n时，b<0
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数上点的特征，平面直角坐标系及不等式的性质，根据题意可得{4=4k+b
n=mk+b
，且
m>0,n>0，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ．
【详解】解：根据题意得{4=4k+b
n=mk+b
，且m>0,n>0，
解得：{
k=
4−n
4−m
b=
4(n−m)
4−m
，
A、当m=n时，b=
4(n−m)
4−m =0，故A 正确，不符合题意；
B、当m>n>4时，则4−n<0,4−m<0，则k=
4−n
4−m>0，故B 正确，不符合题意；
C、当m+n=4时，则m=4−n，且0<m<4,0<n<4，
∴k=
4−n
4−m =
4−n
4−(4−n) =
4−n
n >0，故C 正确，不符合题意；
D、当m<n时，则m−n<0，
当m>4时，则b=
4(n−m)
4−m <0，当m<4时，则b=
4(n−m)
4−m >0，故D 错误，符合题意，
故选：D．
6．(24-25 八下·四川南充南部县第二中学·期末)如图，直线y=−
3
4 x−6与x 轴和y 轴分别交于A，B 两点，E、F
分别是OB，AB的中点，P 是x 轴上的一个动点，则PE+PF的最小值是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
66 /
A．2√13
B．5√2
C．3√6
D．4√13
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，中点坐标公式，两点间距离公式，先求出A，B 两点坐标，得
中点F 的坐标，求得点E 关于x 轴的对称点E′，求出直线FE′的解析式，交x 轴于点P，则PE+PF=PF+PE′，
当F、P、E′三点在同一条直线上时PE+PF最小，最小值为FE′，由两点间距离公式求出FE′即可．
【详解】解：对于直线 y=−
3
4 x−6，
当x=0时，y=−6；当y=0时，x=−8，
∴A(−8,0)，B(0,−6)，
由中点坐标公式得F(−4,−3)，E(0,−3)，
则点Ｅ关于ｘ轴对称的点E′的坐标为(0,3)，
连接FE′交ｘ轴于点Ｐ，则PE+PF=PF+PE′，
当F、P、E′三点在同一条直线上时PE+PF最小，最小值为FE′，
∵FE′=√(−4−0)2+(−3−3)2=2√13
学科网（北京）股份有限公司
67 /
故选：A．
7．(23-24 八上·安徽合肥第三十中学·)一次函数y=kx+k−1 无论k 取任何非0 值，它的图像总是过一个定点，
此点坐标为 ．
【答案】(−1,−1)
【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系及一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数图像
与性质是解题的关键．
根据题意，将一次函数改写为关于k 的关系式，再令k 的系数为零即可解决问题．
【详解】解：由y=kx+k−1
则：y+1=k(x+1)
当y+1=0，x+1=0，解得：y=−1，x=−1
∴此点坐标为(−1,−1)
故答案为：(−1,−1)．
8．(23-24 九上·湖南怀化洪江实验中学·期末)已知abc≠0且
a+b
c =
b+c
a =
c+a
b =p，那么直线y=px+p必经过第
象限．
【答案】二、三
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据
a+b
c =
b+c
a =
c+a
b =p，列出方程，然后根据一次函数的性质即可得出
答案，解题的关键是根据
a+b
c =
b+c
a =
c+a
b =p列出方程，然后讨论求解．
【详解】解：由题意可得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，
三式相加得：2(a+b+c)=p(a+b+c)，
∴p=2或a+b+c=0，
当p=2时，y=2x+2，直线通过第一、二、三象限，
当a+b+c=0时，则a+b=−c，
∴p=
a+b
c =−1(c≠0)，
∴ y=−x−1，则直线通过第二、三、四象限，
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，
故答案为：二、三．
9．(24-25 八下·重庆南川区三校联盟·期中)已知整数a 使得不等式组{
x+18
2 >3−x
x>a
的解集为x>−4，且使得一次函
数y=(a+7)x+5的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a 的和为 ．
学科网（北京）股份有限公司
68 /
【答案】−15
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组，利用一次函数的性质确定a的取值范
围是解决问题的关键．
先利用不等式组的解集的确定方法得到a≤−4，再根据一次函数的性质得到a+7>0，从而得到a的取值范围，
然后确定整数a的值，从而计算满足条件的整数a的和．
【详解】解：解不等式
x+18
2 >3−x，得x>−4，
∵不等式组{
x+18
2 >3−x
x>a
的解集为x>−4，
∴a≤−4，
∵一次函数y=(a+7)x+5的图象不经过第四象限，
∴a+7>0，
解得a>−7，
∴a的范围为−7<a≤−4，
∵a为整数，
∴a为−6、−5、−4，
∴满足条件的整数a的和为−6+(−5)+(−4)=−15．
故答案为：−15．
10．(24-25 七上·山东东营利津县（五四制）·期末)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(3,−3)，且与直线
y=−
4
3 x平行，求此一次函数的图象与y 轴的交点坐标为 ．
【答案】(0,1)
【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，根据两直线平行，得到k=−
4
3，待
定系数法求出函数解析式，进而求出x=0时的函数值，即可得出结果．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(3,−3)，且与直线y=−
4
3 x平行，
∴k=−
4
3，
把(3,−3)代入y=kx+b(k≠0)，得：−3=−
4
3 ×3+b，解得：b=1，
∴y=−
4
3 x+1，
∴当x=0时，y=1，
∴此一次函数的图象与y 轴的交点坐标为(0,1)；
学科网（北京）股份有限公司
69 /
故答案为：(0,1)．
11．(24-25 八下·福建厦门第一中学·期末)关于函数y=|x−1|+1，有下列结论：①函数过定点(1,1)；②函数的
对称轴在y轴左侧；③若−2<x<2，则1<y<4；④若0<x1<x2<2，则1<y1<y2<2，其中正确结论的序号为 ．
【答案】①
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
画出函数y=|x−1|+1大致图象，根据图象上点的坐标特征逐项分析判断即可．
【详解】解：画出函数y=|x−1|+1大致图象：
由图象可得函数过定点(1,1)，故①正确，符合题意
由图象可得函数的对称轴在y轴右侧，故②错误，不符合题意；
当x=−2,y=|−2−1|+1=4，x=2,y=|2−1|+1=2，如图：
∴由图象可得−2<x<2，则1≤y<4，故③错误，不符合题意；
当0<x1<x2<2，y1与y2大小无法比较，故④错误，不符合题意；
正确的说法是①．
故答案为：①．
12．(25-26 八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)对于函数y=3x−3，在如图所示的平面直角坐标系中．
学科网（北京）股份有限公司
70 /
(1)画出函数的图象；
(2)填空：写出图象与x 轴的交点A 的坐标（____，____），与y 轴交点B 的坐标（____）；
(3)在（2）的条件下，求出△AOB的面积．
(4)直接写出该函数图象绕原点旋转180°后图象的函数表达式．
【答案】(1)见解析
(2)1，0；0,−3
(3)
3
2
(4)y=3x+3
【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算．
（1）分别令x=0，y=0，可求出与x 轴、y 轴的交点坐标，过两交点作直线即可．
（2）直接由（1）即可求解；
（3）根据三角形的面积公式解答即可；
（4）根据旋转的性质可得旋转后点A 的对应点的坐标为(−1,0)，点B 的对应点的坐标为(0,3)，再利用待定
系数法解答，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当x=0时，y=−3；当y=0时，x=1，画出图形如下：
学科网（北京）股份有限公司
71 /
（2）解：由（1）得：图象与x 轴的交点A 的坐标为(1,0)，与y 轴交点B 的坐标为(0,−3)；
故答案为：1，0；0,−3
（3）解：S△AOB=
1
2 OA×OB=
1
2 ×1×3=
3
2
（4）解：∵该函数图象绕原点旋转180°，
∴旋转后点A 的对应点的坐标为(−1,0)，点B 的对应点的坐标为(0,3)，
设旋转后的图象的解析式为y=kx+b，
∴{−k+b=0
b=3
，解得：{k=3
b=3
，
∴该函数图象绕原点旋转180°后图象的函数表达式为y=3x+3．
13．(24-25 八下·湖南长沙长沙县城区联考·期中)一次函数y=(2m+1)x+m−3
(1)若函数图象经过原点，求m 的值；
(2)若函数图象平行于直线y=3x−3，求该函数解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)在（1）的条件下，将正比例函数的图象向下平移4 个单位，求出平移后的直线解析式．
【答案】(1)3
(2)y=3x−2，见解析
(3)y=7x−4
【分析】本题考查一次函数图象的平移，画一次函数图象，熟练掌握平移规则，是解题的关键：
（1）根据图象过原点，得到m−3=0，进行求解即可；
（2）根据两直线平行，k值相等，得到2m+1=3，进行求解，描点，连线画出函数图象即可；
（3）根据平移规则，上加下减，进行求解即可．
【详解】（1）解：因为函数图象经过原点，
所以m−3=0，
解得m=3，
学科网（北京）股份有限公司
72 /
故m 的值为3．
（2）因为函数图象平行于直线y=3x−3，
所以2m+1=3，
解得m=1，
所以一次函数解析式为y=3x−2．
当x=0时，y=−2；当x=1时，y=3−1=1，
画出函数图象如图所示，
（3）由（1）知，正比例函数的解析式为y=7x，
所以此函数图象向下平移4 个单位所得函数图象的解析式为y=7x−4．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线l与y轴、x轴分别交于A(0,4)，B(−4,0)两点，以线段AB为一直角边向
直线l左侧作等腰直角△ABC．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)将直线l向上平移m个单位长度，当直线l与线段AC有交点时，求m的取值范围；
(3)已知点D与点A关于BC对称，若直线l上存在一点P，使得△ADP是以AD为腰的等腰三角形，请求出点P的
坐标．
【答案】(1)y=x+4
(2)0≤m≤8
(3)(4√2,4√2+4)或(−4√2,4−4√2)或(−8,−4)
学科网（北京）股份有限公司
73 /
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点C的坐标，再求得平移后直线l的解析式为y=x+4+m，根据题意，结合图形即可求解；
（3）根据轴对称的特点求得点D(−8,4)，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）解：∵直线l经过点A(0,4)，B(−4,0)，
∴设直线l的解析式为y=kx+4，
将B(−4,0)代入得0=−4k+4，
解得k=1，
∴直线l的解析式为y=x+4；
（2）解：∵点A(0,4)，B(−4,0)，
∴OA=OB=4，
∴AB=√42+42=4√2，∠OAB=∠OBA=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB=4√2，∠ABC=∠OBA=45°，
∴BC=√AB2+AC2=8，∠OBC=90°，
∴点C的坐标为(−4,8)，
∵将直线l向上平移m个单位长度，则平移后直线l的解析式为y=x+4+m，
将(−4,8)代入得8=−4+4+m，
解得m=8，
∴m的取值范围是0≤m≤8；
（3）解：∵点D与点A关于BC对称，点A(0,4)，
∴点D(−8,4)，
∴AD=8，
当AD=DP1=8时，此时△ADP1是等腰直角三角形，
∴点P1的横坐标为−8，
学科网（北京）股份有限公司
74 /
∴点P1的纵坐标为y=−8+4=−4，
∴点P1的坐标为(−8,−4)；
当AD=AP2=8时，
作P2E⊥y轴于点E，
∵∠BAO=45°，
∴△AP2E是等腰直角三角形，
∴AE=P2E，
∵AE2+P2E2=AP2
2=82，
∴AE=P2E=4√2，
∴点P2的坐标为(−4√2,4−4√2)；
同理点P3的坐标为(4√2,4√2+4)；
综上，点P的坐标为(4√2,4√2+4)或(−4√2,4−4√2)或(−8,−4)．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数图象的平
移，数形结合是解题的关键．
15．(24-25 八下·内蒙古赤峰·期末)对于函数y=|2x+m|（m 为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的
图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题．
(1)当m=0时，函数为y=|2x|；当m=7时，函数为y=|2x+7|，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．
观察函数图象可知：函数y=|2x|的图象关于_______对称：
对于函数y=|2x+7|，当x=_______时，y=3；
(2)当m=−4时，函数为y=|2x−4|
①在图中画出函数y=|2x−4|的图象：
②对于函数y=|2x−4|，当1<x<3时，y的取值范围是________；
(3)结合函数y=|2x|，y=|2x+7|和y=|2x−4|的图象，可知函数y=|2x+m|(m≠0)的图象可由函数y=|2x|的图象平移
得到，它们具有类似的性质．若m>0，写出由函数y=|2x|的图象得到函数y=|2x+m|的图象的平移方式．
学科网（北京）股份有限公司
75 /
【答案】(1)y 轴，−5或−2；
(2)①见解析；②0≤y<2
(3)将函数y=|2x|的图象向左平移
m
2个单位长度，得到函数y=|2x+m|的图象
【分析】（1）根据x=±1时，y=2，x=±2时，y=4，得到函数y=|2x|的图象关于y 轴对称；
根据函数y=|2x+7|中，y=3，得到x=−5，或x=−2；
（2）①在y=|2x−4|中，取A(2,0)，B(0,4)，C(4,4)作射线AB，AC，即得函数y=|2x−4|的图象；②根据函数图
象关于直线x=2对称，点(1,2)，(3,2)对称，在1<x<3范围内，0≤y<2；
（3）根据函数图象的平移规律进行解答即可．
【详解】（1）∵y=|2x|中，当x=±1时，y=2，当x=±2时，y=4，
∴函数y=|2x|的图象关于y 轴对称；
∵函数y=|2x+7|中，y=3，
∴|2x+7|=3，
∴2x+7=±3，
解得，x=−5，或x=−2，
∴当x=−5，或x=−2时，y=3；
故答案为：y 轴，−5或−2；
（2）①在y=|2x−4|中，令x=0，则y=4，令x=2，则y=0，令x=4，则y=4，
过A(2,0)，B(0,4)，C(4,4)作射线AB，AC，即得函数y=|2x−4|的图象；
②由函数图象看出，函数图象关于直线x=2对称，点(1,2)，(3,2)对称，顶点是(2,0)，
∴当1<x<3时，0≤y<2；
故答案为：0≤y<2 ；
（3）将函数y=|2x|的图象向左平移
m
2个单位长度，得到函数y= |2 (x+
m
2)|即y=|2x+m|的图象
【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性
学科网（北京）股份有限公司
76 /
质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键．
