文档内容
第 13 讲 一次函数【11 个必考点】
【人教版】
【知识点1 一次函数的定义】..................................................................................................................................2
【必考点1 一次函数的定义】..................................................................................................................................2
【知识点2 一次函数的图象和性质】.....................................................................................................................3
【必考点2 确定系数判断一次函数的图象】.........................................................................................................4
【必考点3 两个一次函数图象的判断】.................................................................................................................6
【必考点4 一次函数的性质】................................................................................................................................10
【必考点5 利用一次函数的增减性比较大小】...................................................................................................13
【必考点6 根据一次函数的增减性求参数范围】...............................................................................................14
【必考点7 画一次函数的图象】............................................................................................................................17
【知识点3 一次函数图象的平移】.......................................................................................................................23
【必考点8 一次函数图象的平移】.......................................................................................................................24
【知识点4 待定系数法求一次函数解析式】.......................................................................................................25
【必考点9 待定系数法求一次函数解析式】.......................................................................................................26
【必考点10 用平移法确定一次函数解析式】.....................................................................................................28
【必考点11 由几何条件求一次函数解析式】.....................................................................................................30
【知识点1 一次函数的定义】
一般地，形如 y=kx+ b （ k ， b 是常数且 k≠ 0 ） 的函数是一次函数。
注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量系数为 1 。b为任意实数。当b的值等于 0 时，一次函
数变成正比例函数。
【必考点1 一次函数的定义】
3 1
【例1】函数①y＝kx+b；②y＝2x；③y= ；④y= x+3；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（
x 3
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此判断即可．
【解答】解：①当k≠0，y＝kx+b才是一次函数；
②是一次函数；
③不是一次函数；④是一次函数；
⑤不是一次函数；
故是一次函数的有②④，共2个，
故选：B．
【例2】要使y＝（m﹣2）x|m﹣1|+3是关于x的一次函数，则m＝ ．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m的
值．
【解答】解：根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，|m﹣1|＝1，
由|m﹣1|＝1，解得：m＝0或2，
又m﹣2≠0，m≠2，
∴m＝0．
故答案为：0．
1
【变式1】下列函数（1）y＝ x；（2）y＝﹣2x+1；（3）y= ；（4）y＝x2﹣1；（5）y＝kx+b（k，b是
x
π
常数）中，一次函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义分析即
可．
【解答】解：（1）y＝ x是一次函数；
（2）y＝﹣2x+1是一次π函数；
1
（3）y= 自变量的次数不是1，不是一次函数；
x
（4）y＝x2﹣1自变量的次数不是1，不是一次函数；
（5）y＝kx+b（k，b是常数）当k≠0时，是一次函数，
（1）（2）是一次函数，共2个，
故选：B．
3
【变式2】给出下列函数：①x+y＝0；②y＝x+2；③y+3＝3（x+1）；④y＝2x2+1；⑤y= +2；⑥y
x
＝kx+3．其中y一定是x的一次函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：①x+y＝0，y＝﹣x符合一次函数的定义，②y＝x﹣2 符合一次函数的定义，
③y+3＝3（x﹣1）符合一次函数的定义，
④y＝2x2+1 不符合一次函数的定义，
3
⑤y= +2不符合一次函数的定义，
x
⑥y＝kx+3不符合一次函数的定义，
故选：B．
1 1
【变式3】若关于x的函数y=(m2− )x2 +(m+ )x+1是一次函数，则m的值为 ．
4 2
【分析】根据一次函数的定义即可作答．
1 1
【解答】解：∵关于x的函数y=(m2− )x2 +(m+ )x+1是一次函数，
4 2
1 1
∴m2− =0且m+ ≠0，
4 2
1
∴m= ．
2
1
故答案为： ．
2
【知识点2 一次函数的图象和性质】
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此,画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画直线
就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
2.一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
3.一次函数图象经过的象限
【必考点2 确定系数判断一次函数的图象】
【例1】若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx+m﹣n的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据点（m，n）在第二象限，可得m＜0，n＞0，利用一次函数的图象与性质的关系即可得出
答案．
【解答】解：∵点（m，n）在第二象限，
∴m＜0，n＞0，
∴m﹣n＜0，
∴一次函数y＝nx+m﹣n图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
【变式1】一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数 y＝mx﹣m的图象经过第一、三、四象限或
一、二、四象限，此题得解．
【解答】解：由A选项：由一次函数经过第一、三象限，则m＞0，则﹣m＜0，故图象经过第一、三、
四象限，
C选项图象经过原点，则m＝0，不合题意；
由D选项一次函数经过第二、四象限，则m＜0，则﹣m＞0，故图象经过第一、二、四象限，故只有选
项B符合题意．
故选：B．
【变式2】若式子❑√k−2+（k﹣2）0有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据式子❑√k−2+（k﹣2）0有意义，可以求得k的取值范围，然后即可得k﹣2和2﹣k的正
负，从而可以一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过的象限．
【解答】解：∵式子❑√k−2+（k﹣2）0有意义，
{k−2≥0)
∴ ，
k−2≠0
解得k＞2，
∴k﹣2＞0，2﹣k＜0，
∴一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
【变式3】已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大
致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、
四象限，与y轴的交点在x轴上方．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【必考点3 两个一次函数图象的判断】
【例1】两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定 a、b
的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．
【解答】解：A、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、
三象限，所以A选项不符合题意；
B、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＜0，y＝bx+a经过第二、四象限，与y轴的
交点在x轴上方，所以B选项符合题意；
C、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以
C选项不符合题意；
D、对于y＝ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，若b＞0，则y＝bx+a经过第一、三象限，所以D
选项不符合题意．
故选：B．
【例2】一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数 y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可
得kb的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
【解答】解：A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0，则kb＜0；由正比例函数y＝kbx的图象可
知kb＜0，故此选项符合题意；
B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛
盾，故此选项不符合题意；
C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛
盾，故此选项不符合题意；
D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛
盾，故此选项不符合题意；
故选：A．
1
【变式1】正比例函数y＝2kx和一次函数y＝kx− 的大致草图是（ ）
k
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
1
【解答】解：A、∵正比例函数y＝2kx图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数y=kx− 的图象
k
应该经过第一、三、四象限．故本选项错误；
1
B、∵正比例函数y＝2kx图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数y=kx− 的图象应该经过第
k
一、三、四象限．故本选项正确；
1
C、∵正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数y=kx− 的图象应该经过第一、二、
k
四象限．故本选项错误；
1
D、∵正比例函数图象经过第二、四象限，则 k＜0．则一次函数y=kx− 的图象应该经过第一、二、
k
四象限．故本选项错误；
故选：B．
【变式2】若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据kb＜0，b﹣k＞0，可以得到k、b的正负情况，从而可以得到函数y＝kx+b与y＝bx+k的图
象经过哪几个象限．
【解答】解：∵kb＜0，
∴k、b异号，
∵b﹣k＞0，
∴b＞0，k＜0，
∴函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，函数y＝bx+k的图象经过第一、三、四象限，
故选：D．b
【变式3】直线l ：y＝kx﹣b（k，b为常数且k，b≠0）和直线l ：y= x+2b（k，b为常数且k，b≠0）
1 2 k
在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据直线l 经过的象限，得出k和b的符号，然后再判断直线l 的k和b的符号是否与直线
1 2
l 一致，据此即可得出答案．
1
b
【解答】解：A．直线l ：y＝kx﹣b中，k＞0，b＜0，l ：y= x+2b中，b＞0，不一致，故本选项不
1 2 k
符合题意；
b b
B．直线l ：y＝kx﹣b中，k＞0，b＜0，l ：y= x+2b中 ＜0，b＜0，则k＞0，一致，故本选项符
1 2 k k
合题意；
b
C．直线l ：y＝kx﹣b中，k＜0，b＞0，l ：y= x+2b中，b＜0，不一致，故本选项不符合题意；
1 2 k
b
D．直线l ：y＝kx﹣b中，k＜0，b＞0，l ：y= x+2b中，b＜0，不一致，故本选项不符合题意．
1 2 k
故选：B．
【必考点4 一次函数的性质】
【例1】关于一次函数y＝﹣4x+8，下列结论不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴的交点坐标是（0，8）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0）
【分析】A．由k＝﹣4＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小；B．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝﹣4x+8的图象与y轴的交点是（0，8）；
C．由k＝﹣4＜0，b＝8＞0，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝﹣4x+8的图象经过
第一、二、四象限；
D．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝﹣4x+8的图象与x轴的交点是（2，0）．
【解答】解：A．∵k＝﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意；
B．当x＝0时，y＝﹣4×0+8＝8，
∴一次函数y＝﹣4x+8的图象与y轴的交点是（0，8），选项B不符合题意；
C．∵k＝﹣4＜0，b＝8＞0，
∴一次函数y＝﹣4x+8的图象经过第一、二、四象限，选项C不符合题意；
D．当y＝0时，﹣4x+8＝0，
解得：x＝2，
∴一次函数y＝﹣4x+8的图象与x轴的交点坐标是（2，0），选项D符合题意．
故选：D．
【例2】已知一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）．
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？
（3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？
【分析】（1）根据一次函数的性质得出不等式4m+1＜0，求出不等式的解集即可；
（2）根据一次函数的性质得出不等式﹣（m+1）＜0，求出不等式的解集即可；
（3）根据一次函数的性质得出不等式4m+1＜0和﹣（m+1）＜0，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1），
∵y随x的增大而减小，
∴4m+1＜0，
1
解得：m＜− ，
4
1
答：当m＜− 时，y随x的增大而减小．
4
（2）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1），
∵直线与y轴的交点在x轴下方，
∴﹣（m+1）＜0，1
解得：m＞﹣1，且m≠− ，
4
1
答：当m＞﹣1且m≠− 时，直线与y轴的交点在x轴下方．
4
（3）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1），
∵直线位于第二、三、四象限，
∴4m+1＜0且﹣（m+1）＜0，
1
解得：﹣1＜m＜− ，
4
1
答：当：﹣1＜m＜− 时，直线位于第二、三、四象限．
4
1
【变式1】下列四个选项中，不符合直线y= x﹣3的性质与特征的是（ ）
2
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于点（﹣2，0） D．与y轴交于点（0，﹣3）
1
【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出直线y= x﹣3经过第一、三、四象限，y随x的增大而
2
增大，可判断A，B；令y＝0，求得y＝6，令x＝0，求得y＝﹣3，即可得出直线与x轴的交点为（6，
0），与y轴的交点为（0，﹣3），可判断C，D．
1
【解答】解：A．∵k= ＞0，b＝﹣3＜0，
2
1
∴直线y= x﹣3经过第一、三、四象限，故选项A不符合题意；
2
1
B．∵k= ＞0，
2
∴y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
1
C．∵当y＝0时，y= x﹣3＝0，
2
解得：x＝6，
∴与x轴交于点（6，0），故选项C符合题意；
1
D．∵当x＝0时，y= x﹣3＝﹣3，
2
∴函数图象与y轴交于点（0，﹣3），故选项D不符合题意；
故选：C．【变式2】在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，可知2m﹣1＞0，然后根
据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，
∴2m﹣1＞0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【变式3】一次函数y＝mx+m+1的图象一定经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】将一次函数的解析式变形，可以写出当 x＝﹣1时，y＝1，从而可以得到该函数图象一定经过
的象限．
【解答】解：一次函数y＝mx+m+1＝m（x+1）+1，
∴当x＝﹣1时，y＝1，
∴该函数图象一定过点（﹣1，1），
∴该函数一定经过第二象限
故选：B．
【变式4】已知函数y＝（2m+3）x+m﹣1，
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；
（3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；
（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解；
（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，即b＝﹣3；
（3）两条直线平行，即k值相等；
（4）直线y＝kx+b中，y随x的增大而减小说明k＜0．
【解答】解：（1）把（0，0）代入，得：m﹣1＝0，m＝1；
（2）根据截距的定义，得：m﹣1＝﹣3，m＝﹣2；
（3）根据题意，得2m+3＝1，m＝﹣1；
3
（4）根据y随x的增大而减小说明k＜0．即2m+3＜0，m＜− ．
2【必考点5 利用一次函数的增减性比较大小】
【例1】已知关于x的一次函数y＝（k2+3）x﹣2的图象经过点A（2，m）、B（﹣3，n），则m，n的大
小关系为（ ）
A．m≥n B．m≤n C．m＞n D．m＜n
【分析】利用偶次方的非负性可得出k2+3＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结
合2＞﹣3即可得出m＞n．
【解答】解：∵k2≥0，
∴k2+3＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵2＞﹣3，
∴m＞n．
故选：C．
【变式1】若点A（﹣2，y ），B（3，y ），C（1，y ）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1
【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得
出y ＞y ＞y ．
1 3 2
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣2，y ），B（3，y ），C（1，y ）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2
1 2 3
＜1＜3，
∴y ＞y ＞y ．
1 3 2
故选：C．
【变式2】已知点P（m，y ），点Q（m+3，y ）在一次函数 y＝﹣2x+3的图象上，则下列正确的是
1 2
（ ）
A．y ＞y B．y ＜y C．y ≥y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴函数y＝﹣2x+3的值随x的增大而减小，
∵m＜m+3，
∴y ＞y ，
1 2故选：A．
x
【变式3】点（﹣t﹣1，y ），（﹣t﹣3，y ）在一次函数y=− −b的图象上，则y 与y 的大小关系是（
1 2 2 1 2
）
A．y ＜y B．y ＝y C．y ＞y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【分析】根据解析式得到y随x增大而减小，再由﹣t﹣1＞﹣t﹣3，即可得到答案．
1
【解答】解：由题意得，k=− ＜0，
2
∴y随x增大而减小，
x
∵点（﹣t﹣1，y ），（﹣t﹣3，y ）在一次函数y=− −b的图象上，且﹣t﹣1＞﹣t﹣3，
1 2 2
∴y ＜y ，
1 2
故选：A．
【必考点6 根据一次函数的增减性求参数范围】
【例1】已知一次函数y＝（3m﹣5）x+2﹣m（m为正整数）的函数y随x的增大而减小，当y＞0时，x的
取值范围为（ ）
1 1 1 1
A．x＜− B．x＜ C．x＞− D．x＞
2 2 2 2
【分析】先根据一次函数的增减性和m为正整数求出m的值，然后求出与x轴的交点即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（3m﹣5）x+2﹣m（m为正整数）的函数y随x的增大而减小，
∴3m﹣5＜0，
5
∴m＜ ，
3
∵m为正整数，
∴m＝1，
∴y＝﹣2x+1．
当y＝0时，0＝﹣2x+1，
1
∴x= ，
2
∵y随x的增大而减小，
1
∴当y＞0时，x的取值范围为x＜ ．
2
故选：B．【例2】若点A（x ，y ）和B（x ，y ）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x ＜x
1 1 2 2 1 2
时，y ＞y ，则k的值可能是（ ）
1 2
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3
【分析】由当x ＜x 时y ＞y ，利用一次函数的性质可得出k﹣1＜0，解之即可得出k的取值范围，再对
1 2 1 2
照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵点A（x ，y ）和B（x ，y ）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且
1 1 2 2
当x ＜x 时，y ＞y ，
1 2 1 2
即y随x的增大而减小，
∴k﹣1＜0，
∴k＜1，
∴k的值可能是0．
故选：A．
【变式1】若A（x ，y ）、B（x ，y ）是一次函数y＝ax+x﹣2图象上的不同的两点，记m＝（x ﹣x ）（
1 1 2 2 1 2
y ﹣y ），则当m＜0时，a的取值范围是（ ）
1 2
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1
【分析】根据一次函数的性质知，当k＜0时，判断出y随x的增大而减小．
【解答】解：∵A（x ，y ）、B（x ，y ）是一次函数y＝ax+x﹣2＝（a+1）x﹣2图象上的不同的两点，
1 1 2 2
m＝（x ﹣x ）（ y ﹣y ）＜0，
1 2 1 2
∴该函数图象是y随x的增大而减小，
∴a+1＜0，
解得 a＜﹣1．
故选：C．
【变式2】已知点A（m，y ）和点B（m+1，y ）在一次函数y＝（t﹣1）x+1的图象上，且y ＜y ，则常数
1 2 1 2
t的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】由题意可知一次函数的函数值y随x的增大而增大，进而得到t﹣1＞0，最后求得t的取值范围
选出答案．
【解答】解：由题意得，一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∴t﹣1＞0，
∴t＞1，
故选：D．x −x
【变式3】A（x ，y ）、B（x ，y ）是直线y＝（m﹣2）x+5图象上相异的两点，若
1 2＞0，则m的
1 1 2 2 y −y
1 2
取值范围（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
【分析】根据题意，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m﹣2＞0，解之可得出
m的取值范围．
x −x
【解答】解：∵A（x ，y ）、B（x ，y ）是直线y＝（m﹣2）x+5图象上相异的两点，且
1 2＞0
1 1 2 2 y −y
1 2
，
∴（x ﹣x ）与（y ﹣y ）同号，
1 2 1 2
∴y随x的增大而增大，
∴m﹣2＞0，
解得：m＞2．
故选：A．
【变式4】若一次函数y＝（2﹣2k）x﹣k的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k
的取值范围是 ．
【分析】由一次函数y＝（2﹣2k）x﹣k （k≠0）的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第
二象限可得出k的范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（2﹣2k）x﹣k 的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象
限，
∴2﹣2k＞0，﹣k≤0，
解得0≤k＜1，
故答案为：0≤k＜1．
【必考点7 画一次函数的图象】
1
【例1】已知一次函数y=− x+2．
2
（1）自变量x的取值范围是 ；
（2）将下面列表表示的部分数值补充完整；
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 1.5 …（3）在图中画出该函数的图象；
（4）该图象与x轴的交点坐标是 ．
【分析】（1）根据一次函数的性质可得出自变量的取值范围．
（2）求一次函数的函数值并补充表格即可．
（3）利用描点法画出一次函数即可．
（4）另y＝0，求出x的值，即可得出该图象与x轴的交点坐标．
1
【解答】解：（1）一次函数y=− x+2自变量x的取值范围是全体实数．
2
故答案为：全体实数；
1 1
（2）当x＝﹣1时，y=− x+2=− ×(−1)+2=2.5，
2 2
1 1
当x＝0时，y=− x+2=− ×0+2=2，
2 2
1 1
当x＝2时，y=− x+2=− ×2+2=1，
2 2
列表补充完整如下：
x …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 ……
y …… 3 2.5 2 1.5 2 ……
（3）该函数的图象如下：1
（4）另y＝0，则− x+2=0，
2
解得：x＝4，
故该图象与x轴的交点坐标是（4.0）．
故答案为：（4，0）．
【例2】萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数 y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函
数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k …
（1）直接填空：k＝ ；
（2）描点并正确地画出该函数图象；
（3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 ；
②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质： ．
【分析】（1）把x＝1代入函数关系式进行计算即可；
（2）描点、连线画出函数图象即可；
（3）①观察图形可知（﹣2，﹣2）是该函数图象的最低点，即可解答，
②观察图象可从该图象的对称性，增减性解答即可．
【解答】解：（1）当x＝5时，y＝|5﹣2|﹣2＝1，
∴k＝1，
故答案为：1；
（2）描点、连线画出该函数图象如图；（3）①根据函数图象可得，该函数的最小值为：﹣2；
②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质：
第一条：图象关于直线x＝2对称；
第二条：当x＞2时，y随着x的增大而增大．
【变式1】用“列表﹣描点﹣连线”的方法画出函数y＝2x+1的图象．
（1）列表：下表是y与x的几组对应值，请补充完整．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣3 3 …
（2）描点连线：在平面直角坐标系中，将各点进行描点、连线，画出函数y＝2x+1的图象．
【分析】（1）将表格中x的值代入函数解析式，求出相应的y的值即可；
（2）在坐标系中描点连线即可．
【解答】解：（1）补充表格如下．y＝2x+1x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣3 ﹣1 1 3 5 …
（2）描点，连线，函数图象如图所示；
【变式2】绘制函数图象并回答问题．
（1）画出函数y＝|x﹣1|的图象；
x
y
（2）画图步骤：①列表；② ；③ ；
（3）当 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大．
【分析】（1）取符合函数表示的9组值进行作答即可；
（2）根据画图步骤进行作答即可；
（3）观察图象即可作答．
【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝5，当x＝﹣3时，y＝4，
当x＝﹣2时，y＝3，
当x＝﹣1时，y＝2，
当x＝0时，y＝1，
当x＝1时，y＝0，
当x＝2时，y＝1，
当x＝3时，y＝2，
当x＝4时，y＝3，
当x＝5时，y＝4，
图象见下图：
故答案为：﹣4；﹣3；﹣2；﹣1；0；1；2；3；4；5；5；4；3；2；1；0；1；2；3；4．
（2）画图步骤：①列表、②描点、③连线．
故答案为：描点；连线．
（3）当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＞1．
【变式3】综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？
请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x+1|﹣3的图象．
（1）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 m ﹣1 ﹣3 ﹣1 n 3 …表格中m＝ ，n＝ ；
（2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1： ；
结论2： ．
【分析】（1）将x＝﹣3，x＝1代入解析式求出m、n值即可；
（2）画出函数图象即可；
（3）根据图像，写出两个性质即可．
【解答】解：（1）将x＝﹣3，x＝（1分）别代入y＝2|x+1|﹣3得：
m＝2|﹣3+1|﹣3，n＝2|1+1|﹣3，
解得：m＝1，n＝1．
故答案为：1；1；
（2）如图，
（3）根据题意得：（答案不唯一）
结论1：函数y＝2|x+1|﹣3有最小值，最小值为y＝﹣3；
结论2：函数y＝2|x+1|﹣3的图象关于直线x＝﹣1对称．【知识点3 一次函数图象的平移】
1.一次函数的左右平移：
函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。
①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y= k（ x+ a） +b 。
②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y= k（ x - a） +b 。
2.一次函数的上下平移：
函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。
①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+ a 。
②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+ b - a 。
【必考点8 一次函数图象的平移】
【例1】将直线l ：y＝﹣2x+1平移后，得到直线l ：y＝﹣2x+3，则下列平移作法正确的是（ ）
1 2
A．将l 向下平移2个单位长度
1
B．将l 向下平移4个单位长度
1
C．将l 向右平移1个单位长度
1
D．将l 向右平移2个单位长度
1
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行计算即可．
【解答】解：将直线y＝﹣2x+1向上平移2个单位后得到直线y＝﹣2x+3，故A、B错误；
y＝﹣2x+1向右平移1个单位长度为y＝﹣2（x﹣1）+1＝﹣2x+2+1＝﹣2x+3，即y＝﹣2x+3，故C正
确，D错误．
故选：C．
【例2】若直线y＝2x﹣1向下平移2个单位长度后经过点（2，m），则m的值为（ ）
A．1 B．7 C．10 D．﹣2
【分析】先根据平移规律求出直线y＝2x﹣1向下平移2个单位长度后的直线解析式，再把点（2，m）
代入，即可求出m的值．
【解答】解：直线y＝2x﹣1向下平移2个单位长度后得到直线y＝2x﹣3，
把点（2，m）代入，得m＝4﹣3＝1．
故选：A．
【变式1】已知直线l ：y＝3x+1平移之后的直线为l ：y＝3x﹣3，则下面平移方式正确的是（ ）
1 2
A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位
4 8
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
3 3【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可．
【解答】解：∵直线l ：y＝3x+1平移之后的直线为l ：y＝3x﹣3，
1 2
∴设直线y＝3x+1平移a个单位后得到直线y＝3x﹣3，
∴3（x+a）+1＝3x﹣3，
4
解得a=− ．
3
∴C符合题意．
故选：C．
【变式2】将直线y＝kx+b向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线y＝2x，则（ ）
A．k＝2，b＝﹣8 B．k＝﹣2，b＝2 C．k＝1，b＝﹣4 D．k＝2，b＝4
【分析】根据直线y＝kx+b向左平移2个单位，变为y＝（k+2）x+b，再向上平移4个单位，变为y＝k
（x+2）+b+4，然后结合得到直线y＝2x，即可解出k和b的值．
【解答】解：直线y＝kx+b向左平移2个单位，变为y＝（k+2）x+b，
再向上平移4个单位，变为y＝k（x+2）+b+4，
∵得到直线y＝2x，
∴k＝2，2k+b+4＝0，
∴k＝2，b＝﹣8，
故选：A．
【变式3】在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+1向上平移m（m＞0）个单位长度，再向左平移m个单位
长度后，得到新的直线经过点（2，14），则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则及待定系数法进行解答即可．
【解答】解：平移后的直线解析式为y＝2（x+m）+1+m．
把（2，14）代入y＝2（x+m）+1+m得14＝2×（2+m）+1+m，
解得m＝3．
故选：C．
【知识点4 待定系数法求一次函数解析式】
（1）设：设所求一次函数的解析式为 ；
待定系数法 （2）代：将图象上的点 的横坐标、纵坐标分别代换
的步骤
，得到方程组（3）解：解关于 的值代入 中，从而得到函数解析式
（1）两点型：直接运用待定系数法求解；
常见类型
（2）平移型：由平移前后 k 不 变 ，设出平移后的函数解析式，再代入已知
点坐标即可
【必考点9 待定系数法求一次函数解析式】
【例1】已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式
是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5
【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，
{k+b=−2)
∴ ，
b=−5
{ k=3 )
解得： ，
b=−5
故它的解析式是：y＝3x﹣5．
故选：D．
【例2】若一次函数y＝kx+b在y轴上的截距为﹣4且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则此一次函数解
析式为
【分析】先根据截距可确定b的值，再有与两坐标轴所围的面积可求得与x轴的交点坐标（﹣2，0）或
（2，0），利用待定系数法可求得一次函数的解析式．
【解答】解：函数与y轴的截距为﹣4，即b＝﹣4，
又函数与两坐标所围面积为4．
1
即 ×4×|x|＝4，
2
解得x＝±2，
∴一次函数与x轴的交点为（﹣2，0）或（2，0），
①当交点为（﹣2，0）时，代入函数解析式，
解得k＝﹣2，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4．
②当交点为（2，0）时，代入函数解析式，
解得k＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣4．综上所述一次函数的解析式为y＝2x﹣4或y＝﹣2x﹣4．
【例3】已知y+1与x﹣2成正比例，且x＝1时，y＝3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）请判断点P（2，1）是否在这条直线上，并说明理由．
【分析】（1）利用正比例函数的定义设y+1＝k（x﹣2），然后把已知对应的值代入求出k，从而得到y
与x之间的函数关系式；
（2）通过一次函数图象上的坐标特征进行判断．
【解答】解：（1）设y+1＝k（x﹣2），
把x＝1，y＝3代入得3+1＝k（1﹣2），
解得k＝﹣4，
∴y＝﹣4（x﹣2）﹣1＝﹣4x+7，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+7；
（2）当x＝2时，y＝﹣4×2+7＝﹣1，
∴点（2，1）不在该函数的图象上．
【变式1】一次函数y＝kx+b（k≠0，b为常数）的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 1 2a 2a+3 …
则该一次函数的表达式为（ ）
A．y＝x+1 B．y＝2x+1 C．y＝3x+1 D．y＝4x+1
【分析】把表中的三组对应值分别代入y＝kx+b得到方程组，然后解方程组即可．
{ b=1 )
【解答】解：根据题意得 k+b=2a ，
2k+b=2a+3
{k=3)
解得 ，
b=1
所以一次函数解析式为y＝3x+1．
故选：C．
【变式2】已知直线y＝kx+b经过A（5，0），且这条直线与坐标轴所围成的三角形面积为10，则直线y＝
kx+b的解析式为 ．
【分析】先根据三角形面积公式求出b＝4或﹣4，然后分类：当b＝4，则y＝kx+4，把（5，0）代入求
出对应k的值；当b＝﹣4，则y＝kx﹣4，把（5，0）代入求出对应k的值．
【解答】解：当x＝0时，y＝b，则直线与y轴的交点坐标为（0，b），1
根据题意得 ×5×|b|＝10，
2
解得b＝4或b＝﹣4，
4
当b＝4，则y＝kx+4，把（5，0）代入得5k+4＝0，解得k=− ；
5
4
当b＝﹣4，则y＝kx﹣4，把（5，0）代入得5k﹣4＝0，解得k= ；
5
4 4
所以直线的解析式为y=− x+4或y= x﹣4．
5 5
4 4
故答案为：y=− x+4或y= x﹣4．
5 5
【变式3】已知y与3x﹣2成正比例，且当x＝2时，y＝8．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知点P（a+2，b）在此函数图象上，求代数式10﹣6a+b的值．
【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征解答后得到﹣6a+b＝8，再整体代入所求代数式求值即可．
【解答】解：（1）根据题意设y＝k（3x﹣2），
∵当x＝2时，y＝8．
∴8＝4k．解得k＝2，
∴y与x的函数关系式为：y＝6x﹣4；
（2）∵点P（a+2，b）在函数图象上，
∴b＝6（a+2）﹣4，整理得﹣6a+b＝8，
∴10﹣6a+b＝10+8＝18．
【必考点10 用平移法确定一次函数解析式】
【例1】已知直线l经过（2，0）和（0，﹣3），把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位
得到直线l′，则直线l′的解析式为 ．
【分析】设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0），将（2，0）和（0，﹣3）分别代入y＝kx+b（k≠0）
中，求出直线l的表达式，进而得出答案．
【解答】解：设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，0）和（0，﹣3）分别代入y＝kx+b（k≠0）中，
{2k+b=0)
即 ，
0+b=3{ k= 3 )
解得： 2 ，
b=−3
3
则直线l的表达式为y= x﹣3，
2
∵直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′，
3
∴直线l′的表达式为y= （x+2）﹣3﹣1，
2
3
即直线l′的表达式为y= x﹣1．
2
3
故答案为：y= x﹣1．
2
1
【变式1】一次函数y=− x+2向上平移a个单位后，经过点（﹣3，2a），则平移后的解析式为
3
．
【分析】利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点点（﹣3，2a）代入得到关于a的方程，解方程
即可．
1 1
【解答】解：一次函数y=− x+2向上平移a个单位后得到y=− x+2+a，
3 3
∵经过点（﹣3，2a），
∴2a＝1+2+a，
∴a＝3，
1
∴平移后的解析式为y=− x+5．
3
1
故答案为：y=− x+5．
3
【变式2】将直线y＝﹣2x向下平移后得到直线l，若直线l经过点（a，b），且2a+b＝﹣3，则直线l的解
析式为 ．
【分析】先根据平移的性质，得到直线 l的解析式为y＝﹣2x﹣m，再将点（a，b）代入，得到m＝﹣
（2a+b），进而求出m＝3，即可得到直线l的解析式．
【解答】解：设直线y＝﹣2x向下平移m个单位后得到直线l，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x﹣m，
∵直线l经过点（a，b），
∴﹣2a﹣m＝b，∴m＝﹣（2a+b），
∵2a+b＝﹣3，
∴m＝3，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x﹣3．
故答案为：y＝﹣2x﹣3．
【变式3】在直角坐标xOy中，直线l 与y＝2x﹣3平行，且经过点（0，5），将直线l 向上平移3个单
1 1
位，得到直线l
2
（1）求这两条直线的解析式；
（2）如果直线l 与x轴、y轴分别交于点A，B，求△AOB的面积．
2
【分析】（1）根据平移可知k＝2，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据l 解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可．
2
【解答】解：（1）∵l 与y＝2x﹣3平行，
1
设直线l 的解析式为：y＝2x+b，
1
把点（0，5）代入得：b＝5，
∴直线l 的解析式为：y＝2x+5，
1
∴直线l 向上平移3个单位，得到直线l 的解析式为：y＝2x+5+3＝2x+8，
1 2
（2）解：令y＝0，则2x+8＝0，
解得：x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
当x＝0时，y＝8，
∴B（0，8）
1 1
∴S = OA×OB= ×4×8=16．
△ABO 2 2
【必考点11 由几何条件求一次函数解析式】
【例1】如图，把含45°角的直角三角板放置在平面直角坐标系的第二象限中，其中 A（﹣2，0），B（0，
1），求直线BC的表达式．【分析】过C作CD⊥x轴于点D，则可证得△AOB≌△CDA，可求得CD和OD的长，可求得C点坐
标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式．
【解答】解：如图，过C作CD⊥x轴于点D，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DAC+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DAC＝∠ABO，
在△AOB和△CDA中，
{∠ABO=∠CAD
)
∠AOB=∠CDA ，
AB=AC
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴AD＝BO＝1，CD＝AO＝2，
∴C（﹣3，2），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
{−3k+b=2)
∴ ，
b=1
{ k=− 1 )
解得 3 ，
b=1
1
∴直线BC解析式为y=− x+1．
3
【变式1】如图，已知等腰直角△ABC的顶点B，C分别在x、y轴上，∠ABC＝90°，点B的坐标是（﹣
1，0），C的坐标是（0，3），则直线AC的函数关系式为 ．【分析】过A点坐标AD⊥x轴于D点，如图，先证明△ABD≌△BCO得到AD＝OB＝1，BD＝CO＝3，
再写出A（﹣4，1），然后利用待定系数法求直线AC的解析式．
【解答】解：过A点坐标AD⊥x轴于D点，如图，
∵B（﹣1，0），C（0，3），
∴OB＝1，OC＝3，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC，
∵∠ABD+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠ABD＝∠BCO，
在△ABD和△BCO中，
{∠ADB=∠COB
)
∠ABD=∠BCO ，
AB=BC
∴△ABD≌△BCO（AAS），
∴AD＝OB＝1，BD＝CO＝3，
∴A（﹣4，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
{−4k+b=1)
把A（﹣4，1），C（0，3）分别代入得 ，
b=3
{ k= 1 )
解得 2 ，
b=3
1
∴直线AC的解析式为y= x+3．
2
1
故答案为：y= x+3．
2【变式2】已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣5，0），B（3，0），C（0，3），当过点C的直线l将
△ABC分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为 ．
【分析】根据题意，先求出线段AB的中点坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式即可．
【解答】解：线段AB的中点坐标为（﹣1，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
{ b=3 )
，
−k+b=0
{k=3)
解得 ，
b=3
∴直线l的解析式为：y＝3x+3．
故答案为：y＝3x+3．
【变式3】如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（﹣3，﹣2），C（4，0），D（0，
4），当过点A的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ．
【分析】根据题意，先求得直线CD的解析式，得到直线上一点E，使E点的纵坐标为1，则使直线
AE，即直线l一部分四边形ABCD的面积，再利用待定系数法，求AE的解析式即可．
【解答】解：设直线CD为：y＝kx+b，∵C（4，0），D（0，4）两点在直线CD上，
{0=4k+b)
∴ ，
4=b
{k=−1)
解得： ，
b=4
∴直线CD：y＝﹣x+4，
∴当y＝1时，x＝3，
∴E（3，1），
连接AE，
∵△ADE的面积＝△ACD的面积﹣△ACE的面积，
1 1
∴△ADE的面积= ×（6+4）×4− ×（6+4）×1＝15，
2 2
∵四边形ABCE的面积＝△ABC的面积+△ACE的面积，
1 1
∴四边形ABCE的面积= ×（6+4）×2+ ×（6+4）×1＝15，
2 2
∴四边形ABCE的面积＝△ADE的面积，
∵A（﹣6，0），E（3，1），
设直线AE为：y＝mx+n，
{ 1=3m+n )
∴ ，
0=−6m+n
1
{m= )
9
∴ ，
2
n=
3
1 2
∴AE：y= x+ ，
9 3故答案为：y．
