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第14章《整式的乘法与因式分解》备考提分专项训练（原卷版）
第一部分 考前知识梳理
一、幂的乘法运算
1.同底数幂的乘法：底数_____，指数_____. am·an =______.
2.幂的乘方：底数_____，指数_____.(am)n=______.
3.积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得的幂_____.(ab)n=______.
二、整式的乘法
1.单项式乘单项式：
(1)将______________相乘作为积的系数；
(2)相同字母的因式，利用__________的乘法，作为积的一个因式；
(3)单独出现的字母，连同它的______，作为积的一个因式.
注：单项式乘单项式，积为________.
2.单项式乘多项式：
(1)单项式分别______多项式的每一项；
(2)将所得的积______.
注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数______.
3.多项式乘多项式：
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的______，再把所得的积______.
三、整式的除法
1.同底数幂的除法：
同底数幂相除：底数_____，指数_____. am÷an=______.
任何不等于0的数的0次幂都等于1. a0=am÷am=1.
三、整式的除法
2.单项式除以单项式：
单项式相除，把______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连
它的_______一起作为商的一个因式.
3.多项式除以单项式：
多项式除以单项式，就是用多项式的________除以这个________，再把所得的商______.
四、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
2.完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
五、因式分解
1.因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式
分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解的方法：
(1)提公因式法(2)公式法：①平方差公式：_____________②完全平方公式：_____________步骤：1.提公因式；2.套用公式；3.检查分解是否彻底.
第二部分 数学思想方法
方法1 整体思想
1．（2021秋•上蔡县校级期中）阅读理解：
已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．
∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．
参考上述过程解答：
（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝ ，（x+y）2＝ ；
（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．
方法2 方程思想
2．（2022春•安乡县期中）已知将（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x2和x3项，求a，b的值．
方法3 数形结合思想
3．（2022秋•长春期末）将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）；
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
1 1 1 1 1 1
（3）应用公式计算：(1− )(1− )(1− )(1− )⋯(1− )(1− )．
22 32 42 52 20212 202224．（2021秋•余干县期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长
方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2．请你直接写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m，n为实数，且m+n＝﹣2，mn＝﹣3，求m﹣n的值．
②如图3，S ，S ，分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若S +S ＝
1 2 1 2
20，AB＝p+q＝6，求图中阴影部分的面积．
第三部分 常考题型突破
题型1 幂的运算性质
5．（2021秋•西宁期末）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2022）0＝﹣1 B．2022﹣1＝﹣2022
1
C．（4a）2＝8a2 D．2−2×2=
2
题型2 乘法公式
6．（2023•河口区三模）下列计算正确的是（ ）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）3＝m2+4n2 D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
题型4 分解因式
8．将下列多项式因式分解，结果中不含有x+2因式的是（ ）
A．x2﹣4 B．x2+2x C．x2+2 D．x2+4x+4题型5 整式的化简求值
9．（2022秋•鹤壁期末）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝3，y＝1．
第四部分 全章模拟测试
一、选择题
1．（2023春•长春期末）下列运算正确的是（ ）
A．（ab）3＝ab3 B．a8÷a2＝a4 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a5
2．（2022秋•任城区期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
1 1
A．a2+a+ =（a+ ）2 B．6a3b＝3a2•2ab
4 2
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
3．（2022秋•江油市期中）已知多项式x﹣a与2x2﹣2x+1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（2022秋•乳山市期中）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（ ）
A．y B．x+2 C．x﹣2 D．y（x+2）
5．（2022秋•永春县期中）如果x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．5 B．±10 C．10 D．±5
6．（2021春•东明县期中）已知xa＝2，xb＝3，则x3a+b的值是（ ）
A．17 B．72 C．24 D．36
1
7．（2016•镇江二模）若代数式( k−1) k−2=1，则k可以取的值是（ ）
2
A．2 B．2或4 C．0、2、4 D．0或4
8．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac
﹣bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．（2023春•新城区校级期末）因式分解：9x﹣4x3＝ ．
10．（2022秋•莱西市期中）已知正方形的面积是（16﹣8x+x2）cm2（x＞4），则正方形的周长是
cm．
11．（2022春•单县期末）已知x+y＝5，x2+y2＝11，则xy＝ ．
3．（2022春•海州区期中）已知单项式2x3y2与﹣5x2y2的积为mxny4，那么m﹣n＝ ．13．（2022秋•南召县期中）已知多项式2x3﹣4x2﹣10除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣10，求
这个多项式A是 ．
14．（2021春•盐湖区校级期末）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，
（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 ．
三、解答题
15．（2022•古浪县校级开学）因式分解：
（1）（a+b）x2﹣（a+b）； （2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2．
16．（2023春•淄博期末）计算：
（1）a4+（﹣2a2）3﹣a8÷a4； （2）a3•a+（﹣3a3）2÷a2；
（3）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）； （4）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．
17．（2022秋•奉贤区期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些
数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： ．
（2）从图3可得（a+b）（a+b+c）＝ ．
（3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．18．（2021秋•莆田期末）“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，
文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联一样的“回文等
式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：
21×24＝42×12，
31×26＝62×13，
12×84＝48×21．
（1）下列选项中能构成“回文等式”的是 ．（填上所有正确的序号）
A.18×31与13×81
B.46×32与63×24
C.46×96与69×64
D.22×454与454×22
E.31×286与682×13
（2）请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明．
