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北京市第一六六中学 2023-2024 学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 1；1；1 B. 2；3；4 C. 1； ；2 D. ；3；5
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边最长及勾股定理逆定理逐项分析即可求解
【
详解】A. ，不符题意；
B. ，不符题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符题意
故选 C
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，理解勾股定理逆定理是解题的关键．
2. 如图，在 中， ， 于点E，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质，掌握平行四边形对角相等是解题的关键．
根据平行四边形的性质，可得 ，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解： 在 中，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司故选B．
3. 一次函数 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的性质是解题关键．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，描点、连线，即可画出函数图象．
【详解】解：当 时， ，
解得： ，
点A的坐标为 ，
当 时， ，
点B的坐标为 ，
描点、连线，画出函数图象，如图所示：
故选C．
4. 一次函数 的图象经过点 ， ，则下列判断中正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】此题考查一次函数的性质，比较函数值的大小，熟知一次函数的增减性与k的关系是解题的关键．
根据一次函数的解析式判断出增减性，然后利用增减性求解．
【详解】解： 一次函数 中 ，
y随x的增大而增大，
，
，
故选：A．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）
.
A B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，
∴AB= ，
∵D是AB边的中点，
∴CD= ，
故选C．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7
分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A. 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．
【详解】 分．
故选B．
【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
7. 图 是第七届国际数学教育大会（ ）会徽图案，它是由一串有公共顶点 的直角三角形（如
图 ）演化而成的．如果图 中的 ，那么 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】OA＝1，根据勾股定理可得OA＝ ，OA＝ ，找到OA＝ 的
1 2 3 n
规律，即可计算OA 的长．
8
【详解】解：∵OA＝1，
1
∴由勾股定理可得OA＝ ，
2
OA＝
3
…，
∴OA＝ ，
n
∴OA＝ ，
8
故选择：D
【点睛】本题考查了勾股定理，数字类的找规律，勾股定理求得OA＝ 是解题的关键．
n
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学科网（北京）股份有限公司8. 图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到
点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD
的面积为（ ）
A. 24 B. 16 C. 12 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可得 AB=6，BD=12-6=6，AD=8，过点B作BE⊥AD，运用勾股定理求出BE的长，即可
求出▱ABCD的面积．
【详解】解：过点B作BE⊥AD，交AD于点E，
由图象可得 AB=6，BD=12-6=6，AD=8，
∴AB=BD
∵BE⊥AD
∴ ，
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，注意解决本题应首先弄清横轴和纵轴表示的量，利用数形结合
的思想解题，得到AB，AD的具体的值．
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学科网（北京）股份有限公司二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ；
故答案为： ．
10. 菱形的两条对角线的长分别为4和6，则它的面积为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半．
【详解】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，
∴ ×4×6=12．
故答案为：12．
【点睛】此题考查菱形的面积计算方法，属基础题．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．
11. 在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，则 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，先求出 ，再利用待定系数法求出k的值即可
得到答案．
【详解】解：在 中，当 时， ，
∴ ，
把 代入 中得： ，解得 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：3．
12. 已知n是正整数，且 也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝___．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次根式的意义，结合题意，求出一个符合题意的值，即可．
【详解】解：∵当n=2时， = ，
∴n=2符合题意，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查二次根式，掌握二次根式的被开方数是非负数以及二次根式的意义，是解题的关键．
13. 如图，一次函数y＝x＋2与 的图像交于点P，则关于x，y的二元一次方程组
的解是______________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】观察图象得：一次函数y＝x＋2与 的图像交于点P（1，3），再根据函数与方
程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
【详解】解：观察图象得：一次函数y＝x＋2与 的图像交于点P（1，3），
∴二元一次方程组 的解是 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组 的关系，熟练掌握函数图象交点坐标为两函
数解析式组成的方程组的解是解题的关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD＝7，AE＝CD＝3，则
BF的长为____．
【答案】2
【解析】
【分析】由已知易得∠AEF=∠FEC=∠EFC，进而可得EC＝FC，再由勾股定理求出EC即可解答．
【详解】解：∵在矩形ABCD中， ， ， ；
∴∠AEF=∠EFC，
又∵∠AEF=∠FEC
∴∠FEC=∠EFC，
∴EC＝FC，
∵AD＝7，AE＝CD＝3，
∴ED＝AD-AE=4，
∴ ，
∴BF=BC-FC=7-5=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，并能利用
勾股定理进行推理计算是解决问题的关键.
15. 2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司根据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位；
②4月7日到4月8日气温上升幅度最大；
③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为 ，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为 ，
下旬（21日至30日）的最高气温的方差为 ，则 ．
其中所有正确结论的序号是 _______．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查的是折线统计图和方差．①根据折线统计图提供的数据作答即可；②根据折线统计图提
供的数据作答即可；③根据方差的意义作答即可．
【详解】解：①由图可知，4月4日的最高气温在4月是最低的，所以若按每日最高气温由高到低排序，4
月4日排在第30位．故本结论正确，符合题意；
②由图可知，所以4月7日到4月8日气温上升幅度约为 ，4月24日到4月25日气
温上升幅度约为 ，所以4月7日到4月8日气温上升幅度不是最大．故本结论错误，
不符合题意；
③由图可知，4月上旬 日至10日）的最高气温在 至 徘徊，中旬 日至20日）的最高气温在
至 徘徊，下旬 日至30日）的最高气温在 至 徘徊，所以上旬气温波动最大，中
旬气温波动最小，下旬气温波动在上旬与中旬之间，所以 ．故本结论正确，符合题意；
故答案为：①③．
16. 如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝___°；
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学科网（北京）股份有限公司（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB＋PC的最小值为____．
【答案】 ①. 15 ②.
【解析】
【分析】（1）根据正方形和等边三角形的性质，可得AD=CD=DE，∠ADC=60°，∠CDE=90°，进而即可
求解；
（2）作点C关于AE的对称点 ，连接 B交AE于点P，连接 A，CP，可得PB＋PC的最小值= PB
＋P = B ，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）∵△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形，
∴AD=CD=DE，∠ADC=60°，∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∴∠DAE=（180°-150°）÷2=15°，
故答案是：15，
（2）作点C关于AE的对称点 ，连接 B交AE于点P，连接 A，CP，
∵∠DAE=15°，∠DAC=60°，
∴∠CAE=60°-15°=45°，
∵点C关于AE的对称点 ，
∴∠CAE=∠ AE=45°， A=CA=2， P=CP，
∴∠ AC=90°，
∴PB＋PC的最小值= PB＋P =B = ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案是： ．
【点睛】本题主要考查勾股定理，轴对称—线段和最小值问题以及等边三角形和正方形的性质，添加辅助
线，构造直角三角形和轴对称图形，是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，其中第17题7分，第18～24题，每题5分，第25～26题，每题
6分，第27～28题，每题7分）
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
（1）先利用二次根式的性质化简，再合并，即可求解；
（2）根据完全平方公式及二次根式的性质，先化简，再合并，即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：
．
18. 一次函数 的图象如图所示．
（1）求k，b的值；
（2）求一次函数 的图象与两坐标轴所围成三角形的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式 的解集．
【答案】（1） ，
（2）4 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与
一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图像象中获得正确信息．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出一次函数 与x轴的交坐标为 ，与y轴的交坐标为 ，然后利用三角形
面积公式求解即可；
（3）根据图象，找出点 上方x的取值范围即可．
【小问1详解】
由图象可得，一次函数 的图象经过点 ，
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学科网（北京）股份有限公司代入 得，
解得 ；
【小问2详解】
∵
∴一次函数 的解析式为
当 时， ；
当 时， ，解得
∴一次函数 与x轴的交坐标为 ，与y轴的交坐标为 ，
∴
∴一次函数 的图象与两坐标轴所围成三角形的面积为4；
【小问3详解】
由图象可得，不等式 的解集 ．
19. 如图，在 中，点E，F分别在 上， ， 与对角线 相交于点O．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若点G为 的中点，连接 ．若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理：
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明 ，即可求证；
（2）根据三角形的中位线定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵点G为 的中点， ，
∴ 是 的中位线
∴ ．
20. 下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：
已知：在 中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
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学科网（北京）股份有限公司①分别以点A，C为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；
②作直线EF，交AC于点P；
③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；
④连接AD，CD．
则四边形ABCD是矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，CE，AF，CF．
∵AE＝CE，AF＝CF，
∴EF是线段AC的垂直平分线．
∴AP＝______．
又∵BP＝DP，
∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边
形是矩形．
【解析】
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先利用作法得到EF垂直平分AC，从而得到PA=PC，由于PB=PD，根据对角线互相平分的四边形是
平行四边形，再加上∠ABC＝90°，即可判断四边形ABCD是矩形．
【小问1详解】
解：矩形ABCD就是所求作的图形，如图，
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定、基本尺规作图—垂直平分线的作法、平行四边形的判定等知识，是基础考
点，掌握相关知识是解题关键．
21. 如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕
为MN，求线段BN的长．
【答案】4
【解析】
【分析】设BN为x，则AN=9-x=DN，再利用勾股定理在Rt△BDN中即可求解.
【详解】设BN为x，则AN=9-x=DN，BD=3，
在Rt△BDN中，DN2=BD2+BN2,即(9-x)2=32+x2,
解得x=4
故BN的长为4.
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的使用.
22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按
下列要求画图：
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学科网（北京）股份有限公司（1）在图①中画一条线段 ，使得 ；
为
（2）在图②中画一个菱形 ，使其周长 ；
（3）在图③画一个等腰 ，使得它的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，菱形的性质，等腰三角形的定义；
（1）利用勾股定理 即可作出线段 ；
（2）画边长为 的菱形，即可求解；
（3）画一个底为 ，高为 的等腰直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
如图，线段 即为所求：
【小问2详解】
如图，菱形 即为所求：
【小问3详解】
如图， 即为所求：
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学科网（北京）股份有限公司23. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象是由直线 平移得到的，且经
过点 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，若对于x的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的
值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是
解题的关键．
（1）先根据直线平移时的值不变得出 ，再将点 代入 ，求出b的值，即可得到一次
函数的解析式；
（2）将点 代入 求得m的值，再根据已知即可求得答案．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象是由直线 平移得到的，
，即 ，
一次函数 的图象过点 ，
，
解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司此函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：把点 代入 ，得 ，
当 时，若对于x的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值，
．
24. 如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交BC，AD于点E，F，连接
AE和CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）3.4
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，
易证得 AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；
△
（2）设AE＝CE＝x，则BE＝5－x，由勾股定理得 ＋ ＝ ，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD BC，
∴∠FAO＝∠ECO．
在 AOF和 COE中，
△ △
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴FA＝EC，
∴AE＝EC＝CF＝FA，
∴四边形AECF为菱形．
【小问2详解】
解：设AE＝CE＝x，则BE＝5－x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
在Rt ABE中，由勾股定理得， ，
△
即 ＋ ＝ ，
解得，x＝3.4，
即AE＝3.4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得 AOF≌△COE是解题的
关键． △
25. 某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级
随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和
分析．下面给出了部分信息．
a．七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如下（两个年级的数据都分成6组：
0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）：
b．八年级学生一周阅读时长在6≤x＜8这一组的数据是：
6；6；6；6；6.5；6.5；7；7；7；7；7.5；7.5
第20页/共25页
学科网（北京）股份有限公司c．七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 6.225 7 7
八年级 6.375 m 8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）图1中p%＝ %；
（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图2）；
②上表中m的值为 ．
（3）将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是6.5小时，
排在本年级的前20名，由此可以推断他是 年级的学生；（填“七”或“八”）
（4）估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．
【答案】（1）10；（2）①见解析；②6.25；（3）八；（4）130人．
【解析】
【分析】（1）利用扇形统计图各部分的百分率总和等于1，即可求得结果；
（2）①求出八年级40人中阅读时间为4≤x＜6小时的人数，即可补全条形统计图；②利用条形统计图求出
x＜6的人数与x＞8的人数，再由八年级学生一周阅读时长在6≤x＜8这一组的数据求得中位数m；
（3）根据条形统计图的信息及统计表中的信息，即可得出结论；
（4）根据条形统计图及扇形统计图中的相关数据，可求出两个年级一周阅读时长不低于8小时的人数，即
可得出结果．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ．
故答案为：10；
（2）① ，
补全的条形统计图为：
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司②x＜6的人数有： （人），
x＞8的人数有： （人），
故中位数m为： （h），
故答案为：6.25；
（3）八年级数据大于6.5的个数为 ，且还有两个6.5的学生，满足题意；
七年级的中位数为7，前20名不可能有6.5的学生；
故答案为：八；
（4） （人），
所以，两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数约为130人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图及中位数的计算方法，准确掌握各统计图的特点并理解各个
数量之间的关系式是解决问题的关键．
26. 水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水
量．
时间t/min 0 5 10 15 20 25 30
漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90
解决下列问题：
（1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线；
第22页/共25页
学科网（北京）股份有限公司（2）结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式______（不要求写自变量的取值范围）；
（3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______mL．
【答案】（1）见解析 （2）y=3t
（3）4320
【解析】
【分析】（1）根据表格描点、连线即可；
（2）根据5min漏水量15mL可得解析式；
（3）将t=24×60代入计算即可．
【小问1详解】
解：描点、连线如下：
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
滴水量y关于时间t的函数解析式为y=3t；
故答案为：y=3t；
【小问3详解】
一天的漏水量约为y=3×（24×60）=4320（mL），
故答案为：4320．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据表格写出函数关系式．
27. 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP
于点F．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）25°；（3）EF2+FD2＝2AB2，见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可；
（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；
（3）由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，进而利用勾股定理得出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）如图1所示：
（2）如图2，连接AE，
则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
又∵∠EAP＝∠BAP＝20°，
∴∠EAD＝130°，
∴ ；
（3）数量关系是; EF2+FD2＝2AB2
如图3，连接AE、BF、BD，
由轴对称的性质和正方形的性质可得：
EF＝BF，AE＝AB＝AD，
∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，
∴BF2+FD2＝BD2，
∵在Rt△ABD中AD2+AB2=BD2
∴EF2+FD2＝2AB2．
【点睛】本题考查的是正方形、等腰三角形以及直角三角形的相关知识，是一道综合题，能够充分调动所
学知识是解题的关键.
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