文档内容
第 13 讲 一次函数【11 个必考点】
【人教版】
【知识点1 一次函数的定义】..................................................................................................................................1
【必考点1 一次函数的定义】..................................................................................................................................1
【知识点2 一次函数的图象和性质】.....................................................................................................................2
【必考点2 确定系数判断一次函数的图象】.........................................................................................................2
【必考点3 两个一次函数图象的判断】.................................................................................................................3
【必考点4 一次函数的性质】..................................................................................................................................5
【必考点5 利用一次函数的增减性比较大小】.....................................................................................................6
【必考点6 根据一次函数的增减性求参数范围】.................................................................................................6
【必考点7 画一次函数的图象】..............................................................................................................................7
【知识点3 一次函数图象的平移】.......................................................................................................................10
【必考点8 一次函数图象的平移】.......................................................................................................................10
【知识点4 待定系数法求一次函数解析式】........................................................................................................11
【必考点9 待定系数法求一次函数解析式】.......................................................................................................11
【必考点10 用平移法确定一次函数解析式】.....................................................................................................12
【必考点11 由几何条件求一次函数解析式】.....................................................................................................12
【知识点1 一次函数的定义】
一般地，形如 y=kx+ b （ k ， b 是常数且 k≠ 0 ） 的函数是一次函数。
注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量系数为 1 。b为任意实数。当b的值等于 0 时，一次函
数变成正比例函数。
【必考点1 一次函数的定义】
3 1
【例1】函数①y＝kx+b；②y＝2x；③y= ；④y= x+3；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（
x 3
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】要使y＝（m﹣2）x|m﹣1|+3是关于x的一次函数，则m＝ ．
1
【变式1】下列函数（1）y＝ x；（2）y＝﹣2x+1；（3）y= ；（4）y＝x2﹣1；（5）y＝kx+b（k，b是
x
π
常数）中，一次函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3
【变式2】给出下列函数：①x+y＝0；②y＝x+2；③y+3＝3（x+1）；④y＝2x2+1；⑤y= +2；⑥y
x
＝kx+3．其中y一定是x的一次函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
1 1
【变式3】若关于x的函数y=(m2− )x2 +(m+ )x+1是一次函数，则m的值为 ．
4 2
【知识点2 一次函数的图象和性质】
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此,画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画直线
就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
2.一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
3.一次函数图象经过的象限
【必考点2 确定系数判断一次函数的图象】
【例1】若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx+m﹣n的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【变式2】若式子❑√k−2+（k﹣2）0有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大
致是（ ）
A． B．
C． D．
【必考点3 两个一次函数图象的判断】
【例1】两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【例2】一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
1
【变式1】正比例函数y＝2kx和一次函数y＝kx− 的大致草图是（ ）
k
A． B．
C． D．
【变式2】若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（ ）
A． B．C． D．
b
【变式3】直线l ：y＝kx﹣b（k，b为常数且k，b≠0）和直线l ：y= x+2b（k，b为常数且k，b≠0）
1 2
k
在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【必考点4 一次函数的性质】
【例1】关于一次函数y＝﹣4x+8，下列结论不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴的交点坐标是（0，8）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0）
【例2】已知一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）．
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？
（3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？
1
【变式1】下列四个选项中，不符合直线y= x﹣3的性质与特征的是（ ）
2
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于点（﹣2，0） D．与y轴交于点（0，﹣3）
【变式2】在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3】一次函数y＝mx+m+1的图象一定经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4】已知函数y＝（2m+3）x+m﹣1，
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；
（3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；
（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围．
【必考点5 利用一次函数的增减性比较大小】
【例1】已知关于x的一次函数y＝（k2+3）x﹣2的图象经过点A（2，m）、B（﹣3，n），则m，n的大
小关系为（ ）
A．m≥n B．m≤n C．m＞n D．m＜n
【变式1】若点A（﹣2，y ），B（3，y ），C（1，y ）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1
【变式2】已知点P（m，y ），点Q（m+3，y ）在一次函数 y＝﹣2x+3的图象上，则下列正确的是
1 2
（ ）
A．y ＞y B．y ＜y C．y ≥y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
x
【变式3】点（﹣t﹣1，y ），（﹣t﹣3，y ）在一次函数y=− −b的图象上，则y 与y 的大小关系是（
1 2 1 2
2
）
A．y ＜y B．y ＝y C．y ＞y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【必考点6 根据一次函数的增减性求参数范围】
【例1】已知一次函数y＝（3m﹣5）x+2﹣m（m为正整数）的函数y随x的增大而减小，当y＞0时，x的
取值范围为（ ）
1 1 1 1
A．x＜− B．x＜ C．x＞− D．x＞
2 2 2 2
【例2】若点A（x ，y ）和B（x ，y ）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x ＜x
1 1 2 2 1 2
时，y ＞y ，则k的值可能是（ ）
1 2
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3
【变式1】若A（x ，y ）、B（x ，y ）是一次函数y＝ax+x﹣2图象上的不同的两点，记m＝（x ﹣x ）（
1 1 2 2 1 2y ﹣y ），则当m＜0时，a的取值范围是（ ）
1 2
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1
【变式2】已知点A（m，y ）和点B（m+1，y ）在一次函数y＝（t﹣1）x+1的图象上，且y ＜y ，则常数
1 2 1 2
t的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
【变式3】A（x ，y ）、B（x ，y ）是直线y＝（m﹣2）x+5图象上相异的两点，若 x −x ，则m的
1 1 2 2 1 2＞0
y −y
1 2
取值范围（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
【变式4】若一次函数y＝（2﹣2k）x﹣k的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k
的取值范围是 ．
【必考点7 画一次函数的图象】
1
【例1】已知一次函数y=− x+2．
2
（1）自变量x的取值范围是 ；
（2）将下面列表表示的部分数值补充完整；
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 1.5 …
（3）在图中画出该函数的图象；
（4）该图象与x轴的交点坐标是 ．
【例2】萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数 y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函
数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k …
（1）直接填空：k＝ ；
（2）描点并正确地画出该函数图象；
（3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 ；
②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质： ．
【变式1】用“列表﹣描点﹣连线”的方法画出函数y＝2x+1的图象．
（1）列表：下表是y与x的几组对应值，请补充完整．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣3 3 …
（2）描点连线：在平面直角坐标系中，将各点进行描点、连线，画出函数y＝2x+1的图象．
【变式2】绘制函数图象并回答问题．
（1）画出函数y＝|x﹣1|的图象；
xy
（2）画图步骤：①列表；② ；③ ；
（3）当 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大．
【变式3】综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？
请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x+1|﹣3的图象．
（1）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 m ﹣1 ﹣3 ﹣1 n 3 …
表格中m＝ ，n＝ ；
（2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1： ；
结论2： ．【知识点3 一次函数图象的平移】
1.一次函数的左右平移：
函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。
①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y= k（ x+ a） +b 。
②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y= k（ x - a） +b 。
2.一次函数的上下平移：
函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。
①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+ a 。
②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+ b - a 。
【必考点8 一次函数图象的平移】
【例1】将直线l ：y＝﹣2x+1平移后，得到直线l ：y＝﹣2x+3，则下列平移作法正确的是（ ）
1 2
A．将l 向下平移2个单位长度
1
B．将l 向下平移4个单位长度
1
C．将l 向右平移1个单位长度
1
D．将l 向右平移2个单位长度
1
【例2】若直线y＝2x﹣1向下平移2个单位长度后经过点（2，m），则m的值为（ ）
A．1 B．7 C．10 D．﹣2
【变式1】已知直线l ：y＝3x+1平移之后的直线为l ：y＝3x﹣3，则下面平移方式正确的是（ ）
1 2
A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位
4 8
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
3 3
【变式2】将直线y＝kx+b向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线y＝2x，则（ ）
A．k＝2，b＝﹣8 B．k＝﹣2，b＝2 C．k＝1，b＝﹣4 D．k＝2，b＝4
【变式3】在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+1向上平移m（m＞0）个单位长度，再向左平移m个单位
长度后，得到新的直线经过点（2，14），则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点4 待定系数法求一次函数解析式】
（1）设：设所求一次函数的解析式为 ；
待定系数法 （2）代：将图象上的点 的横坐标、纵坐标分别代换
的步骤
，得到方程组（3）解：解关于 的值代入 中，从而得到函数解析式
（1）两点型：直接运用待定系数法求解；
常见类型
（2）平移型：由平移前后 k 不 变 ，设出平移后的函数解析式，再代入已知
点坐标即可
【必考点9 待定系数法求一次函数解析式】
【例1】已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式
是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5
【例2】若一次函数y＝kx+b在y轴上的截距为﹣4且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则此一次函数解
析式为
【例3】已知y+1与x﹣2成正比例，且x＝1时，y＝3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）请判断点P（2，1）是否在这条直线上，并说明理由．
【变式1】一次函数y＝kx+b（k≠0，b为常数）的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 1 2a 2a+3 …
则该一次函数的表达式为（ ）
A．y＝x+1 B．y＝2x+1 C．y＝3x+1 D．y＝4x+1
【变式2】已知直线y＝kx+b经过A（5，0），且这条直线与坐标轴所围成的三角形面积为10，则直线y＝
kx+b的解析式为 ．
【变式3】已知y与3x﹣2成正比例，且当x＝2时，y＝8．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知点P（a+2，b）在此函数图象上，求代数式10﹣6a+b的值．
【必考点10 用平移法确定一次函数解析式】
【例1】已知直线l经过（2，0）和（0，﹣3），把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位
得到直线l′，则直线l′的解析式为 ．
1
【变式1】一次函数y=− x+2向上平移a个单位后，经过点（﹣3，2a），则平移后的解析式为
3
．
【变式2】将直线y＝﹣2x向下平移后得到直线l，若直线l经过点（a，b），且2a+b＝﹣3，则直线l的解
析式为 ．
【变式3】在直角坐标xOy中，直线l 与y＝2x﹣3平行，且经过点（0，5），将直线l 向上平移3个单
1 1位，得到直线l
2
（1）求这两条直线的解析式；
（2）如果直线l 与x轴、y轴分别交于点A，B，求△AOB的面积．
2
【必考点11 由几何条件求一次函数解析式】
【例1】如图，把含45°角的直角三角板放置在平面直角坐标系的第二象限中，其中 A（﹣2，0），B（0，
1），求直线BC的表达式．
【变式1】如图，已知等腰直角△ABC的顶点B，C分别在x、y轴上，∠ABC＝90°，点B的坐标是（﹣
1，0），C的坐标是（0，3），则直线AC的函数关系式为 ．
【变式2】已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣5，0），B（3，0），C（0，3），当过点C的直线l将
△ABC分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为 ．
【变式3】如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（﹣3，﹣2），C（4，0），D（0，
4），当过点A的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ．
