文档内容
第十九章 一次函数
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 识图并分析图象信息............................................................................................................................1
易错题型二 利用一次函数的定义求参数................................................................................................................6
易错题型三 根据一次函数的图象和性质求参数....................................................................................................8
易错题型四 含参数的一次函数的图象和性质........................................................................................................9
易错题型五 一次函数图象的共存问题..................................................................................................................13
【压轴题型】...............................................................................................................................................................17
压轴题型一 利用一次函数的性质解决分配方案问题..........................................................................................17
压轴题型二 利用一函数的性质解决最大利润问题..............................................................................................20
压轴题型三 利用一次函数的性质解决行程问题..................................................................................................24
压轴题型四 利用一次函数的性质解决几何问题..................................................................................................27
压轴题型五 利用一次函数的性质解决折叠的综合问题......................................................................................32
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 识图并分析图象信息
例题：（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形 中， 为其对角线，一动点 从 出发，沿着
的路径行进，过点 作 ，垂足为 ．设点 的运动路程为 ， 为 ， 与
的函数图象如图2，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练1．（2024·河南南阳·三模）如图，在 中， 、 、 ，点 在线段 上以每秒1个
单位长度的速度从点 向终点 移动．过点 作 于点 ，作 于点 ，连接 ，线段
的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形 对角线 上一动点，点E为边 上一定点，连
接 ， ， ．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时， 的面积y随 的长度x变化的关系
图象（当点P在 上时，令 ），则菱形 的边长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
3.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图1，点 从菱形 的顶点 出发，沿 以 的
速度匀速运动到点 ，点 运动时 的面积 随时间 变化的关系如图 ，则 的值为（ ）
A． B． C．9 D．
4．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图①，在正方形 中，点P以每秒 的速度从点A出发，沿 的路径运动，到点C停止．过点P作 ， 与边 （或边 ）交于点Q， 的长
度 与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时， 的长是______ ．
A． B． C． D．2
易错题型二 利用一次函数的定义求参数
例题：（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知 是一次函数，则 的值是
巩固训练
1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数 是一次函数．
2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数 是一次函数，则 ．
3．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数 是关于x的一次函数，则它的图象不经过第
象限．
易错题型三 根据一次函数的图象和性质求参数
例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知直线 过第一，三，四象限，则直线 不经过第
象限．
巩固训练
1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数 的图象不经过第三象限，则m的取
值范围是 ．
2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数 ， 为常数，当 时，该一次函数的最大
值是5，则k的值为 ．3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从 ，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数 的系
数 k，b，使一次函数 的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足
条件的一次函数为 ．
易错题型四 含参数的一次函数的图象和性质
例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象与 轴交于点
B．当 时，点 、 在图象上，则
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象经过定点
巩固训练
1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数 （k为常数），有下列结论：
①当 时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点 ；
③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是 ：
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数 （ ，k是常数），则下列结论正确
的是（ ）
A．若点 在一次函数 的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2
B．若 ，则一次函数 图象上任意两点 和 满足：C．若一次函数 的图象不经过第四象限，则
D．若对于一次函数 和 ，无论x取任何实数，总有 ，则k
的取值范围是 或
易错题型五 一次函数图象的共存问题
例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数 与 在同一坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数 与正比例函数 (m，n是常数，
且 )图象是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知其 ， ，则关于 的一次函数 和 的
图象可能是（ ）
A． B． C． D．3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数 与 （ ， 为常数）在同一平面直
角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 利用一次函数的性质解决分配方案问题
例题：（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化 行动计划”，搭建数字化
校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买 台电子白板和 台平板电脑共需 万元；购买3台
电子白板和4 台平板电脑共需 万元．
(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？
(2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共 台，其中电子白板不超过 台，某商家给出了
两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买 台电子白板，送 台平板电脑．若购
买电子白板 台和平板电脑所需的费用为 （万元），请根据两种优惠方案分别写出 关于 的函数表达
式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．
巩固训练
1．（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购
买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌
足球共需180元．
(1)求A，B两种品牌足球的单价；(2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两
种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所
需总费用最低，并求出最低总费用．
2．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有
A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数
一样多．
(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？
(2)已知该年级共有600名学生．
①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？
②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？
压轴题型二 利用一函数的性质解决最大利润问题
例题：（24-25九年级上·全国·期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段
道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗
6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过
7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？
(3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第
（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？
巩固训练
1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件
销售部现有 和 两种配件，它们的进价和售价如表．用 元可购进 产品 件和 产品 件．（利
润 售价 进价）
种类 种配件 种配件
进价（元/件）
售价（元/件）
(1)求 种配件进价 的值．
(2)若该配件销售部购进 种配件和 种配件共 件，据市场销售分析， 种配件进货件数不低于 种配
件件数的 倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
2．（23-24七年级下·全国·期末）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔 支，乙种钢笔50支，需要1000元． 若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔 支，需要 元．
(1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？
(2)若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少
于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？
(3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进
货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
压轴题型三 利用一次函数的性质解决行程问题
例题：（23-24八年级上·陕西榆林·期末）碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研
学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性 级景区，设水上、陆地、高空三大板块．
玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离 （千米）与行驶时间
（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中 段 与 之间的函数关系式；
(2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？
巩固训练
1．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：
小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y
（ ）与他所用的时间x（ ）的关系如图所示：
(1)小明家离体育场的距离为______ ，小明跑步的平均速度为______ ；
(2)当 时，求y关于x的函数表达式；
(3)当小明离家 时，直接写出他离开家所用的时间．
2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）一辆货车从 地运送一批物资到 地，一辆客车从 地运送一批乘客到 地，两车同时出发，图中 ， 分别表示两车相对于 地的距离 与行驶时间 之间的关系．
(1)根据图象，直接写出 ， 对应的函数关系式；
(2)求两车同时出发后的相遇时间；
(3)当 为何值时，两车相距 ？
压轴题型四 利用一次函数的性质解决几何问题
例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线 与 轴、 轴交于点 ，点 在直线
上，点 的横坐标为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)当 时，求 的面积；
(3)当 时，求 的值．
巩固训练
1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，直线 与直线 交于点 ，
与坐标轴交于点B、C两点．点C的坐标是 ．(1)求n的值及 的解析式．
(2)如图2，已知点P是直线 上的一个动点，且点P的横坐标为a，过P作 轴的垂线，与 相交于点Q，
当 时，求a的值．
2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线 与直线 交于点 ，与 轴
交于点 ，直线 经过点 ，直线 分别交 轴．直线 、 于 ， ， 三点．
(1)求m的值及直线 的函数表达式；
(2)当点 在线段 上（不与点 ， 重合）时，若 ，求 的值；
(3)设点 关于直线 的对称点为 ，若点 在直线 ，直线 与 轴所围成的三角形内部（包括边
界），直接写出 的取值范围．
压轴题型五 利用一次函数的性质解决折叠的综合问题例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于点 ，
，点C为x轴正半轴上一点，连接 ，将 沿 所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重
合．
(1)求直线 对应的函数表达式；
(2)P为直线 上一点， ，求点P的坐标；
(3)若点Q在x轴上，且 为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
巩固训练
1．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片 放入平面直角坐标系中，使 ，
分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接 ， ．
(1)求A、C两点的坐标；
(2)将纸片 折叠， 使点A与点C重合（折痕为 ），求折叠后纸片重叠部分的面积；
(3)求 所在直线的函数表达式．
2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是
的上的一点，若将 沿 折叠，点B恰好落在x轴上的点 处．求：(1)求A、B两点坐标；
(2)求M坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标；
(4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得 ，请直接写出N点坐标．
3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，
点 与坐标原点重合，点 在 轴上，点 在 轴上， ，点 在边 上，点 的坐标为 ，过
点 且平行于 轴的直线 与 交于点 ．现将纸片折叠，使顶点 落在 上的点 处，折痕为
．
(1)求点G的坐标；
(2)求折痕 所在直线的解析式；
(3)若直线 平行于直线 ，且与长方形 有公共点，请直接写出 的取值范围；
(4)设点 为 轴上一点，是否存在这样的点 ，使得以 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，
请写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 ，点 在 轴上运动，连接 ，将 沿直线 折叠，点 的对应点记为 ．(1)求直线 的函数表达式；
(2)若点 恰好落在直线 上，求 的面积；
(3)如图2，若 恰好与 轴平行，且边 与线段 有交点，设交点为 ，在 轴上是否存在点 ，使
得 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（23-24八年级上·河南·期中）综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 分别在 轴与 轴上，已知
．点 为 轴上一点，其坐标为(0,2)，点 从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段
的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动时间为 秒．
(1)当点 经过点 时，求直线 的函数解析式；
(2)①求 的面积S关于 的函数解析式；
②把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标．
(3)点 在运动过程中是否存在使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
