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专题22 一次函数中的常见易错题（解析版）
第一部分 专题典例剖析
类型一 忽视定义的限制条件（隐含条件）
1．（2022•南京模拟）已知关于x的函数y＝（m﹣2） m+1是一次函数，则m＝ ．
xm2-1+
思路引领：由此函数的定义可知：m﹣2≠0，且m2﹣1＝1，然后解得m的值即可．
解：∵y＝（m﹣2） 是一次函数，
xm2-1+m+1
∴m﹣2≠0，且m2﹣1＝1，
解得：m=±√2．
故答案为：±√2．
总结提升：本题主要考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式组是解题的关
键．
2．已知正比例函数y＝（k﹣1）x k2-k-1的图象经过第二、第四象限，则k的值是 ．
❑
思路引领：根据正比例函数图象的性质，得k﹣1＜0，k2﹣k﹣1＝1．
解：∵函数图象经过第二、四象限，
∴k﹣1＜0，k2﹣k﹣1＝1．
解得：k＝﹣1，k＝2（舍去）
故答案为：﹣1
总结提升：掌握正比例函数图象的性质：k＜0，图象经过二、四象限．若一点在图象上，则其坐标满足
直线解析式．
类型二 已知距离，已知面积求系数或解析式时忽视分类讨论
3．若直线y＝ax+b与x轴的交点到y轴的距离为1，则关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为 ．
b b
思路引领：根据直线与x轴的交点的求法得出交点坐标（- ，0），根据题意得出- =±1，从而得出
a a
答案．
b
解：∵直线与x轴的交点的求法得出交点坐标（- ，0），且交点到y轴的距离为1，
a
b
∴- =±1
a
∴关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为x＝±1，故答案为±1．
总结提升：本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．已知一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，与两坐标轴围成的三角形的面积为
2．求这个一次函数的解析式．
思路引领：根据两条直线平行k相同，得到k＝﹣3，然后求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据
三角形的面积公式求解即可．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，
∴k＝﹣3，
当x＝0时，y＝b，
b
当y＝0时，x= ，
3
b
∴直线y＝﹣3x+b与坐标轴的交点为（0，b）、（ ，0），
3
∵直线y＝﹣3x+b与坐标轴围成的三角形的面积为2，
1 b
∴ ⋅|b|⋅| |=2，
2 3
∴b＝±2√3
∴一次函数为y＝﹣3X+2√3或Y＝﹣3X﹣2√3．
总结提升：本题考查了待定系数法求函数的解析式、两条直线平行k相同等知识，正确利用点的坐标表
示三角形的面积是关键．
5．（2021春•爱辉区期末）已知一次函数y＝kx+4的图象与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此函数表
达式．
思路引领：分别求出直线与坐标轴交点A，B，通过直角三角形面积求k．
解：设直线y＝kx+4与x、y轴相交于A（a，0）B（0，b）
把B点代入y＝kx+4得b＝4，
4
把A点代入y＝kx+4得a=- ．
k
∵图象与坐标轴围成三角形的面积为8，
1 1 4
∴ OA⋅OB= ×4|- |＝8，
2 2 k
解得k＝±1
∴此函数表达式为y＝﹣x+4或y＝x+4．总结提升：本题考查一次函数与三角形的结合问题，通过直线与坐标轴交点坐标及三角形面积公式求解，
解题关键是注意k有正负两种情况．
类型三 在k的正负不明确时，忽视分类讨论
6． 已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则k+b的值为 ．
思路引领：本题分情况讨论：①x＝﹣3时对应y＝1，x＝1时对应y＝9；②x＝﹣3时对应y＝9，x＝1
时对应y＝1；将每种情况的两组数代入即可得出答案．
解：①当x＝﹣3时，y＝1；当x＝1时，y＝9，
{1=-3k+b
则
9=k+b
{k=2
解得：
b=7
所以k+b＝9；
②当x＝﹣3时，y＝9；当x＝1时，y＝1，
{-3k+b=9
则
k+b=1
{k=-2
解得： ，
b=3
所以k+b＝1．
故答案为9或1．
总结提升：本题考查待定系数法求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解．
类型四 搞不清一次函数的性质与图像分布
7．已知一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，则下列结论正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
思路引领：直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，
∴k＜0，b＞0．
故选：C．
总结提升：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，
b＞0时，函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．
8．（2021秋•海曙区期末）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平
面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
思路引领：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论 mn的符号，然后根据m、n同正
时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx+n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝
mnx过原点，一、三象限；
②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、
四象限．
解法二：本题还可用矛盾分析法来解决 A、一次函数m＞0，n＞0；正比例mn＜0，与一次矛盾．
B、一次m＞0，n＜O；正比例mn＞0，与一次矛盾．
C、一次m＞0，n＜0，正比例mn＜0，成立．
D、一次m＜0，n＞0，正比例mn＞0，矛盾．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
9．（2022春•静安区校级期中）已知直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，则m的取值
范围为 ．
{1-3m＜0
思路引领：由直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，可得出 ，解之可得
2m-1＜0
出结论．
解：∵直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，{1-3m＜0
∴ ，
2m-1＜0
1 1
解得： ＜m＜ ．
3 2
1 1
故答案为： ＜m＜ ．
3 2
总结提升：本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四
象限”是解题的关键． ⇔
类型五 不能准确获取函数图象的信息
10．（2018•镇江）甲、乙两地相距80km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的
路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函
数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）
A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：50
思路引领：根据速度之间的关系和函数图象解答即可．
解：因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，
所以1小时后的路程为40km，速度为40km/h，
40
所以以后的速度为20+40＝60km/h，时间为 ×60=40分钟，
60
故该车到达乙地的时间是当天上午10：40；
故选：B．
总结提升：此题主要考查了函数的图象值，根据速度之间的关系和函数图象解答是解题关键．
第二部分 专题提优训练
一．试题（共10小题）
1．若关于x的函数y＝（n+1）xm﹣1是一次函数，则m＝ ，n ．
思路引领：一次函数的系数n+1≠0，自变量x的次数m﹣1＝1，据此解答m、n的值．
解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，
∴根据题意，知{n+1≠0
，
m-1=1
{n≠-1
解得， ，
m=2
故答案是2、≠﹣1．
总结提升：本题主要考查了一次函数的定义：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自
变量次数为1．
2．（上海期中）函数y＝（k2﹣4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．则k＝ ．
思路引领：根据正比例函数的定义和函数的性质可得出关于k的方程，解出即可．
解：根据题意得：k2﹣4＝0且k+1＜0，
解得：k＝±2且k＜﹣1，
∴k＝﹣2．
故填﹣2．
总结提升：本题主要考查正比例函数的定义和性质，熟练记忆定义和性质是解本题的关键．
3．（2012•大丰市模拟）如图，已知直线y＝ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1＝b的解x＝ ．
思路引领：观察图形可直接得出答案．
解：根据图形知，当y＝1时，x＝4，
即ax﹣b＝1时，x＝4．
故方程ax﹣1＝b的解x＝4．
故答案为：4．
总结提升：此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法．
1
4．（2016秋•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l ：y= x与直线l ：y
1 2
2
＝﹣x+6交于点A，l 与x轴交于B，与y轴交于点C．
2
（1）求△OAC的面积；3
（2）如点M在直线l 上，且使得△OAM的面积是△OAC面积的 ，求点M的坐标．
2
4
思路引领：（1）先根据直线解析式，求得C（0，6），再根据方程组的解，得出A（4，2），进而得
到△OAC的面积；
（2）分两种情况进行讨论：①点M 在射线AC上，②点M 在射线AB上，分别根据点M的横坐标，
1 2
求得其纵坐标即可．
解：（1）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得y＝6，
∴C（0，6），即CO＝6，
{ 1
y= x {x=4
解方程组 2 ，可得 ，
y=2
y=-x+6
∴A（4，2），
1
∴S△OAC = ×6×4＝12；
2
（2）分两种情况：
①如图所示，当点M 在射线AC上时，过M 作M D⊥CO于D，
1 1 1
3
∵△OAM的面积是△OAC面积的 ，
4
1 1 1
∴△OCM的面积是△OAC面积的 ，即 ×OC×|x |= ×12，
M
4 2 4
1 1
∴ ×6×|x |= ×12，
M
2 4
解得x ＝1，即点M 的横坐标为1，
M 1
在直线y＝﹣x+6中，当x＝1时，y＝5，
∴M （1，5）；
1②如图所示，当点M 在射线AB上时，过M 作M E⊥CO于E，
2 2 2
3
∵△OAM的面积是△OAC面积的 ，
4
7 1 7
∴△OCM的面积是△OAC面积的 ，即 ×OC×|x |= ×12，
M
4 2 4
1 7
∴ ×6×|x |= ×12，
M
2 4
解得x ＝7，即点M 的横坐标为7，
M 2
在直线y＝﹣x+6中，当x＝7时，y＝﹣1，
∴M （7，﹣1）．
2
综上所述，点M的坐标为（1，5）或（7，﹣1）．
总结提升：本题主要考查了两直线相交的问题，解决问题的关键是掌握两直线交点的坐标的计算方法，
解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程
组的解．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，
6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与OA、DE相交，且将多边形
OABCDE分成面积相等的两部分．
7 5
（1）若点M（ ， ），求直线l的函数表达式；
2 2
8
（2）若点M（3， ），试说明有无数条直线l将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．
3
思路引领：（1）延长BC，交x轴于点F，连接OB、AF交于点P，连接CE、DF交于点Q．由B（4，6），D（6，4）可得P（2，3），Q（5，2）分别为矩形OFBA、矩形FEDC的中心，用待定系数法求
得直线PQ的解析式，再根据矩形的性质进行分析即可．
8
（2）另取过点M（3， ）的直线分别与OA、DE相交于点G'、H'，则S△MGG '＝S△MHH ' S四边形OG'H'E ＝S
3
⇒
多边形AG'H'DCB
，由直线G'H'的任意性可得答案．
解：（1）如图，延长BC，交x轴于点F，连接OB、AF交于点P，连接CE、DF交于点Q．
∵B（4，6），D（6，4），
∴P（2，3），Q（5，2）分别为矩形OFBA、矩形FEDC的中心，
故过点P的直线将矩形OFBA分成面积相等的两部分，
过点Q的直线将矩形FEDC的面积分成相等的两部分．
设PQ分别与OA、DE相交于点G、H，于是直线PQ将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．
设PQ解析式为y＝kx+b，将P（2，3），Q（5，2）代入得：
1
{k=-
{3=2k+b，解得： 3
2=5k+b 11
b=
3
1 11
∴直线PQ的函数表达式为y=- x+ ，
3 3
7 5 1 11
经验证，点M（ ， ）在y=- x+ 上．
2 2 3 3
1 11
∴直线l的函数表达式为y=- x+ ．
3 3
8
（2）另取过点M（3， ）的直线分别与OA、DE相交于点G'、H'，
38
注意到，直线G'H'的中点为M（3， ）．
3
则S△MGG '＝S△MHH ' S四边形OG'H'E ＝S多边形AG'H'DCB
故直线G'H'也是满⇒足条件的直线．
由直线G'H'的任意性知，满足条件的直线有无数条．
总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及矩形的性质在面积等分问题中的应用，数形结
合并明确矩形的相关性质是解题的关键．
6．（2020•浙江自主招生）对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为 ．
思路引领：由一次函数的单调性即可得知点（1，3）、（4，6）在一次函数y＝kx+b的图象上或点
（1，6）、（4，3）在一次函数y＝kx+b的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的
解析式，此题得解．
解：∵对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y＝kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y＝kx+b的
图象上．
当点（1，3）、（4，6）在一次函数y＝kx+b的图象上时，
{ k+b=3 {k=1
，解得： ，
4k+b=6 b=2
∴此时一次函数的解析式为y＝x+2；
当（1，6）、（4，3）在一次函数y＝kx+b的图象上时，
{ k+b=6 {k=-1
，解得： ，
4k+b=3 b=7
此时一次函数的解析式为y＝﹣x+7．
故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+7．
总结提升：本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数
法求出一次函数解析式是解题的关键．
7．（2020秋•瑶海区校级期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线
y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
1
A． ＜t≤1 B．1＜t≤2
2
1 1
C． ≤t≤2 D． ≤t≤2且t≠1
2 2
思路引领：由y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），得出直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，
当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边
界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形
区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论．
解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），
∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，
当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只
有四个整点，
1
则3＝2t+2，解得t= ；
2
当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只
有四个整点，
则6＝2t+2，解得t＝2；
当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只
有三个整点，
则4＝2t+2，解得t＝1；
∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 t的取
1
值范围是 ≤t≤2且t≠1，
2
故选：D．总结提升：本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并
能画出图象，结合图象解题是关键．
8．（2020秋•西城区校级月考）下列图形能表示一次函数y＝nx+m与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，
且mn≠0）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论 mn的符号，然后根据m、n同正
时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
解：①当mn＞0，m，n同号，正比例函数y＝mnx过一、三象限，同正时一次函数y＝nx+m过一，二，
三象限，同负时一次函数y＝nx+m过二，三，四象限；
②当mn＜0时，m，n异号，则正比例函数y＝mnx过二、四象限，一次函数＝nx+m过一，三，四象限
或一、二、四象限．
故选：A．
总结提升：主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
9．（2021春•曹县期末）若一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是
．
{2m+1＜0
思路引领：根据一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，可知 ，然后求解即
3-m≥0
可．
解：∵一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，
{2m+1＜0
∴ ，
3-m≥0
1
解得m＜- ，
2
1
故答案为：m＜- ．
2
总结提升：本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确一次函数的性质，列出相应的
不等式组，求出m的取值范围．
10．（2022•治多县模拟）2022年2月15日电影“长津湖”在青海大剧院演出，小锋从家出发驾车前往观
看，离开家后不久便发现把票遗忘在家里了，于是以相同的速度返回去取，到家几分钟后才找到票，为
了准时进场观看、他加快速度驾车前往．则小锋离青海大剧院的距离 y与时间t之间的函数关系的大致
图象（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
解：∵小锋从家出发驾车前往观看，∴随着时间的增加离剧院的距离越来越近，
∵离开家后不久便发现把票遗忘在家里了，于是以相同的速度返回去取，
∴随着时间的增加离剧院的距离越来越远，
又∵到家几分钟后才找到票，
∴他离剧院的距离不变，
∵为了准时进场观看，他加快速度驾车前往．
∴他离剧院的越来越小，
∴小锋离青海大剧院的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是B．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．
