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5.4.2 一次函数的图象与性质
第2 课时 一次函数的性质
题型一：一次函数性质综合判断
1．(25-26 八上·辽宁丹东东港·期中)已知一次函数y=−
1
2 x+3，下列描述该函数的四个结论中，错误的是（）
A．函数图象必经过(0,3)
B．y 的值随着x 值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限
D．当x>6时，y>0
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
根据一次函数图象的性质，逐项判断即可．
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【详解】解：一次函数为y=−
1
2 x+3，
选项A、当x=0时，y=3，图象经过点(0,3)，故A 正确；
选项B、斜率k=−
1
2 <0，所以y随x的增大而减小，故B 正确；
选项C、k<0，b=3>0，∴图象经过第一、二、四象限，故C 正确；
选项D、当x=6时，y=−
1
2 ×6+3=−3+3=0；当x>6时，y<0，故D 错误；
综上，错误的是D．
故选：D．
2．(25-26 八上·安徽合肥第四十二中学·期中)对于一次函数y=−x−3，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象与y轴的交点坐标是(0,−3)
B．函数的图象经过第二、三、四象限
C．函数的图象向上平移3 个单位长度得y=−x的图像
D．点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数图像上，若x1<x2，则y1<y2
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的性质．
根据一次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：选项A：当x=0时，y=−3，∴图像与y轴交于点(0,−3)，A 正确；
选项B：∵k=−1<0，b=−3<0，∴图像经过第二、三、四象限，B 正确；
选项C：图像向上平移3 个单位，解析式变为y=−x−3+3=−x，∴C 正确；
选项D：∵ k=−1<0，∴y随x的增大而减小，若 x1<x2，则 y1>y2，∴D 错误；
故选：D．
3．(25-26 八上·四川成都天府第七中学·月考)关于x 的一次函数y=2x−1，下列说法正确的是（ ）
A．一次函数的图象过点(−0.5,0)
B．y 随x 的增大而减小
C．一次函数的图象过第一、三、四象限 D．与y 轴交点的坐标为(0,1)
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括点是否在图象上、增减性、所经象限及与坐标轴的交点．需
逐一验证各选项．
【详解】解：∵ 一次函数为 y=2x−1，其中 k=2>0， b=−1<0．
A． 当 x=−0.5 时，y=2×(−0.5)−1=−1−1=−2≠0，
∴ 图象不过点 (−0.5,0)，A 错误．
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B． ∵ k=2>0，∴ y 随x的增大而增大，B 错误．
C． ∵ k>0， b<0，∴ 图象经过第一、三、四象限，C 正确．
D． 当 x=0 时，y=2×0−1=−1，∴ 与 y 轴交点为 (0,−1)，不是 (0,1)，D 错误．
故选：C．
4．(25-26 八上·安徽安庆太湖县实验中学教育集团·月考)对于一次函数y=4x−1，下列结论正确的是（ ）
A．图象与y轴交于点(0,2)
B．y随x的增大而减小
C．图象经过第一、二、三象限
D．当x>0时，y>−1
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系．对于一次函数y=kx+b，当k>0时，图象必过一、三象限，
y随x的增大而增大；当k<0时，图象必过二、四象限，y随x的增大而减小；当b>0时，图象必过一、二象限；
当b<0时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解．
【详解】解：令x=0，y=−1；
∴图象与y轴交于点(0,−1)，故A 错误；
∵k=4>0，
∴y随x的增大而增大，故B 错误；
∵k=4>0，b=−1<0，
∴图象经过第一、三、四象限，故C 错误；
∵x=0，y=−1；且y随x的增大而增大，
∴当x>0时，y>−1；故D 正确；
故选：D
5．(24-25 八上·广东深圳沙湾中学·期中)对于一次函数y=−x+6，下列结论错误的是（ ）
A．y 随x 的增大而减小
B．函数图象必过点(1,5)
C．函数图象不经过第三象限
D．函数图象与x 轴交点坐标是(0,6)
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的图象与x轴、y轴的交点及函数的增减性是解题的
关键．根据一次函数性质逐项判断即可．
【详解】解：y=−x+6中k=−1<0，
∴A. y 随x 的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
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B. 当x=1时，y=−1+6=5，则函数图象必过点(1,5)，故该选项正确，不符合题意；
C.∵k<0,b>0，函数图象不经过第三象限，故该选项正确，不符合题意；
D. 当y=0时，x=6，则函数图象与x 轴交点坐标是(6,0)，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
6．(24-25 八下·湖南怀化五县六校·期末)已知：y=−a2x+3(a≠0)是y 关于x 的一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x>0时，y>3
B．函数图象与y 轴的交点为(0,3)
C．y 随x 的增大而增大
D．函数图象经过第一、二、三象限
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，
一次函数解析式系数的几何意义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：∵a≠0，k=−a2<0，b=3>0
∴y 值随x 值的增大而减小，故C 错误，函数图象经过第一、二、四象限，故D 错误
当x=0时，y=3
∴函数图象与y 轴的交点为(0,3)，故B 正确，当x>0时，y<3，故A 错误，
故选：B．
题型二：根据一次函数的增减性求参数
1．(25-26 八上·安徽池州部分学校联考·期中)关于x的一次函数y=(2m+1)x+m−2，若y随x的增大而减小，且图
象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（ ）
A．m<−
1
2
B．m>−
1
2
C．−
1
2 <m<2
D．m>2
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性和图象与坐标轴的交点特征是解题的
关键．根据一次函数的增减性得到2m+1<0，再根据图象与y轴的交点的位置得到m−2<0，进而求出实数m的
取值范围．
【详解】∵y随x的增大而减小，
∴2m+1<0，即m<−
1
2．
∵图象与y轴的交点在x轴下方，
∴当x=0时，y=m−2<0，即m<2．
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∴m的取值范围是m<−
1
2且m<2，即m<−
1
2．
故选：A．
2．若一次函数y=kx+b的图象经过点(−2,1)，且y的值随x值的增大而增大，则b的值可以是（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式，由一次函数y=kx+b的图象经过点(−2,1)，则1=−2k+b，即k=
b−1
2 ，
然后通过y的值随x值的增大而增大可得
b−1
2 >0，然后解不等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点(−2,1)，
∴1=−2k+b，
∴k=
b−1
2 ，
∵y的值随x值的增大而增大，
∴k>0，
∴
b−1
2 >0，解得b>1，
∴选项D符合题意，
故选：D．
3．已知一次函数y=kx+2024的图像经过点A，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ）
A．（−1,2023）
B．（1,2019）
C．（2,2024）
D．（3,2025）
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的基本概念和一次函数y=kx+b的图像，一次函数y=kx+b的图像经过点(0,b)；
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小．解题的关键是熟练掌握k对
一次函数图像的影响．根据题意，y 随x 的增大而减小，则k为负值，分别将各选项坐标代入函数y=kx+2024，
求出k值，判断k<0即可得出结论．
【详解】A．把x=−1，y=2023代入y=kx+2024，可得2023=−k+2024，移项可得k=2024−2023=1，不满足y 随x
的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．把x=1，y=2019代入y=kx+2024，可得2019=k+2024，移项可得k=2019−2024=−5，满足y 随x 的增大而减
小，故本选项符合题意；
C．把x=2，y=2024代入y=kx+2024，可得2024=2k+2024，移项可得
2k=2024−2024，解得k=0，不满足y 随x 的增大而减小，故本选项不符合题意；
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D．把x=3，y=2025代入y=kx+2024，可得2025=3k+2024，移项可得3k=2025−2024=1，解得k=
1
3，不满足y 随
x 的增大而减小，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．(24-25 八·期末检测卷（常考题型）·期末)已知一次函数y=kx+m−2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值
y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A．k<2,m>0
B．k<2,m<0
C．k>2,m>0
D．k<0,m<0
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，
先根据直线与y 轴交点的位置可得m<0，再根据图象的增减性得k−2<0，求出解集即可.
【详解】解：∵一次函数y=kx+m−2x=(k−2)x+m的图像与y轴的负半轴相交，
∴m<0.
∵一次函数y=kx+m−2x=(k−2)x+m,函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k−2<0，
解得k<2.
故选：B.
5．(24-25 八下·山东聊城茌平区·期末)若点A（x1,y1)和B（x2,y2)都在一次函数y=(k−1)x+4（k 为常数）的图象
上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（ ）
A．k=0
B．k=1
C．k=2
D．k=3
【答案】A
【分析】此题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性，当k−1<0即k<1时，函数y 随x 的增大而减小，
即可得答案．
【详解】解：由题意，点A 和B 在函数y=(k−1)x+4的图象上，且当x1<x2时，y1>y2，
∴函数值y 随x 的增大而减小，
∴k−1<0，
解得k<1，
选项中只有k=0满足k<1，
故选：A．
6．(24-25 八上·江苏南京鼓楼实验中学·月考)若一次函数y=(1−k)x−2k的函数值随x 的增大而增大，且函数的
图象不经过第二象限，则k 的取值范围为 ．
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【答案】0≤k＜1
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象与系数
关系．
先根据函数y 随x 的增大而增大可确定1−k>0，再由函数的图象不经过第二象限，图象与y 轴的交点在y 轴
的负半轴上或原点，即−2k≤0，进而可求出k 的取值范围．
【详解】∵一次函数y=(1−k)x−2k的函数值y 随x 的增大而增大，
且此函数的图象不经过第二象限，
∴1−k>0，且−2k≤0， 解得0≤k＜1．
故答案为：0≤k＜1．
题型三：根据一次函数的增减性比较大小
1．(24-25 八下·广东肇庆·期末)若点A(2,y1),B(−2,y2),C(−3,y3)在一次函数y=
3
10 x+5的图象上，则y1,y2,y3的大
小关系是 ．
【答案】y1>y2>y3/y3<y2<y1
【分析】本题主要考查一次函的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键．
根据题意判断出函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵一次函数y=
3
10 x+5，
∴k=
3
10 >0，
∴y 随x 的增大而增大，
∵−3<−2<2，
∴y3<y2<y1．
故答案为：y3<y2<y1．
2．(24-25 八下·重庆两江新区·期末)若点A(x1,1)，B(x2,3)在一次函数y=−x+2的图象上，则x1 x2．
（填“>”，
“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查了比较一次函数的自变量的大小，分别把A(x1,1)，B(x2,3)代入y=−x+2进行计算，得
x1=1,x2=−1，再比较大小，即可作答．
【详解】解：∵点A(x1,1)，B(x2,3)在一次函数y=−x+2的图象上，
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∴1=−x1+2，3=−x2+2，
解得x1=1,x2=−1，
∵1>−1，
∴x1>x2，
故答案为：>．
3．(23-24 八下·新疆巴音郭楞蒙古·期末)已知点(x1,5)，(x2,1)，(x3,−2)都在函数y=−3x+5的图象上，则x1，
x2，x3的大小关系为 ．（用“<”号连接）
【答案】x1<x2<x3
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征即可求解，解答
本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】解：∵y=−3x+5，
∴k=−3<0，
∴y 随x 的增大而减小，
∵(x1,5)，(x2,1)，(x3,−2)都在函数y=−3x+5的图象上，且−2<1<5，
∴x1<x2<x3，
故答案为：x1<x2<x3．
4．(23-24 八下·重庆第十八中学·期中)若点A(2,y1)，点B(−1,y2)，点C(3,1)都在一次函数y=−kx+10的图象上，
则y1与y2的大小关系是 ．
【答案】y1<y2
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
先根据点C(3,1)代入可得k=3，再根据一次函数的增减性即可得．
【详解】∵点C(3,1)在一次函数y=−kx+10的图象上，
∴1=−3k+10，解得：k=3，
∴一次函数解析式为y=−3x+10，
∵k=−3<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A(2,y1)，点B(−1,y2)都在一次函数y=−3x+10的图象上，且2>−1，
∴y1<y2．
故答案为：y1<y2．
5．(2024 九·四川省成都市·模拟)如图，直线y=kx+b不经过第三象限，若点M(x1,y1),N(x2,y2)在该直线上，且
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y1、y2的大小关系为 y1>y2，则x1、x2的大小关系为 ．
【答案】x1<x2
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图像经过的象限可得到k<0，b>0，推出y随x 的增大而减小，从
而得到结果．
【详解】解：∵直线y=kx+b不经过第三象限，
∴k<0，b>0，
∴y随x 的增大而减小，
∵y1>y2，
∴x1<x2，
故答案为：x1<x2．
6．(24-25 八上·浙江杭州锦绣育才中学·期末)已知点A(m,2),B(n,−3)在一次函数y=(−k2−1)x+b的图象上，则m，
n 的大小关系是m n．（填“>”，“<”或“=”）
【答案】<
【分析】根据一次函数y=(−k2−1)x+b的性质即可得到结论．
【详解】解：∵−k2−1<0，
∴y 随x 的增大而减小，
又∵2>−3，
∴m<n
故答案为：<．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“当k>0时，y 随x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小”
是解题的关键．
题型四：直线与坐标轴的交点求不等式的解集
1．(25-26 八·四川成都石室联合中学教育集团·期中)如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B
两点，已知点A的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(0,3)，则当y<0时，自变量x的取值范围是 ．
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【答案】x<−2
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，求不等式的解集从函数的角度看，就是寻求使一次
函数y=kx+b的值大于（或小于）0 的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x
轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的解集．
y<0所对应自变量x的取值范围即为直线在x轴下方的点的横坐标的取值范围，据此求解．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(−2,0)，
∴当y<0时，x<−2，
故答案为：x<−2．
2．(25-26 八上·广西崇左宁明县宁明县城镇第一中学·月考)如图，直线y=kx+b经过点A(−3,2),B(1,0)，则关于
x 的方程kx+b=0的解是x= ，关于x 的不等式kx+b<2的解集是 ．
【答案】 1 x>−3
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
根据一元一次方程kx+b=0的解即为直线y=kx+b与x轴交点的横坐标求解；关于x 的不等式kx+b<2的解集转化
为直线y=kx+b在直线y=2下方时x的取值范围．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过点B(1,0)，
∴方程kx+b=0的解是x=1，
∵直线y=kx+b经过点A(−3,2)，
∴不等式kx+b<2的解集是x>−3，
故答案为：1，x>−3；
3．(25-26 八上·安徽阜阳临泉县三校联考·月考)如图，一次函数y=kx+4(k<0)的图象经过点A(1,2)，则关于x的
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不等式kx+4>2的解集为 ．
【答案】x<1
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．根据一次函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵k<0，
∴y 随x 的增大而减小，
∵一次函数y=kx+4(k<0)的图象经过点A(1,2)，
∴当x=1时，y=2，
∴当y>2时，x<1，
即关于x的不等式kx+4>2的解集为x<1．
故答案为：x<1
4．(24-25 八下·江苏泰州白马中学·期末)观察图象，可以得出不等式组的{kx+b>0
mx+n>0
解集是 ．
【答案】−1<x<3
【分析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，求不等式组的解集，解题关键是掌握上述知
识点并能运用求解．
根据两直线在坐标系中的位置，分别确定不等式组中两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：y=mx+n交x 轴于点(−1,0)，
当mx+n>0时，直线y=mx+n在x 轴的上方，所以x>−1；
y=kx+b交x 轴于点(3,0)，
当kx+b>0时，直线y=kx+b在x 轴的上方，所以x<3，
所以不等式组的{kx+b>0
mx+n>0
解集是−1<x<3，
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故答案为：−1<x<3．
5．(24-25 八下·贵州贵阳第十九中学·期中)一次函数y=kx+b（k，b 为常数）的图象如图所示，则不等式kx+b<1
的解集是 ．
【答案】x<0
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式．
根据图象即可得不等式的解集．
【详解】解：由图可知，当x<0时，一次函数y=kx+b的图象在直线y=1的下方，
∴不等式kx+b<1的解集是x<0．
故答案为：x<0．
6．(24-25 八下·四川泸州合江县第五片区·期末)如图直线y=−x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为−2，则关
于x的不等式−x+m>nx+4n>0的解集为 ．
【答案】−4<x<−2
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象求不等式的解集，掌握一次函数图象的性质是关
键，根据一次函数与坐标轴的交点的计算，两直线的交点坐标，数形结合分析即可求解．
【详解】解：在直线y=nx+4n中，当y=0时，x=−4，
∴当−4<x<−2时，−x+m>nx+4n>0，
故答案为：−4<x<−2 ．
7．(24-25 八下·陕西西安长安区第一中学实验初级中学·月考)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角
坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b≤k2x<0的解集是 ．
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【答案】−1≤x<0/0>x≥−1
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，运用数形结合的思想是解决此类问题的关键．利用
函数图象，找出直线l1在直线l2下方，且在x 轴下方的所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，直线l1和直线l2的交点为(−1,−2)，直线l2经过原点，
∴关于x的不等式k1x+b≤k2x<0的解集是−1≤x<0，
故答案为：−1≤x<0．
题型五：根据一次函数的断自变量的变化
1．(24-25 八下·山东潍坊·期末)已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−3x+5上的三个点，且x1<x2 <x3，
以下判断正确的是（ ）
A．若x1x2>0，则y1y3>0
B．若x1x3<0，则y1y2>0
C．若x2x3>0，则y1y3>0
D．若x2x3<0，则y1y2>0
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键．
根据一次函数y=−3x+5的增减性，逐项分析判断即可解答．
【详解】解：在直线y=−3x+5中，k=−3<0，故y随x增大而减小．由x1<x2<x3，得y1>y2>y3．
A．若x1x2>0，则x1、x2同号．当两者均为正时，x3>x2>0，此时y3可能为负，导致y1y3<0，故A 错误，不符
合题意；
B．若x1x3<0，则x1<0，x3>0．若x2>0，则y2可能为负，导致y1y2<0，故B 错误，不符合题意；
C．若x2x3>0，则x2、x3同号．当两者均为正时，x1可能为负，此时y1>0而y3<0，导致y1y3<0，故C 错误，不
符合题意；
D．若x2x3<0，则x2<0，x3>0．由x1<x2，得x1<0，故y1=−3x1+5>0，y2=−3x2+5>0，因此y1y2>0，D 正确，符
合题意．
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故选D．
2．已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在直线y=−2x+4上，当x1<x2<x3时，下列结论：①若x1+x2<0，则y2y3>0；
②若x2+x3<0，则y1y2>0；③若y1y3>0，则x2x3>0；④若y1y2<0，则x2x3>0，其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③
B．②④
C．②③④
D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数性质，结合一次函数性质，根据大小关系进行合理分析是解题关键．
先理解明y随x的增大而减小，且结合点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在直线y=−2x+4上，且x1<x2<x3，再运用
一次函数性质对各项进行逐项分析判断即可．
【详解】解：∵y=−2x+4的−2<0，
说明y随x的增大而减小，
当y=0时，则0=−2x+4，
解得x=2，
∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在直线y=−2x+4上，且x1<x2<x3，
∴ y1=−2x1+4，y2=−2x2+4，y3=−2x3+4，
①若x1+x2<0，
当x1=−3，x2=2，x3=3时，y2y3=0，故①不符合题意；
②若x2+x3<0，
∵ x1<x2<x3，
∴ x1<x2<0，y1>0，y2>0，
∴ y1y2>0，故②符合题意；
③若y1y3>0，则x2x3>0
故y1与y3同号，说明x1、x3均小于2 或均大于2，
当x1、x3均小于2，则x2<x3<2，故x2与x3不一定同号；
若x1、x3均大于2，则x2、x3同号，因此x2x3>0，结论③不符合题意，
④若y1y2<0，
∵ x1<x2<x3，
∴ y1>y2>y3，
∴ y1>0>y2>y3，
∵在直线y=−2x+4上，当y=0时，x=2，
∴ 2<x2<x3，
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∴ x2x3>0，故④符合题意，
故选：B
3．(24-25 八上·浙江杭州钱塘区·期末)已知直线l1的解析式为y1=(k−3)x+k，直线l2的解析式为
y2=−kx+3−k,M(m,a)在直线l1上，N(m,b)在直线l2上．下列说法正确的是（ ）
A．若k>3,m>−1，则a>b
B．若k<0,m<−1，则a<b
C．若k>3,m>−1，则a<b
D．若k<0,m>−1，则a>b
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的斜率判断函数的单调性，再结合点的
横坐标比较函数值大小．
由两直线的解析式变形得到直线l1和直线l2交于点(−1,3)，结合图象即可判断．
【详解】解：∵y1=(k−3)x+k，y2=−kx+3−k=−k(x+1)+3
∴直线l1和直线l2交于点(−1,3)，
若k>3,m>−1，则直线l1在直线l2的上方，如图1，
则a>b．故A 正确，C 错误；
若k<0时，如图2，
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则m<−1，则a>b,m>−1，则a<b．故B，D 错误．
故选：A．
4．(24-25 八上·江苏扬州江都区·期末)已知(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)为直线y=2x−4上的三个点，且x1<x2<x3，
则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x3>0，则y1y2>0
B．若x1x2＞0，则y1y3＞0
C．若x2x3<0，则y2y3>0
D．若x2x3<0，则y1y2>0
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键．
先求出此直线交y 轴于(0,−4)，交x 轴于(2,0)，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答，
【详解】解：当x=0时，y=−4，则此直线交y 轴于(0,−4)，
当y=0时，y=2x−4，解得：x=2，则此直线交x 轴于(2,0)，
当x<2时，y<0；当x>2时，y>0；
画出一次函数y=2x−4的图象如图所示：
，
A．若x1x3>0且x1<x2<x3，
∴x1<x2<x3<0或0<x1<x2<x3，
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当0<x1<x2<x3时，若0<x1<2，x3>x2>2，则y1<0，y2>0，即y1y2<0，即A 选项不符合题意；
B．若x1x2>0且x1<x2<x3，
∴0<x1<x2<x3或x1<x2<x3<0或x1<x2<0<x3，
当0<x1<x2<x3时，若0<x1<2，x3>2，则y1<0,y3>0，即y1y3<0，即B 选项不符合题意；
C．若x2x3<0且x1<x2<x3，
∴x1<x2<0<x3，
当x2<0，x3>2，则y2<0，y3>0，即y2y3<0，即C 选项不符合题意；
D．若x2x3<0且x1<x2<x3，
∴x1<x2<0<x3，
∴y1<0，y2<0，即y1y2>0，即D 选项符合题意．
故选：D．
5．(24-25 八下·湖北武汉东湖高新区·期末)若点A(x1,−1)，B(x2,−2)，C(x3,3)在一次函数y=−2x+m（m是常数）
的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1>x2>x3
B．x2>x1>x3
C．x1>x3>x2
D．x3>x2>x1
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性
可知一次函数y=−2x+m中y随x的增大而减小，再结合图象上点的特征即可解答．
【详解】解：∵−2<0，
∴一次函数y=−2x+m中y随x的增大而减小，
又∵−2<−1<3，
∴x2>x1>x3．
故选：B．
6．(2024·4 月浙江省台州市·模拟)已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数y=−|kx+1|+b（k，b 为常数，k≠0）上，下
列说法正确的是（ ）
A．若y1<y2<b，|x1+
1
k| > |x2+
1
k|
B．若x1<−
1
k <x2，则|b−y1|>|b−y2|
C．若y1<y2<b，则|x1+
1
k| < |x2+
1
k|
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D．若x1<−
1
k <x2，则|b−y1|<|b−y2|
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据题意画出图象，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
观察图象得：该函数图象的对称轴为y，在y 轴的左侧y 随x 的增大而增大，在y 轴的右侧y 随x 的增大而
减小，
若y1<y2<b，
当点A(x1,y1)，B(x2,y2)均在y 轴的左侧时，x1<x2<0，
此时|x1+
1
k| > |x2+
1
k|；
当点A(x1,y1)，B(x2,y2)均在y 轴的右侧时，x1>x2>0，
此时|x1+
1
k| > |x2+
1
k|；
当点A(x1,y1)，B(x2,y2)在y 轴的两侧时，|x1|>|x2|，
此时|x1+
1
k| > |x2+
1
k|；故A 选项正确，C 错误；
根据题意得：|b−y|=|b+|kx+1|−b|=|kx+1|，
设y′=|b−y|=|kx+1|，画出图象如下：
观察图象得：该函数图象的对称轴为y，在y 轴的左侧y 随x 的增大而增大，在y 轴的右侧y 随x 的增大而
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减小，
当x=−
1
k时，|b−y|=|kx+1|=0，
当x1<−
1
k <x2时，点A(x1,y1)在y 轴的左侧，B(x2,y2)在y 轴的右侧，此时无法比较y1,y2的大小，故C，D 选项
错误；
故选：A
7．(24-25 八上·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·期中)已知点A(−2,2)，B(2,3)，直线y=kx−k经过点P(1,0)．当
该直线与线段AB有交点时，k的取值范围是 ．
【答案】k≤−
2
3或k≥3
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用
待定系数法求出临界值是解题的关键．
利用临界法求得直线PA和PB的解析式即可解答．
【详解】解：当k<0时，
∵直线y=kx−k经过点P(1,0)，A(−2,2)，
∴−2k−k=2，解得∶k=−
2
3
∴k≤−
2
3，
当k>0时，
∵直线y=kx−k经过点P(1,0)，B(2,3)，
∴2k−k=3，解得：k=3，
∴k≥3．
综上，当该直线与线段AB有交点时，k 的取值范围是：k≤−
2
3或k≥3．
故答案为k≤−
2
3或k≥3．
题型六：一次函数的图象与对称问题
1．(24-25 九下·陕西西安高新唐南中学·期中)在平面直角坐标系中，若直线y=kx−1与直线y=−7x+b关于y轴对
称，则一次函数y=kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
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【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b 的值，然后进行解答即
可．
【详解】解：∵直线y=kx−1与直线y=−7x+b关于y轴对称，
∴k=7,b=−1
∴一次函数y=kx+b即y=7x−1，的图象不经过第二象限，
故选：B．
2．已知一次函数的图象与直线y=2x+1关于y轴对称，则此一次函数的解析式为（ ）
A．y=−2x+1
B．y=−2x−1
C．y=
1
2 x+1
D．y=
1
2 x−1
【答案】A
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
首先求出直线y=2x+1与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，
然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵直线y=2x+1
∴当x=0时，y=2×0+1=1，
∴直线y=2x+1与y 轴的交点为(0,1)；
∴当y=0时，0=2x+1，
解得x=−
1
2
∴直线y=2x+1与x 轴的交点为(−
1
2 ,0)
∵一次函数的图象与直线y=2x+1关于y轴对称，
∴一次函数的图象与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(
1
2 ,0)
设一次函数的解析式为y=kx+b
∴{
b=1
1
2 k+b=0
∴{ b=1
k=−2
∴此一次函数的解析式为y=−2x+1．
故选：A．
3．(24-25 八下·甘肃定西渭源县田家河中学·期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，点
A′(−2,4)．若点A 与点A′关于直线l 成轴对称，则直线l 的解析式是（ ）
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A．y=2
B．y=x
C．y=x+2
D．y=−x+2
【答案】C
【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接AA′，利用中点坐标公式求
得线段AA′的中点B(0,2)，再根据轴对称的性质得，直线l 垂直平分AA′，进而得直线l 经过一、三象限，且
经过点B，即可求解．
【详解】解：如图，连接AA′，
∵点A(2,0)，点A′(−2,4)，
∴线段AA′的中点B(0,2)，
∵点A 与点A′关于直线l 成轴对称，
∴直线l 垂直平分AA′，
∴直线l 经过一、三象限，且经过点B，
∴直线l 的解析式是y=x+2，
故选：C．
4．已知在平面直角坐标系中，直线y=kx−3（k为常数，且k≠0）与直线y=2x+b（b为常数）关于y轴对称，则
k、b的值依次为（ ）
A．−3、2
B．2、−3
C．−2、−3
D．−2、3
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关
键．
根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于y轴对称得到b=−3，
3
k =−(−
b
2)，由此即可
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求解．
【详解】解：直线y=kx−3（k为常数，且k≠0）中，当x=0时，y=−3，当y=0时，x=
3
k，
∴该直线与x轴的交点为(
3
k ,0)，与y轴的交点为(0,−3)，
直线y=2x+b（b为常数）中，当x=0时，y=b，当y=0时，x=−
b
2，
∴该直线与x轴的交点为(−
b
2 ,0)，与y轴的交点为(0,b)，
∵直线y=kx−3（k为常数，且k≠0）与直线y=2x+b（b为常数）关于y轴对称，
∴b=−3，
3
k =−(−
b
2)，
解得，k=−2，
故选：C ．
5．若直线y=2x+b与直线y=kx+3关于直线y=−x对称，则k、b 值分别为（ ）
A．k=
1
2、b=6
B．k=
1
2、b=3
C．k=−
1
2、b=6
D．k=−
1
2、b=3
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题
意得到直线y=2x+b关于直线y=−x的对称点，然后利用待定系数法即可求解．
【详解】解：直线y=2x+b与x轴的交点为(−
b
2 ,0)，与y轴的交点为(0,b)；
∴点(−
b
2 ,0)关于直线y=−x的对称点为(0,
b
2)，点(0,b)关于直线y=−x的对称点为(−b,0)，
把点(0,
b
2)、(−b,0)代入y=kx+3，
得：{
3=
b
2
0=−kb+3
，
解得：k=
1
2，b=6，
故选：A．
题型七：一次函数的图象与旋转问题
1．(24-25 九下·江苏无锡滨湖区·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与坐标轴分别交于A，B两点，
将直线AB绕点A逆时针方向旋转45°，则旋转后的直线与x轴的交点坐标为 ．
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【答案】(
3
2 ,0)/(1.5,0)
【分析】设直线y=3x+3绕点A逆时针方向旋转45°为直线AC：y=kx+b(k≠0)，过点B作BC⊥AB交y=kx+b(k≠0)于
点C，过点C作CD⊥x轴，先求得A点和B点坐标，然后证明△ABO≌△BCD，得到OB=DC=1，OA=DB=3，从
而得出点C的坐标，然后利用待定系数法，求得k和b，最后算得旋转后的直线与x轴的交点坐标．
【详解】解：设直线y=3x+3绕点A逆时针方向旋转45°为直线AC：y=kx+b(k≠0)，过点B作BC⊥AB交y=kx+b(k≠0)
于点C，过点C作CD⊥x轴，如图所示：
∵直线y=3x+3与坐标轴分别交于A，B两点，
∴x=0时，y=3；y=0时，x=−1；
∴A(0,3)，B(−1,0)，
∴OA=3，OB=1，
∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵∠AOB=∠ABC=90°，
∴∠BAO+∠ABO=∠ABO+∠DBC=90°，
∴∠BAO=∠DBC，
∵∠AOB=∠BDC=90°，
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∴△ABO≌△BCD(AAS)，
∴OB=DC=1，OA=DB=3，
∴OD=BD−OB=3−1=2，
∴C(2,−1)，
将A(0,3)，C(2,−1)代入y=kx+b(k≠0)，得{
3=b
−1=2k+b
，
∴{k=−2
b=3
，
∴y=−2x+3，
∴y=0时，x=
3
2，
∴旋转后的直线与x轴的交点坐标为(
3
2 ,0)．
故答案为：(
3
2 ,0)．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一
次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并构造出等腰直角三角形是解题的关键．
2．把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3 个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x−3的图象．
【阅读理解】
小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3 个单位长度，如何求平移后的函数表
达式？
老师给了以下提示：如图1，在函数y=−2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3 个单位长度，得到
A′、B′，直线A′B′就是函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3 个单位长度后得到的图象．
请你帮助小尧解决他的困难．
（1）将函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3 个单位长度，平移后的函数表达式为___________．
【解决问题】
（2）已知某一次函数的图象与直线y=−2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．
【拓展探究】
（3）一次函数y=−2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为
___________．（直接写结果）
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【答案】（1）y=−2x+6；（2）y=2x；（3）y=
1
2 x−
3
2
【分析】（1）平移时k 的值不变，只有b 发生变化．可以先确定平移后与x 轴的交点坐标，然后利用待定系
数法即可求得；
（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x 轴对称的特点得出答案；
（3）在直线y=−2x取两点O(0,0)，S(−1,2)，根据旋转性质求得旋转后对应点Q(5,1)，T(3,0)，然后利用待定
系数法求出直线QT的解析式即可．
【详解】解：（1）将函数y=−2x的图象沿x 轴向右平移3 个单位长度，
平移后与x 轴的交点为(3,0)，将(3,0)代入y=−2x+b中，得
0=−6+b，
解得b=6，
所以平移后的函数表达式为y=−2x+6，
故答案为：y=−2x+6；
（2）解：在函数y=−2x的图象上取两个点A(0,0)、B(1,−2)，
关于x 轴对称的点的坐标A′(0,0)、B′(1,2)，
设直线A′B′的解析式为y=kx，
把B′(1,2)代入，得
k=2，
∴一次函数的表达式为y=2x；
（3）解：如图，在直线y=−2x上取两点O(0,0)，S(−1,2)，
∵一次函数y=−2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°，
∴点O、S绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后对应点为点Q、T，
过点P作PM⊥x轴于M，过点Q作QK⊥x轴于K，过点Q作QN⊥PM于N，
∵P(2,3)，
∴OM=2，PM=3，
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由旋转可得∠OPQ=90°，OP=PQ，
∴∠OPM+∠QPN=90°，
∵PM⊥x，QN⊥PM，
∴∠PMO=∠QNP=90°，
∴∠PQN+∠QPN=90°，
∴∠OPM=∠PQN，
∴△POM≌△QPN(AAS)，
∴PN=OM=2，QN=PM=3，
∵QK⊥x轴，
∴四边形QNMK是矩形，
∴QK=MN=PM−PN=3−2=1，MK=QN=3，
∴OK=OM+MK=5，
∴Q(5,1)，
同理可求得点T(3,0)，
设直线TQ解析式为y=kx+b，
把Q(5,1)、T(3,0)代入，得
{5k+b=1
3k+b=0
，
解得：{
k=
1
2
b=−
3
2
，
∴旋转后得到函数解析式为：y=
1
2 x−
3
2．
故答案为：y=
1
2 x−
3
2．
3．(25-26 八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)对于函数y=3x−3，在如图所示的平面直角坐标系中．
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(1)画出函数的图象；
(2)填空：写出图象与x 轴的交点A 的坐标（____，____），与y 轴交点B 的坐标（____）；
(3)在（2）的条件下，求出△AOB的面积．
(4)直接写出该函数图象绕原点旋转180°后图象的函数表达式．
【答案】(1)见解析
(2)1，0；0,−3
(3)
3
2
(4)y=3x+3
【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算．
（1）分别令x=0，y=0，可求出与x 轴、y 轴的交点坐标，过两交点作直线即可．
（2）直接由（1）即可求解；
（3）根据三角形的面积公式解答即可；
（4）根据旋转的性质可得旋转后点A 的对应点的坐标为(−1,0)，点B 的对应点的坐标为(0,3)，再利用待定
系数法解答，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当x=0时，y=−3；当y=0时，x=1，画出图形如下：
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（2）解：由（1）得：图象与x 轴的交点A 的坐标为(1,0)，与y 轴交点B 的坐标为(0,−3)；
故答案为：1，0；0,−3
（3）解：S△AOB=
1
2 OA×OB=
1
2 ×1×3=
3
2
（4）解：∵该函数图象绕原点旋转180°，
∴旋转后点A 的对应点的坐标为(−1,0)，点B 的对应点的坐标为(0,3)，
设旋转后的图象的解析式为y=kx+b，
∴{−k+b=0
b=3
，解得：{k=3
b=3
，
∴该函数图象绕原点旋转180°后图象的函数表达式为y=3x+3．
题型八：两直线的交点求二元一次方程组的解
1．(25-26 八上·重庆第二外国语学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=x+5与直线l2:y=mx+n交于
点A(−1,b)，则关于x，y的方程组{ y=x+5
y=mx+n
的解为 ．
【答案】{x=−1
y=4
【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系．
将点A(−1,b)代入y=x+5，求出点A坐标，则点A的横纵坐标即为方程组{ y=x+5
y=mx+n
的解．
【详解】解：由题意得将A(−1,b)代入y=x+5，则b=−1+5=4，
∴A(−1,4)，
∴关于x，y的方程组{ y=x+5
y=mx+n
的解为{x=−1
y=4
，
故答案为：{x=−1
y=4
．
2．(24-25 八上·陕西西安铁一中学·期末)已知方程组{ y−3x+3=0
2y+3x−6=0
的解为{x=
4
3
y=1
，则一次函数y=3x−3与y=−
3
2 x+3
的交点P 的坐标是
【答案】
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( 4
3 ,1)
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组
成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可．
【详解】解：∵方程组{ y−3x+3=0
2y+3x−6=0
的解为{x=
4
3
y=1
，
∴一次函数y=3x−3与y=−
3
2 x+3的交点P 的坐标是(
4
3 ,1)．
故答案为：(
4
3 ,1)．
3．(25-26 八上·山东济南历下区·期中)如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P，则方程组{ y=x+1
y=mx+n
的解是 ．
【答案】{x=1
y=2
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应
的一次函数图象的交点坐标．
方程组{ y=x+1
y=mx+n
的解为P 点的横纵坐标．
【详解】解：∵直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P
将x=1代入y=x+1得y=1+1=2，
∴P(1,2)，
∴方程组{ y=x+1
y=mx+n
的解是{x=1
y=2
，
故答案为：{x=1
y=2
．
4．(25-26 八上·安徽安庆太湖县太湖部分学校联考·期中)两条直线y=2x−1和y=2x−3的位置关系
为 ．由此可知，方程组{2x−y=1
2x−y=3
的解的情况为 ．
【答案】 平行 无解
【分析】本题考查一次函数的位置关系，直线交点与二元一次方程组的解之间的关系；通过比较两条直线
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的k=2相等判断位置关系；方程组对应两条直线，根据位置关系判断解的情况．
【详解】解：∵对于两条直线y=2x−1和y=2x−3，k=2，
∴两条直线平行；
方程组{2x−y=1
2x−y=3
可化为{y=2x−1
y=2x−3
，
∵两条直线平行，没有交点，
∴方程组无解，
故答案为：平行，无解．
5．(24-25 八下·陕西汉中镇巴县·期末)如图，已知一次函数y=2x+b和y=kx−3(k≠0)的图象交于点P(2,−5)，则
关于x，y 的二元一次方程组{2x−y=−b
kx−y=3
的解是 ．
【答案】{ x=2
y=−5
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交
点坐标”解决问题．
【详解】解：∵点P(2,−5)为函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象的交点，
∴方程组{2x−y=−b
kx−y=3
的解为{ x=2
y=−5
，
故答案为：{ x=2
y=−5
．
6．(24-25 八上·广东佛山顺德区均安镇文田初级中学·月考)如图所示的是函数y=kx+b与y=mx+n的图象，则方
程组{y=kx+b
y=mx+n
的解是 ．
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【答案】{x=−2
y=3
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组)，解题的关键是方程组的解就是使方程组中两个方程同
时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是
两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P(−2,3)，
则二元一次方程组{y=kx+b
y=mx+n
的解是{x=−2
y=3
，
故答案为：{x=−2
y=3
．
题型九：一次函数的性质综合
1．(25-26 八上·江苏盐城康居路初级中学·期中)已知一次函数y=kx+b的图象是由一次函数y=2x的图象平移得
到，且过点P(2,5)．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)已知A(d,m)，B(2,n)是一次函数y=kx+b图象上的两点，且d<2．比较m与n的大小，并说明理由．
【答案】(1)y=2x+1
(2)m<n，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质
是解题的关键．
（1）根据平移可得两个一次函数的k相等，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数的增减性即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象是由一次函数y=2x的图象平移得到的，且经过点P(2,5)，
∴y=2x+b经过点P(2,5)，
∴5=2×2+b，
解得b=1；
∴一次函数的表达式为y=2x+1；
（2）解：∵k=2>0，
∴y 随x 的增大而增大，
∵A(d,m)，B(2,n)是一次函数y=kx+b图象上的两点，且d<2
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∴m<n．
2．(25-26 八上·安徽宣城第十二中学·月考)已知一次函数y=ax−2a+3（a为常数，且a≠0）．
(1)若a=1，且A(−2,m)，B(3,n)两点均在该函数的图象上，试比较m，n的大小；
(2)若−2≤x≤3时，y有最小值−5，求a的值．
【答案】(1)m<n
(2)a=2或a=−8
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握
并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意a=1，得一次函数为y=x+1，故该函数y 随x 的增大而增大，又A(−2,m)，B(3,n)两点均在该函
数的图象上进行判断即可；
（2）依据题意，当−2≤x≤3时，y 有最小值−5，分①当a>0时和②当a<0时，分别进行分析计算可以得解
【详解】（1）解：由题意得，a=1，
∴一次函数为y=x+1，且k=1>0，
∴该函数y 随x 的增大而增大，
又∵A(−2,m)，B(3,n)两点均在该函数的图象上，且−2<3，
∴m<n；
（2）解：∵当−2≤x≤3时，y有最小值−5，
∴①当a>0时，取x=−2时，y 有最小值，
∴y=−2a−2a+3=−5，
∴a=2，符合题意；
②当a<0时，取x=3时，y 有最小值，
∴y=3a−2a+3=−5，
∴a=−8，符合题意；
综上所述，a=2或a=−8．
3．已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,−4)．
(1)求这个函数表达式；
(2)判断点A(4,−2)，点B(−1.5,3)是否在这个函数图象上；
(3)图象上的两点C(x1,y1)，D(x2,y2)，如果x1>x2，比较y1，y2的大小．
【答案】(1)y=−2x
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(2)点A不在函数图象上，点B在函数图象上
(3)y1<y2
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，一次函数的性质与系数的
关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）将点A 或点B横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A 或点B是否在这个函数图象上；
（3）根据正比例函数的增减性，即可比较y1，y2的大小．
【详解】（1）解：将点(2,−4)代入y=kx，
得2k=−4，
解得k=−2，
∴这个函数解析式为y=−2x；
（2）解：当x=4时，y=(−2)×4=−8≠−2，
∴点A(4,−2)不在这个函数图象上；
当x=−1.5时，y=(−2)×(−1.5)=3，
∴点B(−1.5,3)在这个函数图象上；
（3）解：∵k=−2<0，
∴y 随着x 增大而减小，
∵图象上的两点C(x1,y1)，D(x2,y2)，且x1>x2，
∴y1<y2．
4．将一次函数y=kx−1的图象向上平移k个单位后恰好经过点A(3,2+k)．
(1)求k的值；
(2)若一条直线与函数y=kx−1的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为
1
2，求该直线的函数关系式．
【答案】(1)k=1
(2)y=x+1
【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”，平移后的k 值不变，是解题的关
键．
（1）一次函数y=kx−1的图象向上平移k 个单位后，解析式为y=kx−1+k，将点A(3,2+k)代入可求k 的值；
（2）依题意设所求直线解析式为y=x+b，则图象与坐标轴两交点坐标为(−b,0),(0,b)，由面积公式求b 即可．
【详解】（1）解：根据平移规律可知，平移后解析式为y=kx−1+k，
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将点A(3,2+k)代入，
得3k−1+k=2+k，
解得k=1；
（2）解：设所求直线解析式为y=x+b，
则图象与坐标轴两交点坐标为(−b,0),(0,b)．
由三角形面积公式得
1
2 ×|b|×|−b|=
1
2，
解得b=±1，
∴y=x+1或y=x−1（不合题意，舍去），
故所求直线的函数关系式为y=x+1．
题型十：一次函数解答题综合
1．(25-26 八上·福建宁德·期中)如图，一次函数y=−x+3的图象分别与x，y 轴交于A，B 两点，过点B的直线
交x轴负半轴于点C，且OB:OC=3:1．
(1)点A的坐标为_____________，点C的坐标为____________；
(2)将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，点C的对应点为点D，求点D的坐标．
【答案】(1)(3,0)，(−1,0)
(2)D(3,4)
【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求函数值或自变量的值等，确定各点与函数关系式之间的关
系是解题的关键．
（1）分别令x=0和y=0，即可求解；
（2）由折叠的性质可得∠DAB=∠BAC=45°，AD=AC=4，从而得到∠DAC=∠BAC+∠DAB=90°，即可求解．
【详解】（1）解：对于y=−x+3，
当x=0时，y=3，当y=0时，x=3，
∴点A(3,0)，点B(0,3)，即OB=3，
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∵OB:OC=3:1，
∴OC=1，
∴点C(−1,0)；
故答案为：(3,0)，(−1,0)
（2）解：由（1）得OC=1，OA=OB=3，AC=OA+OC=3+1=4，
∴ ∠OBA=∠OAB=45°，
∵将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，
∴∠DAB=∠BAC=45°，AD=AC=4，
∴∠DAC=∠BAC+∠DAB=90°，
∴D(3,4)．
2．(25-26 八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)如图，点A 是x 轴上且在原点左侧的一点，点B(2,m)在第一象限，
直线BA交y 轴于点C(0,2)，S△AOB=6．
(1)直接写出S△COB=______，点A 的坐标（_____，_____），m 的值是_______；
(2)求直线AB的函数表达式；
(3)若直线AB上有一点M，使得S△BOM=
2
3 S△AOB，求点M 的坐标．
【答案】(1)2；−4；0；3；
(2)y=
1
2 x+2
(3)(−2,1)或(6,5)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，中点坐标公式，利用分类讨论的思想求解是解
题的关键．
（1）根据三角形面积计算公式可得第一空答案，据此可求出△AOC的面积，进而得到OA的长，则可求出点
A 的坐标，再由三角形面积计算公式可得点B 的纵坐标，即m 的值；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）可证明S△BOM=2S△BOC，则BM=2BC，则可分当点M 在点C 的左侧时，则点C 为BM的中点，当点M 在
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点B 右侧时，则点B 为点C 与BM的中点所连的线段的中点，据此利用中点坐标计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵C(0,2)，
∴OC=2，
∴S△COB=
1
2 OC⋅xB=
1
2 ×2×2=2；
∵S△AOB=6，
∴S△AOC=S△AOB−S△BOC=4，
∴
1
2 OA⋅OC=4，
∴OA=4，
又∵点A 在原点左侧，
∴A(−4,0)；
∵S△AOB=
1
2 OA⋅yB=6，
∴yB=3，即m=3；
（2）解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b，
由（1）可得A(−4,0)，B(2,3)
∴{−4k+b=0
2k+b=3
，
∴{k=
1
2
b=2
，
∴直线AB的函数表达式为y=
1
2 x+2；
（3）解：∵S△BOM=
2
3 S△AOB，S△AOB=6，
∴S△BOM=4，
∵S△COB=2，
∴S△BOM=2S△BOC，
∴BM=2BC，
当点M 在点C 的左侧时，则点C 为BM的中点，
∵B(2,3)，C(0,2)，
∴M(−2,1)；
当点M 在点B 右侧时，则点B 为点C 与BM的中点所连的线段的中点，
∴BM的中点坐标为(4,4)，
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∴点M 的坐标为(6,5)；
综上所述，点M 的坐标为(−2,1)或(6,5)．
3．(25-26 八上·四川成都树德实验中学·期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=x+2与x 轴交于点A，
与y 轴交于点D，直线l2与x 轴交于点B(1,0)，与l2相交于点C(m,4)．
(1)求直线l2的解析式；
(2)求四边形OBCD的面积；
(3)若点M 是y 轴上一动点，若S△AMC=S△ABC，求点M 的坐标．
【答案】(1)直线l2的解析式为y=4x−4
(2)4
(3)(0,−1)或(0,5)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，
解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法．
（1）先求出点C 的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点A、B 的坐标，得出AB=3，然后根据S四边形OBCD=S△ABC−S△AOD求出结果即可；
（3）设点M(0,n)，求出DM=|2−n|，S△ABC=6，根据题意得到S△AMC=
1
2 DM·|xC−xA|=6，求解即可．
【详解】（1）解：∵直线l1：y=x+2与l2相交于点C(m,4)，
∴4=m+2，
解得m=2，
∴C(2,4)，
设直线l2的表达式为y=kx+b(k≠0)，
把点B(1,0)，C(2,4)代入得：
∴{ 0=k+b
4=2k+b
，
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解得{ k=4
b=−4
，
∴直线l2的解析式为y=4x−4；
（2）解：当x=0时，y=2，
∴直线l1与y 轴的交点D 的坐标为(0,2)，
∴OD=2，
当y=0时，0=x+2，x=−2，
∴直线l1与x 轴的交点A 的坐标为(−2,0)，
∴OA=2，
∵B(1,0)，
∴AB=3，
∴S四边形OBCD=S△ABC−S△AOD=
1
2 ×3×4−
1
2 ×2×2=4．
（3）解：设点M(0,n)，则DM=|2−n|，
∵S△ABC=
1
2 AB·yC=
1
2 ×[1−(−2)]×4=6，S△AMC=S△ABC，
∴S△AMC=
1
2 DM·|xC−xA|=6，
∴
1
2 ×[2−(−2)]×|2−n|=6，即|2−n|=3，
解得n=−1或n=5，
∴点M 的坐标为(0,−1)或(0,5)．
4．(25-26 八上·安徽宣城皖东南·期中)如图，已知直线y=kx+b(k≠0)经过点C(−1,0)，B(−3,3)．
(1)若直线y=2x−4与直线AB相交于点A，求点A 的坐标；
(2)根据图象，直接写出2x−4<kx+b≤0的解集；
(3)在x 轴上有一点P，若△ACP的面积为9，求P 点的坐标．
【答案】(1)A (
5
7 ,−
18
7 )
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(2)−1≤x<
5
7
(3)(6,0)或(−8,0)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解方程组，求不等式的解集，
熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）先求得y=kx+b的解析式为y=−
3
2 x−
3
2，构造方程组求交点坐标即可；
（2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可．
（3）设点P 的坐标为(x,0)，根据S△ACP=
1
2 ×|x+1|×
18
7 =9，解方程即可得出x 的值，进而可求出点P 的坐标．
【详解】（1）解：根据题意，直线y=kx+b，经过点C(−1,0)，B(−3,3)，
根据题意，得{ −k+b=0
−3k+b=3
，
解得{
k=−
3
2
b=−
3
2
，
∴y=kx+b的解析式为y=−
3
2 x−
3
2，
根据题意，得{
y=2x−4
y=−
3
2 x−
3
2
，
解得{
x=
5
7
y=−
18
7
，
故A (
5
7 ,−
18
7 )．
（2）解：根据题意，得A (
5
7 ,−
18
7 )，由2x−4<kx+b≤0，得
{
2x−4<−
3
2 x−
3
2 ①
−
3
2 x−
3
2 ≤0②
，
由图象知①的解集为x<
5
7，
解不等式②得，x≥−1，
故不等式组的解集，得−1≤x<
5
7．
（3）解：设点P 的坐标为(x,0)，
S△ACP=
1
2 ×|x+1|×
18
7 =9，
解得x=6或x=−8，
∴点P 的坐标为(6,0)或(−8,0)．
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5．(25-26 九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中)如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，直线CD分别与x轴
和y轴交于D、C两点，D、C两点的位置如图所示，直线AB分别与x轴和y轴交于A、B两点，且与直线CD交
于点E．
(1)求直线CD的解析式；
(2)若点A、D关于y轴对称，OB=3OC，求四边形AOCE的面积．
【答案】(1)y=−
3
4 x+3
(2)12
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由轴对称的性质可得A(−4, 0)，求出点B(0, 9)，利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=
9
4 x+9，联立
{
y=−
3
4 x+3
y=
9
4 x+9
，可得点E的坐标为(−2,
9
2)，再由S四边形AOCE=S△ABO−S△BCE计算即可得解．
【详解】（1）解：设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0)，
则{4k+b=0
b=3
，
解得{k=−
3
4
b=3
，
∴直线CD的解析式y=−
3
4 x+3；
（2）解：∵点A、D关于y轴对称，
∴A(−4, 0)，
∵OB=3OC，
∴OB=3×3=9，
∴点B(0, 9)，
设直线AB的解析式为y=mx+n(m≠0)，
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则{−4m+n=0
n=9
，
解得：{m=
9
4
n=9
，
∴直线AB的解析式为y=
9
4 x+9，
联立{
y=−
3
4 x+3
y=
9
4 x+9
，
解得{
x=−2
y=
9
2
，
∴点E的坐标为(−2,
9
2)，
∴S四边形AOCE=S△ABO−S△BCE=
1
2 ×4×9−
1
2 ×(9−3)×2=18−6=12．
题型一：根据一次函数的增减性求最值
1．(2025·黑龙江省大庆市·三模)已知一次函数y=kx+3，当−3≤x≤4时，y的最大值是
9
2，则y的最小值是 ．
【答案】1 或
15
8
【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性．
分k>0及k<0两种情况，根据y的最大值是
9
2，求出此时的x的值，从而得出k的值，再求出y的值即可．
【详解】解：当k>0时，一次函数y=kx+3中，y 随x 的增大而增大，
∵当−3≤x≤4时，y的最大值是
9
2，
∴ x=4，
此时k=
3
8，即y=
3
8 x+3
当x=−3时，一次函数有最小值，最小值为y=
15
8 ；
当k<0时，一次函数y=kx+3中，y 随x 的增大而减小，
∵当−3≤x≤4时，y的最大值是
9
2，
∴ x=−3，
此时k=−
1
2，即y=−
1
2 x+3
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当x=4时，一次函数有最小值，最小值为y=1；
综上所述，y的最小值是1 或
15
8 ；
故答案为：1 或
15
8 ．
2．(23-24八上·浙江宁波江北区宁波大学青藤书院·月考)已知实数x满足：
3x−1
2 +
2x+5
3 −x≥
7
3，若函数y=|x−3|−|x+2|
的最大值为m，最小值为n，则m+n的值等于 ．
【答案】−6
【分析】本题主要考查解不等式和去绝对值、一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用，先解
得不等式的解，再结合不等式求得各自的最大值和最小值，即可求得答案．
【详解】解：
3x−1
2 +
2x+5
3 −x≥
7
3，
去分母得，3(3x−1)+2(2x+5)−6x≥14，
去括号合并同类项得，7x≥7，解得x≥1，
当1≤x≤3，y=|x−3|−|x+2|=3−x−x−2=1−2x，此时最大值为y=1−2x=1−2×1=−1，最小值为y=1−2x=1−2×3=−5，
当x>3，y=|x−3|−|x+2|=x−3−x−2=−5，
则函数y=|x−3|−|x+2|的最大值为m=−1，最小值为n=−5，m+n=−5+(−1)=−6，
故答案为：−6．
3．已知a，b，c 是非负数，且满足a+2b+4c−10=0，a−b+c−1=0，设y=3a+2b+c，则y 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的图象与性质．熟练掌握三元一次方
程组，一元一次不等式组，一次函数的图象与性质是解题的关键．
依题意得，{a+2b+4c−10=0
a−b+c−1=0
，解得，{a=4−2c
b=3−c
，由a，b，c 是非负数，可得{
c≥0
4−2c≥0
3−c≥0
，解得，0≤c≤2，则
y=3×(4−2c)+2×(3−c)+c=−7c+18，根据一次函数的性质求解作答即可．
【详解】解：依题意得，{a+2b+4c−10=0
a−b+c−1=0
，
解得，{a=4−2c
b=3−c
，
∵a，b，c 是非负数，
∴{
c≥0
4−2c≥0
3−c≥0
，
解得，0≤c≤2，
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43 /
∴y=3×(4−2c)+2×(3−c)+c=−7c+18，
∵−7<0，
∴当c=2时，ymin=−7×2+18=4，
故答案为：4．
4．(23-24 八上·甘肃张掖甘州区张掖育才中学·期末)如图，在直角坐标系中，点A(2,m)在直线y=2x−
5
2上，过
点A 的直线交y 轴于点B(0，3)．若点P(t,y1)在线段AB上，点Q(t−1,y2)在直线y=2x−
5
2上，则y1−y2的最大
值 ．
【答案】
15
2 /7
1
2/7.5
【分析】本题考查一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先求出点A 的坐
标，然后求出直线AB的解析式，再把P，Q 代入两个函数得到y1−y2的表达式，根据t 的取值范围即可求出
最大值．
【详解】解：∵点A(2,m)在直线y=2x−
5
2上，
∴m=2×2−
5
2 =
3
2，即点A (2,
3
2)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则{
b=3
2k+b=
3
2
，
解得：{
b=3
k=−
3
4
，
∴直线AB的解析式为：y=−
3
4 x+3，
∴y1=−
3
4 t+3(0≤t≤2)，y2=2(t−1)−
5
2 =2t−
9
2，
∴y1−y2=−
3
4 t+3−(2t−
9
2) =−
11
4 t+
15
2 ，
∵0≤t≤2，
∴当t=0时，y1−y2有最大值
15
2 ，
故答案为：
15
2 ．
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44 /
5．(24-25 八下·湖北襄阳枣阳·期末)直线y=kx+b经过点(3,−2)，当−1≤x≤5时，y 的最大值为6，则k 的值为 ．
【答案】4或−2
【分析】先根据直线y=kx+b经过点(3,−2)得到3k+b=−2①，再分k=0，k>0，k<0三种情况结合当−1≤x≤5时，y
的最大值为6 进行求解即可．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过点(3,−2)，
∴3k+b=−2①，
当k=0时，则b=−2，则直线y=kx+b即为直线y=−2，
又∵当−1≤x≤5时，y 的最大值为6，
∴此种情况不成立；
当k>0时，则y 随x 增大而增大，
∴当x=5时，y=6，
∴5k+b=6②，
联立①②得：{ k=4
b=14
；
当k<0时，则y 随x 增大而减小，
∴当x=−1时，y=6，
∴−k+b=6③，
联立①③得：{k=−2
b=4
；
综上所述，k=4或k=−2，
故答案为：4或−2．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的相关知识是
解题的关键．
题型二：一次函数的中规律探索
1．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=−x的图象分别为直线l1,l2，过点(1,0)作x轴的垂线交l1于点A1，
过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,⋯⋯依次进
行下去，则点A2025的坐标为（ ）
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45 /
A．(1012,−1013) B．(−10122,10132) C．(21012,21013)
D．(21012,−21013)
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次
函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9等的坐标，根据坐标的变化找出
变化规律“A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1 ,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)（n为自然数）”，
依此规律结合2025=506×4+1即可找出点A2025的坐标．
【详解】解：当x=1时，y=2，
所以点A1的坐标为(1,2)．
当y=−x=2时，x=−2，
所以点A2的坐标为(−2,2)．
同理可得A3(−2,−4)，A4(4,−4)，A5(4,8)，A6(−8,8)，A7(−8,−16)，A8(16,−16)，A9(16,32)，A10(−32,32),⋯
所以A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1 ,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)（n为自然数）．
因为2025=506×4+1，
所以点A2025的坐标为(2506×2,2506×2+1)，即(21012 ,21013)．
故选：C．
2．(2025 九·广东省佛山市·模拟)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,⋯按如图的方式放置，点A1, A2,A3,⋯和
点C1,C2,C3,⋯分别在直线y=x+1和x轴上，其面积分别记为S1,S2, S3,⋯，则S1+S2+⋯+S2023=（ ）
参考公式：a+a2+a3+⋯+an=
a(1−an)
1−a (a≠1)．
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A．
1
3 (42023−1)
B．
1
3 (42022−1)
C．
4
3 (42023−1)
D．
4
3 (42022−1)
【答案】A
【分析】本题考查一次函数找规律问题，找到题中的规律是解题的关键，根据一次函数解析式求出A1(0,1)，
C1(1,0)的坐标，从而找到规律，从而得到S1+S2+⋯+S2023=1+41+42+43+⋯+42022，再根据提示即可求得答案．
【详解】解：∵点A1, A2,A3,⋯和点C1,C2,C3,⋯分别在直线y=x+1和x轴上，
∴A1(0,1)，C1(1,0)，
∴S1=1×1=1，
∴将C1(1,0)代入y=x+1得，A2(1,2)
∴C1A2=2，
∴S2=2×2=4=22=4，
以此类推可得：S3=42，
S4=82=64=43，
⋮
∴S1+S2+⋯+S2023=1+41+42+43+⋯+42022
=1+ 4×(1−42022)
1−4
=1+ 4
3 (42022−1)
=
1
3 (42023−1)．
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，解析式为y=√3x+1的直线a，解析式为y= √3
3 x的直线b 如图所示，直线a 交y 轴于
点A，以OA为边作第一个等边三角形OAB，过点B 作y 轴的平行线交直线a 于点A1，以A1B为边作第二个等
边三角形A1BB1 ⋯⋯顺次这样作下去，第2020 个等边三角形的边长为（ ）
A．22019
B．22020
C．4038
D．4040
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【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象中的规律探索，等边三角形性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定
理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键．依题意，分别求出前面几个等边三角形的
边长，得出规律，即可求解．
【详解】解：如图，延长A1B交x轴于点E，
当x=0时，y=√3x+1=1，
∴OA=1，
即第1 个等边三角形的边长为1；
∵△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠EOB=30°，
∵A1B∥y轴，
∴BE⊥OE，
∴BE=
1
2 OB=
1
2，
∴OE=√3BE= √3
2 ，
当x= √3
2 时，y=√3x+1=
5
2，
∴A1 (√3
2 ,
5
2)，
∴A1E=
5
2，
∴A1B=A1E−BE=2，
即第2 个等边三角形的边长为2；
延长A2B1交x轴于点F，同理可得A2B1=4=22，即第3 个等边三角形的边长为22；
同理得A3B2=8=23，即第4 个等边三角形的边长为23；
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⋯⋯
可得第2020 个等边三角形的边长为22019，
故选：A．
4．(24-25 八下·山东济宁曲阜·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分
别在直线y=
1
3 x+b和x轴上，直线y=
1
3 x+b与x轴交于点M，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三
角形，如果点A1(1,1)，那么点A2025的纵坐标是（ ）
A．2024
B．4048
C．22025
D．22024
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列A1、A2、A3⋯An纵坐标得出一般规
律，再按照规律求出A2025的纵坐标即可得到答案．罗列A1、A2、A3⋯An纵坐标得出一般规律是解决问题的
关键．
【详解】解：∵直线y=
1
3 x+b过点A1(1,1)，
∴1=
1
3 ×1+b，解得b=
2
3，
∴直线解析式为y=
1
3 x+
2
3，
作A1E⊥x轴，A2F⊥x轴，A3G⊥x轴，⋯，如图所示：
∵A1(1,1)，
∴A1E=1=20，A1的纵坐标为1=20，
∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，
设A2F=m，
∴A2(2+m,m)，
将A2(2+m,m)坐标代入直线解析式y=
1
3 x+
2
3得m=
1
3 (2+m)+
2
3，解得m=2=21，
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∴A2F=2=21，A2的纵坐标为2=21，
设A3G=n，
∴A3(6+n,n)，
将A3(6+n,n)代入直线解析式y=
1
3 x+
2
3得n=
1
3 (6+n)+
2
3，解得n=4=22，
⋯，
∴综上所述，猜想An的纵坐标规律为2n﹣1，
∴A2025的纵坐标为22024，
故选：D．
5．(24-25 八下·山东德州宁津县育新中学等·期中)在平面直角坐标系中，直线l:y=x−1与x 轴交于点A1，如图
所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBnCnCn−1，使得点A1，A2，A3，……，在
直线l 上，点C1，C2，C3，…，在y 轴正半轴上，则点B2024的坐标为（ ）
A．(22023,22024−1)
B．(22024,22024−1)
C．(22023,22024+1)
D．(22023,22023+1)
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变
化找出变化规律Bn(2n−1,2n−1)（n为正整数）是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5…
及B2、B3、B4、B5…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律Bn(2n−1,2n−1)（n为正整数），依此规律即可
得出结论．
【详解】解：当y=0时，由x−1=0，
解得：x=1，
∴点A1的坐标为(1,0)，
∵ A1B1C1O为正方形，
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∴B1(1,1)，
同理可得：A2(2,1)，A3(4,3)，A4(8,7)，A5(16,15)，…，
∴ B2(2,3)，B3(4,7)，B4(8,15)，B5(16,31)，…，
∴Bn(2n−1,2n−1)（n为正整数），
∴点B2024的坐标为：(22023,22024−1)，
故选：A．
6．(24-25 九下·湖南怀化九县十校·调研)如图，已知直线a：y=x，直线b：y=−
1
2 x和点P(1,0)，过点P作y轴的
平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点
P3作x轴的平行线交直线b于点P4⋯⋯按此作法进行下去，则点P2023的横坐标为（ ）
A．21010
B．−21010
C．21011
D．−21011
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可．
【详解】解：∵ P(1,0)，点P1在直线a:y=x上，
∴ P1(1,1)，
∵ P1P2 ∥x轴，
∴点P2的纵坐标为1，
∵点P2在直线b:y=−
1
2 x上，
∴ 1=−
1
2 x，解得x=−2，
∴ P2(−2,1)，即点P2的横坐标为−2，
同理，点P3的横坐标为−2，
点P4的横坐标为22，
点P5的横坐标为22，
点P6的横坐标为−23，
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点P7的横坐标为−23，
点P8的横坐标为24，
⋯⋯
∴点P4n的横坐标为22n，
∵ 2024÷4=506，
∴点P2024的横坐标为22×506=21012，
∴点P2024的纵坐标为−
1
2 ×21012=−21011，
∵ P2023P2024 ∥x轴，
∴点P2023的纵坐标为−21011，
∵点P2023在直线a:y=x上，
∴点P2023的横坐标为−21011．
故选：D．
题型三：一次函数解答题压轴之存在性问题
1．(25-26 八上·安徽淮北·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x 轴、y 轴交于点A(4,0)，B，直
线l2分别与x 轴、y 轴交于点C，D，点C 在点A 的左边，且OC=
1
2 OA，直线l1与直线l2交于点E(1,2)．
(1)求直线l1与l2的函数表达式．
(2)求△BDE的面积．
(3)在直线l2上是否存在一点P，使得S△BEP=3S△BDE？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线l1函数表达式为y=−
2
3 x+
8
3；直线l2函数表达式为y=
2
3 x+
4
3
(2)S△BDE=
2
3
(3)存在，点P 坐标为(4,4)或(−2,0)
【分析】（1）由点A 和点E 坐标可求出直线l1函数表达式，再求出点C 坐标，根据点C 和点E 坐标可求出
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直线l2函数表达式；
（2）分别求出点B 和点D 坐标，进而根据面积公式求解即可；
（3）分类讨论，点P 在点E 上方和下方，然后表示出△BDP的面积，再根据面积公式求解即可．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨
论是解题的关键．
【详解】（1）设l1表达式为y=kx+b，将点A(4,0)，E(1,2)代入得，
{4k+b=0
k+b=2
，解得{
k=−
2
3
b=
8
3
，
∴直线l1函数表达式为y=−
2
3 x+
8
3；
由题可知OC=
1
2 OA=2，
∴C(−2,0)，
设直线l2表达式为y=mx+n，将C(−2,0)，E(1,2)代入得，
{−2m+n=0
m+n=2
，解得{
m=
2
3
n=
4
3
，
∴直线l2函数表达式为y=
2
3 x+
4
3；
（2）令l1：x=0，得y=−
2
3 ×0+
8
3 =
8
3，
∴B (0,
8
3)，
令l2：x=0，得y=
4
3，
∴D (0，
4
3)，
∴BD=
8
3 −
4
3 =
4
3，
∴S△BDE=
1
2 BD⋅xE=
1
2 ×
4
3 ×1=
2
3；
（3）当点P 在点E 上方时，如图，
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此时S△BDP=S△BDE+S△BEP=4S△BDE=
8
3，
∴
1
2 BD⋅xP=
8
3，
解得xP=4，
此时yP=
2
3 ×4+
4
3 =4，
∴P(4,4)；
当点P 在点E 下方时，如图，
此时S△BDP=S△BEP−S△BDE=2S△BDE=
4
3，
∴
1
2 BD⋅xP=
4
3，
解得xP=−2(正值舍去)，
此时yP=0，
∴P(−2,0)；
综上，满足题意的点P 坐标为(4,4)或(−2,0)．
2．(24-25 八·广东清远清城区飞来湖中学·月考)如图，直线y=−
1
2 x+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，点C
是OA的中点．
(1)求出点B、点C的坐标及b的值；
(2)在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
(3)若点D为y轴上的一点，使得△ABD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)B(0,2)，C(2,0)，b=2；
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(2)点P的坐标为(−1,0)或(0,0)；
(3)点D的坐标为(0,2+2√5)或(0,2−2√5)或(0,−3)或(0,−2)．
【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的
关键．
（1）由y=−
1
2 x+b与x轴交于点A(4,0)从而求出b的值，即有点B(0,2)，然后根据点C是OA的中点，点A(4,0)，
得出点C(2,0)；
（2）分①当∠ABP1=90°时，②当∠AP2B=90°时，即P2与O重合时两种情况分析即可；
（3）分如图①当BA=BD1，②当BA=BD2，③当AD3=BD3时，④当AB=AD4时四种情况分析求解．
【详解】（1）解：∵y=−
1
2 x+b与x轴交于点A(4,0)，
∴0=−
1
2 ×4+b，
∴b=2，
∴y=−
1
2 x+2，
当x=0时，y=2，
∴点B(0,2)，
∵点C是OA的中点，点A(4,0)，
∴点C(2,0)；
（2）解：①如图，当∠ABP1=90°时，
∵点A(4,0)，点B(0,2)，
∴OA=4，OB=2，
∴AB=√OB2+OA2=√22+42=2√5，
设P1(m,0)，
∴AP1=4−m，OP1=|m|，
∴BP1=√m2+4，
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∴AP1
2=BP1
2+AB2，
∴(4−m)2=(2√5)
2+m2+4，
解得m=−1，
∴P1(−1,0)；
②如图，当∠AP2B=90°时，即P2与O重合时，
∴P2(0,0)，
综上可知，点P的坐标为(−1,0)或(0,0)；
（3）解：由（2）得：AB=2√5，
如图，
①当BA=BD1，则D1(0,2+2√5)；
②当BA=BD2，则D2(0,2−2√5)；
如图，设D3(0,n)，
③当AD3=BD3时，
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56 /
∴AD3
2=n2+42，BD3
2=(n−2)2，
∴n2+42=(n−2)2，解得：n=−3，
∴D3(0,−3)，
如图，
④当AB=AD4时，
∴OB=OD4，
∴D4(0,−2)，
综上可知：△ABD为等腰三角形，点D的坐标为(0,2+2√5)或(0,2−2√5)或(0,−3)或(0,−2)．
3．如图1，平面直角坐标系中，直线AB:y=kx+b交 y 轴于点A(0,3)，交 x 轴于点 B(6,0)，直线x=2交 AB 于
点 D，交 x 轴于点E．
(1)求直线AB的表达式和D点的坐标．
(2)如图 2，点P的坐标为(2,−4)，则△ABP的面积是 ．
(3)设点Q是 x 轴上一动点，求AQ+DQ的最小值．
(4)以AB为腰在第一象限作等腰直角三角形ABC，直接写出点C 的坐标．
【答案】(1)y=−
1
2 x+3，D(2,2)
(2)18
(3)√29
(4)(9,6)或(3,9)
【分析】（1）利用待定系数法运算求出解析式即可，再把x=2代入函数解析式求出点D 的坐标即可；
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57 /
（2）利用三角形的面积公式计算即可；
（3）作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′D交x 轴于点Q，此时AQ+DQ的值最小，最小值为A′D的长，再利
用勾股定理求出AD的长即可；
（4）分类讨论点C 的位置，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质与判定即可求解．
【详解】（1）解：∵直线AB:y=kx+b交 y 轴于点A(0,3)，交 x 轴于点 B(6,0)，
∴{6k+b=0
b=3
，解得：{y=−
1
2
b=3
，
∴直线AB的表达式为y=−
1
2 x+3，
当x=2时，y=−
1
2 ×2+3=2，
∴点D 的坐标为(2,2)；
（2）解：由（1）得：点D 的坐标为(2,2)，
∵点P 的坐标为(2,−4)，
∴DP=2−(−4)=6，
∴S△ABP=S△ADP+S△BDP=
1
2 DP⋅OE+
1
2 DP⋅BE=
1
2 DP⋅OB=
1
2 ×6×6=18；
（3）解：存在，
如图，作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′D交x 轴于点Q，
∴AQ=A′Q，点A′的坐标为(0,−3)，
∴AQ+DQ=A′Q+DQ≥A′D，
∴当点A′、Q、D 三点共线时，AQ+DQ的值最小，最小值为A′D的长，
∵点A′的坐标为(0,−3)，点D 的坐标为(2,2)，
∴A′D=√22+(2+3)2=√29；
（4）解：∵以AB为腰在第一象限作等腰直角三角形ABC，
∴∠ABC=90°或∠BAC=90°，
当∠ABC=90°时，记等腰直角三角形为△ABC1，作C1M⊥x轴于点M，则∠C1MB=90°，
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58 /
∵∠ABC1=90°,∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠C1BM=90°,∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABO+∠C1BM=∠ABO+∠BAO，即∠C1BM=∠BAO，
∵BC1=AB,∠C1MB=∠BOA=90°，
∴△BC1M≌△ABO(AAS)，
∴C1M=BO=6,BM=AO=3，
∴OM=OB+BM=6+3=9，
∴点C1(9,6)；
当∠BAC=90°时，记等腰直角三角形为△ABC2，
同理可得C2(3,9)，
综上所述，满足条件的点C 的坐标为(9,6)或(3,9)．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、轴对称的最短路径问题、等腰直角三角形的性质、
全等三角形的性质的判定和性质，熟练掌握相关知识点，结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．(25-26 九上·四川达州高级中学江湾城校区（初中）·月考)如图，直线y=
4
3 x+4与x轴相交于点A，与y轴相
交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如果x轴上有一动点M，要使以A、B、M为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有
M点坐标．
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【答案】(1)A(−3,0)，B(0,4)；
(2)点M的坐标为(−8,0)或(2,0)或(3,0)或(
7
6 ,0)．
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨
论的思想，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）当y=0时，求出x的值，当x=0时，求出y的值，即可得出A、B两点的坐标；
（2）分①当AB=AM=5，且点M在x轴上时；②当AB=BM3=5时，点M3位于y轴右侧；③当AM4=BM4时，点M4
位于y轴右侧三种情况分析即可．
【详解】（1）解：由直线y=
4
3 x+4得，
当y=0时，x=−3；当x=0时，y=4，
∴A(−3,0)，B(0,4)；
（2）解：∵A(−3,0)，B(0,4)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=√OA2+OB2=5，
①如图，当AB=AM=5，且点M在x轴上时，
∴当点M1在点A左侧时，OM1=3+5=8，
∴此时点M1的坐标为(−8,0)；
当点M2在点A右侧时，OM2=5−3=2，
∴此时点M2的坐标为(2,0)；
②如图，当AB=BM3=5时，点M3位于y轴右侧，
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60 /
∴OM3=√BM3
2−OB2=3，
∴此时点M3的坐标为(3,0)；
③如图，当AM4=BM4时，点M4位于y轴右侧，
设M4(m,0)，则OM4=m，AM4=BM4=m+3，
∴BM4
2=OB2+OM4
2，
∴(m+3)2=42+m2，解得：m=
7
6，
∴M4 (
7
6 ,0)，
综上可得，点M的坐标为(−8,0)或(2,0)或(3,0)或(
7
6 ,0)．
5．(25-26 八上·陕西西安西咸新区西安高新一中沣东中学初中校区·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线
y=x+b与x 轴、y 轴分别交于点A、B，与直线y=ax+
13
2 交于点C(3,5)．直线y=ax+
13
2 与x 轴交于点D．点P 是
射线DA上的一个动点，且点P 从点D 出发以每秒2 个单位长度匀速运动．设点P 的运动时间为ts．
(1)求两条直线的关系式；
(2)当△ACP的面积为15 时，求t 的值；
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61 /
(3)试探究，在点P 运动过程中，是否存在t 的值，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)两条直线的关系式为y=x+2和y=−
1
2 x+
13
2
(2)当△ACP的面积为15 时，t 的值为4.5s或10.5s
(3)在点P 运动过程中，存在t 的值，使△ACP为直角三角形，t 的值为2.5 或5
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点C 作CH⊥AD于点H，利用点C 的坐标求得CH，则△ACP的高可得，利用点A，D 的坐标求得AD，
利用t 的代数式表示出AP的长度，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠APC=90°时，通过求得PD的长度解答即可得出
结论；当∠ACP=90°时，过点C 作CH⊥AD于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得PD的长度，再利
用①的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵直线y=x+b与直线y=ax+
13
2 交于点C(3,5)，
∴{
3+b=5
3a+
13
2 =5 ，
∴{a=−
1
2
b=2
，
∴两条直线的关系式为y=x+2和y=−
1
2 x+
13
2 ；
（2）解：过点C 作CH⊥AD于点H，如图，
∵C(3,5)，
∴CH=5．
对于y=x+2，令y=0，则x+2=0，
∴x=−2，
∴A(−2,0)，
∴OA=2．
对于y=−
1
2 x+
13
2 ，令y=0，则−
1
2 x+
13
2 =0，
∴x=13，
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∴D(13,0)，
∴OD=13，
∴AD=OA+OD=15．
∵点P 是射线DA上的一个动点，且点P 从点D 出发以每秒2 个单位长度匀速运动．点P 的运动时间为ts，
∴PD=2t，
∴AP=15−2t或2t−15．
∵△ACP的面积为15，
∴
1
2 AP⋅CH=15，
∴
1
2 (15−2t)×5=15或
1
2 (2t−15)×5=15，
∴t=4.5或t=10.5．
∴当△ACP的面积为15 时，t 的值为4.5s或10.5s．
（3）解：在点P 运动过程中，存在t 的值，使△ACP为直角三角形，t 的值为2.5 或5．理由：
由题意知：∠CAP<90°．
①当∠APC=90°时，如图，
∵C(3,5)，
∴OP=3．
由（2）知：OD=13，
∴PD=OD−OP=10，
∴t=
10
2 =5；
②当∠ACP=90°时，过点C 作CH⊥AD于点H，如图，
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∵C(3,5)，
∴CH=5，OH=3，
∴AH=OA+OH=5，
∴AH=CH=5，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠CAH=45°，
∵∠APC=90°，
∴∠CPA=45°，
∴△PCH为等腰直角三角形，
∴PH=CH=5，
∴PD=OD−OH−PH=13−5−3=5，
∴t=
5
2 =2.5．
综上，在点P 运动过程中，存在t 的值，使△ACP为直角三角形，t 的值为2.5 或5．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，三角形
的面积，分类讨论的思想方法，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出
相应线段的长度是解题的关键．
6．(24-25 八上·广东深圳沙湾中学·期中)如图，在平面直角坐标系中将y=2x+1向下平移3 个单位长度得到直
线l1，直线l1与x 轴交于点C；直线l2:y=x+2与x 轴、y 轴交于A、B 两点，且与直线l1交于点D．
(1)填空：点A 的坐标为______，点B 的坐标为______．
(2)直线l1的表达式为_____________．
(3)在直线l1上是否存在点F，使S△ACF=2S△ABC？若存在，则求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)在直线l1上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(−2,0)；(0,2)
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(2)y=2x−2
(3)存在；(3,4)或(−1,−4)
(4)存在；点P 的坐标为(−
1
5 ,−
12
5 )或(1+
3√5
5 ,
6√5
5 )或(1−
3√5
5 ,−
6√5
5 )或(−
1
2 ,−3)
【分析】（1）分别将x=0,y=0代入y=x+2，即可求得A、B两点的坐标；
（2）根据一次函数图象的平移特点求解即可；
（3）先求出△ABC的面积，然后根据三角形的面积关系即可求得点F的纵坐标，再代入y=2x−2，即可求得点
F的横坐标；
（4）分三种情况讨论：当AP=AC时，当CP=AC时，当AP=CP时，分别列出方程，求出结果即可．
【详解】（1）解：把x=0代入y=x+2得y=2，
把y=0代入y=x+2得0=x+2，
解得：x=−2，
∴A(−2,0),B(0,2)，
故答案为：(−2,0)、(0,2)；
（2）解：∵将直线y=2x+1向下平移3 个单位长度得到直线l1，
∴l1的解析式为y=2x+1−3=2x−2，
故答案为：y=2x−2；
（3）解：存在；
把y=0代入y=2x−2得0=2x−2，
解得：x=1，
∴C(1,0)，
∴S△ABC=
1
2 [1−(−2)]×2=3，
∵S△ACF=2S△ABC，
∴S△ACF=6，
∴
1
2 [1−(−2)]×|yF|=6，
解得：yF=±4，
将y=4代入y=2x−2，得x=3，
将y=−4代入y=2x−2，得x=−1，
∴点F 的坐标为(3,4)或(−1,−4)；
（4）解：存在；
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∵A(−2,0)，C(1,0)，
∴AC=1−(−2)=1+2=3，
设点P(m,2m−2)，则：
AP2=(−2−m)2+(2m−2)2=5m2−4m+8，
CP2=(1−m)2+(2m−2)2=5m2−10m+5，
当AP=AC时，AP2=AC2，
即5m2−4m+8=32，
解得：m=−
1
5或m=1（舍去），
此时点P 的坐标为(−
1
5 ,−
12
5 )；
当CP=AC时，CP2=AC2，
即5m2−10m+5=32，
解得：m=1+
3√5
5 或m=1−
3√5
5 ，
此时点P 的坐标为(1+
3√5
5 ,
6√5
5 )或(1−
3√5
5 ,−
6√5
5 )；
当AP=CP时，AP2=CP2，
即5m2−4m+8=5m2−10m+5，
解得：m=−
1
2，
此时点P 的坐标为(−
1
2 ,−3)；
综上分析可知，点P 的坐标为(−
1
5 ,−
12
5 )或(1+
3√5
5 ,
6√5
5 )或(1−
3√5
5 ,−
6√5
5 )或(−
1
2 ,−3)．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标
特点，等腰三角形的定义，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
7．(24-25 八下·重庆西南大学附中·开学考)如图，一次函数y=
4
3 x+n分别与x轴、y轴交于点B和点E，一次函数
y=−
2
3 x+m与y轴交于点C，且它们的图象交于点D (1,−
8
3)，
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(1)求这两个一次函数的函数解析式；
(2)在x轴上有一点P(t,0)，且t<3，如果△BDP和△CEP的面积相等，求t的值；
(3)在（2）的条件下，以CP为一腰作等腰Rt△CPQ，直接写出所有符合的点Q的坐标．
【答案】(1)y=
4
3 x−4和y=−
2
3 x−2
(2)
12
7
(3)点Q坐标为(
26
7 ，−
12
7 )或(−
2
7 ，
12
7 )或(2,−
26
7 )或(−2,−
2
7)
【分析】（1）把点D (1,−
8
3)分别代入y=
4
3 x+n和y=−
2
3 x+m中，求出m,n即可得到答案；
（2）由直线与坐标轴的交点求法，得到点B的坐标为(3,0)，点E的坐标为(0,−4)，点C的坐标为(0,−2)，则
CE=2，BP=|3−t|，OP=|t|，由S△BDP=S△CEP，代值解方程即可得到答案；
（3）由等腰直角三角形性质，分∠CPQ=90°和∠PCQ=90°，由三角形全等的判定与性质求解即可得到答案．
【详解】（1）解：把点D (1,−
8
3)分别代入y=
4
3 x+n和y=−
2
3 x+m中，
解得n=−4，m=−2，
∴一次函数解析式为y=
4
3 x−4和y=−
2
3 x−2；
（2）解：当y=0时，代入y=
4
3 x−4，解得x=3，
∴点B的坐标为(3,0)，
当x=0时，代入y=
4
3 x−4和y=−
2
3 x−2中，
解得y=−4和y=−2，
∴点E的坐标为(0,−4)，点C的坐标为(0,−2)，
∴CE=2，BP=|3−t|，OP=|t|，
∵S△BDP=S△CEP，
即
1
2 BP⋅|yD|=
1
2 CE⋅OP，
∴
1
2 ×
8
3 ×|3−t|=
1
2 ×|t|×2，
则|4(3−t)|=|3t|，
∴4(3−t)=3t或4(3−t)=−3t，
解得t=
12
7 或t=12，
∵ t<3，
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∴t的值为
12
7 ；
（3）解：由（2）得OP=
12
7 ，
当∠CPQ=90°时，过Q作QM⊥OP，垂足为M，如图所示：
∵∠CPQ=90°，
∴∠CPO+∠QPM=90°，
∵∠PQM+∠QPM=90°，∠PMQ=∠COP=90°，
∴∠CPO=∠PQM，
∵等腰Rt△CPQ以CP为腰，
∴PQ=PC，
在△PCO和△QPM中，
{
∠COP=∠PMQ
∠CPO=∠PQM
PC=QP
，
∴△PCO≌△QPM(AAS)，
∴PM=CO=2，QM=PO=
12
7 ，
∴点Q坐标为(
26
7 ，−
12
7 )或(−
2
7 ，
12
7 )；
当∠PCQ=90°时，过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图所示：
同理可得点Q坐标为(2,−
26
7 )或(−2,−
2
7)；
综上所述，点Q坐标为(
26
7 ，−
12
7 )或(−
2
7 ，
12
7 )或(2,−
26
7 )或(−2,−
2
7)．
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、一次函数图象与性质、绝对值方程、等
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腰直角三角形性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，灵活运用一次函数图象与性质
是解决问题的关键．
1．(25-26 八上·河南郑州高新区第一中学等九校联考·期中)对于一次函数y=−
1
2 x+1，下列说法错误的是（ ）
A．图象是经过两点(0,1)，(1,0.5)的一条直线
B．图象不经过第一象限
C．y的值随着x的值增大而减小
D．图象与x轴的交点坐标为(2,0)
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质．
根据一次函数的性质，判断各选项的正误即可．
【详解】解：当x=0时，y=1，点(0,1)在图像上；当x=1时，y=0.5，点(1,0.5)在图像上，故A 正确；
点(1,0.5)在图像上，故B 错误；
∵k=−
1
2 <0，∴ y 随x 增大而减小，故C 正确；
令y=0，得0=−
1
2 x+1，解得x=2，∴与x 轴交点为(2,0)，故D 正确；
故选：B．
2．(25-26 八上·山东济南历下区·期中)点A(x1,4)，B(x2,7)在一次函数y=3x+1的图象上，则x1，x2的大小关系
是（ ）
A．x1>x2
B．x1=x2
C．x1<x2
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据k>0时，y随x的增大而增大即可判断求解，掌握一次函数
的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵在一次函数y=3x+1中，k=3>0，
∴y随x的增大而增大，
∵点A(x1,4)，B(x2,7)在一次函数y=3x+1的图象上，且4<7，
∴x1<x2，
故选：C．
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3．(25-26 八上·广东深圳实验学校初中部·期中)如图，点A，B，C是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，
画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为y1=k1x+b1，y2=k2x+b2和y3=k3x+b3，
当k1+b1<k2+b2<k3+b3时，一次函数y1=k1x+b1的图象应为（ ）
A．直线AB
B．直线BC
C．直线AC
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线AB、AC、BC，求出当x=1时，y1=k1+b1，y2=k2+b2，y3=k3+b3，画
出直线x=1，由函数图象并结合k1+b1<k2+b2<k3+b3即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，作直线AB、AC、BC，
当x=1时，y1=k1+b1，y2=k2+b2，y3=k3+b3，
∵k1+b1<k2+b2<k3+b3，
∴如图，画出直线x=1，结合图象可得，一次函数y1=k1x+b1的图象应为直线AC，
故选：C．
4．(25-26 八上·安徽合肥第四十五中学本部·期中)已知函数y=|x−a|（a 为常数），当−1≤x≤3时，y 有最大值为
5，则a 的值为（ ）
A．a=−2或a=−6
B．a=8或a=4
C．a=−2或a=4
D．a=8或a=−6
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的性质，一次函数的性质；由函数的最大值只可能出现在端点处得|−1−a|=5或
|3−a|=5，通过解绝对值方程并验证端点值是否满足最大值为5，即可确定 a 的值．
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【详解】解：∵当−1≤x≤3时，y 有最大值为5，
∴|−1−a|=5或|3−a|=5，
当|−1−a|=5时，
−1−a=5或−1−a=−5，
解得a=−6或a=4，
当a=−6时，y=|x+6|=x+6，y最大=3+6=9≠5（舍去），
当a=4时，y=|x−4|=−x+4，y最大=−(−1)+4=5；
当|3−a|=5时，
3−a=5或3−a=−5，
解得a=−2或a=8，
当a=−2时，y=|x+2|=x+2，y最大=3+2=5，
当a=8时，y=|x−8|=−x+8，y最大=−(−1)+8=9≠5（舍去）；
故a=−2或a=4.
故选：C．
5．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①y=−x−1，②y=x+1，③y=−x+1，④y=−2(x+1)的图象，下列说
法正确的是（ ）
A．通过点(−1,0)的是①和③
B．交点在y轴上的是②和④
C．①和③都与函数y=−x的图象平行
D．关于x轴对称的是②和③
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行
条件k 相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可．
【详解】A、点(−1,0)代入①y=−(−1)−1=0，通过；②y=−1+1=0，通过；③y=−(−1)+1=2≠0，不通过；
④y=−2(−1+1)=0，通过，通过的是①②④，该选项错误；
B、交点在y 轴上需x=0时y 值相等，x=0时，①y=−1，②y=1，③y=1，④y=−2，②和④y 值不相等，该选
项错误；
C、函数y=−x的k=−1，①k=−1，③k=−1，均与y=−x平行，该选项正确；
D、②y=x+1与③y=−x+1，关于x 轴对称需x 取相同值时，y 值互为相反数，但x=0时均为1，不相反，该选
项错误；
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故选：C．
6．定义：对于定义域为M的函数y=f(x)，若任取在M中的实数a、b（a<b），都有f(a)>f(b)，则称f(x)为M上
的“下阶梯函数”；若f(a)<f(b)，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数y=g(x)是定义域为全体实
数的“阶梯函数”，且g(x)的图像连续不断，则下列说法错误的是（ ）
A．g(x)可以是任意的一次函数
B．若g(x)对任意实数m<n都有
g(m)
g(n) <1，则g(x)是“上阶梯函数”
C．若g(x)是“下阶梯函数”，则对任意实数m、n，都有
g(m)−g(n)
m−n
<0
D．若存在实数m、n使得g(m)⋅g(n)<0，则g(x)的图像与x轴有且只有一个交点
【答案】B
【分析】本题考查函数的性质，一次函数的性质，根据新定义得到f(x)为M上的“下阶梯函数”，则f(x)随x增
大而减小；f(x)为M上的“上阶梯函数”，则f(x)随x增大而增大，据此求解即可．
【详解】解：根据新定义可得：f(x)为M上的“下阶梯函数”，则f(x)随x增大而减小；f(x)为M上的“上阶梯函
数”，则f(x)随x增大而增大；
∵函数y=g(x)是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且g(x)的图像连续不断，
∴A、g(x)可以是任意的一次函数，选项说法正确，不符合题意；
B、当g(n)<0时，由
g(m)
g(n) <1得到g(m)>g(n)，此时g(x)是“下阶梯函数”，选项说法错误，符合题意；
C、若g(x)是“下阶梯函数”，则对任意实数m、n，都有m<n，g(m)<g(n)，则
g(m)−g(n)
m−n
<0，选项说法正确，不
符合题意；
D、若存在实数m、n使得g(m)⋅g(n)<0，则g(m)和g(n)中一正一负，得到g(x)的图像与x轴有且只有一个交点，
选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
7．(25-26 八上·福建漳州漳州三中、三中分校联考·期中)若点A(1，y1)，B(2，y2)都在一次函数y=−x+1的图
象上，则y1 y2．（填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的性质，由于斜率k=−1<0，函数值y随自变量x的增大而减小，由点A的横坐标1 小于点B的横
坐标2，可得y1>y2．
【详解】解：对于一次函数y=−x+1，当x=1时，y1=−1+1=0；
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当x=2时，y2=−2+1=−1。
因为0>−1，
所以y1>y2．
故答案为>．
8．(25-26 八·安徽安庆第四中学·期中)平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线
y=kx−2k+2(k<0)与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则k的取值范围是 ．
【答案】−2≤k≤−
1
2且k≠−1
【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画
出图象，结合图象解题是关键．由y=kx−2k+2(k<0)，得出直线经过点(2,2)，如图，当直线经过(3,0)或(3,0)时，
直线y=kx−2k+2(k<0)与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过(4,0)时，
直线y=kx−2k+2(k<0)与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况
下的k的值，结合图象即可得到结论．
【详解】解：∵y=kx−2k+2=k(x−2)+2，
∴直线y=kx−2k+2(k<0)经过点(2,2)，
如图，
当直线经过(3,0)时，直线y=kx−2k+2(k<0)与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
则0=k+2，解得k=−2；
当直线经过(6,0)时，直线y=kx−2k+2(k<0)与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
则0=4k+2，解得k=−
1
2；
当直线经过(4,0)时，直线y=kx−2k+2(k<0)与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，
则0=2k+2，解得k=−1；
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∴直线y=kx−2k+2(k<0)与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
因此，当 −2≤k≤−
1
2 且 k≠−1 时，区域中只有四个整点．
故答案为 −2≤k≤−
1
2 且 k≠−1．
9．(25-26 八上·江西九江九江五校·期中)如图，直线y=
4
3 x−4与x轴、y轴分别交于A，B两点，现以点B为圆心，
BA的长为半径画弧，与y轴的正半轴交于点C，则点C的坐标为 ．
【答案】(0,1)
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特点及勾股定理，先根据题意得出A，B两点的坐标，再由勾股
定理求出AB的长，进而可得出结论．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关
键．
【详解】解：∵直线y=
4
3 x−4与x轴、y轴分别交于A，B两点，
当x=0时，y=−4；当y=0时，x=3，
∴A(3,0)，B(0,−4)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5，
∴BC=AB=5，
∴OC=BC−OB=5−4=1，
∴C(0,1)．
故答案为：(0,1)．
10．(25-26 八上·山东青岛海信学校·期中)正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式
放置，点A1、A2、A3和点B1、B2、B3…分别在直线y=x+1和x轴上，则点C2025的横坐标是 ．
小学
初中
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【答案】3×22024−1
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的
坐标的变化找出变化规律Cn的横坐标是3×2n−1−1，纵坐标是2n−1是解题的关键．依据题意，利用一次函数图
象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点A1，A2，A3，A4，A5的坐标，即可根据正方形的性质得出C1，C2，
C3，C4，C5的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点Cn的横坐标是：3×2n−1−1，再代入n=2025即
可得出结论．
【详解】解：当x=0时，y=x+1=0+1=1，
∴点A1的坐标为(0,1)，
∵四边形A1B1C1A2为正方形，
∴点C1的坐标为(2,1)，
当x=1时，y=x+1=1+1=2，
∴点A2的坐标为(1,2)，
∵A2B2C2A3为正方形，
∴点C2的坐标为(5,2)，
同理，可知：点A3的坐标为(3,4)，
点C3的坐标为(11,4)，
∴Cn的横坐标是：3×2n−1−1，纵坐标是：2n−1，
∴点C2025的坐标为(3×22024−1,22024)，
故答案为：3×22024−1．
11．(25-26 八上·江西九江九江五校·期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=
1
2 x+4的图象与x轴交于点
A，与y轴交于点B，点P在x轴上，且点P从点A出发，向右运动，当△ABP为等腰三角形时，AP的长为 ．
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【答案】5或4√5或16
【分析】确定A(−8,0)，B(0,4)，得OA=8，OB=4，然后分三种情况：①当AP=BP时；②当AP=AB时；③当
BP=AB时，分别求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=
1
2 x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当x=0时，y=4；当y=0时，x=−8，
∴A(−8,0)，B(0,4)，
∴OA=8，OB=4，
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：
①当AP=BP时，如图，
∴OP=OA−AP=8−AP，
在Rt△OBP中，BP2=OP2+OB2，
∴AP2=(8−AP)2+42，
∴AP=5；
②当AP=AB时，如图，
在Rt△OAB中，OA=8，OB=4，
∴AB=√OA2+OB2=√82+42=4√5，
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∴AP=AB=4√5；
③当BP=AB时，如图，
∵y轴与x轴互相垂直，即BO⊥AP，
∴OP=OA=8，
∴AP=OA+OP=8+8=16，
综上所述，AP的长为5或4√5或16．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论
的思想解决问题是解题的关键．
12．(25-26 八上·安徽六安第九中学·期中)已知函数y=(2m+1)x+m−3，m 为常数．
(1)若该函数的图象与直线y=3x−3平行，求m 的值；
(2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)−
1
2 <m≤3
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式（组），掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）两直线平行，则两直线的解析式中x 的系数相等，据此解答即可；
（2）一次函数图象不经过第二象限，即函数图象经过一、三、四象限或只经过一、三象限，则x 的系数为
正数，常数项为负数或零，据此解答即可．
【详解】（1）解：∵函数y=(2m+1)x+m−3的图象平行于直线y=3x−3，
∴2m+1=3，
∴m=1；
（2）解：函数y=(2m+1)x+m−3是一次函数，且不经过第二象限，
∴2m+1>0且m−3≤0，
∴−
1
2 <m≤3，
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∴m 的取值范围是−
1
2 <m≤3．
13．(25-26 八上·安徽安庆大观区安庆外国语学校·月考)在平面直角坐标系中，我们定义点P(a,b)的“关联点”
为Q．且规定：当a≥b时，点Q的坐标为(a,a−b)；当a<b时，点Q的坐标为(a,b−a)．
(1)点(2,3)的“关联点”坐标为_____；
(2)若点A(m+1,2)的“关联点”在函数y=2x+3的图象上，求点A的坐标．
【答案】(1)(2,1)
(2)A (−
1
3 ,2)
【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解“关联点”的
定义，并能灵活运用定义是解题的关键．
（1）由定义直接求解即可；
（2）分两种情况讨论：m+1≥2时，A 点的“关联点”为(m+1，m−1)，再由2m+2+3=m−1，可得m=−6不符合题
意；当m+1<2时，A 点的“关联点”为(m+1，1−m)，再由2m+2+3=1−m，得到m=−
4
3；
【详解】（1）解：∵点(2,3)，2<3
∴点(2,3)的“关联点”坐标为(2,3−2)，即(2,1)，
故答案为：(2,1)；
（2）当m+1≥2时，A点的“关联点”为(m+1,m−1)，
∵点(m+1,m−1)在函数y=2x+3的图象上，
∴2m+2+3=m−1，
∴m=−6，
此时m+1<2，不符合题意；
当m+1<2时，A点的“关联点”为(m+1,1−m)，
∵点(m+1,1−m)在函数y=2x+3的图象上，
∴2m+2+3=1−m，
∴m=−
4
3；点A (−
1
3 ,2)
综上所述：点A (−
1
3 ,2)
14．(25-26 九上·陕西西安爱知初级中学·月考)如图，一次函数y=−
4
3 x+4的图象分别与x轴交于点A，与y轴交
于点B．
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(1)求点A，B的坐标；
(2)点C为线段OB上一动点，连接AC，将△ACB沿AC翻折得到△ACD，连接OD，当△OCD是以OC为直角边
的直角三角形时，请求出点C的坐标．
【答案】(1)点B 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(3,0)
(2)C(0,3)或C (0,
3
2)
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理；
（1）在函数解析式中分别令y=0和x=0，解相应方程，可求得A、B 的坐标；
（2）勾股定理求得AB=5，进而根据折叠的性质得出AB=AD=5，分∠DCO=90°，∠COD=90°，两种情况分别
讨论，分别画出图形，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令y=0可得−
4
3 x+4=0，解得x=3，
令x=0，解得y=4，
∴A(3,0)，B(0,4)．
（2）解：∵A(3,0)，B (0,4)．
∴OA=3,OB=4，
∴AB=√OA2+OB2=5，
设C(0,c)，则OC=c，BC=4−c，
如图，当∠DCO=90°时，
∵将△ACB沿AC翻折得到△ACD，
∴BC=CD =4−c，AB=AD=5
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∴D(c−4,c)
∴(c−4−3)2+c2=52
解得：c=3，
∴C(0,3)；
如图，当∠COD=90°时，则D在x轴的负半轴，
同理可得AD=AB=5，CD=4−c，
∴OD=AD−AO=5−3=2
∴Rt△OCD中，CD2=OC2+OD2
∴(4−c)2=c2+22
解得：c=
3
2
∴C (0,
3
2)，
综上所述，C(0,3)或C (0,
3
2)
15．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,2)，点B 从坐标原点O 出发，沿x轴负半轴运动，以AB为
边作等边三角形ABC（A，B，C 按逆时针顺序排列），当点B 在原点O 时，记此时的等边三角形为△AOC1．
(1)求点C1的坐标；
(2)连接CC1，求证：△AOB≌△AC1C；
(3)求动点C 所在图象的函数表达式．
【答案】(1)(√3,1)
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(2)见解析
(3)y=√3x−2，此时x≤√3
【分析】（1）过点C1作C1H⊥AO于点H，根据等边三角形的性质，勾股定理，坐标的定义计算解答即可；
（2）连接CC1，先证明∠BAO=∠CAC1，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定证明即可；
（3）设直线CC1与y 轴交点为M，确定∠AMC1=30°，点M 的坐标是(0,−2)，设直线CC1的解析式为y=kx+b，
利用待定系数法解答即可．
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，待定系数法，
熟练掌握待定系数法，勾股定理，等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：过点C1作C1H⊥AO于点H，
∵点A 的坐标是(0,2)，
∴OA=2，
∵△AOC1是等边三角形，
∴OA=OC1=AC1=2，∠AOC1=∠AC1O=∠OAC1=60°，
∵C1H⊥AO，
∴OH=
1
2 OA=1，C1H=√OC1
2−OH2=√3，
∴点C1的坐标是(√3,1)．
（2）证明：∵等边△ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=CA，
∵△AOC1是等边三角形，
∴OA=OC1=AC1=2，∠AOC1=∠AC1O=∠OAC1=60°，
∴∠BAC+∠CAO=∠C1AO+∠CAO，
∴∠BAO=∠CAC1，
在△AOB和△AC1C中，
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∵{
AB=AC
∠BAO=∠CAC1
AO=AC1
，
∴△AOB≌△AC1C(SAS)．
（3）解：∵△AOB≌△AC1C(SAS)，
∴∠AOB=∠AC1C，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠AC1C=90°，
∵△AOC1是等边三角形，
∴OA=OC1=AC1=2，∠AOC1=∠AC1O=∠OAC1=60°，
设直线CC1于y 轴交点为M，如图所示，
∴∠AMC1=30°，
∴AM=2AC1=4，
∴OM=AM−AO=2，
∴点M 的坐标是(0,−2)，
设直线CC1的解析式为y=kx+b，
根据题意，得{√3k+b=1
b=−2
，
解得{k=√3
b=−2
，
故直线CC1的解析式为y=√3x−2，此时x≤√3．
