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1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 一次函数的图象和性质 （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数中k 和b 的作用 题型02 根据一次函数图象或性质求参数 题型03 多个一次函数图象共存问题 题型04 一次函数图象的平移 题型05 一次函数中的将军饮马问题 ▌题型01 一次函数中k 和b 的作用 一、k 的作用 1.k 的符号 k的符号 增减性 象限 两点关系 k>0 y 随x 的增大而增大 一、三 若x1>x2，则y1>y2（同增） k<0 y 随x 的增大而减小 二、四 若x1>x2，则y1<y2（异减） 2.k 的绝对值 k 的绝对值越大，y 随x 的变化速度越快，图象越陡，越靠近y 轴 k 的绝对值越小，y 随x 的变化速度越慢，图象越平，越靠近x 轴 3.若直线l1∥l2，则k1=k2；若k1=k2，则直线l1∥l2。 二、b 的作用 一次函数y=kx+b 的图象与y 轴交于点（0，b） b 的符号 与y 轴交点 象限 b>0 正半轴 一、二 b<0 负半轴 三、四 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（25-26 八年级上·山东聊城·期中）关于一次函数y=x+1，下列说法错误的是（ ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x 轴交于点(1 0) ， C．当 1 x 时， 0 y D．函数值y 随自变量x 的增大而减小 【变式1-1】（25-26 八年级上·重庆·期中）正比例函数y kx = 中，y 的值随着x 值的增大而增大，则点(3, ) k − 在第 象限． 【变式1-2】已知正比例函数𝑦= (𝑚+ 1)𝑥𝑚2−3的图象经过第一、三象限，则m 的值为 ． 【变式1-3】已知点𝐴(−2，𝑦1)，𝐵(−1，𝑦2)都在正比例函数𝑦= −2𝑥的图象上，则𝑦1 𝑦2（填“＞”或 “＜”）． 【变式1-4】如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设 入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为 1 1 y k x = ， 2 2 y k x = ，则 1k 与 2k 的大小关系是（ ） A． 1 2 k k B． 1 2 k k C． 1 2 k k = D． 1 2 k k 【变式1-5】（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）关于正比例函数 3 y x = − ，下列结论正确的是（ ） A．图象不经过原点 B．y 随x 的增大而增大 C．当 1 x = 时， 3 y = D．图象经过第二、四象限 【变式1-6】（25-26 八年级上·安徽安庆·期末）关于函数 2 1 y x = − + ，下列结论成立的是（ ） A．当 0 x 时， 0 y B．当 0 x 时， 0 y C．图象必经过点( ) 0, 1 − D．图象不经过第一象限 【变式1-7】（25-26 八年级上·江苏无锡·期中）关于一次函数 3 1 y x m = + −的图像与性质，下列说法中不正 ．． 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 确．的是 （ ） A．y 随x 的增大而增大 B．当 1 m 时，该图像与函数 3 y x = 的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 1 m D．不论m 取何值，图像都经过第一、三象限 【变式1-8】已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑘，y 随x 的增大而增大，则该函数图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-9】一次函数y = kx + b，y随x的增大而增大，且kb < 0，则直线不经过第________象限． 【变式1-10】一次函数y = −x + b的图象上三个点的坐标分别为(− 1 3 , y1) , (−1, y2)，(2, y3)，则y1, y2, y3的大 小关系是（ ） A．𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3 B．𝑦2 < 𝑦1 < 𝑦3 C．𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2 D．𝑦3 < 𝑦2 < 𝑦1 【变式1-11】已知一次函数𝑦= 5 3 𝑥+ 2，当−3 ≤𝑥≤3时，y 的最大值等于 ． ▌题型02 根据一次函数图象或性质求参数 根据图象所过象限、函数增减性、与y 轴交点等信息，我们可以确定k 或b 的符号，进而求得参数的范围。 【典例2】（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数 ( ) 2 3 9 y m x m = − + − 的图象经过第一、三、 四象限，则m 的取值范围是 ． 【变式2-1】（25-26 八年级上·河南信阳·期末）若一次函数 2 y bx = − −的图象经过第一、三、四象限，则b 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的值可以是 ．（写一个即可） 【变式2-2】若y 关于x 的函数𝑦= (𝑚−1)𝑥+ 𝑛是正比例函数，则m，n 应满足的条件是（ ） A．𝑚≠1且𝑛≠0 B．𝑚= 1且𝑛≠0 C．𝑚= 1且𝑛= 0 D．𝑚≠1且𝑛= 0 【变式2-3】（25-26 八年级上·云南大理·期末）已知函数 1 y kx = −的y 值随x 的增大而减小，则k 的取值范 围是 ． 【变式2-4】（25-26 八年级上·吉林长春·期末）函数𝑦= (2𝑚−1)𝑥𝑛+3 + (𝑚−5)是关于x 的一次函数的条 件为（ ） A．𝑚≠5且𝑛= −2 B．𝑛= −2 C．𝑚≠ 1 2且𝑛= −2 D．𝑚≠ 1 2 【变式2-5】（25-26 八年级上·河南安阳·期末）已知一次函数 ( ) 4 2 y m x m = − + + 的图象不经过第三象限， 则m 的取值范围是 ． 【变式2-6】若一次函数 ( ) 4 3 2 y k x = − − 的图象经过点 ( ) 1 1 , A x y 和点 ( ) 2 2 , B x y ，当 1 2 x x 时， 1 2 y y ，则k 的取值范围是 ． 【变式2-7】（25-26 八年级上·云南昭通·期末）设一次函数 1 y kx = −，k 为常数，当2 4 x 时，该一次函 数的最大值是5，则k 的值为 ． 【变式2-8】当m＝ 时（写出m 的一个值），一次函数y＝（2m﹣1）x+1 的值都是随x 的增大而减小． 【变式2-9】已知正比例函数 ( ) 2 y m x = − 的图象经过二、四象限，则m 的取值范围是（ ） A． 2 m B． 2 m≥ C． 2 m D． 2 m 【变式2-10】已知y 关于x 的一次函数为y mx n = − ． (1)当m，n 是什么数时，y 随x 的增大而增大？ (2)当m，n 是什么数时，函数图象经过原点？ (3)若图象经过第一、二、三象限，求m，n 的取值范围． ▌题型03 多个一次函数图象共存问题 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据k 和b 的符号，可以确定一次函数的大致图象 一次函数y=kx+b 正比例函数y=kx k>0 b＞0 b＜0 b=0 k<0 b>0 b<0 b=0 【典例3】一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏与𝑦= 𝑏𝑥+ 3在同一坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式3-1】函数𝑦= 𝑥+ 𝑎和𝑦= 𝑎𝑥在同一坐标系中的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知正比例函数𝑦1 = 𝑎𝑥与一次函数𝑦2 = − 1 2 𝑥+ 𝑏的图象交于点𝑃． 下面有四个结论： ① 𝑎 ＞ 0；② 𝑏 ＜ 0；③ 当𝑥 ＜ 0时，𝑦2 ＜ 𝑦1；④𝑏−2𝑎= 1． 其中正确的是 （只填写序号）． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，若一次函数𝑦= 𝑥+ 𝑎−1的图象经过第二象限，则一次函𝑦= 𝑎𝑥−𝑎一 定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-4】（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）如图，一次函数y mx n = + 与 ( ) 0, 0 y mnx m n = 在同一坐 标系内图象可能是（ ） 7 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【变式3-5】（25-26 八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 ( ) 0 y mx m = − 与 2 y x m = + 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式3-6】（25-26 八年级上·河南焦作·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y kx = 和y x k = + （k 为常 数， 0 k ）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3-7】（25-26 八年级上·广东揭阳·期末）正比例函数 ( ) 0 y kx k = 和一次函数y x k = − 在同一个直角 坐标系内的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【变式3-8】（25-26 八年级上·广东普宁·期末）一次函数y1＝ax+b（a，b 是常数）与y2＝﹣abx（a、b 是常 数且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【变式3-9】（25-26 八年级上·江苏连云港·期末）在同一直角坐标系中，函数𝑦= −𝑘𝑥与𝑦= 𝑥+ 𝑘的图象大 致应为（ ） A． B． C． D． 【变式3-10】（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛与正比例函数𝑦= 𝑚𝑛𝑥（m、 n 是常数，且𝑚𝑛≠0）的图象的是（ ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ ▌题型04 一次函数图象的平移 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一次函数y=kx+b ①向上平移m 个单位，得到y=kx+b+m ②向下平移m 个单位，得到y=kx+b-m ③向左平移m 个单位，得到y=k(x+m)+b ④向右平移m 个单位，得到y=k(x-m)+b 【典例4】将正比例函数 2 y x = 的图象向上平移3 个单位长度后，得到函数图象的解析式为 ． 【变式4-1】（25-26 八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系xOy 中，将直线1 : l y x m = −+ 向下平移1 个单 位长度，得到直线2 : 1 l y x = −+ ，则m = ． 【变式4-2】（25-26 八年级上·江苏盐城·期末）将一次函数 2 4 y x = − 的图象先向左平移4 个单位长度，再 向下平移3 个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，若将一次函数 2 4 y x = − 的图像向左平移 ( 0) m m 个单位长度后，得到一 个正比例函数的图像，则m 的值为（ ） A．4 − B．2 − C．2 D．4 【变式4-4】（25-26 八年级上·云南临沧·期末）将一次函数 3 2 y x = + 的图像先向左平移3个单位长度，再向 下平移1个单位长度后得到的函数解析式为 ． 【变式4-5】已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过第一、二、三象限，若把其图象向下平移2 个单位长度， 则图象经过第一、三、四象限，下列结论正确的是（ ） A．𝑘> 0, 𝑏< 2 B．𝑘> 0,0 < 𝑏< 2 C．𝑘> 0, 𝑏> 2 D．𝑘< 0,0 < 𝑏< 2 【变式4-6】将直线𝑙：𝑦= 3𝑥−4，先向上平移4 个单位长度，再向右平移8 个单位长度得到直线 𝑙1，则平 移后得到直线𝑙1的解析式为 ． 【变式4-7】（25-26 八年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线 4 y x = 沿y 轴向上平移a（ 0 a ） 个单位长度后，与x 轴交于点A，与y 轴交于点B．若AOB 的面积为2，则a 的值为 ． 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型05 一次函数中的将军饮马问题 我们在轴对称图形这一章节中，接触过将军饮马问题，它的核心思想是通过轴对称，将线段转化，从而解决 一类最小值问题。在一次函数中，我们可以用同样的办法，求出对称点的坐标，再利用勾股定理，求出最短 距离，或者求出直线的表达式和点的坐标。 【典例5】（25-26 八年级上·四川成都·期末）如图，直线𝑦= 2𝑥+ 4与𝑥轴、𝑦轴交于点𝐴、𝐵，𝑀、𝑁分别 是𝐴𝐵、𝑂𝐴的中点，点𝑃是𝑦轴上一个动点，当𝑃𝑀+ 𝑃𝑁的值最小时，点𝑃的坐标为 ． 【变式5-1】（25-26 八年级上·江苏南京·期末）已知点A（m，m），且m＞0，点B 为x 轴正半轴上一点， 点P 为∠AOB 内一点，OP＝5，则△PAB 周长的最小值为 ． 【变式5-2】（25-26 八年级上·江西萍乡·期末）如图，直线𝑦= 2 3 𝑥+ 4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B， 点C 在线段𝐴𝐵上，且点C 坐标为(𝑚，2)，点D 为线段𝑂𝐵的中点，点P 为𝑂𝐴上一动点，当△𝑃𝐶𝐷的周 长最小时，点P 的坐标为（ ） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．(−3，0) B．(−3 2 ，0) C．(−5 2 ，0) D．(−7 2 ，0)
