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1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 反比例函数的概念的六类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数的定义及形式 题型二、反比例函数的表示方式—表格 题型三、反比例函数的表示方式—图象 题型四、反比例函数的表示方式—解析式 题型五、反比例函数的定义求参 题型六、正比例与反比例组合函数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心知 识点 1. 反比例函数的定义：一般地，形如y= x k （k 为常数，k≠ 0）的函数叫做反比例函数， 其中x 是自变量，y 是因变量，x 的取值范围是不等于0 的一切实数 2. 反比例函数的等价形式：除标准形式外，还可变形为y=kx-1（k≠ 0）、xy=k（k≠ 0）， 三种形式可以互相转化 3. 反比例函数中各量的要求：比例系数k 是非零常数，自变量x 不能为0，因变量y 也不能为0 4. 根据实际问题列反比例函数解析式：先分析问题中的变量关系，确定等量关系，再 整理得到符合反比例函数定义的形式，并明确自变量的实际取值范围 5. 判定反比例函数：先整理函数解析式，对照三种形式判断，确认比例系数非零、自 变量次数为-1 常见易 错点 1. 忽略反比例函数比例系数k ≠ 0 的限制，误将k=0 的一次函数判定为反比例函数 2. 混淆反比例函数的形式，误将形如y = a x k + （a≠0）、y = kx + b（b≠0）的函数判 目 录 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 定为反比例函数 3. 遗忘反比例函数自变量的取值范围，忽略x≠0 的要求，或者不考虑实际问题对自变 量的额外限制 4. 判断y = (m-1)xm²-2 这类含参数的函数类型时，漏同时满足“指数为-1”和“系数不为0” 两个条件，只验证其中一个条件就得出结论 5. 将xy = k 的形式错误变形，误整理为不符合反比例函数定义的形式，导致函数判定 错误 6. 利用实际问题列解析式时，错误判断两个变量的比例关系，误将成正比例的关系写 成反比例函数形式 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数的定义及形式 典例1 下列函数中，反比例函数的是（ ） A． 3 1 y x = + B． 3 x y = C． 3 y x = D． 3 y = 变式1-1在下列函数表达式中，x均表示自变量．① 2 5 y x = − ；② 2 x y = ；③ 1 y x− = − ；④ 2 xy = ；⑤ 1 1 y x = + ； ⑥ 0.4 y x = 其中反比例函数有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 变式1-2 下列函数关系式：（1） 2 3 x y − = ；（2） 3 2 y x = − ；（3） 2 5 5 y x − = ；（4） 1 1 y x −= （5） 2 1 y x = −， 其中表示y 是x 的反比例函数的是___________（填入序号）． 变式1-3 反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（k 为常数，且 0 k ）． 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型二、反比例函数的表示方式—表格 典例2 小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量( ) % y 与充电时长t（单 位：min ）的部分数据如下表： 充电时长 / min t 0 20 100 120 … 电量 / % y 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量y 与充电时长t 之间满足学过的某种函 数关系．则y 与t 之间的函数关系式为（ ） A． 2 t y = B． 2 y t = C． 2 y t = D． 1 2 y t = 变式2-1 若x 和y 成反比例关系，则a b − 的值是（ ） x 2 a 1 − y 6 4 − b A．7 B．8 C．9 D．10 变式2-2 已知x、y 是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x 与y 成反比例关系，则a 的 值为______________． x 3 − a y 8 32 变式2-3 给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 2 /m 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①这间教室有_____ 2 m ； ②分别用x（单位：平方米）和y （单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示y 与x 的关系为_____，y 与x 成_____比例关系； (2)如果采用边长为5 分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 题型三、反比例函数的表示方式—图象 典例3 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一 种气敏电阻，其阻值R 与呼气酒精浓度K 之间的关系如图所示．下列说法中不正确 ．．．的是（ ） A．当 10 K = 时， 60 R = B．R 随K 的增大而减小 C．R 是K 的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 变式3-1 下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ） A．当压力F 一定时，压强P 与受力面积S 之间的函数关系 B．当物体的质量m 一定时，物体的密度与体积V 之间的函数关系 C．当行驶的路程s 一定时，时间t 与速度v 的函数关系 D．当三角形的一条边长a 一定时，它的面积S 与这条边上的高h 之间的函数关系 变式3-2 两个反比例函数 3 y x = ， 6 y x = 在第一象限内的图象如图所示，点 1P 、2P 、3 2026 P P 在反比例函数 6 y x = 的图象上，它们的横坐标分别是 1x ，2x ，3 2026 x x ，纵坐标分别是1，3，5…，共2026 个连续奇数，过点 1P 、 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2P 、 3 2026 P P 分别作y 轴的平行线，与 3 y x = 的图象的交点依次为 ( ) 1 1 1 , Q x y ， ( ) 2 2 2 , Q x y ， ( ) ( ) 3 3 3 2026 2026 2026 , , Q x y Q x y ， 2026 2026 P Q 的长为________． 变式3-3 小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2 号弦），实验 中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单 位：cm）时，1号弦的振动频率为 1f （单位：Hz），2 号弦的振动频率为 2f （单位：Hz ），部分数据如 下： / cm L 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 / Hz f 900 600 450 360 300 257 225 200 180 2 / Hz f 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画 1f 与L ， 2f 与L 之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数 2f 的图象； 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)当频率为450Hz时，对应2 号弦长与1号弦长的差为________cm（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： ①同一根琴弦，弦长越大频率越低； ②两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； ③两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； ④要使2 号弦发出的声音比1号弦发出的声音高八度（2 号弦的频率是1号弦的频率的2 倍），两根琴弦的 弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 题型四、反比例函数的表示方式—解析式 典例4 一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以60km/ h 的平均速度用了8h 到达目的地．当他按原路匀速返 回时，汽车的速度v（单位：km/ h ）与时间t（单位：h ）之间的函数关系式为（ ） A． 480 v t = B． 480 8 v t = + C． 60 v t = + D． 960 8 v t = + 变式4-1 已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为x ，y ，则y 关于x 的表达式是（ ） A． 2.5 y x = B． 5 y x = C． 10 y x = D． 20 y x = 变式4-2 如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为100m），现打算沿墙围一个面积为 2 120m 的矩形花圃．设 7 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 花圃的长AB 为m x ，宽为m y ，则y 关于x 的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 变式4-3 水池内有污水 3 60m ，设放净全池污水所需时间为( ) h y ，每小时放水量为( ) 3 m x ． (1)试写出y 与x 之间的函数关系式； (2)求当 15 x = 时，y 的值． 题型五、反比例函数的定义求参 典例5 若反比例函数 ( 0) k y k x = 的图象经过点( 2,3) − ，则该函数图象还经过点（ ） A．(6,1) B．( 1, 6) −− C．( 3, 2) − − D．(2, 3) − 变式5-1 已知点( ) 2,5 A 在反比例函数 3 m y x + = （m 为常数）的图象上，则m 的值为（ ） A．7 B．9 C．10 D．15 变式5-2 若 2 2 m y x − = 是y 关于x 的反比例函数的关系式，则m 的值是________． 变式5-3 已知 ( ) 2 5 2 m y m x − = − ． (1)当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？ (2)当m 为何值时，y 是x 的反比例函数？当 8 y = 时，求x 的值． 题型六、正比例与反比例组合函数 典例6 已知 1 2 y y y = + ，并且 1y 与( 1) x − 成正比例， 2y 与 2 x 成反比例．当 2, 5 x y = = ，当 1 x = −， 10 y = ； 求y 关于x 的函数解析式． 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-1 已知 1 2 y y y = + ，其中 1y 与x 成反比例， 2y 与2 1 x+ 成正比例，且当 1 x = 时， 9 y = ；当 3 x − = 时， 11 y = − ，求y 关于x 的函数解析式． 变式6-2 已知 1 2 y y y = + ，若 1y 与 2 x 成正比例关系， 2y 与x 成反比例关系，且当 1 x = −时， 3 y = ； 1 x = 时， 5 y = −． (1)求y 与x 的函数关系式： (2)求 2 x = −时，y 的值． 变式6-3 已知 1 2 y y y = − ，并且 1y 与x 成正比例 2y 与( 2) x− 成反比例，当 2 x = −时， 7 y = −；当 3 x = 时， 13 y = ． (1)求y 关于x 的函数解析式； (2)求当 5 x = 时的函数值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．函数 6 y x = ，当 2 x = 时，函数值y 为（ ） A．3 B．3 − C．12 D．1 3 2．已知点( ) 1, A x a − ， ( ) 2, B x a 且 0 a ，在反比例函数 ( ) 0 k y k x = 的图象上，则 1 2 x x + 的值为（ ） A．0 B．1 C．1 − D．2 3．若反比例函数 k y x = 的图象经过 ( ) 3, 4 A − ，( ) 1, 6 B a − − 两点，则a 的值为（ ） A．3 − B．3 C．2 D．6 − 4．已知点 ( ) 1 1 , A x y ，( ) 2 2 , B x y 为反比例函数 1 y x = 图象上的两个不同的点，1 2 0 x x ，则 2 1 2 1 y y x x − − 的值为（ ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 5．如图， OABC 的顶点A在反比例函数 ( ) 2 0 y x x = − 的图象上，AB 交y 轴于点D ，OD 平分 AOC ， 点A的纵坐标为1，则点D 的坐标是（ ） 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． 3 0, 2 B．( ) 0,2 C． 5 0, 2 D．( ) 0,4 6．若 2 y x = ，且x 只能取整数，则y 的最小值是______． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若函数 0 k y k x = （ ）的图象经过点( ) 1 3, y 和( ) 2 2, y − ，则 1 2 y y + ______0（填“＞”， 或“＜”或“＝”）． 8．点 ( ) ( ) 1 1 2 2 , , A x y B x y 、 都在反比例函数 6 y x = 的图象上，若 1 2 4 x x = −，则 2 1 1 2 x x y y + 的值为_____． 9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 ( ) 8 0 y x x = − 的图象经过 ABCO 的顶点A，点B、C 分别在x 轴负半轴、y 轴负半轴上， 2 OC = ，则点A 的坐标是____________． 10．新定义：若函数图象上存在点 ( ) , A x y ，将其横坐标变为原来的a 倍（ 0 a ），纵坐标不变得到点 ( ) , B ax y ， 则称点B 为点A的“ a 倍横变点”，所有“a 倍横变点”构成的函数称为原函数的“a 倍横变函数”．例如：函数 1 y x = + 图象上的点( ) 1 2, 的“3 倍横变点”为( ) 3,2 ，函数 1 y x = + 的“3 倍横变函数”为 1 1 3 y x = + ． （1）点 ( ) 2, A n 在一次函数 2 3 y x = + 的图象上，点B 是点A的“ 1 2 倍横变点”，则点B 的坐标为_____； （2）点C 在反比例函数 ( ) 15 0 y x x = 的图象上，点D 是点C 的“ 1 5 倍横变点”，若线段CD的中点E 在直线 y x = 上，则点C 的坐标为_____． 11．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在60km/ h的匀速运动中，运动路程( ) s km 是时间( ) h t 的函数； 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)某学校要在校园中辟出一块面积为 2 64m 的长方形土地做花圃，这个花圃的长( ) m y 是宽( ) m x 的函数． 12．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 m …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用x 表示运输天数，用y 表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3) x 与y 成反比例关系吗？如果成，请求出表格中m 的值． 13．已知函数 ( ) 2 3 2 2 n n y m x m + = − + + ． (1)当 , m n为何值时，该函数是一次函数？ (2)当 , m n为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当 , m n为何值时，该函数是反比例函数？ 14．已知 1 2 y y y = + ，并且 1y 与( 2) x− 成正比例， 2y 与x 成反比例，当 1 x = −时， 3 y = ；当 4 x = 时， 7 4 y = ． (1)求y 关于x 的函数解析式； (2)求 1 x = −时的函数值． 15．小东根据学习函数的经验，对函数 1 1 y x x = + −的图象与性质进行探究，下面是小东的探究过程： (1)下表是x 与y 的几组对应值： x 3 − 1 − 1 2 − 1 2 1 2 3 y 13 3 − 3 − 7 2 − 3 2 1 m 7 3 求出表中m 的值； (2)根据表中数值描点( ) ,x y ，并画出函数图象； 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：______________； (4)求出该函数图象与 1 y x = 图象的交点坐标．
