1 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题01 反比例函数的图象和性质
常考题型·精准突破
题型1 根据反比例函数的定义求参数（重）
题型2 判断反比例函数的图象和性质（高频）
题型3 比较反比例函数值或自变量的大小（高频）
题型4 根据反比例函数图象和性质求参数（高频）
题型5 反比例函数的图象和性质综合（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 根据反比例函数的定义求参数
1．（25-26 九年级上·河南安阳·期末）若
2
m
y
x
= −
是反比例函数，则m 的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
−
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键．
反比例函数的标准形式为
k
y
x
=
或
1
y
kx-
=
，其中k 为常数且
0
k
，据此对选项进行判断．
【详解】解：反比例函数的标准形式为
k
y
x
=
或
1
y
kx-
=
，其中k 为常数且
0
k
，
∵
2
m
y
x
= −
是反比例函数，2
0
−
，
∴
1
m = −．
故选：D ．
2．
（25-26 九年级上·山西运城·阶段检测）若函数
(
)
2
3
2
m
m
y
m
x
−
−
=
−
为y 关于x 的反比例函数，则m 的值为（ ）
A．1
−
B．0
C．2
D．1
−或2
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为
1
y
kx-
=
且
0
k
，因此指数需为1
−，系数非零，
由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵函数
(
)
2
3
2
m
m
y
m
x
−
−
=
−
为y 关于x 的反比例函数，
∴
2
0
m−
，
2
3
1
−
−
= −
m
m
，
2 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
由
2
3
1
m
m
−
−
= −得
2
2
0
m
m
−
−
=
，
解得：
1
1
m = −，
2
2
m =
，
∵
2
0
m−
，
∴
2
m
，
综上所述，m 的值为1
−，
故选：A．
3．（25-26 九年级上·黑龙江大庆·期中）函数
(
)
2
3
2
m
y
m
x −
=
−
是反比例函数，则m=（ ）．
A．1
B．2
C．2
−
D．2 或2
−
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为
(
)
1
0
−
=
y
kx
k
，因此指数必须为 1
−且系数非零，
解答即可．
【详解】解：∵函数
(
)
2
3
2
m
y
m
x −
=
−
是反比例函数，
∴
2
3
1
m
−
= −且
2
0
m−
，
∴
2
m = 且
2
m
，
∴
2
m = −．
故选：C．
◆题型2 判断反比例函数的图象和性质
4．（25-26 八年级下·山东青岛·期末）关于反比例函数
4
y
x
= −
，下列说法错误的是（ ）．
A．点(
)
2, 2
−
，(
)
4,1
−
均在其图象上
B．函数图象在第二、四象限
C．若
2
y −，则x 的取值范围是0
2
x
D．该函数图象上有两点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
，若
1
2
x
x
，则
1
2
y
y
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案．
【详解】解：A 选项：将
2
x =
代入
4
y
x
= −
，得
4
2
2
y = -
= -
，所以点(
)
2, 2
−
在图象上；将
4
x = −代入，得
4
1
4
y = −
=
−
，所以点(
)
4,1
−
也在图象上，A 说法正确，不符合题意；
B 选项：因为
4
0
k = −
，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B 说法正确，不符合题意；
C 选项：令
2
y = −，代入得
4
2
x
−= −
，解得
2
x =
，因为
0
k
，在第四象限内y 随x 增大而增大，所以当
2
y −
时，x 的取值范围是0
2
x
，C 说法正确，不符合题意；
3 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
D 选项：反比例函数
4
y
x
= −
仅在每个象限内满足y 随x 增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，
例如取
1
2
x = −，
2
1
x = ，满足
1
2
x
x
，此时
1
2
y =
，
2
4
y = −，有
1
2
y
y
，不满足
1
2
y
y
，D 说法错误，符合
题意．
5．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）对于反比例函数
3
y
x
=
，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点(
)
1, 3
−
B．若点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
都在图象上，且
1
2
x
x
，则
1
2
y
y
C．图象位于第二、四象限
D．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
【答案】D
【详解】解：将
1
x = 代入函数
3
y
x
=
得：
3
3
1
y =
= ，
∴这个函数的图象经过点(
)
1,3 ，不经过点(
)
1, 3
−
，则选项A 错误；
∵反比例函数
3
y
x
=
中的3
0
，
∴图象位于第一、三象限；则选项C 错误；
在每一象限内，y 随x 的增大而减小，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，选项D 正确；
若
1
2
0
x
x
，或
1
2
0
x
x
，则
1
2
y
y
；若
1
2
0
x
x
，则
1
2
0
y
y
，则选项B 错误．
6．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数
k
y
x
=
的图象经过点(
)
1, 2
−
，下面说法错误的是（ ）
A．反比例函数的关系式为
2
y
x
= −
B．点(
)
1,2
−
在反比例函数图象上
C．反比例函数的图象在第二、四象限
D．当
0
x
时，y 随x 增大而减小
【答案】D
【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k 的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解．
【详解】解：A、∵反比例函数
k
y
x
=
的图象经过点(
)
1, 2
−
，
∴
(
)
1
2
2
k = −
= −，
∴反比例函数的解析式为y
2
x
= −
，正确，不符合题意；
B、∵反比例函数的解析式为
2
y
x
= −
，
4 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴当
1
x = −时，y
2
2
1
= −
=
−
，
∴点(
)
1,2
−
在反比例函数图象上，正确，不符合题意；
C、∵反比例函数的解析式为
2
y
x
= −
，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意；
D、∵反比例函数的解析式为y
2
x
= −
，
∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，
∴当
0
x
时，y 随x 增大而增大，原说法错误，符合题意．
◆题型3 比较反比例函数值或自变量的大小
7．（2026·吉林·中考真题）已知点
(
)
1
2,
A
y
，
(
)
2
3,
B
y
都在反比例函数
4
y
x
=
的图象上，比较
1y 与
2y 的大小：
1y __________
2y ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两
点的横坐标比较纵坐标的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数
4
y
x
=
中，
4
0
k =
，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，
∵点
(
)
1
2,
A
y
，
(
)
2
3,
B
y
的横坐标都为正，
∴这两点都在第一象限，
又∵ 2
3
，
∴
1
2
y
y
．
8．（25-26 八年级下·河南鹤壁·期末）已知点
(
)
1
1
,
A x y
，(
)
2
2
,
B x
y
，(
)
3
3
,
C x
y
在反比例函数
2
1
m
y
x
+
= −
（m 为
任意实数）的图象上，且
1
2
3
0
x
x
x
，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系为________．
【答案】
2
3
1
y
y
y
/
1
3
2
y
y
y
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所
在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小．
【详解】解：对于反比例函数
2
1
m
y
x
+
= −
，比例系数
(
)
2
1
k
m
= −
+
对任意实数m ，
2
0
m
，
5 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
1
0
m
+
，
可得
(
)
2
1
0
k
m
= −
+
反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
1
0
x
，
点
(
)
1
1
,
A x y
在第二象限，可得
1
0
y
2
3
0
x
x
，
点
(
)
2
2
,
B x
y
，
(
)
3
3
,
C x
y
都在第四象限，可得
2
0
y
，
3
0
y
又在第四象限内y 随x 的增大而增大，且
2
3
x
x
，
2
3
0
y
y
综上可得
2
3
1
y
y
y
．
9．
（25-26 八年级下·上海虹口·期末）已知点
(
)
1
1
,
A x y
、(
)
2
2
,
B x
y
在反比例函数
1
y
x
=
的图像上，且
1
2
0
y
y
，
那么
1x _______
2x （填“”或“”或“ = ”）
【答案】
【分析】根据反比例函数解析式判断比例系数符号，得到函数在各象限内的增减性，结合已知
1
2
0
y
y
判
断点所在象限，即可比较
1x 与
2x 的大小．
【详解】解：∵反比例函数
1
y
x
=
中，比例系数
1
0
k =
，
∴反比例函数
1
y
x
=
的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
∵
1
2
0
y
y
，
∴点
(
)
1
1
,
A x y
，(
)
2
2
,
B x
y
都在第三象限，
∴
1
2
x
x
．
◆题型4 根据反比例函数图象和性质求参数
10．（2026·湖北武汉·中考真题）反比例函数
2
k
y
x
−
=
（k 为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符
合条件的k 的值是_________．
【答案】1（答案不唯一，
2
k
即可）
【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出k 的取值范围，任取范围内一
个值即可．
6 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：反比例函数
2
k
y
x
−
=
的图象位于第二、第四象限，
2
0
k
−
，解得
2
k
，
只要取小于2 的任意实数都符合条件，例如1．
11．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点
(
)
3,
M
m ，
(
)
5,
N
n 在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图
象上，且m
n
，k 的取值范围是____________．
【答案】
0
k
【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到m
n
，关于k 的表达式，再根据已知条件m
n
列出
关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得到k 的取值范围．
【详解】解：点
(
)
3,
M
m ，
(
)
5,
N
n 在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，
将点坐标代入解析式得
3
k
m =
，
5
k
n =
，
m
n
，
3
5
k
k
，即
0
3
5
k
k
−
，解得：
0
k
．
12．（25-26 八年级下·上海闵行·期末）已知反比例函数的解析式为
1
m
y
x
−
=
（m 是常数），如果在每一象限
内函数值y 随着x 的增大而减小，那么m 的取值范围是___________．
【答案】
1
m /1
m
【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的比例系数
0
k 时，在每一象限内y 随x 的增
大而减小，据此列出关于m 的不等式，求解即可得到m 的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数
1
m
y
x
−
=
在每一象限内，函数值y 随x 的增大而减小，
1
0
m
−
解得
1
m ．
◆题型5 反比例函数的图象和性质综合
13．（25-26 八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象经过点
(
)
2,4
A −
．
(1)求该函数解析式；
(2)判断点
(
)
4, 2
B
−
是否在该函数图象上．
【答案】(1)
8
y
x
= −
7 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)是
【分析】（1）把点(
)
2,4
A −
代入已知函数解析式，通过解方程即可求得k 的值；
（2）只要把点(
)
4, 2
B
−
的横坐标代入函数解析式，判断y 的值是否为2
−，若是，即该点在函数图象上．
【详解】（1）解：把
(
)
2,4
A −
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
得：4
2
k
= −，
解得：
8
k = −，
所以，反比例函数解析式为
8
y
x
= −
；
（2）解：当
4
x = 时，
8
2
4
y = −
= −，
所以，点
(
)
4, 2
B
−
在该函数图象上．
14．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）已知点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
上，
且m
n
．
(1)若
1
m = 时，求k 的值；
(2)若
3
k = 时，求m
n
+
的值；
(3)随着k 的变化，m
n
+
的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由．
【答案】(1)
3
k =
(2)
2
m
n
+
= −
(3)不变，
2
m
n
+
= −
【分析】（1）根据m 的值先求得点A 的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答；
（2）根据点A 和点B 在反比例函数图象上，可得
(
)
2
3
m m +
=
，(
)
2
3
n n +
=
，从而可知m、n 为关于x 的一
元二次方程(
)
2
3
x x +
=
的两个解，进而根据根与系数的关系即可解答．
（3）同（2）可解．
【详解】（1）解：当
1
m = ，则
(
)
1,3
A
，
∵点
(
)
1,3
A
在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
上，
∴3
1
k
=
，
∴
3
k = ；
（2）解：当
3
k = 时，反比例函数为
3
y
x
=
，
∵点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
3
y
x
=
上，
∴
(
)
2
3
m m +
=
，(
)
2
3
n n +
=
，
8 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴m、n 为关于x 的一元二次方程(
)
2
3
x x +
=
的两个解，
方程整理得
2
2
3
0
x
x
+
−
=
，其中
(
)
2
Δ
2
4 1
3
16
0
=
−−
=
，方程有2 个不相等的实数根，
∴
2
m
n
+
= −；
（3）解：不变，
∵点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
上，
∴
(
)
2
m m
k
+
=
，(
)
2
n n
k
+
=
，
∴m、n 为关于x 的一元二次方程(
)
2
x x
k
+
=
的两个解，
方程整理得
2
2
0
x
x
k
+
−
=
，其中
(
)
2
Δ
2
4 1
4
4
k
k
=
−−
=
+
，
∵
0
k
，
∴Δ
0
，方程有2 个不相等的实数根，
∴
2
m
n
+
= −．
15．（24-25 九年级上·河北邢台·阶段检测）已知反比例函数
3
m
y
x
−
=
（m 为常数，且
3
m
）．
(1)若在其图象的每一个分支上，y 随x 增大而增大，求m 的取值范围；
(2)若点
(
1,2)
(4, )
A m
B
n
+
、
均在该反比例函数的图象上；
①求m、n 的值；
②当1
0
x
−
时，求y 的取值范围．
【答案】(1)
3
m
(2)①
5
m
−
=
，
2
n = −；②
8
y
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题
的关键．
（1）根据反比例函数的性质即可求解；
（2）①点
(
1,2)
A m +
、
(4, )
B
n 代入
3
m
y
x
−
=
即可求解；
②求出解析式为
8
y
x
−
=
，则当
1
x = −时，
8
y =
,作出大致函数图象，数形结合即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得
3
0
m−
，
解得
3
m
；
（2）解：①把(
)
1,2
A m +
，
(
)
4,
B
n 代入
3
m
y
x
−
=
中，
得到(
)
2
1
3
m
m
+
=
−，
解得
5
m
−
=
，
3
8
m
−= −，
4
8
n
= −，
9 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
= −
n
；
②∵
5
m
−
=
，
∴解析式为：
8
y
x
−
=
当
1
x = −时，
8
y =
,
作出大致函数图象如图：
由图象可得，当1
0
x
−
，
8
y
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．
3
x
y =
B．
3
2
1
y
x
=
+
C．
2
2
x
y =
D．
3
2
y
x
=
【答案】D
【分析】根据反比例函数定义，形如
k
y
x
=
（k 为常数，
0
k
，
0
x
）的函数为反比例函数，逐项判断即
可．
【详解】解：选项A：
3
x
y =
是正比例函数，不符合反比例函数定义，A 错误.；
∵选项B：
3
2
1
y
x
=
+ 的分母是关于x 的一次二项式，不符合定义形式，B 错误；
选项C：
2
2
x
y =
是二次函数，不符合反比例函数定义，C 错误.；
10 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
选项D：
3
2
y
x
=
可变形为
3
2
y
x
=
，其中
3
0
2
k =
，符合反比例函数的定义，D 正确．
2．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图像经过点(
)
2, 3
−
，则k 的值为
（ ）
A．3
2
B．
3
2
−
C．6
D．6
−
【答案】D
【分析】利用待定系数法求解即可．
【详解】解：将点(
)
2, 3
−
代入
k
y
x
=
，得3
2
k
−=
，解得
6
k
−
=
．
3．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数
6
y
x
−
=
，下列结论正确的是（ ）
A．图象分别位于第一、三象限
B．y 随x 的增大而增大
C．图象经过点(
)
2,3
D．当
2
x
时，3
0
y
−
【答案】D
【分析】根据反比例函数
6
y
x
−
=
中
6
0
k = −
，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：对于反比例函数
6
y
x
−
=
，可得
6
0
k = −
，
A. ∵
0
k
，
∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A 错误，
B. 当
0
k
时，只有在每个象限内y 随x 的增大而增大，选项未限定象限，B 错误，
C. 当
2
x =
时，
6
3
3
2
y = −
= −，
∴ 图象不经过点(
)
2,3 ，C 错误，
D. 当
2
x
时，∵
2
0
x
，
∴
6
0
y
x
= −
.
又∵
2
x
，可得1
1
2
x
，两边同乘6
−得
6
3
x
−
−，
∴
3
0
y
−
，D 正确．
4．（25-26 八年级下·河南洛阳·期末）若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数
10
y
x
=
的图象上，
则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．
1
2
3
x
x
x
B．
2
3
1
x
x
x
C．
1
3
2
x
x
x
D．
2
1
3
x
x
x
【答案】B
11 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出
1x ，
2x ，
3x 的值，再比较大小即可得到结果．
【详解】解：∵ 点
(
)
1,2
A x
，(
)
2, 1
B x −
，
(
)
3,4
C x
都在反比例函数
10
y
x
=
的图象上，
∴ 分别将三点纵坐标代入解析式：
代入A点得
1
10
2
x
=
，解得
1
5
x = ，
代入B 点得
2
10
1
x
−=
，解得
2
10
x = −
，
代入C 点得
3
10
4
x
=
，解得
3
2.5
x =
，
∵
10
2.5
5
−
，
∴
2
3
1
x
x
x
．
5．（25-26 八年级下·河南周口·期末）反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
， 点
(
)
1
2,
A
y
−
，
(
)
(
)
2
3
1,
1,
B
y
C
y
−
，
在该函数
图象上，则
1
2
3
、、
y
y
y 的大小关系是（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
1
3
y
y
y
C．
3
1
2
y
y
y
D．
1
3
2
y
y
y
【答案】B
【分析】利用反比例函数的性质比较函数值大小，当
0
k
时，反比例函数图象在第二、四象限，每个象限
内y 随x 的增大而增大，先判断各点所在象限，再比较大小．
【详解】解：∵反比例函数为
k
y
x
=
，且
0
k
，
∴函数图象位于第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．
∵点
(
)
1
2,
A
y
−
，
(
)
2
1,
B
y
−
的横坐标都小于0 ，
∴
,
A B 都在第二象限，
又∵
2
1
0
−−，
∴
1
2
0
y
y
，
∵点
(
)
3
1,
C
y
的横坐标1
0
，
∴C 在第四象限，
∴
3
0
y
，
综上可得：
2
1
3
y
y
y
．
二、填空题
6．（25-26 八年级下·山东济南·期末）若函数
(
)
2 3
1
3
k
k
y
k
x
+
−
=
+
是反比例函数，则k 的值为__________．
【答案】0
12 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】根据反比例函数的定义，形如
1
k
y
kx
x
−
=
=
（k 为常数且
0
k
）的函数是反比例函数，据此列式求
解即可．
【详解】解：函数
(
)
2 3
1
3
k
k
y
k
x
+
−
=
+
是反比例函数，
∴
2
3
1
1
k
k
+
−= −且
3
0
k +
，
解得
0
k =
．
7．（25-26 九年级上·辽宁大连·期中）如果反比例函数
1
a
y
x
−
=
（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么a
的取值范围是______．
【答案】
1
a
【分析】本题主要考查了通过反比例函数图象，确定参数的取值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和
性质．
根据反比例函数的性质，当比例系数大于0 时，函数图象位于第一、三象限．
【详解】解：反比例函数
1
a
y
x
−
=
的图象在第一、三象限，
因此比例系数
1
0
a−
，
解得
1
a ，
故答案为：
1
a ．
8．（2026·陕西西安·模拟预测）点(
)
,
P m n 在一次函数
4
y
x
=
+
上，也在反比例函数
2
y
x
=
上，则
2
2
m
n
+
的值
为________．
【答案】20
【分析】根据函数图象上点的坐标满足函数解析式，得到
,
m n的关系式与mn 的值，再利用完全平方公式变
形计算得到结果.
【详解】解：点
(
)
,
P m n 在一次函数
4
y
x
=
+
上，
∴将
(
)
,
P m n 代入
4
y
x
=
+
得
4
n
m
=
+ ，整理得
4
n
m
−
=
，
点
(
)
,
P m n 在反比例函数
2
y
x
=
上，
∴将
(
)
,
P m n 代入
2
y
x
=
得
2
n
m
=
，整理得
2
mn =
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
4
2 2
16
4
20
m
n
n
m
mn
−
+
=
+
=
+
=
+
=
.
9．（25-26 八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数
2
2
m
y
x
+
= −
的图象上有三点(
)
1
3,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
−
，
(
)
3
4,
C
y
，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系为__________．（用“>”连接）
【答案】
2
1
3
y
y
y
13 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】先判断反比例函数比例系数k 的符号，再根据反比例函数的性质，判断三个点所在的象限，结合每
一象限内函数的增减性比较函数值的大小．
【详解】解：反比例函数
2
2
m
y
x
+
= −
中，
(
)
2
2
k
m
= −
+
，
又
2
0
m
，
2
2
0
m
+
，
(
)
2
2
0
k
m
= −
+
，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
(
)
1
3,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
−
，
(
)
3
4,
C
y
三点在函数图象上，
A
，B 在第二象限，点C 在第四象限，
3
1
2
0
y
y
y
，
即
2
1
3
y
y
y
．
10．（24-25 九年级上·河南郑州·阶段检测）已知反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
，对于正数m，当自变量x 满足
1
m
x
m
−
−
−
时，函数y的最小值为a，则当
2
m
x
m
时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．
（用
含a 的式子表示）
【答案】
2
a
−
a
−
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．根据反比例函数的性质，可知
图象在第一、三象限，在每个象限内， y 随x 的增大而减小，再根据对于一个正数m ，当自变量x 满足
1
m
x
m
−
−
−
时，函数y 的最小值为a ，求出解析式为
ma
y
x
−
=
，再根据反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
∵对于一个正数m ，当
1
m
x
m
−
−
−
时，函数y 的最小值为a ，
则x
m
= −
时，k
a
m =
−
，
∴k
ma
= −
，
∴
ma
y
x
−
=
，
当
2
m
x
m
时，
当
2
x
m
=
时，函数y 的最小值为：2
2
ma
a
m
−
= −
，
当x
m
=
时，函数y 的最大值为：ma
a
m
−
= −．
14 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：
2
a
−
；a
−．
三、解答题
11．（25-26 八年级下·北京东城·期中）已知y 与
1
x + 成反比例，且其函数图象经过点(
)
1,1 ．
(1)求y 关于x 的表达式；
(2)当
4
y =
时，求x 的值．
【答案】(1)
2
1
y
x
=
+
(2)
1
2
x = −
【分析】（1）根据题意可设
(
)
0
1
k
y
k
x
=
+
，然后代入(
)
1,1 求解即可；
（2）把
4
y =
代入求出的函数解析式即可求解x ．
【详解】（1）解：∵y 与
1
x + 成反比例
∴设
(
)
0
1
k
y
k
x
=
+
∵函数图象经过点(
)
1,1
∴
1
1 1
k
=
+
解得
2
k =
∴y 关于x 的表达式为
2
1
y
x
=
+ ；
（2）解：当
4
y =
时，则
2
4
1
x
=
+
，
解得
1
2
x = −
．
12．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）已知点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
上，
且m
n
．
(1)若
1
m = 时，求k 的值；
(2)若
3
k = 时，求m
n
+
的值；
(3)随着k 的变化，m
n
+
的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由．
【答案】(1)
3
k =
(2)
2
m
n
+
= −
(3)不变，
2
m
n
+
= −
【分析】（1）根据m 的值先求得点A 的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答；
15 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）根据点A 和点B 在反比例函数图象上，可得
(
)
2
3
m m +
=
，(
)
2
3
n n +
=
，从而可知m、n 为关于x 的一
元二次方程(
)
2
3
x x +
=
的两个解，进而根据根与系数的关系即可解答．
（3）同（2）可解．
【详解】（1）解：当
1
m = ，则
(
)
1,3
A
，
∵点
(
)
1,3
A
在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
上，
∴3
1
k
=
，
∴
3
k = ；
（2）解：当
3
k = 时，反比例函数为
3
y
x
=
，
∵点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
3
y
x
=
上，
∴
(
)
2
3
m m +
=
，(
)
2
3
n n +
=
，
∴m、n 为关于x 的一元二次方程(
)
2
3
x x +
=
的两个解，
方程整理得
2
2
3
0
x
x
+
−
=
，其中
(
)
2
Δ
2
4 1
3
16
0
=
−−
=
，方程有2 个不相等的实数根，
∴
2
m
n
+
= −；
（3）解：不变，
∵点
(
)
,
2
A m m +
，点
(
)
,
2
B n n +
均在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
上，
∴
(
)
2
m m
k
+
=
，(
)
2
n n
k
+
=
，
∴m、n 为关于x 的一元二次方程(
)
2
x x
k
+
=
的两个解，
方程整理得
2
2
0
x
x
k
+
−
=
，其中
(
)
2
Δ
2
4 1
4
4
k
k
=
−−
=
+
，
∵
0
k
，
∴Δ
0
，方程有2 个不相等的实数根，
∴
2
m
n
+
= −．
13．（上海市浦东新区几校2025-2026 学年九年级上学期11 月期中数学试题）反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
过
(
)
3, 2
A
，点B 与点A关于直线y
x
=
对称，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过A、B 两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若抛物线的对称轴为
2
x =
，求抛物线的表达式；
(3)若抛物线在1
1
x
−
的部分与反比例函数无公共点，求a 的取值范围（
0
a
）．
【答案】(1)
6
y
x
=
16 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)
2
4
1
y
x
x
= −
+
−
(3) 1
1
a
−
且
0
a
【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象综合问题；
（1）将点(
)
3,2 代入反比例函数的解析式即可求出k 的值．
（2）求出点B 的坐标，然后将B 与A的坐标代入即可，结合抛物线的对称轴为
2
x =
，求出抛物线的解析式
即可求出a ，b 与c 的值．
（3）令
1
x = −和1代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入
(
)
2
5
1
6
5
y
ax
a
x
a
=
+ −
−
+
+
中求出a 的值，根据函数图象求得a 的范围．
【详解】（1）解：∵反比例函数
k
y
x
=
过
(
)
3,2
A
，
∴
6
k =
，
∴
6
y
x
=
；
（2）∵点B 与点(
)
3,2
A
关于直线y
x
=
对称，
∴
(
)
2,3
B
．
∵抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 过点(
)
3,2
A
和(
)
2,3
B
，抛物线的对称轴为
2
x =
，
∴
9
3
2
4
2
3
2
2
a
b
c
a
b
c
b
a
+
+
=
+
+
=
−
=
∴
1
4
1
a
b
c
= −
=
= −
∴
2
4
1
y
x
x
= −
+
−
（3）解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 过点(
)
3,2
A
∴
9
3
2
4
2
3
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
=
解得：
5
1
6
5
b
a
c
a
= −
−
=
+
∴
(
)
2
5
1
6
5
y
ax
a
x
a
=
+ −
−
+
+
反比例函数的解析式：
6
y
x
=
令
1
x = −时，
6
y = −，即(
)
1,
6
−
−
令
1
x = 时，
6
y =
，即(
)
1,6
17 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当
(
)
2
5
1
6
5
y
ax
a
x
a
=
+ −
−
+
+ 过点(
)
1,
6
−
−
时，
1
a = −，
当
(
)
2
5
1
6
5
y
ax
a
x
a
=
+ −
−
+
+ 过点(
)
1,6 时，
1
a = ，
∴抛物线在1
1
x
−
的部分与反比例函数无公共点，此时a 的范围：1
1
a
−
且
0
a
．
14．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是横坐标的3 倍，那么这
个点被称为“好点”．例如
(
)
,3
A a
a 就是“好点”．
(1)下列结论：
①直线
3
y
x
=
上有无数个“好点”；
②二次函数
2
1
2
8
2
y
x
x
=
−
+ 的顶点是“好点”；
③双曲线
27
y
x
=
上只有一个“好点”(
)
3,3 ．
以上结论中，你认为正确的是______（填写正确结论的序号）．
(2)二次函数
2
y
x
bx
= −
+
的图象上存在唯一一个好点，
①求这个二次函数解析式；
②当
1
5
t
x
−
时，
9
10
4
y
−
，求t 的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)①
2
3
y
x
x
= −
+
；②
5
1
2
t
−
．
【分析】（1）根据“好点”的定义逐一判断即可；
（2）①设“好点”为(
)
,3
x
x ，代入
2
y
x
bx
= −
+
，据此求解即可；
②利用配方法得到抛物线开口向下，当
3
2
x =
时，最大值为9
4 ，再求得当
10
y = −
时，
5
x = 或
2
x = −，结合
函数图象得
1
2
3
1
2
t
t
−−
−
，据此求解即可．
【详解】（1）解：①直线
3
y
x
=
上任意点(
)
,3
a
a 都满足纵坐标是横坐标的3 倍，有无数个“好点”，说法正确；
18 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②二次函数
(
)
2
2
1
1
2
8
2
6
2
2
y
x
x
x
=
−
+ =
−
+ ，
顶点为(
)
2,6 ，6
3 2
= ，是“好点”，说法正确；
③设双曲线“好点”为(
)
,3
x
x ，代入
27
y
x
=
得
27
3x
x
=
，解得
3
x = ，
得到两个好点(
)
3,9 和(
)
3, 9
−
−
，不是只有一个，原说法错误；
所以正确的是①②；
（2）解：①设“好点”为(
)
,3
x
x ，代入
2
y
x
bx
= −
+
，
得
2
3x
x
bx
= −
+
，
整理得：
(
)
2
3
0
x
b x
+
−
=
，
∵图象上存在唯一一个好点，
∴该一元二次方程有两个相等实数根，判别式
0
=
，
∴
(
)
2
3
0
0
b
=
−
−
=
，
解得
3
b =
，
∴二次函数解析式为
2
3
y
x
x
= −
+
；
②
2
2
3
9
3
2
4
y
x
x
x
= −
+
= −
−
+
，
开口向下，当
3
2
x =
时，最大值为9
4 ，
当
10
y = −
时，
2
3
10
x
x
−
+
= −
，
解得
5
x = 或
2
x = −，
∵当
1
5
t
x
−
时，
9
10
4
y
−
，
结合函数图象得
1
2
3
1
2
t
t
−−
−
，
解得
5
1
2
t
−
．
19 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
15．（2026·宁夏银川·三模）综合与实践：
《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象与性质进行探究．过程
如下，请完成探究过程：
(1)初步感知
函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的自变量取值范围是_____．
(2)作出图象
①列表：
x
…
6
−
5
−
4
−
3
−
2
−
5
3
−
3
2
−
7
5
−
n
1
3
−
0
1
2
3
4
…
y
…
7
5
3
2
5
3
2
3
4
m
6
3
−
2
−
1
−
0
1
3
1
2
3
5
…
填空：表中m = _____，n =_____．
②描点，连线：
在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)研究性质
小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 转化为
2
1
1
y
x
= −
+ ，他判断该
函数图象就是反比例函数
2
y
x
= −
通过某种平移转化而来，反比例函数
2
y
x
= −
的图象是中心对称图形，对称
中心为(
)
0,0 ，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称中心为_____；反比例函数
2
y
x
= −
的图象是轴对称图形，对称
轴为直线y
x
=
和y
x
−
=
，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称轴为直线_____．
(4)拓展应用
20 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
若一次函数
1
2
2
y
x
−
=
+ 的图象与函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象交于A、B 两点，连接OA、OB ，则AOB
的面积为_____．
【答案】(1)
1
x
−
(2)①5，
1
2
−
；②函数图象如下：
(3)(
)
1,1
−
；
2
y
x
=
+
和y
x
−
=
；
(4)5
【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题；
（2）①将对应的值代入求解即可；②根据表格描点连线即可；
（3）结合图象和平移的性质求解即可；
（4）令一次函数
1
2
2
y
x
−
=
+ 的图象与x 轴交于点C ，分别求出A、B 、C 三点坐标，再利用三角形面积求
解即可．
【详解】（1）解：
1
1
x
y
x
−
=
+
，
1
0
x
+
，
1
x
−，
函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的自变量取值范围是
1
x
−
；
（2）解：①当
3
2
x = −
时，
3
1
2
5
3
1
2
y
m
−
−
=
=
=
−
+
，
当
3
y
−
=
时，
1
3
1
x
x
−
−
=
+
，
解得：
1
2
x = −
，即
1
2
n
−
=
；
②图象如答图；
21 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 转化为
2
1
1
y
x
= −
+ ，
他判断该函数图象就是反比例函数
2
y
x
= −
通过某种平移转化而来，反比例函数
2
y
x
= −
的图象是中心对称图
形，对称中心为(
)
0,0 ，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称中心为(
)
1,1
−
；反比例函数
2
y
x
= −
的图象是轴对称图
形，对称轴为直线y
x
=
和y
x
−
=
，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称轴为直线
2
y
x
=
+
和y
x
−
=
．
（4）解：如图，令一次函数
1
2
2
y
x
−
=
+ 的图象与x 轴交于点C ，
联立
1
2
2
1
1
y
x
x
y
x
−
−
=
+
=
+
，
解得：
1
1
2
3
x
y
−
=
=
，
2
2
3
1
2
x
y
=
=
，
22 / 22
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
2,3
A
−
，
1
3, 2
B
，
令
0
y =
，则
1
2
0
2
y
x
= −
+
= ，解得：
4
x = ，
(
)
4,0
C
，
1
1
1
4 3
4
6 1
5
2
2
2
AOB
AOC
BOC
S
S
S
=
−
=
−
=
−=
．
