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第二十二章 二次函数 易错必考63题（13个考点）专练
易错必考题一、根据二次函数的定义求参数
1．（2023·全国·九年级专题练习）若函数 是二次函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． 或3 C．3 D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义： ，进行计算即可．
【详解】解：由题意得： ，解得： 或 ；
又∵ ，解得： 且 ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．注意二次项系数不为零．
2．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）点 是二次函数 图像上一点，则
的值为
【答案】6
【分析】把点 代入 即可求得 值，将 变形 ，代入即可．
【详解】解：∵点 是二次函数 图像上，
∴ 则 ．
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．
3（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）已知函数 为二次函数，求m的值．
【答案】m=﹣1
【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．
【详解】解：由题意： ，解得 ，时，函数 为二次函数．
【点睛】本题考查二次函数的定义，记住二次函数的定义是解题的关键，形如 、 、 是
常数， 的函数，叫做二次函数．
易错必考题二、二次函数与一次函数、反比例函数图象的综合判断
4．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即 在第四象限可得 ，从而得到
反比例函数 的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与 的交点个数得到，从而得到一次函数 的图象经过一、二、三象限，即可得到答案．
【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即 在第四象限，
，
反比例函数 的图象分布在二、四象限，
抛物线的开口向上，
，
抛物线与 轴有两个交点，
，
一次函数 的图象经过一、二、三象限，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反
比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
5．（2023秋·四川南充·九年级校考期末）在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可先确定每一选项中的一次函数图象，得到a、c的符号，再验证二次函数图象是否一致即可．【详解】解：A、由一次函数 的图象得 ， ，则二次函数 图象开口向上，故该
选项不符合题意；
B、由一次函数 的图象得 ， ，则二次函数 图象开口向下，与y轴正半轴相交，
故该选项符合题意；
C、由一次函数 的图象得 ， ，则二次函数 图象开口向下，故该选项不符合题
意；
D、由一次函数 的图象得 ， ，则二次函数 图象开口向下，故该选项不符合题
意，
故答案为：B．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，熟知一次函数、二次函数的图象与系数的关系是解
答的关键．
6．（2023春·山东日照·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，反比例函数 与二次函数
的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 的取值范围分当 时和当 时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以
及二次函数的图像与性质进行判断即可．
【详解】解：当 时，反比例函数 的图像经过一、三象限，二次函数 的图像开口向
上，其对称轴 在 轴右侧，且与 轴交于负半轴，故选项C、D不符合题意；
当 时，反比例函数 的图像经过二、四象限，二次函数 的图像开口向上，其对称轴在 轴左侧，且与 轴交于正半轴，故选项A不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质，解题关键是根据 的取值
范围分当 时和当 时两种情况进行讨论．
7．（2023春·安徽安庆·九年级校考阶段练习）二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐
标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 的取值范围分当 时和当 时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次
函数图象和性质进行判断即可．
【详解】当 时，反比例函数 的图象经过第一、三象限，当 时，二次函数 图象，
开口向上，对称轴 在y轴左侧，则A选项不符合题意，当 时，二次函数 图象，开
口向下，对称轴 在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意；
当 时，反比例函数 的图象经过第二、四象限，当 时，二次函数 图象，开口向上，
对称轴 在y轴右侧，则D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对 的取值进行分类讨论（当 时和当 时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析
式进行求解．
易错必考题三、二次函数的图象与性质
8．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数 在 时有最小值
，则 （ ）
A． 或 B．4或 C． 或 D．4或
【答案】B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线 ，再分 和 两种情况，利用二次函数的性质进行求解
即可．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴对称轴为直线 ，
①当 ，抛物线开口向上， 时，有最小值 ，解得： ；
②当 ，抛物线开口向下，∵对称轴为直线 ，在 时有最小值 ，
∴ 时，有最小值 ，解得： ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
9．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知点 ， ， 均在抛物线
上，其中 ．若 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 得到 ，此时 ，判断 为抛物线的顶点，且抛物线开口向下，
然后分 和 两种情况分类讨论解题即可．
【详解】解：∵ ，
，∵直线 是抛物线 的对称轴，且此时 ，且 ，
∴ 为抛物线的顶点，且抛物线开口向下，
①当 时，点 都在 左侧(或 与 重合)，此时一定有 符合题意，
②当 时，
∵ ，
∴ 在点 右侧，即 ，
且点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，即 ，
解得：m>1，
∴ ，
综上所述， 的取值范围是
故选： ．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）设 ，且函数 与 有相同
的最小值u；函数 与 有相同的最大值v；则 的值（ ）
A．必为正数 B．必为负数 C．必为0 D．符号不能确定
【答案】C
【分析】本题给出四个函数的解析式及两条重要信息 与 有相同的最小值 ； 与 有相同
的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．
【详解】∵ ，
，
则 ，得 ①
∵ ，
∴ ，
又∵ ；则 ，
得 ，②
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 得， ，
解得 或 (舍去)，
当 时，
，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，难度较大，解题的关键是将函数的标准形式化为顶点形式．
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线 上两点 ，且 ，
则下列说法一定正确的是（ ）
A．若 时，则 B．若 时，则
C．若 时，则 D．若 时，则
【答案】D
【分析】求得抛物线的开口方向，对称轴以及抛物线与x轴的交点，然后利用二次函数的性质判断即可；
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，抛物线与x轴的交点为 ，
若 时，
，
∴ ，
∴无法确定 、 的大小，故A、B不正确，不合题意；若 时，
∵抛物线 上两点 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故C不正确，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的性质是解题的
关键
12．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考开学考试）已知抛物线 经
过 ， 两点，若 ， 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】根据二次函数的增减性，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，对称轴为直线 ，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
∵ ， 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 ，
①当 时，此不等式无解，不符合题意；
② ，即： 时， ，
解得： ，
综上： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．
13．（2023秋·湖北孝感·九年级校考开学考试）关于抛物线 ，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是 ．
②当 时， 随 的增大而减小．③当 时， ．
④若 是该抛物线上两个不同的点，则 ．
其中正确的说法有 ．（填序号）
【答案】 /
【分析】②直接④根④据②二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项错误；
②对称轴为 ，当 时，y随x的增大而减小，故该项正确；
③当 时， 时取最大值0， 时取最小值 ，因此 ，故该项错误；
④若 、 是该抛物线上两点，则两点关于直线 对称，因此 ，故该项正确．
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握该知识点并熟练运用数形结合思想是解题的关键．
14．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）若函数 （ ）图象过点 ， 且
抛物线的顶点位于第四象限，设 ，则P的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据 和 得到 ， ， 的关系，通过 ，对称轴大于0，得到 ，进而求出 的
准确范围，最终求出 的取值范围．
【详解】解：由题意可知，
， ，
，
，
，且对称轴 ，
，
，
，
，
，．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的
关系．
15、（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段 的端点坐标分别为 ，
，抛物线 （ 为常数， ）和线段 有公共点时， 的取值范围是
，
【答案】
【分析】抛物线和线段 有公共点可知 ，当点 在抛物线上时，可算出此时的 的值，当点
在抛物线上时，算出此时的 的值，由此即可求解．
【详解】解：抛物线 （ 为常数， ）和线段 有公共点， ， ，
∴ ，
∴当点 在抛物线上时， ，解得， ， ；
当点 在抛物线上时， ，解得， ， ；
∵当 时，有公共点，且 ，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查二次函数图像与线段的交点问题，掌握二次函数图像的性质，线段与图像的位置关
系，数形结合分析是解题的关键．
16．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数 ．
(1)若 ，求该函数图象的顶点坐标．
(2)若当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，求m的取值范围．
(3)若函数 ，点 都在函数 的图象上，且 ，求n的取值范围．（用含m的
代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）把 代入 求出解析式，然后配方即可；
（2）先求出 的对称轴，可得当 时，y随x的增大而减小；当 时，y
随x的增大而增大，再结合条件即可求出；
（3）根据代入法求出 ，结合 即可求出答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
将 配方得： ，
∴该函数图象的顶点坐标是 ；
（2）解：在 中， ，
当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，
∵当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，∵点 都在函数 的图象上，
当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
【点睛】本题是二次函数的一个综合题，主要考查了求顶点坐标，二次函数的性质，熟练掌握相关知识是
关键．
17．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线 经过 ， 两点．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 ，且 时， 的最大值为3．
①求抛物线的解析式；
②抛物线与 轴交于点 ，直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，连接 ，当
时，求 的值．
【答案】(1)
(2) ； 或
【分析】(1)根据 ， 对称，写出对称轴方程 ，根据对称轴是 ，且 ，求出
；
(2)① 在对称轴 的左侧， 时时， 有最大值为 ，得到 时， ，根据 ，
得到方程组，解方程组即可求解；
②利用三角形的面积关系，得到点 与点 的横坐标的比为 ： ，设点 的横坐标为 ，则点 的横坐标为 ，利用待定系数法用含 的代数式求得直线 的解析式，进而得到点 的坐标，将点 坐标代入
抛物线的解析式求得 值即可求得结论．
【详解】（1）解：抛物线 经过 ， 两点，
，
， ，
；
（2）解：① ， ， ，
， ，
对称轴是直线 ， ，
当 时， 随 的增大而增大，
时， 的最大值为 ，
当 时， ，
抛物线解析式为 ，
把 ， ，代入得：
，
，
抛物线解析式为 ；
②由①得： ， ， ，
设直线 的解析式为 ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
，，
点 与点 的横坐标的比为 ： ，
设点 的横坐标为 ，则点 的横坐标为 ，
点 在直线 上，
．
点 在直线 上，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
点 在直线 上，
，
点 在抛物线上，
，
解得： 或 ，当 时， ，
当 时， ，
综上所述， 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积，熟练掌握根据二次函数值随
自变量变化情况确定二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，同高的两个三角形面积与底边成
比例，是解决本题的关键．
易错必考题四、二次函数图象的平移问题
18．（2023秋·全国·九年级专题练习）将抛物线 （a、b是常数， ）向下平移2个单位
长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线 关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】先求出抛物线 关于y轴对称的抛物线为 ，再根据抛物线平移的性质
得出抛物线 向下平移2个单位长度后为 ，即可得出a和b的值．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线 关于y轴对称的抛物线为 ，
∵抛物线 向下平移2个单位长度后为 ，
∵ 与 关于y轴对称，
∴ ，整理得： ，
∴ ， ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，
以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．
19．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左
侧），其顶点P在线段 上移动，点A，B的坐标分别为 ， ，点N的横坐标的最大值为4，则
点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】其顶点P在线段 上移动，点A，B的坐标分别为 ， ，分别求出对称轴过点A和B时
的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时点P和点B重合，即抛物线的对称轴为： ，
N点坐标为 ，则M点坐标为 ，
点P和点A重合，点M的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为： ，
N点坐标为 ，则M点的坐标为 ，
点M的横坐标的最小值为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平
行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．20．（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）在平面直角坐标系 中，将抛物线 先绕原点O
旋转 ，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线解析式为 ．
【答案】
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出顶点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右
减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的顶点为 ，
将抛物线 先绕原点旋转 抛物线顶点为 ，
旋转后的抛物线为 ，
再向上平移3个单位， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象旋转与平移的法则．
21．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线 ：
．
(1)写出 的对称轴和 的最小值；
(2)点 为透明片上一点， 的坐标为 ．平移透明片，平移后， 的对应点为 ，抛物线 的对应抛
物线为 ，其表达式恰为 ，求 移动的最短路程．【答案】(1)对称轴为直线： ， 的最小值为2
(2)
【分析】（1）直接根据解析式进行作答即可；
（2）求出平移后的抛物线的顶点坐标， 移动的最短路程为两个顶点间的距离，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，顶点坐标为 ，
∴对称轴为直线 ， 的最小值为2；
（2）∵ ，顶点坐标为 ，
∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴ 移动的最短路程为 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解
题的关键．
22．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）已知二次函数 图像的对称轴为直线 ．
(1)求a的值；
(2)将该二次函数的图像沿x轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称轴列式求解即可解答；
（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图像所对应的二次函数的表达式即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 图像的对称轴为直线
∴ ，解得 ．
（2）解：∵ ，
∴ ，∴平移后为： ．
∴新二次函数的解析式为 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的平移等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的
关键．
23．（2023·山东·九年级专题练习）如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线段
上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 ，当 时， ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且
直线 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)
(2)当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为
(3)4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 ，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可
求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得 ，则 ，再得出 ，根据矩形的周长公式，
列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；（3）连接A ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，根据矩形的性质和平移的性质推
出四边形 是平行四边形，则 ， ．求出 时，点A的坐标为 ，则
，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 ．
∵当 时， ，
∴点C的坐标为 ．
将点C坐标代入表达式，得 ，
解得 ．
∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：由抛物线的对称性得： ，
∴ ．
当 时， ．
∴矩形 的周长为
．
∵ ，
∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ．
（3）解：连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ．∵直线 平分矩形 的面积，
∴直线 过点P．．
由平移的性质可知，四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴P是 的中点．
∴ ．
当 时，点A的坐标为 ，
∴ ．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题
的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性
质，以及平移的性质．
易错必考题五、根据二次函数的图象判断式子符号
24．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与x轴交于 ，B两点，下列判
断正确的是（ ）A． B．当 时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为 D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、抛物线开口向下， ，选项错误，不符合题意；
B、 ，对称轴为 ，当 时，y随x的增大而减小，选项错误，不符合题意；
C、∵抛物线 与x轴交于 ，对称轴为 ，
∴点B的坐标为 ，选项正确，符合题意；
D、∵抛物线 与x轴交于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选项D错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
25．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，根据二次函数 的图象得到如下结论：①
② ③ ④ ⑤当 时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数 ，使得
成立．上述结论，正确的是（ ）A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向上得出 ，根据抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上得出 ，根据图象
关于 对称，得到 ，即 ，故 ，根据图象与x轴的一个交点为 ，即可得到图
象与x轴的另一个交点为 ，根据方程 的根，把 代入 求出 ，
再将 代入 得到 ，根据抛物线的对称轴和图象得出当 时，y 随x 的增大而
增大，根据函数最小值为 ，当 时，则 ，即 ，故一定存
在实数 ，使得 成立．
【详解】解：∵抛物线开口向上、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于负半轴，
， ，
抛物线关于 对称，
，即 ，
，
，故①错误，故②正确；
∵抛物线过点 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线过点 ，把 代入 ，得到
，故③正确；
， ，
，故④错误；∵抛物线开口向上，对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大；故⑤错误；
∵函数最小值为 ，
∴当 时，则 ，即 ，
∴一定存在实数 ，使得 成立，故⑥正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形
结合的思想解答．
26．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，已知二次函数 的图象如图所示，
对于下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④若m为任意实数；则 ；⑤当
时，y随x增大而先增大后减小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行判断求解．
【详解】解：由于图像开口向上，
，
抛物线对称轴为 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，①错误；有图像知，将 代入得 ，
将 代入得 ，
，②错误；
有图像知，将 代入得 ，
，
，③正确；
当 时，函数有最小值 ，
若m为任意实数；则 ，
，
，
，
，
，
，
，④正确；
，
，
根据图像可知， 时，y随x增大而先减小后增大．⑤错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（2023·山东·九年级专题练习）如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，
对称轴为直线 ．下面结论：
① ；
② ；
③ ；
④方程 必有一个根大于 且小于0．其中正确的是 ．（只填序号）
【答案】①②④
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【详解】解：由图象可得，
则 ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点 和 之间，对称轴是直线 ，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点 和点 之间，故④正确；
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与 轴的交点，解
答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
28．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数 的图像如图所示，有下列5个结
论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ 的实数）．
其中正确的结论有 （填序号）【答案】③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向可以得出 ，由抛物线与 轴的交点可以判断 ，由抛物线的对称轴可
以判断 ，再根据抛物线与 轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．
【详解】解：① 二次函数 的图象开口方向向下，与 轴交于正半轴，对称轴为直线
，
，
，
，故①错误，不符合题意；
② 二次函数 的图象与 轴的交点在 的右边，图象开口方向向下，
当 时， ，
，
，故②错误，不符合题意；
③ 二次函数 的图象与 轴的另一个交点在 的右边，图象开口方向向下，
当 时， ，
，故③正确，符合题意；
④由①得： ，
，
由②得： ，
，
，故④正确，符合题意；⑤ 二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
当 时， 取最大值，最大值为 ，
当 时， ，
，故⑤正确，符合题意；
综上所述：正确的结论有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，
熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．
29．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，二次函数 的图象过点 ，对称轴为直线
．
给出以下结论：
① ；
② ；
③若 ， 为函数图象上的两点，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有整数根，则对于 的每一个值，对应的 值有3个．
其中正确的有 ．(写出所有正确结论的序号)
【答案】①②③
【分析】由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与 的关系，然后根据对称
轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】 抛物线开口向下，
；抛物线的对称轴为直线 ，
；
抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，
，
故①正确；
当 时，函数有最大值，
，
即
故②正确；
抛物线的对称轴是 ，则 在对称轴右侧， ，
，
故③正确；
抛物线的对称轴是 ，与 轴的一个交点是 ，
抛物线与 轴的另个交点是 ，
把 ， 代入 得， ，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
解得， ．
，
顶点坐标为 ，
由图象得当 时， ，其中 为整数时， ， ， ，
又 与 关于直线 轴对称
当 时，直线 恰好过抛物线顶点．所以 值可以有 个．
故④不正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查的是抛物线与 轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、 轴上点的坐标特点等
知识是解答此题的关键．
易错必考题六、待定系数法求二次函数的解析式
30．（2023秋·全国·九年级专题练习）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，
符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线 过点 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，故 不在直线 上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数， ，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入 得
，解得 ，符合题意；
D、由C可知，不合题意．故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题
的关键．
31．（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）已知二次函数 图象经过点 、
点 点 ，求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标 ．
【答案】解析式 ，对称轴 ，顶点坐标 ．
【分析】将点坐标代入解析式，得方程组求解，确定函数解析式，根据二次函数的性质求得对称轴，顶点
坐标．
【详解】解：由题意，得
，解得 ，
∴ ．
∴
对称轴： ，顶点坐标 ．
故答案为：解析式 ，对称轴： ，顶点坐标 ．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质；掌握二次函数的基本性质是解题的关键．
32．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个二次函数 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左
侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据二次函数 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定
，对称轴 ， ，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即 ，
∵二次函数 的顶点在y轴正半轴上，
∴ ，即 ， ，
∴二次函数的解析式可以是 （答案不唯一）
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的
关键．
33．（2023春·海南海口·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于 点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；
(3)设点E是线段 上的动点，作 轴交抛物线于点D，求线段 长度的最大值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据 ，求出 的横坐标，根据点 在抛物线上，求出点 的坐标即可；
（3）将线段 的长度转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象过点B ，点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）∵B ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 或 ；
（3）∵ ，当 时， ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ，
∵点E是线段 上的动点， 轴交抛物线于点D，
∴设 ，则： ，
∴ ；
∴当 时，线段 的长度最长为 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题
的关键．
易错必考题七、二次函数与一元二次方程
34．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知抛物线 （a，b，c是常数）开口向下，
过 ， 两点，且 ．下列四个结论：
① ；
②若 时，则 ；
③若点 ， ，往抛物线上， ，且 ，则 ；
④当 时，关于x的一元二次方程 必有两个不相等的实数根．
其中结论正确的结论有（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向和对称轴位置，即可判断①；利用对称轴公式求得 ，由 ，
进一步得到 ，即可判断②；由点 ， ， ， 到对称轴的距离，即可判断③；证明判
别式 即可判断④．
【详解】解： 对称轴 ，对称轴在 轴右侧，
，
，
，
故①正确；
当 时，对称轴 ，
，
当 时， ，
，
，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线 ， ，
点 ， ， ， 在抛物线上， ，且 ，
点 到对称轴的距离 点 到对称轴的距离，
，故③正确；
设抛物线的解析式为 ，
方程 ，
整理得， ，
，
， ，
，
关于 的一元二次方程 必有两个不相等的实数根．故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵
活运用所学知识解决问题．
35．（2023·重庆·九年级统考学业考试）从 这八个数中，随机抽一个数，记为 ．若数使得二次函数 的图象与 轴有交点，且使得关于 的分式方程 有整数
解，则所有满足条件的 的值之和是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由二次函数 的图象与 轴有交点可得一元二次方程 有实数
解，确定 的范围，由分式方程 有整数解，确定 的值即可判断．
【详解】解：由题意得：方程 有实数解，
，且
解得 且 ，
满足条件的 的值为
方程 ，
解得 ，
有整数解，
，0，2，
综上所述，满足条件的 的值为 ，0，2，
符合条件的 的值的和是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，根的判别式，分式方程的解等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，属于中考常考题型．
36（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）已知二次函数 的图象如图所示，并且关于
的一元二次方程 有两个不相等的实数根，下列结论：（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．其中正确的个数有 ．【答案】3个
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与 轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】解：抛物线与 轴有两个不同交点，因此 ，故（1）正确；
由开口方向可得， ，对称轴在 轴右侧， 、 异号，因此 ，与 轴交点在负半轴，因此 ，
所有 ， ，因此（2）正确，（3）错误；
由关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，就是当 时，对应抛物线上有两
个不同的点，即 ， ， ， ，由图象可知此时
因此（4）正确的，
综上所述，正确的有3个，
故答案为：3个．
【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握 、 、 的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程
的关系，是正确判断的前提．
37．（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知抛物线
．
（1）若对称轴在直线 处，则 ；
（2）若顶点在y轴上，则 ；
（3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为 ；
（4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】（1）根据对称轴 求解即可；
（2）根据对称轴 求解即可；
（3）根据 ，求解即可；（4）根据 且 ，求解即可．
【详解】解：（1）对称轴在直线 处，即 ，解得 ；
（2）抛物线的顶点在y轴上，即 ，解得： ；
（3）抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，即 ，解得 ；
（4）抛物线与x轴有两个交点，则 ，且
解得， 且 ．
故答案为： ； ； ； 且
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
38．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）已知二次函数 ，自变量 与函数 的部分对
应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 …
(1)二次函数图象的开口方向______， 的值为______；
(2)点 、 在函数图象上， ______ （填 、 、 ）；
(3)当 时， 的取值范围是______；
(4)关于 的一元二次方程 的解为______．
【答案】(1)向上，5
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，利用对称性求出 的值即可；
（2）根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可；
（3）利用图象法，求自变量的取值范围即可；（4）找到函数值为5时的自变量的值，即可得解．
【详解】（1）解：由表格可知： 和 时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
由表格可知，在对称轴的左侧， 随 的增大而减小，在对称轴的右侧， 随 的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，
∵ 和 关于对称轴对称，
∴ ；
故答案为：向上，5
（2）∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点 、 在函数图象上， ，
∴ ；
故答案为：
（3）由表格可知：当 时， 或 ，
∴当 时， 的取值范围是 ；
故答案为： ．
（4）由表格可知，当 时， 或 ，
∴一元二次方程 的解为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是根据抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴．
易错必考题八、二次函数与不等式
39．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，已知抛物线 与直线 交于
两点．则关于 的不等式 的解集是（ ）A． 或 B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的 的取值范围即可．
【详解】∵抛物线 与直线 交于 ，
∴不等式 为： 或 ，
故选： ．
【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２
40．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与直线 交于 两点，则关
于 的不等式 的解集为 ．
【答案】 或
【分析】根据题意得出：当 时，则 ，进而结合函数图象得出 的取
值范围．
【详解】解：根据题意得出：
当 时，则 ，由图象可得：关于 的不等式 的解集为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题，是解答此题的关键．
41．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标中，抛物线 和直线
交于点 和点 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．
【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，
当 时，直线在抛物线上方，
不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
42．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，抛物线 与直线 相交于点 和
，抛物线还经过 ，(1)求：抛物线和直线的解析式；
(2)若 ，则x的取值范围是______．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】（1）将 、 、 代入 ，将 、 代入 ，即
可求解；
（2）根据在上方的函数图象对应的函数值较大，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得： ，
抛物线的解析式 ；
，
解得： ，直线的解析式 ；
（2）解：由图得
的图象在 的图象上方所对应 的取值范围：
或
故答案： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，根据交点求不等式的解集，掌握解法是解
题的关键．
43．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数 图象的顶点坐标为 ，且经
过点
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数图象，填空：
①当 时， 的取值范围是______；
②当 时， 的取值范围是______；
【答案】(1)
(2)①
② 或
【分析】（1）由于过顶点 ，且经过点 即可用顶点式求出函数表达式．
（2）①在图像上找出 的范围，分析函数的增减性，从而求出此时 的取值范围．
②在图像上找出 的范围，观察在这范围中， 满足条件的范围．【详解】（1）解： 经过顶点
解析式可变成顶点式，即
将点 代入
得
得到表达式为
变形得一般式为
（2）①解：当 时，函数表达式在 上单调递增，在 上单调递减，
即在 时取最小值
在 时取最大值
所以 的取值范围是 ．
②解：当 时， 或
当 时， 或
结合图像分析
要使
即 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握将函数表达式化为顶点式求函数解析式．掌握二
次函数与不等式的关系．
易错必考题九、二次函数y=ax2+bx+c的最值
44．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数 （h为常数），当 时，函数y的
最大值为 ，则h的值为（ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
【答案】D
【分析】由题意，二次函数的对称轴为 ，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出h的值，
即可得到答案．
【详解】解：∵ ，∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
将 代入 得 ，
解得 或1，
当 时， ，函数最大值为0，不符合题意，
当 时， 时，y随x增大而减小， 时，函数取最大值，符合题意，
当 时， ，
解得 或 ，
当 时， ，不符合题意，
当 时， 时，y随x增大而减小， 时，函数取最大值，符合题意，
∴ 或6，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对
称轴的位置，进行分类讨论．
45．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数 （h为常数），当自变量x的值满足
时，与其对应的函数值y的最大值为 ，则h的值为（ ）
A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【答案】B
【分析】分 ， 和 三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，对称轴为直线 ，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
当 时，则 时，函数值y有最大值，
故 ，
解得： （舍去）；
当 时， 的最大值为0，不符合题意；
当 时，则 时，函数值y有最大值，故 ，
解得： （舍去）， ．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
46．（2023·广东广州·校考模拟预测）已知二次函数 在 时有最小值 ，
则 ．
【答案】3或
【分析】将一般式化为顶点式，求出对称轴，分 和 ，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴对称轴为直线 ，
① ，抛物线开口向上， 时有最小值 ，
∴ 时，有最小值 ，
解得： ；
② ，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线 ，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
又 时有最小值 ，
∴ 时，有最小值 ，
解得： ；
故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
47．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，已知线段 ，点P是 上一动点（不与A、B重
合），分别以 、 为边在 的同侧作正方形 和 ，且两正方形对角线的交点分别为M、
N，则 长度的最小值为 ．【答案】5
【分析】设 ，则 ，根据正方形的性质和勾股定理，分别求得 、
， ，再利用二次函数的性质，得出 的最小值为25，即可求出
长度的最小值．
【详解】解：设 ，则 ，
正方形 和 ，
， ， ， ， ，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
当 时， 有最小值，最小值为25，
长度的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．
48．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交
于 、 两点，与 轴交于 ， 点在原点的左侧， 点的坐标为 ，点 是抛物线上一个动点，且在直线 的上方．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接 、 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在点 ，使四边形 为
菱形？若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点 运动到什么位置时，使 的面积最大，求出点 的坐标和 的面积最大值．
【答案】(1)
(2)存在，点 的坐标为
(3)点 的坐标为 ， 的面积的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；
（2）先设出点 的坐标，再求出 的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点 的坐标；
（3）先设出点 的坐标，然后作 平行 轴交 与点 ，将三角形 和三角形 的面积表示出来，
再求出最大值的条件和最大值．
【详解】（1）解：把点 ，点 的坐标代入 ，
得 ，
解得 ，二次函数得表达式为 ；
（2）解：存在点 ，使四边形 为菱形，
设 ， 交 于点 ，
若四边形 是菱形，则 ，
连接 ，则 ， ，
，
解得 ， 不合题意，舍去 ，
点 的坐标为 ；
（3）解：如图，过点 作 轴的平行线与 交于点 ，
设 ，
设直线 的解析式为 ，则有 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
则 ，
，
当 时， 的面积最大，
将 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ， 的面积的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形
的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角
形分割成两个三角形，即作 轴的平行线或 轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出
顶点的纵坐标即是最大值．
易错必考题十、二次函数的销售问题
49．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎
盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每
千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量 （千
克）与每千克售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/千克） 40 50 60
销售量 （千克） 120 100 80
设销售该商品每天的利润为 （元），则 的最大值为（ ）
A．1800 B．1600 C．1400 D．1200
【答案】B【分析】设出 与 的函数关系式 ，把 ， 代入求出关系式，再根据题意列出利润
的二次函数关系式，根据二次函数的性质和实际情况求解最大值即可．
【详解】提示：设 与 的函数关系式 ，把 ， 代入，
得 ，解得 ，
∴ ，
由题意得 ，
∵ ，开口方向向下，
∴当 时， 随 的增大而增大，
又∵ ，
∴ 时， （元）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意列出相关函数关系式是解题的关键．
50．（2023秋·全国·九年级专题练习）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销
售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售
价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
【答案】C
【分析】根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式，根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据
二次函数的顶点式的性质就可以求出结论．
【详解】解：依题意得：
y=（30-20+x）（240-10x）
y=-10x2+140x+2400．
∵每件首饰售价不能高于40元．
∴0≤x≤10．
∴求y与x的函数关系式为：y=-10x2+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10；
∴y=-10（x-7）2+2890．
∴a=-10＜0．∴当x=7时，y =2890．
最大
∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．
∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶
点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
51．（2023秋·九年级课时练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10
元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量 （瓶）与每瓶销售价 （元）之间满足函数关系
式 ．当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润=每瓶售价-每
瓶进价）．
【答案】13
【分析】设总利润为 元，每瓶销售价为 元，则每瓶利润为 元，根据“总利润=每瓶利润 销售
量”表示出 与 的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设总利润为 元，每瓶销售价为 元，则每瓶利润为 元，
根据题意，可得 ，
∵ ，
∴当 时，可有 元．
即当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数解决销售问题，理解题意，正确列出函数解析式是解题关键．
52．（2023春·九年级单元测试）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农
产品在某月，（按 天计）的第 天（ 为正整数）的销售价格 （元/千克）关于 的函数关系式为
，销售量y（千克）与 之间的关系如图所示．（1）求 与 之间的函数关系式为 ；
（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是 ．（销售额=销售量×销售价格）
【答案】
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到销售额与 之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可
得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
【详解】（1）解：当 时，设 与 的函数关系式为 ，
将点 ， 代入，得： ，
解得： ，
∴此时 与 的函数关系式为 ；
当 时，设 与 的函数关系式为 ，
将点 ， 代入，得： ，
解得： ，
∴此时 与 的函数关系式为 ，
综上可知， 与 的函数关系式为 ．故答案为： ；
（2）设当月第 天的销售额为 元，
当 时， ，
当 时， 取得最大值，此时 ；
当 时， ，
当 时， 取得最大值，此时 ．
综上可知，当 时， 取得最大值，此时 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出函数关系式．
53．（2023春·江苏南京·九年级校考阶段练习）商社电器销售部门从厂家购进了 、 两种型号的空气净
化器．已知一台 型空气净化器的进价比一台 型空气净化器的进价多300元，用7500元购进 型空气净
化器和用6000元购进 型空气净化器的台数相同．
(1)一台 型空气净化器和一台 型空气净化器的进价各为多少元？
(2)在销售过程中， 型空气净化器因为净化能力强、噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大 型空气净化
器的销量，商社电器决定对 型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当每台 型空气净化器的售价为
1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，每台售价每降低50元，每天将多售出1台．请问当商社电器将
每台 型空气净化器的售价定为多少元时，每天销售 型空气净化器的利润最大，最大值为多少？
【答案】(1)每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
(2)当商社电器将每台 型空气净化器的售价定为 元时，每天销售 型空气净化器的利润最大，最大值
为3200．
【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为 元，根据用6000元购进B种空气净化
器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）设B型空气净化器的售价为a元，每天销售的B型空气净化器的利润为w元，则可得w关于x的二次
函数，即可求得结果．
【详解】（1）解：设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为 元，由题意得， ＝ ，
解得： ，
经检验 是原方程的根，
则 ，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）解：设B型空气净化器的售价为a元，每天销售的B型空气净化器的利润为w元，则每天的销售量
为 个，
由题意得： ，
整理得： ，
∵ ，
∴当 时，w最大，且最大值为3200．
即当商社电器将每台 型空气净化器的售价定为 元时，每天销售 型空气净化器的利润最大，最大值
为3200．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及二次函数的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程及函
数关系式是解题的关键．
易错必考题十一、二次函数在实际生活中的应用
54．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前
往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数 确定，
其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（ ）
A．2 B．4 C．2或 D．4成【答案】C
【分析】由 可得其对称轴为： ，当 时， ，即有
，解方程即可求解．
【详解】由 可得其对称轴为： ，
根据 ，
可知：当 时， ，
即有： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的应用等知识，明确题意，得出当 时，
，是解答本题的关键．
55．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面
（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度 与足球被踢出后
经过的时间 之间的关系的部分数据如下表：
0 1 2 3
0则该运动员踢出的足球在第 落地．
【答案】
【分析】设抛物线解析式为 ，将对应值代入解析式得方程组，求解确定函数解析式，
进而确定 时，t的值．
【详解】设抛物线解析式为
根据题意，得 ，解得
∴ ， 时， ，解得 ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，根据题意确定方程组是解题的关键．
56．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1
表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长 ，宽 ，抛物线的最
高点E到 的距离为 ．
(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与 之间的区域内加装一扇长方形窗户
，点G、M在 上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/ ．已知 ，求每个B
型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户 的成本）【答案】(1)
(2)每个B型活动板房的成本为3725元
【分析】（1）根据题意得出 ，设该抛物线的函数表达式为 ，利用待定系数法求
解即可；
（2）根据题意得出 ，继而求出矩形 的面积，列式求解即可．
【详解】（1）∵长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高点E到 的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设该抛物线的函数表达式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴该抛物线的函数表达式为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ （元），
所以，每个B型活动板房的成本为3725元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．易错必考题十二、二次函数中的存在性问题
57．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线上的一点，当 的面积为10时，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)点D的坐标为 或
(3)存在满足条件的Q点的坐标为 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）设点D的坐标为 ，利用 的面积为10，列出等式求解即可；
（3）分情况讨论，当 为四边形的对角线时或当 为边时，分别求解即可．
【详解】（1）将 、 代入 得，
，
解得： ，∴抛物线的解析式为： ；
（2）设点D的坐标为 ，
、 ，
，
∴ ，
即 ，
∴ 或 （无解舍去），
解得： ， ，
∴点D的坐标为 或 ；
（3）抛物线 的对称轴为： ，
假设存在，设 ， ，
，
分两种情况讨论：
当 为四边形的对角线时， ， ，
∴ ，
即 ，
此时点Q的坐标为 ；
②当 为边时， ， ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，此时点Q的坐标为 或 ．
综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中平行四
边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
58．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于 点，点P是直线
下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在点P，使四边形 为菱
形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形 的最大面积．
【答案】(1)(2)存在，P点的坐标为 ；
(3)当 时，四边形 的面积最大，P点的坐标为 ，最大值为 ．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形 为菱形，那么P点必在 的垂直平分线上，据
此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于 的面积为定值，当四边形 的面积最大时， 的面积最大；过P作y轴的平行线，
交直线 于Q，交x轴于F，易求得直线 的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线
的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到 的长，以 为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得
的面积，由此可得到关于四边形 的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求
出四边形 的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得 ，
解得： ；
所以二次函数的表达式为： ；
（2）解：存在点P，使四边形 为菱形；
设P点坐标为 ， 交 于E
若四边形 是菱形，则有 ；
连接 ，则 于E，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ；
∴
解得 ， （不合题意，舍去），
∴P点的坐标为 ；
（3）解：过点P作y轴的平行线与 交于点Q，与 交于点F，
设 ，设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
则Q点的坐标为 ；
当 ，解得： ，
∴ ，
当 时，四边形 的面积最大
此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形
不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
59．（2023秋·全国·九年级专题练习）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线
所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线 与抛物线 组成一
个开口向下的“月牙线”，抛物线 与抛物线 与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴
的交点分别为点 ， ．
(1)求出点M，N的坐标和抛物线 的解析式；(2)点P是x轴上方抛物线 上的点，过点P作 轴于点E，交抛物线 于点Q，试证明： 的值为
定值，并求出该定值；
(3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接 ，在x轴上是否存在点F，使得 是以
为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析，该定值为2
(3)在x轴上存在点F，使得 是以 为腰的等腰三角形，点F的坐标为 或
【分析】（1）先由 求得 ， ，可得点M，N的坐标，将点 ， 代入
抛物线 ，利用待定系数法即可求抛物线 的解析式；
（2）设 ，则 ，可得 ， ，进而
可得 ，即可证得结论；
（3）由抛物线 ： 可得点 ，两条抛物线的对称轴均为直线 ，进而求得
，连接 ，由于等腰直角三角形可知 ，分两种情况讨论：当 时，
，当 时， ，分别进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点M、N，且当 时，
解得 ， ，
∴ ， ；将点 ， 代入抛物线 ，
得 ，解得
∴抛物线 的解析式为 ； 3分
（2）证明：设 ，则 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ 的值为定值，该定值为2；
（3）存在．
由抛物线 ： 可得点 ，两条抛物线的对称轴均为直线 ，
∵点D是点B关于抛物线对称轴的对称点， ，
∴ ，
如解图，连接 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
假设存在，设点 ，分两种情况讨论：
①当 时， ，如解图①，过点D作 轴于点C，连接 ， ，
则 ， ，由勾股定理可知 ，
∴ ，解得： ， ，∴ ， ；
②当 时， ，如解图②，由勾股定理可得 ，
∴ ，此方程无解
，∴此种情况不存在．
综上所述，在x轴上存在点F，使得 是以 为腰的等腰三角形，点F的坐标为
或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的式
子表示相关点坐标和相关线段的长度．
60．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于
、 两点，交 轴于点 ．
(1)求点 、 、 的坐标；
(2)将抛物线 向右平移1个单位，得到新抛物线 ，点 在坐标平面内，在新抛物线 的对称轴 上是否
存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．【答案】(1) ， ，
(2)存在，点 的坐标为 或
【分析】（1）分别令 和 ，求解即可；
（2）先求得平移后的抛物线 的解析式，再分情况讨论：当 为对角线时，当 为对角线时，根据矩
形的性质求解即可．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得 ， ，
，
令 ，则 ，
．
（2） ，
，
对称轴 为 ．
当 为边时，分两种情况：
当 为对角线时，连接 ，过点 作 的垂线，交 于点 ，交 轴于点 ，
， ，
，，
．
设 所在直线解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得 ，
所在直线解析式为 ，
当 时， ．
．
当 为边时，同理过点 作 的垂线，交 于点 ，交 轴于点 ，
易得 所在直线解析式为 ，则 与对称轴l的交点坐标为 ．
当 为对角线时， 也为对角线，易得 ，由图可知此时点 不可能在 上，
此种情况不存在．
综上，在新抛物线 的对称轴 上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形，点 的坐标
为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键．
易错必考题十三、二次函数中的角度关系问题
61．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交
于点 ，点D是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点D在直线 上方时，作 轴于点F，交直线 于点E，当 时，求点D
的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形 为正方形时，请直接写出
点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ， ， ，
【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可求出直线 的解析式，由 可证明 ，作 于H，则 ，
设点D的横坐标为t，分别表达 和 ，建立方程即可得出结论；
（3）若四边形 为正方形，则 是等腰直角三角形，且 ，根据题意画出对应图形，利
用全等三角形建立方程，即可得出结论．
【详解】（1） 经过点 ，点
解得抛物线的函数解析式为：
（2） 轴，
轴，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得其解析式得，
，
解得， ，
∴直线 的解析式为
作 于H，如图，则
设点D的横坐标为t，
则 ， ，
，解得 （舍），
（3）∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ，
若四边形 为正方形，则 是等腰直角三角形，且 ，
设点D的横坐标为n，则 ，
如图2，过点D作 于点M，设直线l与x轴交于点N，
则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
当 时，点D与点A重合，如图3， ，则 或 ，则 ；
当 时 ，则 ；如图4，过点D作 于点M，设直线l与x轴交于点N，
同理可证， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
当 时，点D与点A重合，同上；
当 时， ，则 ；
综上，点Q的坐标为： 或 或 或
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定等相关知识，解题关键是利用转化思想对已知信息进行转化，将 转化为 ，将正方形的
存在性转化为等腰直角三角形的存在性．
62．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，二次函数 ， 与 时的
函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)在第一象限的抛物线上求点P，使得 最大．
(3)点Q是抛物线上x轴上方一点，若 ，求Q点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把 与 代入 ，求出t的值，即可；
（2）过点P作 轴，交 于点D．先求出直线 的解析式为 ，设点
，则点D的坐标为 ，可得 ，再由
，得到S关于a的函数关系式，即可求解；
（3）将 绕点A顺时针旋转 得到 ，则 ，取 的中点H，作直线 交抛物线于Q，则， ，求出直线 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 与 时的函数值相等，
∴ ，
解方程，得 ，
把 代入二次函数 ，
∴二次函数的解析式为： ．
（2）解：如图，过点P作 轴，交 于点D．
把 代入 ，得：
，解得 ，
∴点A ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：
，解得： ，∴直线 的解析式为 ，
设点 ，则点D的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 有最大值，最大值为4，
所以点P的坐标 ；
（3）解：如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，则 ，取 的中点H，作直线 交抛物
线于Q，则 ， ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，联立得 ，解得 或 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数
形结合思想解答是解题的关键．
63．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，二次函数y＝﹣ x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点
C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
(1)b＝ ，点B的坐标是 ；
(2)连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；
(3)点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对
称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析．
(3)E（-5，4）或
【分析】（1）根据二次函数图象与坐标轴交点性质可得答案．
（2）在x轴上找出点B的对称点 ，由点B，点C的坐标，可求出BC的长，由点A的坐标，得出 的
长，从而得出 由等腰三角形的性质即可得出结果．（3）当点 G 恰好落在 BC 上时，由对称性可知： AD = DG = CD ，所以 A ，C ， G 三点在以 D
为圆心， AC为直径的圆上，连接 AG ，所以 ，从而可知 ED / BC ，求出直线 BC 的解析
式，从而可求出 ED 的解析式，联立直线 DE 的解析式与抛物线的解析式即可求出点 E 的坐标．
【详解】（1）∵点 在二次函数y＝﹣ x2+bx+4的图象上，
当 时，
∴点B的坐标为
故答案为：
（2）如图1，作点B关于y轴对称的点 ，连接
∵ 时，令 即
（3）如图2所示：连接AG交直线DE于点F，连接DG，
∵当点G恰好落在直线BC上时，由对称性可知，
∵点D为AC的中点，
∴点A，C，G三点共圆，即在以点D为圆心，直径为AC的圆上，
∵直线DE垂直平分AG，
设直线BC的解析式为：把点 代入
∴直线BC的解析式为：
∴可设直线DE的解析式为：
点D为线段AC 的中点，
把 代入 中，
∴直线DE 的解析式为：
把直线DE和抛物线联立，得
∴解得
∵点E是抛物线在第二象限图象上一个动点，
特别地，当点G与点C重合时，此时DE⊥AC，
设直线AC的解析式为y=ax+c,则，解得：
∴直线AC的解析式为
∴直线DE的解析式为
∴
解得： 或
∵点E为第二象限，
∴E（-5，4）．
故E（-5，4）或
【点睛】此题考查的是二次函数的综合题目，涉及知识点有二次函数的有关性质，待定系数法求解析式，
等腰三角形的性质，抛物线与坐标轴交点问题，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
