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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
第二十二章 二次函数·能力提升（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A D B A B C C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13． /
14．
15． 或
16． 4 或
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
对称轴为直线 ；...............................3分
（2）令 ，则 ，
解得 或 ，该二次函数的与 轴的交点坐标为 ， ．...............................6分
18．
【详解】（1）解：把 代入抛物线 得， ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；...............................3分
（2）解：∵抛物线 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
连接 交对称轴于点 ，
∵点 、 关于对称轴对称，
，
，
由两点之间线段最短，可知此时 的值最小，最小值即为线段 的长，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
．...............................6分19．
【详解】（1）解：由题意得： ；
∵将 代入 中可得， ，
解得 ，
∴a的值为 ．...............................3分
（2）解：设喷水管 要降低的高度为 ，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为 ，
将 代入 ，可得 ，
解得 ；
答：喷水管 要降低的高度为 米；..............................6分
20．
【详解】（1）解：把点 代入得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；..............................2分
（2）解： ，
∴二次函数图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴点 关于直线 的对称点为 ，
画出函数图象，如图，...............................4分
（3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为 ，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线 ，
当平移后抛物线的对称轴在直线 左侧时，此时最小值为 ， ，即 ，
当 时，取得最大值，最大值为 ，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
当平移后抛物线对称轴在直线 右侧时，此时最小值为 ， ，即 ，当 时，取得最大值，最大值为 ，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
综上所述，n的值为 或 ．...............................6分
21．
【详解】（1）解：由题可得： 与 之间的函数关系式为 ，即 ．.........................2
分
（2）解：由题可得： ，即
．...............................5分
（3）解：由（2）得： ，
，
当 时， 随 的增大而增大，
为整数，
当 时， ，此时定价 元，
定价为 元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润 最大，最大利润是
元．...............................8分22．
【详解】（1）解：由题意得， ，
解得 ，
∴二次函数的解析式解析式为 ；...............................3分
（2）解：①把 代入 ，得 ，
解得 或 ，
∴ 或 ，
∴这个函数“倍值点”的坐标为 ， ；
②由①可得， ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴当 时， 有最小值为 ；当 时， 有最大值为 ，
即 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ 的最大值与最小值的差为 ．...............................8分
23．
【详解】解：（1）由题意得： 为上边缘抛物线的顶点，
设 ，
又∵抛物线过点 ，
，
解得： ，
∴上边缘抛物线的函数解析式为 ． ...............................3分
（2）∵对称轴为直线 ，∴点 的对称点为 ，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当 时，
解得 ， （舍去），
∴
∴点B的坐标为 ； ...............................5分
（3）∵矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米， 米，
则 （米）
∴点F的坐标为 ，
当 时， ，
当 时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．...............................8分
24．
【详解】（1）解： 抛物线 经过点 ，
，解得， ，即抛物线 ，
点 ，令 ，解得 ， ，即点 ，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ；...............................4分
（2）解：（i）抛物线 ，
其对称轴 为 ，把 代入 得 ，
即点 ，抛物线 的解析式为： ； ...............................8分（ii） 点 在抛物线 上，
，
点 为抛物线 的顶点，
抛物线 的解析式为： ，
点 的坐标为 ；
把 代入 得 ，
点 ，
点 在第一象限，
，
当 时，点 与点 重合， 不成立；
当 时，如图1，点 在点 的上方，
，
， ，
解得 （舍去）， ；
当 时，如图2，点 在点 的下方，，
，即 ，
解得 （舍去）， ，
的值为 或 ．...............................12分
25．
【详解】（1）解：由题意知 ，解得 ，
∴解析式为 ；...............................3分
（2）解：∵ 点的坐标为 ，且抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
设直线 表达式为： ，
∴ ，解得 ，
∴直线 表达式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值为 ，此时 ；...............................7分
（3）解：存在，理由如下：
当 点在 下方时，如图，作 轴，作 于点 ，与抛物线的交点为 ，连接 ，
∵ ，
∴当 时， ，
解得： 或 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
如图，点 与 点重合，
∴ ．...............................12分
