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第二十二章 二次函数 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的概念逐项判断即可．
【详解】A． 是一次函数，故此选项不符合题意；
B． 是二次函数，故此选项符合题意；
C． 不是二次函数，故此选项不符合题意；
D． 是反比例函数，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的概念，根据二次函数的定义“一般地，形如 （a、b、c是常数，
）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c
是常数项”．熟练掌握函数的概念及其表达式是解答的关键．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）将抛物线 向左平移3个
单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图像的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案．
【详解】解：将抛物线 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为，
故选：B．
【点睛】本题考查函数图像平移，熟记函数图像的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．
3．（2023·江苏淮安·统考三模）在某次试验中，测得两个变量x和y之间的4组对应数据如下表：
x 1 2 3 4
y 0.01 2.88 8.03 15.01
则x和y之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当 时，依次代入各个选项中，通过计算，比较即可得．
【详解】解：A、当 时， ；
B、当 时， ，接近 ；
C、当 时， ，
D、当 时， ；
综上可得， 符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了求函数值，解题的关键是掌握函数解析式的定义．
4．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）函数 与 在同一直
角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 经过一、三象限；
当 时，二次函数 开口向上，与y轴的交点在负半轴上，
当 时，二次函数 开口向下，与y轴的交点在正半轴上，
∴只有选项C符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键．
5．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地
面宽度为 ，两侧距地面 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为 ，则这个门洞内部顶端离地面的
距离为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，由题意可知各点坐标为 ， ， ，
设抛物线解析式为 把B、D两点带入解析式，
∴ ，解得： ，
∴解析式为 ，则 ，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为 ，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.
6．（2023·统考三模）已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，
则（ ）
A．当 时， 的最大值为 B．当 时， 的最大值为
C．当 时， 的最大值为 D．当 时， 的最大值为
【答案】B
【分析】根据题意，分当 时，当 时，根据二次函数的性质，得出 的最值，进而即可求解．
【详解】解：当 时，抛物线开口向上，对称轴为直线∵当 时， 随 的增大而增大，
∴
∴ ，
∴
∴ ，即 的最大值为 ，故B选项正确，A选项错误；
当 时，抛物线开口向下，对称轴为直线
∵当 时， 随 的增大而增大，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 ，故C，D选项错误
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·湖南怀化·统考三模）函数 （ ， ）的图象是由函数
（ ， ）的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点．
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为 ，进而可得 ，故①正确；由图
象可得，当 时， ，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为 ，
的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成可知 ，故
③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得： 与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为 ，即 ，
∴整理得： ，故①正确；
由图象可得，当 时， ，故②正确；
∵ 与y轴的交点坐标为 ，
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿 轴向上翻折而成，
∴ ，故③错误；
设抛物线 的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴顶点坐标为 ，
∵点 向上平移1个单位后的坐标为 ，
∴将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点，故④正确；
故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
8．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 方问以
向点匀速运动，过点 作 于点 ．以 所在直线为对称轴，将 折叠，点 的对应
点为 ，移动过程中 与 重叠部分的面积为 ，运动时间为 ，则 与 之间函数关系
的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：①当 时， ，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像；②
当 时， ，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像．
【详解】解：∵ ， ，
∴当点D在 中点时， 和B重合，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵点 速度是 ，运动时间为 ，
∴ ，
∴ ，
①当 时，
由题意可得： ，
此时，S与 之间函数关系的图像是顶点在原点，开口向上的抛物线；
②当 时，如图所示，
此时 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴当 时，S有最大值，最大值为2，此时，S与 之间函数关系的图象是开口向下的抛物线，且当 时，S有最大值，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，关键是分段求出S与 之间函数解析式．
9．（2023·天津河北·统考三模）二次函数 （ 是常数， ）的自变量 与函数值
的部分对应值如下表：
且当 时，与其对应的函数值 ，有下列结论： ；② 和 是关于 的方程
的两个根，③ 其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】①用待定系数法求出函数解析式，得出a、b、c的值，即可判定①；
②把 ， 代入 ，看左右两边是否相等，可判定②；
③把 ， ， ， ，代入 ，求出m、n值，可计算 的值，即可判定③．
【详解】解：由表格可知： ， ， ， ， ， ，
分别代入 ，得
，解得： ，
∴ ，
，
故 错误；把 代入方程 ，
左边 ，右边 ，
∴左边=右边
把 代入方程 ，
左边 ，右边 ，
∴左边=右边
和 是关于 的方程 的两个根；
故 正确；
把 ， ，代入 ，得
，
把 ， ，代入 ，得
，
故 错误；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确
定出对称轴是解题的关键．
10．（2023·广东广州·统考二模）如图，平面直角坐标系中，已知 ， ， ，抛物线
过点 、 ，顶点为 ，抛物线 过点 ， ，顶点为 ，若点 在线段
上，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线 的对称轴为直线
；然后把把抛物线的解析式设为交点式，从而求出点 的坐标为 ，求出直线 的解析式为
，在求出 在直线 上，得到 ，即可求解得到答案
【详解】解：∵抛物线 过点 ，
∴抛物线 的对称轴为直线
∵抛物线 过点 ， ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ，
设抛物线 的解析式为 ，
抛物线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
同理点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，∴直线 的解析式为 ，
∵点 在线段 上，
故 ，
即 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，正确求出 ， 的坐标是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023·浙江·九年级假期作业）请写出一个图像关于 对称的二次函数的表达式 ．
【答案】 ，答案不唯一
【分析】当只告诉一个对称轴时，可设二次项系数为简单数如1，得出表达式 ，然后把点
的坐标代入即可．
【详解】∵图像是关于直线 对称的二次函数，
∴可设这个二次函数解析式为： ，
∴可取合适的点 代入得 ，
∴这个二次函数解析式为： （答案不唯一 ．
故答案为： （答案不唯一 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握确定待定系数的方法是解决此题的关键．
12．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）二次函数 的对称轴是直线
．
【答案】
【分析】根据抛物线的解析式即可得到对称轴．
【详解】解：根据题意可得：二次函数 的对称轴是直线： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 中，
对称轴为 ，顶点坐标为 ．
13．（2023·全国·九年级假期作业）已知如图，平面直角坐标系中，一条直线 与抛物线 相交于
、 两点，求当 时的x的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据图象结合A，B两点的坐标求解即可．
【详解】解：由图象可得，
∵ 、
∴当 或 时， ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解
本题的关键．
14．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有
如下的关系式： ，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度（），t是抛出后的时间．如果一物体以 的初速度从地面竖直向上抛出，经过 秒
钟后它在离地面 高的地方．
【答案】1或4
【分析】把 代入所给关系式求t的值即可．
【详解】解：由题意得： ．
整理得 ，
解得 ．
∴1秒或4秒后，物体处在离抛出点 高的地方．
故答案为：1或4．
【点睛】本题考查二次函数的应用；只需把相关数值代入所给关系式即可．
15．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有
，例如 1．若y关于x的函数 的图象与x轴仅有一
个公共点，则实数k的值为 ．
【答案】 或 /0或
【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为： ，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一
个公共点得到，求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
即 ，
∵ 的图象与x轴仅有一个公共点，令 ，得 ，
∴ ，∴ ，
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一
元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次
函数图像和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程（在实数范围）无解，说明二次函数图像和x轴的横
坐标没有交点．
16．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图，在正方形 中，点 ，点 ，
则二次函数 与正方形 有交点时， 的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线 上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点 时，
取得最大值，以此代入坐标求解即可．
【详解】解：由题意，该抛物线的顶点坐标为 ，
∴抛物线的顶点在直线 上移动，
∵四边形 为正方形，点 ，点 ，
∴点 的坐标为 ，
如图所示，当抛物线左侧经过点 时， 取得最大值，将 代入 得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置是
解题关键．
17．（2023·吉林长春·统考二模）如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在 的左边），
与 轴交于点 ，点 为此抛物线上的一动点（点 在第一象限），连接 ，则四边形 面积
的最大值为 ．
【答案】
【分析】过 作 于 ，如图所示，根据抛物线图像与性质求出 的坐标，再由
，利用二次函数最值性质求出四边形面积最大值即可得到答
案．
【详解】解：过 作 于 ，如图所示：设 ，则 ，
抛物线 与 轴交于 两点（点 在 的左边），与 轴交于点 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，解得 或 ，即 、 ，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，即当 时，四边形 面积有最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数综合的面积最值问题，熟练掌握二次函数综合面积问题解法，灵活运用二次函
数图像与性质是解决问题的关键．
18．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）函数 （m为常数且 ）有下列结论：①该函数图象与y轴交于点 ；
②若 ，当 时，y随着x的增大而增大；
③该函数图象关于直线 轴对称；
④若方程 有三个实数根，则 ．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】①将 代入函数再化简绝对值即可判断；②求得 时函数与 轴的交点，再将 代入
函数验证即可；③将函数化为 ，根据对称轴的特征，设 ，求得 和 的
函数值验证即可；④利用一元二次方程根的判别式分别讨论 和 时方程解的
个数，再根据有三个实数根计算求值即可；
【详解】解：令 代入函数可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴该函数图象与y轴交于点 ，
故①正确；
若 ，则函数为 ，
可知当 或 时函数值为0，
当 时，函数值为 ，此时的函数值大于 的函数值，
∴当 时，y不随x的增大而增大，
故②错误；
∵函数 ，
设 ，当 时函数值为 ，当 时函数值为 ，
∴到直线 的距离相等的两点的函数值相等，
∴该函数图象关于直线 轴对称，
故③正确；
方程 中，
当 时可化为 ，
此时 ，
∵ ，
∴ ，即 ，方程有两个不等的实数根；
当 时可化为 ，
此时 ，方程可以有两个不等根、两个相等根、无根；
若方程 有三个实数根，则 时方程有两个相等的根，
即 ，可得 ，
故④正确；
故答案为：①③④；
【点睛】本题考查了绝对值的化简，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象性质，一元二次方程根的
判别式等知识；掌握分类讨论的思想是解题关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）已知二次函数 ．
(1)将二次函数的解析式化为 的形式．
(2)二次函数 图像的对称轴是直线______、顶点坐标是______．
【答案】(1)
(2) 、【分析】(1)根据配方法的基本步骤进行配方化简即可．
(2)根据抛物线顶点式的解析式特点计算即可．
【详解】（1） ．
（2）∵ ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
故答案为： 、 ．
【点睛】本题考查了化抛物线的一般式为顶点式，确定对称轴，顶点坐标，熟练掌握配方法是解题的关键．
20．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数 部分自变量 与函数值 的对应值如下表
所示：
… …
… …
(1)求二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)当 时， 的取值范围是____________．
【答案】(1)
(2)画图见详解
(3)【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据函数解析式，用描点法即可求解；
（3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围．
【详解】（1）解：当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，解方程得 ，
∴二次函数解析式为 ．
（2）解：二次函数解析式为 ，图像如图所示，
函数与 轴的交点是 ， ，与 轴的交点是 ，对称轴为 ，符合题意．
（3）解：当 时，根据（2）中图示可知，
当 时， ；当当 时， ；当 时，
．
∴当 时， ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函
数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键．
21．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线 （ 为常数），求证：无论为何值，抛物线与 轴总有两个公共点．
【答案】见解析
【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明．
【详解】证明：∵ ，
∴无论 为何值，抛物线与 轴总有两个公共点．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问
题是解题的关键．
22．（2023·河南周口·统考三模）科技进步促进了运动水平的提高．某运动员练习定点站立投篮，他利用
激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，
建立如图2所示的平面直角坐标系．已知篮球每一次投出时的出手点 到地面的距离 都为 ．当
球运行至点 处时，与出手点 的水平距离为 ，达到最大高度为 ．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，
防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员前来盖帽，已知防守队员的最大摸球高度
为3.05m，则他应在运动员前面什么范围内跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】(1)
(2)应在运动员前面 范围内跳起拦截才能盖帽
【分析】（1）根据题意得出 ， ，设 ，待定系数法求解析式即可求
解．
（2）根据题意，令 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵ 到地面的距离 都为 ．当球运行至点 处时，与出手点 的水平距离为，达到最大高度为
∴ ， ，
设抛物线解析式为 ，
将点 代入得， ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
（2）将 代入解析式， ，
解得： 或 （舍去），
答：应在运动员前面 范围内跳起拦截才能盖帽．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2023·全国·九年级假期作业）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且与y轴的
交点坐标为 ，直线l与x轴相交于点C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作 轴， ，垂足分别为A，B．设
点P的横坐标为m．当四边形 为正方形时，求m的值．
【答案】(1)
(2)0或1
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；（2）根据题意可得 ，再由正方形的性质可得 ，从而得到关于m
的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵直线 与x轴相交于点C．
∴点 ，
∵ 轴， ，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m．
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍去）或 或 （舍去）或 ，
综上所述，m的值为0或1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形结
合思想解答是解题的关键．
24．（2023·湖北宜昌·统考二模）迅达水果合作社，为了提高樱桃和枇杷两种水果的销售量，决定将两种
水果组合成礼盒销售．樱桃的收购单价是枇杷收购单价的 倍，每个礼盒装有樱桃 和枇杷 ，每盒
还需其他成本 元．
迅达水果合作社推出这礼盒后，经市场调查发现，该礼盒的日销售量 （个）与礼盒的销售单价 （元）
之间满足一次函数．关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表：
销售单价 （元/个）
日销售量有 （个）日销售利润 （元）
【提示：成本＝水果收购价＋其他成本；日销售利润＝（销售单价－成本）×日销售量】
(1)求 与 之间的函数关系式（不要求写 的取值范围）；
(2)求樱桃的收购单价；
(3)进入 月份，樱桃的收购单价上涨百分数为 ，枇杷的收购单价下降百分数也为 ，在销售过程中，日
销售量与销售单价仍存在（1）中的关系，统计发现，当销售单价定为 元时，日销售利润最大，求日销
售最大利润．
【答案】(1)
(2) 元/千克
(3) 元
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得 与 之的函数解析式；
（2）根据题意可以列出方程，从而可以求得樱桃的收购单价；
（3）根据题意列出相应的关系式，利用二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设 与 之间的函数关系式为 ，过点 和点 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）设枇杷收购单价为 元/千克，櫻桃的收购单价为 元/千克，
依题意得： ，
解得： ，
∴ （元/千克），
∴櫻桃的收购单价是 元/千克；
（3）设销售单价定为 元时，日销售利润最大，日销售利润为 元，
此时日销售量 ，∴
，
∵ ，
∴当 时， 可取得最大值，
解得： ，
∴当 ， 时，
（元），
∴日销售最大利润为 元．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，二次函数的应用、一元一次方程的应用．解题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答．
25．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线 ，经过点 ，
， 三点．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)连接 ， ，N为抛物线上的点且在第一象限，当 时，求N点的坐标；
(3)在（2）问的条件下，过点C作直线 轴，动点 在直线l上，动点 在x轴上，连接， ， ，当m为何值时， 的和最小，并求出 和的最小值．
【答案】(1) ，抛物线的顶点M坐标为
(2)点N坐标为
(3)当 时， 的最小值为
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）过点A作 交抛物线于点N，则有 ，利用待定系数法分别求直线 、 的解
析式，再联立方程组即可求解；
（3）将顶点 向上平移3个单位得到点 ，连接 交x轴于点 ，连接 ，则 ，
证明四边形 是平行四边形，可得 ，由图可知，当 ， ， 三点共线时，
取最小值，利用待定系数法求直线 的解析式，可得当 时，
，从而求得 ，即 ，过点N作 轴交 延长线于点E，在 中，利用勾
股定理求得 ， ，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
则抛物线的顶点M坐标为 ．（2）解：设直线 解析式 ，
将点 ， 代入，得： ，
解得： ，
则直线 解析式为 ，
过点A作 交抛物线于点N，则有 ，
则直线 的解析式为 ，
将点 代入，得： ，解得： ，
∴直线 解析式为 ，
由 ，解得： 或 ，
∴点N坐标为 ．
（3）解：将顶点 向上平移3个单位得到点 ，连接 交x轴于点 ，连接 、 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ 轴，且 ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
由作图知当 ， ， 三点共线时， 取最小值，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入，得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，即 ，
此时过点N作 轴交 延长线于点E，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最小值为 ．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定与性质、线段和最值、一次
函数与二元一次方程组、一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握相关知识，利用待定系数法求二次函数解
析式是解题的关键．
26．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）如图，抛物线 与 轴分别相交于 ， 两点（点
在点 的左侧）， 是 的中点，平行四边形 的顶点 ， 均在抛物线上．
(1)直接写出点 的坐标；
(2)如图（1），若点 的横坐标是 ，点 在第二象限，平行四边形 的面积是13，
①求直线 的解析式；
②求点 的坐标；
(3)如图（2），若点 在抛物线上，连接 ，求证：直线 过一定点．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)见解析
【分析】（1）令 ，求出点 ， 两点坐标，根据 是 的中点，即可求解；
（2）①先求出点 ，即可求得直线 的解析式，
②过点 作 轴交直线 于点 ，连接 ，设点 ，则点 ，可得
，再由平行四边形 的面积是13，可得 ，再根据 ，
列出关于 的方程，求出点 的坐标，即可求解；（3）设直线 的解析式为 ，联立 ，可得 ，从而得到
，再由平行四边形的性质，可得 ， ，再由点 在抛物线上，可
得 ，从而得到直线 的解析式为 ，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，则 ，
解得： ， ，
， ，
是 的中点，
；
（2）解：① 点 在抛物线 上，
，
点 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
②如图（1），过点 作 轴交直线 于点 ，连接 ，设点 ，则点 ，
，
平行四边形 的面积是13，
，
，
，
解得： 或 （舍去），
点 ，
点 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点 ，
点 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点 ；
（3）解：设直线 的解析式为 ，
联立得： ，
整理得： ，
，四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
点 在抛物线上，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
直线 过定点 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用
数形结合思想解答是解题的关键．
