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26.1.2 反比例函数的图象与性质（第二课时）分层作业
基础训练
1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，且
，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出 、 的大小关系．
【详解】解：∵点 ， ）是反比例函数 的图象时的两点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的
关键．
2．（2023·山东·九年级专题练习）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于A，B两
点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为 ，则不等式 的解集是（ ）A． 或 B． 或
C． 或 D．
【答案】A
【分析】根据不等式 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进
行求解即可．
【详解】解：由题意得不等式 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取
值范围，
∴不等式 的解集为 或 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
3．（2023春·福建三明·九年级校考期中）如图是反比例函数y= 的图象，点A(x，y)是反比例函数图象
上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B【分析】由反比例函数的几何意义可知，k=1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是 ．
【详解】解：设A（x，y）则OB=x，AB=y，
∵A为反比例函数y= 图象上一点，
∴xy=1，
∴S ABO= AB•OB= xy= ×1= ，
△
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，即k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍，数形结合比较直
观．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y （x＞0）及y
1 2
（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k﹣k 的值等于（
1 2
）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先根据反比例函数k的几何意义可得△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，由题意可知
△AOB的面积为 3，最后求出k﹣k 的值即可．
1 2
【详解】解：由反比例函数k的几何意义可得：△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，
∴△AOB的面积为 ，
∴ 3，
∴k﹣k＝6.
1 2故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，掌握反比例函数中k表示相关三角形的面积成为
解答本题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数y= 的图象上的一点，过点A作□
ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．-6
【答案】C
【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD//x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，
所以平行四边形ABCD的面积=矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义得到矩形ADOE的面
积=|−k|，则|−k|=6，利用反比例函数图象得到−k<0，即k>0，于是有k=6．
【详解】解：作AE⊥BC于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//x轴，∴四边形ADOE为矩形，
∴ ，而 =|−k|，
∴|−k|=6，而−k<0，即k>0，∴k=6．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数 (k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数 (k≠0)图象上任意一点
向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，函数 （x＞0）和 （x＞0）的图象将第一象限分成三
个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（ ）
A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【答案】C
【分析】分别假设点M在 和 上，即可得出△MON面积可能的值．
【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
假设点M落在 上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
假设点M落在 上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
∴△MON的面积可能是2，
故选C．
【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义．
7．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图所示，矩形 顶点 、 在 轴上，顶点 在第
一象限， 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形 的面积为6．若反比例函数 的图象经过点 ，
则 的值为 ．【答案】3
【分析】由图得， 轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即
，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案．
【详解】解： 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形 的面积为6，
，
，
故答案为3．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握 是解题的关键．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）若反比例函数y＝ 的图像经过第二、四象限，则m的取值范围
是 ．
【答案】m＜2
【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝ 的图像经过第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，
是解题的关键．
9．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y=kx+b与双曲线y= 相交于A（1，2），B两点，与x轴
相交于点C（4，0）．(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
【答案】(1)y= x+ ，y= ；
(2)△AOB的面积为 ；
(3)1<x<3
【分析】（1）将点A ( 1，2 )代入y = ，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；
（2）解方程组求得点B的坐标，根据 ，利用三角形面积公式即可求解；
（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点A ( 1，2 )代入y = ，得m=2，
∴双曲线的表达式为： y= ，
把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：
y= ，解得： ，
∴直线的表达式为：y= x+ ；
（2）解：联立 ，
解得 ，或 ，
∵点A 的坐标为（1，2），
∴点B的坐标为（3， ），∵
= ，
∴△AOB的面积为 ；
（3）解：观察图象可知：不等式kx+b> 的解集是1<x<3．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数
解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积．
能力提升
1（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， 轴，点A在反比例函数 的图
象上．若点B在y反比例函数 的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【分析】设 ，根据平行线的性质求出B点坐标，计算即可；
【详解】设点A的坐标为 ，
∵ 轴，∴令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，准确计算是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，A、B是反比例函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点，
过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为： ，再根据坐标系中两点关于原点对
称的性质，得点B坐标；过点 做 交 延长线于点 ，根据直角坐标系的性质，得 的值，
通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意，设点A坐标为： ，且
∵A、B是反比例函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点
∴点B坐标为：
∵过点A作AC⊥x轴于点C∴点C坐标为：
∴
如图，过点 做 交 延长线于点
根据题意得：
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两
点关于原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解．
3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，在函数 的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交
函数 的图像于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由 即可求解；
【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，∵ ，
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识，结合图像进行求解是解题的关键．
4．（2023·四川·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直
线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数 和 的图象交于P、Q两点．若S POQ＝15，则k的值为
△
（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
【答案】D
【分析】设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，则PQ＝PM+MQ＝ ，再
根据ab＝8，S POQ＝15，列出式子求解即可．
△【详解】解：设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，
∴PQ＝PM+MQ＝ ．
∵点P在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ab＝8．
∵S POQ＝15，
△
∴ PQ•OM＝15，
∴ a（b﹣ ）＝15．
∴ab﹣k＝30．
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
5．（2023春·四川自贡·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数 y kx 与 y 的
图象交于 A、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数 的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积
为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与
△ODC的面积即可得△ABC的面积.
【详解】连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，如图，
∵反比例函数y=- 为对称图形，
∴O为AB 的中点，
∴S =S ，
△AOC △COB
∵由题意得A点在y=- 上，B点在y= 上，
∴S = ×OD×AD= xy=1；
△AOD
S = ×OC×OD= xy=2；
△COD
S = S + S =3，
△AOC △AOD △COD
∴S = S +S =6.
△ABC △AOC △COB
故答案选C.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一
次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴
上，B，C在第一象限，反比例函数 的图象经过点C， 的图象经过点B．若 ，则
．
【答案】3【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再
证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S OCBA=4S OCD=2，再求S OBA= 即可．
平行四边形 △ △
【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴ ，即 ，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S OCD=S ABE，
△ △
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数 的图象经过点C，
∴S OCD=S CAD= ，
△ △
∴S OCBA=4S OCD=2，
平行四边形 △
∴S OBA= ，
△
∴S =S +S = ，
△OBE △OBA △ABE∴ ．
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全
等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形
全等判定与性质．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝ 和y
＝ 上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S ABCD＝12，则k＝ ．
四边形
【答案】-4
【分析】通过平行四边形的性质得到△AOD的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义得到
．
【详解】解：由双曲线的对称性得OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∵AD∥y轴，
∴ ，∴ ，
解得k＝-4或k＝4（舍），
故答案为：-4．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是根据题干得到△AOD的面积．
8．（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，点A是反比例函数 图象上一点，
轴于点C且与反比例函数 的图象交于点B， ，连接OA，OB，若 的
面积为6，则 ．
【答案】
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S AOC= | |=- ，S BOC= | |=- ，利用
△ △
AB=3BC得到S ABO=3S OBC=6，所以- =2，解得 =-4，再利用- =6+2得 =-16，然后计算 +
△ △
的值．
【详解】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y= （x＜0）图象交于点B，
而 ＜0， ＜0，∴S AOC= | |=- ，S BOC= | |=- ，
△ △
∵AB=3BC，
∴S ABO=3S OBC=6，
△ △
即- =2，解得 =-4，
∵- =6+2，解得 =-16，
∴ + =-16-4=-20．
故答案为：-20．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂
线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．
拔高拓展
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，过点A作
AB∥x轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点C，连接BC．若
△ABC的面积为 ，则m，n的值不可能是（ ）
A．m＝ ，n＝﹣ B．m＝ ，n＝﹣
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2【答案】A
【分析】设A的坐标为（x， ），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出
，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可．
【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，
∴设A的坐标为（x， ），
∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝ （n＜0）上，
∴B的坐标为（ ， ），C的坐标为（x， ），
∴AB= ，AC= ，
∵△ABC的面积为 ，
∴ ，
∴ =9，
∴ ，
∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的
能力．
2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图象上，
轴于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，连结 ．若 ， ， ，
则 的值为（ ）A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】设OD=m，则OC= ，设AC=n，根据 求得 ，在Rt△AEF中，运用勾股定理
可求出m= ，故可得到结论．
【详解】解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵ 轴于点 ， 轴于点 ，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为 ，
∴k=m×1=m
设AC=n∵ 轴
∴A（ ，n）
∴ ，解得，n= ，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中， ，
由勾股定理得，
解得， （负值舍去）
∴
故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结
合思想与方程思想的应用．
3．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，一次函数 的图像与反比例函数
的图像交于点 ，与y轴交于点B，与x轴交于点 ．
(1)求k与m的值；
(2) 为x轴上的一动点，当△APB的面积为 时，求a的值．【答案】(1)k的值为 ， 的值为6
(2) 或
【分析】（1）把 代入 ，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式
可得答案；
（2）先求解 ．由 为x轴上的一动点，可得 ．由 ，建立方
程求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ．
∴ ．
把 代入 ，
得 ．
∴ ．
把 代入 ，
得 ．
∴k的值为 ， 的值为6．
（2）当 时， ．
∴ ．
∵ 为x轴上的一动点，
∴ ．
∴ ，
．∵ ，
∴ ．
∴ 或 ．
