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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题03 平面向量小题综合 （新高考通用）
一、单选题
1．（2023·江苏泰州·统考一模）已知向量 满足 ，则
（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】 .
故选：C
2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知向量 ，
则实数 （ ）
A． B．0 C．1 D． 或1
【答案】D
【分析】求出 的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即
可求得答案.
【详解】由已知向量 ，
可得 ，
由 可得 ，
即 ，解得 ，
故选：D
3．（2023·广东茂名·统考一模）在 中， ， ，若点M满足
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：
.
故选：A.
4．（2023·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中， ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】 ，
故选：B
5．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知向量 ， ， ．若 与
垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算，垂直向量的坐标运算，可得答案.
【详解】由题意， ，由 与 垂直，则 ，
即 ，解得 .故选：A.
6．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知两个非零向量 的夹角为 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由 化简可得 ，再由向量的模长公式代入化简 即可得
出答案.
【详解】因为非零向量 的夹角为 ，且 ，
所以 ，即 ，
化简得： ，
.
故选：C.
7．（2022秋·山东威海·高三校考阶段练习）已知向量 ， 满足 ， ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.
【详解】由 得 ，
两边平方得 ，所以 .
故选：A
8．（2020秋·山东淄博·高三校考期中）等腰直角三角形 中， ，
，点 是斜边 上一点，且 ，那么 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】由向量线性运算的几何表示，得 ，即可由数量积运算及其运
算律求值.
【详解】由已知得 ， ，
，
则
故选：D
9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）若向量 满足 ，则向量 一
定满足的关系为（ ）
A． B．存在实数 ，使得
C．存在实数 ，使得 D．
【答案】C
【分析】对于A,B,D通过举反例即可判断，对于C需分 与 是否为 讨论即可.
【详解】 ，两边同平方得
， ，对A， 时， 为任一向量，故A错误，
对B，若 ， 时，此时不存在实数 ，使得 ，故B错误，
对于C，因为 ，当 与 至少一个为零向量时，此时
一定存在实数 , ,使得 ，
具体分析如下：
当 ， 时，此时 为任意实数， ，
当 ， 时，此时 为任意实数， ，
当 ， 时， 为任意实数，
当 ， 时，因为 ，则有 ，根据 ，
则 ，此时 共线，且同向，则存在实数 使得 （ ），
令 ，其中 同号，即 ，即 ，则存在实数 , ,使得 ，
故C正确，
对于D，当 ， 时， ，故D错误，
故选：C.
10．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形 的边长为
是它的外接圆的一条弦，点 为正方形四条边上的动点，当弦 的长度最大
时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简 ，求 的范围
可得 的取值范围.
【详解】当弦 的长度最大时，弦 过正方形 的外接圆的圆心 ，因为正方形 的边长为2，所以圆 的半径为 ，
如下图所示：
则 ， ，
所以， .
因为点 为正方形四条边上的动点，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：A.
11．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在 中， ， ，直
线DE与直线BC交于点F．设 ， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，可得 ，再由 三点共线，利用共线定理求
解即可.
【详解】如下图所示：由题可知， ，
由共线定理可知，存在实数 满足 ，
又因为 ，所以 ，
因此 ，
又 与 共线，
所以 ，解得 ，
则
.
故选：C.
12．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量 ，
若 在 方向上的投影向量模长为1，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 的坐标，再求出 ，即得解.【详解】解：由题得 ，
所以 ，
所以 在 方向上的投影向量模长为 ，解得 .
故选：B
13．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知非零向量 的夹角的余弦值为 ，且
，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】结合向量数量积运算及向量垂直的表示，可得关于 的齐次方程，即可
进一步求得 的值.
【详解】 由 得
.
∴ ，令 ，∴ ，解得 或 （舍去）.
故选：A.
14．（2023·浙江·模拟预测）已知在三角形ABC中， ，点
M，N分别为边AB，AC上的动点， ，其中 ，点
P，Q分别为MN，BC的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据 ，再计算 ，得到函数
，最后根据二次函数在区间最值的求法即可求解.
【详解】 ，
则 ，
而 ，
，
而 的对称轴为 ，
故当 时， ，
故选：B
15．（2023·广东·高三统考阶段练习）已知单位向量 ， ，若对任意实数 ，
恒成立，则向量 ， 的夹角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出 的范围，再利用向量夹角
公式求解作答.
【详解】 ， 是单位向量，由 得： ，
依题意，不等式 对任意实数 恒成立，则 ，解得 ，而 ，则 ，
又 ，函数 在 上单调递减，因此 ，
所以向量 ， 的夹角的取值范围为 .
故选：B
16．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜
明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，
然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形
或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长
江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是
图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如 ）为等腰直角三角形，
点 为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点 ， 所在位置如图所示，则
的值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】利用转化法得 ，展开利用向量数量积的定义
并代入相关数据即可.
【详解】如图所示：连接 ，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，
且图中各个三角形为等腰直角三角形，
所以可得 ， ， ，
则 ，
.
故选：C.
17．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）如图， 、 是以 为
直径的圆上的两点，其中 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】连结 、 ，则有 ， ，根据
求解即可.
【详解】解：连结 、 .则 ， .
所以 .
.
因为 ，
所以 .
故选： .
18．（2023·山东淄博·统考一模）已知 中， ， ， ，过
点 作 垂直 于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 求得 ，再用余弦定理求得 ，利用等面
积法求得 ，勾股定理求得 ，从而 ，最后分解为已知向量
即可.
【详解】
即 ，又因为 ，所以 .
在 中，根据余弦定理可得：
，即 ，
根据三角形面积公式 ，解得 ，
， ，
.
故选：A
19．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知等边三角形 的边长为1，动点
满足 ．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【分析】利用平方的方法化简已知条件，结合基本不等式求得 的最小值.
【详解】 ，
由 两边平方得 ，
即 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 的最小值为 .
故选：B
20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知 为单位向量，， ，当 取到最大值时， 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造向量并作出图形，利用向量的相等的坐标关系及夹角的定
义，结合锐角三角函数的定义及基本不等式，最后利用向量的减法的坐标表示及向量
的模公式即可求解.
【详解】依题意，设 ， ， ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，
因为 ，
所以 ，即 ，所以
，
不妨设 ，则向量 如图所示，
因为 ， ，
所以，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
易知 ， 在 上单调递增，
所以当 取到最大值时， 取得最大值，此时 ，
所以 ,
故此时 .
故选：A.
21．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量 满足 ，
且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出 ，建立平面直角坐标系，设 ，求出轨迹
方程，利用几何意义即可求出 的最大值.
【详解】由 可知, ，故 ，
如图建立坐标系， ， ，
设 ，由 可得：
，所以 的终点在以 为圆心,1为半径的圆上，
所以 ，几何意义为 到 距离的2倍，
由儿何意义可知 ，
故选：D.
22．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若单位向量 满足 ，向量 满足
，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出 ，由 得到C在以 为直径
的圆上，表达出 ，设
，利用辅助角公式得到 的最值.
【详解】令 ，不妨 ，所以 中点坐标为 ，
因为 ，所以C在以 为直径的圆上，即 ，
所以 ，
令 ，
则
，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，
然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等
式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.二、多选题
23．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）设 ， ， 是三个非零向量，且相互不共线，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 不与 垂直 D． 不与 垂直
【答案】AB
【分析】A选项， 两边平方计算出 ，得到垂直关系；B选项，计
算出 ，得到垂直关系；C选项，计算出 ，得到垂直关系，
D计算出 ，得到D正确.
【详解】 ， ， 是三个非零向量，
A选项， 两边平方得： ，即
，
故 ，则 ，A正确；
B选项， ，因为 ，所以 ，
故 ，B正确；
C选项， ，故 ，则 与 垂直，C错误；
D选项， ，故 与 垂
直，D错误.
故选：AB
24．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知向量 满足
，且 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】AD选项，由 可得 ， ，
后结合 ，可判断选项正误；
BC选项，结合AD选项分析可得 ，据此可判断BC选项正误.
【详解】AD选项， ，得 ，整理得 ①．
由 ，得 ，整理得 ②．
由①②及 ，得 ，所以 ， .故AD正确；
BC选项， ，所以 ，所以 反向共线，
又 ，所以 ， .故B正确，C错误.
故选：ABD．
25．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关
于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，
被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定
点，且 ，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值
B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值D． 时， 的最大值为12
【答案】ACD
【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，
利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.
【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则
，故A正确．
取AC的中点为M，连接OM，
则
，
而
故 的取值范围是 故B错误；
当 时，
，故C正确．
当 时，圆O半径 取AC中点为 ， 中点为 ，
则
，
最后等号成立是因为 ，不等式等号成立当且仅当 ，故D正确．
故选:ACD.
26．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图所示，设 ， 是平面内相交成
角的两条数轴， 、 分别是与 ， 轴正方向同向的单位向量，则称平面
坐标系 为 斜坐标系，若 ，则把有序数对 叫做向量 的斜坐
标，记为 .在 的斜坐标系中， ， .则下列结论
中，错误的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】对于A项，根据题意写出 ， 然后根据向量的减法
运算即可；对于B项，根据 展开求解即可；对于C项，验证 是否为零；对于D项， 在 上的投影向量为
求解.
【详解】由题意得： ， ，
对于A项， ，
由题意得： ，故A正确；
对于B项， ，
，
故B不正确；
对于C项，
故C项不正确；
对于D项， 在 上的投影向量为： ，
又 ， ，
，故D不正确.
故选：BCD
三、填空题27．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知向量 ，若
，则 __________.
【答案】3
【分析】求出 ，利用模长公式列出方程，求出 .
【详解】因为 ，所以 ，解得: .
故答案为：3
28．（2023·湖北·统考模拟预测）已知 ， ，则 在 方向上的投影向
量的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义求解.
【详解】因为 ， ，
所以 向量在 方向的投影向量为 .
故答案为：
29．（2020秋·山东淄博·高三校考期中）已知向量 ，且向量 满
足 ，则 ___________
【答案】
【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可.
【详解】由已知得 ，
又 ，
，
解得 .
故答案为： .30．（2023·山东济宁·统考一模）已知平面向量 ， ，若 与
共线，则 ______ .
【答案】 ##1.5
【分析】确定 ，根据平行得到 ，解得答案.
【详解】 ， ，则 ，
，故 ，解得
故答案为：
