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专题01 二次函数的图象和性质
常考题型·精准突破
题型1 根据二次函数的定义求参数（重）
题型2 二次函数的图象和性质（高频）
题型3 利用二次函数的增减性比较大小（高频）
题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴（重）
题型5 求二次函数在某区域的最值问题（难）
题型6 画二次函数的图象（重）
题型7 二次函数的图象和性质综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 根据二次函数的定义求参数
1．2
2．2
3．0 或3
−
◆题型2 二次函数的图象和性质
4．C
5．D
6．C
◆题型3 利用二次函数的增减性比较大小
7．
3
2
1
y
y
y
8．<
9．
◆题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴
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10．1
−
11．2
12．5
◆题型5 求二次函数在某区域的最值问题
13．3
5
y
−
14．1
−或7
15． 3 3
4
t
◆题型6 画二次函数的图象
16．
【答案】(1)3；函数图象，如图所示：
(2) 1
3
y
−
(3)
1
n −或
3
n
【详解】（1）略
（2）解：根据函数图象可得：当1
2
x
−
时，1
3
y
−
；
（3）解：当
3
x = 时，
1
y
−
=
，即
1
1
y
−
=
，
根据函数图象可知：当
1
x −或
3
x
时，
1
y −，
∵点
(
)
1
3,
A
y
和(
)
2
,
B n y
都在此函数的图象上，且点A 与点B 不重合，且
1
2
y
y
，
∴n 的取值范围为
1
n −或
3
n ．
17．
【答案】(1)
2
4
3
y
x
x
=
−
+
(2)8；0
(3)图象如图所示：
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(
)
2, 1
−
；
2
x =
(4)2
4
t
【详解】（1）解：依题意，把(
) (
) (
)
0,3 , 2, 1 , 4,3
−
分别代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，
得
3
1
4
2
3
16
4
c
a
b
c
a
b
c
=
−=
+
+
=
+
+
，
解得
1
4
3
a
b
c
=
= −
=
，
∴
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ．
（2）解：依题意，把
1
x = −代入
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ，
得
(
)
(
)
2
1
4
1
3
8
y = −
−−
+
= ，即
8
m =
；
把
1
x = 代入
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ，
得
21
4 1 3
0
y =
−+ =
，即
0
n =
；
（3）解：图略，
(
)
2
2
2
4
3
4
4 1
2
1
y
x
x
x
x
x
=
−
+
=
−
+
−=
−
−
∴顶点坐标为(
)
2, 1
−
，对称轴方程为
2
x =
．
（4）解：观察（3）的函数图象：
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当1
3
y
−
时，则0
4
x
∵当0
x
t
时，1
3
y
−
，
∴结合函数图象，得2
4
t
18．
【答案】(1)
4,
3
b
c
=
=
(2)图见详解
(3) 2
−
(4)1
【详解】（1）解：由二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象经过点(
)
4,3
−
、(
)
3,0
−
，可得：
16
4
3
9
3
0
b
c
b
c
−
+
=
−
+
=
，
解得：
4
3
b
c
=
=
；
（2）解：由（1）可知：二次函数的解析式为
2
4
3
y
x
x
=
+
+ ，列表如下：
x
…..
4
−
3
−
2
−
1
−
0
…..
y
…..
3
0
1
−
0
3
…..
该二次函数图象如下所示：
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（3）解：由图象可知：当
2
x
−
时，y 随x 的增大而增大，
∴m 的最小值为2
−；
（4）解：由图象可知：该函数图象向上平移1 个单位长度后，所得函数的图象与x 轴只有一个公共点．
◆题型7 二次函数的图象和性质综合问题
19．
【答案】(1)
2
2
2
y
x
x
=
+
−
(2)开口向上，对称轴为直线
1
4
x = −
，顶点坐标为
1
17
,
4
8
−
−
(3)函数有最小值，最小值为
17
8
−
【详解】（1）解：将( 1, 1),(0, 2),(1,1)
−−
−
分别代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，
得
1
2
1
a
b
c
c
a
b
c
−
+
= −
= −
+
+
=
解得
2
1
2
a
b
c
=
=
= −
所以这条抛物线对应的二次函数表达式为
2
2
2
y
x
x
=
+
−
；
（2）解：对二次函数配方得
2
2
2
1
1
17
2
2
2
2
2
2
4
8
y
x
x
x
x
x
=
+
−
=
+
−
=
+
−
2
0
a =
抛物线开口向上，对称轴为直线
1
4
x = −
，顶点坐标为
1
17
,
4
8
−
−
；
（3）解：抛物线开口向上
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这个函数有最小值，最小值为
17
8
−
．
20．
【答案】(1)(
)
1,1
(2)6
12
a
【详解】（1）解：∵
3
2
a =
，
∴二次函数
(
)
2
2
2
2
3
3
4
4
3
4
4
3
6
4
3
1
1
2
y
x
ax
x
x
x
x
x−
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
+ ，
∴函数图象的顶点坐标为(
)
1,1 ；
（2）解：∵二次函数为
2
3
4
4
y
x
ax
=
−
+ ，
∴对称轴为直线
4
2
2 3
3
a
a
x
−−
=
=
，
∵当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴2
4
3 a
，解得
6
a
；
∵当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，
∴2
8
3 a
，解得
12
a
，
∴a 的取值范围是6
12
a
．
21．
【答案】(1)
2
x =
；
(2)①
5
t =
；②
7
5,
2
−
．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为
4
2
2
a
x
a
−
= −
=
；
（2）解：①直线l 过点(
)
,8
s
a ，(
)
,8
t
a ，
直线l 的表达式为
8
y
a
=
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
4
3
4
3
4
4
4
3
2
4
3
y
ax
ax
a x
x
a x
x
a
a x
a
=
−
−
=
−
−
=
−
+
−
−
=
−
−
−
，
该抛物线的顶点为(
)
2, 4
3
a
−
−
，
抛物线最高点到直线l 的距离为9，
(
)
4
3
8
9
a
a
−
−
−
=
，
0
a
，
12
3
9
a
−
−
=
，即12
3
9
a +
=
，解得
1
a = −或
1
2
a =
（舍去），
抛物线为
2
=
+4
3
y
x
x
−
−
，直线l 为
8
y = −，
联立抛物线和直线l 得
2
4
3
8
x
x
−
+
−
= −，
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化简得
2
4
5
0
x
x−
−
=
，即(
)(
)
5
1
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
5
x = ，
2
1
x = −，
s
t
，
5
t
= ；
②
1
2
y
y
−
取得最大值，
1y 最大为当
1
2
x =
时，
1
1
y = ，
1
2
x
x
，
2y
最小为当
2
5
x =
时，
2
8
y = −，
(
)
2,1
P
，
(
)
5, 8
Q
−
，
点P 向右平移3个单位后的点为P，
(
)
2
3,1
P
+
，即
(
)
5,1
P
，
线段P Q
的中点的坐标为
(
)
1
8
5
5 ,
2
2
+ −
+
，即
7
5,
2
−
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．D
2．B
3．C
4．D
5．C
二、填空题
6．3
−
7．1
5
y
8．
13
1,
4
−
9．2
10．5或
5
8
−
．
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三、解答题
11．
【答案】(1)
3
m =
(2)
2
m =
，纵坐标为64 的点的横坐标4
【详解】（1）解：（1）由题意，得
2
2
1
m −
= ，且
2
0
m+
，
解得
3
m =
，
当
3
m =
时，y 是x 的一次函数；
（2）由题意，得
2
2
2
m −
=
，且
2
0
m+
，
解得
2
m =
，
当
2
m =
时，y 是x 的二次函数，
当
64
y =
时，
64
4
2 =
x
，
解得
4
x = ，
纵坐标为64 的点的横坐标4
．
12．（
【答案】(1)
2
y
x
=
+
(2) 9
4
【详解】（1）解：令
0
y =
，
2
4
0
x
−
+
=
，
解得
1
2
x = −，
2
2
x =
，
(
)
2,0
A
−
，
将
1
x = 代入
2
4
y
x
= −
+
得
21
4
3
y = −
+
= ，
(
)
1,3
C
，
设
AC
l
：y
kx
b
=
+
，
将
(
)
2,0
A −
，
(
)
1,3
C
代入
2
0
3
k
b
k
b
−
+
=
+
=
，
解得
1
2
k
b
=
=
，
AC
l
：
2
y
x
=
+
；
（2）解：设(
)
,
2
P x x +
，(
)
2
,
4
E x
x
−
+
，
(
)
2
2
2
1
9
4
2
2
2
4
E
P
PE
y
y
x
x
x
x
x
=
−
= −
+
−
+
= −
−
+
= −
+
+
，
1
0
a
−
=
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∴当
1
2
x = −
时，PE有最大值9
4 ．
13．
【答案】(1)(
)
1, 5
−
，直线
1
x =
(2) 5, 1
−−，见解析
(3)0 或3
【详解】（1）解：根据题意，得
(
)
2
2
2
4
1
5
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−，
故抛物线顶点坐标为(
)
1, 5
−
，对称轴为直线
1
x = ．
（2）解：5, 1
−−，画图象如下：
．
（3）解：由
(
)
2
2
2
4
1
5
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−，得函数有最小值5
−；且距离对称轴越远，函数值越大；
当
1
t
x
t
−
时，该二次函数
2
2
4
y
x
x−
=
−
的最大值与最小值的差为3，
当<1
t
时，根据对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，
故
1
x
t
= −时，函数取得最大值，且为
(
)
2
2
5
y
t
=
−
−，
当x
t
= 时，函数取得最小值，且为
(
)
2
1
5
y
t
=
−
−
，
根据题意，得(
)
(
)
2
2
2
5
1
5
3
t
t
−
−−
−
−
=
，
整理，得2
0
t
−
=
，
解得
0
t =
，
当
1 1
t
t
−即1
2
t
时；
当x
t
= 时，函数取得最大值，且为
(
)
2
1
5
y
t
=
−
−
，
当
1
x = 时，函数取得最小值，且为
5
y = −，
根据题意，得(
)
(
)
2
1
5
5
3
t −
−−−
= ，
整理，得(
)
2
1
3
t −
=
，
解得1
1
3
t = +
，2
1
3
t = −
，不满足1
2
t
，此时无解；
当
1>1
t −
时即>2
t
；根据对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，
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当x
t
= 时，函数取得最大值，且为
(
)
2
1
5
y
t
=
−
−
，
当
1
x
t
= −时，函数取得最小值，且为
(
)
2
2
5
y
t
=
−
−，
根据题意，得，(
)
(
)
2
2
1
5
2
5
3
t
t
−
−−
−
−
=
整理，得2
3
3
t −=
，
解得
3
t =
，符合题意．
14．
【答案】(1)2；
(2)①
2
4
y
x
x
=
−
；②1
−或3；
(3)
2
16
60
y
x
x
=
−
+
【详解】（1）解：
4
2
2 1
x
−
= −
=
，
抛物线的对称轴为直线
2
x =
；
（2）解：①把(
)
0,0 代入
2
4
3
y
x
x
a
=
−
+
得：0
3a
=
，
0
a
=
，
抛物线所对应的二次函数表达式为
2
4
y
x
x
=
−
；
②当
2
2
m+
，即
0
m
时，
2
x
m
=
+ ，y 取最小值，
(
)
(
)
2
2
4
2
3
m
m
+
−
+
= −，
解得
1
m = −或
1
m = （舍去），
1
m
= −；
当
2
2
m
m
+
，即0
2
m
时，
2
x =
，y 取最小值，
此时最小值为
2
2
4 2
4
−
= −，不符合题意；
当
2
m
时，x
m
=
，y 取最小值，
2
4
3
m
m
−
= −，
解得
1
m = （舍去）或
3
m =
；
综上所述，m 的值为1
−或3；
（3）解：设平移后新的二次函数的表达式为
(
)
2
2
4
y
x
k
=
−−
−
，该二次函数图象的对称轴为直线
2
x
k
=
+
．
分三种情况讨论：
①当2
3
k
+
，即
1
k 时，3
5
x
在对称轴的右侧，
二次函数在
3
x = 取得最小值，
(
)
2
3 2
4
5
k
−−
−
=
，
解得
4
k =
或
2
k
−
=
，不符合题意；
②当3
2
5
k
+
，即1
3
k
时，二次函数在
2
x
k
=
+
取得最小值，此时最小值为4
−，不符合题意；
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③当2
5
k
+
，即
3
k 时，3
5
x
在对称轴的左侧，
二次函数在
5
x = 时取得最小值，
(
)
2
5
2
4
5
k
−−
−
=
，
解得
6
k =
或
0
k =
（舍去），
此时二次函数的表达式为
(
)
(
)
2
2
2
6
4
8
4
y
x
x
=
−−
−
=
−
−
，
即
2
16
60
y
x
x
=
−
+
．
综上所述，平移后新的二次函数的表达式为
2
16
60
y
x
x
=
−
+
．
