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上海九上数学压轴题解题技巧
及常考几何模型
二次函数图象、性质与系数的关系
题型一、二次函数图像与系数关系
【例1】已知二次函数
2
y
x
bx
c
的图象如图．其中b，c 的值可能是（
）
A．
3,
1
b
c
B．
1,
3
b
c
C．
3,
3
b
c
D．
3,
3
b
c
【答案】C
【详解】∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，
∴
0
2
2
b
b
a
，
∴
0
b
，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴当
0
x
时，
0
y
c
，
观察各选项，只有C 选项
3,
3
b
c
满足条件．
【例2】二次函数
2
y
ax
bx
c
的
0
a
，
0
b
，
0
c
，那么其图象必过（
）
A．第二、三、四象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二象限
D．第一、二、三象限
【答案】C
【详解】解：∵二次函数
2
y
ax
bx
c
的
0
a
，
∴该函数图象开口向上，
又∵
0
b
，
0
c
，
∴
0
2
b
x
a
，顶点在y 轴左侧，经过y 轴正半轴，
∴该二次函数的图象必过第一、二象限．
【变式1-1】二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，则点
,b c 所在的象限是（
）
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A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【详解】解：观察函数图象可知：抛物线开口向下，
0
a
，
对称轴在y 轴左侧，即
0
2
b
x
a
，
0
a
Q
，
0
b
，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
0
c
0
b
，
0
c
，
点
,b c 在第二象限．
【变式1-2】二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，则二次函数
2
y
a x
b
c
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：由二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象，得
0,
0,
0
2
b
a
c
a
，
则
0
b
，
∴二次函数
2
y
a x
b
c
的图象开口向上，顶点
,b c 在第三象限，只有选项A 符合．
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【变式1-3】二次函数
2
y
ax
bx
c
中，
0
a
，
0
b
，
0
c
，则其图象不经过第_____ 象限．
【答案】三
【详解】解：
0
a
，
∴抛物线开口向上，
0
c
，
∴抛物线经过原点
0,0 ，
∴
2
y
ax
bx
，
当
0
y
时，
2
0
ax
bx
，
∴
0
x
或
b
x
a
，
∴抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为
b
x
a
，
∵
0
b
，
0
a
，
∴
0
b
a
，即另一个交点在x 轴正半轴，
∵抛物线的对称轴为直线
2
b
x
a
，
∴
0
a
，
0
b
，
∴
0
2
b
a
，即对称轴在y 轴右侧，
当
0
x
时，
2
y
ax
bx
，
∵
0
x
，
0
a
，
2
0
ax
，
0
b
，
0
x
，
0
bx
，
∴
2
0
y
ax
bx
，即
0
x
时，y 恒为正，不存在
0
x
且
0
y
的点，
因此此函数的图象不经过第三象限．
题型二、二次函数与一次函数的关系
【例3】抛物线
2
y
ax
bx
和直线y
ax
b
在同一坐标系的图象可能是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，得
2
y
ax
bx
x ax
b
，
令
0
y
，得
0
x ax
b
，解得
1
2
0,
b
x
x
a
，
A．根据一次函数的图象，得>0
a
，
0
b
，根据二次函数图象，得>0
a
，
1
2
>0
0,
b
x
x
a
，
<0
b
，符合要求；
B．根据一次函数的图象，得<0
a
，
0
b
，根据二次函数图象，得>0
a
，
1
2
>0
0,
b
x
x
a
，
<0
b
，不符合要求；
C．根据一次函数的图象，得>0
a
，
0
b
，根据二次函数图象，得<0
a
，
1
2
>0
0,
b
x
x
a
，
>0
b
，不符合要求；
D．根据一次函数的图象，得<0
a
，
0
b
，根据二次函数图象，得<0
a
，
1
2
>0
0,
b
x
x
a
，
>0
b
，不符合要求；
【例4】函数
2
y
ax
a
与
0
y
ax
a a
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【详解】解：联立得：
2
y
ax
a
y
ax
a
，
∴
2
ax
a
ax
a
，
∴
2
0
x
x
，
解得：
0
x
或
1
x ，
当
0
x
时，y
a
，当
1
x 时，
0
y
，
∴二次函数与一次函数相交于点
1,0 和
0, a
，
∴只有D 选项图象符合题意．
【变式2-1】若二次函数
2
y
ax
的图象开口向上，则直线y
ax
a
不经过第______ 象限．
【答案】四
【详解】解：∵二次函数
2
y
ax
的图象开口向上，
∴
0
a
，
∴直线y
ax
a
经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
【变式2-2】一次函数y
ax
b
和二次函数
2
y
ax
bx
c
（, ,
a b c 是常数，且
0
a
）在同一平面直角坐标
系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：A ：一次函数
0,
0
a
b
，二次函数
0,
0
2
b
a
a
，可得
0
b
，不符合题意；
B ：一次函数
0
a
，
0
b
；二次函数
0
a
，
0
2
b
a
，可得
0
b
，符合题意；
C ：一次函数
0
a
，二次函数
0
a
，不符合题意；
D ：一次函数
0
a
，二次函数
0
a
，不符合题意．
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【变式2-3】在同一坐标系内，二次函数
2
5
y
ax
x
b
的图象与一次函数y
ax
b
可能是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：由一次函数y
ax
b
与二次函数
2
5
y
ax
x
b
中常数项均为b ，两个函数图象与y 轴的交点
均为
0,b ，即交于y 轴上同一点，
观察图象，B 选项中两个图象与y 轴交点不同，故B 错误；
对于A 选项，一次函数图象从左向右下降，则
0
a
，二次函数图象开口向上，则
0
a
，矛盾，故A 错误；
对于D 选项，一次函数图象从左向右上升，则
0
a
，二次函数图象开口向下，则
0
a
，矛盾，故D 错误；
对于C 选项，一次函数图象从左向右上升，则
0
a
，与y 轴交于正半轴，则
0
b
；二次函数图象开口向上，
则
0
a
，与y 轴交于正半轴，则
0
b
；且二次函数对称轴为直线
5
2
x
a
，
∵
0
a
，
∴
5
0
2a
，对称轴在y 轴左侧，符合图象特征．
题型三、二次函数与反比例函数的关系
【例5】如图，函数
a
y
x
与
2
y
ax
a
（其中
0
a
），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则
0
a
，二次函数
2
y
ax
a
的图象开口向上，抛物
线与y 轴交于负半轴，则
0
a
，前后矛盾，故此选项不合题意；
B、二次函数
2
y
ax
a
的图象开口向下，则
0
a
，抛物线与y 轴交于负半轴，则
0
a
，前后矛盾，故
此选项不合题意；
C、反比例函数图象在第二、四象限，
0
a
，二次函数
2
y
ax
a
的图象开口向下，抛物线与y 轴交于正
半轴，则
0
a
，前后矛盾，故此选项不合题意；
D、反比例函数图象在第二、四象限，
0
a
，二次函数
2
y
ax
a
的图象开口向上，抛物线与y 轴交于负
半轴，则
0
a
，前后一致，故此选项符合题意．
【例6】已知一次函数
0
y
ax
b a
与反比例函数
0
c
y
c
x
的图象如图所示，则
2
y
ax
bx
c
的图象
可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：∵一次函数
0
y
ax
b a
的图象经过第一、二、四象限，
∴
0
0
a
b
，
，
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∴
0
2
b
a
，
∴二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，
∵反比例函数
0
c
y
c
x
的图象经过第二、四象限，
∴
0
c
，
∴二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象与y 轴交于负半轴，
∴四个函数图象中，只有A 选项中的函数图象符合题意．
【变式3-1】一次函数y
ax
b
与反比例函数
c
y
x
在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：观察一次函数y
ax
b
和反比例函数
c
y
x
的图象可知：
0
a
、
0
b
、
0
c
，
二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象开口向上，对称轴
b
x
2a
0，与y 轴的交点在y 轴正半轴，
因此四个选项中只有C 选项符合题意．
【变式3-2】二次函数
2
( , ,
y
ax
bx
c a b c
是常数且
0)
a
的图象如图所示，则直线
2
1
y
bcx
a
b
与反
比例函数
b
a
c
y
x
的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线
1
x ，
0
a
，
∴
1
2
b
a
，
∴
2
b
a
∴
2
0
b
a
，
∴2
0
a
b
，
∴2
1
1
a
b
，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴
0
c
，
0
bc
，
∴直线
2
1
y
bcx
a
b
的图象经过第一、三、四象限；
由二次函数图象可知，当
1
x 时，
0
y
，即
0
a
b
c
，
0
b
a
c
，
∴反比例函数
b
a
c
y
x
的图象分别位于第一、三象限．
综上，只有C 选项符合题意．
【变式3-3】已知反比例函数
k
y
x
（
0
k
）在第一象限内的图象与一次函数y
mx
n
的图象如图所示，
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则函数
2
1
y
mx
kx
n
的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：由图可知，反比例函数的图象过第一象限，一次函数的图象过一，三象限且过原点，
∴
0,
0,
0
k
m
n
，
∴
2
2
1
1
y
mx
kx
n
mx
kx
，
0,
0
m
k
，1
0
，
∴抛物线的开口向下，对称轴在y 轴的左侧，抛物线与y 轴交于正半轴，
故符合要求的只有选项B 的图象.
题型四、二次函数图像判断代数式符号
【例7】已知抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
0
abc
B．2
0
a
b
C．2
0
b
c
D．
0
a
b
c
【答案】C
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【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴
0
a
；
∵抛物线的对称轴位于y 轴的右侧，
∴
0
2
b
a
，
∴
0
b
；
∵抛物线与y 轴交于负半轴，
∴
0
c
；
∴
0
abc
，故A 选项错误．
由抛物线与x 轴的交点坐标可知，对称轴
1
x ，
∴
1
2
b
a
，
∵
0
a
，
∴
2
b
a
-
，
即2
0
a
b
，故B 选项错误．
由图象可得，当
1
x 时，
0
y
a
b
c
，
∴4
4
4
0
a
b
c
①，
当
2
x
时，
4
2
0
y
a
b
c
②，
∴
①
②得，6
3
0
b
c
>
，
∴2
0
b
c
，故C 选项正确．
由图象可得，当
1
x 时，
0
y
a
b
c
，故D 选项错误．
综上所述，结论正确的是C 选项．
【例8】已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，则
下列结论正确的是（
）
A．
0
abc
B．2
0
a
b
C．2
0
a
c
D．
0
a
b
c
【答案】C
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴
0
a
，
∵对称轴在y 轴右侧，
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∴
0
2
b
a
，
∴
0
b
，
∵二次函数的图象与y 轴交于负半轴，
∴
0
c
，
∴
0
abc
，故A 错误；
对于B 与D，由已知条件无法判断代数式的符号；
∵
0
a
，
0
c
，
∴2
0
a
c
，故C 正确．
【变式4-1】二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①
0
a
；
②
0
c
；③
2
4
0
b
ac
；④3
0
a
b
，其中，正确的有（
）．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】D
【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即
0
a
，故①符合题意；
关于②，由图可知二次函数与y 轴交于正半轴，即
0
c
，故②符合题意；
关于③，由图可知二次函数与x 轴有两个交点，即
2
4
0
b
ac
，故③符合题意；
关于④，由图可知二次函数与x 轴有两个交点分别为
1,0
，
4,0 ，则对称轴为直线
1
4
3
2
2
x
，因为
3
2
2
b
a
，所以
3
b
a
，即3
0
a
b
，故④符合题意；
综上，共有4 个符合题意．
【变式4-2】如图，二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象与x 轴的一个交点为
1,0
，对称轴为直线
2
x
．则
下列结论中正确的是（
）
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A．
0
abc
B．6
0
a
b
C．
0
a
b
c
D．5
0
a
c
【答案】D
【详解】解：由图可知，
0
a
，c<0 ，
∵根据对称轴公式
2
2
b
x
a
，
∴
0
b
，
∴
0
abc
，故A 选项不符合题意；
∵
2
2
b
x
a
，
∴
4
b
a
，
把
4
b
a
代入6a
b
中得
6
4
2
a
a
a
，
∵
0
a
，
∴
6
4
2 >0
a
a
a
，故B 选项不符合题意；
∵二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象与x 轴的一个交点为
1,0
，
∴当
1
x 时，
0
a
b
c
；
把
4
b
a
代入
0
a
b
c
得
4
0
a
a
c
，
即5
0
a
c
，故D 选项符合题意；
根据函数图像可知，当
1
x 时，<0
y
，即
<0
a
b
c
，故C 选项不符合题意．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交
于点C，对称轴为直线
1
x ，点B 的坐标为
1,0
，下列结论：①
0
abc
；②4
2
0
a
b
c
；③2
3
0
a
b
；
④
a
b
m am
b
其中正确的结论有（
）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴
0
a
；
∵对称轴位于y 轴右侧，
∴,a b 异号，
∴
0
b
；
∵抛物线交y 轴于正半轴，
∴
0
c
；
∴
0
abc
，
故①正确；
②∵对称轴为直线
1
x ，且
1,0
B
，
∴
3,0
A
，
结合抛物线图象可得，当
2
x
时，
0
y
，
即4
2
0
a
b
c
，
故②正确；
③∵对称轴为直线
1
x ，
∴
1
2
b
a
，
∴
2
b
a
，
∴2
0
a
b
，
故③错误；
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④∵抛物线开口向下，
∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值，
当
1
x 时，y
a
b
c
，
当x
m
时，
2
y
am
bm
c
，
∴
2
a
b
c
am
bm
c
，
即
a
b
m am
b
，
故④正确；
综上，正确选项为①②④，
故选：C．
题型五、二次函数与一元二次方程
【例9】已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
图象上的部分点的坐标
,x y 对应值列表如下：
x
…
1
1
3
…
y
…
4
4
4
…
则关于x 的方程
2
4
ax
bx
c
的解为：________．
【答案】
1
1
x ，
2
5
x
【详解】解：由表格可知，二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
经过点
1,4
，
1, 4
，
3, 4
，
点
1, 4
与点
3, 4
纵坐标相等，
抛物线的对称轴为直线
1
3
2
2
x
+
=
=
，
设点
1,4
关于对称轴
2
x
的对称点横坐标为m ，
则1
2
2
m
，
解得
5
m
，即对称点坐标为
5,4 ，
当
4
y
时，x 的值为1
或5，
即关于x 的方程
2
4
ax
bx
c
的解为
1
1
x ，
2
5
x
．
【例10】二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象如图所示，则方程
2
3
3
2
a x
b x
c
根是（
）
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A．
1
2
4,
3
x
x
B．
1
2
3,
2
x
x
C．
1
2
2,
1
x
x
D．
1
2
1,
0
x
x
【答案】B
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
0.5
x
，抛物线经过点
0,2 ，
抛物线经过点
1,2 ，
一元二次方程
2
2
ax
bx
c
的两个根为
1
0
x
，
2
1
x ，
把方程
2
3
3
2
a x
b x
c
看作关于
3
x 的一元二次方程，
3
0
x
或
3
1
x
，
解得
1
2
3,
2
x
x
，
方程
2
3
3
2
a x
b x
c
的根是
1
2
3,
2
x
x
．
【变式5-1】如图是二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象，若关于x 的方程
2
ax
bx
c
m
总有一正一负两个实数
根，则m 的取值范围是__________．
【答案】
2
m
【详解】解：根据题意，得当
2
m
时，此时
2
y
，与抛物线
2
y
ax
bx
c
的交点坐标中一个为负，一个
为零，
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当
2
m＜时，与抛物线
2
y
ax
bx
c
的交点坐标中一个为负，一个为正，
故答案为：
2
m＜；
【变式5-2】已知二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
与一次函数
(
0)
y
kx
m k
的图象如图所示，则方程
2
0
ax
b
k x
c
m
的解为（
）
A．
2
x
或
1
2
x
B．
2
x
或
1
2
x
C．
2
x 或
1
2
x
D．
2
x 或
1
2
x
【答案】C
【详解】解：∵二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
与一次函数
(
0)
y
kx
m k
的图象的交点的横坐标为：
2
x
或
1
2
x
，
∵
2
0
ax
b
k x
c
m
，
∴
2
ax
bx
c
kx
m
，
∴由图象可得：
2
ax
bx
c
kx
m
的解为：
2
x 或
1
2
x
；
∴
2
0
ax
b
k x
c
m
的解为：
2
x 或
1
2
x
.
【变式5-3】抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
，顶点纵坐标为5
．若
2
ax
bx
c
m
有且只有两个不相等的实
数根，则m 的取值范围是（
）
A．0
5
m
B．
5
m
或
0
m
C．
5
m
或
0
m
D．
5
m
或
0
m
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【答案】C
【详解】解：由题意得，将此抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵
坐标为5，
∴
2
ax
bx
c
m
的图象是x 轴上方部分（包含与x 轴的两个交点），
由图象可知，当
0
m
时，
2
ax
bx
c
m
有两个不相等的实数根，在x 轴上方时，只有
5
m
时，
2
ax
bx
c
m
有两个不相等的实数根，
∴
0
m
或
5
m
．
题型六、二次函数解不等式
【例11】已知二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象如图，若
0
y
，则x 的取值范围是（
）
A．1
4
x
B．1
3
x
C．
1
x
或
3
x
D．
1
x
或
4
x
【答案】B
【详解】解：∵二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象交x 轴于点
1,0 , 3,0
，
∴
0
y
时，x 的取值范围是1
3
x
，
故选：B．
【例12】如图，抛物线
2
y
ax
与直线y
bx
c
的两个交点坐标分别为
2,4
A
，
1,1
B
，则不等式
2
ax
bx
c
的解集是___________ ．
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【答案】2
1
x
【详解】解：∵抛物线
2
y
ax
与直线y
bx
c
的两个交点坐标分别为
2,4
A
，
1,1
B
,
∴由图象可得，不等式
2
ax
bx
c
的解集是2
1
x
．
【变式6-1】如图，抛物线
2
y
ax
与直线y
bx
c
的两个交点坐标分别为
( 3,9)
A
，
(1,1)
B
．则不等式
2
ax
bx
c
的解是________．
【答案】
1
x 或
3
x
【详解】解：抛物线
2
y
ax
与直线y
bx
c
的两个交点坐标分别为
( 3,9)
A
，
(1,1)
B
，
由图象可知，抛物线在直线上方时的x 的取值范围为
1
x 或
3
x
，
即不等式
2
ax
bx
c
的解是
1
x 或
3
x
．
【变式6-2】如图，已知二次函数
2
1
1
2
2
y
x
x
的图象与正比例函数
2y
kx
交于点
3,1
A
，与x 轴交于点B ，
当
2
1
0
y
y
时，自变量x 的取值范围是______．
【答案】3
4
x
【详解】解：过A 作AC
x
轴于C，
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令
1
0
y
，则：
2
1
2
0
2 x
x
，解得：
0
x
或4，
∴
4
Bx
，
∵
3,1
A
，AC
x
轴，
∴
3
Cx
2
1
0
y
y
时，
∴自变量x 的取值范围是3
4
x
．
【变式6-3】如图，二次函数
2
1y
x
bx
c
的图象经过点
0,2 ，且与正比例函数
2y
kx
的图象交于点
1,1
A
和点B ．
(1)求二次函数的解析式和另一交点B 的坐标；
(2)根据函数图象，直接写出不等式
2x
bx
kx
c
的解集．
【答案】(1)
2
1
2
2
y
x
x
，
2,2
B
(2)1
2
x
【分析】
【详解】（1）解：将点
0,2 ，点
1,1
A
代入
2
1y
x
bx
c
得：
2
1
1
c
b
c
，
解得：
2
2
c
b
，
∴二次函数的解析式为
2
1
2
2
y
x
x
，
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将点
1,1
A
代入
2y
kx
得：
1
k ，
∴正比例函数的解析式为
2y
x
，
令
2
2
2
x
x
x
，
解得：
1
x 或
2
x
，
当
1
x 时，
2
1
y ；当
2
x
时，
2
2
y
；
∵
1,1 为点A 的坐标，
∴B 的坐标为
2,2 ．
（2）解：由（1）可得：
2
2
2
x
x
x
，
∴
2
2
2
x
x
x
，即
1
2
y
y
，
∵
1
2
y
y
，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，
∴1
2
x
．
题型七、二次函数性质的综合推理
【例13】已知二次函数
2
1
y
x
bx
b
的图象经过点
1,
A
n
和点
3,
B m
n
，当
1
2
x
时函数取得最小值，
则m 的值为_______
【答案】5
【详解】解：∵二次函数
2
1
y
x
bx
b
图象经过点
1,
A
n
和点
3,
B m
n
，
∴二次函数的对称轴为直线
1
3
4
2
2
m
m
x
，
∵在
2
1
y
x
bx
b
中，1
0
，
∴该二次函数的图象开口向上，
∴在对称轴处函数有最小值，
又∵当
1
2
x
时函数取得最小值，
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∴该函数的对称轴为直线
1
2
x
，
∴
4
1
2
2
m
，
∴
5
m
．
【例14】将二次函数
2
2
3
y
x
x
的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，得到如图所示
的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（
）
A．当
1
x 时，函数有最大值
B．当
1
x
时，y 随x 的增大而增大
C．图象与x 轴两个交点之间的距离为4
D．图象与y 轴的交点坐标为
0,2
【答案】C
【详解】解：解方程
2
2
3
0
x
x
，可得：
1
3
x ，
2
1
x ，
当
3
x 时，y 随x 的增大而减小，当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
该函数没有最大值，
故A 选项错误；
当
3
x 时，y 随x 的增大而减小，当3
1
x
时，y 随x 的增大而增大，
故B 选项错误；
2
1
1
3
4
x
x
，
故C 选项正确；
当
0
x
时，
2
2
3
3
y
x
x
，
由翻折可知，图象与y 轴的交点坐标为
0,3 ，
故D 选项错误．
【变式7-1】已知二次函数
2
2
2
2
3
y
x
mx
m
m
的图像不经过第三、四象限，且当
1
x
时，y 随x 的
增大而增大，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3
2
m
B．
1
m
C．
3
1
2
m
D．
3
1
2
m
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【答案】D
【详解】解：二次函数
2
2
2
2
3
y
x
mx
m
m
中，
1
0
a
，
∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限，
抛物线与x 轴最多有一个交点，即判别式Δ
0
∴
2
2
Δ
(
2 )
4 1 (
2
3)
8
12
0
m
m
m
m
解得
3
2
m
，
又二次函数的对称轴为直线
2
2 1
m
x
m
，且当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
对称轴满足
1
m
，
综上，实数m 的取值范围是
3
1
2
m
．
【变式7-2】二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象上有两点
(0,4)
A
和
(2,0)
B
，则该二次函数的图象顶点不可
能在（
）
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
【答案】B
【详解】解：把
0,4
A
代入
2
y
ax
bx
c
得
4
c
，
把
2,0
B
和
4
c
代入函数得：4
2
4
0
a
b
，化简得
2
2
b
a
，
∴二次函数顶点横坐标为：
2
2
1
1
2
a
x
a
a
，顶点纵坐标为：
2
2
16
(2
2 )
(
1)
4
a
a
a
y
a
a
，
当
0
a
时，1
0
a
，
1
1
1
0
x
a
，
∵
2
(
1)
0
a
且
0
a
，
∴
2
(
1)
0
a
y
a
，
此时顶点在第四象限或x 轴上，
当
0
a
时，1
0
a
，
1
1
1
x
a
，
∵
0
a
且
2
(
1)
0
a
，
∴
2
(
1)
0
a
y
a
，
此时顶点在第一象限或第二象限或y 轴上，
∴顶点不可能在第三象限．
【变式7-3】已知抛物线
2
y
x
mx
的对称轴为直线
2
x
，则关于x 的方程
2
2
1
x
mx
n
的根可能是（
）
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A．0，4
B．1，5
C．1，5
D．1
，5
【答案】D
【详解】解：∵抛物线
2
y
x
mx
的对称轴为直线
2
x
，
∴
2
2 1
m
，解得
4
m ，
将
4
m 代入方程得
2
2
4
1
x
x
n
，
整理得
2
2
4
1
0
x
x
n
，
设方程的两根为
1x ，
2x ，
则
1
2
4
x
x
，
2
1
2
1
x x
n
，
∵
2
0
n
，
∴
2
1
2
1
0
x x
n
．
A、∵0 4
0
，不满足
1
2
0
x x
，故此选项不符合题意；
B、∵1 5
6
4
，不满足
1
2
4
x
x
，故此选项不符合题意；
C、∵
1
5
4
4
，不满足
1
2
4
x
x
，故此选项不符合题意；
D、∵1 5
4
，
1
5
5
0
，令
2
1
5
n
，得
2
4
n
，
2
n 存在，符合条件，故此选项符合题
意．
二次函数与实际问题
题型一、二次函数的实际应用——面积问题
【例1】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
6
AC
BC
，D 是AC 边上一动点，过点D 作DE
AC
，
交AB 于点E ，连接CE，设AD
x
，
CDE
△
的面积为s ，则s关于x 的函数图象大致为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，当D 在线段AC 边上运动时（不含
,
A C 两点），AD
x
，
6
CD
x
，
90 ,
6
ACB
AC
BC
，
ABC
为等腰直角三角形，
45
A
，且DE
AC
，
ADE
为等腰直角三角形，
DE
AD
x
，
CDE
的面积为
2
1
1
1
6
3
2
2
2
s
CD DE
x x
x
x
，
s关于x 的函数为二次函数，函数图象为开口向下的抛物线，
只有选项C 的图象符合．
【例2】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条
观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为
2
m
y
．
(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)若改造后观花道的面积为
2
13m ，求x 的值；
(3)若要求0.5
1
x
，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
【答案】(1)
2
14
48 0
6
y
x
x
x
(2)x 的值为1
(3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为
2
165 m
4
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【分析】
【详解】（1）解：由题意可得：
8
6
y
x
x
2
14
48 0
6
x
x
x
；
（2）解：由题意可得：
48 13
35
y
，
则
2
14
48
35
x
x
，
即
1
13
0
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
13
x
，
经检验得：
13
x
不合题意，舍去，
答：x 的值为1；
（3）解：
2
14
48
y
x
x
2
7
1
x
，
当0.5
1
x
时，y 随x 的增大而减小，
故当
0.5
x
时，y 最大，
165
4
y
，
即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为
2
165 m
4
．
【变式1-1】如图，矩形ABCD中，
2
6cm
AB
AD
，动点P 从点A 出发，以3 cm/s
2
的速度沿线段AB 向
点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以3cm/s 的速度沿折线AD
DC
CB
向点B 运动，当一个点停止时
另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是
x s 时，APQ
的面积是
2
cm
y
，则能够反映y 与x 之间函数
关系的图象大致是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【详解】解：①当点Q 在AD 上运动时，即0
1
x
：
2
1
1
3
9
3
2
2
2
4
y
AP
AQ
x
x
x
；
②当点Q 在CD上运动时，即1
3
x
：
1
1
3
9
3
2
2
2
4
y
AP
AD
x
x
；
③当点Q 在CB 上运动时，即3
4
x
：
2
1
1
3
9
12
3
9
2
2
2
4
y
AP
BQ
x
x
x
x
；
综上分析可知，选项C 中的函数图象符合题意．
【变式1-2】某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20 米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠
墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB 为x 米，面积为y 平方米．
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x 的值；若不能，请说明理由；
(3)当x 是多少时，矩形花园面积y 最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
2
2
36
y
x
x
；8
18
x
(2)当
17
x
时，满足条件的花园面积能达到34平方米
(3)当
9
x
时，y 最大，最大面积是162平方米
【分析】
【详解】（1）解：
AB
x
米，三边栅栏总长为36米，
36
2
BC
x
米．
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36
2
y
x
x
，即
2
2
36
y
x
x
．
墙长20 米，
0
36
2
20
x
，
解得8
18
x
．
（2）解：令
34
y
，则
2
2
36
34
x
x
，
整理，得
2
18
17
0
x
x
，
解得
17
x
或
1
x ．
8
18
x
，
17
x
，
当
17
x
时，满足条件的花园面积能达到34平方米．
（3）解：将
2
2
36
y
x
x
化为顶点式为
2
2(
9)
162
y
x
，
8
18
x
，
当
9
x
时，y 最大，最大面积是162平方米．
【变式1-3】如图，ABC
中，
90 ,
8cm,
4cm,
C
AC
BC
一动点P 从C 出发沿着CB 方向以1cm/s 的速
度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 方向以2cm/s 的速度运动，
,
P Q 两点同时出发，其中一个点停止时，
另一个点亦停止运动．设运动时间为
t s ．
(1) PCQ
的面积能否为ABC
面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．
(2)当t 为几秒时，四边形ABPQ 的面积最小？是多少？
【答案】(1) PCQ
的面积不能为ABC
面积的一半，见解析
(2)当
2s
t
时，最小值为
2
12cm
【分析】
【详解】（1）解：∵
1
1
8
2 ,
8 4
16
2
2
PCQ
ABC
S
t
t
S
，
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∴
1
1
8
2
16
2
2
t
t
，
整理得：
2
4
8
0
t
t
，
∴
2
4
4 1 8
16
32
16
0
，
∴方程无解，
∴PCQ
的面积不能为ABC
面积的一半；
（2）解：由（1）得：
ABC
PCQ
ABPQ
S
S
S
四边形
1
16
8
2
2 t
t
2
4
16
t
t
2
2
12
t
，
∵
1
0
a
，
∴
ABPQ
S四边形
有最小值，
∴当
2s
t
时，最小值为
2
12cm ．
题型二、二次函数的实际应用——动点问题
【例3】如图，在
ABCD
中，
6
AB
，
4
BC
，
30
A
，动点P ，Q 同时从A 出发，点P 以每秒3 个单
位长度沿A
B
C
D
向终点D 运动；点Q 以每秒1 个单位长度沿A
D
向终点D 运动，当其中一动点运
动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为x ，APQ
的面积为y ，则y 关于x 的函数关系的图像
是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】
【详解】解：∵在
ABCD
中，
6
AB
，
4
BC
，
30
A
，
∴
4
AD
BC
，
6
AB
CD
，
∴点P 达到点D 所需要的时间为：6
4
6
16
3
3
（秒），
点Q 达到点D 所需要的时间为：4
4
1
（秒），
∴0
4
x
，故选项C、D 错误；
当0
2
x
时，点P 在AB 上运动，此时
3
AP
x
，AQ
x
，
如图，作PF
AD
交AD 于点F ，
∴
1
3
2
2
PF
AP
x
，
∴
2
1
1
3
3
2
2
2
4
y
AQ PF
x
x
x
，
根据二次函数的性质可得，此时表示y 与x 函数关系的图象应为开口向上的抛物线，
当
10
2
3
x
，点P 在BC 上运动，
如图，过点B 作BE
AD
交AD 于点E ，
1
3
2
BE
AB
，
∴
1
1
3
3
2
2
2
y
AQ BE
x
x
；
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根据一次函数的性质此时表示y 与x 函数关系的图象是一条斜向上的线段；
当10
4
3
x
，点P 在CD上运动，作PH
AD
交AD 延长线于点H ，
CD
AB
，
∴
30
CDH
A
，
∵
6
4
6
3
16
3
DP
x
x
，
∴
1
1
3
(16
3 )
8
2
2
2
PH
PD
x
x
，
∴
2
1
1
3
3
(8
)
4
2
2
2
4
y
AQ PH
x
x
x
x
，
根据二次函数的性质可得，此时表示y 与x 函数关系的图象应为开口向下的抛物线；
则A 选项错误、B 选项正确．
故选：B．
【例4】如图，在矩形ABCD中，
4cm
AB
，
9cm
BC
，点P 从点A 出发，沿AB 边向终点B 以1cm / s 的速
度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向终点C 以2cm / s 的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则
两个动点同时停止运动，设运动时间为st ．
(1)填空：AP ______cm，BQ ______cm；（用含t 的代数式表示）
(2)求出当
0
t t
为何值时，
4cm
PQ
？
(3)设PBQ
的面积为y ，点P ，Q 的运动时间为t 秒，求y 与t 的函数解析式，并写出t 的取值范围．
(4)在动点P ，Q 运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形APQCD 的面积为矩形面积的11
12 ？若存在，请
求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)t ，2t
(2)当
8
5
t
时，
4cm
PQ
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(3)
2
4
4 0
y
t
t
t
(4)存在，当
1
t 或
3
t
时，使得五边形APQCD 的面积为矩形面积的11
12
【分析】
【详解】（1）解：由题意可得
cm
AP
t
，
2 cm
BQ
t
，
故答案为：t ，2t ；
（2）解：四边形ABCD是矩形，
90
ABC
，
由（1）可知，
cm
AP
t
，
2 cm
BQ
t
，
4
cm
BP
AB
AP
t
，
在Rt BPQ
中，
2
2
2
PQ
BP
BQ
，且
4cm
PQ
，
2
2
2
4
4
4
t
t
，整理得，
2
5
8
0
t
t
，
解得1
0
t
（舍去），2
8
4
5
t
，
当
8
5
t
时，
4cm
PQ
；
（3）由（2）可知，
cm
AP
t
，
4
cm
BP
AB
AP
t
2
1
1 (4
) 2
4
2
2
PBQ
S
PB BQ
t
t
t
t
D
=
×
=
-
× = -
+
2
4 0
4
y
t
t
t
；
（4）存在，
∵
4cm
AB
，
9cm
BC
，
2
·
4 9
36 cm
ABCD
S
AB BC
矩形
，
五边形APQCD 的面积为矩形面积的11
12 ，
2
11
36
33 cm
12
APQCD
S
五边形
，
36
33
3
BPQ
ABCD
APQCD
S
S
S
△
矩形
五边形
，
1
1
·
4
2
3
2
2
BPQ
S
BQ BP
t
t
，
整理得
2
4
3
0
t
t
，
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解得
1
t 或
3
t
，
当
1
t 或
3
t
时，使得五边形APQCD 的面积为矩形面积的11
12 ．
【变式2-1】如图，已知抛物线
2
2
3
y
x
x
，点C 为y 轴上一动点，
,
A B 为抛物线上的动点，C 在y 轴
上运动时，始终保持
90
ACB
．且AC
BC
，当点A 的横坐标为1
2 时，点B 的横坐标为（
）
A．
1
3
2
B．
3
3
2
C．3
3
2
D．1
3
2
【答案】B
【分析】
【详解】解：将
1
2
x
代入
2
2
3
y
x
x
中，得
2
1
1
7
2
3
2
2
4
y
，
∴
1 7
,
2 4
A
，
如图，过A 作AE
y
轴于E，过B 作BF
y
轴于F，
则
90
AEC
CFB
ACB
，
∴
90
ACE
CAE
ACE
BCF
，
∴
CAE
BCF
，又AC
BC
，
∴
AAS
ACE
CBF
≌
，
∴CE
BF
，
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设
2
,
2
3
B m
m
m
，
∴CE
BF
m
，
1
2
CF
AE
，
2
2
2
3
2
3
OF
m
m
m
m
，
7
4
OE
，
∴
2
1
7
2
3
2
4
m
m
m
，
整理，得
2
4
12
3
0
m
m
，
解得
12
8 3
3
3
2
4
2
m
，
即点B 的横坐标为
3
3
2
．
故选：B．
【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，
4
AB
，
6
BC
，动点Q 以每秒1
2 个单位长度的速度从点B 出发，
沿B
C
方向运动，点M 为CD上一点，始终满足CM
BQ
，同时动点P 以每秒1 个单位长度的速度从点A
出发，沿A
B
方向运动，到达点B 后再以每秒3
2 个单位长度的速度沿B
C
方向运动，当点P 到达点C
时，点P，点Q 均停止运动．设动点P 运动的时间为x 秒
0
8
x
，点P 与点B 之间的距离为
1y ，
BQM
△
的面积为
2y ．
(1)请直接写出
1y ，
2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出
1y ，
2y 的图像；并写出函数
1y 的一条性质；
(3)结合函数图像，请直接写出
1
2
y
y
时x 的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
【答案】(1)
1
4
0
4
3
6 4
8
2
x
x
y
x
x
，
2
2
1
0
8
8
y
x
x
(2)
如下图所示，
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当0
4
x
时，
1y 随x 的增大而减小；（或当4
8
x
时，
1y 随x 的增大而增大）
(3)
2.9
x
【分析】
【详解】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
4
AB
，
6
BC
，
∴
4
CD
AB
，
90
C
，
∵动点Q 以每秒
1
2 个单位长度的速度从点B 出发，沿B
C
方向运动，同时动点P 以每秒1 个单位长度的
速度从点A 出发，沿A
B
方向运动，到达点B 后再以每秒3
2 个单位长度的速度沿B
C
方向运动，
∴点P 运动到点B 的时间为4 1
4
（秒），运动到点C 的时间为
3
4
6
8
2
（秒），
点Q 运动到点C 的时间为
1
6
12
2
（秒），
∴当点P 运动到点C 时，
1
8
4
2
BQ
，此时
4
CM
BQ
，即点M 运动到点D ，
设动点P 运动的时间为x 秒，
当0
4
x
时，点P 与点B 之间的距离
1
4
AB
AP
x
y
，
当4
8
x
<
<
时，点P 与点B 之间的距离
1
3
3
4
6
2
2
y
BQ
x
x
，
∴
1
4
0
4
3
6 4
8
2
x
x
y
x
x
，
∵
1
2
CM
BQ
x
，
∴
BQM
△
的面积为
2
2
1
1
1
1
1
0
8
2
2
2
2
8
y
BQ CM
x
x
x
x
；
（2）结合（1），在平面直角坐标系中画出
1y ，
2y 的图像，
函数
1y 的性质：当0
4
x
时，
1y 随x 的增大而减小；（或当4
8
x
<
<
时，
1y 随x 的增大而增大）
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（3）结合函数图像，可知
1
2
y
y
时x 的取值范围为
2.9
x
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、二次函数和一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
【变式2-3】如图1，在等边三角形ABC 中，动点P 从点C 出发沿C→B→A 匀速运动，同时动点Q 从点B
出发沿B→A→C 匀速运动，且速度均为每秒1 个单位，当点P 到达点A 时，P，Q 两点同时停止运动．设
点P 运动的时间为st ，
BPQ
△
面积为S．图2 中的曲线是动点P 在边BC 上时S 与t 的函数图象．
(1) AB 的长为_______；m ______．
(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数．请求出此时S 与t 的函数解析式．
(3)在运动过程中，若存在三个时刻
1
2
3
1
2
3
, ,
t t t
t
t
t
对应的
BPQ
△
面积均相等，且3
2
1
3
t
t
t
，求1t 的值．
【答案】(1)4，3
(2)
2
3
4
4
S
t
(3) 1
1
t
【分析】
【详解】（1）解：由图2 可知，
4s
t
时，动点P 从C 点运动到B 点，
动点P 运动速度为每秒1 个单位，
4
BC
，
ABC
为等边三角形，
4
60
AB
B
，
，
当
2s
t
时，动点P 运动到BC 的中点，动点Q 运动到AB 的中点，
4
2
2
2
BP
BQ
，
过点Q 作QH
BP
于点H，
sin 60
3
QH
BQ
，
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1
1
2
3
3
2
2
S
BP QH
，
故
3
m
，
故答案为：4，3 ；
（2）过点Q 作QD
AB
，垂足为D．
当点P 在边AB 上时，
4
BP
AQ
t
．
在Rt
ADQ
△
中，
3
3
4
2
2
DQ
AQ
t
．
2
1
3
4
2
4
S
BP DQ
t
．
（3）由（1）可知，当0
4
t
时，抛物线的顶点坐标为
2, 3 ．
当0
4
t
时，设抛物线的解析式为
2
2
3
S
a t
将
4,0 代入解析式，解得
3
4
a
2
3
2
3
4
S
t
．
存在三个时刻
1
2
3
1
2
3
, ,
t t t
t
t
t
对应的
BPQ
△
面积均相等，
1
2
0
4
t
t
．
根据二次函数的对称性可知1
2
4
t
t
，
3
2
1
3
t
t
t
3
4
3
t
．
2
3
3 3
4
3
4
4
4
S
．
∴
2
3 3
3
2
3
4
4
t
，
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解得1
2
1,
3
t
t
．
∴1
1
t ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，动点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
题型三、二次函数的实际应用——销售问题
【例5】某水果店在两周内，将标价为10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1 元/斤，并且两次
降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第二次降价后的第1 天算起，第x 天（x 为整数）的销量为(120
)
x 斤，第x 天的储存和损耗费用为
2
(3
64
400)
x
x
元，已知该种水果的进价为4.1 元/斤，设销售该水果第x 天的利润为y（元），求y 与x(1
9)
x
之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
【答案】(1)10%
(2)
2
3
60
80
y
x
x
（1
9
x
，且x 为整数），第9 天销售利润最大
【分析】
【详解】（1）解：设水果每次降价的百分率为a ，
根据题意可列方程得：
2
10(1
)
8.1
a
，
解得：
1
0.1
10%
a
，
2
1.9
a
（舍），
答：水果每次降价的百分率为10% ；
（2）解：根据题意可得：
2
8.1
4.1 120
3
64
400
y
x
x
x
，
整理得：
2
3
60
80
y
x
x
（1
9
x
，且x 为整数），
2
3
60
80
y
x
x
2
3(
10)
380
x
，
3
0
，抛物线的开口向下，对称轴为直线
10
x
，且1
9
x
，
当
9
x
时，y 有最大值，最大值为377 ；
综上所述：y 与x 之间的函数关系式为：
2
3
60
80
y
x
x
（1
9
x
，且x 为整数），第9天的销售利润
最大．
【例6】某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．
市场调查选取两类作品：原木小件(记作A 品)、滴胶花艺(记作B 品)．
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收集到如下信息：
信息1：制作一件A 品比一件B 品的成本高2 元，用120元制作A 品的件数与用80元制作B 品的件数相等．
信息2：当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件；B 品售价固定为16元/
件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A 品和B 品共300件．
成本核算：
(1)分别求制作一件A 品和一件B 品的成本．
模型建立：
(2)设销售A 品和B 品的总利润为w 元，A 品售价为x 元/件，求w 关于x 的函数解析式(不要求写自变量x 的
取值范围)．
方案设计：
(3)若制作A 品和B 品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A 品和B 品的数量分配方案．
【答案】(1)制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元
(2)
2
10
580
3600
w
x
x
(3)制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大
【分析】
【详解】（1）解：设制作一件B 品的成本为a 元，则制作一件A 品的成本为
2
a
元，
由题意可知：120
80
2
a
a
，
解得：
4
a
，
经检验：
4
a
是原方程的根，符合题意，
故
2
6
a
，
答：制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元；
（2）解：∵当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件，
∴A 品的销量为：
220 10
18
400 10
x
x
(件)，
∴B 品的销量为：
300
400 10
10
100
x
x
(件)，
∴
2
6
400 10
16
4 10
100
10
580
3600
w
x
x
x
x
x
，
答：w 关于x 的函数解析式为：
2
10
580
3600
w
x
x
；
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（3）解：∵制作A 品和B 品的总成本不超过1400元，
∴
6 400 10
4 10
100
1400
x
x
，
解得：
30
x
，
又∵400 10
0
x
且10
100
0
x
，即10
40
x
，
∴30
40
x
，
∵
2
2
10
580
3600
10
29
4810
w
x
x
x
，10
0
，
∴当30
40
x
时，w 随着x 的增大而减小，
∴当
30
x
时，
2
max
10 30
29
4810
4800
w
．
此时400 10
100
x
，10
100
200
x
，总成本等于1400 元，
答：制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大．
【变式3-1】某商场销售一种成本为每件20 元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x
（元）之间的关系可近似的看作一次函数：
10
500
y
x
(1)设商场销售该种商品每月获得利润为W （元），写出W 与x 之间的函数关系式，并求出最大利润；
(2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销
售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22 元，同时对商场的销售量每月不小于150
件的商场，政府部门给予每件3 元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大
利润．
【答案】(1)
函数关系式为
2
10
700
10000
W
x
x
，最大利润为2250 元
(2)
定价为34.5元时，新产品每月可获得最大销售利润，最大利润为2402.5 元
【分析】
【详解】（1）解：由题意，得：
20
W
x
y
，
20
10
500
x
x
2
10
700
10000
x
x
2
10
35
2250
x
，
∴当
35
x
时，W 有最大值为2250，
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即W 与x 之间的函数关系式
2
10
700
10000
W
x
x
，最大利润为2250 元；
（2）解：①当销售量每月不小于150 件时，即10
500
150
x
，
解得：
35
x
，
由题意，得：
22
3
W
x
y
19
10
500
x
x
2
10
690
9500
x
x
2
10
34.5
2402.5
x
∴当定价34.5 元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5 元；
②销售量每月小于150 件时，10
500
150
x
，
解得
35
x
，
由题意
22
10
500
W
x
x
2
10
36
1960
x
，
∵10
0
，
∴
36
x
时，w 的最大值为1960，
∵2402.5
1960
，
∴当定价34.5元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5 元．
【变式3-2】今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2 月份为4 万人，
4 月份为5.76万人．
(1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？
(2)若该景区仅有A
B
，
两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A 和B
门票价格
100 元/人
80 元/人
160 元/人
据预测，5 月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3 万、3 万和2 万．并且当甲、乙两种门票价格
不变时，丙种门票价格每下降1 元，将有600 人原计划购买甲种门票的游客和400 人原计划购买乙种门票
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的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10 元，求景区5 月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5 月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【答案】(1) 20%
(2)①898 万元；②当丙种门票价格降低24 元时，景区5 月份的门票总收入有最大值，为917.6 万元
【分析】
【详解】（1）解：设该景区游客人数的月平均增长率为x ，
由题意，得
2
4 1
5.76
x
，
解这个方程，得
1
2
0.2
2.2
x
x
，
（舍去）
答：该景区游客人数平均每月增长率为20% ．
（2）解：①由题意，得：
100
30000
6000
80
30000
4000
160 10
20000
6000
4000
8980000
898
（万元），
答：景区5 月份的门票总收入为898 万元．
②设丙种门票价格降低a 元，景区5 月份的门票总收入为W 万元，
由题意，得：
100
30000
600
80
30000
400
160
20000
600
400
W
a
a
a
a
a
2
1000
48000
8600000
a
a
2
1000
24
9176000
a
，
1000
0
，
当
24
a
时，W 取最大值，为9176000元，即917.6万元．
答：当丙种门票价格降低24 元时，景区5 月份的门票总收入有最大值，为917.6万元．
【变式3-3】小红帽百货商店用2000 元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小
长假，大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用3750元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，
每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了50%．
(1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价；
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(2)若第二批胶囊遮阳伞按50 元/ 把的价格销售，销售了第二批进货数量的2
3 后，根据市场情况，小红帽百
货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于80% ，
请问最多可以按几折销售？( 用不等式解决问题)
(3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把50 元，每天可卖出20 把，市场调查发现，每把降价1元钱，
每天可多卖出5把，若每天的利润为w 元，售价为每把x 元，写出w 与x 的关系式，求出每天获得最大利润
时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润．
【答案】(1)20
(2)7 折
(3)
2
5
370
5400
w
x
x
；当售价定为每把37 元时，最大值为1445 元．
【分析】
【详解】（1）解：设第一批胶囊遮阳伞每把的进价为a 元，则第二批胶囊遮阳伞每把的进价为
5
a
元，
依题意得：
3750
2000
1
50%
5
a
a
，
解得
20
a
，
经检验，
20
a
是原方程的解，且符合题意，
答：第一批胶囊遮阳伞每把的进价为20 元；
（2）解：由（1）得第二批胶囊遮阳伞每把的进价为20
5
25
（元），
则第二批购进数量为3750
25
150
（把），
设按y 折销售，
依题意得：
2
2
50 150
50
150
1
3750
3750 80%
3
10
3
y
，
解得
7
y
．
答：最多可以按7 折销售；
（3）解：根据题意得：
20
20
5 50
w
x
x
20
5
270
x
x
2
5
370
5400
x
x
2
5(
37)
1445
x
，
5
0
，
当
37
x
时，w 有最大值，最大值为1445，
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w
与x 的关系式为
2
5
370
5400
w
x
x
，当售价定为每把37 元时，利润最大，最大值为1445元．
题型四、二次函数的实际应用——拱桥问题
【例7】新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为
2
48m ，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案
中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为3m 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细
忽略不计）．如图所示：
方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度
8
OG
m
，拱高
6
EF
m
．其中，点G 在x 轴上，EF
OG
，OF
FG
．
方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度
12
OG
m
，拱高
4
E F
m
．其中，点G 在x 轴上，E F
OG
，
OF
F G
．
方案一中，矩形框架ABCD的面积记为
1S ，点A，D 在抛物线上，边BC 在OG 上；方案二中，矩形框架A B C D
的面积记为
2S ，点A，D在抛物线上，边B C
在OG上．
根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（
）
A．图1 解析式：
2
3
4
6
8
y
x
B．图2 解析式：
2
1
4
9
3
y
x
x
C．
2
1
10 2
S
m
D．
2
2
18
S
m
【答案】C
【详解】解：由题意得，
8,0
G
，
4,6
E
，
设解析式为：
2
4
6
0
y
a x
a
，
代入
8,0
G
得：16
6
0
a
，
解得：
3
8
a
，
∴方案一抛物线的函数表达式为：
2
3
4
6
8
y
x
，故A 正确，
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由题意得，
12,0
G
，
6,4
E
，
设解析式为：
2
6
4
0
y
a x
a
，
代入
12,0
G
得：36
4
0
a
，
解得：
1
9
a
，
2
2
1
1
4
6
4
9
9
3
y
x
x
x
，故B 正确，
把
3
y
代入
2
3
4
6
8
y
x
得：
2
3
4
6
3
8 x
，
解得：
1
2
4
2 2,
4
2 2
x
x
，
∴
4
2 2
4
2 2
4 2
BC
，
∴
2
1
4 2
3
12 2m
S
，故C 错误
把
3
y
代入
2
1
4
9
3
y
x
x
得：
2
3
1
4
9
3
x
x
，
解得：
1
2
3,
9
x
x
，
∴
9
3
6
B C
∴
2
2
3 6
18m
S
，故D 正确
【例8】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中
的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B 的距离为8 米，桥拱最高点C 到水面的距
离为2.4 米．如图，以水面AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为DE ．若在桥拱最高点C 处有一个星形灯饰（大小忽略不计），
当灯饰C 与其水中倒影C之间的距离CC与水面宽度DE 比为1: 2时，形成的景色最美，求此时水面的宽度．
【答案】(1)
2
3
12
20
5
y
x
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(2) 20 m
3
【分析】
【详解】（1）解：
y
轴垂直平分AB ，
8
AB
，
4,0
A
，
4,0
B
，
由题意得
0,2.4
C
，
设该抛物线的函数表达式为
(
4)(
4)
0
y
a x
x
a
，将
0,2.4 代入，
2.4
16a
，
解得：
3
20
a
该抛物线的函数表达式为
2
3
3
12
(
4)(
4)
20
20
5
y
x
x
x
；
（2）解：如图所示：
设
2
DE
a
，
∴DF
EF
a
，
∴点E 的横坐标为x，
∴纵坐标为：
2
3
12
20
5
y
a
，即
2
3
12
20
5
OF
a
，
∴
2
2
3
12
3
2.4
20
5
20
CF
OC
OF
a
a
，
∵灯饰C 与其水中倒影C之间的距离CC，
∴
2
3
2
10
CC
CF
a
，
∵灯饰C 与其水中倒影C之间的距离CC与水面宽度DE 比为1: 2，
2
DE
a
，
∴CC
a
，
∴
2
3
10 a
a
，
解得：
10
3
a
或
0
a
（不符合题意，舍去）
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∴
20 m
3
DE
．
【变式4-1】某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度OA为10 米，
最高点到水平地面OA的距离为4 米，以OA所在直线为x 轴，过点O 且垂直于OA的直线为y 轴建立平面直
角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在拱门上悬挂一条横幅MN ，MN
x
轴，
4
MN
米，其中点M、N 均在抛物线上，且位于对称轴两侧，
求横幅MN （宽度忽略不计）到地面的距离．
【答案】(1)
2
4
5
4
25
y
x
(2)3.36米
【分析】
【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为
5,4 ，且过
0,0 ，
设抛物线的表达式为
2
5
4
y
a x
，
则
2
0
0
5
4
a
，解得：
4
25
a
，
∴抛物线的表达式为
2
4
5
4
25
y
x
．
（2）解：∵抛物线的表达式为
2
4
5
4
25
y
x
，
∴对称轴为
5
x
，
∵MN
x
轴，
4
MN
米，
∴点M 的横坐标为
1
5
4
3
2
，
∴点M 的纵坐标为
2
4
84
3
5
4
3.36
25
25
米，
∴横幅MN （宽度忽略不计）到地面的距离3.36米．
【变式4-2】地平线下的村院——地坑院，人们常这样描述它：“见树不见村，进村不见房，入户不见门，
闻声不见人．”体现了古人“天地相融，方圆共存，天人合一”的哲学理念．如图①为一个地坑院，如图②是
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其中窑洞的纵截面示意图，底部为矩形，顶部为抛物线形拱．以窑洞矩形底边（在地面上）所在直线为x
轴，底边中点为原点建立平面直角坐标系，已知矩形部分高2m ，宽4m ，抛物线形拱的最高点距地面4m ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)现计划在窑洞顶部均匀地悬挂5 个灯笼（即5 个悬挂点水平等距分布），要求5 个灯笼在抛物线形拱上
呈轴对称分布，且每个灯笼的悬挂点离地面不低于3.5m ，求相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离，以及此
时最外侧灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
(2)相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离为
1
2 米，此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标1
和1．
【分析】
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
2
y
a x
h
k
，
抛物线的顶点坐标为
0,4 ，
0
h
，
4
k
，
抛物线的解析式为
2
4
y
ax
，
由题意可知，点
2,2
，
2,2 在抛物线上，
把
2,2
代入解析式得4
4
2
a
，
解得
1
2
a
，
抛物线的解析式为
2
1
4
2
y
x
；
（2）令
3.5
y
，即
2
1
4
3.5
2 x
，
解得
1
1
x ，
2
1
x ，
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每个灯笼的悬挂点离地面不低于3.5m ，
3.5
y
，
结合二次函数的图像可知1
1
x
，
相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离为
1
1
1
4
2
米，此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标1
和1．
【变式4-3】如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面AB 的宽为16m ，
如果水位上升3m ，就达到警戒水位CD，此时水面CD的宽为8m ．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，现有一棱长为4m 的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集
装箱漫在水下的部分）为3.2m ，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行．
①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？
②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位CD，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内
注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？
（参考数据：g 取10N/kg ，
3
3
1 10 kg/m
水
，F
gV
浮
水
排，G
mg
）
【答案】(1)
2
1
4
16
y
x
(2)解：①在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下：
4
3.2
0.8 m
，
在
2
1
4
16
y
x
中，当
2
x 时，
2
1
2
4
3.75
16
y
，
∵3.75
0.8
，
∴在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥；
②应往集装箱内至少注入水的质量为800 千克
【分析】
【详解】（1）解：如图所示，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，
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设此抛物线的函数表达式为
2
0
y
ax
c a
，
由题意得，
8,0
4,3
A
C
，
，
∴
64
0
16
3
a
c
a
c
，
∴
1
16
4
a
c
，
∴此抛物线的函数表达式为
2
1
4
16
y
x
；
（2）解：①略；
②在
2
1
4
16
y
x
中，当
2
x 时，
2
1
2
4
3.75
16
y
，
当水面上涨到警戒水位CD时，集装箱在水上的部分最高为
3.75
3
0.75 m
，
设应往集装箱内注入水的质量为t 千克，
由题意得，
3
10
4
4
4
0.75
3.2
1 10
10
t
，
解得
800
t
，
∴t 的最小值为800，
答：应往集装箱内至少注入水的质量为800 千克．
题型五、二次函数的实际应用——投球问题
【例9】斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前
后一致），第一次反弹后的最大高度为
1h ，第二次反弹后的最大高度为
2h ．第二次反弹后，小球越过最高
点落在垂直于地面的挡板C 处，且离地高度
1
1
3
BC
h
，若
90dm
OB
，
2
OA
AB
．则第一次反弹抛物线图
象
1h 与它的二次项系数a 的比值为_____________；
2
1
h
h _____________．
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【答案】
900
4
9
【详解】解：
90dm
OB
，
2
OA
AB
，
60dm
OA
，
30dm
AB
，
设第一次反弹后的抛物线解析式为
2
1
1
30
y
a x
h
，
抛物线过原点O，
2
1
30
0
a x
h
，
解得：
1
900
h
a
，即
1
900
h
a
；
每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），
两个抛物线的a 是相同的，
设二次反弹后的抛物线解析式为
2
2
2
y
a x
m
h
，
1
1
3
BC
h
，
1
900
h
a
，
300
BC
a
，
抛物线过A ，C 两点，
2
2
2
2
0
60
300
90
a
m
h
a
a
m
h
，
解得：
2
80
400
m
h
a
，
2
1
400
4
900
9
h
a
h
a
．
【例10】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水
平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数
据：
x/m
0
10
20
30
40
50
60
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y/m
54.0
57.8
57.6
53.4
45.2
33.0
16.8
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)为观察y 与x 之间的关系，建立坐标系，以x 为横坐标，y 为纵坐标，描出表中数据对应的7 个点，并用
平滑的曲线连接它们；
(2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平
距离约为m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；
(3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动
中的最高点比甲运动员运动中的最高点（填写“高”或“低”）约m （结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)平滑的曲线连接作图如下：
(2)抛物线；14.5
(3)高；2.8
【分析】
【详解】（1）解：略；
（2）解：根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分；
设该抛物线的解析式为
2
y
ax
bx
c
，
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将
0,54.0
10,57.8
20,57.6
、
、
代入解析式中，得
54
100
10
57.8
400
20
57.6
c
a
b
c
a
b
c
，
解得
0.02
0.58
54
a
b
c
，
即
2
0.02
0.58
54
y
x
x
，
开口向下，当
0.58
14.5
2
0.02
x
时，y 最大，
（3）解：当
0.58
14.5
2
0.02
x
时，y 最大，
且最大为
2
4
0.02
54
0.58
58.205 m
58.2m
4
0.02
，
∴
61 58.2
2.8 m
；
∵乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，甲运动员的最高点的竖直高度大约为58.2m，
∴乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高，高2.8m ．
【变式5-1】“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的
数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为x 轴，
1dm为1 个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点P 的运动路径可看作抛物线
2
(
)
y
a x
h
k
的一部分，点P 从点
,
M m n 处出手(
2)
m
，矩形ABCD为壶，
20
OA
dm
，
5
AB
dm
，
1
BC
dm
．
(1)如图1，
1
20
a
，若点M 为抛物线的顶点，
6
m
，且抛物线经过点
16,9
N
．
①求抛物线的解析式；
②竖直提高点P 的出手位置（点M ），使点P 落在BC 上（不含边界），求n 的取值范围．
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(2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点
4,
1
Q m
n
处到达最高点．若点P 经过点B 正上方2dm
处，求出点P 在点C 正上方的距离（用含m 的式子表示）．
【答案】(1)①
2
1 (
6)
14
20
y
x
②14.8
16.25
n
(2) 2
1dm
16
m
【分析】
【详解】（1）解：①
1
20
a
，
6,
M
n
为顶点，
则抛物线
2
1
6
20
y
x
n
，
∵过点
16,9
N
代入得：
2
1
9
16
6
20
n
，
∴
14
n
，
抛物线解析式为
2
1
6
14
20
y
x
；
②解：抛物线经过点
20,5
B
时，
2
1
5
20
6
20
n
，
14.8
n
，
抛物线经过点
(21,5)
C
时，
2
1
5
21
6
20
n
，
16.25
n
，
当14.8
16.25
n
时，点P 落在BC 上．
（2）解：顶点
4,
1
Q m
n
，
抛物线解析式为
2
4
1
y
a x
m
n
，
抛物线过点
,
M m n ，
2
4
1
n
a m
m
n
，
1
16
a
，
2
1
4
1
16
y
x
m
n
，且抛物线过
20,7 ，
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2
1
7
20
4
1
16
m
n
，
2
1 16
6
16
n
m
，
当
21
x
时，
2
1
21
4
1
16
y
m
n
2
2
1
1
17
16
6
1
16
16
m
m
2
2
1
16
17
7
16
m
m
1 33
2
7
16
m
79
8
16
m
，
79
1
5
8
16
8
16
m
m
，
点P 在点C 正上方2
1dm
16
m
处．
【变式5-2】某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的
乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x （米），
与桌面的高度为y （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t （秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
x （米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
y （米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
(1)探究x 与t ，y 与x 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．求出x 关于t 的函数解析式和y 关于
x 的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求发出的乒乓球经过多少秒落在桌面上？
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(3)球网高度为0.14 米，球桌长（1.4
2
）米，若乒乓球弹起后，其运动路线仍是抛物线且与原抛物线形状
相同，若球弹起后在最高点击球，球沿直线擦网而过扣杀到原点，直接写出乒乓球落在桌面上弹起后的抛
物线顶点的横坐标．
【答案】(1)
2.5
x
t
，
2
0.2(
1)
0.45
y
x
(2)1秒
(3)11
21
4
【分析】
【详解】（1）解：由表格数据可知，
0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
0.16
0.2
0.4
0.6
0.8
x
t
，
x 关于t 的函数解析式为
2.5
x
t
．
由表格数据可知，y 关于x 的函数图象关于直线
1
x 对称，顶点为(1,0.45)，
可设
2
(
1)
0.45
y
a x
，
将(0,0.25) 代入
2
(
1)
0.45
y
a x
，
得
2
0.25
(0 1)
0.45
a
，
解得：
0.2
a
，
y 关于x 的函数解析式为
2
0.2(
1)
0.45
y
x
．
（2）解：当
0
y
时，
2
0.2(
1)
0.45
0
x
，
2
(
1)
2.25
x
，
1
1.5
x
，
解得
1
2.5
x
，
2
0.5
x
（舍去），
乒乓球落在桌面上时，与端点A 的水平距离为2.5 米．
2.5
x
t
，
2.5
2.5t
，
1
t ，
发出的乒乓球经过1秒落在桌面上．
（3）解：弹起后抛物线与原抛物线形状相同，
二次项系数为0.2
．
设弹起后抛物线的顶点坐标为( , )
h k ，
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则
2
0.2(
)
y
x
h
k
．
球在最高点（即顶点处）击球，沿直线擦网而过扣杀到原点A ，
扣杀路线为过点(0,0) 和(1.4,0.14) 的直线．
设直线解析式为y
mx
，
将(1.4,0.14) 代入，得0.14
1.4m
，
解得
0.1
m
，
扣杀路线为
0.1
y
x
．
顶点( , )
h k 在直线
0.1
y
x
上，
0.1
k
h
．
由（2）知乒乓球落在桌面上时的坐标为(2.5,0) ，
将(2.5,0) 代入
2
0.2(
)
y
x
h
k
，
得
2
0
0.2(2.5
)
0.1
h
h
，
解得：
22
484
400
22
2 21
11
21
8
8
4
h
，
球从
2.5
x
处弹起后向原点方向运动，顶点横坐标h 应满足0
2.5
h
，
1
11
21
3.90
2.5
4
h
（舍去），
2
11
21
1.60
4
h
，符合题意，
乒乓球落在桌面上弹起后的抛物线顶点的横坐标为11
21
4
．
【变式5-3】从地面以初速度v（单位：m / s ）竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）和小球的
运动时间t（单位：s）之间的关系式为
2
5
h
vt
t
，已知当
2
t
时，
40
h
．
(1)求小球的初速度v；
(2)当
4
t
时，求小球运动的路径长；
(3)假设小球为弹性小球，经过时间1t 达到最大高度
1h ；小球落地后立刻以速度
2v 竖直向上弹起，又经过时
间2t 达到最大高度
2h ，若
2
1
2
t
t
，求
2h 的值．
【答案】(1)30m/s
(2)50m
(3) 45
4
【分析】
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【详解】（1）解：将
2
t
，
40
h
代入
2
5
h
vt
t
得：
2
2
5 2
40
v
，
解得
30
v
，
∴小球的初速度v 为30m / s ；
（2）解：∵
2
2
30
5
5
3
45
45
h
t
t
t
，
∴当
3
t
时，小球运动的最大高度
1h 为45m ；
当
4
t
时，
2
30 4
5 4
120
80
40
h
；
∴当
4
t
时，小球运动的路径长为
45
45
40
50 m
；
（3）解：由（1）（2）知
1
30m/s
v
，1
3s
t
，
1
45m
h
，
∴
2
3
2
t
s
，
2
2
3
10
2
v
t
，
∴
2
15
v
，
∴
2
2
3
3
45
15
5
2
2
4
h
．
题型六、二次函数的实际应用——喷水问题
【例11】某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场
一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三
角形，如图，
90
ABC
，
3
AB
米，
6
BC
米，坡面AC 上有一棵小树MN （小树粗细忽略不计，点M
在斜坡上且与点C 不重合，MN
BC
），现在斜坡底C 处安装一个喷水管CP ，水流呈抛物线状，恰好落
在A 处．技术人员以B 为原点，水平向右为x 轴，竖直向上为y 轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B
的水平距离x （米）与水流的高度y （米）的变化规律如表：
x
0
1
2
3
4
…
y
3
27
8
7
2
27
8
3
…
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(1)根据表格数据，求出水流的函数解析式；
(2)若调试时，水流恰好经过树顶N 点，
①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN 可达到的最大高度是多少？
②在灯光测试中，需要在MN 右侧（靠近C 的一侧）再放置一棵与MN 等高的小树DE （D 在坡面上，树干
垂直BC ），且水流也能刚好经过树顶E ．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底M 的横坐标m 的取
值范围．
【答案】(1)
2
1
1
3 0
6
8
2
y
x
x
x
(2)①2 米；②2
4
m
【分析】
【详解】（1）解：设水流的函数解析式为
2
0
y
ax
bx
c a
，
由题意得
27
8
7
4
2
2
3
a
b
c
a
b
c
c
∴
1
8
1
2
3
a
b
c
，
∴水流的函数解析式为
2
1
1
3 0
6
8
2
y
x
x
x
；
（2）解：①∵
3
AB
米，
6
BC
米，
∴
0,3 ,
6,0
A
C
，
设直线AC 的函数解析式为
1
1
1
0
y
k x
b k
，
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∴
1
1
1
6
0
3
k
b
b
，
∴
1
1
1
2
3
k
b
，
∴直线AC 的函数解析式为
1
3
2
y
x
；
设
2
1
1
,
3
8
2
N m
m
m
，则
1
,
3
2
M
m
m
，
∴
2
2
2
1
1
1
1
1
3
3
4
2
8
2
2
8
8
MN
m
m
m
m
m
m
，
∵
1
0
8
，
∴当
4
m
时，MN 有最大值，最大值为2，
答：这棵小树MN 可达到的最大高度是2 米；
②设第二棵树底横坐标为n ，
同理可得
2
1
8
DE
n
n
，
∵两棵树等高，即MN
DE
，
∴
2
2
1
1
8
8
m
m
n
n
，
∴
2
2
8
0
m
n
m
n
，
∴
8
0
m
n
m
n
，
∵n
m
，即
0
m
n
，
∴
8
0
m
n
，
∴
8
n
m
，
又∵
6
m
n
，
∴
8
6
m
m
，
∴2
4
m
．
【例12】某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数
学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2 所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几
组数据，其中
d m 是水柱距喷水头的水平距离，
h m 是水柱距湖面的高度．
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/
d m
0
0.7
2
3
4
…
/ m
h
2.0
3.484
5.2
5.6
5.2
…
请解决以下问题：
(1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式；
(2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为
2
0.3
3.5
5.7
h
d
，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由．
(3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为4m ，顶棚到湖面高度为4.2m 的平顶游船，
游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险．
【答案】(1)
2
0.4
3
5.6
h
d
(2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外．
理由如下：
对于
2
0.4
3
5.6
h
d
，
令
0
h
，得
2
0.4
3
5.6
0
d
，
解得
3
14
d
或3
14
（舍去），
对于
2
0.3
3.5
5.7
h
d
，
令
0
h
，得
2
0
0.3
3.5
5.7
d
，
解得
3.5
19
d
或3.5
19
（舍去），
∵3.5
19
3
14
，
∴此时喷出的水柱会落到人工湖外；
(3)解：对于
2
0.4
3
5.6
h
d
，
当
4
3
1
2
，即
1
d 时，
0.4 4
5.6
4
h
，
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∵4
4.2
，
∴游船有被水柱喷到的危险．
【分析】
【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为
3,5.6 ，
∴设抛物线的表达式为
2
3
5.6
h
a d
，
将
0,2.0 代入，
得9
5.6
2
a
，
解得
0.4
a
，
∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：
2
0.4
3
5.6
h
d
．
（2）略
（3）略
【变式6-1】校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环
境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口A 距地
面2 米，距着火建筑物底部水平距离8 米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线L 的一部分，着火点C 距离
水平地面18米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为2 米的位置处达到最高，以水平地面为x 轴，
着火建筑物为y 轴，着火建筑物底部点O为原点，建立平面直角坐标系．
(1)求出抛物线L 的表达式．
(2)由于火势迅速蔓延至距离地面43米的点D 处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车
顶A 点处释放出消防无人机，无人机竖直上升42 米到达点E 处喷出水流，水流路线是抛物线L的一部分，
此时的水流恰好喷到D 点下方1米的点F 处，若点E 为抛物线L的最高点，请求出抛物线L向右平移多少
米就能将水流喷射到点D 处（无人机只能在建筑物的左侧移动）．
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【答案】(1)抛物线L 的表达式为
2
1
2
20
2
y
x
(2)抛物线L向右平移
8
4 2
米就能将水流喷射到点D 处
【分析】
【详解】（1）解：∵喷水口A 距地面2 米，距建筑物底部水平距离8 米，着火点C 在y 轴上，距地面18
米，水流在离建筑物底部水平距离2 米处达到最高，
∴
8,2
A
，
0,18
C
，抛物线顶点横坐标为2
，
设抛物线L 的表达式为
2
2
0
y
a x
k a
，
将
8,2
A
和
0,18
C
代入表达式，
得
2
2
8
2
2
0
2
18
a
k
a
k
，
解得
1
2
20
a
k
∴抛物线L 的表达式为
2
1
2
20
2
y
x
或
2
1
2
18
2
y
x
x
；
（2）解：∵无人机从
8,2
A
竖直上升42 米到E ，
∴
8,44
E
，且E 是L的顶点，
∵点D 距地面43 米，在y 轴上，F 在D 下方1 米，
∴
0,43
D
，
0,42
F
，
设抛物线L的表达式为
2
8
44
0
y
a x
a
，
将
0,42
F
代入表达式，得
2
42
0
8
44
a
64
2
a
解得
1
32
a
，
∴抛物线L的表达式为
2
1
8
44
32
y
x
，
步骤3：设平移距离并建立方程
设抛物线L向右平移m 米
0
m
，
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∴平移后的抛物线表达式为
2
1
8
44
32
y
x
m
，
∵平移后的抛物线需经过
0,43
D
，
∴将
0,
43
x
y
代入，得
2
1
43
0
8
44
32
m
2
1
1
8
32
m
2
8
32
m
8
4 2
m
解得
8
4 2
m
或
8
4 2
m
，
∵“无人机只能在建筑物的左侧移动”，即平移后顶点的横坐标需小于0，
∴8
0
m
解得
8
m
，
∴舍去
8
4 2
m
，
∴
8
4 2
m
米，
∴抛物线L向右平移
8
4 2
米就能将水流喷射到点D 处．
【变式6-2】【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点O，其
正上方0.5米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨
迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内．
【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x 轴在水面水平方向，y 轴竖直向上），
其中A 为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点B 时的坐标为
2,2.5 ，随
后水流落回水面上的点C ．
(1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式；
(2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径OC 的长（结果保留根号）；
(3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点C 距离中心O恰好为5 米时，视觉效果最好．在不改变抛物
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线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？
【答案】(1)
2
1
1
2
2
2
y
x
x
(2)
2
5
OC
米
(3)要把喷泉喷头升高2 米．
【分析】
【详解】（1）解：依题意，
0,0.5
A
，
∵最高点B 时的坐标为
2,2.5 ，
∴设该抛物线的函数表达式为
2
2
2.5
y
a x
，
把
0,0.5
A
代入
2
2
2.5
y
a x
，得
2
0.5
0
2
2.5
a
解得
1
2
a
，
∴
2
2
1
1
1
2
2.5
2
2
2
2
y
x
x
x
（2）解：由（1）得
2
1
1
2
2
2
y
x
x
，
依题意，把
0
y
代入
2
1
1
2
2
2
y
x
x
，
得
2
1
1
0
2
2
2
x
x
整理得
2
4
1
0
x
x
2
2
5
x
解得
1
2
5
x
，
2
2
5
0
x
∵C 在x 轴的正半轴，
∴
2
5,0
C
．
∴半径OC 的长为
2
5
米．
（3）解：由（1）得
2
1
2
2.5
2
y
x
，
设要把喷泉喷头升高r 米，
依题意，升高后的抛物线的解析式为
2
1
2
2.5
2
y
x
r
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∵水流落点C 距离中心O恰好为5 米，
∴
5,0
C
把
5,0
C
代入
2
1
2
2.5
2
y
x
r
，
得
2
1
0
5
2
2.5
2
r
整理得
9
0
2.5
2
r
解得
2
r
∴要把喷泉喷头升高2 米．
【变式6-3】射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2m 以内的昆虫．如
果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水
鱼射出的水流向上运动的高度y （单位：cm）与向前运动的水平距离x（单位：cm）的关系可以近似地表
示为
2
0.1
4
y
x
x
．
(1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x 的范围是
______，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x 的范围是______；
(2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20cm ，高度50cm处，那么这次射出的水流能否击中这只
昆虫？
(3)假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方30cm高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆虫，
可能在射水鱼正前方多远处？
【答案】(1)0
20
x
；20
40
x
(2)这次射出的水流不能击中这只昆虫
(3)这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方10cm或30cm 处
【分析】
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【详解】（1）解：∵
2
2
0.1
4
0.1
20
40
y
x
x
x
∴对称轴为直线
20
x
，顶点坐标为
20,40 ，
∵
0.1
a
，
∴抛物线开口向下，
当
0
x
时，
0
y
，过原点，
在对称轴的左侧，即0
20
x
时，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧即20
40
x
时，y 随x 的增大而
减小，
∴它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x 的范围是0
20
x
，它运动的高度逐步下降时，
水流向前运动的水平距离x 的范围是20
40
x
（2）当
20
x
时，
2
0.1 20
4 20
40
50
y
，
∴这次射出的水流不能击中这只昆虫；
（3）当
30
y
时，
2
30
0.1
4
x
x
，
解得
1
2
10,
30
x
x
，
∴这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方10cm 或30cm 处．
二次函数的最值问题
题型一、定轴定区间求最值
【例1】已知二次函数
2
2
y
x
x
c
，当1
≤x ≤2 时，函数的最大值与最小值的差为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x 在- 1≤x≤2 的范围内变
化，再分别进行讨论，即可得出函数y 的最大值与最小值，即可求解．
【详解】解：∵二次函数
2
2
2
(
1)
1
y
x
x
c
x
c
，
∴该抛物线的对称轴为
1
x ，且
1
0
a
，
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∴当
1
x 时，二次函数有最大值为1+c；当
1
x 时，二次函数有最小值为-3+c．
∴函数的最大值与最小值的差为1+c-（-3+c）=4．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴
是解题的关键．
【例2】已知二次函数
2
2
1
0
y
mx
mx
m
在2
2
x
时有最小值2
，则m (
)
A．3
B．3
或3
8
C．3 或
3
8
D．3
或
3
8
【答案】C
【详解】解：二次函数
2
2
2
1
1
1
m
mx
m
y
mx
x
，
对称轴为直线
1
x ，
①
0
m
，抛物线开口向上，
1
x 时，有最小值
1
2
y
m
，
解得：
3
m
；
②
0
m
，抛物线开口向下，
对称轴为直线
1
x ，在2
2
x
时有最小值2
，
2
x
时，有最小值
4
4
1
2
y
m
m
，
解得：m
3
8
；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式1-1】已知二次函数
2
4
5
y
ax
ax
＝
（其中x 是自变量），当
2
x
时. y 随x 的增大而增大，且6
5
x
时，y 的最小值为7
，则a 的值为（
）
A．3
B．
1
5
C．
12
5
D．1
【答案】B
【详解】解：∵二次函数
2
4
5
y
ax
ax
，
∴抛物线的对称轴为x= 2，
∵当
2
x 时，y 随x 的增大而增大，
∴抛物线开口向下即a＜0，
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∵当6
5
x
时，y 的最小值为-7，
∴x=-6 时，函数有最小值36
24
5
7
a
a
，
解得a=
1
5
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的开口，对称性，增减性和最值，熟练掌握二次函数的性质灵活求解是解题
的关键．
【变式1-2】已知
2
2
2
2
3
y
ax
ax
a
二次函数（其中x 是自变量），当
2
x
时，y 随x 的增大而减小，且
2
1
x
时，y 的最大值为9，则a 的值为(
)
A．2 或
3
2
B．
2
C．
3
2
D．1
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x≥2 时，y 随x 的增大而减小，且
-2≤x≤1 时，y 的最大值为9，可以判断a 的正负，得到关于a 的方程，从而可以求得a 的值．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+2ax+2a2+3=a（x+1）2+2a2-a+3，
∴该函数的对称轴为直线x=﹣1，
∵当x≥2 时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x≤1 时，y 的最大值为9，
∴a＜0，当x=﹣1 时，y=9，
∴9=2a2-a+3，
解得，a1=﹣3
2 ，a2=2（舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
【变式1-3】二次函数
2
4
y
ax
ax
c
的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表．其中有一处被墨水覆盖，
仅能看到当
0
x
时y 的值是负数，已知当0
3
x
时，y 的最大值为9
，则c 的值为（
）
x
2
0
y
7
-█
A．17
B．9
C．
29
5
D．5
【答案】B
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【详解】解：由题知二次函数y＝ax2﹣4ax+c，
当x＝0 时，y 值为负数，
即c＜0．
又由图表可知，
y＝ax2﹣4ax+c 过（﹣2，7）点，
即：4a+8a+c＝7，
12a＝7﹣c，
∵c＜0，
∴7﹣c＞0，
∴12a＞0．
即：a＞0．
∴二次函数y＝ax2﹣4ax+c 开口方向向上．
其对称轴为x＝
4
2
a
a
＝2，
又∵当0≤x≤3 时，y 有最大值﹣9，
∵x＝3 相比于x＝0 离对称轴更近，
∴应该在x＝0 处取得大值﹣9．
∴y＝ax2﹣4ax+c 过（0，﹣9）点．
即c＝﹣9．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二
次函数的性质．
题型二、动轴定区间求最值
【例3】函数
2
2
2
y
x
ax
在1
2
x
有最大值6，则实数a 的值是______．
【答案】1
或7
2
【详解】二次函数
2
2
2
y
x
ax
的对称轴为
2
2
a
x
a
，
由题意，分以下三种情况：
（1）当
1
a
时，
在1
2
x
内，y 随x 的增大而增大，
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则当
2
x
时，y 取得最大值，最大值为
2
2
4
2
2
4
a
a
，
因此有2
4
6
a
，解得
1
a ，符合题设；
（2）当1
a
2
时，
在1
2
x
内，当1
x
a
时，y 随x 的增大而减小；当
2
a
x
时，y 随x 的增大而增大，
则当
1
x 或
2
x
时，y 取得最大值，
因此有1 2
2
6
a
或
2
2
4
2
6
a
，
解得
7
2
a
或
1
a （均不符题设，舍去）；
（3）当
2
a
时，
在1
2
x
内，y 随x 的增大而减小，
则当
1
x 时，y 取得最大值，最大值为1 2
2
2
1
a
a
，
因此有2
1
6
a
，解得
7
2
a
，符合题设；
综上，
1
a 或
7
2
a
，
故答案为：1
或7
2 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
【例4】已知二次函数
2
1
1
6
1
0,
0
2
y
m
x
n
x
m
n
，当1
2
x
时，y 随x 的增大而减小，则mn
的最大值为（
）
A．4
B．6
C．8
D．49
4
【答案】C
【详解】解：抛物线
2
1
1
6
1
0,
0
2
y
m
x
n
x
m
n
的对称轴为直线：
6
1
n
x
m
，
①当
1
m 时，抛物线开口向上，
∵1
2
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴6
2
1
n
m
，即2
8
m
n
．
解得
8
2
n
m
，
∴
8
2
mn
m
m
，
∵
2
8
2
2
2
8
m
m
m
，
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∴
8
mn
．
②当0
1
m
时，抛物线开口向下，
∵1
2
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴6
1
1
n
m
，即
7
m
n
，
解得
7
m
n
，
∴
7
mn
n
n
，
∵
2
7
49
7
2
4
n
n
n
，
当
7
2
m
n
时，mn 有最大值49
4 ，
∵0
1
m
，
∴此情况不存在．
综上所述，mn 最大值为8．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将mn 的最大值转化为二次函数求最值．
【变式2-1】已知二次函数
2
2
(
y
x
mx m
为常数) ，当1
2
x
时，函数值y 的最小值为2
，则m 的值是
（
）
A．3
2
B．
2
C．
3
2
或
2
D．
3
2
或
2
【答案】D
【详解】解：∵二次函数
2
2
y
x
mx
（m 为常数），
∴抛物线的对称轴为直线x=
2
2
m
=m，
当m＜-1 时，-1＜x＜2 表示的数在对称轴的右侧，
∵二次函数
2
2
y
x
mx
（m 为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，
∴当x=-1 时，函数y 取得最小值，即1+2m=-2，解得m=
3
2
；
当-1＜m＜2 时，
∵二次函数
2
2
y
x
mx
（m 为常数）中，a=1＞0,函数有最小值，
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∴当x=m 时，y 取得最小值，即
2
2
2
m
m
=-2，
解得m=
2 或m=-
2 （不在范围内，舍去）；
当m＞2 时，
∵二次函数
2
2
y
x
mx
（m 为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，
∴当x=2 时，函数y 取得最小值，即4-4m=-2，解得m= 3
2 ，（不在范围内，舍去）
综上所述，m 的值为
2 或
3
2
，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减
性确定最值是解题的关键．
【变式2-2】已知关于x 的二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
，其中m 为实数.
（1）当m 取任意实数时，该二次函数有最小值为________；
（2）当1
2
x
时，该二次函数有最小值10，则m 的值为________.
【答案】
1
2
或5
【分析】
【详解】（1）∵
2
2
2
2
1
(
)
1
y
x
mx
m
x
m
，又抛物线开口向上，
∴m 取任意实数时，函数有最小值1.
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线x
m
，
当1
2
m
时，最小值为1；
当
1
m ，
1
x 时，
2
1 2
1 10
y
m
m
为最小值，解得
4
m
（舍去）或
2
m .
当
2
m
，
2
x
时，
2
4
4
1 10
y
m
m
为最小值，解得
5
m
或
1
m （舍去）.
综上所述，m 的值为2
或5.
【点睛】本题考查一元二次方程、配方法，二次函数的性质，注意根据增减性确定自变量取值范围内的函
数极值是解题的关键．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
2
2
y
x
mx
m
m
．
(1)若抛物线经过
1,0
A
，
0,1
B
两点时，求抛物线的解析式；
(2)若点
2,
C
C
y
，
5,
D
D
y
在抛物线上，且
C
D
y
y
，请直接写出结果m 的取值范围；
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(3)当1
3
x
时，函数y 的最小值等于6，直接写出m 的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
2
2
1
y
x
x
(2)当
C
D
y
y
，m 的取值范围为
7
2
m
＜
(3)m 的值为m=-2 或
41 1
4
m
【分析】
【详解】（1）解：当抛物线经过
1,0
A
时，
2
1 2
2
0
mx
m
m
，
解得：
1
2
1
1
2
m
m
，
，
当抛物线经过
0,1
B
时，
2
2
1
m
m
，
解得
1
2
1
1
2
m
m
，
，
∵抛物线经过
1,0
A
，
0,1
B
两点，
∴m=1，
抛物线的解析式为
2
2
1
y
x
x
；
（2）解：∵a=1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，
当点
2,
C
C
y
，
5,
D
D
y
都在对称轴左侧抛物线上，
2
2
2
2
2
2
2
2
5
2
5
2
m
m
m
m
m
m
＞
，
解得
7
2
m
＜
，
当点D 在对称轴的右侧，点C 在对称轴左侧，点C 离对称轴远，点D 离对称轴近，抛物线得对称轴为x=-m;
∴5+m＜-m-2，
解得
7
2
m
＜
，
∴当
C
D
y
y
，m 的取值范围为
7
2
m
＜
；
（3）解：当1
3
x
时，函数y 的最小值等于6，
抛物线对称轴1
3
m
£ -
£
，抛物线
2
2
y
x
m
m
m
，
∴
2
6
m
m
，
解得m=3（舍去）或m=-2，
当对称轴-m＜1 即m＞-1，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，
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∴x=1 是取最小值，即
2
1 2
2
6
m
m
m
，
∴解得
1
41
4
m
（舍去）或
1
41
4
m
，
当对称轴-m＞3 即m＜-3，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，
∴x=3 时，取最小值，即
2
9
6
2
6
m
m
m
，
解得
3
3
1
3
2
m
m
＞
，
＞
，都舍去，
综合得m 的值为m=-2 或
41 1
4
m
．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，增减性，最值，掌握待定系数法求抛物线
解析式，抛物线的性质，增减性，最值是解题关键．
题型三、定轴动区间求最值
【例5】当
3
m
x
m
时，二次函数
2
4
3
y
x
x
的最小值为8，则m 的值为（
）
A．1
或5
B．5 或8
C．1
或8
D．0 或5
【答案】C
【详解】解：二次函数
2
2
4
3
2
1
y
x
x
x
的对称轴为直线
2
x
2
m
①
时，当x
m
时，二次函数有最小值
即：
2
4
3
8
m
m
解得：
1
2
5
,1
m
m
（舍去）
3
2,
5
m
m
②
时，当
3
x
m
时，二次函数有最小值
即：
2
3
4
3
3
8
m
m
解得：
1
2
8,
2
m
m
（舍去）
故：m 的值为1
或8
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的最值问题．根据对称轴的位置确定二次函数的最值是解题关键．
【例6】（第二十二章二次函数突破12 二次函数与区间最值（二）定轴动区间）已知二次函数
2
2
3
y
x
x
．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)当二次函数
2
2
3
y
x
x
的自变量x 满足
2
m
x
m
时，此函数的最大值为p，最小值为q，且
2
p
q
，
求m 的值．
【答案】(1)直线
1
x
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(2)m 的值
2
1
或1
2
．
【分析】
【详解】（1）解：
1,
2
a
b
，
2
1
2
2 1
b
x
a
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x ；
（2）解：∵抛物线
2
=
2
3
y x
x
的对称轴为直线
1
x ，
①如图1，当
1
m 时，当x
m
时，
2
2
3
q
m
m
，
当
2
x
m
时，
2
(
2)
2(
2)
3
p
m
m
，
2
2
(
2)
2(
2)
3
2
3
2
p
q
m
m
m
m
，
解得
1
2
m
（舍）；
图1
图2
②如图2，当
1
1
m
m
时，即0
1
m
，
当
1
x 时，
4
q ，当
2
x
m
时，
2
(
2)
2(
2)
3
p
m
m
，
2
(
2)
2(
2)
3
4
2
p
q
m
m
，
解得
2
1
m
或
2
1
m
（舍）；
③如图3，当
1
1
2
m
m
时，即1
0
m
，
当
1
x 时，
4
q ，当x
m
时，
2
2
3
p
m
m
，
2
2
3
4
2
m
p
m
q
，
解得
1
2
m
（舍）或
1
2
m
；
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图3
图4
④如图4，当
2
1
m
时，即
1
m
，
当x
m
时，
2
2
3
p
m
m
，
当
2
x
m
时，
2
(
2)
2(
2)
3
q
m
m
，
2
2
2
3
(
2)
2(
2)
3
2
p
q
m
m
m
m
，
解得
1
2
m
（舍）；
综上所述，m 的值
2
1
或1
2
．
【变式3-1】已知二次函数
2
(
1)
5
y
x
，当a
x
b
且
0
ab
时，y 的最小值为2a，最大值为2b ，则a
b
的值为（
）
A．2
B．1
2
C．3
D．3
2
【答案】B
【详解】解：二次函数
2
(
1)
5
y
x
的大致图象如下：
①当
0
1
a
x
b
时，当x
a
时，y 取最小值，即
2
2
1
5
(
)
a
a
，
解得：
2
a ．
当x
b
时，y 取最大值，即
2
2
1
5
(
)
b
b
，
解得：
2
b
或
2(
b
均不合题意，舍去) ；
②当
0
1
a
x
b
时，当x
a
时，y 取最小值，即
2
2
1
5
(
)
a
a
，
解得：
2
a ．
当
1
x 时，y 取最大值，即
2
2
1 1
5
b
，
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解得：
2.5
b
，
或x
b
时，y 取最小值，
1
x 时，y 取最大值，
2
2
1
5
(
)
a
b
，
2.5
b
，
a
11
8 ，
0
a
，
此种情形不合题意，
所以
1
2
2.5
2
a
b
．
故选：B．
【变式3-2】已知二次函数
2
4
5
0
y
ax
ax
a
，当0
x
m
时，y 有最小值4
5
a
和最大值5，则m 的
取值范围为（
）
A．
2
m
B．0
2
m
C．1
2
m
D．2
4
m
【答案】D
【详解】解：二次函数对称轴为
4
2
2
a
x
a
，
2
4
5
0
y
ax
ax
a
由题意得，二次函数经过点
0 5
，，
2
4
5
a
，
，
4 5
，，
结合图象可知：①当0
2
m
时，最小值为x
m
时y 的值，最大值为5；
②当2
4
m
时，最小值为4
5
a
，最大值为5；
③当
4
m
时，最小值为4
5
a
，最大值为x
m
时y 的值；
∴m 的取值范围是2
4
m
．
故选：D．
【点睛】本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据顶点式求出对称轴和最大值．
【变式3-3】已知二次函数
2
2
4
3
y
mx
m x
（m 为常数，
0
m
）．点
2 9
，在该二次函数的图象上．
(1)求该抛物线与坐标轴的交点；
(2)当0
x
a
时，该二次函数值y 取得的最大值为9，求a 的值．
【答案】(1)该抛物线与坐标轴的交点为
0
3
，
，
2
7 0
，，
2
7 0
，；
(2)
6
a
．
【分析】
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【详解】（1）解：∵点
2,9
在二次函数
2
2
4
3
y
mx
m x
的图象上，
∴
2
9
4
8
3
m
m
．
∴
2
2
3
0
m
m
．
解得：
1
m 或
3
2
m
．
∵
0
m
，
∴
1
m ．
∴二次函数的解析式为
2
4
3
y
x
x
，
当
0
x
时，
3
y
，当
0
y
时，
2
4
3
0
x
x
，
解得
1
2
7
x
，
2
2
7
x
，
∴该抛物线与坐标轴的交点为
0
3
，
，
2
7 0
，，
2
7 0
，；
（2）解：∵二次函数的解析式为
2
4
3
y
x
x
，
配方得：
2
2
4
3
2
7
y
x
x
x
，
∴抛物线的对称轴为
2
x
，顶点
2
7
，
．
当
9
y
时，
2
2
7
9
x
，
∴
2
2
16
x
．
∴解得：
6
x
或
2
x ．
∵当0
x
a
时，y 的最大值为9，
∴
6
a
．
【点睛】本题考查二次函数的二次函数图象与性质，解题的关键是熟练运用待定系数法确定二次函数的解
析式．
题型四、求线段最值
【例7】如图，在平面直角坐标系中，直线
3
3
4
y
x
分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，在线段AB 上取
一点C ，过C 作CD
y
轴于D ，CE
x
轴于E ，连接DE ，则线段DE 长度的最小值为（
）
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A．2
B．5
2
C．3
D．12
5
【答案】D
【分析】
【详解】解：设点C 的坐标为
3
,
3
0
4
4
m
m
m
，
OE
m
，
3
3
4
OD
m
，
2
2
2
2
2
3
25
9
(
3)
9
4
16
2
DE
OE
OD
m
m
m
m
，
2
2
25
9
25
36
144
9
(
)
16
2
16
25
25
m
m
m
，
当
36
25
m
时，DE 最短，线段DE 长度的最小值为12
5 ，
故选：D．
【例8】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
6
1
y
x
x
与y 轴交于点A ，经过点
4
B
a
,
，直线l 经过点A
B
，．
(1)求直线l 的表达式；
(2)点
M m
n
，
是抛物线
2
6
1
y
x
x
上一点，其中0
4
m
，过点M 作垂直于x 轴的直线，交直线l 于点N ，
判断线段MN 的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由．
【答案】(1)
2
1
y
x
(2)线段MN 的长有最大值，最大值为4
【分析】
【详解】（1）解：∵抛物线
2
6
1
y
x
x
与y 轴交于点A，经过点
4
B
a
,
，
当
0
x
时，
1
y ，
∴
0,1
A
，
2
4
4 6 1
7
a
，
∴
4, 7
B
，
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设直线l 的表达式为
0
y
kx
b k
，
把
0,1
A
，
4, 7
B
代入得
1
4
7
b
k
b
，
解得：
2
1
k
b
，
∴直线l 的表达式为
2
1
y
x
；
（2）如图，
过点
( , )
M m n 作垂直于x 轴的直线，交直线l 于点N，
∴点N 的纵坐标为2
1
m
，点M 的纵坐标为
2
6
1
m
m
，
∵抛物线开口向上，抛物线
2
6
1
y
x
x
与直线l 交于点
0,1
A
，
4, 7
B
，
∴当0
4
m
时，点N 在点M 的上方，
∴
2
2
2
2
6
1
4
2
4
1
4
M
m
m
m
m
m
N
m
，
∴线段MN 的长有最大值，最大值为4 ．
【变式4-1】如图，点P 是抛物线
2
2
3
y
x
x
上第一象限内一动点，
0,3
A
，
3,0
B
，过点P 分别作x
轴、y 轴的平行线，分别交直线AB 于F ，H 两点，过点P 作AB 的垂线，垂足为G ．下列说法中正确的是
（
）
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A．GH 的最大值为
2
B．FG 的最大值为
2
C．PF 的最大值为2
D．
PFG
△
周长的最大值为9 2
9
4
【答案】D
【详解】解：设直线AB 解析式为y
kx
b
，则有
3
3
0
b
k
b
，解得
1
3
k
b
，
∴直线AB 解析式为
3
y
x
；
设
2
( ,
2
3)
P m
m
m
，则点H 的坐标为( ,
3)
m
m
，
∴
2
2
2
3
(
3)
3
PH
m
m
m
m
m
，
配方得：
2
3
9
2
4
PH
m
，
当
3
2
m
时，PH 有最大值9
4 ；
∵
3
OA
OB
，
90
AOB
，
∴
45
ABO
BAO
；
∵PH
y
∥
轴，PF
x
∥轴，
∴
45
45
PHF
BAO
PFH
ABO
，
，
∴
45
PHF
PFH
，
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∴
90
PH
PF
FPH
，
，
∴PF 的最大值为9
4 ，故选项C 错误；
∴由勾股定理得
2
FH
PH
；
∵PG
FH
，
∴GH
FG
PG
，由勾股定理得
2
2
GH
PH
，
即
2
2
GH
FG
PH
∴GH
FG
，
的最大值均为
2
9
9 2
2
4
8
，
故选项A、B 错误；
∵
PFG
△
周长为
2
2
1
PF
PG
FG
PH
FG
PH
，
∴当PH 最大时，
PFG
△
周长也最大，且最大值为：
9
9 2
9
( 2
1)
4
4
，
故选项D 正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，
求一次函数解析式等知识，善于转化是解题的关键．
【变式4-2】如图，线段
10
AB
，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以
,
AP BP 为边长作正方形APCD和
BPEF ，点M，N 分别是EF ，CD的中点，则MN 的最小值是（
）
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】C
【详解】解：作MG
DC
交DC 延长线于G ，则四边形CEMG 为矩形，
∴
1
1
2
2
CG
EM
EF
BP
．
∵N 是CD的中点，
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∴
1
1
2
2
CN
CD
AP
，
∴
1
1
5
2
2
NG
CG
CN
AP
BP
AB
．
设MN
y
，PC
x
，则
10
2
MG
CE
x
，
在Rt MNG
中，由勾股定理得：
2
2
2
MN
MG
GN
，
即
2
2
2
5
10
2
y
x
．
∵0
10
x
，
∴当10
2
0
x
，即
5
x
时，
2
25
y
最小值
，
∴
5
y
最小值
．即MN 的最小值为5；
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值．熟练掌握勾股定理
和二次函数的最值是解决问题的关键．
【变式4-3】如图，直线
2
y
x
与抛物线
2
6
0
y
ax
bx
a
相交于
1 5
,
2 2
A
和
4,
B
m ，点P 是线段AB
上异于A、B 的动点，过点P 作PC
x
轴于点D，交抛物线于点C
(1)求抛物线的解析式；
(2)求BOE
的面积；
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(3)是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
2
2
8
6
y
x
x
；
(2)6
(3)线段PC 最大为49
8 ．
【分析】
【详解】（1）解：∵
4,
B
m 在直线
2
y
x
上，
∴
4
2
6
m
，
∴
4,6
B
，
∵
1 5
,
2 2
A
，
4,6
B
在抛物线
2
6
y
ax
bx
上，
∴
2
5
1
1
6
2
2
2
6
16
4
6
a
b
a
b
，
解得
2
8
a
b
，
∴抛物线的解析式为
2
2
8
6
y
x
x
；
（2）解：令
0
y
，则0
2
x
，解得
2
x ，
∴
2
OE
，
∴BOE
的面积
1
2
6
6
2
；
（3）解：设动点P 的坐标为
,
2
n n
，则C 点的坐标为
2
,2
8
6
n
n
n
，
∴
2
2
2
9
49
2
2
8
6
2
9
4
2
4
8
PC
n
n
n
n
n
n
，
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∵
2
0
a
，
∴当
9
n
4
时，线段PC 最大为
49
8 ．
题型五、求线段和最值
【例9】如图，抛物线
2
=
2
3
y x
x
与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，点M 是对称轴上的一个动
点，连接AM ，BM ，则AM
BM
的最小值为（
）
A．2
B．10
C．2 3
D．3 2
【答案】D
【详解】解：如图所示，设抛物线与x 轴的另一个交点为C ，连接MC ，AC ，
∵
2
=
2
3
y x
x
，令
0
y
，
即
2
2
3
0
x
x
，
解得：
1
2
1,
3
x
x
，
∴
3,0
C
,
令
0
x
，解得
3
y
，
∴
0, 3
A
，
∵点M 是对称轴上的一个动点，
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∴MB
MC
，
∵AM
BM
AM
CM
AC
∴当
,
,
A M C 三点共线时，AM
BM
取得最小值，最小值为AC 的长，
即
2
2
3
3 =3 2
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
【例10】如图，抛物线
2
y
x
bx
c
交x 轴于点
1,0
A
，交y 轴于点B ，对称轴是直线
2
x
，点P 是抛物
线对称轴上的一个动点，则PA
PB
的最小值为（
）
A．10
B．13
C．2 3
D．3 2
【答案】D
【详解】抛物线
2
y
x
bx
c
交x 轴于点
1,0
A
，对称轴是直线
2
x
，
1
0
2
2
b
c
b
，
解得
4
3
b
c
，
抛物线解析式为
2
4
3
y
x
x
，
令
0
x
，得
3
y
，
0,3
B
，
根据对称性可得，抛物线与x 轴另一交点为
3,0
C
，
如图所示，连接PC ，
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点A 与点C 关于对称轴
2
x
对称，点P 在对称轴上，
PA
PC
，
PA
PB
PC
PB
，
根据两点之间线段最短，当B 、P 、C 三点共线时，PC
PB
最小，最小值为线段BC 的长，
在Rt OBC
中，
3
OB
，
3
OC
，
2
2
2
2
3
3
3 2
BC
OB
OC
，
PA
PB
的最小值为3 2 ．
【变式5-1】如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于
3,0
A
、B 两点，与y 轴交于
0,3
C
点，M 点在抛物
线的对称轴
1
x 上，当MBC
周长最小时，点M 的坐标为__________
【答案】
1,2
【详解】解：连接
,
AM AC ，
∵点M 在对称轴上，
∴AM
BM
，
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∴MC
MB
MC
AM
AC
，
∴当点M 在AC 上时，
MC
MB
的最小值
AC
，此时MBC
的周长最小，
∵点
3,0
0,3
A
C
，
，
设AC 解析式为y
kx
b
，把点A、C 的坐标代入得：
3
3
0
b
k
b
，
解得
3
1
b
k
，
∴AC 解析式为
3
y
x
，
当
1
x 时，
1
3
2
y
则点
1,2
M
．
【变式5-2】已知抛物线
2
3
y
x
mx
与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为
3,0 ，点
P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA
PC
的值最小时，点P 的坐标为_____．
【答案】
1,2
【详解】解：把
3 0
B
，代入
2
3
y
x
mx
，得0
9
3
3
m
，
解得：
2
m
，
抛物线的解析式为：
2
2
3
y
x
x
，
令
0
y
，则
2
2
3
0
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
3
x
，
1,0
A
，
3,0
B
，
由于A、B 两点关于直线
1
3
1
2
x
对称，连接BC 交直线
1
x 于点P，则点P 即为所求，
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当
0
x
时，
3
y
，
0,3
C
，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
，
将C、B 两点的坐标代入得
3
3
0
b
k
b
，
解得：
3
1
b
k
，
直线BC 的解析式为
3
y
x
，
当
1
x 时，
1
3
2
y
．
点P 的坐标为
1,2 ．
【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
的对称轴为直线
1
x ，且抛物线交x 轴于
点A 、B ，交y 轴于点
0,3
C
，在y 轴上有一点
0, 1
D
，连接AD ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E 为x 轴上方抛物线上的一个动点，连接AE ，DE ，设ΔADE 的面积为S ，点E 的横坐标为m ，
求S 与m 的函数关系式；
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得BP
DP
的值最小，若存在，则求出最小值及点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
2
2
3
y
x
x
；（2）
2
1
3
2
1
3
2
2
S
m
m
m
；（3）点P 的坐标为
2
1,
3
时，BP
DP
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的值最小，最小长度为BD 的长，即为10 ．
【分析】
【详解】解：（1）抛物线
2
y
x
bx
c
的对称轴为直线
1
x ，且抛物线交y 轴于点
0,3
C
，
1,
2
3,
b
c
解得
2,
3,
b
c
抛物线的表达式为
2
2
3
y
x
x
；
（2）令
2
2
3
0
x
x
，解得
1
1
x ，
2
3
x
，
1,0
A
，
3,0
B
，
设直线AD 的解析式为
1
y
k x
t
，
将
1,0
A
，
0, 1
D
代入
1
y
k x
t
得，
1
0,
1,
k x
t
t
解得
1
1,
1,
k
t
直线AD 的解析式为
1
y
x
．
如解图①，过点E 作EG
x
轴于点G ，延长EG 交AD 的延长线于点F ，
设
2
,
2
3
E m
m
m
，则
,
1
F m
m
，
2
2
2
3
1
3
4
EF
m
m
m
m
m
，
ADE
AEF
DEF
S
S
S
1
1
2
2
G
EF AG
EF x
1
2 EF
AG
OG
2
1
3
4
2
m
m
2
1
3
2
2
2
m
m
S
与m 的函数关系式为
2
1
3
2
1
3
2
2
S
m
m
m
；
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（3）存在．如解图②，连接BD ，交对称轴于点P ，
抛物线对称轴为直线
1
x ，
设
1,
P
n ，直线BD 的解析式为
2
y
k x
d
，将
3,0
B
，
0, 1
D
代入
2
y
k x
d
得，
2
3
0,
1,
k x
d
d
解得
2
1 ,
3
1,
k
d
直线BD 的解析式为
1
1
3
y
x
，
2
2
2
2
3
0
0 1
10
BD
OB
OD
，
点P 在对称轴
1
x 和直线BD 上，
点P 的横坐标为1，
将
1
x 代入直线BD 的解析式为
1
1
3
y
x
得
2
3
y
，
点P 的坐标为
2
1,
3
时，BP
DP
的值最小，最小长度为BD 的长，即为10 ．
【点睛】本题考查的是已知点求二次函数式，及根据二次函数的性质求出三角形的面积的解析式，还考查
了根据线段最短求出符合条件的点的坐标及最短线段长．用含m 的代数式表示三角形的面积是本题的难点．
题型六、求面积最值
【例11】如图，抛物线的顶点为D ，其坐标为
1,4 ，抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知
3
OC
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接CD，BD ，判断BCD
的形状；
(3)若点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ，求BCE
面积的最大值，并求出取得最大值时E
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点坐标．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2) BCD
是直角三角形
(3) BCE
面积的最大值27
8 ，此时点E 的坐标为3 15
,
2
4
【分析】
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为
2
1
4
0
y
a x
a
，
∵
3
OC
，
∴
0,3
C
，
∴
2
3
0 1
4
a
，
∴
1
a ，
∴抛物线的表达式为
2
2
1
4
2
3
y
x
x
x
；
（2）解：在
2
1
4
y
x
中，当
0
y
时，
2
1
4
0
x
，
解得
1
x 或
3
x
，
∴
1,0
3,0
A
B
，
；
∵
0,3
C
，
1,4
D
，
∴
2
2
2
1
0
4
3
2
CD
，
2
2
2
3 1
0
4
20
BD
，
2
2
2
3
0
0
3
18
BC
，
∴
2
2
2
CD
BC
BD
，
∴BCD
是直角三角形；
（3）解：如图所示，过点E 作EF
y
∥轴交BC 于点F，
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设直线BC 的表达式为
0
y
kx
b k
，则
3
0
3
k
b
b
，
∴
1
3
k
b
，
∴直线BC 的表达式为
3
y
x
；
设
2
,
2
3
E m
m
m
，则
,
3
F m
m
，
∴
2
2
2
3
3
3
EF
m
m
m
m
m
，
∴
BCE
CEF
BEF
S
S
S
△
△
△
1
1
2
2
E
C
B
E
EF
x
x
EF
x
x
1
2
B
C
EF
x
x
3
2 EF
2
3
3
2
m
m
2
3
3
27
2
2
8
m
，
∵
3
0
2
，
∴当
3
2
m
时，
BCE
S
有最大值，最大值为27
8 ，
则
2
2
3
3
15
2
3
2
3
2
2
4
m
m
，即此时点E 的坐标为3 15
,
2
4
．
【例12】如图，已知抛物线的顶点为
1 4
A ，，抛物线与y 轴交于点
0 3
B
，，与x 轴交于C、D 两点，点P
是x 轴上的一个动点．
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(1)求此抛物线的解析式；
(2)试判断ABD
的形状，并说明理由，且求
ABD
S
；
(3)若点Q 是直线BD 上方抛物线上的一个动点，则
BDQ
S
的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，
若没有最大值，说明理由．
【答案】(1)
2
1
4
y
x
(2) ABD
是直角三角形，
3
ABD
S
；
(3)当
3
2
t
时，
BQD
S
的面积有最大值27
8 ．
【分析】
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为
1 4
A ，，
∴设抛物线的解析式
2
1
4
y
a x
，
把点
0 3
B
，代入得，
4
3
a
，
解得
1
a ，
∴抛物线的解析式为
2
1
4
y
x
；
（2）解：ABD
是直角三角形，理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式为
2
1
4
y
x
；
令
0
y
，则
2
0
1
4
x
，
∴= 1
x 或
3
x
，
∴
1 0
3 0
C
D
，，
，；
∵
1 4
A ，，
0 3
B
，，
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∴
2
21
4
3
2
AB
，
2
2
4
3 1
2 5
AD
，
2
2
3
3
3 2
BD
，
∴
2
2
2
AB
BD
AD
，
∴ABD
是直角三角形，且
90
ABD
，
∴
1
1
2
3 2
3
2
2
ABD
AB
B
S
D
；
（3）解：
BDQ
S
的面积有最大值，理由如下：
设直线BD 的解析式为
3
y
kx
，
∴3
3
0
k
，解得
1
k ，
∴直线BD 的解析式为
3
y
x
，
设
2
2
3
Q t
t
t
，
，其中0
3
t
，
过点Q 作QG
y
∥
轴交BD 于点G，
∴
3
G t
t
，
，
∴
2
2
2
3
3
3
GQ
t
t
t
t
t
，
∴
2
2
1
3
3
27
3
3
2
2
2
8
BQD
S
t
t
t
，
∵
3
0
2
，
∴当
3
2
t
时，
BQD
S
的面积有最大值27
8 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的勾股定理，铅
锤法求三角形的面积是解题的关键．
【变式6-1】如图，经过
2,0
A
，
3
5,
2
B
，
5
7, 2
C
的抛物线与y 轴交于D，点E 在第四象限抛物线上，
点F 在线段CD上．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)当EF 与y 轴平行且取最大值时，求点E 的坐标；
(3)四边形AEBF 的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F 的坐标？若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
1
4
6
2
y
x
x
(2) 7
15
,
2
8
(3)四边形AEBF 的面积存在最大值，此时
7
15
,
2
8
E
，此时F 为CD上任意一点．
【分析】
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
2
0
y
ax
bx
c a
，
由题意得，
4
2
0
3
25
5
2
5
49
7
2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
解得
1
2
4
6
a
b
c
，
∴抛物线的解析式为
2
1
4
6
2
y
x
x
；
（2）解：在
2
1
4
6
2
y
x
x
中，当
0
x
时，
6
y
，
∴
0,6
D
；
设直线CD的解析式为y
kx
b
，则
5
7
2
6
k
b
b
，
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解得
1
2
6
k
b
，
∴直线CD的解析式为
1
6
2
y
x
；
设
2
1
,
4
6
2
E e
e
e
，则
1
,
6
2
F e
e
，
∴
2
1
1
6
4
6
2
2
EF
e
e
e
2
1
7
2
2
e
e
2
1
7
49
2
2
8
e
，
∵
1
0
2
，
∴当
7
2
e
时，EF 有最大值，
此时
2
2
1
1
7
7
15
4
6
4
6
2
2
2
2
8
e
e
，
∴
7
15
,
2
8
E
；
（3）解：如图所示，连接AB ，过点E 作EH
y
∥轴交AB 于点H，
同理可得直线AB 的解析式为
1
1
2
y
x
，
由（2）得直线CD的解析式为
1
6
2
y
x
，
∴AB CD
，
∴点F 到AB 的距离为定值，
∴
ABF
S△
为定值，
∵
ABF
ABE
AEBF
S
S
S
△
△
四边形
，
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∴当
ABE
S
有最大值时，
AEBF
S四边形
有最大值；
设
2
1
,
4
6
2
E m
m
m
，则
1
,
1
2
H m
m
，
∴
2
1
1
1
4
6
2
2
EH
m
m
m
2
1
7
5
2
2
m
m
2
1
7
9
2
2
8
m
，
∴
ABE
AEH
BEH
S
S
S
△
△
△
1
1
2
2
E
A
B
E
EH
x
x
EH
x
x
1
2
B
A
EH
x
x
3
2 EH
2
3
7
27
4
2
16
m
，
∵
3
0
4
∴当
7
2
m
时，
ABE
S
有最大值，即此时
AEBF
S四边形
有最大值，
由（2）可知，此时
7
15
,
2
8
E
，
∴四边形AEBF 的面积存在最大值，此时
7
15
,
2
8
E
，此时F 为CD上任意一点．
【变式6-2】如图，抛物线
2
4
0
y
ax
bx
a
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．已知点A 的坐标
是
2,0
，抛物线的对称轴是直线
1
x ．
(1)求函数解析式和点B 的坐标；
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(2)在对称轴上找一点P ，使PA
PC
的值最小．求点P 的坐标；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接MC 、MB ，求MBC
面积的最大值，以及取得最大值时点M 的
坐标．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
；
4,0
B
(2)
1,3
P
(3) MBC
面积的最大值为4，此时点M 的坐标为
2,4
【分析】
【详解】（1）解：∵抛物线
2
4
0
y
ax
bx
a
与x 轴交于
,
A B ，点A 的坐标是
2,0
，抛物线的对称轴
是直线
1
x ，
∴
4,0
B
，
将点
2,0 ,
4,0
A
B
代入得：
4
2
4
0
16
4
4
0
a
b
a
b
，解得
1
2
1
a
b
，
∴函数解析式为
2
1
4
2
y
x
x
．
（2）解：把
0
x
代入
2
1
4
2
y
x
x
得，
4
y
，
∴
0,4
C
，
如图，连接BC ，交直线
1
x 于点P ，连接PA ，
由轴对称的性质可得PA
PB
，
由两点之间线段最短可知，
PA
PC
PB
PC
BC
最小
，此时点P 即为所求，
设直线BC 的解析式为
0
y
kx
n k
，
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将点
4,0
B
，
0,4
C
代入得：
4
0
4
k
n
n
，解得
1
4
k
n
，
∴直线BC 的解析式为
4
y
x
，
∵点P 在对称轴直线
1
x 上，
∴点P 的横坐标为1，
将
1
x 代入函数
4
y
x
得：
1
4
3
y
，
∴点P 的坐标为
1,3 ．
（3）解：如图，过点M 作MN
x
轴于点N ，BC 交MN 于点Q ，
设
2
1
,
4
0
4
2
M
m
m
m
m
，则
,
4
Q m
m
，
∴
2
2
1
1
4
4
2
2
2
MQ
m
m
m
m
m
．
∵
4,0
B
，
0,4
C
，
∴
CMQ
△
的MQ 边上的高与
BMQ
△
的MQ 边上的高之和为4
0
4
，
∴
2
2
1
1
4
2
2
2
4
2
2
MBC
S
MQ
m
m
m
，
由二次函数的性质可知，当
2
m
时，MBC
的面积最大，最大值为4，
此时
2
2
1
1
4
2
2
4
4
2
2
m
m
，
所以MBC
面积的最大值为4，此时点M 的坐标为
2,4 ．
【变式6-3】如图①，已知抛物线
2
3
0
y
ax
bx
a
与x 轴交于
1,0 ,
3,0
A
B
两点，与y 轴交于点C ．
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(1)求该抛物线的表达式；
(2)求点C 坐标和ABC
面积；
(3)若点D 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AD ，交BC 于点E ．设
BED
ACE
S
S
S
△
△
，S 是否存在
最大值？如果存在求出此时点D 的坐标并求出此时S 的最大值，否则请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2)
0,3
C
，6
(3)S 存在最大值，最大值为2，此时
(1,4)
D
【分析】
【详解】（1）解：把
1,0 ,
3,0
A
B
代入
2
3(
0)
y
ax
bx
a
中，得：
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
，
解得
1
2
a
b
，
抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
；
（2）解：令
0
x
，得
3
y
，
∴
0,3
C
，
∴
3
OC
，
∵
1,0 ,
3,0
A
B
4
AB
，
1
1
4 3
6
2
2
ABC
S
AB OC
；
（3）解：S 存在最大值，理由如下，
设
2
,
2
3
D t
t
t
，0
3
t
，
如图所示，
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BED
ACE
ABD
ABC
S
S
S
S
S
1
1
2
2
D
AB y
AB OC
1
2
D
AB
y
OC
2
1
4
2
3
3
2
t
t
2
2
2
1
2
t
t
2
2
1
2
t
，
当
1
t 时，S 取得最大值为2，此时
21
2 1 3
4
y
，
则
1,4
D
．
相似三角形的判定与性质
类型一、灵活证明两个三角形相似
【例1】如图，在
ABC
中，AD
BC
于点D ，BE
AC
于点E ，AD 与BE 交于点O，则图中与
AOE
△
相
似（不含
AOE
△
）的三角形有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【详解】解：∵AD
BC
于点D ，BE
AC
于点E ，
∴
90
BEA
BEC
ADB
ADC
，
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∴
90
AOE
OAE
C
，
∴AOE
ACD
∽
，
∵
AOE
BOD
，
90
AEO
BDO
，
∴AOE
BOD
∽
，
OAE
OBC
，
又∵
90
AEO
BEC
，
∴AOE
BCE
∽
，
∴图中与
AOE
△
相似（不含
AOE
△
）的三角形有3个，
故选：C．
【例2】如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，点F 在CD 上，且
3
CF
FD
．求证：
ABE
EBF
△
∽△
．
【答案】见解析
【详解】证明：法一：设正方形ABCD 的边长为4a．
E
是AD 的中点，
2
AE
DE
a
．
3
CF
DF
，
3
DF
a
CF
a
，
．
四边形ABCD 为正方形，
4
90
AB
BC
a
A
C
D
，
．
在Rt ABE
中，
90
A
，
2
2
2
BE
AB
AE
．
又
4
2
AB
a
AE
a
，
，
2 5
BE
a
．
同理
5
5
EF
a
BF
a
，
．
2 5
2 5
2 5
5
5
5
AB
AE
BE
BE
EF
BF
，
，
．
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AB
AE
BE
BE
EF
BF
．
在ABE
和
BEF
△
中，AB
AE
BE
BE
EF
BF
，
ABE
EBF
∽
．
法二：设正方形ABCD 的边长为4a ．
E
是AD 的中点，
2
AE
DE
a
．
3
CF
DF
，
3
DF
a
CF
a
，
．
四边形ABCD 为正方形，
4
90
AB
BC
a
A
C
D
，
．
在Rt ABE
中，
90
A
，
2
2
2
BE
AB
AE
．
又
4
2
AB
a
AE
a
，
，
2 5
BE
a
．
同理
5
5
EF
a
BF
a
，
．
在
BEF
△
中，
2 5
5
5
BE
a
EF
a
BF
a
，
，
，
2
2
2
BF
BE
EF
．
90
BEF
．
又
2 5
2 5
5
5
AB
AE
BE
EF
，
，
AB
AE
BE
EF
．
在ABE
和
BEF
△
中，
90
AB
AE
A
BEF
BE
EF
，
，
ABE
EBF
．
法三：
3
CF
DF
，
4
DC
DF
．
四边形ABCD 为正方形，
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4
90
AB
AD
CD
DF
A
D
，
．
E
是AD 的中点，
1
2
2
AE
DE
AD
DF
，
2
AB
AE
DE
DF
．
在ABE
和DEF
中，
AB
AE
A
D
DE
DF
，
，
ABE
DEF
△
△
∽
，
BE
AB
ABE
DEF EF
DE
，
．
AB
AE
BE
EF
．
90
ABE
AEB
，
90
AEB
DEF
，
180
90
BEF
AEB
DEF
．
在ABE
和
BEF
△
中，
90
AB
AE
A
BEF
BE
EF
，
，
ABE
EBF
∽
．
【变式1-1】如图，AC
BC
，CD
AB
，DE
BC
，则图中相似三角形有（
）
A．5 对
B．6 对
C．10对
D．20 对
【答案】C
【详解】解：图中有个三角形，分别是：
ABC
、
BDE
、DEC
、
ADC
△
和BDC
；
∵AC
BC
，CD
AB
，DE
BC
，
∴
90
BED
CED
BDC
ADC
ACB
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
= Ð
=
°，
∴AC
DE
∥
，
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∴
ABC
BDE
△
△
∽
；
∵
B
B
，
BED
BDC
，
∴
BDE
BDC
∽
△
△
；
∴
ABC
BDC
∽
△
△
；
∵
A
A
，
ADC
ACB
，
∴
ABC
ADC
△
∽△
；
∵AC
DE
∥
，
∴
CDE
DCA
，
∵
CED
ADC
，
∴
DEC
ADC
∽
△
△
；
综上所述：
ABC
DBE
CDE
ACD
CBD
△
∽△
∽△
∽△
∽△
，
即：
ABC
DBE
∽
△
△
，
ABC
CDE
∽
△
△
，ABC
ACD
∽
，
C
ABC
BD
∽
△
△
，
DBE
CDE
△
∽△
，
DBE
ACD
△
∽△
，
DBE
CBD
△
∽△
，
CDE
ACD
△
∽△
，CDE
CBD
∽
，
ACD
CBD
△
∽△
，
故图中相似三角形有10对；
故选：C．
【变式1-2】如图，量角器放置在长方形纸面中，AB 为其直径，点O为其圆心，点C ，D 在量角器的半弧
上，对应刻度分别为30和60，连接OC
OD
BD
、
、
．
(1)尺规作图：求作线段OA的垂直平分线l ，直线l 与OA交于点E ，与OC 交于点F ．（保留作图痕迹，标
注清楚字母，不写作法）
(2)连接AF ，求证：AFO
BOD
∽
．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【详解】（1）解：如图1，直线l 即为所求；
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（2）证明：如图，连接AF ，
由作图可知AF
OF
，
∴
30
FAO
FOA
，
由图可知
60
AOD
，
∴
1
30
2
OBD
AOD
，
∵OD
OB
，
∴
30
ODB
OBD
，
∴
FAO
OBD
，
FOA
ODB
，
∴AFO
BOD
∽
．
【变式1-3】如图，四边形ABCD中
90
BAD
B
，
75
C
，
2
AD
AB
．
(1)尺规作图：在线段BC 上求作一点E，使得AE
AD
；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接DE ．求证：ADE
DCE
∽
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，点E 即为所求的点，
（2）证明：连接DE ，
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∵AD
AE
，且
2
AD
AB
，
∴
2
AE
AB
，
又∵
90
B
Ð
=
°，在Rt ABE
中sin
AB
AEB
AE
1
2
∴
30
AEB
，
又∵
90
BAD
B
，
∴AD
BC
∥
∴
30
AEB
DAE
又∵AD
AE
∴
1 180
75
2
ADE
AED
DAE
∵AD
BC
∥
，
∴
75
DEC
ADE
又∵
75
C
，
∴
ADE
DEC
，
AED
C
∴ADE
DCE
∽
．
类型二、相似三角形的有关计算与证明
【例3】如图，矩形ABCD 中，
6
AB
，
7
BC
，E 为CD 的中点，连接AC ，BE 交于点O，M 为BC 上一
点，连接AM 交BE 于点N，当
2
BN
NO
时，AM 的长为（
）
A．4 5
B．2 13
C．3 6
D．3 7
【答案】B
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【详解】∵矩形ABCD 中，
6
AB
，
7
BC
，
∴
6
CD
AB
，
7
AD
BC
，
90
BCE
∵E 为CD 的中点
∴
1
3
2
CE
CD
∴
2
2
58
BE
BC
EC
∵AB
CD
∥
∴
ABO
CEO
∽
△
△
∴
6
2
3
BO
AB
OE
CE
∴
2
BO
OE
∵
58
BO
OE
BE
∴
2
2 58
3
3
BO
BE
，
1
58
3
3
EO
BE
当
2
BN
NO
时，
∴
2
4 58
3
9
BN
BO
，
1
2 58
3
9
ON
BO
∴
5 58
9
NE
ON
OE
如图所示，延长AM 交DC 延长线于点F
∵AB
CD
∥
∴ABN
FEN
∽
∴AB
BN
EF
NE
，即
4 58
6
9
5 58
9
EF
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∴
15
2
EF
∴
21
2
DF
DE
EF
，
9
2
CF
EF
EC
∵
90
D
Ð
=
°
∴
2
2
7 13
2
AF
AD
DF
∵AB
CD
∥
∴ABM
FCM
∽
∴AB
AM
CF
MF
，即
6
9
7 13
2
2
AM
AM
∴
2 13
AM
．
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知
识点．
【例4】四边形ABCD 中，AC 为对角线，
DAC
BCA
AD
BC
AD
CD
，
，
．
(1)如图1，求证：四边形ABCD 为矩形．
(2)如图2，点E 、F 分别为AB 、BC 边的中点，连接DE 、DF 分别交AC 于点G 、H ，连接BG ，在不添
加辅助线的情况下，若
4
8
AB
BC
，
则四边形BFHG 面积为________．
【答案】(1)见解析
(2)8
【详解】（1）证明：∵
DAC
BCA
，
∴AD
BC
∥
，
∵AD
BC
，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵CD
AD
，
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∴四边形ABCD 是矩形；
（2）解：∵ABCD 是矩形，
4
8
AB
BC
，
，
∴
4,
8
AB
CD
AD
BC
，AB
CD
∥
，
∵点E 和点F 分别是边AB 、BC 的中点，
∴
2
AE
，
4
CF
，
∵AD
BC
∥
，AB
CD
∥
，
∴
AEG
CDG
∽
△
△
，
CFH
ADH
∽
△
△
，
∴
1
2
AG
AE
CG
CD
，
1
2
CF
FH
AD
DH
，
∴
1
3
AG
AC
，
1
3
FH
DF
，
∴
1
3
ABG
ABC
S
S
，
1
3
CHF
CDF
S
S
，
∵
1
1
·
16
2
2
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
AB BC
矩形
，
1
·
8
2
CDF
S
CF CD
，
∴
16
3
ABG
S
，
8
3
CHF
S
，
∴
8
ABG
CDF
CFH
ABCD
BFHG
S
S
S
S
S
矩形
四边形
．
【变式2-1】如图，一张锐角三角形纸片ABC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，
2
AD
DB
，沿DE 将
ABC
剪成面积相等的两部分，则AE
EC 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】解：如图所示，过点D 作DF
BC
∥
交AC 于点F，
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∵
2
AD
DB
，
∴
2
AD
BD
，
∴
2
3
AD
AB
，
∵DF
BC
∥
，
∴
AFD
ACB
∽
△
△
，
∴
2
3
AF
AD
AC
AB
，
∴
2
4
9
AFD
ACB
S
AD
S
AB
，
∴设
4
AFD
S
s
，
9
ACB
S
s
，
∵沿DE 将
ABC
剪成面积相等的两部分，
∴
9
2
ADE
S
s
，
∴
4
8
9
9
2
AFD
ADE
S
s
AF
S
AE
s
，
∴
8
2
4
9
3
3
AF
AF
AF
AC
AC
AE
AC
AE
AF
AE
，
∴
3
AE
EC
．
故选：C．
【变式2-2】如图，在
ABCD
中，
6
2
AB
AD
BAD
，
，
的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于
点F
DG
AE
．
，垂足为G ．若
1
DG ，则EG 的长度为
．
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【答案】5 3
【详解】解：∵AE 为
DAB
的平分线，
∴
DAE
BAE
，
∵ABCD是平行四边形，
∴DC
AB
，
∴
BAE
DFA
，
∴
DAE
DFA
，
∴
2
AD
FD
，
∴
4
FC
DC
DF
，
在Rt ADG
中，根据勾股定理得：
2
2
3
AG
AD
DG
，
∵AD
FD
，DG
AF
，
3
AG
GF
，
则
2
2 3
AF
AG
，
∵平行四边形ABCD，
∴AD
BC
，
∴
DAF
E
，
ADC
ECF
，
∴ADF
ECF
∽
，
1
2
DF
AF
FC
EF
，
4 3
EF
，
5 3
EG
，
故答案为：5 3 ．
【变式2-3】如图，已知在正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，过C 点作CF
AE
交AE 延长线于点F ，连
接DF ，过点D 作DG
DF
交AF 于点G ，
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(1)求证：ADG
CDF
≌
；
(2)连接BG ．如果E 为CD 的中点，求证：BG
AF
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，DG
DF
，
∴
90
AD
CD
ADE
GDF
，
，
∴
90
ADG
CDF
GDE
，
∵AF
CF
，
∴
90
EFC
ADE
，
∵
AED
CEF
，
∴由三角形内角和定理得：
DAG
DCF
，
在
ADG
△
和CDF
中，
DAG
DCF
AD
DC
ADG
CDF
∴ADG
CDF
≌
．
（2）解：设正方形ABCD 的边长为a，
∵E 为CD 的中点，
∴
1
1
2
2
DE
EC
CD
a
，
在Rt ADE
中，由勾股定理得：
2
2
5
2
AE
AD
DE
a
，
∵
ADE
CFE
AED
FEC
，
，
∴ADE
CFE
∽
，
∴
2
1
2
AD
CF
a
DE
EF
a
，
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∴
2
CF
EF
，
∵
1 ,
90
2
CE
a
EFC
，
∴由勾股定理得：
,
5
5
10
5
EF
a CF
a
，
∵
ADG
CDF
△
△
≌
，
∴
5
5
AG
CF
a
，即AG
AB
DE
AE
，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB
CD
∥
，
∴
BAG
AED
，
∴ABG
EAD
∽
，
∴
BGA
ADE
，
∵
90
ADE
，
∴
90
BGA
，
∴BG
AF
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定、平行线的性质、相似三角
形的性质和判定等知识点，能综合运用性质进行推理是解题的关键．
类型三、相似三角形的实际应用
【例5】如图，OP 和O P
是两个相距20m 且高度都为5.4m的路灯，身高1.8m 的张畅（AB ）晚上在路灯下
沿线段OO来回散步，则他身体前后的两个影子之和DC 的长为（
）
A．6m
B．8m
C．10m
D．12m
【答案】C
【详解】解：由题意，可知AB
OP
∥
，
ABC
OPC
∽
，
AC
AB
OC
OP
，
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1.8m
AB
，
5.4m
OP
，
1.8
1
5.4
3
AC
AB
OC
OP
，
3
OC
AC
，
2
OA
OC
AC
AC
，
同理
2
AO
AD
，
2
2
2
OO
OA
AO
AC
AD
CD
，
20m
OO
，
∴
10m
DC
．
故选：C．
【例6】小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真
可惜！我只能将你最高翘到1 米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘
得更高！”
(1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点O与地面的距离OP 的长度；
(2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，并说明理由．
【答案】(1)
0.5
OP
米；
(2)小李的话不对，见解析
【详解】（1）解：小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1 米高”，情形如图1 所示，
OP 是标准跷跷板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最高高度1 米，BC 是
地面．
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OP
BC
AC
BC
OBP
ABC
，
，
，
OPB
ACB
，
OBP
ABC
∽
，
BO
OP
BA
AC
，
又此跷跷板是标准跷跷板，BO
OA
，
1
2
BO
BA
，而
1
AC 米，
得
0.5
OP
米；
（2）解：小李的话不对．
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a 米
0
a
．如图2 所示，
BD
a
米，AE
a
米
∵BO
OA
，
∴BO
a
OA
a
，即DO
OE
．
∴
1
2
DO
DE
，同理可得
DOP
△
∽
DEF
，
∴DO
OP
DE
EF
，由
0.5
OP
米，得
1
EF 米．
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP 高度的两倍，
所以不可能翘得更高．
【变式3-1】如图1 是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，
水面恰好接触到容器口边缘，如图2 所示，此时液面宽度AB
．
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【答案】9cm
【详解】解：过B 作BC
CD
交于C ，
15cm
BD
，
6cm
BE
，
90
E
BCD
，
AB
CD
∥
，AE
BD
，
ABD
BDC
，
BAE
ABD
，
BAE
BDC
，
BAE
BDC
△
∽△
，
AB
BE
DB
BC
，
6
15
10
AB
，
解得：
9cm
AB
，
故答案为：9cm ．
【变式3-2】在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板
从点A 处射向平面镜，光线从点E 点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B 点处，射向平面镜，使得光
线依旧从点E 射出，若激光笔高度
4.5cm
AG
BD
，
5cm
FG
，
12cm
FH
，
9cm
HD
，已知点C，F，
G，H，D 在同一水平线上，且
,
,
AG BD EC 均与CD 垂直．则EC 的长度为
【答案】13.5cm
【详解】解：由题意，得：
,
,
90
EFC
AFG
EHC
BHD
C
D
AGF
，
∴
,
AGF
ECF
BDH
ECH
∽
∽
，
∴
,
AG
FG BD
DH
CE
CF CE
CH
，
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∵
4.5cm
AG
BD
，
5cm
FG
，
12cm
FH
，
9cm
HD
，
∴4.5
5
4.5
9
9
,
12
CE
CF CE
CF
FH
CF
，
∴5
9
12
CF
CF
，
解得：
15cm
CF
，
∴4.5
5
15
CE
，
∴
13.5cm
CE
；
故答案为：13.5cm ．
【变式3-3】如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2 是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD 相交
于点O，B、D 两点在地面上，经测量得到
136cm
AB
CD
，
51cm
OA
OC
，
34cm
OE
OF
，现将晒衣架
完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．
发现：连接AC．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；
探究：若
32cm
EF
，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?
【答案】发现：AC
EF
∥
，理由见详解；探究：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于120cm 时，
连衣裙才不会拖在地面上
【详解】解：发现：AC
EF
∥
，
理由如下：连接AC ，如下图，
∵立杆AB
CD
、
相交于点O，
∴
AOC
EOF
，
又∵
51
3
34
2
OA
OC
OE
OF
，
121 / 254
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∴
AOC
EOF
△
∽△
，
∴
OAC
OEF
，
∴AC
EF
∥
；
探究：如下图，过点A 作AM
BD
于点M ，过点O作ON
EF
于点N ，
∵
34cm
OE
OF
，
∴OEF
是等腰三角形，
∴
1 (180
)
2
OEF
EOF
，
∵ON
EF
，
32cm
EF
，
∴
1
16cm
2
EN
FN
EF
，
在Rt OEN
中，根据勾股定理可得
2
2
2
2
34
16
30cm
ON
OE
EN
，
∵ON
EF
，AM
BD
，
∴
90
ONE
AMB
，
∵OA
OC
，AB
CD
，
∴OB
OD
，
∴
1 (180
)
2
OBD
BOD
，
∴
OBD
OEF
，
∴ABM
OEN
∽
，
∴OE
ON
AB
AM
，即34
30
136
AM
，
解得
120cm
AM
．
答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾
股定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键．
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类型四、相似三角形与折叠问题
【例7】如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE
交AB 于点F、G，若点M 是BC 边的中点，则FG
cm ．
【答案】5
3 / 2
13
【详解】解：连接DF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
4,
90
AB
BC
CD
DA
A
B
C
CDA
∵点M 为BC 的中点，
∴
1
1
4
2
2
2
BM
CM
BC
，
由折叠得，
2,
4,
ME
CM
DE
DC
90
DEM
C
∴
90
DEF
，
90
FEG
AD
DE
，
∵DF
DF
∴Rt
Rt
DAF
DEF
≌
∴AF
EF
设
,
FE
x
则有
2
2
2
DF
DE
EF
，
∴
2
2
2
4
DF
x
，
又在Rt FMB
中，
2
,
2
FM
x BM
，
∵
2
2
2
FM
FB
BM
，
123 / 254
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∴
2
2
2
2
(2
)
2
FB
FM
BM
x
，
∴
2
2
4
(2
)
2
AF
AB
FB
x
，
∴
2
2
4
2
2
x
x
解得，
1
4
3
x
∴
4
3
FE
∴
4
10
2
3
3
FM
FE
ME
，
∴
2
2
4
8
(2
)
2
3
3
FB
，
∵
90
DEM
，
∴
90
FEG
，
∴
FEG
B
又
GFE
MFB
∴
FEG
FBM
∽
△
△
，
∴FG
FE
FM
FB
即
4
3
10
8
3
3
FG
，
∴
5 ,
3
FG
故答案为：5
3
【例8】如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是AB 的中点，连接CE ，将BCE
沿CE 折叠，点B 的对应点为
点P ，连接AP 并延长交CD 于点F ，则线段AF 与CE 位置关系为
，AP
PF
．
【答案】
AF
CE
∥
2
3
【详解】解：如图，连接BP ，由折叠的性质可得，BE
PE
BP
CE
EBP
EPB
，
，
，
124 / 254
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E
是AB 的中点，
BE
AE
，，
AE
PE
，
EAP
EPA
，
180
EBP
EPB
EAP
EPA
90
APB
EPA
EPB
，
BP
AF
，
BP
CE
，
AF
CE
∥
，
AE
CF
∥
，
四边形AECF 是平行四边形，
1
2
CF
AE
AB
，AF
CE
∥
.
设
2
AB
AD
a
，则DF
a
，
2
2
5
AF
AD
DF
a
，
ABP
BAP
90
90
BAP
FAD
，
，
ABP
FAD
，
90
APB
D
，
ABP
FAD
∽
，
AP
AB
FD
FA
，
即
2
5
AP
a
a
a
，
2 5
5
a
AP
，
5
PF
AF
AP
a
2 5
3 5
5
5
a
a
，
2
3
AP
PF
．
故答案为：AF
CE
∥
；2
3 ；
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【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形
的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.
【变式4-1】如图，在等腰Rt
ABC
△
中，
90
ABC
，边BC 上有一点D ，将ADB
沿线段AD 折叠得ADB
，
线段DB与边AC 交于点E ，若
1
2
CD
BD
，则DE
B E
．
【答案】13
21
【详解】解：如图所示，过点A 作AF
AB
交DB延长线于F，
设
BAD
x
，则
90
BDA
x
∠
，
由折叠的性质可得
90
AB
AB
FDA
BDA
x
B D
BD
，∠
∠
，
，
∵
90
FAD
FAB
BAD
x
∠
∠
∠
，
∴∠
∠
FAD
FDA
，
∴FA
FD
；
设
3
AB
BC
m
，
∵
1
2
CD
BD
，
∴
2
B D
BD
m
，CD
m
；
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设B F
a
，则
2
FA
FD
B F
B D
m
a
，
在Rt
AFB
△
中，由勾股定理得
2
2
2
AF
AB
B F
，
∴
2
2
2
2
3
m
a
m
a
，
解得
5
4
a
m
，
∴
13
2
4
AF
m
a
m
∵AF
AB
BC
AB
⊥
，
⊥
，
∴AF
BC
∥
，
∴
∽
AEF
CED
△
△
，
∴
4
13
13
4
DE
CD
m
EF
AF
m
，
∴
4
13
13
4
17
DE
DF
m
，
∴
13
21
2
17
17
B E
m
m
m
，
∴
13
21
DE
B E
，
故答案为：13
21 ．
【变式4-2】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°，DE 是
ABC
的中位线，P 为BE 上一点，连接AP ，将ABP
沿AP 折叠得到AB P
，点B 的对应点B落在线段DE 上，若
3
6
AB
B D
，则EP 的长为
．
【答案】5 11
11
【详解】解：
DE
是
ABC
的中位线，
2
AB
DE
．DE
AB
∥
，AD
CD
，
∴
90
DEC
B
，
3
6
AB
DB
DE
DB
B E
，
，
2
1
DB
B E
，
．
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如图，过点A 作AM
DE
，交ED 的延长线于点M ．
∴
90
DEC
M
，
又∵AD
CD
，
ADM
CDE
，
∴
AAS
ADM
CDE
≌
，
3
DM
DE
AM
CE
BE
，
，
3
2
5
MB
MD
DB
．
由折叠的性质可知，
90
6
AB P
ABP
AB
AB
，
，
在Rt AMB
中，由勾股定理得
2
2
2
2
6
5
11
AM
AB
MB
．
90
AB P
，
90
AB M
PB E
．
180
90
90
PEB
，
90
B PE
PB E
，
AB M
B PE
，
AMB
B EP
∽
，
AM
MB
B E
EP
，即
11
5
1
EP
，
解得
5 11
11
EP
，
故答案为：5 11
11
．
【变式4-3】如图，在矩形纸片ABCD中，点E 在边AB 上（不含端点），将
ADE
沿DE 折叠，点A 落在
点F 处，
EDF
EBF
．
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(1)求证：
FDC
FCD
．
(2)若
3
5
AE
BE
，求EF
CF 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
2
2
EF
CF
【详解】（1）证明：连接AF ．
由折叠，得
,
AD
FD AE
FE
．
AE
垂直平分AF ．
ABCD
是矩形，
,
90
AD
BC
DAB
ABC
．
2
4
．
1
2
6
，
4
6
,
3
7
AF
BF
．
SAS
ADF
BCF
≌
．
DF
CF
．
FDC
FCD
．
（2）由（1），
5
4
6
，
AEF
AFB
∽
△
△
.
2
AF
AE AB
．
由
3
5
AE
BE
，设
3 ,
5
AE
a BE
a
，
则
2
3
8
AF
a
a
2 6
AF
a
．
6
OA
OF
a
2
2
3
OE
AE
OA
a
.
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又
5
1,
90
EOF
FOD
，
EOF
FOD
∽
．
3
2
2
6
EF
OE
FD
OF
．由（1），得
2
2
EF
CF
类型五、相似三角形与动点问题
【例9】如图1，在正方形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿折线AB
BC
运动到点C 停止，过点E 作EF
AE
交CD 于点F，设点E 的运动路程为cm,
cm
x
DF
y
，则y 与x 对应关系的图象如图2．当点E 运动到BC 的
中点时，EF 的长是（
）
A．4cm
B．3cm
C．2 2cm
D．
5cm
【答案】D
【详解】解：∵在正方形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿折线AB
BC
运动到点C 停止，过点E 作EF
AE
交CD 于点F，
∴DC
BC
AB
，
90
A
D
C
B
，
90
AEF
则当点E 运动在AB 上时，四边形AEFD 为矩形，
∴DF
AE
，
当点E 运动到点B 处时，
4
DF
AB
cm
，
4
a
，
4
BC
cm
，
当点E 运动到BC 中点时，如图，
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∴
1
4
2
2
BE
CE
cm
，
∵
90
C
B
，
90
AEF
∴
90
BAE
AEB
FEC
AEB
∴
BAE
FEC
∴
ABE
ECF
△
△
∽
，
∴CF
CE
BE
AB
，
∴
2
2
4
CF
∴
1
CF
cm
，
∴
2
2
1
2
5
EF
cm
，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判
定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【例10】如图，四边形ABCD 为平行四边形，
4
AB
，
5
BC
，对角线
3
BD
，P 为AD 上一动点，Q 为AB
上一定点，则5
3
PQ
DP
的最小值为（
）
A．12
B．15
C．16
D．18
【答案】B
【详解】解：如图，过P 作PE
CD
，交CD 延长线于E ，过Q 作QF
CD
，交CD 延长线于F ，连接QE ，
则
90
PED
QFD
，
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∵四边形ABCD 为平行四边形，
4
AB
，
5
BC
，
3
BD
，
4
CD
AB
，
2
2
2
3
4
5
，
2
2
2
BD
CD
CB
，
BCD
△
是直角三角形，
90
CDB
，
四边形ABCD 为平行四边形，
,
CD
AB AD
BC
∥
∥
，
C
EDP
，
90
CDB
FDB
DBA
，
90
PED
CDB
，
BCD
△
∽
PDE
△
，
3
5
PE
BD
PD
BC
，
3
5
PE
PD
，
3
5
3
5
5
5
5
5
PQ
DP
PQ
DP
PQ
PE
QE
QF
，
90
CDB
FDB
DBA
QFD
，
四边形BDFQ 是矩形，
3
BD
FQ
，
当P 是FQ 与AD 交点时，
3
5
3
5
5
5
5
15
5
PQ
DP
PQ
DP
PQ
PE
QE
QF
，
故5
3
PQ
DP
的最小值为15，
故选：B．
【变式5-1】如图，在
ABC
中，
90
BAC
，
6
AB
AC
，点D 在边BC 上，
2
CD
BD
，点E 是边AB
上的动点（不与端点
,
A B 重合），点F 是边AC 上的动点（不与端点
,
A C 重合），连接
,
DE DF ，且
45
EDF
，
若BE
x
，
ADF
△
的面积为y ，则y 关于x 的函数图像是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：
90
BAC
，
6
AB
AC
，
45
B
C
，
2
2
6
6
6 2
BC
，
2
CD
BD
，
2 2
BD
，
4 2
CD
，
45
EDF
，
135
BDE
CDF
，
135
BDE
BED
，
BED
CDF
，
BDE
CFD
∽
，
BE
BD
CD
CF
，
2 2
4 2
x
CF
，
16
CF
x
，
16
6
AF
x
，
过点D 作DM
AC
于点M ，
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DM
AB
∥
，
CDM
CBA
△
∽△
，
2
3
DM
CD
AB
BC
，
2
4
3
DM
AB
，
1
16
32
6
4
12
2
y
x
x
，
又当
6
CF 时，即16
6
x
，
8
3
x
，
8
6
3
x
，
y
关于x 的函数的图象是将反比例函数
32
y
x
的图象向上平移12 个单位长度得到的图象的一部分，只有
选项C 符合条件．
故选：C.
【变式5-2】如图，点
0,4
A
，点B 为x 轴上一动点，在Rt
ABC
△
中
90
BAC
，若
8
ABC
S
△
，则线
段OC 最大值为
．
【答案】2 5
2
/ 2
2 5
【详解】解：如图所示，作
CDB
△
使
CDB
BAC
△
△
≌
，作AE
x
∥轴交CD 于点E ，取AE 的中点F ，连接CF 、
OF ，
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∵
CDB
BAC
△
△
≌
，
90
BAC
，
∴
BCD
ABC
，
90
ABC
ACB
，
∴CD
AB
∥
，
90
ACB
BCD
，
即
=90
ACD
，
∵AE
x
∥轴，CD
AB
∥
，
∴
ABO
EAB
AEC
，
又∵
90
AOB
ACD
，
∴AOB
ACE
∽
，
∴AO
AB
AC
AE
，即AO AE
AB AC
，
∵
8
ABC
S
△
，
∴1
8
2 AB AC
，
∴
AB AC
16 ，
∴
16
AO AE
，
又∵
0,4
A
，
∴
4
AO
，
∴
16
4
4
AE
，
∴
1
1
4
2
2
2
CF
AF
AE
，
在Rt
AFO
中，
2
2
2
2
2
4
2 5
OF
AF
OA
，
∵OC
OF
CF
，
∴
2 5
2
OC
，
∴OC 的最大值是2 5
2
．
故答案为：2 5
2
．
【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三
角形的面积，勾股定理，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是将线段的最大值转化为三角形的三边
关系求解．
【变式5-3】如图，正方形ABCD的边长为2，E 是AB 边上一个动点，F 是CD 边上一个动点，且AE
CF
，
过点B 作BG
EF
于点G，连接AG ，则AG 长的最小值是
．
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【答案】
10
2
2
2
【详解】解：连接BD与EF 交于O点，
在正方形ABCD 中，
,
,
45 ,
90
AB
CD
AD
BC AB
CD
ABD
BAD
，
∴
,
BEO
DFO
EBO
FDO
，
∵AE
CF
，
∴BE
DF
，
∴
BEO
DFO ASA
≌
，
∴
,
EO
FO BO
DO
，
即EF 经过O点，O点是正方形中心．
则
2
2
1
1
2
2
2
BO
BD
AB
AD
，
取OB 中点M ，连接
,
MA MG ，
∵BG
EF
，
∴
1
2
MG
OB
，
则
,
MA MG 为定长，
过点M 作MH
AB
于H ．
∵
90 ,
BAD
BHM
HBM
ABD
，
∴HBM
ABD
∽
，
∴
1
4
BH
BM
AB
BD
，
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则
1
1
1
3
,
2
4
2
2
2
MH
BH
AB
AH
，
由勾股定理可得
2
2
10
1
2
,
2
2
2
MA
MH
AH
MG
OB
，
10
2
2
2
AG
AM
MG
，
当
,
,
A M G 三点共线时，AG 最小
10
2
2
2
，
故答案为：
10
2
2
2
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角
形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出
,
AM MG 的值．
类型六、相似三角形与新定义问题
【例11】综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究．
定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．
(1)操作判断
如图1，四边形ABCD 是“损矩形”，
90
B
D
，若
105
A
，则
C
________．
(2)性质探究
在研究图1 的“损矩形” ABCD 时，小明发现：若AB
AD
，则BC
DC
．小明的发现是否正确？请说明理
由．
(3)拓展应用
如图2，“损矩形” ABCD 中，
90
B
D
，
6
AB
，
8
BC ，连接BD，当
BCD
△
是等腰三角形时，请直
接写出“损矩形” ABCD 的面积．
【答案】(1)75
(2)正确
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(3)48 或44 或
11
37 25 ．
【详解】（1）解：∵
90
B
D
，
105
A
，
∴
360
75
C
A
B
D
；
（2）解：结论：小明的发现正确，
证明：连接AC ，如图1，
∵
90
B
D
，
在Rt
ABC
△
与Rt ADC
中，AB
AD
，AC
AC
，
∴
Rt
Rt
HL
ABC
ADC
≌
，
∴BC
CD
，
∴小明的发现正确．
（3）解：连接AC ，在“损矩形” ABCD 中，
90
B
D
，
6
AB
，
8
BC ，
∴
2
2
10
AC
AB
BC
，
分三种情况：①如图1，当
8
CB
CD
时，
同理（2），
Rt
Rt
HL
ABC
ADC
≌
，
∴
1
1
6
8
6
8
24
24
48
2
2
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
△
△
四边形
．
②如图2，当DB
DC
时，过点D 作DM
BC
于点M ，交AC 于点N ，得
4
BM
CM
，
138 / 254
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∵
90
ABC
NMC
，
ACB
NCM
，
∴
ACB
NCM
△
∽△
，
∴
2
AB
BC
AC
NM
MC
NC
∴
3
NM
，
5
NC
AN
，
在Rt ADC
中，
1
5
2
DN
AC
，
∴
5
3
8
DM
DN
NM
在Rt DMC
中，
2
2
4 5
DC
DM
MC
，
在Rt ADC
中，
2
2
2 5
AD
AC
DC
，
∴
1
1
6
8
2 5
4 5
24
20
44
2
2
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
△
△
四边形
．
③如图3，当
8
BC
BD
时，过点B 作BE
DC
于点E ，交AC 于点F ，
∴DE
CE
，
又∵
90
ADC
BEC
，
∴EF
AD
∥
，AF
CF
，
∴
1
CE
CF
DE
AF
，
∴AF
CF
，
∴EF 为
ADC
△
的中位线，
设AD 的长为x ，则
1
1
2
2
EF
AD
x
，连接DF ，则
1
5
2
DF
AC
，
在Rt
DEF
△
中，
2
2
2
2
2
1
5
2
DE
DF
EF
x
，
在Rt
BDE
△
中，
2
2
2
2
2
1
8
5
2
DE
BD
BE
x
，
139 / 254
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∴
2
2
2
2
1
1
5
8
5
2
2
x
x
，
解得
14
5
x
，
∴
24
5
DE
，
48
5
DC
，
∴
1
1
14
48
336
11
6
8
24
37
2
2
5
5
25
25
ABCD
ABC
ADC
S
S
S
△
△
四边形
．
综上所述：“损矩形” ABCD 的面积为48 或44 或
11
37 25 ．
【例12】定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对“等
对角四边形”进行探究：
(1)如图1，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
ACB
CD
为斜边AB 上的中线，过点D 作DE
CD
交AC 于点E ，判断
四边形BCED 是否为“等对角四边形”，并说明理由；
(2)如图2，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
4,
3,
C
AC
BC
CD
平分
ACB
，点E 在边AC 上，若以
,
,
,
B C E D 为
顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段CE 的长．
【答案】(1)四边形BCED 为“等对角四边形”；见解析
(2)3 或3
7
【详解】（1）解：四边形BCED 为“等对角四边形”；理由如下：
CD
是Rt
ABC
△
斜边AB 上的中线，
CD
BD
，
B
BCD
90
BCD
DCE
，
90
B
DCE
，
∵DE
CD
，
∴在Rt CDE
中，
90
DEC
DCE
，
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B
DEC
，
显然
BDE
BCE
，
故四边形BCED 为“等对角四边形”；
（2）解：∵CD 平分
ACB
，
∴
DEC
B
，
①若
B
DEC
，
BCE
BDE
，
如图2，
在CDE
与
CDB
△
中，
DEC
B
DCE
DCB
CD
CD
AAS
CDE
CDB
≌
，
3
EC
BC
；
②若
90
BCE
BDE
，
B
DEC
，如图3，过点D 作
,
DM
BC DN
AC
，垂足为点
,
M N ，
在Rt
ACB
△
中，
90
C
，
4,
3
AC
BC
，
2
2
9
16
5
AB
AC
BC
，
CD
平分
ACB
，
,
DM
BC DN
AC
，
∴DM
DN
，
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∴
1
2
1
2
ADC
BDC
AC DN
S
AD
AC
S
BD
BC
BC DM
△
△
，
4
3
AD
AC
BD
BC
，
4
20
7
7
AD
AB
,
90
A
A
ADE
ACB
，
ADE
ACB
∽
，
AE
AD
AB
AC
，即
20
7
5
4
AE
，
25
7
AE
，
3
4
7
CE
AE
，
综上所述：CE 的长为3 或3
7 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全
等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【变式6-1】定义：如果三角形有两个内角的差为90，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在
四边形ABCD 中，CD
CB
，ABD
BCD
，
5
AB
，
8
BD
，且
ABC
是“准直角三角形”，则
BCD
△
的
面积为
．
【答案】48 或24/24 或48
【详解】解：如图，过点C 作CF
BD
于F，CE
AB
，交AB 的延长线于E，
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设
2
ABD
BCD
，
∵
,
BC
CD CF
BD
，
∴
1
90
,
4
2
CBD
CDB
BF
DF
BD
，
∴
180
2
90
90
CBE
CBD
，
又∵
,
CF
BD CE
AB
，
∴CE
CF
，
又∵BC
BC
，
∴
Rt
Rt
HL
BCE
BCF
≌
，
∴
4
BE
BF
，
∴
9
AE
AB
BE
，
4
5
BE
AB
，
当
90
ABC
ACB
时，
∵
ABC
AEC
BCE
，
∴
BCA
BCE
，
过点B 作BG
AC
于点G，则：BG
BE
，
∵
90 ,
AGB
AEB
CAB
BAG
，
∴ABG
ACE
∽
，
∴
4
5
CE
BG
BE
AC
AB
AB
，
设
5 ,
4
AC
a CE
a
，则
3
9
AE
a
，
∴
3
a
，
∴
12
CE
CF
，
∴
1 12 8
48
2
BCD
S
；
当
90
ABC
BAC
时，
又∵
ABC
AEC
BCE
，
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∴
BAC
BCE
，
又∵
90
E
E
，
∴
BCE
CAE
∽
△
△
，
∴CE
BE
AE
CE
，
∴
6
CE
，
∴
1
6 8
24
2
BCD
S
．
综上所述：
BCD
△
的面积为48 或24，
故答案为：48 或24．
【变式6-2】垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线
的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1 所示，四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，
5
AF
，
2
CE
，则AE ________；AB ________；
(2)如图2，若四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，且AB
BD
，猜想AF 与CD 的关系，并说明理由；
(3)如图3 所示，在
ABC
中，
5
BE
，
2
12
CE
AE
，BE
AC
交AC 于点E ，请画出以BC 为边的垂中
平行四边形，要求：点A 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）．
【答案】(1)1，17 ；
(2)
2
AF
CD
，理由见解析；
(3)见解析
【详解】（1）解：四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，
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AD
BC
∥
，
2
AD
BC
AF
，BF
AC
，
AEF
CEB
∽
，
1
2
AE
EF
AF
CE
BE
BC
，
2
CE
，
1
AE
；
5
AF
，
2
2
2
EF
AF
AE
，
2
4
BE
EF
，
2
2
17
AB
AE
BE
，
故答案为：1，17 ；
（2）解：
2
AF
CD
，理由如下：
四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，
AF
BD
，
2
AD
BC
BF
，AB
CD
，AD
BC
∥
，
AED
FEB
∽
，
2
AE
DE
AD
EF
BE
BF
，
设BE
a
，则
2
DE
a
，
AB
BD
，AB
CD
，
3
CD
AB
BE
DE
a
，
2
2
2 2
AE
AB
BE
a
，
2
EF
a
，
3 2
AF
AE
EF
a
，
3 2
2
3
AF
a
CD
a
，
2
AF
CD
；
（3）解：第一种情况：如图①，过点A 作BC 的平行线AD ，且AD
BC
，连接CD ，则四边形ABCD 为平
行四边形，延长BE 交AD 于点F ，
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AD
BC
∥
，
AEF
CEB
∽
，
AF
AE
BC
CE
，
AD
BC
，
2
CE
AE
，
1
2
AF
AE
BC
CE
，
1
1
2
2
AF
BC
AD
，即点F 为AD 的中点，
四边形ABCD 为所求作“垂中平行四边形”；
第二种情况：如图②，作
ABC
的平分线BH ，且BH
BC
，连接CH 并延长交BE 的延长线于点D ，再射
线BA 上取AF
AB
，连接DF ，则点A 为BF 的中点，
BH
BC
，BH 平分
ABC
，
CBH
BHC
，
CBH
FBH
，
FBH
BHC
，
BF
CD
∥
，
AEB
CED
△
∽△
，
1
2
AB
AE
CD
CE
，
1
2
AB
CD
，
CD
BF
，
四边形BCDF 是平行四边形，
四边形BCDF 为所求作“垂中平行四边形”；
第三种情况：如图①，过点A 作AD
BC
∥
交BE 的延长线于点D ，连接CD ，在DA 的延长线上取AF
AD
，
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连接BF ，则点A 为DF 的中点，
同理可证，
1
2
AD
BC
，则DF
BC
，
四边形BCDF 是平行四边形，
四边形BCDF 为所求作“垂中平行四边形”．
相似三角形的常用模型
类型一、A 字型相似
【例1】如图．在△ABC 中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（
）
A．2 对
B．3 对
C．4 对
D．5 对
【答案】C
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
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∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4 对，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线
与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
【例2】如图，在
ABC
中，
,
D E 分别为
,
AB AC 上的三等分点，若EF
AB
∥
，则
EFC
ABC
S
S
△
△
（
）
A．5
4
B．4
9
C．4
5
D．3
2
【答案】B
【详解】解：
,
D E
分别为
,
AB AC 上的三等分点，
2
3
CE
AC
，
EF
AB
∥
，
EFC
ABC
∽
，
2
4
9
EFC
ABC
S
CE
S
AC
，
故选：B．
【变式1-1】如图，
ABC
中，点E、F 分别在边AB、AC 上，
1
2
．若
4
BC
，
2
AF
，
3
CF ，则
EF
．
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【答案】8
5
【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴EF
AF
BC
AC
，即EF
AF
BC
AF
CF
∵
4
BC
，
2
AF
，
3
CF ，
∴
2
4
2
3
EF
，
∴EF= 8
5 ，
故答案为：8
5 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
【变式1-2】如图，在
ABC
中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ；已知四边形BFED
是平行四边形，DE
1
BC
4
．
（1）若
8
AB
，求线段AD 的长
．
（2）若
ADE
的面积为1，则平行四边形BFED 的面积为
．
【答案】
2
6
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【详解】解：（1）四边形BFED 是平行四边形，
∥
DE
BF ，
DE
BC
∥
，
ADE
ABC
△
△
∽
，
1
4
AD
DE
AB
BC
，
8
AB
，
1
8
4
AD
，
2
AD
．
故答案为：2；
（2）由（1）知，
ADE
ABC
△
△
∽
，
2
AD
，
8
AB
，
2
2
1
1
4
16
ADE
ABC
S
DE
S
BC
，
6
BD
，
ADE
的面积为1，
ABC
的面积是16，
四边形BFED 是平行四边形，
EF
AB
∥
，
6
EF
BD
，
EFC
ABC
∽
，
2
9
16
EFC
ABC
S
EF
S
AB
，
EFC
的面积
9
，
平行四边形BFED 的面积
16
9 1
6
．
故答案为：6．
【变式1-3】如图，BD ，CE 分别是AC 与AB 边上的高．
求证：
ADE
ABC
△
△
∽
．
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【答案】见解析
【详解】解：证明：
BD
，CE 分别是AC 与AB 边上的高，
90
ADB
AEC
，
A
A
，
ADB
AEC
∽
，
AE
AC
AD
AB
，
即AE
AD
AC
AB
，
A
A
，
ADE
ABC
△
△
∽
．
类型二、8 字型相似
【例3】如图，AD
BC
、
相交于点O，由下列条件不能判定
AOB
与
DOC
△
相似的是（
）
A．AB
CD
∥
B．OA
AB
OD
CD
C．OA
OB
OD
OC
D．
A
D
【答案】B
【详解】解：由图可知：
AOB
COD
，
若AB
CD
∥
，则
B
C
，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定
AOB
与
DOC
△
相似，故A 不符合题意；
若OA
OB
OD
OC
，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可
判定
AOB
与
DOC
△
相似，故C 不符合题意；
若
A
D
，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定
AOB
与
DOC
△
相似，
故D 不符合题意；
若OA
AB
OD
CD
，不能判定
AOB
与
DOC
△
相似，故B 符合题意；
故选：B．
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【例4】如图，直线1
2
l
l
∥
，直线1l ，2l 分别交直线m ，n 于点A ，C ，B ，D ，直线m ，n 交于点E ．若
3
AE
，
2
CE
，
4
BE
，则ED 的长为（
）
A．8
3
B．20
3
C．3
8
D．35
8
【答案】A
【详解】解：
1
2
l
l
∥
ABE
CDE
，
BAE
DCE
ABE
CDE
△
∽△
AE
BE
CE
DE
3
AE
，
2
CE
，
4
BE
4 2
8
3
3
BE CE
DE
AE
故选：A．
【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，
2
AE
ED
，连接BE 交AC 于点G，延长BE
交CD 的延长线于点F，则BG
GF 的值为（
）
A．2
3
B．
1
2
C．1
3
D．3
4
【答案】A
【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
AB
CD
∥
，
ABG
CFG
∽
，
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∴BG
GF
AB
CF
ABE
DFE
∽
，
∴AE
DE
AB
DF
，
2
AE
ED
，
2
AB
DF
，
∴AB
CF 2
3 ，
∴BG
GF 2
3 ．
故选：A．
【变式2-2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是线段AB 上一点，连结AC
DE
、
交于点F．若
2
3
AE
EB
，则
ADF
AEF
S
S
△
△
．
【答案】5
2
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴
,
AB
CD AB
CD
，
∴
,
AEF
CDF
EAF
DCF
，
∴EAF
DCF
∽
，
∴DF
CD
AB
EF
AE
AE
,
∵
2
3
AE
EB
，
∴
5
2
AB
AE
，
∴
5
2
ADF
AEF
S
DF
AB
S
EF
AE
△
△
．
故答案为：5
2
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明EAF
DCF
∽
是解题的关
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键．
【变式2-3】如图①，一张正三角形纸片ABC ，
32cm
AB
，点D 在边AB 上，
10cm
AD
，点E 是边BC 上
的一点．如图②，将
BDE
沿DE 翻折得△B DE
，B DE
与
ABC
的边AC 相交于点M 和点N．若
16cm
AM
，
8cm
B M
，则CN 的长度为
cm．
【答案】9
【详解】解：
ABC
是等边三角形，
32cm
AB
AC
，
60
A
B
，
10cm
AD
，
22(cm)
BD
AB
AD
，
由折叠得：
22cm
BD
B D
，
60
B
B
，
A
B
，
8cm
B M
，
22
8
14(cm)
DM
B D
B M
，
AMD
B MN
，
AMD
B MN
∽
，
AM
DM
B M
MN
16
14
8
MN
，
7
MN
，
32
16
7
9
CN
AC
AM
MN
，
故答案为：9．
类型三、三角形内解矩形
【例5】如图，已知三角形铁皮ABC 的边
cm
BC
a
，BC 边上的高
cm
AM
h
，要剪出一个正方形铁片DEFG ，
使D 、E 在BC 上，G 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形DEFG 的边长
．
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【答案】ah
a
h
【详解】解：如图，设高AM 交GF 于H 点，
∵四边形DEFG 为正方形，
∴GF∥DE，即：GF∥BC，
∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴GF
AH
BC
AM
，
设正方形的边长为x ，
∴x
h
x
a
h
-
=
，
解得：
ah
x
a
h
，
故答案为：ah
a
h
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．
【例6】如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件
PQMN，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB、AC 上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩
形的长、宽各是多少？
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【答案】矩形的长为480
7 mm，宽是240
7 mm．
【详解】解：∵PQMN 是矩形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
设边PN 为xmm，则PQ 为2xmm，
PQ
AP
BC
AB
即2
120
x
AP
AB
∵AD 是高，
∴PN∥AD，
∴△PBN∽△ABD，
∴PN
BP
AD
AB
即80
x
BP
AB
，，
∵AP+BP＝AB，
∴
2
80
120
x
x
BP
AP
AB
AB
＝1，
解得x＝240
7 ，2x＝480
7 ．
即长为480
7 mm，宽为240
7 mm．
答：矩形的长为480
7 mm，宽是240
7 mm．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定，证
明三角形相似，列出比例式求解．
【变式3-1】如图，在
ABC
中，
12
BC
，高
6
AD
，正方形EFGH 一边在BC 上，点
,
E F 分别在
,
AB AC
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上，AD 交EF 于点N ，求AN 的长．
【答案】2
【详解】解：设正方形EFGH 的边长EF
EH
x
，
四边形EFGH 是正方形，
90 ,
HEF
EHG
EF
BC
，
AEF
ABC
∽
，
AD
是
ABC
的高，
90
HDN
，
四边形EHDN 是矩形，
DN
EH
x
，
AEF
ABC
∽
，
AN
EF
AD
BC
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
12,
6
BC
AD
，
6
AN
x
，
6
6
12
x
x
，
解得：
4
x
，
6
6
4
2
AN
x
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定
和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比．
【变式3-2】如图，
ABC
是一块锐角三角形余料，边
120mm
BC
，高
80mm
AD
，要把它加工成矩形零件
PQMN ，使－边在BC 上，其余两个顶点分别在AB
AC
，
上．
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(1)当点P 恰好为AB 的中点时，PQ ___________．
(2)当
40mm
PQ
时，求出PN 的长度；
(3)若
:
1: 2
PN PQ
，则这个矩形的长、宽各是多少？
【答案】(1)40mm
(2)60mm
(3)矩形的长60mm ，宽为30mm
【详解】（1）解：∵四边形PNMQ为矩形，
PQ
BC
，又AD
BC
,
PQ
AD
∥
BPQ
BAD
∽
，
∴PQ
BP
AD
AB
，
∵点P 恰好为AB 中点，
∴
1
2
AP
BP
AB
，
80
AD
mm
，
1
1 80
40(mm);
2
2
PQ
AD
故答案为：40mm ；
（2）∵四边形PNMQ为矩形，
,
,
PN
BC PQ
ED
,
APN
ABC
△
∽△
,
AE
PN
AD
BC
,
AD
PQ
PN
AD
BC
80
40
,
80
120
PN
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60(mm);
PN
（3）
:
1: 2,
PN PQ
故设
2 mm
PQ
x
，则长为
mm
PN
x
，
由题意知
80mm,
120mm,
AD
BC
∵四边形PNMQ为矩形，
,
PN
BC
∥
,
APN
ABC
△
∽△
,
AE
PN
AD
BC
,
AD
PQ
PN
AD
BC
80
2
,
80
120
x
x
30(mm);
x
故2
60
x
．
答：矩形的长60mm ，宽为30mm．
类型四、一线三角模型
【例7】如图，在等边三角形
ABC
中，点D ，E 分别是边AC ，BC 上的点．将
ABC
沿DE 翻折，点C 正
好落在线段AB 上的点F 处，使得
:
1: 2
AF BF
．若
2
BE
，则CE 的长度为（
）
A．14
5
B．12
5
C．16
5
D．18
5
【答案】A
【详解】解：∵ABC
是等边三角形，
∴
A
＝
B
＝
ACB
＝60°，
∵沿DE 折叠C 落在AB 边上的点F 上，
∴
CDE
FDE
≌
，
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∴
DFE
＝
ACB
＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2，
设AF=m，BF=2m，AB=3m，
设AD ＝x，CD ＝DF＝3
x
m
，
∵BE=2，BC＝3m ，
∴CE＝3
2
m ，
∵
B
＝60，
DFE
＝60°，
∴
EFB
FEB
＝120°，
DFA
EFB
＝120°，
∴
DFA
＝
FEB
，
∵
A
＝
B
，
∴
DAF
FBE
∽
，
∴AD
AF
DF
FB
BE
EF
，
即x
3
x
2
2
3
2
m
m
m
m
，
2
2
3
2
6
2
x
m
m
m
m
x
，
2
2
3
2
6
2
m
m
m
m
解得：m
5
8
，使等式有意义，
∴CE ＝
24
14
3
2=
2
5
5
m
，
故选择：A．
【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行
推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
【例8】如图，将边长为3 的正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 落在边AD 上（点M 不与
点A，D 重合），点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P，折痕分别与边AB，CD 交于点E，F，连接BM．
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(1)求证：
AMB
BMP
；
(2)若
1
DP ，求MD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
12
5
MD
【详解】（1）证明：由折叠的性质可知：
MBC
BMP
，
∵四边形ABCD 是正方形，∴AD
BC
∥
，
∴
MBC
AMB
，
∴
AMB
BMP
；
（2）解：设MD
x
，AE
y
，则
3
AM
x
，设
3
EM
EB
y
．
在Rt
AEM
△
中，
2
2
2
AE
AM
EM
，
∴
2
2
2
(3
)
(3
)
y
x
y
，
∴
2
1
6
y
x
x
，即
2
1
6
AE
x
x
．
∵
90
ABC
EMN
，∴
90
AME
DMP
，
∵
90
AEM
AME
，
∴
AEM
DMP
，又∵
90
A
D
，
∴AEM
DMP
∽△
，
∴DP
DM
AM
AE
，即
2
1
1
3
6
x
x
x
x
，
整理得
2
5
2
6 x
x
，∴
12
5
x
或
0
x
（舍去）．
∴
12
5
MD
．
【变式4-1】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，AB
AC
，点D，E 分别是BC ，AC 上的点，且
3
45
，
求证：
ABD
DCE
∽
△
△
.
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【答案】见解析
【详解】证明：∵
90
BAC
，AB
AC
，
∴
45
B
C
∠
，
∵
ADC
是
ABD
△
的一个外角，
∴
2
3
1
B
，
又∵
3
45
，
45
B
，
∴
1
2
，
在
ABD
△
和
DCE
△
中，
1
2
B
C
，
∴
ABD
DCE
∽
△
△
【变式4-2】如图，在
ABC
中，AB
AC
，点
,
D E 分别在边
,
BC AC 上，
ADE
ABC
∠
∠
．
(1)求证：
ABD
DCE
∽
△
△
；
(2)如果
8
AB
，
6
BC
，
7
AE
，求DC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2 或4
【详解】（1）证明：在
ABC
中，
AB
AC
，
B
C
，
ADC
ABC
BAD
ADE
CDE
，
ADE
ABC
∠
∠
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BAD
CDE
，
ABD
DCE
△
∽△
．
（2）解：∵
8
AC
AB
，
7
AE
，
∴
1
CE
AC
AE
，
∵
ABD
DCE
∽
△
△
，
∴CD
CE
AB
BD
，
∴CD
CE
AB
BC
CD
，即
1
8
6
CD
CD
，
解得：
2
CD
或
4
CD
，
∴DC 的长为2 或4．
【变式4-3】如图，AB
BC
，DC
BC
，E 是BC 上一点，使得AE
DE
；
(1)求证：
ABE
ECD
∽
△
△
；
(2)若
4
AB
，
5
AE
BC
，求CD 的长；
(3)当
AED
ECD
∽
时，请写出线段AD
AB
CD
、
、
之间数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
2
CD
(3)线段AD
AB
CD
、
、
之间数量关系：AD
AB
CD
，理由见解析．
【详解】（1）证明：
AB
BC
，DC
BC
，
90
B
C
，
90
BAE
AEB
，
AE
DE
，
90
AED
，
90
AEB
DEC
，
DEC
BAE
，
ABE
ECD
∽
．
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（2）解：Rt
ABE
△
中，
4
AB
，
5
AE ，
3
BE
，
5
BC
，
5
3
2
EC
，
由（1）得：
ABE
ECD
∽
△
△
，
AB
BE
EC
CD
，
4
3
2
CD
，
3
2
CD
．
（3）解：线段AD
AB
CD
、
、
之间数量关系：AD
AB
CD
，
理由是：如图，过E 作EF
AD
于F ，
AED
ECD
△
∽△
，
EAD
DEC
，
AED
C
，
ADE
EDC
，
DC
BC
，
EF
EC
，
DE
DE
，
Rt
Rt
DFE
DCE HL
≌
，
DF
DC
，
同理可得：
≌
ABE
AFE ，
AF
AB
，
AD
AF
DF
AB
CD
．
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类型五、母子型相似
【例9】如图，正方形ABCD的边长为2，BE 平分
DBC
交DC 于E，F 是BC 延长线上一点，且CF
CE
，
BE 延长线交DF 于G，则BG EG
的值是
．
【答案】4
2 2
【详解】
2
BC
，四边形ABCD是正方形,
2 2
BD
，
又∵BE 平分
DBC
交DF 于G ,
,
BG
DF
BD
BF
，DG
FG
,
2 2
2
CF
，
在
BGF
和
DGE
中,
,
90
GBF
GDE
BGF
DGE
，
,
BGF
DGE
∽
BG
GF
DG
GE
，
,
BG
DG
DG
GE
即
2
GE GB
GD
，
2
2
2
2
,
DC
FC
DG
即
2
2
2
2
2 2
2
4DG
,
2
4
2 2,
DG
即
4
2 2
GE GB
，
故答案为：4
2 2
．
【例10】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
30
A
，CD 是边AB 上的高且为2，
(1)求证：
ACD
CBD
△
∽△
；
(2)求AB 的长．
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【答案】(1)见解析
(2) 8
3
3
【详解】（1）证明：由题意得，CD
AB
，而
90
ACB
，
∴
90
CDB
ACB
ADC
，
∴
90
A
ACD
ACD
DCB
，
∴
A
DCB
，
∴
ACD
CBD
△
∽△
；
（2）解：∵
30
A
，CD
AB
，
∴
2
4
AC
CD
，
∵
90
ACB
，
∴
4
8 3
cos
3
3
2
AC
AB
A
．
【变式5-1】如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
ACB
CD
AB
于D ，求证：
2
AC
AD AB
．
【答案】见解析
【详解】证明：∵CD
AB
于D，
90
ACB
∴
90
ADC
ACB
，
∵
A
A
，
∴
ACD
ABC
△
∽△
，
∴AC
AD
AB
AC
，
∴
2
AC
AD AB
．
【变式5-2】如图，在边长为6 的等边ABC
中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，
若
2
BD
CE
，则
APE
＝
°；则ABP
的周长为
．
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【答案】
120
42
18 7
7
【详解】解：
ABC
是等边三角形，
AB
BC
，
60
ABD
C
，
在
ABD
△
和BCE
中，
AB
BC
ABD
C
BD
CE
ABD
BCE SAS
≌
，
BAD
CBE
，
60
APE
ABP
BAD
ABP
CBE
ABD
，
120
APB
，
在CB 上取一点F 使
2
CF
CE
，则
4
BF
BC
CF
，
60
C
，
CEF
是等边三角形，
120
BFE
，
即
APB
BFE
，
APB
BFE
∽
，
4
2
2
AP
BF
BP
EF
，
设BP
x
，则
2
AP
x
，
作BH
AD
延长线于H ，
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60
BPD
APE
，
30
PBH
，
2
x
PH
，
3
2
BH
x
，
5
2
2
2
x
AH
AP
PH
x
x
，
在Rt ABH
中，
2
2
2
AH
BH
AB
，
即
2
2
2
5
3
(
)
(
)
6
2
2
x
x
，
解得
6 7
7
x
或
6 7
7
（舍去），
12 7
7
AP
，
6 7
7
BP
，
ABP
的周长为
12 7
6 7
18 7
42
18 7
6
6
7
7
7
7
AB
AP
BP
，
故答案为：120 ，42
18 7
7
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等
知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
【变式5-3】如图，ABC
和AGF
是等腰直角三角形，
90
BAC
G
，AGF
的边AF ，AG 交边BC
于点D ，E ．若
4
AD
，
3
AE
，则BE
DC 的值是
．
【答案】9
16
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【详解】解：∵
ABC
和AGF
是等腰直角三角形，
90
BAC
G
，
∴
45
B
F
FAG
，AB
AC
，
∵
AEB
AED
，
∴
AED
BEA
∽
，
∴AD
AE
DE
AB
BE
AE
，
∵
4
AD
，
3
AE
，
∴
3
4
BE
AB
，
设
3
BE
x
，则
4
AB
x
AC
，
同理可得，
ADE
CDA
∽
△
△
，
∴AD
AE
DE
CD
AC
AD
，
∴
3
4
AC
AE
CD
AD
，
∴BE
AC
AB
CD
，
∴3
4
4
x
x
x
CD
，
∴
16
3
CD
x
，
∴
3
9
16
16
3
BE
x
CD
x
，
故答案为：
9
16 ．
类型六、手拉手相似
【例11】如图，等边
ABC
的边长为6，点D 在AB 上，
2
BD
，连接CD ，将CD 绕点C 按顺时针方向旋转
60得到CE ，连接DE 交AC 于点G ，则点G 到CD 的距离为（
）
A．3 13
8
B．2
14
3
C．2 21
3
D．3
21
13
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【答案】C
【详解】解：如图，过D 作DM
BC
于M ，
90
DMB
DMC
，
ABC
是等边三角形，
60
B
，
2
BD
，
1
1
2
BM
BD
，
3
3
2
DM
BD
，
6
1
5
CM
BC
MB
，
2
2
2 7
CD
CM
DM
，
将CD 绕点C 按顺时针方向旋转60得到CE ，
CD
CE
，
60
DCE
，
CDE
是等边三角形，
2 7
DE
CD
CE
，
60
DCE
，
BCD
ECG
，
60
B
E
，
BCD
ECG
∽
，
BC
BD
CE
EG
，
6
2
2 7
EG
，
2 7
3
EG
，
4 7
3
DG
DE
EG
，
过G 作GH
CD
于H ，
3
2 21
2
3
GH
DG
，
故选：C．
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【例12】如图1，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
8,
6,
ABC
AB
BC
D
是AB 上一点，且
2
AD
，过点D 作DE
BC
∥
交AC 于E ，将
ADE
绕A 点顺时针旋转到图2 的位置．则图2 中BD
CE 的值为（）
A．3
5
B．4
5
C．4
3
D．3
4
【答案】B
【详解】
解：∵
90 ,
8,
6
ABC
AB
BC
，
∴
2
2
2
2
8
6
10
AC
AB
BC
．
∵DE
BC
∥
，
∴
ADE
ABC
△
△
∽
，
∴AD
AE
AB
AC
．
∵将
ADE
绕A 点顺时针旋转到图2 的位置，
∴
EAD
DAC
BAC
DAC
，
DAB
EAC
，
∴
ADB
AEC
△
∽△
，
∴
8
4
10
5
BD
AB
EC
AC
．
故选：B．
【变式6-1】如图，在
ABC
中，
90
BAC
，
3 2
AB
AC
，点D 为平面内一点，
1
AD ，连接DC ，
将线段DC 绕点D 顺时针旋转90得到DE ，连接BE ，若BE
AC
∥
，则DC 的长为
．
【答案】5 或13 / 13 或5
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【详解】解：∵
90
90
BAC
AB
AC
EDC
DE
DC
，
，
，
，
∴
4
2
5
2AC
DC
BC
EC
ACB
DCE
，
，
，
∴
ECB
DCA
，
∴
BCE
ACD
∽
△
△
，
∴
BEC
ADC
EBC
DAC
，
，
设直线AD 交BC 于点F．
当点D 在
ABC
外部时，如图1．
∵BE
AC
∥
，
∴
ACE
BEC
，
∴
ACE
ADC
，
∴
45
CAF
DCE
，
∴
90
AFC
，
∴
3
2
2
A
F
C
F
C
A
．
∵
1
AD ，
∴
4
DF
，
∴
2
2
2
2
3
4
5
DC
CF
DF
．
当点D 在
ABC
内部时，如图2．
∵BE
AC
∥
，
∴
45
EBC
ACB
，
∴
45
DAC
EBC
，
∴
90
AFC
，
∴
3
AF
CF
，
∴
2
DF
，
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∴
2
2
2
2
3
2
13
D
CF
DF
C
．
综上所述，DC 的长为5 或13 ．
故答案为：5 或13 ．
【变式6-2】（1）【观察发现】如图（1），在ABC
，点D 是边BC 的中点，延长BA 到点E，使AE
AB
，
连接CE ，可得AD 与CE 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）【探究迁移】如图（2），在ABC
中，AB
AC
，
90
BAC
，点E 为平面内一点，将线段EB 绕点
E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接BF ，CF ，点D 为CF 的中点，连接DE 、AE ，试判断DE 和AE 的
数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若
5
AB
AC
，
2
EB
，当EF
AC
∥
时，请直接写出DE 的长．
【答案】（1）
1
2
AD
CE
，AD
CE
；（2）
2
AE
DE
，理由见解析；（3）3 2
2
或7 2
2
．
【详解】（1）解：∵AE
AB
，DB
DC
，
∴
1
2
AD
CE
，AD
CE
；
（2）结论：
2
AE
DE
，
理由∶如图2-1，延长FE 至点G ，使EG
FE
，连接BC 、CG ，
∵点D 为CF 的中点，
∴
2
CG
DE
由题意∶
90
BEF
，
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∴BG
BF
，
FBE
GBE
由旋转知BE
EF
∴
45
BFE
FBE
BGF
，
∴
45
FBE
GBE
，
2
GB
BF
BE
∴
EBA
GBC
∵AB
AC
，
90
BAC
，
∴
2
BC
BA
，即：
2
BC
GB
BA
EB
，
∴BCG
BAE
∽
，
∴
2
CG
GB
AE
EB
，
∴
2
2
CG
AE
DE
∴
2
AE
DE
（3）当EF
AC
∥
时，
∵
90
ABC
，即：AB
AC
，
∴AB
EF
，
又∵
90
BEF
，
∴点E 在直线AB ，
当点E 在线段AB 上时，如图2-2，
∵
45
ABC
GBE
，
∴点G 在直线BC ，
∵
5
AB
AC
，
2
EB
，
90
BAC
BEG
，
∴
5 2
cos
AB
BC
ABC
，
2 2
cos
BE
BG
ABC
，
∴
3 2
GC
BC
BG
，
∴
1
3
2
2
2
DE
CG
；
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当点E 在线段AB 延长线上时，如图2-2，
同理可证：点E 在直线AB ，点G 在直线BC ，
5 2
BC
，
2 2
BG
，
∴
7 2
GC
BC
BG
，
∴
1
7
2
2
2
DE
CG
；
综上所述：DE 的长为3 2
2
或7 2
2
．
类型七、作辅助线构造A 字或8 字型相似
【例13】如图，将正方形ABCD沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 落在边AD 上，点C 落在点N 处，MN
与CD 交于点P ，折痕分别与边AB ，CD 交于点E ，F ，连接BM ．若
1
2
DP
CP ＝
，则AE
BE 的值是
．
【答案】12
13
【详解】解：如图，延长
,
MN BC 交于点Q ．
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∵AD
BC
∥
，
∴
DMP
CQP
△
∽△
．
∴
1
2
MD
MP
DP
QC
QP
CP
，
∴
2
QC
MD
，
2
QP
MP
，
设DP
a
，MD
x
，则
2
CP
a
，
2
QC
x
，正方形ABCD 边长为3a ，
∴
3
2
BQ
a
x
．
由翻折和正方形的性质可得，
90
3
EMP
EBC
EM
EB
a
AE
，
．
∴
EMB
EBM
．
∴
EMP
EMB
EBC
EBM
，即
BMP
MBC
，
∴
3
2
MQ
BQ
a
x
．
∴
1
3
2
3
3
a
x
MP
MQ
．
在Rt
DMP
△
中，
2
2
2
MD
DP
MP
，
∴
2
2
2
3
2
3
a
x
x
a
a
．
解得：
1
0
x
（舍），
2
12
5
x
a
．
∴
12
3
3
5
5
AM
a
a
a
．
在Rt
AEM
△
中，
2
2
2
AE
AM
EM
，
∴
2
2
2
(
(
3
5
)
)
3
A
a
E
a
AE
解得：
36
25
AE
a
，
∴
36
39
3
25
25
BE
EM
a
a
a
，
∴
36
12
25
39
13
25
A
a
a
E
BE
，
故答案为12
13 ．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股
定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
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【例14】如图，已知F 是
ABC
内的一点，FD
BC
∥
，FE
AB
∥
，若
BDFE
的面积为2，
1
3
BD
BA
，
1
4
BE
BC
，
则
ABC
的面积是
．
【答案】12
【详解】解：如图所示DE ，CD ，
∵
=2
BDFE
S四边形
，
∴
1
=
=1
2
BDE
BDFE
S
S
四边形
.
∵
1
4
BE
BC
，
∴
=4
=4
BCD
BDE
S
S
．
∵
1
3
BD
BA
，
∴
=3
=12
ABC
BCD
S
S
．
故答案为：12．
【变式7-1】如图，已知
ABC
和
CEF
△
是等腰直角三角形，其中
90
ABC
CEF
，且E 是中线AD 的
中点，连接BF ，若
4
AB
，则线段BF 的长为（
）
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A．
2
2
B．2
C．2
D．3 2
2
【答案】C
【详解】如图所示，延长CE 到点G，使CE
GE
，连接AG
∵
ABC
是等腰直角三角形，
90
ABC
∴
4
AB
BC
∵E 是中线AD 的中点
∴
1
2
2
BD
CD
BC
，AE
DE
∵CE
GE
，
AEG
DEC
∴
SAS
AEG
DEC
≌
∴
2
AG
CD
∵
ABC
和
CEF
△
是等腰直角三角形，
∴
45
ACB
ECF
，
2
AC
BC
，
2
FC
EC
∴
ACG
BCF
∵CE
GE
∴
2
1
2
FC
GC
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∴
2
GC
AC
FC
BC
∴ACG
BCF
∽
∴
2
AG
AC
BF
BC
，即2
2
BF
∴
2
BF
．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键
是正确作出辅助线．
【变式7-2】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
6
AC
BC
，D 是AB 上一点，点E 在BC 上，连接CD ，
AE 交于点F ，若
45
CFE
，
2
BD
AD
，则CE
．
【答案】2
【详解】解：如图：过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG
AE
∥
交BC 于G 点，
在DG
AE
∥
中，
6
AC
BC
，
2
2
6 2
AB
AC
BC
，
又
2
BD
AD
，
2 2
AD
，
在等腰直角三角形AHD 中，
2
AH
DH
，
6
2
4
CH
，
在Rt CHD
中，
2
2
2 5
CD
CH
DH
，
DG
AE
∥
，
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45
CFE
CDG
，
45
B
，
CDG
B
，
又
DCG
BCD
，
CDG
CBD
∽
，
CD
CG
CB
CD
，
2
CD
CG CB
，
即20
6CG
，
10
3
CG
，
10
8
6
3
3
BG
BC
CG
，
又
DG
AE
∥
，
BDG
BAE
∽
，
又
2
BD
AD
，
2
3
BD
BG
BA
BE
，
又
8
3
BG
，
3
4
2
BE
BG
，
6
4
2
CE
，
故答案为：2．
【变式7-3】如图，在菱形ABCD 中，点E，F，G，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 上的点，且BE
BF
CG
AH
，
若菱形的面积等于24，
8
BD
，则EF
GH
．
【答案】6
【详解】解：连接AC ，交BD 于点O，如图所示：
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∵四边形ABCD 是菱形，
8
BD
，
∴AB
BC
AD
CD
，AC
BD
，
1
2
AO
OC
AC
，
1
4
2
BO
OD
BD
，
∵
1
24
2
ABCD
S
AC BD
菱形
，
∴
6
AC
，
∴
3
AO
，
∴
2
2
5
AB
AO
BO
AD
，
∵BE
BF
CG
AH
，
∴AE
CF
DH
DG
，
∴BE
BF
AE
CF
，
∴EF
AC
∥
，
同理可得GH
AC
∥
，
设BE
BF
CG
AH
a
，则有
5
DH
a
，
∵EF
AC
∥
，
∴
BEF
BAC
∽
△
△
，
∴BE
EF
BA
AC
，即5
6
a
EF
，
∴
6
5
EF
a
，
同理可得DH
GH
DA
CA
，即5
5
6
a
GH
，
∴
6
6
5
GH
a
，
∴
6
EF
GH
；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质
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与判定是解题的关键．
相似三角形与动点
类型一、相似三角形与运动时间
【例1】如图，在
ABC
中，
6cm
AB
，
12cm
AC
，动点D 以1cm / s 的速度从点A 出发沿AB 方向向点B
运动．动点E 以2cm / s 的速度从点C 出发沿CA 方向向点A 运动．两点同时开始运动，当点D 运动到点B 的
位置后，两点均停止运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与
ABC
相似时，运动的时间是（
）
A．4.5s 或4.8s
B．3s 或4.5s
C．4.5s
D．3s 或4.8s
【答案】D
【详解】解：设运动时间为st ，
由题意得，
cm
2 cm
AD
t
CE
t
，
，
∴
12
2
cm
AE
AC
CE
t
，
∵
A
A
，
∴只存在
ADE
ABC
△
△
∽
和ADE
ACB
∽
这两种情况，
当
ADE
ABC
△
△
∽
，则AD
AE
AB
AC
，
∴
12
2
6
12
t
t
，
解得
3
t
；
当ADE
ACB
∽
，则AD
AE
AC
AB
，
∴
12
2
12
6
t
t
，
解得
4.8
t
；
综上所述，
3
t
或
4.8
t
，
故选：D．
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【例2】如图，Rt
ABC
△
中，
90 ,
8cm,
6cm
ACB
AC
BC
，动点M 从点C 出发，在CA 边上以每秒1cm
的速度向点A 匀速运动，同时动点P 从点A 出发，在AB 边上以每秒2cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间
为t 秒(0
5)
t
，连接PM ．
(1)是否存在某一时刻t ，使AMP 的面积是
ABC
面积的3
10 ？若存在求出相应的t 值，若不存在，请说明理
由．
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使AMP 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)存在
2
t
．理由见解析
(2)存在
8
3
t
或
40
21
t
或
32
9
t
时，使AMP 是等腰三角形．理由见解析
【详解】（1）解：过P 作PH
AC
，
因
90
ACB
，则PH
BC
∥
．
∴
APH
ABC
△
∽△
，
∴PH
PA
BC
AB
=
，又
2
2
2
2
6,
2 ,
8
6
10
BC
PA
t AB
AC
BC
=
=
=
+
=
+
=
，
∴
2
6
6
10
5
t
PH
t
=
´
=
．
∴
1
1
6
3
8
8
2
2
5
5
AMP
S
MA PH
t
t
t
t
．
又
8
6
24
2
2
ABC
AC BC
S
状
=
=
=
△
．
根据题意，若存在某一时刻t，使
3
10
AMP
ABC
S
S
=
△
△
，
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则有：
3
3
8
24
5
10
t
t
．
解得：
2
t
（另一解
6
t
因不满足0
5
t
，故舍去），
∴存在这样的
2
t
，使AMP 的面积是
ABC
面积的3
10 ．
（2）解：若要使AMP 是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当AP
AM
时，2
8
t
t
，解得：
8
3
t
．
②当PM
AP
时，过P 作PH
AM
，垂足为点H（参考上图），则
1
8
2
2
t
AH
AM
-
=
=
，
由
APH
ABC
△
∽△
知，AH
AP
AC
AB
=
，即
8
2
2
8
10
t
t
，
解得：
40
21
t
．
③当PM
MA
时，自点M 作MN
AB
，则
1
2
AN
AP
t
=
=
，
由
,
90
A
A
ANM
ACB
=
=
=
°
∠
∠∠
∠
得
ANM
ACB
△
∽△
，
∴AN
AM
AC
AB
，即
8
8
10
t
t
，解得：
32
9
t
．
综合以上三种情况可知，存在
8
3
t
或
40
21
t
或
32
9
t
时，使AMP 是等腰三角形．
【变式1-1】如图，在
ABC
中，
4cm
AB
，
8cm
AC =
，动点D 以1cm / 秒的速度从A 点向终点B 运动，动
点E 以2cm / 秒的速度从C 点向终点A 运动．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与
ABC
相似时，运动的时间是
秒．
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【答案】2 或16
5 /2 或3.2
【详解】解：当动点D 、E 同时运动时间为t 时，则有AD
t
，
2
CE
t
，
8
2
AE
t
，
A
是公共角，
①当
ADE
B
时，ADE
ABC
，
有AD
AE
AB
AC
，即
8
2
4
8
t
t
，
解得：
2
t
；
②当
ADE
C
时，ADE
ACB
，
有AD
AE
AC
AB
，即
8
2
8
4
t
t
，
解得：
16
5
t
；
故答案为：2 或16
5 ．
【变式1-2】
16cm
AB
，
12cm
AC
，动点P、Q 分别以每秒2cm 和1cm的速度同时开始运动，其中点P
从点A 出发沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．
(1)写出AP 的长
1y 和AQ 的长
2y 关于时间t 的函数；
(2)经过多少时间后，
APQ
△
与
ABC
相似？
(3)在整个过程中，是否存在使
APQ
△
的面积恰好为
ABC
面积一半的情况，若存在，请问此时点Q 运动了
多少时间？若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
1
2
0
6
y
t
t
，
2
16
0
16
y
t
t
.
(2)在0
6
t
中，
48
11
t
；在6
16
t
中，
7
t
(3)存在，在0
6
t
中，
4
t
；在6
16
t
中，
8
t
【详解】（1）解：12
2
6s
，16 1 16s
，
∴
1
2 0
6
y
t
t
，
2
16
0
16
y
t
t
.
（2）解：当0
6
t
时，①若QP
BC
，则有
AQP
ABC
∽
△
△
．
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∴AQ
AP
AB
AC
．
∵
16cm
AB
，
12cm
AC
，
2
AP
t
，
16
AQ
t
，
∴16
2
16
12
t
t
，
解得：
48
11
t
．
②∵
A
A
，若
AQP
C
，则有
AQP
ACB
∽
△
△
．
∴AQ
AP
AC
AB
．
∴16
2
12
16
t
t
，
解得：
6.4
t
．（不符合题意，舍去）
当6
16
t
时，点P 与C 重合．
∵
A
A
，只有当
AQC
ACB
时，
有
AQC
ACB
∽
△
△
．
∴AQ
AC
AC
AB
．
∴16
12
12
16
t
，
解得：
7
t
．
综上所述：
在0
6
t
中，当
48
11
t
时，
AQP
ABC
∽
△
△
．
在6
16
t
中，当
7
t
时，
AQC
ACB
∽
△
△
．
（3）解：当0
6
t
时，过点P、C 分别作AB 的垂线，垂足为D、E．
∴
sin
PD
AP
A
，
sin
CE
AC
A
,
如果
APQ
△
的面积恰好为
ABC
面积一半，
那么
Δ
Δ
APQ
ABC
S
AQ PD
S
AB CE
，
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∴
1
2
AQ PD
AB CE
，
得：
2
16
48
0
t
t
，
解得：
4
t
或者
12
t
（舍去）．
当6
16
t
时，点P 与C 重合．即
Δ
Δ
AQC
ABC
S
AQ
S
AB
，
如果AQC
的面积恰好为
ABC
面积一半，
那么16
1
16
2
t
，
解得：
8
t
．
综上所述：
在0
6
t
中，当
4
t
时，
APQ
△
的面积恰好为
ABC
面积一半．
在6
16
t
中，当
8
t
时，AQC
的面积恰好为
ABC
面积一半.
【点睛】本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，正弦的定义等知识，
掌握这些知识是解题的关键.
【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的
坐标为
12,8 ，现有两动点P，Q，点P 以每秒3 个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每
秒2 个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ，CQ．设运动时间为t 秒
0
t
．
(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；
(2)请判断四边形APCQ的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；
(3)若A，P，Q 为顶点的三角形与
OCP
△
相似时，请求出t 的值．
【答案】(1)
3 ,0
t
，
12,2t
(2)四边形APCQ的面积不会随时间t 的变化而变化，理由见解析
(3)
20
9
t
或
2 5
2
t
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【详解】（1）解：根据题意，
3
AP
t
，
2
AQ
t
，又点B 的坐标为
12,8 ，
则点P 坐标为
3 ,0
t
，点Q 坐标为
12,2t ，
故答案为：
3 ,0
t
，
12,2t ；
（2）解：四边形APCQ的面积不会随时间t 的变化而变化，
理由：∵点B 坐标为
12,8 ，四边形ABCD 是矩形，
∴
8
OC
AB
，
12
OA
BC
，
则四边形APCQ的面积
四边形
矩形
OCP
BCQ
APCQ
OABC
S
S
S
S
△
△
1
1
12
8
8
3
12
8
2
2
2
t
t
96 12
48 12
t
t
48
；
（3）解：当COP
PAQ
∽
时，
∴OC
OP
AP
AQ
，即
8
3
12
3
2
t
t
t
，
解得：
20
9
t
，
当COP
QAP
∽
时，
∴OC
OP
AQ
AP
，即8
3
2
12
3
t
t
t
，
解得：
2 5
2
t
或
2 5
2
t
（不合题意，舍去），
综上所述：
20
9
t
或
2 5
2
t
．
【点睛】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性
质，分类讨论是解答的关键．
类型二、相似三角形中动点求线段长度
【例3】如图，在正方形ABCD 中，
4
AB
，E 为AD 边上一动点，F 为AB 的中点，连接EF ，G 为EF 上
一点，连接AG ，DAG
AFE
，H 为BC 上一点，
1
CH ，连接GH ．若
5
AG
GH
，则AE 的长为
．
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【答案】8
3 /
2
2 3
【详解】解：如图①，
四边形ABCD 是正方形，
90
DAB
ABC
，
4
BC
AB
，
90
DAG
FAG
，
DAG
AFE
，
90
AFE
FAG
，
90
AGF
，即AG
EF
．
连接AH ，在Rt
ABH
△
中，
4
AB
，
3
BH
BC
CH
，
2
2
5
AH
AB
BH
，
5
AG
GH
，
点G 在线段AH 上，如图②，此时AH
EF
，
∴
90
AGE
AGF
，
∴
90
DAG
AEG
，
90
FAG
AFG
，
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∵
DAG
AFE
，
AEF
BAH
，
∵
90
EAF
B
，
AEF
BAH
∽
△
△
，
AE
AF
BA
BH
，
F
为AB 的中点，
2
AF
，
2
4
3
AE
，
8
3
AE
．
【例4】在菱形ABCD 中，点E 为射线BC（不与B 点重合）上一动点，连接AE ，点F 为AE 中点，连接BF ，
将
ABF
△
沿BF 翻折得到GBF
，连接GE ．
(1)如图1，连接
,
AG GE 与AG 的位置关系是；GE 与BF 的位置关系是；
(2)如图2，若
60
D
，当点E 运动到BC 中点时，求EG
BF 的值；
(3)已知
6,
60
AB
D
，若
60
AEG
，则CE 的长为．
【答案】(1)
,
GE
AG GE
BF
∥
(2) 6
7
(3)9
3 5
或3 5
3
【详解】（1）解：如图，连接AG ，延长BF 交AG 于K ，
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由折叠的性质可知BF 垂直平分AG ，
K
是AG 中点，
F
是AE 中点，
FK
是
AEG
△
的中位线，
FK
GE
∥
，即GE
BF
∥
，
BF
AG
，
GE
AG
，
故答案为：GE
AG
，GE
BF
∥
；
（2）解：如图，延长BF 交AG 于K ，
∵四边形ABCD 是菱形，且
60
D
，
60
ABC
D
，AB
BC
，
若连接对角线AC ，则
ABC
为等边三角形，
∵点E 为BC 中点，
AE
BC
，
设BE
a
，则
2
AB
a
，由勾股定理得，
2
2
2
2
(2 )
3
AE
AB
BE
a
a
a
，
F
是AE 中点，
∴
3
2
AF
FE
a
，
2
2
2
2
3
7
4
2
BF
BE
EF
a
a
a
，
由（1）可知，GE
AG
，GE
BF
∥
，
90
AKF
AEB
，
又
AFK
BFE
，
FAK
FBE
，
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3
3
2
tan
2
a
EF
FBE
BE
a
，
3
tan
tan
2
FK
FAK
FBE
AK
，
设
3
FK
x
，
2
AK
x
，
在Rt AFK
中，由勾股定理得，
2
2
2
AF
FK
AK
，
即
2
2
2
3
(
)
( 3 )
(2 )
2 a
x
x
，
解得
21
14
x
a
，
由题意可得，FK 为
AEG
△
的中位线，
∴
2
EG
FK
，
21
2 3
2
6
14
7
7
2
a
EG
FK
BF
BF
a
；
（3）解：①如图，当点E 在BC 上时，延长BF 交AG 于K ，
90
AGE
，
60
AEG
，
30
EAG
，
在Rt
AEG
△
中，设
2
EG
x
，则
4
AE
x
，
2
EF
x
，
2 3
AG
x
，
1
2
FK
EG
x
，
1
3
2
AK
AG
x
，
BF
EG
∥
，
60
BFE
AEG
，
60
D
，
60
ABE
BFE
，
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BEF
AEB
，
BFE
ABE
∽
，
EF
EB
FB
EB
EA
BA
，即2
4
6
x
EB
FB
EB
x
，
2 2
EB
x
，
3 2
FB
，
在Rt
ABK
△
中，
2
2
2
BK
AK
AB
，
2
2
2
(3 2
)
( 3 )
6
x
x
，
整理得：
2
2
3 2
9
0
x
x
，
解得
3 10
3 2
4
x
（负值舍去），
2 2
3 5
3
BE
x
，
6
(3 5
3)
9
3 5
CE
AB
BE
；
②
当点E 在BC 延长线上时，同理可得AFB
ABE
∽
，
设
2
EG
x
，则
4
AE
x
，
1
2
2
AF
EF
AE
x
，
AF
AB
AB
AE
，即2
6
6
4
x
x
，
解得
3 2
2
x
，
4
6 2
AE
x
，
过A 作AH
BC
于点H ，则
1
3
2
BH
AB
，
3
3 3
2
AH
AB
=
=
，
2
2
3 5
EH
AE
AH
，
3
3 5
6
3 5
3
CE
BE
BC
BH
EH
BC
；
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综上，CE 的长为9
3 5
或3 5
3
；
故答案为：9
3 5
或3 5
3
．
【变式2-1】如图，在Rt
ABC
△
中，AB
AC
，点D 、E 分别是BC 、AB 边上的动点（不与
ABC
的顶点
重合），且
2
BE
CD
，连接AD
CE
、
交于点O
AF
CE
，
于点F ，若
3 2
AO
，则AF 的长为
．
【答案】3
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，AB
AC
，
∴
ABC
是等腰直角三角形，
∴
2
2
2
BC
AB
AC
AC
，
45
B
ACD
．
∵
2
BE
CD
，
∴
2
BE
BC
CD
AC
，
∴
BCE
CAD
∽
△
，
则
BCE
∠
∠CAD ，
∴
45
ACE
BCE
ACE
CAD
，
则
45
AOF
ACE
CAD
，又AF
CE
，
∴AOF
是等腰直角三角形，
∴AF
OF
,
∴
2
2
3 2
OA
AF
OF
，
则
3
AF
OF
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
【变式2-2】如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O，若点E 为BC 的中点，F
为直线BD 上的动点（不与点D 重合），当
AEF
△
为以AE 为腰的等腰三角形时，DF 的长为
．
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【答案】
3
2
或3 2 或
2
3
【详解】解：在正方形ABCD 中，
2
AB
BC
CD
AD
，
90
ABC
BCD
，AC
BD
，
2
2
2 2
AC
BD
AB
BC
，
2
OA
OC
OB
OD
，
E
为BC 的中点，
1
1
2
BE
CE
BC
，
2
2
5
AE
AB
BE
，
5
DE
当
AEF
△
为以AE 为腰的等腰三角形时，
如图，当点F 在AC 的上方时，连接
,
AF EF ，
若
5
EF
AE
，则EF
DE
，点F 与点D 重合，不符合题意，
当
5
AF
AE
，
2
2
3
OF
AF
OA
，
3
2
DF
OF
OD
；
如图，当点F 在AC 的下方，AE
EF
时，连接
,
EF AF ，DE ，作EH
BD
于点H ，
195 / 254
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设
,
AE BD相交于点G ，
AD
BC
，
AGD
EGB
∽
，
2
AG
AD
EG
BE
，
AC
BD
，
AGO
EGH
，
AOG
EHG
∽
，
2
AO
AG
EH
GE
，
1
2
2
2
EH
OA
，
2
2
3 2
2
FH
EF
EH
，
DE
AE
，
DE
EF
，
3 2
2
DH
FH
，
3 2
DF
DH
FH
；
如图，当
5
AF
AE
时，
2
2
3
OF
AF
OA
，
2
3
DF
OD
OF
；
196 / 254
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综上所述，DF 的长为
3
2
或3 2 或
2
3
．
故答案为：
3
2
或3 2 或
2
3
【变式2-3】菱形ABCD 中，点E 为CD 边上一动点，射线AE 与BC 的延长线交于点F ，连接DF ，射线BE
与DF 交于点G ．
(1)如图1，E 为CD 中点，
AEB
BCD
．
①求证：
2
BE
CE BC
；
②若
6
AB
，求线段EG 的长；
(2)如图2，点H 在边AD 上，若
60
EBH
BCD
，
4
2
BE
EG
，求线段AH 的长．
【答案】(1)①证明见解析；②2
(2)
5
1
2
或
5
1
2
【详解】（1）①证明：四边形ABCD 是菱形，
AB
CD
∥
，AB
BC
，
ABE
BEC
,
AEB
BCD
，
ABE
BEC
∽
△
△
，
AB
BE
BE
CE
，
2
BE
CE AB
，
2
BE
CE BC
；
②解：如图，延长AD 与BG 交于点M ，
四边形ABCD 是菱形，
AD
BC
∥
，
6
AB
BC
CD
AD
，
MDE
BCE
，
197 / 254
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E
为CD 中点，
1
3
2
DE
CE
CD
，
由①得，
2
3 6
18
BE
CE BC
，
3 2
BE
，
DEM
CEB
，DE
CE
，
MDE
BCE
，
ASA
DEM
CEB
≌
，
6
DM
BC
，
3 2
ME
BE
，
6 2
BM
BE
ME
，
同理可得，CEF
DEA
≌
，
6
CF
AD
，
12
BF
BC
CF
，
DM
BF
∥
，
DMG
FBG
∽
，
6
1
12
2
MG
DM
BG
BF
，
1
1
1
2
3
MG
MG
BM
MG
BG
，
1
1 6 2
2 2
3
3
MG
BM
，
3 2
2 2
2
EG
ME
MG
，
线段EG 的长为2 ．
（2）解：如图，延长AD 与BG 交于点N ，连接BD ，
四边形ABCD 是菱形，
AD
BC
∥
，AB
AD
CD
BC
，
60
BAD
BCD
，
ABD
和
BCD
△
是等边三角形，
BD
AB
，
60
BDE
，
60
BAH
BDE
，
60
EBH
，
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ABD
EBH
，
ABD
DBH
EBH
DBH
，即
HBA
EBD
，
ASA
ABH
DBE
≌
，
AH
DE
；
4
2
BE
EG
，
1
2
EG
，
5
2
BG
BE
EG
，
设GN
a
，则
1
2
EN
GN
EG
a
，
DN
BC
∥
，DN
BF
∥
，
DNE
CBE
∽
，DNG
FBE
∽
，
1
2
1
2
2
4
a
DN
DE
EN
a
BC
CE
BE
，
2
5
5
2
DN
GN
a
a
BF
BG
，
2
2
1
8
5
4
10
5
BC
DN
DN
a
a
a
BF
BF
BC
a
，
8
8
10
5
8
2
5
BC
BC
a
a
CF
BF
BC
a
a
a
，
AD
CF
∥
，
ADE
FCE
∽
，
DE
AD
BC
CE
CF
CF
，
2
1
8
4
2
5
a
a
a
，
解得：
1
5
2 5
2
a
，
2
5
2 5
2
a
，
①当
5
2 5
2
a
时，
2
1
3
5
4
2
DE
a
CE
，
3
5
2
5
5
2
2
CD
DE
CE
CE
CE
，
设
2
CE
x
，则
5
5
BC
CD
x
，
作EK
BC
于点K ，则
90
EKC
EKB
，
199 / 254
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sin
sin60
3
EK
EC
ECK
EC
x
，
cos
2 cos60
CK
EC
ECK
x
x
，
4
5
BK
BC
CK
x
，
在Rt BEK
中，
2
2
2
BK
EK
BE
，
2
2
2
4
5
3
2
x
x
，
解得：
1
5
1
4
x
，
2
1
5
4
x
（舍去），
5
1
2
CE
，
5
5
5
1
5
4
BC
CD
，
5
1
5
1
5
2
2
AH
DE
CD
CE
；
②当
5
2 5
2
a
，
2
1
3
5
4
2
DE
a
CE
，
3
5
2
5
5
2
2
CD
DE
CE
CE
CE
，
同理①的方法可得，
5
1
2
CE
，
5
BC
CD
，
5
1
5
1
5
2
2
AH
DE
CD
CE
；
综上所述，线段AH 的长为
5
1
2
或
5
1
2
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，
结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线
构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生．
类型三、相似三角形与函数关系
【例5】如图，在
ABC
中，
90
BAC
，
6
AB
AC
，点D 在边BC 上，
2
CD
BD
，点E 是边AB 上的
动点（不与端点
,
A B 重合），点F 是边AC 上的动点（不与端点
,
A C 重合），连接
,
DE DF ，且
45
EDF
，
若BE
x
，
ADF
△
的面积为y ，则y 关于x 的函数图像是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：
90
BAC
，
6
AB
AC
，
45
B
C
，
2
2
6
6
6 2
BC
，
2
CD
BD
，
2 2
BD
，
4 2
CD
，
45
EDF
，
135
BDE
CDF
，
135
BDE
BED
，
BED
CDF
，
BDE
CFD
∽
，
BE
BD
CD
CF
，
2 2
4 2
x
CF
，
16
CF
x
，
16
6
AF
x
，
过点D 作DM
AC
于点M ，
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DM
AB
∥
，
CDM
CBA
△
∽△
，
2
3
DM
CD
AB
BC
，
2
4
3
DM
AB
，
1
16
32
6
4
12
2
y
x
x
，
又当
6
CF 时，即16
6
x
，
8
3
x
，
8
6
3
x
，
y
关于x 的函数的图象是将反比例函数
32
y
x
的图象向上平移12 个单位长度得到的图象的一部分，只有
选项C 符合条件．
故选：C.
【例6】如图，在四边形ABCD 中，BC
AD
∥
，
4
AB
BC
CD
，
60
BAD
，动点P ，Q 同时从A 点
出发，点P 以每秒2 个单位长度沿折线A
B
C
D
向终点D 运动；点Q 以每秒4 个单位长度沿线段AD 向
终点D 运动，直到两个点都到达终点才停止运动．设运动时间为x 秒，
APQ
△
的面积为y 个平方单位，则
下列正确表示y 与x 的函数关系的图象是（
）
A．
B．
C．
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D．
【答案】C
【详解】解：过点B 作BM
AD
于点M ，过点C 作CN
AD
于点N ，
则四边形BCNM 是矩形，
BM
CN
，
4
MN
BC
，
∵
60
BAD
，
∴
3
sin60
4
2 3
2
CN
BM
AB
，
1
cos60
4
2
2
AM
AB
，
∵AB
CD
，
∴
Rt
Rt
HL
ABM
DCN
≌
，
2
AM
DN
，
∴
2
4
2
8
AD
AM
MN
DN
．
分三种情况：
（1）如图1，当0
2
x
时，点P 在AB 上，过点P 作PE
AD
于点E ，
则PE
BM
∥
，
APE
ABM
△
∽△
，
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PE
AP
BM
AB
，
3
4
2
2
3
x
PE
x
，
2
1 4
3
2 3
2
y
x
x
x
，
函数图象是开口向上的抛物线位于y 轴右侧的一部分；
（2）如图2，当2
4
t
时，点P 在BC 上，
1
8 2 3
8 3
2
y
，
函数图象是平行x 轴的直线的一部分；
（3）如图3，当4
6
x
时，点P 在CD 上，过点P 作PF
AD
于点F ，
则PF
CN
∥
，
DPF
DCN
△
∽△
，
PF
DP
CN
CD
，
12
2
2 3
6 3
3
4
x
PF
x
，
1
8
6 3
3
4 3
24 3
2
y
x
x
，
函数图象是一条直线的一部分；
只有选项C 的图象符合条件．
故选：C．
【变式3-1】如图，正方形ABCD 的边长为4
E
，
是AD 的中点，P 是AB 上的动点，在AD 的下方作
90
PEQ
，设AP
x
，正方形ABCD 中在
PEQ
右方的部分面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是
（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：如图1：当0
1
x
时，点Q 在BC 上．过点E 作EF
BC
于点F ，则
4
EF
BF
，
2
AE
，
∴EF
AD
，
∴
90
AEP
FEF
∵
90
PEQ
，
∴
90
PEF
FEQ
，
∴
AEP
FEQ
，
∵
90
EFQ
A
，
∴AEP
FEQ
∽
，
1
2
AP
AE
FQ
EF
，即
2
2
FQ
AP
x
．
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2
2
CQ
x
，
1
2
2
2
4
4
8
2
y
x
x
；
如图2：当1
4
x
时，点Q 在CD 上．
∵
AEP
DEQ
DEQ
DQE
，
∴
AEP
DQE
，
∵
90
A
D
，
∴AEP
DQE
∽
，
AP
AE
DE
DQ
4
AE DE
DQ
AP
x
，
1
4
4
2
2
y
x
x
．
故选A
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为
4,0 ，以OA为边，在x 轴上方作正方形OABC ，
动点P 从点A 出发，沿x 轴正方向以每秒2 个单位长度的速度运动．线段CP 交AB 于点M．设点P 运动时
间为t 秒，BCM
的面积为S，则S 关于t 的函数表达式为（
）
A．
8
2
S
t
B．
2
8
S
t
C．
16
2
S
t
D．
32
4
S
t
【答案】C
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【详解】解：由题意可得：
4
AB
BC
OC
OA
，BC
OA
∥
，
2
AP
t
，
∴MBC
MAP
∽
，
∴AP
AM
BC
BM
，即2
4
t
AM
BM
，
∵
4
AM
BM
，
∴2
4
4
t
BM
BM
，
∴
8
2
BM
t
，
∴
1
1
8
4
2
2
16
2
2
S
BC
M
t
B
t
，
故选：C．
【变式3-3】如图1 所示，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿B
C
D
的路径运动，当点P 到达
点D 时停止运动．过点P 作PQ
BP
，PQ交AD 于点Q，设点P 运动的路程为x，DQ
y
，已知y 关于x
的函数图象如图2 所示，当
1
3
y
时，x 的值为（
）
A．2 2
B．4
C．2 3
D．4.5
【答案】B
【详解】解：由图象可知，当点P 与点B 重合时，此时点Q 与点A 重合，
3
DQ
AD
，
当点P 与点C 重合时，此时点Q 与点D 重合，此时
3
x
，
0
y
，即：
3
BC ，
当点P 与点D 重合时，
5
x
，故
5
2
CD
BC
，
①当点P 在BC 上时，此时四边形CDQP 为矩形，
∴DQ
CP
，
∴当
1
3
y
时，即：
1
3
DQ
CP
，
∴
1
8
3
3
3
x
BP
BC
CP
，
②当点P 在CD 上时，如图：
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∵矩形ABCD ，
则：
90
C
D
，
∵PQ
BP
，
∴
90
BPQ
，
∴
90
BPC
PQD
DPQ
，
∴BCP
PDQ
∽
，
∴CP
BC
DQ
PD
，
∴BC DQ
CP PD
，
∵
3
CP
x
BC
x
，
∴
5
DP
CD
CP
x
，
∴当
1
3
y
，即：
1
3
DQ
时，
1
3
3
5
3
x
x
，
解得：
1
2
4
x
x
；
故选B．
类型四、相似三角形与线段、线段和的最值问题
【例7】如图，矩形ABCD 中，
3
AB
，
1
BC ，动点E，F 分别从点A，C 同时出发，以每秒1 个单位长
度的速度沿AB ，CD 向终点B，D 运动，过点E，F 作直线l，过点A 作直线l 的垂线，垂足为G，当AG 取
最大值时，DF 值等于（
）
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A．
3
2
B．
3
3
C．
3
4
D．2 3
3
【答案】B
【详解】解：如图，连接AC ，交EF 于O，
四边形ABCD 是矩形，
AB
CD
∥
，
90
B
Ð
=
°，
3
AB
，
1
BC ，
2
2
3 1
2
AC
AB
BC
，
动点E ，F 分别从点A ，C 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿AB ，CD 向终点B ，D 运动，
CF
AE
，
AB
CD
，
ACD
CAB
，
COF
AOE
，
(AAS)
COF
AOE
≌
△
△
，
1
AO
CO
，
AG
EF
，
点G 在以AO 为直径的圆上运动，
AG
为直径时，即点G 与点O重合时，AG 有最大值，
此时
90
AOE
B
，
OAE
BAC
，
OAE
BAC
∽
，
AO
AE
AB
AC
，
2 3
3
AE
，
3
3
DF
BE
AB
AE
，
故选：B．
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【例8】如图，矩形纸片ABCD 中，
6
AB
，
8
BC ，点E 、F 分别是边AD 、BC 上的动点，将纸片ABCD
沿EF 折叠，使点D 的对应点D¢在边BC 上，点C 的对应点为C，则CF 的最大值为
．
【答案】7
4
【详解】解：当B 与D¢重合时，CF 最大，此时E 在BD 的垂直平分线上，如图：
矩形纸片ABCD 中，
6
AB
，
8
BC ，
∴
2
2
10
BD
AB
BC
，
∴
1
5
2
OB
BD
，
∵
90
BOF
C
，
CBD
OBF
，
∴
BOF
BCD
∽
，
∴BO
BF
BC
BD
，即5
8
10
BF
，
∴
25
4
BF =
，
∴
25
7
8
4
4
CF
BC
BF
．
故答案为：7
4 ；．
【变式4-1】如图所示，矩形ABCD 中，
6
AB
，
8
BC ，点E 为边AD 上一个动点，将ABE
沿AE 折叠得
到A BE
，
A ED
∠
的平分线分别交
,
BD CD于点
,
G F ，
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（1）当G 为EF 中点时，AE 的长为
；
（2）当点E 从A 运动到D 的过程中，DG 的最大值为
；
【答案】
9
2
5
2
【详解】解：（1）由折叠的性质得
'A EB
AEB
，又
'A EF
DEF
，
∴
1
90
2
BEF
A EB
A EF
AEA
DEA
，
∴
90
ABE
DEF
AEB
，
∵G 为EF 中点时，
∴DG
EG
FG
．
∴
DEF
GDE
．
∵AB
CD
∥
，
∴
GDE
DBC
∠
．
∴
ABE
DBC
．
∴
ABE
CBD
∽
．
∴AE
AB
CD
BC
，即
6
6
8
AE
，
∴
9
2
AE
；
故答案为：9
2 ；
（2）如图，连接A G
，A B
，A G
BG
A B
,当
,
,
A G B
三点共线时，A G
最小，则DG 的值最大．
∵矩形ABCD ，
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∴
90
A
．
∵
6
AB
，
8
BC ，
90
A
，
∴
2
2
10
BD
AB
AD
．
∵将ABE
沿AE 翻折得A BE
，
∴
'
6
AB
A B
，
'
90
A
BA E
，
'
AE
A E
．
∴
'
'
4
A D
BD
A B
．
∵
2
'
2
'
2
DE
A E
A D
，
∴
2
2
2
8
4
AE
AE
．
∴
3
AE
，
∵
90
ABE
DEF
AEB
，
∴
ABE
DEF
△
△
∽
，
∴AE
AB
DF
DE
．
∴3
6
5
DF
．
∴
5
2
DF
．
∵
'
'
EGA
EFD
EGA
DGF
，
，
∴
DGF
DFG
．
∴
5
2
DG
DF
．
∴DG 的最大值为5
2 ．
故答案为：5
2 ．
【点睛】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理，角平分线计算，直角三角
形斜边中线性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形判定是解题的关键．
【变式4-2】【知识技能】（1）如图1，矩形ABCD 与Rt
QMN
△
叠放在一起，（点Q，N 分别与点A，B
重合，点M 落在对角线AC 上），已知
90
20
15
QMN
BC
CD
，
，
，则MN ．
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【数学理解】（2）如图2，QMN
以每秒1 个单位长度的速度在线段AC 上从点A 向点C 运动；同时，动
点P 以每秒2 个单位长度的速度在线段DA 上从点D 向点A 运动，设它们的运动时间为s
t
，连接PM ．解
答下列问题：
①当t 为何值时，点A 在线段PM 的垂直平分线上？
②是否存在某一时刻t，使得
APM
△
与四边形PMCD 面积之比为6 19
：？若存在，求出t 的值；若不存在，请
说明理由．
【拓展探索】（3）如图3，将QMN
绕着点M 顺时针旋转180得到
1
1
Q MN
，点N、Q 的对应点是
1
1
,
N Q ，
连接
1
PN ，PQ，当t 为何值时，
1
PN
PQ
的值最小？
【答案】（1）12；（2）①11s
3
，②存在，理由见解析；（3）
70
17
t
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴
90
ABC
，
∴
2
2
2
2
15
20
25
AC
AB
BC
，
由
1
1
2
2
ABC
S
AC MN
AB BC
得，
15 20
12
25
AB BC
MN
AC
，
故答案为：12；
（2）①∵在矩形中
20
2
AD
BC
DP
t
，
，
∴
20
2
AP
t
，
∵在QMN
中，
2
2
15
12
9
QM
，
∴
9
AM
t
，
∵点A 在线段PM 的垂直平分线上，
∴AP
AM
，
∴20
2
9
t
t
，
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解得
11
3
x
，
∴当t 为11s
3
时，点A 在线段PM 的垂直平分线上；
②存在，理由如下：
如图，过点M 作ME
AD
于E，
∵四边形ABCD 是矩形，ME
AD
，
∴
90
ADC
AEM
，
2
2
15
20
25
AC
，
∵
MAE
CAD
，
∴EAM
DAC
∽
．
∴AM
ME
AC
CD
，
∴9
25
15
t
ME
，
∴
27
3
5
t
ME
，
∵
APM
△
与四边形PMCD 面积之比为6 19
：，
∴
APM
△
与
ADC
△
的面积之比为6 25
：，
∴1
6
1
2
25
2
AP ME
AD CD
，
∴1
27
3
6
1
(20
2 )
15 20
2
5
25
2
t
t
，
解得1
2
6
5
t
t
（舍去），
∴当
6s
t
时，
APM
△
与四边形PMCD 面积之比为6 19
：；
（3）如图，连接
1
QN ，
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∵QMN
旋转得到
1
1
Q MN
，
∴
1
15
QN
QN
∴
1
1
PN
PQ
QN
，
∴当
1
,
,
Q P N 共线时，
1
PN
PQ
的值最小，
如图，连接
1
DN ，作DF
AC
于F，则
1
90
QMN
DFA
，
∴
1
DF
MN
∥
，
∵1
1
2
2
DF AC
AD CD
，
∴
20 15
12
25
AD CD
DF
AC
∴
2
2
15
12
9
FC
∵QMN
旋转得到
1
1
Q MN
，
1
12
MN
MN
∴
1
DF
MN
∴四边形
1
DFMN 是平行四边形
∵
1
25
(9
)
9
7
DN
MF
AC
AM
FC
t
t
，
1
DN
AQ
∥
∴
1
N DP
QAP
∵
1
DPN
APQ
（对顶角相等）
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∴
1
DPN
APQ
∽
，
∴
1
DN
DP
AQ
AP
，
∴7
2
20
2
t
t
t
t
，
∴
70
17
t
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决
问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
【变式4-3】如图，在
ABC
中，
90
A
，
2
AB
，
4
AC
，点D 为斜边BC 上的一个动点，过点D 分别
作DM
AB
于点M，DN
AC
于点N，连接MN ．
(1)当点D 为BC 的中点时，线段MN 与BC 有何位置关系？并说明理由．
(2)当点D 在什么情况下时，线段MN 的长最小？这个最小值是多少？
【答案】(1) MN
BC
∥
，理由见解析
(2)当AD
BC
时，线段MN 的长最小，最小为4 5
5
，理由见解析
【详解】（1）解：MN
BC
∥
，理由如下：
∵
90
DM
AB
A
⊥
，∠
，
∴DM
AC
∥
，
∴
ABC
MBD
∽
△
△
，
∴BM
BD
AB
BC
，
∵点D 为BC 的中点，即
1
2
BD
BC
，
∴
1
2
BM
BD
AB
BC
，
∴点M 为AB 的中点，
同理可证点N 为AC 的中点，
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∴MN 为
ABC
的中位线，
∴MN
BC
∥
；
（2）解：当AD
BC
时，线段MN 的长最小，理由如下：
如图所示，连接AD ，
DM
AB
DN
AC
，
，
∴
90
AMD
AND
．
又∵
90
BAC
，
∴四边形AMDN 是矩形．
∴MN
AD
．
∵点D 在BC 上，
∴当AD
BC
时，AD 最小，即此时MN 最小．
∵
90
2
4
BAC
AB
AC
，
，
，
∴
2
2
2 5
BC
AB
AC
∵当AD
BC
时，
ABC
的面积
1
1
2
2
BC AD
AB AC
，
∴AD 的最小值为
4 5
5
AB AC
BC
．
∴线段MN 的最小值为4 5
5
，
∴当AD
BC
时，线段MN 的长最小，最小为4 5
5
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理等
等，正确作出辅助线是解题的关键．
类型五、相似三角形与特殊几何的探究问题
【例9】在“综合与实践”课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动，如图①，在边长为6 的正
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方形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，过点P 作PQ
AB
交BC 于点Q ，连接BD ，与PQ交于点E ，取DE 的
中点F ，连接
,
,
AF PF QF ．
(1)【问题发现】
试判断线段FQ与AF 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
(2)【拓展探究】
如图②，延长AF 交CD 于点G ，连接QG ，试判断线段BQ ，DG 与QG 的数量关系，并证明你的结论；
(3)【问题解决】
在（2）的条件下，当P 是AD 的点时，直接写出线段FG 的长．
【答案】(1) FQ
AF
且FQ
AF
，
(2) BQ
DG
QG
，证明见解析
(3)线段FG 的长为
5 或
26
5
【详解】（1）结论：FQ
AF
且FQ
AF
，
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90
BAD
ABC
，
45
ADB
CBD
，
∵PQ
AB
∥
，
∴
90
DPE
PQB
，AP
BQ
，
∴BEQ
和DPE
均为等腰直角三角形，
∴BQ
QE
，
45
BEQ
，
∴AP
QE
，
∵F 是DE 的中点，
∴PF
EF
，PF
DE
，
45
DPF
，
∴
BEQ
DPF
，
∴
APF
QEF
，
∴
SAS
APF
QEF
≌
，
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∴AF
QF
，
AFP
QFE
，
∴
90
AFP
AFE
QFE
AFE
，即
90
AFQ
，
∴FQ
AF
；
综上所述：FQ
AF
且FQ
AF
．
（2）解：BQ
DG
QG
，证明如下：
如图，将
ADG
△
绕点A 顺时针旋转90得到ABH
，连接AQ ，
则AH
AG
，BH
DG
，
HAB
GAD
，
ADG
ABH
．
∵在正方形ABCD 中，
90
ADG
ABQ
，AD
AB
，
∴
180
ABQ
ABH
，
∴H，B，Q 三点共线，
由（1）知
AFQ
△
是等腰直角三角形，
∴
45
QAF
，
∴
90
45
QAB
GAD
QAF
，
∴
45
QAH
QAB
HAB
QAB
GAD
，
∴
QAH
QAG
，
在AQH
和AQG
中，
AH
AG
QAH
QAG
AQ
AQ
，
∴
SAS
AQH
AQG
≌
，
∴QH
QG
．
∵QH
BH
BQ
DG
BQ
，
∴BQ
DG
QG
．
（3）解：当点P 是AD 的点时，分
1
2
AP
PD
和
2
AP
PD
两种情况：
①当
1
2
AP
PD
时，由题意可知，
6
BC
CD
AD
，
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∴
2
AP
BQ
，
4
PD
CQ
，
由（2）知，BQ
DG
QG
，
设DG
x
，则
6
CG
x
，
2
QG
x
，
在Rt CGQ
中，由勾股定理，得
2
2
2
CG
CQ
QG
，
即
2
2
2
6
4
2
x
x
，
解得
3
x
，
∴
3
DG
，
∴在Rt ADG
中，
2
2
3 5
AG
AD
DG
，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB
CD
∥
，
∴
ABF
GDF
，
BAF
DGF
，
∴
ABF
GDF
△
∽△
，
∴AB
AF
GD
GF
，
∴6
3 5
3
FG
FG
，解得
5
FG =
．
②当
2
AP
PD
时，则
4
AP
BQ
，
2
PD
CQ
，
由（2）知，BQ
DG
QG
，
设DG
x
，则
6
CG
x
，
4
QG
x
，
在Rt CGQ
中，由勾股定理，得
2
2
2
CG
CQ
QG
，
即
2
2
2
6
2
4
x
x
，解得
6
5
x
，即
6
5
DG
，
∴在Rt ADG
中，
2
2
6 26
5
AG
AD
DG
，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB
CD
∥
，
∴
ABF
GDF
，
BAF
DGF
，
∴
ABF
GDF
△
∽△
，
∴AB
AF
GD
GF
，
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∴
6 26
6
5
6
5
FG
FG
，解得
26
5
FG
，
综上所述，线段FG 的长为
5 或
26
5
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，
相似三角形的判定与性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
【例10】小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展．如图，在矩形ABCD 中，
2
3
AB
BC
，
，E 是BC 边上一点，连接DE ，将CDE
沿DE 翻折，得到
FDE
，点C 关于DE 的对称点
F 恰好落在AD 边上，P 是AD 边上一动点(点P 不与点D 重合)，连接EP ，作EC 关于EP 的对称线段
'
EC ，
射线
'
C F 交射线EP 于点G，连接DG ．
(1)问题解决：
如图①，当点
'
C 落在AB 边上时，
'
EGC
的度数是________；
(2)问题探究：
如图②，当点
'
C 不在AB 边上时，求
'
C F
DG
的值；
(3)拓展延伸：
当
15
FDG
时，请求出DFG
的面积．
【答案】(1)45
(2) 2
(3)
3
1
2
或3
3
2
【详解】（1）解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴
2
90
CD
AB
B
C
ADC
，
．
由对称的性质可知，
'
90
DFE
C
CE
EF
C E
，
，
∴四边形CDFE 是矩形．
∵CE
EF
，
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∴矩形CDFE 是正方形，
∴
'
90
2
FEB
CE
C E
CD
，
，
∴
1
BE
BC
CE
．
在
'
Rt BEC
中，
'
1
cos
2
BE
BEC
CE
，
∴
'
60
BEC
，
∴
'
'
30
C EF
FEB
BEC
，
∴
'
'
75
EFC
EC F
．
由对称的性质可知，
'
60
C EG
CEG
，
∴
'
'
30
GEF
C EG
C EF
，
∴
'
'
45
EGC
EFC
GEF
．
故答案为：45；
（2）解：如解图①，过点E 作
'
EH
C G
于点H．
由对称的性质可知，
'
'
EC
EF
EC
C EG
CEG
，
，
设
'
C
x
，
∴
'
'
'
2
EFC
C
x
C F
HF
，
，
∴
'
180
2
C EF
x
．
∵
'
EH
C G
，
∴
'
90
FEH
C EH
x
．
由（1）知，四边形CDFE 为正方形，
∴
90
45
CEF
DFE
EF
DF
DEF
DEC
，
，
，
∴
2
DE
EF
，
∴
'
'
135
2
C EF
CEF
C EG
CEG
x
，
∴
'
'
45
GEH
C EG
C EH
，
∴
90
2
DEG
CEG
DEC
x
EG
HE
，
，
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∴
FEH
DEG
，
∴HEF
GED
∽
，
∴
2
2
HF
HE
EF
GD
GE
ED
，
∴
2
2
HF
DG
，
∴
'
2
2
C F
HF
DG
DG
；
（3）解：分两种情况讨论：①如解图②，当点G 在
'
C F 的延长线上时，过点G 作GI
DF
于点I，
∵四边形CDFE 是正方形，
∴
45
EDF
．
∵
15
FDG
，
∴
60
EDG
．
由（2）知HEF
GED
∽
，
∴
60
EFH
EDG
．
∵
2
EF
CD
，
∴
1
HF ，
∴
3
EH
，
由（2）知，
45
GEH
，
∴
3
HG
HE
，
∴
3
1
FG
HG
HF
．
∵
60
90
EFH
DFE
，
，
∴
30
GFI
，
∴
1
3
1
2
2
GI
FG
，
∴
1
3
1
·
2
2
DFG
S
DF GI
；
②如解图③，当点G 在线段
'
C F 上时，过点G 作GH
AD
于点H，
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，
设DG 与EF 相交于点I．
∵四边形CDFE 为正方形，
∴
2
CD
DF
，
45
EDF
，
∴
2
2 2
DE
CD
，
∴
30
EDG
EDF
FDG
．
由（2）中相似三角形知，
90
EGD
，
∴
90
EGD
DFE
，
∴
1
3
2
6
2
2
GE
DE
DG
DE
，
．
∵
GIE
FID
，
∴GIE
FID
∽
，
∴
2
2
GI
IE
GE
FI
ID
FD
，
即
2
2
2
6
IE
EF
FI
FI
ID
DG
GI
GI
，
解得
2 2
6
4
2 3
GI
FI
，
，
∴
2 6
2 2
DI
DG
GI
．
∵
90
IFD
GHD
IDF
GDH
，
，
∴IFD
GHD
∽
，
∴DI
FI
DG
HG
，
即2 6
2 2
4
2 2
6
HG
，
解得
3
3
2
HG
，
∴
3
3
·
2
1
2
DFG
S
DF HG
．
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综上所述，DFG
的面积为
3
1
2
或3
3
2
．
【点睛】本题考查了矩形翻折．熟练掌握矩形判定和性质，翻折性质，正方形判定和性质，等边三角形判
定和性质，三角形外角性质，等腰三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键．
【变式5-1】在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之
间以及角之间的关系进行了进一步探究．
【问题发现】（1）如图1，在
ABC
中，
90
C
，AC
BC
，P 为AB 的中点，
90
MPN
A
B
，
则PM
PN ______．
【尝试探究】（2）如图2，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
30
A
，P 为AB 上一点，
2
2
BP
AP
，M 为
AC 上一点，连接MP ，作
90
MPN
，交BC 于点N ．请探究PM
PN 的值，并说明理由．
【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出
MPN
△
面积的最小值为______，最大值为______．
【答案】（1）1
（2）
3
6
PM
PN
，理由见解析
（3）
3
4
，
3
3
【详解】（1）解：如图，过点P 分别作
,
PE
AC PF
BC
，垂足分别为
,
E F ，
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∵在
ABC
中，
90
C
，AC
BC
，
∴
45
C
B
，
∵
90
AEP
，
∴
45
APE
，
∴APE
是等腰直角直角三角三角形，
同理BPF
是等腰直角直角三角三角形，
∴
,
AE
PE BF
PF
，
∵P 为AB 的中点，
∴AP
BP
，
∴
2
2
,
2
2
PE
AP PF
BP
，
∴PE
PF
，
∵
90
C
PEC
PFC
，
∴四边形EPFC 是矩形，
∴
90
EPF
，
∵
90
MPN
，
∴
90
EPM
MPF
MPF
FPN
，
∴
EPM
FPN
，
∵
90
PEM
PFN
，
∴
ASA
PEM
PFN
≌
，
∴PM
PN
，
∴
1
PM
PN ；
（2）解：过点P 分别作
,
PE
AC PF
BC
，垂足分别为
,
E F ，
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同理（1）得四边形EPFC 是矩形，则
90
EPF
∵
90 ,
90
MPN
C
，
∴
90
MPN
A
B
，
∴
EPM
FPN
，
∵
90
PEM
PFN
，
∴PEM
PFN
∽
，
∴PM
PE
PN
PF
，
又∵
30
A
，
∴
1
2
PE
AP
，
∵AC
PF
，
∴
30
BPF
A
∴
1
2
BF
PB
，
∴
2
2
3
2
PF
PB
BF
PB
，
∵
2
2
BP
AP
，
∴
3
3
2
3
2
2
PF
PB
PA
PA
，
∴
1
3
2
6
3
AP
PM
PE
PN
PF
AP
；
（3）解：由（2）知
3
6
PM
PN
，即
2 3
PN
PM
，
∵
90
MPN
，
∴
2
1
1
·
2 3
3
2
2
PMN
S
PM PN
PM
PM
PM
，
连接
,
CP MN ，
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∴当
,
M E 两点重合，则PM
AC
时，PM 有最小值，即
PMN
S
有最小值，
此时，
1
1
2
2
PM
PA
，
∴
PMN
S
的最小值为
2
1
3
3
2
4
，
∵
3
AB
PB
PA
，
∴
1
3
2
2
BC
AB
，
∴
2
2
3 3
2
AC
AB
BC
，
∵
1
2
PE
，
∴
2
2
3
2
AE
PA
PE
，
∴
3
CE
AC
AE
，
∴
2
2
13
2
CP
CE
PE
，
∵
13
2
2
PB
，
∴CP
PB
，
∴当
,
N B 两点重合时，PN 有最大值，则PM 有最大值，即
PMN
S
有最大值，
此时，
3
3
3
6
6
3
PM
PN
PB
，
∴
PMN
S
的最大值为
2
3
3
3
3
3
；
∴
MPN
△
面积的最小值为
3
4
，最大值为
3
3
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩
形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、相似三角形
的判定、勾股定理．
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【变式5-2】【初步探究】
（1）如图1，在
ABC
中，点D 、E 、F 分别在边BC ，AB ，AC 上，
40
B
EDF
，这两个相等的
角会使图形中出现其它的等角．请你直接写出这组等角（不添加其他辅助线），
【深入研究】
（2）如图2，
B
EDF
C
，CD
BE
，试说明
BDE
CFD
△
≌△
【变式探究】
（3）如图3，在等边
ABC
中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的动点，
2
BD
AE
，连接DE ，以DE 为边在
ABC
内作等边DEF
，连接CF ，当D 从点A 向B 运动（不运动到点B ）时，
①求
FCE
的度数；
②若
2
AC
，
ABC
的面积为a ，点M 为边AC 上（不与A ，C 重合）的任意一点，连接FA ，FM ，直接
写出FA
FM
的最小值（用含a 的代数式表示）．
【答案】（1）
BED
CDF
，理由见解析；（2）见解析；（3）①
30
FCE
；②FA
FM
的最小值是a
【详解】解：（1）这组等角是：
BED
CDF
理由如下：在BED
中，
180
BDE
B
BED
．
点D 在边BC 上，
180
BDE
EDF
CDF
．
B
EDF
BED
CDF
（2）证明：
BED
CDF
（已证）
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在BED
和CDF
中，
B
C
BE
CD
BED
CDF
ASA
BDE
CFD
≌
（3）①
ABC
是等边三角形，
60 ,
A
B
C
AB
AC
BC
．
DEF
是等边三角形，
,
60
DE
EF
DEF
DEF
A
据（1）可知
CEF
ADE
在AC 上截取CH
AE
，连接FH ．
2
BD
AE
，
2
AE
CH
AE
BD
．
又
AB
AC
，
AD
EH
．
在
ADE
和HEF
中，
AD
EH
ADE
HEF
DE
EF
，
SAS
ADE
HEF
≌
．
,
60
AE
FH
EHF
A
，
FH
CH
，且
120
FHC
，
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30
FCE
②FA
FM
的最小值是a ．如图，
由
30
FCE
可知，点F 在等边
ABC
的角平分线CN 上运动．点A 关于线段CN 的对称点是点B ，
所以FA
FM
FB
FM
BM
，
当点B 、点F 、点M 三点共线且BM
AC
时，FA
FM
取最小值，
即转化为求等边
ABC
的高．
因为
ABC
的面积是a ，
所以1
2 BM AC
a
，
所以BM
a
．
即FA
FM
的最小值是a ．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角
形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，垂线段最短，熟练掌握利用垂线段最短求最短路径问题
是解题的关键．
锐角三角函数与实际应用
类型一、仰角俯角问题
【例1】研学实践：某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进
行了实地测量．
数据采集：如图，测量小组操作无人机在点A 处竖直上升34 米后飞行至点B 处，在点B 处测得旗亭顶端D 的
俯角为20，然后沿水平方向向左飞行至点C 处，在点C 处测得旗亭顶端D 和点A 的俯角均为45．
数据应用：点
,
,
,
,
A B C D E 在同一竖直平面内，且点A 和点E 在同一水平线上，DE
AE
．请根据上述数据，
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计算旗亭DE 的高度．（结果精确到1 米．参考数据：sin20
0.34
，cos20
0.94
，tan20
0.36
）
【答案】15 米
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
，
45
ACB
，
45
ACB
BAC
，
34
BC
AB
米，
如图，延长ED 交BC 的延长线于点F ，则四边形ABFE 为矩形，
34
EF
AB
米，
设DE
x
米，则
34
DF
x
米，
在Rt DFC
中，
45
DCF
，则
34
FC
DF
x
米，
68
BF
CF
BC
x
米，
在Rt BFD
中，
20
FBD
，
tan
DF
FBD
BF
，
tan
DF
BF
FBD
，
即
34
68
0.36
x
x
，
解得
15
x
．
答：旗亭DE 的高度约为15 米．
【例2】2022 年11 月29 日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火
箭从发射点O 处发射，当火箭到达A 处时，在地面雷达站C 处测得点A 的仰角为30，在地面雷达站B 处
测得点A 的仰角为45．已知
20km
AC
，O、B、C 三点在同一条直线上，求B、C 两个雷达站之间的距离
（结果保留根号）．
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【答案】(10 3
10)km
【详解】解：∵
20km
AC
，
30
ACO
，
∴
1
20sin 30
20
10km
2
AO
，
3
20cos30
20
10 3km
2
OC
，
∵
45
ABO
，
∴
10km
OB
AO
，
∴
(10 3
10)km
BC
OC
OB
.
答：B、C 两个雷达站之间的距离为(10 3
10)km
.
【变式1-1】如图，一无人机在建筑物AB 上空点P 处测得建筑物底端点A 的俯角比顶端点B 的俯角大37，
已知建筑物AB 位于水平地面AC 上，小明从A 处出发沿着AC 走了24 米后到达点C 处，发现无人机正好在
他的正上方．无人机，建筑物AB 都与水平面垂直．则建筑物AB 的高度为（
）（参考数据：
3
sin37
5
，
cos37
4
5
，tan373
4 ）
A．100
3 米
B．75
4 米
C．25 米
D．28 米
【答案】C
【详解】解：如图，过点B 作BD
PC
于点D，
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根据题意可知：
DC
AC
BA
AC
，
，
∴四边形ABDC 是矩形，
∴
24
DC
AB
DB
AC
，
，
∵
53
CAP
，
∴
90
53
37
BAP
，
∵P 处测得建筑物底端点A 的俯角比顶端点B 的俯角大37，
∴
37
BPA
，
∴
BPA
BAP
，
∴PB
BA
，
在Rt ACP
中，
90
53
37
APC
，
∴tan37
AC
PC
，
即3
4 24
PC ，
∴
32
PC
，
∴
32
PD
PC
DC
AB
，
在Rt PDB
中，根据勾股定理，得
2
2
2
PD
BD
PB
即
2
2
2
32
24
AB
AB
，
解得
25
AB
．
所以建筑物AB 的高度为25 米．
故选：C．
【变式1-2】百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地．如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的
设计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称．珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，
动态优美，充满青春气息．身高
1.8
AB
米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B 点仰头30正好平
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视到珍珠顶，向前走了4.6 米后，站在C 点仰头60正好平视到珍珠顶．帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大
约是多少（精确到0.1米）．（参考数据：
2
1.414, 3
1.732
）
【答案】5.8米
【详解】如图，设珍珠顶为点M，小明站在C 点处头顶为点D，过点A 作AE
BC
∥
交ME 于点E，则AE
ME
，
且点D 在AE 上，
由题意可知
1.8
AB
CD
米，
4.6
BC
AD
米，
30 ,
60
MAE
MDE
，
设ME
x
米，
在Rt
AEM
△
中，
30
MAE
，
∴
3
tan
tan 30
ME
x
AE
x
MAE
米，
在Rt
MDE
△
中，
60
MDE
，
∴
3
tan
tan 60
3
ME
x
DE
x
MDE
米，
∵AE
DE
AD
，
∴
3
3
4.6
3
x
x
，
解得：
3.984
x
，
∴总高度
3.9836 1.8
5.8
米，
答：珍珠女雕塑的总高度大约是5.8米．
【变式1-3】2021 年4 月29 日，新一代运载火箭长征五号将中国航天器“天和”号核心舱送入预定轨道，标
志着中国空间站时代即将开启，根据观测，运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达点A 时，地面D 处的雷
达站测得
4000
AD
米，仰角为28，经过3 秒后，火箭直线上升到达点B 处，此时地面C 处的雷达站测得
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B 处的仰角为45．已知C，D 相距460 米．
(1)OA 米；
(2)求火箭从A 到B 处的平均速度（结果精确到1 米，参考数据：sin 28
0.47
，cos28
0.88
，tan 28
0.53
）．
【答案】(1)1880
(2)402 米/秒
【详解】（1）解：在Rt
ADO
△
中，
28
ADO
，
sin 28
4000 0.47
1880
OA
AD
（米），
故答案为：1880；
（2）解：设火箭从A 到B 处的平均速度为x 米／秒，根据题意可知：
3
AB
x
（米），
1880
AO
米，
1880
tan 28
0.53
OA
DO
（米），
460
CD
米，
1880
460
0.53
OC
OD
CD
米，
在Rt BOC
中，
45
BCO
，
BO
OC
，
1880
3
OB
OA
AB
x
米，
1880
1880
3
460
0.53
x
，
解得
402
x
（米/秒）．
故火箭从A 到B 处的平均速度为402 米/秒．
类型二、方位角问题
【例3】“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园
大门（A 地）步行出发，约定在停车场（D 地）汇合．小依先沿北偏东60的方向走600 2m 到达和善亭（B
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地），然后继续向东北方向走200m到达和雅亭（C 地），到达C 地后停留了3 分钟整理沿途采集的植物，
整理完毕后再到停车场（D 地），D 地在C 地的南偏东30方向．小钟从A 地出发后，先沿正东方向到达和
志亭（E 地），再沿北偏东15方向到达D 地，E 地恰在C 地的正南方向．
(1)请求出CE 的长度：（结果保留根号）
(2)若小依步行的速度为1.5m/s ，小钟步行的速度为1.2m/s ，请问小依和小钟谁先到达停车场（D 地）？通
过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：
2
1.41, 3
1.73, 6
2.45
）
【答案】(1)400 2m
(2)小依先到停车场，说明见过程
【详解】（1）解：过点B 作BF
AE
于点F，过点B 作BG
CE
于点G，则四边形BFEG 是矩形，
∴BF
GE
，
根据题意得：
90
60
30
90
45
45
600 2m,
200m
，
，
BAF
CBG
AB
BC
，
在Rt ABF
中，
m
m,
sin30
300 2
cos30
300 6
BF
AB
AF
AB
，
在Rt
CBG
△
中，
sin 45
100 2m
BG
CG
BC
，
∴
400 2m
CE
CG
GE
；
（2）解：小依先到停车场，说明如下：
如图，延长
,
CD AE 交于点I，过点E 作EH
CI
于点H，
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在Rt CEI
中，
400 6
tan30
m
3
EI
CE
，
800 6 m
cos30
3
CE
CI
，
∵
30
ECI
，
∴
60
I
，
∴
30
IEH
，
∴
90
45
DEH
CED
IEH
，
在Rt IHE
中，
200 6
sin 60
200 2m,
cos60
m
3
EH
EI
HI
EI
，
∴
2
400m,
200 2m
DE
EH
DH
EH
，
∴
200 6
200 2 m
CD
CI
DH
HI
，
则小依走过的路程为
600 2
200
200 6
200 2
400 2
200
200 6 m
AB
BC
CD
，
∴小依所用的时间约为400 2
200
200 6 180
1016.0s
1.5
，
小钟走过的路程为
300 6
100 2
400 m
AE
DE
AF
BG
ED
，
∴小钟所用的时间约为300 6
100 2
400
1063.3s
1.2
，
∵1016.0s<1063.3s ，
∴小依先到停车场．
【例4】在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A 地出发，途经B 地去往C 地，
如图．当他由A 地出发时，发现他的北偏东45方向有一信号发射塔P．他由A 地沿正东方向骑行4 2km 到
达B 地，此时发现信号塔P 在他的北偏东15方向，然后他由B 地沿北偏东75方向骑行12km 到达C 地．
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(1)求A 地与信号发射塔P 之间的距离；
(2)求C 地与信号发射塔P 之间的距离．（计算结果保留根号）
【答案】(1)
4
4 3 km
(2)4 7km
【详解】（1）解：过点B 作BD
AP
于D 点，
依题意知：
45 ,
15 ,
75
PAB
PBG
GBC
，
∵
45
DAB
，
∴
ABD
△
是等腰直角三角形，
∵
4 2
AB
，
∴
4
AD
BD
，
∵
45 ,
15
ABD
GBD
GBP
，
∴
60
PBD
，
∵
4
BD
，
∴
tan
4 3km
PD
BD
BPD
，
∴
4
4 3 km
PA
；
（2）解：∵
60 ,
4
PBD
BD
，
∴
4
8
1
cos
2
BD
PB
PBD
，
过点P 作PE
BC
于E，过点B 作正北方向射线BG ，
∵
45 ,
15
ABD
GBD
GBP
，
∴
75
GBC
，
∴
60
PBE
，
∴
1
sin
8
4
2
BE
PB
PBE
，
3
cos
8
4 3
2
PE
PB
PBE
，
∵
12
BC
，
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∴
8
CE
，
∴
2
2
4 7km
PC
PE
CE
．
【变式2-1】如图，某公路局施工队要修建一条公路MN ，已知C 点周围300 米范围内为古建筑保护群，在
MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45方向上，从A 向东走900 米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60方
向上．（参考数据：
2
1.414
，
3
1.732
）
(1) MN 是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5 天完成，需将原定的工作效率提高25% ，则原计划
完成这项工程需要多少天？
【答案】(1) MN 不会穿过古建筑保护群，理由见解析；
(2)原计划完成这项工程需要25 天．
【详解】（1）解：MN 不会穿过古建筑保护群，理由如下：
如图，过C 作CH
AB
于H ，设CH
x
，
由已知有
45
EAC
，
60
FBC
，则
45
CAH
，
30
CBA
在Rt ACH
中，AH
CH
x
，
在Rt HBC
中，tan
CH
HBC
HB
，
AH
HB
AB
，
3
900
x
x
，
解得：
900
330
1
3
x
（米）
300
（米），
∴MN 不会穿过古建筑保护群；
（2）解：设原计划完成这项工程需要y 天，则实际完成工程需要
5
y
天．
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根据题意得：
1
1
1
25%
5
y
y
，
解得：
25
y
，
经检验知：
25
y
是原方程的根，
答：原计划完成这项工程需要25 天．
【变式2-2】如图，在某海域一艘巡逻舰由东向西匀速航行，速度为30nmile/h ，该巡逻舰上午10:00在A 处
发现北偏西53方向的C 处船甲正在由南向北匀速航行，198s 后，巡逻舰航行到B 处，发现船甲在其北偏
西45方向且距其15 2nmile的D 处．请你根据相关数据，求船甲的速度．（结果精确到1nmile/h ．参考数
据：
4
sin53
5
，
4
tan53
3
，
3
cos53
5
）
【答案】船甲的速度为46nmile/h
【详解】解：如图，延长AB 、DC 相交于点E，则
90
E
，
在Rt
DEB
△
中，
45
D
DBE
，
15 2nmile
BD
，
∴
sin45
15
DE
BE
BD
（nmile ），
∵198s
0.055h
，
∴
30 0.055
1.65
AB
（nmile ），
∴
1.65 15
16.65
AE
AB
BE
（nmile ），
在Rt ACE
中，
53
ACE
，
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∴
16.65
12.4875
tan 53
tan 53
AE
CE
（nmile ），
∴
15 12.4875
2.5125
CD
（nmile ），
∴甲船的速度为2.5125
0.055
45.68
46
（nmile/h ），
答：船甲的速度为46nmile/h ．
【变式2-3】如图，A ，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C 点处遇险发出求救信号，
此时测得C 点位于观测点A 的北偏东45方向上，同时位于观测点B 的北偏西60方向上，且测得C 点与观
测点A 的距离为25 2 海里．
(1)求观测点B 与C 点之间的距离；
(2)有一艘救援船位于观测点B 的正南方向且与观测点B 相距30海里的D 点处，在接到海轮的求救信号后立
即前往营救，其航行速度为60 海里/ 小时，求救援船到达C 点需要的最少时间．
【答案】(1)50海里
(2) 7
6 小时
【详解】（1）解：如图，过点C 作CE
AB
于点E ，
根据题意可知：
45
ACE
CAE
，
25 2
AC
海里，
25
AE
CE
海里，
30
CBE
，
25 3
BE
海里，
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2
50
BC
CE
海里．
答：观测点B 与C 点之间的距离为50海里；
（2）解：如图，作CF
DB
于点F ，
CF
DB
，FB
EB
，CE
AB
，
四边形CEBF 是矩形，
25
FB
CE
海里，
25 3
CF
BE
海里，
30
25
55
DF
BD
BF
海里，
在Rt DCF
中，根据勾股定理，得
2
2
2
2
(25 3)
55
70
CD
CF
DF
海里，
7
70
60
6
小时．
答：救援船到达C 点需要的最少时间是7
6 小时．
类型三、坡度坡比问题
【例5】春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB 的坡度为1: 2.4，AB 长为5.2米，钓
竿AC 与水平线的夹角是60，其长为6 米，若钓竿AC 与钓鱼线CD的夹角也是60，则浮漂D 与河堤下端
B 之间的距离约为（
）
A．12
5
B．6
2 3
5
3
米
C．6
3
5
米
D．2 3 米
【答案】B
【详解】解：如图，延长CA 交DB 延长线于点E，过点A 作AF
BE
⊥
于点F，则
60
CED
，
∵河堤AB 的坡度为1: 2.4，
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∴
1
5
2.4
12
AF
BF
，
∴设
5 m,
12 m
AF
x
BF
x
，
∵
5.2
AB
米，
∴在Rt ABF
中，
2
2
2
AB
AF
BF
，
∴
2
2
2
5.2
25
144
x
x
，
解得：
0.4
x
，
∴
5
2m,
12
4.8m
AF
x
BF
x
，
∴EF
2
2 3 m
tan60
3
3
AF
，
2
4 3 m
sin 60
3
3
2
AF
AE
，
∵
60
C
CED
，
∴CDE
是等边三角形，
∵
6
AC
米，
∴
4 3
6
3
DE
CE
AC
AE
米，
∴
4 3
2 3
6
2 3
6
4.8
3
3
5
3
BD
DE
EF
BF
米，
即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为6
2 3
5
3
米．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键．
【例6】为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD 与通
道BC 平行），通道水平宽度BC 为8 米，
135
BCD
，通道斜面CD的长为6 米，通道斜面AB 的坡度
1:
2
i
．
(1)通道斜面AB 的长为________米；
(2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE 的坡角为30，
求此时BE 的长（精确到0.1m，
2
1.41
，
6
2.45
）．
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【答案】(1)7.4
(2)4.9 m
【详解】（1）解：过点A 作AN
CB
于点N，过点D 作DM
BC
于点M，
∵
135
BCD
，
∴
45
DCM
．
∵在Rt CMD
中，
90
6
CMD
CD
，
，
∴
2
3 2
2
DM
CM
CD
，
∴
3 2
AN
DM
，
∵通道斜面AB 的坡度
1:
2
i
，
∴
1
tan
2
AN
ABN
BN
，
∴
2
6
BN
AN
，
∴
2
2
3 6
7.4
AB
AN
BN
．
即通道斜面AB 的长约为7.4 米；
故答案为：7.4 ；
（2）∵在Rt MED
中，
90
30
3 2
EMD
DEM
DM
，
，
，
∴
3
3 6
EM
DM
，
∴
3 6
3 2
EC
EM
CM
，
∴BE
BC
EC
8
3 6
3 2
8
3 2
3 6
4.9
（米）．
答：BE 的长为4.9 米；
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构
造直角三角形是解题的关键．
【变式3-1】有一处斜坡如下图所示，分为
8m
MO
NO
的两段，MO 段的坡度为1:1，NO 段的坡度为
1: 3 ．若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过15cm，则这一处斜坡最少可以建造多少级台
阶（参考数据：
2
1.41, 3
1.73
）？
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【答案】这一处斜坡最少可以建造65 级台阶
【详解】解：如图，过点O 作OA
MP
，作OB
NP
，垂足分别为
,
A B ．
在Rt MOA
中，
MO
段的坡度为1:1，
2
2
2
MO
OA
OA
．
8m
4 2m
MO
OA
，
．
在Rt ONB
中，
NO段的坡度为1: 3 ，
2
2
( 3
)
2
.
8m
ON
BN
BN
BN
ON
Q
，
4m
BN
，
4 2
4
9.64(m)
OA
BN
，9.64m
964cm
，
4
964 15
6415
，
答：这一处斜坡最少可以建造65 级台阶．
【变式3-2】某校试行“半天校外课”计划以提高学生的问题解决能力，组织学生到校外，利用相关的数学知
识测量某雕像的高度．如图，雕像CD前有一段坡度为
3 4
i ：的斜坡BE ，某同学站在坡底B 点处，用测角仪
测得顶部C 的仰角为42，接着他又向上走了5 米，在坡上E 点处测得顶部C 的仰角为
45 , A
B
C
D
E
F
、、、、、
在同一平面内．若测角仪的高度
1.4
AB
EF
米，则雕像CD的高度约为（
）
米．（精确到0.1米，参考数据：sin42
0.67,cos42
0.74 tan42
0.90
,
）
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A．9.6
B．10.0
C．10.4
D．10.8
【答案】C
【详解】解：过F 作FG
CD
⊥
于G，作A 作AH
CD
于H，
∵
90
ABD
D
DHA
，
∴四边形ABDH 是矩形，
∴
1.4
AB
DH
米，AH
BD
，
延长FE 交BD 于M，
∵AB
BD
，
∴FM
BD
，
∵
90
FMD
D
DGF
，
∴四边形EMDG 是矩形，
∴FM
GD
，
∵斜坡BE 的坡度为
3 4
i ：，
∴设
3
EM
x
，则
4
BM
x
，
在Rt BEM
中，
2
2
5
BE
BM
EM
x
，
由题意得：
5
BE
米，
∴
1
x ，
∴
3
EM
米，
4
BM
米，
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∴
1.4
3
4.4
FM
EF
EM
米，
∵
45
CFG
，
∴
CFG
△
是等腰直角三角形，
∴FG
CG
，
∴DM
CG
，
∴
4
AH
BD
BM
DM
CG
，
4.4
1.4
3
CH
CG
DG
DH
CG
CG
，
在Rt AHC
中，tan
CH
CAH
AH
，
∴
3
tan 42
0.9
4
CG
CG
,
∴
6
CG
米，
∴雕像CD的高度约为
6
4.4
10.4
CG
DG
米，
故选：C．
【变式3-3】2025 年3 月20 日，山西省公布2024 年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62 条（段、
个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”
作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息：
①堤坝截面图如图1 所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑；
②将图1 所示截面图抽象为图2 所示的几何图形，相关数据如下：坡角
26.5
ABC
Ð
=
°，
30
DCB
，
45
DEC
，坝顶
5
AD 米，坝底黏土宽度
17.5
BE
米，且AD
BC
∥
，点B ，E ，C 在同一水平线上，…
请根据上述数据，计算背水坡CD的长．（参考数据：sin26.5
0.45
，cos26.5
0.89
，tan26.5
0.50
．）
【答案】25 米
【详解】解：如图，过点A 作AG
BC
，垂足为G ，过点D 作DH
BC
，垂足为H ．
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则四边形AGHD为矩形．
5
GH
AD
，AG
DH
．
设AG
DH
x
．
在Rt
ABG
△
中，
90
AGB
，
26.5
ABG
．
tan
AG
ABG
BG
．
tan
0.5
AG
x
BG
ABG
．
在Rt
DEH
△
中，
90
DHE
，
45
DEH
．
45
HDE
DEH
，
EH
DH
x
．
BE
EH
BG
GH
，
17.5
5
0.5
x
x
．
解，得
12.5
x
．
在Rt
DHC
△
中，
90
DHC
，
30
DCH
，
2
2 12.5
25
CD
DH
（米）．
答：背水坡CD的长为25 米．
类型四、其他问题
【例7】如图，图1 是一盏台灯，图2 是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂
40cm
AC
，
灯罩
30cm
CD
，灯臂与底座构成的
60
CAB
．CD可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD
与水平线所成的角为30时，台灯光线最佳，求此时点D 与桌面的距离．（结果精确到1cm，
3 取1.732）
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【答案】点D 与桌面的距离为50cm
【详解】解：过点D 作DH
AB
，交AB 延长线于点H ，过点C 作CF
AH
于F，过点C 作CE
DH
于E，
在Rt
ACF
△
中，
60
A
，
40cm
AC
，
∵sin
CF
A
AC
，
∴
sin 60
20 3 cm
CF
AC
，
在Rt
CDE
△
中，
30
DCE
，
30cm
CD
，
∵sin
DE
DCE
CD
，
∴
sin30
15 cm
DE
CD
，
∵DH
AB
，CF
AH
，CE
DH
，
∴四边形CFHE 是矩形，
∴CF
EH
，
∵DH
DE
EH
，
∴
20 3
15
50 cm
DH
DE
EH
．
答：点D 与桌面的距离约为50cm．
【例8】如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三
分之一处．已知试管，
30cm
AB
，
1
3
BE
AB
，试管倾斜角为10．
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(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN ，延长BM 交CN 的延长线于点F ，且MN
CF
（点C
D
N
F
、、、
在一
条直线上），经测得：
21.7cm
DE
，
8cm
MN
，
145
ABM
，求线段DN 的长度．
（参考数据：sin10
0.17
，
cos10
0.98
，tan10
0.18
）
【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm
(2)线段DN 的长度为21.8cm
【详解】（1）解：过点E 作EG
AC
于点G ，如下图，
∵
30cm
AB
，
1
3
BE
AB
，
∴
10cm
BE
，
20cm
AE
，
∵
10
AEG
，
∴
cos
20
cos10
19 6 cm
.
GE
AE
，
∴
19.6cm
CD
GE
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm ；
（2）解：如图，过点B 作BH
CF
于点H，BP
DE
于点P ，过点M 作MQ
BH
于点Q ，
则
cos
10
cos10
m
8 c
9.
BP
BE
，
sin
10
sin10
m
7 c
1.
EP
BE
，
∵
21.7cm
DE
，
∴
21.7
1.7
m
20 c
PD
DE
EP
，
∴
20cm
BH
PD
，
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∵
8cm
MN
，
∴
8cm
QH
，
∴
20
8
12 cm
BQ
BH
QH
，
∵
145
ABM
，
∴
90
145
10
90
45
QBM
ABM
，
∴
90
45
QMB
QBM
QBM
，
∴
12cm
QM
BQ
，
∴
9.8 12
21.8 cm
DN
DH
HN
BP
QM
，
答：线段DN 的长度为21.8cm ．
【变式4-1】每年12 月2 日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前
有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度DE 为6 米．现有一
旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A 与斑马线前后两端的视角
FAE
，
FAD
的大小分别
为15和30，司机与车头的水平距离BC 为1 米，与车顶的垂直距离为0.2 米．
(1)旅游车高约多少米？
(2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离CD不得小于3 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全
标准？（E，D，C，B 四点在平行于斑马线的同一直线上）
（参考数据：tan15
0.27
，sin15
0.26
，cos15
0.97
，
3
1.73
，2
1.41
）
【答案】(1)旅游车高约3.2米．
(2)该旅游车停车符合规定的安全标准．
【详解】（1）解：∵
15
FAE
，
30
FAD
，
∴
15
EAD
，
∵AF
BE
∥
，
∴
15
AED
FAE
，
30
ADB
FAD
，
∴
DAE
DEA
，
小学
初中
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∴
6
AD
DE
，
∴
1
3
2
AB
AD
，
∴3
0.2
3.2
，
∴旅游车高约3.2米．
（2）解：在Rt
ADB
△
中，
3
3 3
tan30
tan30
AB
BD
，
∵
1
BD
CD
BC
CD
，
∴
3 3
1
4.19
3
CD
，
答：该旅游车停车符合规定的安全标准．
【变式4-2】2022 年2 月20 日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕，北京冬奥会为绿色办奥．科技办奥
贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，
凝聚更团结的力量．图1，图2 分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动
员的小腿DE 与斜坡AB 垂直，大腿DH 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设G ，D ，E 三点共线，若膝盖弯
曲处与滑雪板后端的距离DF 长为1.2m ，该运动员大腿DH 长为0.47m ，
62
GHD
，
30
DFE
．（参
考数据：sin62
0.88
，cos62
0.47
，tan62
1.88
，3
1.73)
(1)求此刻滑雪运动员上半身GH 的长；
(2)求此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度．（结果精确到0.1m）
【答案】(1)1m
(2)1.5m
【详解】（1）解：如图，连接GD ，
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由题意可知：GD
DH
，
0.47m
DH
，
62
GHD
，
cos
DH
GHD
GH
，
0.47
1m
cos
0.47
DH
GH
GHD
，
答：滑雪运动员上半身GH 的长约为1m ；
（2）解：在Rt GDH
中，
0.47m
DH
，
62
GHD
，
则
tan
0.47 1.88
0.88m
GD
DH
GHD
，
在Rt
DEF
△
中，
1.2m
DF
，
30
DFE
，
则
1
0.6m
2
DE
DF
，
0.88
0.6
1.5m
GE
GD
DE
，
答：运动员头部G 到斜坡AB 的高度约为1.5m ．
【变式4-3】如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂AB 、连杆BC 、悬臂CD和安装在D 处的摄像头组
成．如图2 是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂
,
18cm,
44cm
AB
l AB
CD
，固定
148
ABC
，可通过调试悬臂CD与连杆BC 的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C 到桌面l 的距离约为52cm．
(1) BC 的长度为多少？
(2)已知摄像头点D 到桌面l 的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC 的夹角
BCD
的
度数约为多少？（参考数据：sin58
0.85,cos58
0.53,tan58
1.60
）
【答案】(1)40cm
(2)28
【详解】（1）解：过点C 作CE
l
，垂足为E ，过点B 作BF
CE
，垂足为F ，
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∴
90
EAB
AEF
BFE
，
∴四边形ABFE 是矩形，
∴
90
ABF
，
18cm
AB
EF
，
52cm
CE
，
34 cm
CF
CE
EF
（
），
148
ABC
，
58
CBF
ABC
ABF
，
在Rt
CBF
△
中，
34
40
sin58
0.85
CF
BC
（厘米），
BC
的长度约为40 厘米；
（2）过点D 作DG
CE
^
，垂足为G ，
由题意得：
30cm
EG
，AB
CE
∥
，
180
32
BCE
ABC
，
52cm
CE
，
52
30
22
CG
CE
EG
（厘米），
在Rt
CDG
△
中，
44cm
CD
，
22
1
cos
44
2
CG
DCG
CD
，
60
DCG
，
28
DCB
DCG
BCE
，
此时悬臂CD与连杆BC 的夹角
BCD
的度数约为28
