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第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷
全解全析
1．C
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如 （ 是常数，
）的函数，叫做二次函数．
【详解】A. y＝ ＋x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. y＝x2－(x＋1)2 ，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
C. y＝－ x2＋3x＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D. y＝3x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【详解】二次函数 ，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵点A（1， ），B（2， ），C（−3， ）都在二次函数 的图象上，
∴点C（−3， ）关于对称轴的对称点是C（3， ），
∵1＜2＜3，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
3．D
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】A．抛物线 的开口向下，故选项正确，不符合题意；
B．抛物线 的顶点坐标是（−1，−1），故选项正确，不符合题意；
C．抛物线 的对称轴是直线x＝−1，故选项正确，不符合题意；
D．当x≤﹣1时，y的值随x的增大而增大，故选项错误，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
4．B
【分析】根据所给函数解析式，得到一个新的二次函数 ，若 即 >0，则新的二次函数二次项系
数要大于0，并且Δ<0，据此求解即可．
【详解】解： ，
选项A：若 ，则 ， ，无法判断 的符号，故此选项不符合题意；
选项B：若 ，则 ， ，
则 ，故此选项符合题意；
选项C：若 ，则 ，则 这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有 ，故
此选项不符合题意；
同理选项D也不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．B
【分析】观察表格可得-0.08更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，再由 的对称
轴为x= 得到方程 的另一个近似根（精确到0.1）是3.5
【详解】解：∵二次函数 ，
∴对称轴为直线x＝ ，
观察表格得：方程 的一个近似根（精确到0.1）是1.5，
∴另一个近似根m满足 ＝ ，
∴m＝3.5，
故选：B.
【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
6．D【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=- =1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴ （m为任意实数），
∴ ，
∵a＜0，
∴ （m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵- =1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣ ，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
7．C
【分析】根据OA=5知点C的横坐标为-5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．
【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．
8．C
【分析】联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x, 4x- x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y= x
于B，求得AB=4x- x2- =- x2- x=- (x- )2+ ，根据二次函数的性质可判断D．
【详解】解：联立两函数解析式，得
，解得： 或 ，
则小球落地点距O点水平距离为7米，
故A选项不符合题意；
∵ ，
则抛物线的对称轴为x=4，
∵ <0，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，
故B选项不符合题意；
当y=7.5时，7.5=4x- x2，
整理得x2-8x+15=0，
解得，x=3，x=5，
1 2
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意；
如图，设抛物线上一点A(x, 4x- x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y= x于B，
∴B(x, )，
∴AB=4x- x2- =- x2 x=- (x- )2+ ，∵ <0，
∴当x= 时，AB有最大值，最大值= ，
即小球距斜坡的最大铅直高度为 ，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．B
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确
的．
【详解】解：A．一次函数y=ax+c中a＞0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项A不符合题意；
B．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项B符合题意；
C．一次函数y=ax+c中a＜0，c＜0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项C不符合题意；
D．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用
数形结合的思想解答．
10．D
【分析】①根据图象与x轴有两个交点，Δ＞0即可判断；
②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；
③根据图象可得对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0），则另一个交点为（-1，0），再根据抛物线增
减性即可判断；
④根据图象抛物线与x轴的一个交点为（3，0），可得9a+3b+c=0，对称轴为x=1，可得b=-2a,将2b=-4a代入
9a+3b+c=0，即可判断；
⑤根据图象可得a＞0，即可得出1＜a+1＜a+2，再结合对称轴为直线x=1，运用二次函数增减性即可判断．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴9a＋3b＋c=9a＋2b＋b＋c=9a－4a＋b＋c=5a+b+c＝0，
∴④正确；
⑤∵a＞0，
∴1＜a+1＜a+2，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴ ，
∴ ，
∴⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本
题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
11．D
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为 ，进而可得 ，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）， 的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻
折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得 ，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶
点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得： 与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为 ，即 ，
∴整理得： ，故①正确；
∵ 与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿 轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵ 中a＞0， ，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴ ，故③正确；
设抛物线 的解析式为 ，
代入（0，3）得： ，
解得：a＝－1，
∴ ，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
12．B
【分析】分别求出M在AD和在BD上时 MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
△
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ，
∴∠B＝60°， ， ，
∵CD⊥AB，∴ ， ， ，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
， ，
∴ ，
当M在BD上时，3＜t≤4，
，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，
不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
13． （答不唯一）
【分析】对称轴为y轴，则一次项系数为0，经过点（0，-2）即常项数为-2，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，满足题意的二次函数解析式可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解对称轴为y轴，则一次项系数为0，经过点（0，-2）即常项
数为-2是解题的关键．
14． ，
【分析】二次函数图象与一次函数图象交点的横坐标即为 的解： ， .
【详解】解： 抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ， ，
方程组 的解为 ， ，
即关于 的方程 的解为 ， ，
所以方程 的解是 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了函数图象与方程的解的关系，函数与方程是密不可分的，方程的根的个数问题，往往可以转化为两个函数图象的交点问题．
15．
【分析】根据二次函数增减性的判定：①开口方向；②对称轴，结合题中当 时，y的值随x值的增大而增大，
即可得到关于 的不等式，求解即可得到结论．
【详解】解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
∵当x＞3时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤3，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数增减性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
16． （-1，0） 2
【分析】（1）将抛物线解析式 变形为 ，当x+1=0时，无论a为何值，抛物线
恒过某一定点；
（2）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值．
【详解】解：（1）将抛物线解析式 变形为 ，
当x+1=0即x=-1时，抛物线恒过定点（-1，0）．
故答案是：（-1，0）；
（2） 向上平移2个单位可得， ，
∴ ，
∴抛物线顶点的纵坐标 ，
∵- ＜0，
∴m的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单．
17． 或
【分析】根据点A、B的坐标，再找出抛物线图象在直线上方的部分的x的取值范围即可得解．
【详解】解：∵点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线 上的两点，
∴当x＜﹣1或x＞2时，抛物线图象在直线上方，故不等式 ＞kx+b的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据图象的上下方关系确定不等式的解集与x的取值范围是解题的关键，
数形结合是数学中的重要思想之一．
18．①②④
【分析】由题意易得 ， ，抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，进而可得抛物线的对
称性可得与x轴的另一个交点坐标为 ，然后问题可进行求解．
【详解】解：由抛物线 经过点（－2，0），且对称轴为直线 ，可得：
， ，
∴ ，故①错误；
∴根据抛物线的对称性可得与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴当x=2时，则有 ，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴ ，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n，
若n＞m＞0，
∴1+n＞1+m＞1，
∴x=1+m时的函数值大于x=1-n时的函数值，故③错误；
∵b=-2a，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－2，0），
∴ ，即 ，
∴ ，
∴点 一定在此抛物线上，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
19．(1)
(2)平移所得抛物线是 ，交点坐标为【分析】（1）根据抛物线过点 ，代入即可求出答案；
（2）抛物线向右平移 个单位，根据抛物线水平方向移动规律“左加右减，上加下减”即可求出平移所得抛物线，
两条抛物线联立方程即可求出交点坐标．
（1）
解：根据题意得， ，
故 ．
（2）
解：抛物线解析式是 ，将该抛物线向右平移 个单位，
∴平移后抛物线解析式是 ，
故平移后抛物线解析式是 ，
两条抛物线的交点得，
∴ ，解方程组得， ，
故交点坐标是 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，理解和掌握函数待定系数法求解析式，函数平移规律是解题的关键．
20．(1)
(2)1200平方米
【分析】（1）由矩形的面积公式写出函数解析式即可；
（2）利用第（1）问的函数解析式，由二次函数的性质即可解决问题．
（1）
解：∵BC长为x米，∴AB=CD= ，
∴由矩形的面积公式得： ，
∴y与x的函数关系式为 ；
（2）
解：由（1）得； ，∵﹣ ＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=50，
∴当x＜50时，y随x的增大而增大，
∵AD≤MN，
∴x≤a=40，
∴当x=40时，y有最大值，最大值为1200，
∴若a=40矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据数量关系写出函数解析式．
21．(1) ；
(2) ；
(3)当 时，PM取最大值，最大值为 ．
【分析】（1）根据 分别交 轴于 ，得点 的坐标，把点 、点 的坐标代入 ，即可；
（2） 分别交 轴于 ，得 点，把 点的坐标代入 ，解出 ，即可；
（3）设 点的坐标为 ，得 点的坐标为 ，得 的代数式；根据二次函数的性质，得
的最大值，即可．
（1）
∵ 分别交 轴于
∴
∴
∴
把 、 代入 得
解得
∴抛物线的解析式为： ．
（2）分别交 轴于
∴
解得 ，
∴
把 代入
∴
∴
∴
∴直线AB的方程为： ．
（3）
∵点 点在 上，点 在 上
∴设 点的坐标为 ， 点的坐标为
∴
∴
∴
∵
∴当 时，有最大值
∴ 最大值为： ．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析
式，函数的最值．
22．(1)-1<x<3
(2) ，当-1<x<3时， ；当 或 时，
【分析】（1）由图一直接观察图象在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可；
（2）先由沿x轴翻折求出新抛物线的解析式为 及与x轴的两个交点 ， ，再结合图象观察可得 和 的解集．
（1）解：由图一可知，当-1<x<3时， ．故答案为：-1<x<3．
（2）∵把 的图象沿x轴翻折而形成 的图象，∴a=-1，b=2，c=3∴图二抛物线的解
析式为 ，与x轴的两个交点仍为 ， 由图象可知当-1<x<3时， ；当
或 时， ．
【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程
及不等式的关系．
23．(1)24
(2)当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元
(3)当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是1800元
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+降低的价格×2，即可求出每件商品降价2元时平均每天的销售量；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用该商品每天的销售利润
＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少
于25元，即可确定x的值；
（3）设商店每天的销售利润为y元，利用该商品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量列出函数解析
式，根据函数的性质求函数最值．
（1）
解：20+2×2＝24（件），
故答案为：24；
（2）
设每件商品降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理得： ，
解得：x＝10，x＝30，
1 2
当x＝10时，50﹣x＝50﹣10＝40＞25，符合题意；
当x＝30时，50﹣x＝50﹣30＝20＜25，不符合题意，舍去．
答：当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元；
（3）
设商店每天的销售利润为y元，由（2）得：
y＝（50﹣x）（20+2x）＝ ，
∵﹣2＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为1800，
∴当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是1800元．
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式和一元二次方程是
解题的关键．
24．(1)点A的坐标为(-1,0)，B点坐标为(4,0)，C点坐标为：(0,2)
(2)
(3)m值2、 或者
【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程，即可求出点A、B的坐标，令x=0，求出y，即可求出C点坐标；
（2）根据点C与点D关于x轴对称即可得D点坐标，设直线BD的解析式为 ，将点B、点D的坐标代入，
即可求解；
（3）根据点C与点D的坐标即可求出CD，根据MQ⊥x轴，CD⊥x轴，可知 ，当CD=QM时，即可得以
点C、D、M、Q四点围成的四边形是平行四边形，根据点Q、点P、点M三点的横坐标均为m，即可用m表示出
点Q、点M的坐标，即可用m表示出QM，利用CD=QM构建关于m的方程，即可求解．
（1）
令y=0，则有： ，
解方程得： ， ，
根据图形可知：点A的坐标为(-1,0)，B点坐标为(4,0)，
令x=0，则有 ，
则C点坐标为：(0,2)，
即点A的坐标为(-1,0)，B点坐标为(4,0)，C点坐标为：(0,2)；
（2）
∵C点坐标为：(0,2)，点C与点D关于x轴对称，
∴D点坐标为：(0,-2)，
设直线BD的解析式为 ，
∵B点坐标为(4,0)，D点坐标为：(0,-2)，∴ ，解得 ，
∴直线BD的解析式为 ，
即直线BD的解析式为 ；
（3）
∵C点坐标为：(0,2)，D点坐标为：(0,-2)，
∴CD=2-(-2)=4，
∵根据题意有：MQ⊥x轴，CD⊥x轴，
∴ ，
即当CD=QM时，即可得以点C、D、M、Q四点围成的四边形是平行四边形，
∵P点坐标为：(m,0)，
则根据题意可知，点Q、点P、点M三点的横坐标均为m，
又∵点M在直线 上，点Q在抛物线 上，
∴设M点坐标为： ，Q点坐标为： ，
∴ ，
当CD=QM时，即 =4时，以点C、D、M、Q四点围成的四边形是平行四边形，
分情况讨论：
当 时，即有 ，
解得：m=2或者m=0，
当m=0时，CD与QM重合不符合题意，舍去，
即此时m=2，满足要求；
当 时，即有 ，
解得： 或者 ，
综上所述：满足条件的m值为：2， ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质、二次函数与一元二次方程的关系、待定系数法求解直线解析式等知识，属于中考压轴题，难点在第三问，利用平行四边形的判定条件得到
是解答本题的关键．
25．(1)B（2，0），a＝ ；
(2)E（ ，0）；
(3)E（ ，0）．
【分析】（1）求出抛物线对称轴为x＝2，可得点B的坐标为（2，0），由题意可证明 DEF是等腰直角三角形，
可得EF的最大值为4，即MB＝4，将抛物线解析式化成顶点式，进而得出2−4a＝4，即△可求出a的值；
（2）求出直线CD的表达式，再与抛物线解析式联立，求出交点横坐标即可得出点E的坐标；
（3）设点F（x， ），则点E（x，0），证明四边形FPDE是正方形，可得点P的坐标为（
， ），求出直线AM的表达式，将点P坐标代入求出x的值，即可得出点E的坐标．
（1）
解：抛物线 与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，
∵当x＝0时，y＝2，
∴A（0，2），
∵对称轴为x＝− ＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∵FC⊥AB交y轴于点C，交x轴于点D，EF⊥x轴于点E，
∴∠FDE＝∠DFE＝45°，
∴DF＝ EF，
∵FD的最大值是 ，
∴EF的最大值为4，∴MB＝4，
∵ ，
∴2−4a＝4，
∴a＝ ；
（2）
∵点D恰好是OB的中点，
∴D（1，0），
∵∠CDO＝∠FDE＝45°，
∴OC＝OD＝1，
∴点C的坐标为（0，−1），
设直线CD的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
代入C（0，−1），D（1，0）得： ，
解得： ，
∴直线CD的表达式为：y＝x−1，
由（1）知抛物线解析式为 ，
联立 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴点E的坐标为（ ，0）；
（3）
：
设点F（x， ），则点E（x，0），
∵EF＝ED，
∴点D的横坐标为：x−（ ）＝ ，
如图，点 与点 关于直线 对称，连接DP、FP、PE，
∴DF垂直平分PE，∴FP＝FE，DP＝DE，
∵EF＝ED，
∴FP＝FE＝DP＝DE，
∴四边形FPDE是菱形，
又∵∠FED＝90°，
∴菱形FPDE是正方形，
∴点P的坐标为（ ， ），
∵A（0，2），M（2，4），
设直线AM的表达式为y＝mx＋n，
代入A（0，2），M（2，4），得 ，
解得： ，
∴直线AM的表达式为y＝x＋2，
当点P落在线段AM上时，有 ，
解得：x＝ 或x＝ （舍去），
∴点E的坐标为（ ，0），
故答案为：（ ，0）．
