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上海九上数学压轴题解题技巧
及常考几何模型
二次函数图象、性质与系数的关系
题型一、二次函数图像与系数关系
【例1】已知二次函数
2
y
x
bx
c
的图象如图．其中b，c 的值可能是（
）
A．
3,
1
b
c
B．
1,
3
b
c
C．
3,
3
b
c
D．
3,
3
b
c
【例2】二次函数
2
y
ax
bx
c
的
0
a
，
0
b
，
0
c
，那么其图象必过（
）
A．第二、三、四象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二象限
D．第一、二、三象限
【变式1-1】二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，则点
,b c 所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式1-2】二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，则二次函数
2
y
a x
b
c
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
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【变式1-3】二次函数
2
y
ax
bx
c
中，
0
a
，
0
b
，
0
c
，则其图象不经过第_____ 象限．
题型二、二次函数与一次函数的关系
【例3】抛物线
2
y
ax
bx
和直线y
ax
b
在同一坐标系的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【例4】函数
2
y
ax
a
与
0
y
ax
a a
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】若二次函数
2
y
ax
的图象开口向上，则直线y
ax
a
不经过第______ 象限．
【变式2-2】一次函数y
ax
b
和二次函数
2
y
ax
bx
c
（, ,
a b c 是常数，且
0
a
）在同一平面直角坐标
系中的图象可能是（
）
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A．
B．
C．
D．
【变式2-3】在同一坐标系内，二次函数
2
5
y
ax
x
b
的图象与一次函数y
ax
b
可能是（）
A．
B．
C．
D．
题型三、二次函数与反比例函数的关系
【例5】如图，函数
a
y
x
与
2
y
ax
a
（其中
0
a
），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【例6】已知一次函数
0
y
ax
b a
与反比例函数
0
c
y
c
x
的图象如图所示，则
2
y
ax
bx
c
的图象
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可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】一次函数y
ax
b
与反比例函数
c
y
x
在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】二次函数
2
( , ,
y
ax
bx
c a b c
是常数且
0)
a
的图象如图所示，则直线
2
1
y
bcx
a
b
与反
比例函数
b
a
c
y
x
的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（
）
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A．
B．
C．
D．
【变式3-3】已知反比例函数
k
y
x
（
0
k
）在第一象限内的图象与一次函数y
mx
n
的图象如图所示，
则函数
2
1
y
mx
kx
n
的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
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题型四、二次函数图像判断代数式符号
【例7】已知抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
0
abc
B．2
0
a
b
C．2
0
b
c
D．
0
a
b
c
【例8】已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，则
下列结论正确的是（
）
A．
0
abc
B．2
0
a
b
C．2
0
a
c
D．
0
a
b
c
【变式4-1】二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①
0
a
；
②
0
c
；③
2
4
0
b
ac
；④3
0
a
b
，其中，正确的有（
）．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【变式4-2】如图，二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象与x 轴的一个交点为
1,0
，对称轴为直线
2
x
．则
下列结论中正确的是（
）
A．
0
abc
B．6
0
a
b
C．
0
a
b
c
D．5
0
a
c
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交
于点C，对称轴为直线
1
x ，点B 的坐标为
1,0
，下列结论：①
0
abc
；②4
2
0
a
b
c
；③2
3
0
a
b
；
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④
a
b
m am
b
其中正确的结论有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型五、二次函数与一元二次方程
【例9】已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
图象上的部分点的坐标
,x y 对应值列表如下：
x
…
1
1
3
…
y
…
4
4
4
…
则关于x 的方程
2
4
ax
bx
c
的解为：________．
【例10】二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象如图所示，则方程
2
3
3
2
a x
b x
c
根是（
）
A．
1
2
4,
3
x
x
B．
1
2
3,
2
x
x
C．
1
2
2,
1
x
x
D．
1
2
1,
0
x
x
【变式5-1】如图是二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象，若关于x 的方程
2
ax
bx
c
m
总有一正一负两个实数
根，则m 的取值范围是__________．
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【变式5-2】已知二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
与一次函数
(
0)
y
kx
m k
的图象如图所示，则方程
2
0
ax
b
k x
c
m
的解为（
）
A．
2
x
或
1
2
x
B．
2
x
或
1
2
x
C．
2
x 或
1
2
x
D．
2
x 或
1
2
x
【变式5-3】抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
，顶点纵坐标为5
．若
2
ax
bx
c
m
有且只有两个不相等的实
数根，则m 的取值范围是（
）
A．0
5
m
B．
5
m
或
0
m
C．
5
m
或
0
m
D．
5
m
或
0
m
题型六、二次函数解不等式
【例11】已知二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象如图，若
0
y
，则x 的取值范围是（
）
A．1
4
x
B．1
3
x
C．
1
x
或
3
x
D．
1
x
或
4
x
【例12】如图，抛物线
2
y
ax
与直线y
bx
c
的两个交点坐标分别为
2,4
A
，
1,1
B
，则不等式
2
ax
bx
c
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的解集是___________ ．
【变式6-1】如图，抛物线
2
y
ax
与直线y
bx
c
的两个交点坐标分别为
( 3,9)
A
，
(1,1)
B
．则不等式
2
ax
bx
c
的解是________．
【变式6-2】如图，已知二次函数
2
1
1
2
2
y
x
x
的图象与正比例函数
2y
kx
交于点
3,1
A
，与x 轴交于点B ，
当
2
1
0
y
y
时，自变量x 的取值范围是______．
【变式6-3】如图，二次函数
2
1y
x
bx
c
的图象经过点
0,2 ，且与正比例函数
2y
kx
的图象交于点
1,1
A
和点B ．
(1)求二次函数的解析式和另一交点B 的坐标；
(2)根据函数图象，直接写出不等式
2x
bx
kx
c
的解集．
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题型七、二次函数性质的综合推理
【例13】已知二次函数
2
1
y
x
bx
b
的图象经过点
1,
A
n
和点
3,
B m
n
，当
1
2
x
时函数取得最小值，
则m 的值为_______
【例14】将二次函数
2
2
3
y
x
x
的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，得到如图所示
的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（
）
A．当
1
x 时，函数有最大值
B．当
1
x
时，y 随x 的增大而增大
C．图象与x 轴两个交点之间的距离为4
D．图象与y 轴的交点坐标为
0,2
【变式7-1】已知二次函数
2
2
2
2
3
y
x
mx
m
m
的图像不经过第三、四象限，且当
1
x
时，y 随x 的
增大而增大，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3
2
m
B．
1
m
C．
3
1
2
m
D．
3
1
2
m
【变式7-2】二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象上有两点
(0,4)
A
和
(2,0)
B
，则该二次函数的图象顶点不可
能在（
）
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
【变式7-3】已知抛物线
2
y
x
mx
的对称轴为直线
2
x
，则关于x 的方程
2
2
1
x
mx
n
的根可能是（
）
A．0，4
B．1，5
C．1，5
D．1
，5
二次函数与实际问题
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题型一、二次函数的实际应用——面积问题
【例1】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
6
AC
BC
，D 是AC 边上一动点，过点D 作DE
AC
，
交AB 于点E ，连接CE ，设AD
x
，
CDE
△
的面积为s ，则s关于x 的函数图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【例2】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条
观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为
2
m
y
．
(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)若改造后观花道的面积为
2
13m ，求x 的值；
(3)若要求0.5
1
x
，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
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【变式1-1】如图，矩形ABCD中，
2
6cm
AB
AD
，动点P 从点A 出发，以3 cm/s
2
的速度沿线段AB 向
点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以3cm/s 的速度沿折线AD
DC
CB
向点B 运动，当一个点停止时
另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是
x s 时，APQ
的面积是
2
cm
y
，则能够反映y 与x 之间函数
关系的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20 米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠
墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB 为x 米，面积为y 平方米．
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x 的值；若不能，请说明理由；
(3)当x 是多少时，矩形花园面积y 最大？最大面积是多少？
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【变式1-3】如图，ABC
中，
90 ,
8cm,
4cm,
C
AC
BC
一动点P 从C 出发沿着CB 方向以1cm/s 的速
度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 方向以2cm/s 的速度运动，
,
P Q 两点同时出发，其中一个点停止时，
另一个点亦停止运动．设运动时间为
t s ．
(1) PCQ
的面积能否为ABC
面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．
(2)当t 为几秒时，四边形ABPQ 的面积最小？是多少？
题型二、二次函数的实际应用——动点问题
【例3】如图，在
ABCD
中，
6
AB
，
4
BC
，
30
A
，动点P ，Q 同时从A 出发，点P 以每秒3 个单
位长度沿A
B
C
D
向终点D 运动；点Q 以每秒1 个单位长度沿A
D
向终点D 运动，当其中一动点运
动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为x ，APQ
的面积为y ，则y 关于x 的函数关系的图像
是（
）
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A．
B．
C．
D．
【例4】如图，在矩形ABCD中，
4cm
AB
，
9cm
BC
，点P 从点A 出发，沿AB 边向终点B 以1cm / s 的速
度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向终点C 以2cm / s 的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则
两个动点同时停止运动，设运动时间为st ．
(1)填空：AP ______cm，BQ ______cm；（用含t 的代数式表示）
(2)求出当
0
t t
为何值时，
4cm
PQ
？
(3)设PBQ
的面积为y ，点P ，Q 的运动时间为t 秒，求y 与t 的函数解析式，并写出t 的取值范围．
(4)在动点P ，Q 运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形APQCD 的面积为矩形面积的11
12 ？若存在，请
求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】如图，已知抛物线
2
2
3
y
x
x
，点C 为y 轴上一动点，
,
A B 为抛物线上的动点，C 在y 轴
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上运动时，始终保持
90
ACB
．且AC
BC
，当点A 的横坐标为
1
2 时，点B 的横坐标为（
）
A．
1
3
2
B．
3
3
2
C．3
3
2
D．1
3
2
【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，
4
AB
，
6
BC
，动点Q 以每秒
1
2 个单位长度的速度从点B 出发，
沿B
C
方向运动，点M 为CD上一点，始终满足CM
BQ
，同时动点P 以每秒1 个单位长度的速度从点A
出发，沿A
B
方向运动，到达点B 后再以每秒3
2 个单位长度的速度沿B
C
方向运动，当点P 到达点C
时，点P，点Q 均停止运动．设动点P 运动的时间为x 秒
0
8
x
，点P 与点B 之间的距离为
1y ，
BQM
△
的面积为
2y ．
(1)请直接写出
1y ，
2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出
1y ，
2y 的图像；并写出函数
1y 的一条性质；
(3)结合函数图像，请直接写出
1
2
y
y
时x 的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
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【变式2-3】如图1，在等边三角形ABC 中，动点P 从点C 出发沿C→B→A 匀速运动，同时动点Q 从点B
出发沿B→A→C 匀速运动，且速度均为每秒1 个单位，当点P 到达点A 时，P，Q 两点同时停止运动．设
点P 运动的时间为st ，
BPQ
△
面积为S．图2 中的曲线是动点P 在边BC 上时S 与t 的函数图象．
(1) AB 的长为_______；m ______．
(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数．请求出此时S 与t 的函数解析式．
(3)在运动过程中，若存在三个时刻
1
2
3
1
2
3
, ,
t t t
t
t
t
对应的
BPQ
△
面积均相等，且3
2
1
3
t
t
t
，求1t 的值．
题型三、二次函数的实际应用——销售问题
【例5】某水果店在两周内，将标价为10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1 元/斤，并且两次
降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第二次降价后的第1 天算起，第x 天（x 为整数）的销量为(120
)
x 斤，第x 天的储存和损耗费用为
2
(3
64
400)
x
x
元，已知该种水果的进价为4.1 元/斤，设销售该水果第x 天的利润为y（元），求y 与x(1
9)
x
之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
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【例6】某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．
市场调查选取两类作品：原木小件(记作A 品)、滴胶花艺(记作B 品)．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A 品比一件B 品的成本高2 元，用120元制作A 品的件数与用80元制作B 品的件数相等．
信息2：当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件；B 品售价固定为16元/
件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A 品和B 品共300件．
成本核算：
(1)分别求制作一件A 品和一件B 品的成本．
模型建立：
(2)设销售A 品和B 品的总利润为w 元，A 品售价为x 元/件，求w 关于x 的函数解析式(不要求写自变量x 的
取值范围)．
方案设计：
(3)若制作A 品和B 品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A 品和B 品的数量分配方案．
【变式3-1】某商场销售一种成本为每件20 元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x
（元）之间的关系可近似的看作一次函数：
10
500
y
x
(1)设商场销售该种商品每月获得利润为W （元），写出W 与x 之间的函数关系式，并求出最大利润；
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(2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销
售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22 元，同时对商场的销售量每月不小于150
件的商场，政府部门给予每件3 元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大
利润．
【变式3-2】今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2 月份为4 万人，
4 月份为5.76万人．
(1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？
(2)若该景区仅有A
B
，
两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A 和B
门票价格
100 元/人
80 元/人
160 元/人
据预测，5 月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3 万、3 万和2 万．并且当甲、乙两种门票价格
不变时，丙种门票价格每下降1 元，将有600 人原计划购买甲种门票的游客和400 人原计划购买乙种门票
的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10 元，求景区5 月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5 月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
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【变式3-3】小红帽百货商店用2000 元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小
长假，大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用3750元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，
每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了50%．
(1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价；
(2)若第二批胶囊遮阳伞按50 元/ 把的价格销售，销售了第二批进货数量的2
3 后，根据市场情况，小红帽百
货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于80% ，
请问最多可以按几折销售？( 用不等式解决问题)
(3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把50 元，每天可卖出20 把，市场调查发现，每把降价1元钱，
每天可多卖出5把，若每天的利润为w 元，售价为每把x 元，写出w 与x 的关系式，求出每天获得最大利润
时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润．
题型四、二次函数的实际应用——拱桥问题
【例7】新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为
2
48m ，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案
中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为3m 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细
忽略不计）．如图所示：
方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度
8
OG
m
，拱高
6
EF
m
．其中，点G 在x 轴上，EF
OG
，OF
FG
．
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方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度
12
OG
m
，拱高
4
E F
m
．其中，点G 在x 轴上，E F
OG
，
OF
F G
．
方案一中，矩形框架ABCD的面积记为
1S ，点A，D 在抛物线上，边BC 在OG 上；方案二中，矩形框架A B C D
的面积记为
2S ，点A，D在抛物线上，边B C
在OG上．
根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（
）
A．图1 解析式：
2
3
4
6
8
y
x
B．图2 解析式：
2
1
4
9
3
y
x
x
C．
2
1
10 2
S
m
D．
2
2
18
S
m
【例8】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中
的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B 的距离为8 米，桥拱最高点C 到水面的距
离为2.4 米．如图，以水面AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为DE ．若在桥拱最高点C 处有一个星形灯饰（大小忽略不计），
当灯饰C 与其水中倒影C之间的距离CC与水面宽度DE 比为1: 2时，形成的景色最美，求此时水面的宽度．
【变式4-1】某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度OA为10 米，
最高点到水平地面OA的距离为4 米，以OA所在直线为x 轴，过点O 且垂直于OA的直线为y 轴建立平面直
角坐标系如图所示．
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(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在拱门上悬挂一条横幅MN ，MN
x
轴，
4
MN
米，其中点M、N 均在抛物线上，且位于对称轴两侧，
求横幅MN （宽度忽略不计）到地面的距离．
【变式4-2】地平线下的村院——地坑院，人们常这样描述它：“见树不见村，进村不见房，入户不见门，
闻声不见人．”体现了古人“天地相融，方圆共存，天人合一”的哲学理念．如图①为一个地坑院，如图②是
其中窑洞的纵截面示意图，底部为矩形，顶部为抛物线形拱．以窑洞矩形底边（在地面上）所在直线为x
轴，底边中点为原点建立平面直角坐标系，已知矩形部分高2m ，宽4m ，抛物线形拱的最高点距地面4m ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)现计划在窑洞顶部均匀地悬挂5 个灯笼（即5 个悬挂点水平等距分布），要求5 个灯笼在抛物线形拱上
呈轴对称分布，且每个灯笼的悬挂点离地面不低于3.5m ，求相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离，以及此
时最外侧灯笼悬挂点的横坐标．
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【变式4-3】如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面AB 的宽为16m ，
如果水位上升3m ，就达到警戒水位CD，此时水面CD的宽为8m ．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，现有一棱长为4m 的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集
装箱漫在水下的部分）为3.2m ，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行．
①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？
②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位CD，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内
注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？
（参考数据：g 取10N/kg ，
3
3
1 10 kg/m
水
，F
gV
浮
水
排，G
mg
）
题型五、二次函数的实际应用——投球问题
【例9】斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前
后一致），第一次反弹后的最大高度为
1h ，第二次反弹后的最大高度为
2h ．第二次反弹后，小球越过最高
点落在垂直于地面的挡板C 处，且离地高度
1
1
3
BC
h
，若
90dm
OB
，
2
OA
AB
．则第一次反弹抛物线图
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象
1h 与它的二次项系数a 的比值为_____________；
2
1
h
h _____________．
【例10】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水
平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数
据：
x/m
0
10
20
30
40
50
60
y/m
54.0
57.8
57.6
53.4
45.2
33.0
16.8
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)为观察y 与x 之间的关系，建立坐标系，以x 为横坐标，y 为纵坐标，描出表中数据对应的7 个点，并用
平滑的曲线连接它们；
(2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平
距离约为m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；
(3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动
中的最高点比甲运动员运动中的最高点（填写“高”或“低”）约m （结果保留小数点后一位）．
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【变式5-1】“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的
数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为x 轴，
1dm为1 个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点P 的运动路径可看作抛物线
2
(
)
y
a x
h
k
的一部分，点P 从点
,
M m n 处出手(
2)
m
，矩形ABCD为壶，
20
OA
dm
，
5
AB
dm
，
1
BC
dm
．
(1)如图1，
1
20
a
，若点M 为抛物线的顶点，
6
m
，且抛物线经过点
16,9
N
．
①求抛物线的解析式；
②竖直提高点P 的出手位置（点M ），使点P 落在BC 上（不含边界），求n 的取值范围．
(2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点
4,
1
Q m
n
处到达最高点．若点P 经过点B 正上方2dm
处，求出点P 在点C 正上方的距离（用含m 的式子表示）．
【变式5-2】某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的
乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x （米），
与桌面的高度为y （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t （秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
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x （米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
y （米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
(1)探究x 与t ，y 与x 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．求出x 关于t 的函数解析式和y 关于
x 的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求发出的乒乓球经过多少秒落在桌面上？
(3)球网高度为0.14 米，球桌长（1.4
2
）米，若乒乓球弹起后，其运动路线仍是抛物线且与原抛物线形状
相同，若球弹起后在最高点击球，球沿直线擦网而过扣杀到原点，直接写出乒乓球落在桌面上弹起后的抛
物线顶点的横坐标．
【变式5-3】从地面以初速度v（单位：m / s ）竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）和小球的
运动时间t（单位：s）之间的关系式为
2
5
h
vt
t
，已知当
2
t
时，
40
h
．
(1)求小球的初速度v；
(2)当
4
t
时，求小球运动的路径长；
(3)假设小球为弹性小球，经过时间1t 达到最大高度
1h ；小球落地后立刻以速度
2v 竖直向上弹起，又经过时
间2t 达到最大高度
2h ，若
2
1
2
t
t
，求
2h 的值．
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题型六、二次函数的实际应用——喷水问题
【例11】某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场
一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三
角形，如图，
90
ABC
，
3
AB
米，
6
BC
米，坡面AC 上有一棵小树MN （小树粗细忽略不计，点M
在斜坡上且与点C 不重合，MN
BC
），现在斜坡底C 处安装一个喷水管CP ，水流呈抛物线状，恰好落
在A 处．技术人员以B 为原点，水平向右为x 轴，竖直向上为y 轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B
的水平距离x （米）与水流的高度y （米）的变化规律如表：
x
0
1
2
3
4
…
y
3
27
8
7
2
27
8
3
…
(1)根据表格数据，求出水流的函数解析式；
(2)若调试时，水流恰好经过树顶N 点，
①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN 可达到的最大高度是多少？
②在灯光测试中，需要在MN 右侧（靠近C 的一侧）再放置一棵与MN 等高的小树DE （D 在坡面上，树干
垂直BC ），且水流也能刚好经过树顶E ．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底M 的横坐标m 的取
值范围．
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【例12】某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数
学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2 所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几
组数据，其中
d m 是水柱距喷水头的水平距离，
h m 是水柱距湖面的高度．
/
d m
0
0.7
2
3
4
…
/ m
h
2.0
3.484
5.2
5.6
5.2
…
请解决以下问题：
(1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式；
(2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为
2
0.3
3.5
5.7
h
d
，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由．
(3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为4m ，顶棚到湖面高度为4.2m 的平顶游船，
游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险．
【变式6-1】校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环
境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口A 距地
面2 米，距着火建筑物底部水平距离8 米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线L 的一部分，着火点C 距离
水平地面18米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为2 米的位置处达到最高，以水平地面为x 轴，
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着火建筑物为y 轴，着火建筑物底部点O为原点，建立平面直角坐标系．
(1)求出抛物线L 的表达式．
(2)由于火势迅速蔓延至距离地面43米的点D 处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车
顶A 点处释放出消防无人机，无人机竖直上升42 米到达点E 处喷出水流，水流路线是抛物线L的一部分，
此时的水流恰好喷到D 点下方1米的点F 处，若点E 为抛物线L的最高点，请求出抛物线L向右平移多少
米就能将水流喷射到点D 处（无人机只能在建筑物的左侧移动）．
【变式6-2】【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点O，其
正上方0.5米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨
迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内．
【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x 轴在水面水平方向，y 轴竖直向上），
其中A 为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点B 时的坐标为
2,2.5 ，随
后水流落回水面上的点C ．
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(1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式；
(2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径OC 的长（结果保留根号）；
(3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点C 距离中心O恰好为5 米时，视觉效果最好．在不改变抛物
线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？
【变式6-3】射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2m 以内的昆虫．如
果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水
鱼射出的水流向上运动的高度y （单位：cm）与向前运动的水平距离x（单位：cm）的关系可以近似地表
示为
2
0.1
4
y
x
x
．
(1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x 的范围是
______，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x 的范围是______；
(2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20cm ，高度50cm处，那么这次射出的水流能否击中这只
昆虫？
(3)假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方30cm高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆虫，
可能在射水鱼正前方多远处？
二次函数的最值问题
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题型一、定轴定区间求最值
【例1】已知二次函数
2
2
y
x
x
c
，当1
≤x ≤2 时，函数的最大值与最小值的差为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【例2】已知二次函数
2
2
1
0
y
mx
mx
m
在2
2
x
时有最小值2
，则m (
)
A．3
B．3
或3
8
C．3 或
3
8
D．3
或
3
8
【变式1-1】已知二次函数
2
4
5
y
ax
ax
＝
（其中x 是自变量），当
2
x
时. y 随x 的增大而增大，且6
5
x
时，y 的最小值为7
，则a 的值为（
）
A．3
B．
1
5
C．
12
5
D．1
【变式1-2】已知
2
2
2
2
3
y
ax
ax
a
二次函数（其中x 是自变量），当
2
x
时，y 随x 的增大而减小，且
2
1
x
时，y 的最大值为9，则a 的值为(
)
A．2 或
3
2
B．
2
C．
3
2
D．1
【变式1-3】二次函数
2
4
y
ax
ax
c
的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表．其中有一处被墨水覆盖，
仅能看到当
0
x
时y 的值是负数，已知当0
3
x
时，y 的最大值为9
，则c 的值为（
）
x
2
0
y
7
-█
A．17
B．9
C．
29
5
D．5
题型二、动轴定区间求最值
【例3】函数
2
2
2
y
x
ax
在1
2
x
有最大值6，则实数a 的值是______．
【例4】已知二次函数
2
1
1
6
1
0,
0
2
y
m
x
n
x
m
n
，当1
2
x
时，y 随x 的增大而减小，则mn
的最大值为（
）
A．4
B．6
C．8
D．49
4
【变式2-1】已知二次函数
2
2
(
y
x
mx m
为常数) ，当1
2
x
时，函数值y 的最小值为2
，则m 的值是
（
）
A．3
2
B．
2
C．
3
2
或
2
D．
3
2
或
2
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【变式2-2】已知关于x 的二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
，其中m 为实数.
（1）当m 取任意实数时，该二次函数有最小值为________；
（2）当1
2
x
时，该二次函数有最小值10，则m 的值为________.
【变式2-3】在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
2
2
y
x
mx
m
m
．
(1)若抛物线经过
1,0
A
，
0,1
B
两点时，求抛物线的解析式；
(2)若点
2,
C
C
y
，
5,
D
D
y
在抛物线上，且
C
D
y
y
，请直接写出结果m 的取值范围；
(3)当1
3
x
时，函数y 的最小值等于6，直接写出m 的值．
题型三、定轴动区间求最值
【例5】当
3
m
x
m
时，二次函数
2
4
3
y
x
x
的最小值为8，则m 的值为（
）
A．1
或5
B．5 或8
C．1
或8
D．0 或5
【例6】已知二次函数
2
2
3
y
x
x
．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)当二次函数
2
2
3
y
x
x
的自变量x 满足
2
m
x
m
时，此函数的最大值为p，最小值为q，且
2
p
q
，
求m 的值．
【变式3-1】已知二次函数
2
(
1)
5
y
x
，当a
x
b
且
0
ab
时，y 的最小值为2a，最大值为2b ，则a
b
的值为（
）
A．2
B．1
2
C．3
D．3
2
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【变式3-2】已知二次函数
2
4
5
0
y
ax
ax
a
，当0
x
m
时，y 有最小值4
5
a
和最大值5，则m 的
取值范围为（
）
A．
2
m
B．0
2
m
C．1
2
m
D．2
4
m
【变式3-3】已知二次函数
2
2
4
3
y
mx
m x
（m 为常数，
0
m
）．点
2 9
，在该二次函数的图象上．
(1)求该抛物线与坐标轴的交点；
(2)当0
x
a
时，该二次函数值y 取得的最大值为9，求a 的值．
题型四、求线段最值
【例7】如图，在平面直角坐标系中，直线
3
3
4
y
x
分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，在线段AB 上取
一点C ，过C 作CD
y
轴于D ，CE
x
轴于E ，连接DE ，则线段DE 长度的最小值为（
）
A．2
B．5
2
C．3
D．12
5
【例8】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
6
1
y
x
x
与y 轴交于点A ，经过点
4
B
a
,
，直线l 经过点A
B
，．
(1)求直线l 的表达式；
(2)点
M m
n
，
是抛物线
2
6
1
y
x
x
上一点，其中0
4
m
，过点M 作垂直于x 轴的直线，交直线l 于点N ，
判断线段MN 的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由．
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【变式4-1】如图，点P 是抛物线
2
2
3
y
x
x
上第一象限内一动点，
0,3
A
，
3,0
B
，过点P 分别作x
轴、y 轴的平行线，分别交直线AB 于F ，H 两点，过点P 作AB 的垂线，垂足为G ．下列说法中正确的是
（
）
A．GH 的最大值为
2
B．FG 的最大值为
2
C．PF 的最大值为2
D．
PFG
△
周长的最大值为9 2
9
4
【变式4-2】如图，线段
10
AB
，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以
,
AP BP 为边长作正方形APCD和
BPEF ，点M，N 分别是EF ，CD的中点，则MN 的最小值是（
）
A．2
B．3
C．5
D．6
【变式4-3】如图，直线
2
y
x
与抛物线
2
6
0
y
ax
bx
a
相交于
1 5
,
2 2
A
和
4,
B
m ，点P 是线段AB
上异于A、B 的动点，过点P 作PC
x
轴于点D，交抛物线于点C
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(1)求抛物线的解析式；
(2)求BOE
的面积；
(3)是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
题型五、求线段和最值
【例9】如图，抛物线
2
=
2
3
y x
x
与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，点M 是对称轴上的一个动
点，连接AM ，BM ，则AM
BM
的最小值为（
）
A．2
B．10
C．2 3
D．3 2
【例10】如图，抛物线
2
y
x
bx
c
交x 轴于点
1,0
A
，交y 轴于点B ，对称轴是直线
2
x
，点P 是抛物
线对称轴上的一个动点，则PA
PB
的最小值为（
）
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A．10
B．13
C．2 3
D．3 2
【变式5-1】如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于
3,0
A
、B 两点，与y 轴交于
0,3
C
点，M 点在抛物
线的对称轴
1
x 上，当MBC
周长最小时，点M 的坐标为__________
【变式5-2】已知抛物线
2
3
y
x
mx
与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为
3,0 ，点
P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA
PC
的值最小时，点P 的坐标为_____．
【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
的对称轴为直线
1
x ，且抛物线交x 轴于
点A 、B ，交y 轴于点
0,3
C
，在y 轴上有一点
0, 1
D
，连接AD ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E 为x 轴上方抛物线上的一个动点，连接AE ，DE ，设ΔADE 的面积为S ，点E 的横坐标为m ，
求S 与m 的函数关系式；
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得BP
DP
的值最小，若存在，则求出最小值及点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
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题型六、求面积最值
【例11】如图，抛物线的顶点为D ，其坐标为
1,4 ，抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知
3
OC
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接CD，BD ，判断BCD
的形状；
(3)若点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE，求BCE
面积的最大值，并求出取得最大值时E
点坐标．
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【例12】如图，已知抛物线的顶点为
1 4
A ，，抛物线与y 轴交于点
0 3
B
，，与x 轴交于C、D 两点，点P
是x 轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)试判断ABD
的形状，并说明理由，且求
ABD
S
；
(3)若点Q 是直线BD 上方抛物线上的一个动点，则
BDQ
S
的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，
若没有最大值，说明理由．
【变式6-1】如图，经过
2,0
A
，
3
5,
2
B
，
5
7, 2
C
的抛物线与y 轴交于D，点E 在第四象限抛物线上，
点F 在线段CD上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当EF 与y 轴平行且取最大值时，求点E 的坐标；
(3)四边形AEBF 的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F 的坐标？若不存在，请说明理由．
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【变式6-2】如图，抛物线
2
4
0
y
ax
bx
a
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．已知点A 的坐标
是
2,0
，抛物线的对称轴是直线
1
x ．
(1)求函数解析式和点B 的坐标；
(2)在对称轴上找一点P ，使PA
PC
的值最小．求点P 的坐标；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接MC 、MB ，求MBC
面积的最大值，以及取得最大值时点M 的
坐标．
【变式6-3】如图①，已知抛物线
2
3
0
y
ax
bx
a
与x 轴交于
1,0 ,
3,0
A
B
两点，与y 轴交于点C ．
(1)求该抛物线的表达式；
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(2)求点C 坐标和ABC
面积；
(3)若点D 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AD ，交BC 于点E ．设
BED
ACE
S
S
S
△
△
，S 是否存在
最大值？如果存在求出此时点D 的坐标并求出此时S 的最大值，否则请说明理由．
相似三角形的判定与性质
类型一、灵活证明两个三角形相似
【例1】如图，在
ABC
中，AD
BC
于点D ，BE
AC
于点E ，AD 与BE 交于点O，则图中与
AOE
△
相
似（不含
AOE
△
）的三角形有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【例2】如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，点F 在CD 上，且
3
CF
FD
．求证：
ABE
EBF
△
∽△
．
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【变式1-1】如图，AC
BC
，CD
AB
，DE
BC
，则图中相似三角形有（
）
A．5 对
B．6 对
C．10对
D．20 对
【变式1-2】如图，量角器放置在长方形纸面中，AB 为其直径，点O为其圆心，点C ，D 在量角器的半弧
上，对应刻度分别为30和60，连接OC
OD
BD
、
、
．
(1)尺规作图：求作线段OA的垂直平分线l ，直线l 与OA交于点E ，与OC 交于点F ．（保留作图痕迹，标
注清楚字母，不写作法）
(2)连接AF ，求证：AFO
BOD
∽
．
【变式1-3】如图，四边形ABCD中
90
BAD
B
，
75
C
，
2
AD
AB
．
(1)尺规作图：在线段BC 上求作一点E，使得AE
AD
；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接DE ．求证：ADE
DCE
∽
．
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类型二、相似三角形的有关计算与证明
【例3】如图，矩形ABCD 中，
6
AB
，
7
BC
，E 为CD 的中点，连接AC ，BE 交于点O，M 为BC 上一
点，连接AM 交BE 于点N，当
2
BN
NO
时，AM 的长为（
）
A．4 5
B．2 13
C．3 6
D．3 7
【例4】四边形ABCD 中，AC 为对角线，
DAC
BCA
AD
BC
AD
CD
，
，
．
(1)如图1，求证：四边形ABCD 为矩形．
(2)如图2，点E 、F 分别为AB 、BC 边的中点，连接DE 、DF 分别交AC 于点G 、H ，连接BG ，在不添
加辅助线的情况下，若
4
8
AB
BC
，
则四边形BFHG 面积为________．
【变式2-1】如图，一张锐角三角形纸片ABC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，
2
AD
DB
，沿DE 将
ABC
剪成面积相等的两部分，则AE
EC 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-2】如图，在
ABCD
中，
6
2
AB
AD
BAD
，
，
的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于
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点F
DG
AE
．
，垂足为G ．若
1
DG ，则EG 的长度为
．
【变式2-3】如图，已知在正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，过C 点作CF
AE
交AE 延长线于点F ，连
接DF ，过点D 作DG
DF
交AF 于点G ，
(1)求证：ADG
CDF
≌
；
(2)连接BG ．如果E 为CD 的中点，求证：BG
AF
．
类型三、相似三角形的实际应用
【例5】如图，OP 和O P
是两个相距20m 且高度都为5.4m的路灯，身高1.8m 的张畅（AB ）晚上在路灯下
沿线段OO来回散步，则他身体前后的两个影子之和DC 的长为（
）
A．6m
B．8m
C．10m
D．12m
【例6】小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真
可惜！我只能将你最高翘到1 米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘
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得更高！”
(1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点O与地面的距离OP 的长度；
(2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，并说明理由．
【变式3-1】如图1 是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，
水面恰好接触到容器口边缘，如图2 所示，此时液面宽度AB
．
【变式3-2】在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板
从点A 处射向平面镜，光线从点E 点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B 点处，射向平面镜，使得光
线依旧从点E 射出，若激光笔高度
4.5cm
AG
BD
，
5cm
FG
，
12cm
FH
，
9cm
HD
，已知点C，F，
G，H，D 在同一水平线上，且
,
,
AG BD EC 均与CD 垂直．则EC 的长度为
【变式3-3】如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2 是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD 相交
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于点O，B、D 两点在地面上，经测量得到
136cm
AB
CD
，
51cm
OA
OC
，
34cm
OE
OF
，现将晒衣架
完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．
发现：连接AC．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；
探究：若
32cm
EF
，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?
类型四、相似三角形与折叠问题
【例7】如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE
交AB 于点F、G，若点M 是BC 边的中点，则FG
cm ．
【例8】如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是AB 的中点，连接CE ，将BCE
沿CE 折叠，点B 的对应点为
点P ，连接AP 并延长交CD 于点F ，则线段AF 与CE 位置关系为
，AP
PF
．
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【变式4-1】如图，在等腰Rt
ABC
△
中，
90
ABC
，边BC 上有一点D ，将ADB
沿线段AD 折叠得ADB
，
线段DB与边AC 交于点E ，若
1
2
CD
BD
，则DE
B E
．
【变式4-2】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°，DE 是
ABC
的中位线，P 为BE 上一点，连接AP ，将ABP
沿AP 折叠得到AB P
，点B 的对应点B落在线段DE 上，若
3
6
AB
B D
，则EP 的长为
．
【变式4-3】如图，在矩形纸片ABCD中，点E 在边AB 上（不含端点），将
ADE
沿DE 折叠，点A 落在
点F 处，
EDF
EBF
．
(1)求证：
FDC
FCD
．
(2)若
3
5
AE
BE
，求EF
CF 的值．
类型五、相似三角形与动点问题
【例9】如图1，在正方形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿折线AB
BC
运动到点C 停止，过点E 作EF
AE
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交CD 于点F，设点E 的运动路程为cm,
cm
x
DF
y
，则y 与x 对应关系的图象如图2．当点E 运动到BC 的
中点时，EF 的长是（
）
A．4cm
B．3cm
C．2 2cm
D．
5cm
【例10】如图，四边形ABCD 为平行四边形，
4
AB
，
5
BC
，对角线
3
BD
，P 为AD 上一动点，Q 为AB
上一定点，则5
3
PQ
DP
的最小值为（
）
A．12
B．15
C．16
D．18
【变式5-1】如图，在
ABC
中，
90
BAC
，
6
AB
AC
，点D 在边BC 上，
2
CD
BD
，点E 是边AB
上的动点（不与端点
,
A B 重合），点F 是边AC 上的动点（不与端点
,
A C 重合），连接
,
DE DF ，且
45
EDF
，
若BE
x
，
ADF
△
的面积为y ，则y 关于x 的函数图像是（
）
A．
B．
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C．
D．
【变式5-2】如图，点
0,4
A
，点B 为x 轴上一动点，在Rt
ABC
△
中
90
BAC
，若
8
ABC
S
△
，则线
段OC 最大值为
．
【变式5-3】如图，正方形ABCD的边长为2，E 是AB 边上一个动点，F 是CD 边上一个动点，且AE
CF
，
过点B 作BG
EF
于点G，连接AG ，则AG 长的最小值是
．
类型六、相似三角形与新定义问题
【例11】综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究．
定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．
(1)操作判断
如图1，四边形ABCD 是“损矩形”，
90
B
D
，若
105
A
，则
C
________．
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(2)性质探究
在研究图1 的“损矩形” ABCD 时，小明发现：若AB
AD
，则BC
DC
．小明的发现是否正确？请说明理
由．
(3)拓展应用
如图2，“损矩形” ABCD 中，
90
B
D
，
6
AB
，
8
BC ，连接BD，当
BCD
△
是等腰三角形时，请直
接写出“损矩形” ABCD 的面积．
【例12】定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对“等
对角四边形”进行探究：
(1)如图1，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
ACB
CD
为斜边AB 上的中线，过点D 作DE
CD
交AC 于点E ，判断
四边形BCED 是否为“等对角四边形”，并说明理由；
(2)如图2，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
4,
3,
C
AC
BC
CD
平分
ACB
，点E 在边AC 上，若以
,
,
,
B C E D 为
顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段CE 的长．
【变式6-1】定义：如果三角形有两个内角的差为90，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在
四边形ABCD 中，CD
CB
，ABD
BCD
，
5
AB
，
8
BD
，且
ABC
是“准直角三角形”，则
BCD
△
的
面积为
．
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【变式6-2】垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线
的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1 所示，四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，
5
AF
，
2
CE
，则AE ________；AB ________；
(2)如图2，若四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，且AB
BD
，猜想AF 与CD 的关系，并说明理由；
(3)如图3 所示，在
ABC
中，
5
BE
，
2
12
CE
AE
，BE
AC
交AC 于点E ，请画出以BC 为边的垂中
平行四边形，要求：点A 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）．
相似三角形的常用模型
类型一、A 字型相似
【例1】如图．在△ABC 中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（
）
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A．2 对
B．3 对
C．4 对
D．5 对
【例2】如图，在
ABC
中，
,
D E 分别为
,
AB AC 上的三等分点，若EF
AB
∥
，则
EFC
ABC
S
S
△
△
（
）
A．5
4
B．4
9
C．4
5
D．3
2
【变式1-1】如图，
ABC
中，点E、F 分别在边AB、AC 上，
1
2
．若
4
BC
，
2
AF
，
3
CF ，则
EF
．
【变式1-2】如图，在
ABC
中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ；已知四边形BFED
是平行四边形，DE
1
BC
4
．
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（1）若
8
AB
，求线段AD 的长
．
（2）若
ADE
的面积为1，则平行四边形BFED 的面积为
．
【变式1-3】如图，BD ，CE 分别是AC 与AB 边上的高．
求证：
ADE
ABC
△
△
∽
．
类型二、8 字型相似
【例3】如图，AD
BC
、
相交于点O，由下列条件不能判定
AOB
与
DOC
△
相似的是（
）
A．AB
CD
∥
B．OA
AB
OD
CD
C．OA
OB
OD
OC
D．
A
D
【例4】如图，直线1
2
l
l
∥
，直线1l ，2l 分别交直线m ，n 于点A ，C ，B ，D ，直线m ，n 交于点E ．若
3
AE
，
2
CE
，
4
BE
，则ED 的长为（
）
A．8
3
B．20
3
C．3
8
D．35
8
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【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，
2
AE
ED
，连接BE 交AC 于点G，延长BE
交CD 的延长线于点F，则BG
GF 的值为（
）
A．2
3
B．
1
2
C．1
3
D．3
4
【变式2-2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是线段AB 上一点，连结AC
DE
、
交于点F．若
2
3
AE
EB
，则
ADF
AEF
S
S
△
△
．
【变式2-3】如图①，一张正三角形纸片ABC ，
32cm
AB
，点D 在边AB 上，
10cm
AD
，点E 是边BC 上
的一点．如图②，将
BDE
沿DE 翻折得△B DE
，B DE
与
ABC
的边AC 相交于点M 和点N．若
16cm
AM
，
8cm
B M
，则CN 的长度为
cm．
类型三、三角形内解矩形
【例5】如图，已知三角形铁皮ABC 的边
cm
BC
a
，BC 边上的高
cm
AM
h
，要剪出一个正方形铁片DEFG ，
使D 、E 在BC 上，G 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形DEFG 的边长
．
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【例6】如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件
PQMN，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB、AC 上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩
形的长、宽各是多少？
【变式3-1】如图，在
ABC
中，
12
BC
，高
6
AD
，正方形EFGH 一边在BC 上，点
,
E F 分别在
,
AB AC
上，AD 交EF 于点N ，求AN 的长．
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【变式3-2】如图，
ABC
是一块锐角三角形余料，边
120mm
BC
，高
80mm
AD
，要把它加工成矩形零件
PQMN ，使－边在BC 上，其余两个顶点分别在AB
AC
，
上．
(1)当点P 恰好为AB 的中点时，PQ ___________．
(2)当
40mm
PQ
时，求出PN 的长度；
(3)若
:
1: 2
PN PQ
，则这个矩形的长、宽各是多少？
类型四、一线三角模型
【例7】如图，在等边三角形
ABC
中，点D ，E 分别是边AC ，BC 上的点．将
ABC
沿DE 翻折，点C 正
好落在线段AB 上的点F 处，使得
:
1: 2
AF BF
．若
2
BE
，则CE 的长度为（
）
A．14
5
B．12
5
C．16
5
D．18
5
【例8】如图，将边长为3 的正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 落在边AD 上（点M 不与
点A，D 重合），点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P，折痕分别与边AB，CD 交于点E，F，连接BM．
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(1)求证：
AMB
BMP
；
(2)若
1
DP ，求MD 的长．
【变式4-1】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，AB
AC
，点D，E 分别是BC ，AC 上的点，且
3
45
，
求证：
ABD
DCE
∽
△
△
.
【变式4-2】如图，在
ABC
中，AB
AC
，点
,
D E 分别在边
,
BC AC 上，
ADE
ABC
∠
∠
．
(1)求证：
ABD
DCE
∽
△
△
；
(2)如果
8
AB
，
6
BC
，
7
AE
，求DC 的长．
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【变式4-3】如图，AB
BC
，DC
BC
，E 是BC 上一点，使得AE
DE
；
(1)求证：
ABE
ECD
∽
△
△
；
(2)若
4
AB
，
5
AE
BC
，求CD 的长；
(3)当
AED
ECD
∽
时，请写出线段AD
AB
CD
、
、
之间数量关系，并说明理由．
类型五、母子型相似
【例9】如图，正方形ABCD的边长为2，BE 平分
DBC
交DC 于E，F 是BC 延长线上一点，且CF
CE
，
BE 延长线交DF 于G，则BG EG
的值是
．
【例10】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
30
A
，CD 是边AB 上的高且为2，
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(1)求证：
ACD
CBD
△
∽△
；
(2)求AB 的长．
【变式5-1】如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
ACB
CD
AB
于D ，求证：
2
AC
AD AB
．
【变式5-2】如图，在边长为6 的等边ABC
中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，
若
2
BD
CE
，则
APE
＝
°；则ABP
的周长为
．
【变式5-3】如图，ABC
和AGF
是等腰直角三角形，
90
BAC
G
，AGF
的边AF ，AG 交边BC
于点D ，E ．若
4
AD
，
3
AE
，则BE
DC 的值是
．
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类型六、手拉手相似
【例11】如图，等边
ABC
的边长为6，点D 在AB 上，
2
BD
，连接CD ，将CD 绕点C 按顺时针方向旋转
60得到CE ，连接DE 交AC 于点G ，则点G 到CD 的距离为（
）
A．3 13
8
B．2
14
3
C．2 21
3
D．3
21
13
【例12】如图1，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
8,
6,
ABC
AB
BC
D
是AB 上一点，且
2
AD
，过点D 作DE
BC
∥
交AC 于E ，将
ADE
绕A 点顺时针旋转到图2 的位置．则图2 中BD
CE 的值为（）
A．3
5
B．4
5
C．4
3
D．3
4
【变式6-1】如图，在
ABC
中，
90
BAC
，
3 2
AB
AC
，点D 为平面内一点，
1
AD ，连接DC ，
将线段DC 绕点D 顺时针旋转90得到DE ，连接BE ，若BE
AC
∥
，则DC 的长为
．
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【变式6-2】（1）【观察发现】如图（1），在ABC
，点D 是边BC 的中点，延长BA 到点E，使AE
AB
，
连接CE，可得AD 与CE的数量关系是______，位置关系是______．
（2）【探究迁移】如图（2），在ABC
中，AB
AC
，
90
BAC
，点E 为平面内一点，将线段EB 绕点
E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接BF ，CF ，点D 为CF 的中点，连接DE 、AE ，试判断DE 和AE 的
数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若
5
AB
AC
，
2
EB
，当EF
AC
∥
时，请直接写出DE 的长．
类型七、作辅助线构造A 字或8 字型相似
【例13】如图，将正方形ABCD沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 落在边AD 上，点C 落在点N 处，MN
与CD 交于点P ，折痕分别与边AB ，CD 交于点E ，F ，连接BM ．若
1
2
DP
CP ＝
，则AE
BE 的值是
．
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【例14】如图，已知F 是
ABC
内的一点，FD
BC
∥
，FE
AB
∥
，若
BDFE
的面积为2，
1
3
BD
BA
，
1
4
BE
BC
，
则
ABC
的面积是
．
【变式7-1】如图，已知
ABC
和
CEF
△
是等腰直角三角形，其中
90
ABC
CEF
，且E 是中线AD 的
中点，连接BF ，若
4
AB
，则线段BF 的长为（
）
A．
2
2
B．2
C．2
D．3 2
2
【变式7-2】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
6
AC
BC
，D 是AB 上一点，点E 在BC 上，连接CD ，
AE 交于点F ，若
45
CFE
，
2
BD
AD
，则CE
．
【变式7-3】如图，在菱形ABCD 中，点E，F，G，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 上的点，且BE
BF
CG
AH
，
若菱形的面积等于24，
8
BD
，则EF
GH
．
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相似三角形与动点
类型一、相似三角形与运动时间
【例1】如图，在
ABC
中，
6cm
AB
，
12cm
AC
，动点D 以1cm / s 的速度从点A 出发沿AB 方向向点B
运动．动点E 以2cm / s 的速度从点C 出发沿CA 方向向点A 运动．两点同时开始运动，当点D 运动到点B 的
位置后，两点均停止运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与
ABC
相似时，运动的时间是（
）
A．4.5s 或4.8s
B．3s 或4.5s
C．4.5s
D．3s 或4.8s
【例2】如图，Rt
ABC
△
中，
90 ,
8cm,
6cm
ACB
AC
BC
，动点M 从点C 出发，在CA 边上以每秒1cm
的速度向点A 匀速运动，同时动点P 从点A 出发，在AB 边上以每秒2cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间
为t 秒(0
5)
t
，连接PM ．
(1)是否存在某一时刻t ，使AMP 的面积是
ABC
面积的3
10 ？若存在求出相应的t 值，若不存在，请说明理
由．
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使AMP 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明
理由．
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【变式1-1】如图，在
ABC
中，
4cm
AB
，
8cm
AC =
，动点D 以1cm / 秒的速度从A 点向终点B 运动，动
点E 以2cm / 秒的速度从C 点向终点A 运动．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与
ABC
相似时，运动的时间是
秒．
【变式1-2】
16cm
AB
，
12cm
AC
，动点P、Q 分别以每秒2cm 和1cm的速度同时开始运动，其中点P
从点A 出发沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．
(1)写出AP 的长
1y 和AQ 的长
2y 关于时间t 的函数；
(2)经过多少时间后，
APQ
△
与
ABC
相似？
(3)在整个过程中，是否存在使
APQ
△
的面积恰好为
ABC
面积一半的情况，若存在，请问此时点Q 运动了
多少时间？若不存在，请说明理由．
【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的
坐标为
12,8 ，现有两动点P，Q，点P 以每秒3 个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每
秒2 个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ，CQ．设运动时间为t 秒
0
t
．
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(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；
(2)请判断四边形APCQ的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；
(3)若A，P，Q 为顶点的三角形与
OCP
△
相似时，请求出t 的值．
类型二、相似三角形中动点求线段长度
【例3】如图，在正方形ABCD 中，
4
AB
，E 为AD 边上一动点，F 为AB 的中点，连接EF ，G 为EF 上
一点，连接AG ，DAG
AFE
，H 为BC 上一点，
1
CH ，连接GH ．若
5
AG
GH
，则AE 的长为
．
【例4】在菱形ABCD 中，点E 为射线BC（不与B 点重合）上一动点，连接AE ，点F 为AE 中点，连接BF ，
将
ABF
△
沿BF 翻折得到GBF
，连接GE ．
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(1)如图1，连接
,
AG GE 与AG 的位置关系是；GE 与BF 的位置关系是；
(2)如图2，若
60
D
，当点E 运动到BC 中点时，求EG
BF 的值；
(3)已知
6,
60
AB
D
，若
60
AEG
，则CE 的长为．
【变式2-1】如图，在Rt
ABC
△
中，AB
AC
，点D 、E 分别是BC 、AB 边上的动点（不与
ABC
的顶点
重合），且
2
BE
CD
，连接AD
CE
、
交于点O
AF
CE
，
于点F ，若
3 2
AO
，则AF 的长为
．
【变式2-2】如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O，若点E 为BC 的中点，F
为直线BD 上的动点（不与点D 重合），当
AEF
△
为以AE 为腰的等腰三角形时，DF 的长为
．
【变式2-3】菱形ABCD 中，点E 为CD 边上一动点，射线AE 与BC 的延长线交于点F ，连接DF ，射线BE
与DF 交于点G ．
(1)如图1，E 为CD中点，
AEB
BCD
．
①求证：
2
BE
CE BC
；
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②若
6
AB
，求线段EG 的长；
(2)如图2，点H 在边AD 上，若
60
EBH
BCD
，
4
2
BE
EG
，求线段AH 的长．
类型三、相似三角形与函数关系
【例5】如图，在
ABC
中，
90
BAC
，
6
AB
AC
，点D 在边BC 上，
2
CD
BD
，点E 是边AB 上的
动点（不与端点
,
A B 重合），点F 是边AC 上的动点（不与端点
,
A C 重合），连接
,
DE DF ，且
45
EDF
，
若BE
x
，
ADF
△
的面积为y ，则y 关于x 的函数图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【例6】如图，在四边形ABCD 中，BC
AD
∥
，
4
AB
BC
CD
，
60
BAD
，动点P ，Q 同时从A 点
出发，点P 以每秒2 个单位长度沿折线A
B
C
D
向终点D 运动；点Q 以每秒4 个单位长度沿线段AD 向
终点D 运动，直到两个点都到达终点才停止运动．设运动时间为x 秒，
APQ
△
的面积为y 个平方单位，则
下列正确表示y 与x 的函数关系的图象是（
）
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A．
B．
C．
D．
【变式3-1】如图，正方形ABCD 的边长为4
E
，
是AD 的中点，P 是AB 上的动点，在AD 的下方作
90
PEQ
，设AP
x
，正方形ABCD 中在
PEQ
右方的部分面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是
（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为
4,0 ，以OA为边，在x 轴上方作正方形OABC ，
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动点P 从点A 出发，沿x 轴正方向以每秒2 个单位长度的速度运动．线段CP 交AB 于点M．设点P 运动时
间为t 秒，BCM
的面积为S，则S 关于t 的函数表达式为（
）
A．
8
2
S
t
B．
2
8
S
t
C．
16
2
S
t
D．
32
4
S
t
【变式3-3】如图1 所示，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿B
C
D
的路径运动，当点P 到达
点D 时停止运动．过点P 作PQ
BP
，PQ交AD 于点Q，设点P 运动的路程为x，DQ
y
，已知y 关于x
的函数图象如图2 所示，当
1
3
y
时，x 的值为（
）
A．2 2
B．4
C．2 3
D．4.5
类型四、相似三角形与线段、线段和的最值问题
【例7】如图，矩形ABCD 中，
3
AB
，
1
BC ，动点E，F 分别从点A，C 同时出发，以每秒1 个单位长
度的速度沿AB ，CD 向终点B，D 运动，过点E，F 作直线l，过点A 作直线l 的垂线，垂足为G，当AG 取
最大值时，DF 值等于（
）
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A．
3
2
B．
3
3
C．
3
4
D．2 3
3
【例8】如图，矩形纸片ABCD 中，
6
AB
，
8
BC ，点E 、F 分别是边AD 、BC 上的动点，将纸片ABCD
沿EF 折叠，使点D 的对应点D¢在边BC 上，点C 的对应点为C，则CF 的最大值为
．
【变式4-1】如图所示，矩形ABCD 中，
6
AB
，
8
BC ，点E 为边AD 上一个动点，将ABE
沿AE 折叠得
到A BE
，
A ED
∠
的平分线分别交
,
BD CD于点
,
G F ，
（1）当G 为EF 中点时，AE 的长为
；
（2）当点E 从A 运动到D 的过程中，DG 的最大值为
；
【变式4-2】【知识技能】（1）如图1，矩形ABCD 与Rt
QMN
△
叠放在一起，（点Q，N 分别与点A，B
重合，点M 落在对角线AC 上），已知
90
20
15
QMN
BC
CD
，
，
，则MN ．
【数学理解】（2）如图2，QMN
以每秒1 个单位长度的速度在线段AC 上从点A 向点C 运动；同时，动
点P 以每秒2 个单位长度的速度在线段DA 上从点D 向点A 运动，设它们的运动时间为s
t
，连接PM ．解
答下列问题：
①当t 为何值时，点A 在线段PM 的垂直平分线上？
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②是否存在某一时刻t，使得
APM
△
与四边形PMCD 面积之比为6 19
：？若存在，求出t 的值；若不存在，请
说明理由．
【拓展探索】（3）如图3，将QMN
绕着点M 顺时针旋转180得到
1
1
Q MN
，点N、Q 的对应点是
1
1
,
N Q ，
连接
1
PN ，PQ，当t 为何值时，
1
PN
PQ
的值最小？
【变式4-3】如图，在
ABC
中，
90
A
，
2
AB
，
4
AC
，点D 为斜边BC 上的一个动点，过点D 分别
作DM
AB
于点M，DN
AC
于点N，连接MN ．
(1)当点D 为BC 的中点时，线段MN 与BC 有何位置关系？并说明理由．
(2)当点D 在什么情况下时，线段MN 的长最小？这个最小值是多少？
类型五、相似三角形与特殊几何的探究问题
【例9】在“综合与实践”课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动，如图①，在边长为6 的正
方形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，过点P 作PQ
AB
交BC 于点Q ，连接BD ，与PQ交于点E ，取DE 的
中点F ，连接
,
,
AF PF QF ．
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(1)【问题发现】
试判断线段FQ与AF 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
(2)【拓展探究】
如图②，延长AF 交CD 于点G ，连接QG ，试判断线段BQ ，DG 与QG 的数量关系，并证明你的结论；
(3)【问题解决】
在（2）的条件下，当P 是AD 的点时，直接写出线段FG 的长．
【例10】小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展．如图，在矩形ABCD 中，
2
3
AB
BC
，
，E 是BC 边上一点，连接DE ，将CDE
沿DE 翻折，得到
FDE
，点C 关于DE 的对称点
F 恰好落在AD 边上，P 是AD 边上一动点(点P 不与点D 重合)，连接EP ，作EC 关于EP 的对称线段
'
EC ，
射线
'
C F 交射线EP 于点G，连接DG ．
(1)问题解决：
如图①，当点
'
C 落在AB 边上时，
'
EGC
的度数是________；
(2)问题探究：
如图②，当点
'
C 不在AB 边上时，求
'
C F
DG
的值；
(3)拓展延伸：
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当
15
FDG
时，请求出DFG
的面积．
【变式5-1】在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之
间以及角之间的关系进行了进一步探究．
【问题发现】（1）如图1，在
ABC
中，
90
C
，AC
BC
，P 为AB 的中点，
90
MPN
A
B
，
则PM
PN ______．
【尝试探究】（2）如图2，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
30
A
，P 为AB 上一点，
2
2
BP
AP
，M 为
AC 上一点，连接MP ，作
90
MPN
，交BC 于点N ．请探究PM
PN 的值，并说明理由．
【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出
MPN
△
面积的最小值为______，最大值为______．
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【变式5-2】【初步探究】
（1）如图1，在
ABC
中，点D 、E 、F 分别在边BC ，AB ，AC 上，
40
B
EDF
，这两个相等的
角会使图形中出现其它的等角．请你直接写出这组等角（不添加其他辅助线），
【深入研究】
（2）如图2，
B
EDF
C
，CD
BE
，试说明
BDE
CFD
△
≌△
【变式探究】
（3）如图3，在等边
ABC
中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的动点，
2
BD
AE
，连接DE ，以DE 为边在
ABC
内作等边DEF
，连接CF ，当D 从点A 向B 运动（不运动到点B ）时，
①求
FCE
的度数；
②若
2
AC
，
ABC
的面积为a ，点M 为边AC 上（不与A ，C 重合）的任意一点，连接FA ，FM ，直接
写出FA
FM
的最小值（用含a 的代数式表示）．
锐角三角函数与实际应用
类型一、仰角俯角问题
【例1】研学实践：某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进
行了实地测量．
数据采集：如图，测量小组操作无人机在点A 处竖直上升34 米后飞行至点B 处，在点B 处测得旗亭顶端D 的
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俯角为20，然后沿水平方向向左飞行至点C 处，在点C 处测得旗亭顶端D 和点A 的俯角均为45．
数据应用：点
,
,
,
,
A B C D E 在同一竖直平面内，且点A 和点E 在同一水平线上，DE
AE
．请根据上述数据，
计算旗亭DE 的高度．（结果精确到1 米．参考数据：sin20
0.34
，cos20
0.94
，tan20
0.36
）
【例2】2022 年11 月29 日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火
箭从发射点O 处发射，当火箭到达A 处时，在地面雷达站C 处测得点A 的仰角为30，在地面雷达站B 处
测得点A 的仰角为45．已知
20km
AC
，O、B、C 三点在同一条直线上，求B、C 两个雷达站之间的距离
（结果保留根号）．
【变式1-1】如图，一无人机在建筑物AB 上空点P 处测得建筑物底端点A 的俯角比顶端点B 的俯角大37，
已知建筑物AB 位于水平地面AC 上，小明从A 处出发沿着AC 走了24 米后到达点C 处，发现无人机正好在
他的正上方．无人机，建筑物AB 都与水平面垂直．则建筑物AB 的高度为（
）（参考数据：
3
sin37
5
，
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cos37
4
5
，tan373
4 ）
A．100
3 米
B．75
4 米
C．25 米
D．28 米
【变式1-2】百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地．如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的
设计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称．珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，
动态优美，充满青春气息．身高
1.8
AB
米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B 点仰头30正好平
视到珍珠顶，向前走了4.6 米后，站在C 点仰头60正好平视到珍珠顶．帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大
约是多少（精确到0.1米）．（参考数据：
2
1.414, 3
1.732
）
【变式1-3】2021 年4 月29 日，新一代运载火箭长征五号将中国航天器“天和”号核心舱送入预定轨道，标
志着中国空间站时代即将开启，根据观测，运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达点A 时，地面D 处的雷
达站测得
4000
AD
米，仰角为28，经过3 秒后，火箭直线上升到达点B 处，此时地面C 处的雷达站测得
B 处的仰角为45．已知C，D 相距460 米．
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(1)OA 米；
(2)求火箭从A 到B 处的平均速度（结果精确到1 米，参考数据：sin 28
0.47
，cos28
0.88
，tan 28
0.53
）．
类型二、方位角问题
【例3】“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园
大门（A 地）步行出发，约定在停车场（D 地）汇合．小依先沿北偏东60的方向走600 2m 到达和善亭（B
地），然后继续向东北方向走200m到达和雅亭（C 地），到达C 地后停留了3 分钟整理沿途采集的植物，
整理完毕后再到停车场（D 地），D 地在C 地的南偏东30方向．小钟从A 地出发后，先沿正东方向到达和
志亭（E 地），再沿北偏东15方向到达D 地，E 地恰在C 地的正南方向．
(1)请求出CE 的长度：（结果保留根号）
(2)若小依步行的速度为1.5m/s ，小钟步行的速度为1.2m/s ，请问小依和小钟谁先到达停车场（D 地）？通
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过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：
2
1.41, 3
1.73, 6
2.45
）
【例4】在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A 地出发，途经B 地去往C 地，
如图．当他由A 地出发时，发现他的北偏东45方向有一信号发射塔P．他由A 地沿正东方向骑行4 2km 到
达B 地，此时发现信号塔P 在他的北偏东15方向，然后他由B 地沿北偏东75方向骑行12km 到达C 地．
(1)求A 地与信号发射塔P 之间的距离；
(2)求C 地与信号发射塔P 之间的距离．（计算结果保留根号）
【变式2-1】如图，某公路局施工队要修建一条公路MN ，已知C 点周围300 米范围内为古建筑保护群，在
MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45方向上，从A 向东走900 米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60方
向上．（参考数据：
2
1.414
，
3
1.732
）
(1) MN 是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5 天完成，需将原定的工作效率提高25% ，则原计划
完成这项工程需要多少天？
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【变式2-2】如图，在某海域一艘巡逻舰由东向西匀速航行，速度为30nmile/h ，该巡逻舰上午10:00在A 处
发现北偏西53方向的C 处船甲正在由南向北匀速航行，198s 后，巡逻舰航行到B 处，发现船甲在其北偏
西45方向且距其15 2nmile的D 处．请你根据相关数据，求船甲的速度．（结果精确到1nmile/h ．参考数
据：
4
sin53
5
，
4
tan53
3
，
3
cos53
5
）
【变式2-3】如图，A ，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C 点处遇险发出求救信号，
此时测得C 点位于观测点A 的北偏东45方向上，同时位于观测点B 的北偏西60方向上，且测得C 点与观
测点A 的距离为25 2 海里．
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(1)求观测点B 与C 点之间的距离；
(2)有一艘救援船位于观测点B 的正南方向且与观测点B 相距30海里的D 点处，在接到海轮的求救信号后立
即前往营救，其航行速度为60 海里/ 小时，求救援船到达C 点需要的最少时间．
类型三、坡度坡比问题
【例5】春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB 的坡度为1: 2.4，AB 长为5.2米，钓
竿AC 与水平线的夹角是60，其长为6 米，若钓竿AC 与钓鱼线CD的夹角也是60，则浮漂D 与河堤下端
B 之间的距离约为（
）
A．12
5
B．6
2 3
5
3
米
C．6
3
5
米
D．2 3 米
【例6】为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD 与通
道BC 平行），通道水平宽度BC 为8 米，
135
BCD
，通道斜面CD的长为6 米，通道斜面AB 的坡度
1:
2
i
．
(1)通道斜面AB 的长为________米；
(2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE 的坡角为30，
求此时BE 的长（精确到0.1m，
2
1.41
，
6
2.45
）．
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【变式3-1】有一处斜坡如下图所示，分为
8m
MO
NO
的两段，MO 段的坡度为1:1，NO 段的坡度为
1: 3 ．若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过15cm，则这一处斜坡最少可以建造多少级台
阶（参考数据：
2
1.41, 3
1.73
）？
【变式3-2】某校试行“半天校外课”计划以提高学生的问题解决能力，组织学生到校外，利用相关的数学知
识测量某雕像的高度．如图，雕像CD前有一段坡度为
3 4
i ：的斜坡BE ，某同学站在坡底B 点处，用测角仪
测得顶部C 的仰角为42，接着他又向上走了5 米，在坡上E 点处测得顶部C 的仰角为
45 , A
B
C
D
E
F
、、、、、
在同一平面内．若测角仪的高度
1.4
AB
EF
米，则雕像CD的高度约为（
）
米．（精确到0.1米，参考数据：sin42
0.67,cos42
0.74 tan42
0.90
,
）
A．9.6
B．10.0
C．10.4
D．10.8
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【变式3-3】2025 年3 月20 日，山西省公布2024 年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62 条（段、
个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”
作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息：
①堤坝截面图如图1 所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑；
②将图1 所示截面图抽象为图2 所示的几何图形，相关数据如下：坡角
26.5
ABC
Ð
=
°，
30
DCB
，
45
DEC
，坝顶
5
AD 米，坝底黏土宽度
17.5
BE
米，且AD
BC
∥
，点B ，E ，C 在同一水平线上，…
请根据上述数据，计算背水坡CD的长．（参考数据：sin26.5
0.45
，cos26.5
0.89
，tan26.5
0.50
．）
类型四、其他问题
【例7】如图，图1 是一盏台灯，图2 是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂
40cm
AC
，
灯罩
30cm
CD
，灯臂与底座构成的
60
CAB
．CD可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD
与水平线所成的角为30时，台灯光线最佳，求此时点D 与桌面的距离．（结果精确到1cm，
3 取1.732）
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【例8】如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三
分之一处．已知试管，
30cm
AB
，
1
3
BE
AB
，试管倾斜角为10．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN ，延长BM 交CN 的延长线于点F ，且MN
CF
（点C
D
N
F
、、、
在一
条直线上），经测得：
21.7cm
DE
，
8cm
MN
，
145
ABM
，求线段DN 的长度．
（参考数据：sin10
0.17
，
cos10
0.98
，tan10
0.18
）
【变式4-1】每年12 月2 日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前
有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度DE 为6 米．现有一
旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A 与斑马线前后两端的视角
FAE
，
FAD
的大小分别
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为15和30，司机与车头的水平距离BC 为1 米，与车顶的垂直距离为0.2 米．
(1)旅游车高约多少米？
(2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离CD不得小于3 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全
标准？（E，D，C，B 四点在平行于斑马线的同一直线上）
（参考数据：tan15
0.27
，sin15
0.26
，cos15
0.97
，
3
1.73
，2
1.41
）
【变式4-2】2022 年2 月20 日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕，北京冬奥会为绿色办奥．科技办奥
贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，
凝聚更团结的力量．图1，图2 分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动
员的小腿DE 与斜坡AB 垂直，大腿DH 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设G ，D ，E 三点共线，若膝盖弯
曲处与滑雪板后端的距离DF 长为1.2m ，该运动员大腿DH 长为0.47m ，
62
GHD
，
30
DFE
．（参
考数据：sin62
0.88
，cos62
0.47
，tan62
1.88
，3
1.73)
(1)求此刻滑雪运动员上半身GH 的长；
(2)求此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度．（结果精确到0.1m）
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【变式4-3】如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂AB 、连杆BC 、悬臂CD和安装在D 处的摄像头组
成．如图2 是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂
,
18cm,
44cm
AB
l AB
CD
，固定
148
ABC
，可通过调试悬臂CD与连杆BC 的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C 到桌面l 的距离约为52cm．
(1) BC 的长度为多少？
(2)已知摄像头点D 到桌面l 的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC 的夹角
BCD
的
度数约为多少？（参考数据：sin58
0.85,cos58
0.53,tan58
1.60
）
