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专题02 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用一元二次方程的定义求参数
题型二、一元二次方程的解求参数的值
题型三、一元二次方程的解求代数式的值
题型四、根据一元二方程根的情况求参数
题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：方程中含字母系数，围绕根的定义、判别式、韦达定理及根与系数关系设问。
- 解题方法：根据条件列方程或不等式；利用韦达定理整体代换；注意隐含条件（二次项系数不为0、判别
式非负）。
- 易错提醒：忽略二次项系数为零的分类讨论；判别式适用前提是已化为一般式；韦达定理只适用于有实
根情况。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用一元二次方程的定义求参数
典例1．（25-26 九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x 的方程(
)
1
3
2
1
0
k
k
x
x
k
−
−
+
+
+ =
是一元二次方程，则k
的值应为____________．
【答案】3
−
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
目 录
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【详解】解：∵关于x 的方程(
)
1
3
2
1
0
k
k
x
x
k
−
−
+
+
+ =
是一元二次方程，
∴|
| 1
2
k −=
且
3
0
k −
．
解得
3
k = −．
故答案为：3
−．
题型模版
1.特征：含参数方程需满足“一元”（只含一个未知数）且“二次”（最高次数为2，二次项系数不为0）。
2.方法：由次数为2 列方程求参数，并检验二次项系数不为0，同时排除使一次项消失（若要求一元）的情
况。
变式1-1．（25-26 九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x 的方程(
)
2 1
1
4
0
m
m x
+
+
−
=
是一元二次方程，
则m = ______．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一
般式为
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2 且二次项系数不为0．
【详解】解：由一元二次方程的定义，得
2
1
2
m + =
且1
0
m
+
．
解方程
2
1
2
m + =
，得
2
1
m = ．
即
1
m = ．
当
1
m = −时，1
0
m
+
=
，不符合二次项系数不为0 的条件；
当
1
m = 时，1
2
0
m
+
=
，符合条件．
故答案为：1．
变式1-2．
（25-26 八年级上·上海崇明·期中）关于x 的一元二次方程(
)
2
2
3
2
9
0
m
x
x
m
−
+
+
−
=
有一个根为0，
那么m 的值为_____．
【答案】3
−
【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根
0
x =
代入方程，得到关于 m 的方程，解出 m ，并检验是否满足一元二次方程的条件．
【详解】解：将
0
x =
代入方程 (
)
2
2
3
2
9
0
m
x
x
m
−
+
+
−
=
，
得
2
9
0
m −
=
，
即
2
9
m =
，
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解得
3
m =
或
3
m
−
=
，
∵一元二次方程二次项系数
3
0
m−
，
∴
3
m
，
∴
3
m
−
=
．
故答案为：3
−．
变式1-3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x 的方程(
) (
)
(
)
2 1
1
0
m n
m
n
x
m
n x
mn
+
+
+
−
−
+
+
= 是一元二次方程，
则m
n
+
的值为_____________
【答案】1
−
【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2 且二次项系数不为0 ，列等式和不等式求解即可．
【详解】解：∵原方程是关于x 的一元二次方程，
∴ (
)
2
1
2
m
n
+
+ =
且
1
0
m
n
+ −
，
解第一个等式
2
(
)
1
2
m
n
+
+ =
，得
1
m
n
+
= 或
1
m
n
+
= −，
解不等式，得
1
m
n
+
，
∴
1
m
n
+
= −．
题型二、一元二次方程的解求参数的值
典例2．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
mx
m
−
+
=
的一个根为1
−，则m
的值为_________．
【答案】1
−
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
mx
m
−
+
=
的一个根为1
−，
∴
(
)
(
)
2
2
1
1
0
m
m
−
−
−
+
=
，
解得：
1
m = −．
题型模版
1.特征：已知方程的一个或两个解（根），反求方程中待定的字母系数。
2.方法：将解直接代入原方程，得到关于参数的方程（组），解出参数并验证是否满足原方程。
变式2-1．
（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程
2
6
0
x
mx
+
−
=
的一个根为2
−，则m的值为_______．
【答案】1
−
【详解】解：∵一元二次方程
2
6
0
x
mx
+
−
=
的一个根为2
−，
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∴(
)
(
)
2
2
2
6
0
m
−
+
−
−
=
，
解得
1
m = −．
变式2-2．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知
2
x =
是方程
2
1
0
x
kx
+
+ =
的一个根，则k 的值为_______．
【答案】
5
2
−
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根
2
x =
代入原方程，得到关于k 的一元一次方程，解该方程
即可得到k 的值．
【详解】解：
2
x =
是方程
2
1
0
x
kx
+
+ =
的一个根，
将
2
x =
代入方程得：
2
2
2
1
0
k
+
+ =
，
整理得 5
2
0
k
+
=
，
移项得 2
5
k = −，
系数化为1得
5
2
k = −
．
变式2-3．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）若关于x 的一元二次方程
2
2
0
ax
bx
+
+
= （
0
a
）有一个实数根
为
2026
x =
，则一元二次方程(
)
2
1
2
0
a x
bx
b
−
+
−+
=
必有一个实数根为___________．
【答案】
2027
x =
【分析】根据题意可得(
)
(
)
2
1
1
2
0
a x
b x
−
+
−
+
=
，设
1
m
x
=
−，可得关于m 的一元二次方程
2
2
0
am
bm
+
+
=
（
0
a
）有一个实数根为
2026
m =
，则2026
1
x
=
−，据此可得答案．
【详解】解：∵(
)
2
1
2
0
a x
bx
b
−
+
−+
=
，
∴(
)
(
)
2
1
1
2
0
a x
b x
−
+
−
+
=
，
设
1
m
x
=
−，
则方程(
)
(
)
2
1
1
2
0
a x
b x
−
+
−
+
=
可化为
2
2
0
am
bm
+
+
=
∵关于x 的一元二次方程
2
2
0
ax
bx
+
+
= （
0
a
）有一个实数根为
2026
x =
，
∴关于m 的一元二次方程
2
2
0
am
bm
+
+
=
（
0
a
）有一个实数根为
2026
m =
，
∴2026
1
x
=
−，
∴
2027
x =
，
∴一元二次方程(
)
2
1
2
0
a x
bx
b
−
+
−+
=
必有一个实数根为
2027
x =
．
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题型三、一元二次方程的解求代数式的值
典例3．（25-26 八年级下·北京·期末）若
2
x =
是关于x 的一元二次方程
2
4
0
ax
bx
−
+
=
的一个根，则
2026
2a
b
−
+
的值是________．
【答案】2028
【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到a 与b 的关系式，再整理后代入所求代数式计算
即可．
【详解】解：将
2
x =
代入
2
4
0
ax
bx
−
+
=
得
2
2
2
4
0
a
b
−+
=
，
整理得4
2
4
0
a
b
−
+
=
，
等式两边同除以2 得2
2
0
a
b
−+
=
，
移项得2
2
a
b
−
= −，
变形得2
2
a
b
−
+
=
，
因此2026
2
2026
2
2028
a
b
−
+
=
+
=
．
题型模版
1.特征：已知方程的解（根），求由这些根构成的代数式（如对称式、分式）的值。
2.方法：利用韦达定理（根与系数关系）求两根和与积，再将代数式变形为含“和”与“积”的形式代入计
算。
变式3-1．（2026·甘肃天水·中考真题）已知m 是一元二次方程
2
2
3
0
x
x
+
−
=
的一个根，则代数式
2
2
4
m
m
+
的
值是________________．
【答案】6
【分析】根据一元二次方程根的定义得到
2
2
3
m
m
+
=
，再变形所求代数式代入计算即可．
【详解】解：∵m 是一元二次方程
2
2
3
0
x
x
+
−
=
的一个根，
∴
2
2
3
0
m
m
+
−
=
，
∴
2
2
3
m
m
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
2
2
2 3
6
m
m
m
m
+
=
+
=
=
．
变式3-2．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知x
a
=
是方程
2
3
1
0
x
x
+
−=
的一个根，则代数式
2
3
3
a
a
+
+
的值为________．
【答案】1
3
+
/ 3
1
+
【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到
2
3
1
a
a
+
= ，进而整体代入求值即可．
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【详解】解：∵x
a
=
是方程
2
3
1
0
x
x
+
−=
的一个根，
∴
2
3
1
0
a
a
+
−= ，即
2
3
1
a
a
+
= ，
∴
2
3
3
1
3
a
a
+
+
= +
．
变式3-3．（25-26 八年级·全国·暑假作业）已知a 是关于x 的一元二次方程
2
2012
1
0
x
x
−
+ =
的一个根，则
2
2
2012
2011
1
a
a
a
−
+
+ 的值为__________．
【答案】2011
【分析】根据一元二次方程根的定义得到
2
2012
1
0
a
a
−
+ =
，变形为
2
2011
1
a
a
a
−
=
−，
2
1
2012
a
a
+ =
，
1
2012
a
a
+
=
，代入式子求解即可．
【详解】解：∵a 是关于x 的一元二次方程
2
2012
1
0
x
x
−
+ =
的一个根，
∴
2
2012
1
0
a
a
−
+ =
，
0
a
∴
2
2011
1
a
a
a
−
=
−，
2
1
2012
a
a
+ =
，
1
2012
a
a
+
=
，
∴
2
2
2012
2012
1
2011
1
1
2012 1
2011
1
2012
a
a
a
a
a
a
a
−
+
=
−+
=
+
−=
−=
+
．
题型四、根据一元二方程根的情况求参数
典例4．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）若关于x 的方程
2
4
0
x
x
a
+
+
=
有两个相等的实数根，则实数a 的
值为__________．
【答案】4
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为0 ，列方程求解即可得到a 的值.
【详解】解：对于一元二次方程
2
4
0
x
x
a
+
+
=
，二次项系数为1，一次项系数为4 ，常数项为a ，
∵方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式
2
2
Δ
4
4
4 1
0
b
ac
a
=
−
=
−
=
，
整理得16
4
0
a
−
=
，
解得
4
a =
.
题型模版
1.特征：已知方程根的情况（两不等实根、两相等实根或无实根），反求参数范围。
2.方法：使用判别式 Δ = b² - 4ac，根据 Δ>0、Δ=0、Δ<0 列不等式（或等式）求解参数。
变式4-1．（25-26 八年级下·吉林·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
a
−
+
=
有两个不相等的实数根，
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则a 的取值范围是__________．
【答案】
2
a
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方
程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到a 的取值范围．
【详解】解： 关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
a
−
+
=
有两个不相等的实数根，
2
( 4)
4 2
0
a
= −
−
，
整理得16 8
0
a
−
，
解得
2
a
．
变式4-2．
（25-26 八年级下·山东威海·期末）若关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
ax
x
+
−
=
有两个不相等的实数根，
则a 的取值范围是______________．
【答案】
1
3
a −
且
0
a
【分析】，一元二次方程的二次项系数不为0 ，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0 ，
据此列出关于a 的不等式求解即可．
【详解】解：∵方程
2
2
3
0
ax
x
+
−
=
是关于x 的一元二次方程，
∴
0
a
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴
(
)
2
2
4
3
0
a
=
−
−
，
∴4 12
0
a
+
，
解得
1
3
a −
，
综上可得a 的取值范围是
1
3
a −
且
0
a
．
变式4-3．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）若关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
0
kx
k
x
k
−
+
+
=
有两个不相等的
实数根，则k 的取值范围为____________________．
【答案】
1
4
k −
且
0
k
【详解】解：∵方程
(
)
2
2
1
0
kx
k
x
k
−
+
+
=
是关于x 的一元二次方程
∴
0
k
．
∵方程有两个不相等的实数根，
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∴
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
．其中a
k
=
，
(
)
2
1
b
k
= −
+
，c
k
=
，
代入得：
(
)
2
2
1
4
0
k
k k
−
+
−
，
展开得
2
2
4
4
1
4
0
k
k
k
+
+ −
，
化简得4
1
0
k +
，
解得
1
4
k −
．
综上，k 的取值范围为
1
4
k −
且
0
k
．
题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数
典例5．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
3
0
x
k
x
k
+
+
+
=
．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
1x 、
2x 是方程的两根，且
1
2
1 2
3
13
x
x
x x
+
−
=
，求k 的值．
【答案】(1)证明：
(
)
2
Δ
3
4
k
k
=
+
−
2
6
9
4
k
k
k
=
+
+
−
2
2
9
k
k
=
+
+
(
)
2
1
8
k
=
+
+ ，
∵(
)
2
1
0
k +
，
∴
(
)
2
Δ
1
8
0
k
=
+
+
，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)
4
k = −
【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得
(
)
2
1
8
0
k
=
+
+
，因此方程总有两个
不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系，用k 表示
1
2
x
x
+
和
1
2
x x ，代入解方程即可．
【详解】（1）略
（2）解：
(
)
2
3
0
x
k
x
k
+
+
+
=
，
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由根与系数的关系可得，
1
2
3
3
1
k
x
x
k
+
+
= −
= −
−
，
1 2
x x
k
=
，
∵
1
2
1 2
3
13
x
x
x x
+
−
=
，
∴
3
3
13
k
k
−
−
−
=
，
解得
4
k = −．
题型模版
1.特征：已知方程两根之间的某种关系（如相等、互为倒数、满足某等式），反求参数。
2.方法：利用韦达定理写出x1+x2 和x1x2，将已知关系转化为含参数的方程，解之并验证判别式。
变式5-1．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
−
+
+
+
=
有两个不相等
的实数根．
(1)求k 的取值范围；
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且(
)(
)
1
1
13
+
+
=
，求k 的值．
【答案】(1)
1
2
k
(2)
2
k =
【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式
0
，代入系数解不等式得到k 的范围；
（2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开(
1)(
1)
+
+
进行代换，得到关于k 的一元
二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解．
【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根，
(
)
(
)
2
2
Δ
2
1
4
2
0
k
k
= −
+
−
+
，
解得
1
2
k
；
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
(
)
2
1
k
+
=
+
，
2
2
k
=
+
．
(
)(
)
(
)
1
1
1
13
+
+
=
+
+
+ =
，
(
)
(
)
2
2
2
1
1 13
k
k
+
+
+
+ =
，
整理，得
2
2
8
0
k
k
+
−
=
，
解得
4
k = −或
2
k =
．
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又
1
2
k
，
2
k
=
．
变式5-2．（25-26 八年级下·山东济南·期末）关于x 的一元二次方程
(
)
2
4
0
x
m
x
m
+
+
+
=
．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
1x 、
2x 是方程的两个实根，且
2
1
2
1
2
4
x
x
x x
m
m
+
+
=
−
，求m 的值．
【答案】(1)证明：∵
1
a = ，
4
b
m
=
+
，c
m
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
4
4
4
4
16
2
12
b
ac
m
m
m
m
m
=
−
=
+
−
=
+
+
=
+
+
，
∵(
)
2
2
0
m +
，
∴(
)
2
2
12
0
m +
+
，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)2
【分析】（1）一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的根与
2
4
b
ac
=
−
有如下关系：①
0
，方程有两个不
相等的实数根，②
0
=
，方程有两个相等的实数根，③
0
，方程没有实数根；
（2）关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两个实数根
1x ，
2x 和系数a ，b ，c ，有如下关系：
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
c
x
x
a
=
．
【详解】（1）略；
（2）解：由题意可得
1
2
4
x
x
m
+
= −
−
，
1
2
x x
m
=
，
∵
2
1
2
1
2
4
x
x
x x
m
m
+
+
=
−
，
∴
2
4
4
m
m
m
m
−
−
+
=
−
，
解得
2
m =
．
变式5-3．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（
0
a
）与
2
0
px
qx
r
+
+
=
（
0
p
）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且abc
pqr
=
，则这两个方程
是互为“高关联方程”．例如，方程
2
4
0
x −
=
与
2
2
0
x
x
−
=
是互为“高关联方程”．
(1)若关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
x
x
+
−
=
与
2
2
0
x
x
k
+
+
=
是互为“高关联方程”，求k 的值及相同的根．
(2)若关于x 的一元二次方程
2
3
2
0
x
x
m
+
+
=
①与
2
3
4
0
x
x
n
+
+
=
②是互为“高关联方程”，且
0
mn
，求m ，
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n 的值．
【答案】(1)
3
k = −，相同根为
1
x =
(2)
8,
4
m
n
= −
= −
【分析】（1）先利用条件abc
pqr
=
求出k ，再解方程找到唯一公共根；
（2）先由abc
pqr
=
得到m
n
、关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根．
【详解】（1）解：
2
2
3
0
x
x
+
−
=
因式分解：(
3)(
1)
0
x
x
+
−
=
，
得
1
2
1,
3
x
x
=
= −．
方程1：
1,
2,
3
a
b
c
=
=
= −，
1 2 ( 3)
6
abc = −
= −
方程2：
2,
1,
p
q
r
k
=
=
=
，
2 1
2
pqr
k
k
=
=
由abc
pqr
=
：
2
6
k = −
3
k = −
把
3
k = −代入
2
2
0
x
x
k
+
+
=
因式分解：(2
3)(
1)
0
x
x
+
−
=
，
根为
3
1,
2
x
x
=
= −
．
两个方程只有唯一公共根
1
x = ，满足“有且只有一个相同根”．
3
k
= −，相同根为
1
x =
（2）解：方程①：
2
3
2
0
x
x
m
+
+
=
，
3 2
6
abc
m
m
=
=
方程②：
2
3
4
0
x
x
n
+
+
=
，
3 4
12
pqr
n
n
=
=
6
12
m
n
=
，即
2
m
n
=
，
只有一个公共根，设公共根为t
2
2
3
2
0
3
4
0
t
t
m
t
t
n
+
+
=
+
+
=
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两式相减：2
0
t
n
m
+
−
=
把
2
m
n
=
代入：
2
n
t =
将
,
2
2
n
t
m
n
=
=
代入
2
3
2
0
t
t
m
+
+
=
：
化简得3 (
4)
0
n n +
=
已知
0
mn
，故
0
n
，
得
4
n = −．
则
2
2 ( 4)
8
m
n
=
=
−
= −．
检验：
方程①：
2
3
2
8
0
x
x
+
−
=
，根
1
2
4,
2
3
x
x
=
= −
方程②：
2
3
4
4
0
+
−
=
x
x
，根
1
2
2,
2
3
x
x
=
= −
只有唯一公共根
2
x = −，符合题意．
8,
4
m
n
= −
= −
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．
1
6
2
1
0
m
x
x
−−
+ =
是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）
A．
3
m =
B．
3
m = −
C．
1
m =
D．
1
m = −
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到
1
2
m−=
，进行求解即可．
【详解】解：∵
1
6
2
1
0
m
x
x
−−
+ =
是关于x 的一元二次方程，
∴
1
2
m−=
，
∴
3
m =
；
故选A．
2．若
1
x = 是方程
2
2
0
x
bx
−
−
=
的一个解，则b 的值为（ ）
A．1
B．1
−
C．2
D．2
−
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．把
1
x = 代入一元二次方程得到1
2
0
b
−−
=
，然后解一次方程即可．
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【详解】解：把
1
x = 代入方程
2
2
0
x
bx
−
−
=
得，1
2
0
b
−−
=
，
解得
1
b = −．
故选：B．
3．若关于x 的一元二次方程
2
4
2
0
x
x
m
−
−
=
有两个相等的实数根，则实数m 的值为
A．4
B．4
−
C．2
D．2
−
【答案】D
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
4
2
0
x
x
m
−
−
=
有两个相等的实数根，
∴判别式
2
4
Δ
b
ac
=
−
(
)
(
)
2
4
4 1
2m
= −
−−
16
8
0
m
=
+
=
，
解得：
2
m = −
故选：D．
4．设a，b 是关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
x
m
m
+
+
+
−=
的两个实数根，且
2
2
1
a
b
m
−
+
= ，则m 的值为（ ）
A．1
−或2
−
B．1
−
C．1
D．2
−
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意
可得
2
2
2
1
0
a
a
m
m
+ +
+
−= ①，
1
a
b
+
= −②，由
−
①
②可得
2
2
2
2
0
a
b
m
m
−
+
+
−
=
，结合
2
2
1
a
b
m
−
+
= 求出
1
m = 或
1
m = −，由题意可得
(
)
2
2
2
2
1
4 1
2
1
1 4
8
4
4
8
5
0
m
m
m
m
m
m
=
−
+
−
= −
−
+
= −
−
+
，求出
5
1
2
2
m
−
，
即可得解．
【详解】解：∵a，b 是关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
x
m
m
+
+
+
−=
的两个实数根，
∴
2
2
2
1
0
a
a
m
m
+ +
+
−= ①，
1
a
b
+
= −②，
∴由
−
①
②可得：
2
2
2
2
0
a
b
m
m
−
+
+
−
=
，
∵
2
2
1
a
b
m
−
+
= ，
∴
2
1
2
a
b
m
−
= −
，
∴
2
1 2
2
2
0
m
m
m
−
+
+
−
=
，
解得：
1
m = 或
1
m = −，
由题意可得
(
)
2
2
2
2
1
4 1
2
1
1 4
8
4
4
8
5
0
m
m
m
m
m
m
=
−
+
−
= −
−
+
= −
−
+
，
解得：
5
1
2
2
m
−
，
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∴
1
m = −，
故选：B．
5．若关于x 的一元二次方程(
)
2
1
2
1
0
a
x
x
−
+
+ =
有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
2
a
B．
2
a
C．
2
a
且
1
a
D．
2
a
且
1
a
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
(
0
a
a
b
c
，，，为常数)的根的判别式
2
4
b
ac
=
−
，根据
一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当
0
时，方程有两个不相等的实数根；当
0
=
时，方程有
两个相等的实数根；当
0
时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保
二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程(
)
2
1
2
1
0
a
x
x
−
+
+ =
有实数根，
∴二次项系数
1
0
a−
，即
1
a ．
(
)
(
)
2
Δ
2
4
1 1
4
4
1
8
4 .
a
a
a
=
−
−
=
−
−
=
−
令
0
，即8
4
0
a
−
，
解得
2
a
．
∴
2
a
且
1
a
故选：C．
6．若关于x 的方程(
)
|
1|
3
2
0
m
m
x
x
−
−
+
=
是一元二次方程，则m= ．
【答案】1
−
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（a，b，c 是
常数且
0
a
），特别要注意
0
a
的条件．根据题意列出关于m 的等式求解即可．
【详解】解：根据题意可知
3
0
1
2
m
m
−
−
=
解得
1
m =−．
故答案为：1
−．
7．若一元二次方程
2
5
0
x
c
−
=
无实数根，则c 的取值范围为 ．
【答案】
0
c
【分析】考查考查了一元二次方程的根的情况，解题关键是列出不等式求解．根据一元二次方程无实数根，
得到关于c 的不等式求解．
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【详解】解：∵一元二次方程
2
5
0
x
c
−
=
无实数根，
∴
(
)
2
4
0
4 5
0
b
ac
c
−
=
−−
，解得：
0
c
，
故答案为：
0
c
．
8．已知x
m
=
是一元二次方程
2
1
0
x
x
−
−=
的一个根，则代数式
2
2026
m
m
−
+
的值是 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，根据一元二次方程解的定义得到
2
1
m
m
−
= ，然后再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把x
m
=
代入方程
2
1
0
x
x
−
−=
，得
2
1
0
m
m
−
−=
，
所以
2
1
m
m
−
= ，
所以
2
2
2026
2026
(
)
2026 1
2025
m
m
m
m
−
+
=
−
−
=
−=
．
故答案为：2025．
9．若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
c
−
+
=
的两根为
1
2
,
x x ，且
1
2
2
x
x
=
，则c 的值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与
系数的关系得到
1
2
1 2
,
b
c
x
x
x x
a
a
+
= −
=
，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
2
1
1 2
3,
b
c
c
x
x
a
x
a
x
+
= −
=
=
= ，
1
2
2
x
x
=
，
2
2
2
3
x
x
+
=
，
2
1
x
= ，
1
2
x
=
，
2
1
2 1
2
x x
c
=
= =
．
故答案为：2 ．
10．若关于x 的一元二次方程(
)
2
1
2
1
0
m
x
x
−
−
+ =
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．
【答案】
2
m
【分析】本题考查了根的判别式．
直接根据根的判别式计算即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程(
)
2
1
2
1
0
m
x
x
−
−
+ =
有两个不相等的实数根，
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∴
(
)
(
)
2
2
4
1
4
4
4
8
4
0
m
m
m
= −
−
−
=
−
+
=
−
，
解得
2
m
，
故答案为：
2
m
．
11．当m 为何值时，方程(
)
2 1
1
2
3
0
m
m
x
mx
+
−
+
+
=
(1)是关于x 的一元一次方程．
(2)是关于x 的一元二次方程．
【答案】(1)
1
m = 或
0
m =
(2)
1
m = −
【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高
次数为2 的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1 的整式方程是一
元一次方程．
（1）根据题意得到
1
0
m−=
，2
0
m
或
2
1 1,
1
0
m
m
+ =
−
，进而求解即可；
（2）根据题意得到
1
0
m−
，
2
1
2
m + =
，进而求解即可；
【详解】（1）解：根据题意得，
1
0
m−=
，2
0
m
或
2
1
1
m + = ，
1
0
m−
∴
1
m = 或
0
m =
；
（2）解：根据题意得，
1
0
m−
，
2
1
2
m + =
∴
1
m ，
1
m =
∴
1
m = −．
12．关于x 的方程为(
)
(
)
2
2
1
3
1
2
0
k
x
k
x
−
−
−
+
=
，k 为实数．
(1)判断方程根的情况．
(2)求整数k ，使原方程至少有一个整数根．
【答案】(1)k 为任何实数，原方程均有实数根
(2)
2,1, 0,
2,
3
k =
−
−
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根．解题关键是掌握根的判别式及根定
义，分类讨论，是解题的关键．
（1）分类讨论，当
2
1
0
k −=
时，
1
k = 或
1
k = −，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当
2
1
0
k −
时，
利用根的判别式
(
)
2
Δ
3
0
k
=
−
，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证；
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（2）至少有一实数根为整数，由两实数根
1
2
2
1
+1
1
x
x
k
k
=
=
−
，
为整数，则
1
1,
2
k + =
，
1
1
k −= ，即可
求解．
【详解】（1）解：当
2
1
0
k −=
时，
1
k = 或
1
k = −．
原方程为2
2
0
x
−
+
=
，或4
2
0
x +
=
．有实数根．
当
2
1
0
k −
时，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
3
1
8
1
6
9
3
0
k
k
k
k
k
=
−
−
−
=
−
+
=
−
．有实数根．
综上，k 为任何实数，原方程均有实数根．
（2）解：由（1），当
1
k = 时，原方程有整数根．
当
2
1
0
k −
时，
两根为
(
)
(
)
2
3
1
3
2
1
k
k
x
k
−
−
=
−
．
即
(
)
(
)
1
2
2
2
3
1
3
2
3
1
3
1
+1
1
2
1
2
1
k
k
k
k
x
x
k
k
k
k
−+
−
−−
+
=
=
=
=
−
−
−
，
．
若
1
x 是整数，
则
1
1,
2
k + =
．
∴
0,
2,1,
3
k =
−
−．
取
0,
2,
3
k =
−
−．
若
2x 是整数，
则
1
1
k −= ．
∴
2, 0
k =
．
综上，
2,1, 0,
2,
3
k =
−
−，原方程至少有一个整数根．
13．若关于x 的一元二次方程
2
2
2
0
x
x
m
−
+
−
=
有两个实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若a，b 是关于x 的一元二次方程
2
2
2
0
x
x
m
−
+
−
=
的两个根，且
2
2
2
16
m
a
b
+
+
=
，求m 的值．
【答案】(1)
3
m
(2) 2
−
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键；
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（1）由题意易得
(
)
4
4
2
0
m
=
−
−
，然后求解即可；
（2）由题意易得
2,
2
a
b
ab
m
+
=
=
−，然后根据完全平方公式可得
(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
，进而代入进行求
解即可
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
2
0
x
x
m
−
+
−
=
有两个实数根，
∴
(
)
2
4
4
4
2
0
b
ac
m
=
−
=
−
−
，
解得：
3
m
；
（2）解：由题意知：
2
a
b
+
=
，
2
ab
m
=
−，
∵
2
2
2
16
m
a
b
+
+
=
，
∴
2
2
(
)
2
16
0
m
a
b
ab
+
+
−
−
=
，
∴
2
4
2(
2) 16
0
m
m
+ −
−
−
=
，
∴
2
2
8
0
m
m
−
−
=
，
∴
1
2
m = −，
2
4
m =
，
∵
3
m
，
∴
2
m = −，
即：m 的值为2
−．
14．已知关于x 的一元二次方程(
)(
)
2
x
a
x
b
p
−
−
=
（a
b
p
、、为常数）．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若
16
a b
−=
，p 为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求p 的值．
【答案】(1)见解析
(2)0 或6 或15
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
（1）计算方程的判别式得出
(
)
2
2
4
0
a
b
p
=
−
+
即可证明结论；
（2）设方程
(
)
2
2
0
x
a
b x
ab
p
−
+
+
−
=
的两个根为
1
x ，
2x ，得
1
2
x
x
a
b
+
=
+ ，
2
1
2
x x
ab
p
=
−
．由求根公式得
(
)
2
2 64
2
a
b
p
x
+
+
=
．进而得
2
64
p
+
必须是整数．
设
2
64
p
k
+
=
（k 为整数），则
(
)(
)
2
2
64
8
8
p
k
k
k
=
−
=
+
−
．可得
(
)
(
)
2
2
2
16
16
8
64
p
n n
n
n
n
=
+
=
+
=
+
−
，即
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(
)(
)
8
8
64
n
p
n
p
+ +
+ −
=
，由m，n，k 均为整数，且p 为非负整数，可得1 64
64,2 32
64,4 16
64,8 8
64
=
=
=
=
，
再验证即可求得答案．
【详解】（1）证明：(
)(
)
2
x
a
x
b
p
−
−
=
，
(
)
2
2
0
x
a
b x
ab
p
−
+
+
−
=
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
4
4
a
b
ab
p
a
b
p
= −
+
−
−
=
−
+
，
(
)
2
0
a
b
−
，
2
0
p
，
(
)
2
2
4
0
a
b
p
=
−
+
，
方程(
)(
)
2
x
a
x
b
p
−
−
=
总有两个实数根；
（2）解：(
)(
)
2
x
a
x
b
p
−
−
=
，
(
)
2
2
0
x
a
b x
ab
p
−
+
+
−
=
，
设方程
(
)
2
2
0
x
a
b x
ab
p
−
+
+
−
=
的两个根为
1
x ，
2x ．
1
2
x
x
a
b
+
=
+
，
2
1
2
x x
ab
p
=
−
．
方程
(
)
2
2
0
x
a
b x
ab
p
−
+
+
−
=
的求根公式为
(
)
(
)
2
2
4
2
a
b
a
b
p
x
+
−
+
=
．
16
a
b
−
=
，则
(
)
(
)
2
2
256
4
2 64
2
2
a
b
p
a
b
p
x
+
+
+
+
=
=
．
因为方程的两个实数根均为整数，且p 为非负整数，所以
2
64
p
+
必须是整数．
设
2
64
p
k
+
=
（k 为整数），则
(
)(
)
2
2
64
8
8
p
k
k
k
=
−
=
+
−
．
当
8
8
k
m
k
n
+
=
−=
（m，n 为整数，且
2
mn
p
=
），两式相减得
16
m
n
−
=
，
2
p
mn
=
．
(
)
(
)
2
2
2
16
16
8
64
n n
n
n
p
n
=
+
=
+
=
+
−
，
(
)
2
2
8
64
n
p
+
−
=
，
(
)
2
2
8
n
p
+
，
(
)(
)
8
8
64
n
p
n
p
+ +
+ −
=
，
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m，n，k 均为整数，且p 为非负整数，
1 64
64,2 32
64,4 16
64,8 8
64
=
=
=
=
，
当
8
0
k
n
−=
=
时，
8
k = ，此时
0
p =
．
当
8
2
k
n
−=
=
，
8
18
k + =
，
6
p =
（舍负），
当
8
9
k
n
−=
=
，
17
k =
时，
8
25
k + =
，
2
225
p =
，
15
p =
（舍负），
其它情况不合题意，
综上，p 的值为0 或6 或15．
15．已知关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
m
−
+
=
．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；
(2)若
2
m =
，求一元二次方程的根；
(3)若方程两实数根为
1
x ，
2x ，且满足
1
2
1
2
3
3
2
5
x
x
x x
+
−
=
，求实数m 的值．
【答案】(1)
9
4
m
(2)
1
2
1,
2
x
x
=
=
(3)2
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是
解题的关键．
（1）根据有两个不相等的实数根得到
0
，解不等式即可得到答案；
（2）把
2
m =
代入，解一元二次方程即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
=
，即可得到答案．
【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
2
4
9
4
0
b
ac
m
=
−
=
−
，
9
4
m
；
（2）解：把
2
m =
代入，得
2
3
2
0
x
x
−
+
=
，
(
1)(
2)
0
x
x
−
−
= ，
解得
1
2
1,
2
x
x
=
=
；
（3）解：
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
=
，
1
2
1
2
3
3
2
5
x
x
x x
+
−
=
，
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
3(
)
2
3 3
2
9
2
5
x
x
x x
x
x
x x
m
m
+
−
=
+
−
= −
=
−
=
，
21 / 21
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解得
2
m =
．
