1 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题01 二次函数的图象和性质
常考题型·精准突破
题型1 根据二次函数的定义求参数（重）
题型2 二次函数的图象和性质（高频）
题型3 利用二次函数的增减性比较大小（高频）
题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴（重）
题型5 求二次函数在某区域的最值问题（难）
题型6 画二次函数的图象（重）
题型7 二次函数的图象和性质综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 根据二次函数的定义求参数
1．（25-26 九年级上·福建龙岩·期末）若
(
)
2
3
1
a
y
a
x
x
=
+
+
−是二次函数，则a 的值为______．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据二次函数的定义，最高次项的次数为2 且系数不为0，即可解答．
【详解】解：由题意，函数是二次函数，则
x 的最高次项
a
x 的次数为2，即
2
a =
，
解得
2
a =
或
2
a = −．
又因为二次项系数
2
0
a+
，即
2
a
−
，
∴
2
a =
．
故答案为：2．
2．（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数
(
)
2
2
2
3
4
y
m
x
x
m
=
+
+
+
−
的常数项为零，则m 的值为
_____．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式．
根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解．
【详解】解：∵二次函数
(
)
2
2
2
3
4
y
m
x
x
m
=
+
+
+
−
的常数项为零，
2 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
4
0
m −
=
，即(
)(
)
2
2
0
m
m
−
+
=
，
∴
2
m =
或
2
m = −．
又∵函数为二次函数，
∴二次项系数
2
0
m+
，
∴
2
m
−
，
∴
2
m =
．
故答案为：2．
3．（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）若函数
(
)
2 3
2
2
2
a
a
y
a
x
+
+
=
+
−
是关于x 的二次函数，则a 的值为_____．
【答案】0 或3
−
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知
2
3
2
2
a
a
+
+
=
且
2
0
a+
，从而解得a 的值即可．
【详解】解：∵函数
(
)
2 3
2
2
2
a
a
y
a
x
+
+
=
+
−
是关于x 的二次函数，
∴
2
3
2
2
a
a
+
+
=
且
2
0
a+
，
∴
2
3
0
a
a
+
=
且
2
a
−
，
即(
)
3
0
a a +
=
且
2
a
−
，
∴
0
a =
或
3
a = −．
故答案为：0 或3
−．
◆题型2 二次函数的图象和性质
4．（25-26 九年级上·山东滨州·期末）关于抛物线
2
6
7
y
x
x
= −
+
+ ，下列说法正确的是( )
A．开口向上
B．对称轴是直线
3
x = −
C．与y 轴的交点坐标是(
)
0,7
D．顶点坐标是(
)
3,2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的相关性质，逐一分析选项即即可
求解．
【详解】解：∵抛物线解析式为
2
6
7
y
x
x
= −
+
+
∴
1
a = −，
6
b =
，
7
c =
∵
1
0
a = −
∴抛物线开口向下，故A 选项错误
∵对称轴为直线
(
)
6
3
2
2
1
b
x
a
= −
= −
=
−
∴对称轴是直线
3
x = ，故B 选项错误
3 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵当
0
x =
时，
7
y =
∴抛物线与y 轴的交点坐标是(
)
0,7 ，故C 选项正确
∵当
3
x = 时，
23
6 3 7
9 18
7
16
y = −
+ +
= −+
+
=
∴顶点坐标是(
)
3,16 ，故D 选项错误
故选：C．
5．（24-25 九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数
2
2
8
3
y
x
x
=
+
−，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线
2
x = −
C．当0
2
x
时，y 的最大值为21
D．将图象向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度后的顶点坐标为(
)
1, 12
−
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，二次函数图象的平移问题，把二
次函数解析式化为顶点式得到对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数可得开口方向，进而得到增减性，再
求出当
2
x =
时的函数值，接着根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的抛物线顶点坐标即可得
到答案。
【详解】解：∵抛物线解析式为
(
)
2
2
2
8
3
2
2
11 2
0
y
x
x
x
=
+
−
=
+
−
，
，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
2
x = −，故A、B 说法正确，不符合题意；
∴当
2
x
−
时，y 随x 增大而增大，
当
2
x =
时，
2
2 2
8 2
3
21
y =
+ −
=
，
∴当0
2
x
时，y 的最大值为21，故C 说法正确，不符合题意；
∵原抛物线顶点坐标为(
)
2, 11
−
−
，
∴将原抛物线的图象向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度后的顶点坐标为(
)
2
3, 11 1
−+
−
+
，即
(
)
1, 10
−
，故D 说法错误，符合题意；
故选：D。
6．（25-26 九年级上·陕西铜川·期末）已知一个二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的自变量x 与函数值y 的几组对应值
如下表：
x
…
2
−
0
1
3
…
y
…
5
−
3
4
0
…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴为直线
1
x = −
4 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
C．当
1
2
x
时，y 的值随x 值的增大而增大
D．此函数有最小值4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
根据表格数据，用待定系数法求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质判断各选项．
【详解】解：选取点(
)
0,3 、(
)
1,4 、(
)
3,0 代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，
当
0
x =
时，
3
y =
，
3
c
= ；
当
1
x = 时，
4
y =
，
4
a
b
c
+ + =
，即
3
4
a
b
+ + =
，
1
a
b
+
= ；
当
3
x = 时，
0
y =
，
9
3
0
a
b
c
+
+ =
，即9
3
3
0
a
b
+
+ =
，
9
3
3
+
= −
a
b
，即3
1
a
b
+
= −；
联立方程，3
1
a
b
+
= −与
1
a
b
+
= 相减，得2
2
a = −，
1
a
= −，
代入
1
a
b
+
= ，得1
1
b
−+
= ，
2
b
=
，
二次函数解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
1
0
a
−
=
，
图象开口向下，故A 错误；
对称轴
(
)
2
1
2
2
1
b
x
a
= −
= −
=
−
，故B 错误；
开口向下，对称轴
1
x = ，
当
1
x 时，y 随x 增大而增大，
1
1
2
，
当
1
2
x
时，y 随x 增大而增大，故C 正确；
顶点坐标(
)
1,4 ，函数有最大值4，没有最小值，故D 错误．
故选：C．
5 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
◆题型3 利用二次函数的增减性比较大小
7．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）若点(
)
1
6,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
−
，
(
)
3
2,
C
y
在二次函数
2
2
4
y
x
x
m
=
−
+
的图
象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是__________．（按从小到大表示）
【答案】
3
2
1
y
y
y
【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到
对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较
1
2
3
,
,
y y
y 的大小.
【详解】解：
2
2
4
y
x
x
m
=
−
+
，
抛物线开口向上；对称轴为直线
4
1
2 2
x
−
= −
=
.
分别计算三个点的横坐标到对称轴
1
x = 的距离：
点
(
)
1
6,
A
y
−
：
6 1
7
−−
=
点
(
)
2
2,
B
y
−
：
2 1
3
−−
=
点
(
)
3
2,
C
y
：2 1
1
−
=
开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且1 3
7
，
3
2
1
y
y
y
.
8．（25-26 八年级下·北京·期末）点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
在二次函数
2
4
2
y
x
x
=
−
+
的图象上，若
1
1
2
x
，
2
3
4
x
．则
1y 与
2y 的大小关系是
1y ______
2y ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】
<
【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，
对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到
1y 与
2y 的大小关系．
【详解】解：
(
)
2
2
4
2
2
2
y
x
x
x
=
−
+
=
−
−
，
∴对称轴为直线
2
x =
，抛物线开口向上，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，
1
1
2
x
，
2
3
4
x
，
B
点到对称轴的距离更大，
1
2
y
y
．
9．（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）已知点(
) (
) (
)
1
2
2,
,
2,
, 2
6,
b
y
b
c
b
y
−
+
+
都在二次函数
2
1
2
y
x
bx
c
=
−
+ 的
图象上，则
1y ___
2y （填，，= ）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数值大小的比较．
6 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
通过将点(
)
2,
b
c
+
代入二次函数解析式，得到
2
4,
2
b
b
=
= ，然后计算
2y 与
1y 的差值，得到
2
2
1
1
6
16
2
y
y
b
b
−
=
+
+
，代入
2
b = 均大于0，故
2
1
y
y
．
【详解】解：由点(
)
2,
b
c
+
在二次函数
2
1
2
y
x
bx
c
=
−
+ 图象上，
代入得
(
)
(
)
2
1
2
2
2
c
b
b b
c
=
+
−
+
+ ，
化简得
2
1
0
2
2b
= −
+
，即
2
4,
2
b
b
=
= ，
∵
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
1
1
2
2
,
2
6
2
6
2
2
y
b
b b
c y
b
b
b
c
=
−
−
−
+
=
+
−
+
+
∴
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
6
2
6
2
2
2
2
y
y
b
b
b
b
b b
−
=
+
−
+
−
−
−
−
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
4
24
36
2
6
4
4
2
2
2
b
b
b
b
b
b
b
b
=
+
+
−
−
−
−
+
−
+
2
2
2
2
1
2
12
18
2
6
2
2
2
2
b
b
b
b
b
b
b
b
=
+
+
−
−
−
−
+
−
+
2
1
6
18
2
2
b
b
=
+
−−
+
2
1
6
18
2
2
b
b
=
+
+
−
2
1
6
16
2b
b
=
+
+
当
2
b = 时，
2
1
1
4
6 2 16
2 12 16
30
0
2
y
y
−
=
+ +
=
+
+
=
；
当
2
b = −时，
(
)
2
1
1
4
6
2
16
2 12 16
6
0
2
y
y
−
=
+ −
+
=
−
+
=
，
故
2
1
y
y
，即
1
2
y
y
故答案为：．
◆题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴
10．（2026·广东广州·一模）已知抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点(
)
3,0
−
和(
)
1,0 ，则该抛物线的对称轴为直线x =
________．
【答案】1
−
【分析】抛物线与x 轴的两个交点纵坐标相等，可知两个交点关于抛物线对称轴对称，根据交点横坐标即可
计算出对称轴．
【详解】解：∵ 抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点 (
)
3,0
−
和 (
)
1,0 ，
7 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称，
抛物线对称轴为直线
3 1
1
2
x
−+
=
= −．
11．（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数
2
4
y
x
x
c
=
−
+ （c 为常数），若其图像上有两点
(
)
2,
A m
n
−
，
(
)
2,
B m
n
+
，则m 的值是________．
【答案】2
【分析】由A、B 两点纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利
用对称轴等于两点横坐标的中点，进而求得m 的值．
【详解】解：∵二次函数
2
4
y
x
x
c
=
−
+ ，
∴抛物线的对称轴为直线
4
2
2 1
x
−
= −
=
，
∵二次函数的图像上有两点
(
)
2,
A m
n
−
，
(
)
2,
B m
n
+
，两点纵坐标相等，
∴点A和点B 关于对称轴对称，
∴(
) (
)
2
2
2
2
m
m
−
+
+
=
，
解得
2
m =
．
12．
（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数
2
1
y
x
bx
b
=
−
+ + 的图象经过点(
)
1,
A
n
−
和点(
)
3,
B m
n
−
，
当
1
2
x =
时函数取得最小值，则m 的值为_______
【答案】5
【分析】根据点A 和点B 的纵坐标相同求出对称轴为直线
4
2
m
x
−
=
，根据函数图象开口向上时，在对称轴
处取得最小值可确定对称轴为直线
1
2
x =
，据此建立方程求解即可．
【详解】解：∵二次函数
2
1
y
x
bx
b
=
−
+ + 图象经过点(
)
1,
A
n
−
和点
(
)
3,
B m
n
−
，
∴二次函数的对称轴为直线
1
3
4
2
2
m
m
x
−+
−
−
=
=
，
∵在
2
1
y
x
bx
b
=
−
+ + 中，1
0
，
∴该二次函数的图象开口向上，
∴在对称轴处函数有最小值，
又∵当
1
2
x =
时函数取得最小值，
∴该函数的对称轴为直线
1
2
x =
，
∴
4
1
2
2
m −
=
，
8 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
5
m =
．
◆题型5 求二次函数在某区域的最值问题
13．
（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数
2
2
5
= −
+
y
x
，当2
1
x
−
时，y 的取值范围是__________．
【答案】3
5
y
−
【分析】根据二次函数
2
2
5
= −
+
y
x
，得出开口方向向下，对称轴是y 轴，结合2
1
x
−
，得出y 的取值范
围是3
5
y
−
，即可作答．
【详解】解：∵二次函数
2
2
5
= −
+
y
x
，
2
0
a = −
，对称轴为y 轴，
∴该函数图象开口向下，当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，当
0
x =
时，y
取得最大值5，
当
2
x = −时，
(
)
2
2
2
5
3
y = −−
+
= −，
当
1
x = 时，
2
2 1
5
3
y = −
+
=
，
∴当2
1
x
−
时，y 的取值范围是3
5
y
−
．
14．（2026·广东佛山·三模）二次函数
2
2
2
1
=
−
+
−
y
x
mx
m
中，当1
5
x
时y 有最小值3，则实数m 的值为
________．
【答案】1
−或7
【分析】先将二次函数配方，得到开口方向与对称轴，再根据对称轴与给定区间1
5
x
的三种位置关系分
类讨论，分别求出最小值，结合取值范围确定m 的值.
【详解】解：将二次函数配方得：
2
2
2
2
1
(
)
1
y
x
mx
m
x
m
=
−
+
−=
−
−
二次项系数
1
0
a =
，
抛物线开口向上，对称轴为直线x
m
=
，
分三种情况讨论：
（1）当
1
m 时，在1
5
x
范围内，y 随x 的增大而增大，最小值在
1
x = 处取得，代入得：
2
(1
)
1
3
m
−
−=
整理得
2
2
3
0
m
m−
−
=
解得
1
1
m = −，
2
3
m =
1
m
，
1
m
= −符合要求
（2）当1
5
m
时，最小值在对称轴x
m
=
处取得，此时
1
y
−
=
，不符合最小值为3的要求，舍去此种情况
（3）当
5
m
时，在1
5
x
范围内，y 随x 的增大而减小，最小值在
5
x = 处取得，代入得：
2
(5
)
1
3
m
−
−= ，
整理得
2
10
21
0
m
m
−
+
=
，
解得
1
3
m =
，
2
7
m =
，
5
m
，
9 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
m
7
=
符合要求，
综上，实数m 的值为1
−或7 .
15．（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数：
2
4
3
y
ax
ax
a
=
−
+
．
（1）若该二次函数的图像开口向上，当1
4
x
时，y 的最大值是9，则a 的值为________；
（2）若对于该抛物线上的两点
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
，当
1
3
t
x
t
−
，
2
4
x
时，均满足
1
2
y
y
，则t 的取
值范围是________．
【答案】 3 3
4
t
【分析】（1）先求出二次函数的对称轴，根据开口向上，确定给定区间内最大值的位置，代入列方程求解a
的值；
（2）根据条件判断抛物线开口向下，找到
4
x = 关于对称轴的对称点，结合二次函数的性质列出不等式，求
解t 的取值范围．
【详解】解：（1）对于二次函数
2
4
3
y
ax
ax
a
=
−
+
，其图像的对称轴为直线
4
2
2
a
x
a
−
= −
=
，
∵图像开口向上，
∴
0
a
，
又∵在1
4
x
中，
4
x = 距离对称轴更远，
∴函数在
4
x = 处取得最大值，将
4
x = 代入函数得
2
4
4
4
3
3
y
a
a
a
a
=
−
+
=
，
由题意3
9
a =
，解得
3
a = ；
（2）∵二次函数
2
4
3
y
ax
ax
a
=
−
+
的对称轴为直线
2
x =
，
又∵当
1
3
t
x
t
−
，
2
4
x
时，均满足
1
2
y
y
，
∴抛物线开口向下，且
0
x =
与
4
x = 关于直线
2
x =
对称，
要满足条件，则有0
3
4
t
t
−
，
即
3
0
4
t
t
−
，解得3
4
t
．
◆题型6 画二次函数的图象
16．（25-26 八年级下·北京·期末）已知二次函数
2
2
2
y
x
x
−
=
+
+
．
(1)先补全表格，则m = ______．然后在平面直角坐标系xOy 中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数
的图象：
x
…
1
−
0
1
2
3
…
2
2
2
y
x
x
−
=
+
+
…
1
−
2
m
2
1
−
…
(2)根据表格图象可知，当1
2
x
−
时，y 的取值范围是______．
10 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)点
(
)
1
3,
A
y
和
(
)
2
,
B n y
都在此函数的图象上，且点A 与点B 不重合，若
1
2
y
y
，结合函数图象，直接写出
n 的取值范围．
【答案】(1)3；函数图象，如图所示：
(2) 1
3
y
−
(3)
1
n −或
3
n
【分析】（1）把
1
x = 代入
2
2
2
y
x
x
−
=
+
+
得出
1
2
2
3
y = −+
+
=
，即可得出
3
m =
，先描点，再连线，画出二
次函数图象即可；
（2）根据函数图象，写出当1
2
x
−
时，y 的取值范围即可；
（3）根据函数图象，得出答案即可．
【详解】（1）略
（2）解：根据函数图象可得：当1
2
x
−
时，1
3
y
−
；
（3）解：当
3
x = 时，
1
y
−
=
，即
1
1
y
−
=
，
根据函数图象可知：当
1
x −或
3
x
时，
1
y −，
∵点
(
)
1
3,
A
y
和(
)
2
,
B n y
都在此函数的图象上，且点A 与点B 不重合，且
1
2
y
y
，
∴n 的取值范围为
1
n −或
3
n ．
17．（25-26 八年级下·北京·期末）已知：二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，y 与x 的一些对应值如表：
x
…
1
−
0
1
2
4
…
2
ax
bx
c
+
+
…
m
3
n
1
−
3
…
11 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ；
(2)表格中空白处的值m = ，n = ；
(3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方
程为 ；
(4)当0
x
t
时，1
3
y
−
，则t 的取值范围为 ．
【答案】(1)
2
4
3
y
x
x
=
−
+
(2)8；0
(3)图象如图所示：
(
)
2, 1
−
；
2
x =
(4)2
4
t
【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答．
（2）理解题意，把
1
x = −，
1
x = 分别代入
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ，求出
,
m n的值；
（3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答．
（4）运用数形结合思想进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把(
) (
) (
)
0,3 , 2, 1 , 4,3
−
分别代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，
得
3
1
4
2
3
16
4
c
a
b
c
a
b
c
=
−=
+
+
=
+
+
，
12 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得
1
4
3
a
b
c
=
= −
=
，
∴
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ．
（2）解：依题意，把
1
x = −代入
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ，
得
(
)
(
)
2
1
4
1
3
8
y = −
−−
+
= ，即
8
m =
；
把
1
x = 代入
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ，
得
21
4 1 3
0
y =
−+ =
，即
0
n =
；
（3）解：图略，
(
)
2
2
2
4
3
4
4 1
2
1
y
x
x
x
x
x
=
−
+
=
−
+
−=
−
−
∴顶点坐标为(
)
2, 1
−
，对称轴方程为
2
x =
．
（4）解：观察（3）的函数图象：
当1
3
y
−
时，则0
4
x
∵当0
x
t
时，1
3
y
−
，
∴结合函数图象，得2
4
t
18．（2026·山东聊城·模拟预测）已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象经过点(
)
4,3
−
、(
)
3,0
−
13 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求b 、c 的值；
(2)画出该函数的图象；
(3)若x
m
时，y 随x 的增大而增大，则m 的最小值为______；
(4)该函数图象向上平移______个单位长度后，所得函数的图象与x 轴只有一个公共点．
【答案】(1)
4,
3
b
c
=
=
(2)图见详解
(3) 2
−
(4)1
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据列表，描点，连线画函数图象即可；
（3）根据（2）中函数图象及二次函数的性质可进行求解；
（4）根据（2）中函数图象及二次函数图象的平移可进行求解．
【详解】（1）解：由二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象经过点(
)
4,3
−
、(
)
3,0
−
，可得：
16
4
3
9
3
0
b
c
b
c
−
+
=
−
+
=
，
解得：
4
3
b
c
=
=
；
（2）解：由（1）可知：二次函数的解析式为
2
4
3
y
x
x
=
+
+ ，列表如下：
x
…..
4
−
3
−
2
−
1
−
0
…..
y
…..
3
0
1
−
0
3
…..
该二次函数图象如下所示：
14 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）解：由图象可知：当
2
x
−
时，y 随x 的增大而增大，
∴m 的最小值为2
−；
（4）解：由图象可知：该函数图象向上平移1 个单位长度后，所得函数的图象与x 轴只有一个公共点．
◆题型7 二次函数的图象和性质综合问题
19．（25-26 九年级下·全国·课后作业）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过三点：( 1, 1),(0, 2),(1,1)
−−
−
．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式
(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(3)这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
【答案】(1)
2
2
2
y
x
x
=
+
−
(2)开口向上，对称轴为直线
1
4
x = −
，顶点坐标为
1
17
,
4
8
−
−
(3)函数有最小值，最小值为
17
8
−
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）将一般式配方成顶点式，即可求解；
（3）根据顶点式以及开口方向求解即可．
【详解】（1）解：将( 1, 1),(0, 2),(1,1)
−−
−
分别代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，
得
1
2
1
a
b
c
c
a
b
c
−
+
= −
= −
+
+
=
解得
2
1
2
a
b
c
=
=
= −
15 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
所以这条抛物线对应的二次函数表达式为
2
2
2
y
x
x
=
+
−
；
（2）解：对二次函数配方得
2
2
2
1
1
17
2
2
2
2
2
2
4
8
y
x
x
x
x
x
=
+
−
=
+
−
=
+
−
2
0
a =
抛物线开口向上，对称轴为直线
1
4
x = −
，顶点坐标为
1
17
,
4
8
−
−
；
（3）解：抛物线开口向上
这个函数有最小值，最小值为
17
8
−
．
20．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数
2
3
4
4
y
x
ax
=
−
+ ，其中a 为常数．
(1)若
3
2
a =
，求此函数图象的顶点坐标；
(2)当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小；当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围．
【答案】(1)(
)
1,1
(2)6
12
a
【分析】（1）将
3
2
a =
代入二次函数
2
3
4
4
y
x
ax
=
−
+ 中，得到
(
)
2
3
1
1
y
x−
=
+ ，即可得到函数图象的顶点坐
标为(
)
1,1 ；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线
2
3
a
x =
，根据当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小；当8
12
x
时，y 随
x 的增大而增大，得到
2
4
8
3 a
，即可求得a 的取值范围．
【详解】（1）解：∵
3
2
a =
，
∴二次函数
(
)
2
2
2
2
3
3
4
4
3
4
4
3
6
4
3
1
1
2
y
x
ax
x
x
x
x
x−
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
+ ，
∴函数图象的顶点坐标为(
)
1,1 ；
（2）解：∵二次函数为
2
3
4
4
y
x
ax
=
−
+ ，
∴对称轴为直线
4
2
2 3
3
a
a
x
−−
=
=
，
∵当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴2
4
3 a
，解得
6
a
；
∵当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，
∴2
8
3 a
，解得
12
a
，
∴a 的取值范围是6
12
a
．
16 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
21．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线l 交抛物线
2
4
3
y
ax
ax
=
−
−（常数
0
a
）于点(
)
,8
s
a ，(
)
,8
t
a ，s
t
．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)当抛物线最高点到直线l 的距离为9 时，
①求t 的值；
②若点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
是b
x
t
范围内抛物线上的两点，且
2
b
，
1
2
x
x
．当
1
2
y
y
−
取得最大值时，
记点P 向右平移3 个单位后的点为P，求线段P Q
的中点的坐标．
【答案】(1)
2
x =
；
(2)①
5
t =
；②
7
5,
2
−
．
【分析】（1）代入抛物线对称轴公式
2
b
x
a
= −
求解即可；
（2）①利用抛物线最高点到直线l 的距离为9这个条件结合抛物线顶点坐标与直线l 的表达式列出
(
)
4
3
8
9
a
a
−
−
−
=
且
0
a
可求出a 的值，联立抛物线和直线l 结合s
t
即可得到t 的值；②
1
2
y
y
−
取得最大
值，在b
x
t
内先让
1y 尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让
2y 尽可能小，从而可得到点
(
)
1
1
,
P x y
，(
)
2
2
,
Q x
y
的坐标，由平移性质得到P的坐标，再利用中点坐标公式求得线段P Q
的中点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为
4
2
2
a
x
a
−
= −
=
；
（2）解：①直线l 过点(
)
,8
s
a ，(
)
,8
t
a ，
直线l 的表达式为
8
y
a
=
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
4
3
4
3
4
4
4
3
2
4
3
y
ax
ax
a x
x
a x
x
a
a x
a
=
−
−
=
−
−
=
−
+
−
−
=
−
−
−
，
该抛物线的顶点为(
)
2, 4
3
a
−
−
，
抛物线最高点到直线l 的距离为9，
(
)
4
3
8
9
a
a
−
−
−
=
，
0
a
，
12
3
9
a
−
−
=
，即12
3
9
a +
=
，解得
1
a = −或
1
2
a =
（舍去），
抛物线为
2
=
+4
3
y
x
x
−
−
，直线l 为
8
y = −，
联立抛物线和直线l 得
2
4
3
8
x
x
−
+
−
= −，
化简得
2
4
5
0
x
x−
−
=
，即(
)(
)
5
1
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
5
x = ，
2
1
x = −，
s
t
，
5
t
= ；
②
1
2
y
y
−
取得最大值，
1y 最大为当
1
2
x =
时，
1
1
y = ，
17 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1
2
x
x
，
2y
最小为当
2
5
x =
时，
2
8
y = −，
(
)
2,1
P
，
(
)
5, 8
Q
−
，
点P 向右平移3个单位后的点为P，
(
)
2
3,1
P
+
，即
(
)
5,1
P
，
线段P Q
的中点的坐标为
(
)
1
8
5
5 ,
2
2
+ −
+
，即
7
5,
2
−
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）若函数
1
2
m
y
x
x
−
=
−
+
是二次函数，那么m 的值为 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2 这一性质列方程求解即可．
【详解】∵
1
2
m
y
x
x
−
=
−
+
是二次函数，
∴
1
2
m−=
解得
3
m =
此时函数为
2
2
y
x
x
=
−
+ ，满足二次函数的定义．
故选：D．
2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线
(
)
2
2
1
3
y
x
=
−
+ ，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为(
)
1,3
C．抛物线的对称轴为直线
1
x = −
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而减小
【答案】B
【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为
(
)
2
2
1
3
y
x
=
−
+ ，
∴
2
0
a =
，
∴抛物线开口向上，故A 错误；
顶点坐标为(
)
1,3 ，故B正确；
18 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
对称轴为直线
1
x = ，故C 错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x = ，
∴当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，故D 错误．
3．（2026·江苏苏州·三模）已知(
) (
) (
)
1
2
3
1,
, 2,
, 4,
y
y
y
−
是抛物线
2
4
y
x
x
m
= −
+
+
上的点，则
1y 、
2y 、
3y 的大
小关系为（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
3
1
y
y
y
C．
1
3
2
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
【答案】C
【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点
到对称轴的距离即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线解析式为
2
4
y
x
x
m
= −
+
+
，
∴
1
0
a = −
，抛物线开口向下，对称轴为
(
)
4
2
2
2
1
b
x
a
= −
= −
=
−
，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．
分别计算三个点到对称轴
2
x =
的距离：
点(
)
1
1, y
−
的距离：
1 2
3
−−
=
，
点(
)
2
2, y
的距离：2
2
0
−
=
，
点(
)
3
4, y
的距离：4
2
2
−
=
．
∵0
2
3
，
∴
1
3
2
y
y
y
．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数
2
3
y
ax
bx
a
=
+
−
，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且
当5
0
x
−
时，y 的最大值为2 ，则a 的值为（ ）
A．
1
3
−
B．2
3 C．
1
3
−
或1 D．
1
2
−
或1
6
【答案】D
【分析】先根据二次函数平移规律和平移后过原点得到a 与b 的关系，再求出抛物线对称轴，最后分
0
a
和
0
a
两种情况，结合在5
0
x
−
中取得的最大值为2 计算a 的值．
【详解】解：将二次函数
2
3
y
ax
bx
a
=
+
−
向右平移3 个单位长度，得平移后解析式为
(
)
(
)
2
3
3
3
y
a x
b x
a
=
−
+
−
−
，
∵平移后图象经过原点，
∴(
)
(
)
2
0
3
0
3
3
0
a
b
a
−
+
−
−
=
，
6
3
0
a
b
−
=
，
解得
2
b
a
=
，
19 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴抛物线对称轴为直线
2
1
2
2
b
a
x
a
a
= −
= −
= −，
① 当
0
a
时，抛物线开口向上，在5
0
x
−
中的最大值出现在离对称轴更远的端点，
∵
(
)
5
1
4
−−−
=
，
(
)
0
1
1
−−
= ，4
1
，
∴
5
x = −时y 取得最大值2 ，
即
(
)
(
)
2
5
5
3
2
a
b
a
−
+ −
−
=
，
∴22
5
2
a
b
−
=
，
又∵
2
b
a
=
，
∴22
5 2
2
a
a
−
=
，
解得
1
6
a =
；
② 当
0
a
时，抛物线开口向下，顶点在5
0
x
−
内，最大值在顶点处，即
1
x = −时y 取得最大值2 ，
∴
(
)
(
)
2
1
1
3
2
a
b
a
−
+ −
−
=
，
∴2
2
a
b
−
−
=
，
又∵
2
b
a
=
，
∴2
2
2
a
a
−
−
=
，
解得
1
2
a
−
=
；
综上，a 的值为
1
2
−
或1
6 ．
5．（25-26 九年级下·陕西宝鸡·期中）二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
中x，y 的部分对应值如下表所示：
x
…
2
−
1
−
0
1
2
3
…
y
…
4
1
−
4
−
5
−
4
−
1
−
…
关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象开口向下
B．对称轴是直线
2
x =
C．当
2
x
时，y 随x 的增大而增大
D．图象与x 轴的交点坐标为(
)
3,0
−
和(
)
5,0
【答案】C
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象性质．利用表格中的数据，
用待定系数法求出二次函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵
0
x =
时，
4
y
−
=
，
∴4
0
0
a
b
c
−= + + ，
即
4
c = −．
20 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
选取表格中两组对应值(
)
1, 1
−
−
，(
)
1, 5
−
代入
2
4
y
ax
bx−
=
+
中，得：
(
)
(
)
2
2
1
1
4
1
1
1
4
5
a
b
a
b
−
+ −
−
= −
+ −
= −
化简得：
3
1
a
b
a
b
−
=
+
= −
，
解得：
1
2
a
b
=
= −
，
∴ 二次函数解析式为
2
2
4
y
x
x−
=
−
，配方得
(
)
2
1
5
y
x
=
−
−．
∵
1
0
a =
，
∴ 抛物线开口向上，A 错误；
∵抛物线对称轴为直线
1
x = ，
∴B 错误；
∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x = ，
∴ 当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
又∵
2
x
满足
1
x ，因此当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，C 正确；
令
0
y =
，得
2
2
4
0
x
x−
−
=
，
解得
1
5
x =
，即图象与x 轴交点为(
)
1
5,0
+
和(
)
1
5,0
−
，不是(
)
3,0
−
和(
)
5,0 ，
∴D 错误．
二、填空题
6．
（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数
(
)
2 7
3
4
1
k
y
k
x
x
−
=
−
+
+ 是关于x 的二次函数，则k =_______．
【答案】3
−
【详解】解：由题意，可得 {𝑘2 −7 = 2
𝑘−3 ≠0 ，
解方程
2
7
2
k −
=
，得
2
9
k =
，
解得
3
k = 或
3
k = −；
由
3
0
k −
，得
3
k
，
故
3
k = −.
7．
（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数
2
4
5
y
x
x
=
+
+ ，当3
0
x
−
时，y的取值范围为________．
【答案】1
5
y
【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线
2
x = −，距离对称轴越远函数值越大，即可
求解．
【详解】解：
(
)
2
2
4
5
2
1
y
x
x
x
=
+
+
=
+
+
，
开口向上，对称轴为直线
2
x = −，距离对称轴越远函数值越大，
21 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当
2
x = −时，y 有最小值为1，
(
)
(
)
0
2
2
3
−
−−
−−
，
当
0
x =
时，y 有最大值为5，
y 的取值范围为1
5
y
．
8．（25-26 九年级上·江苏盐城·期中）当抛物线
2
1
3
4
y
x
bx
=
+
−（b 为常数），经过点
(
)
(
)
4,
,
6,
M
m
N
m
−
时．抛
物线的顶点坐标为________．
【答案】
13
1,
4
−
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线对称轴是关键．
由抛物线
2
1
3
4
y
x
bx
=
+
−（b 为常数）经过点
(
)
(
)
4,
,
6,
M
m
N
m
−
求出抛物线的对称轴为直线
1
x = ，根据对称
轴公式求出
1
2
b
−
=
，得到二次函数解析式为
2
1
1
3
4
2
y
x
x
=
−
−，再把
1
x = 代入二次函数解析式即可得到顶点
的纵坐标．
【详解】解：∵抛物线
2
1
3
4
y
x
bx
=
+
−（b 为常数）经过点
(
)
(
)
4,
,
6,
M
m
N
m
−
．
∴抛物线的对称轴为直线
4
6
1
2
x
−+
=
= ，则
1
1
2
4
b
−
=
，解得
1
2
b
−
=
，
∴抛物线为
2
1
1
3
4
2
y
x
x
=
−
−，
当
1
x = 时，
2
4
1 1
2
1
13
1
3
4
y =
= −
−
−
，
∴抛物线的顶点坐标为
13
1,
4
−
，
故答案为：
13
1,
4
−
9．
（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线
2
2
2
=
−
+
−
y
x
tx
t
t ，点
(
)
1
1
,
P x y
在抛物线上，其中
1
1
2
t
x
t
−
+
．若
1y 的最小值是2
−，则
1y 的最大值是______．
【答案】2
【分析】先确定出当x
t
= 时，
1y 的最小值为t
−，进而求出t ，再判断出当
2
x
t
= +
时，
1y 取最大值，即可求
出答案．
【详解】解：对抛物线解析式配方得：
2
2
2
2
(
)
=
−
+
−=
−
−
y
x
tx
t
t
x
t
t ，
二次项系数1
0
，
抛物线开口向上，对称轴为直线x
t
= .
1
1
2
t
x
t
−
+
，
22 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当x
t
= 时，
1y 取得最小值t
−，
由
1y 的最小值为2
−，得
2
−= −
t
，解得
2
t =
，
此时
1x 的取值范围为
1
1
4
x
，对称轴为
2
x =
，抛物线开口向上，
则离对称轴越远，函数值越大，
4
2
2
−
=
，1
2
1
−
= ，2
1
，
则当
1
4
x =
时，
1y 取得最大值，
将
1
4
x =
，
2
t =
代入解析式得：
2
1
(4
2)
2
4
2
2
y =
−
−
=
−
=
．
10．（2026·黑龙江大庆·二模）已知二次函数
2
2
1
y
mx
mx
=
+
+ （
0
m
）在2
2
x
−
时有最小值4
−，则m
等于______________．
【答案】5或
5
8
−
．
【分析】先求出二次函数
2
2
1
y
mx
mx
=
+
+ （
0
m
）的对称轴为
1
x = −，再根据m 的正负性分情况讨论函数
在2
2
x
−
上的最小值情况，进而求解m 的值．
【详解】解：对于二次函数
2
2
1
y
mx
mx
=
+
+ （
0
m
），
其对称轴公式为
2
b
x
a
= −
，这里a
m
=
，
2
b
m
=
，
对称轴
2
1
2
m
x
m
= −
= −，
当
0
m
时，
抛物线开口向上，在对称轴
1
x = −处函数取得最小值，
1
−
在2
2
x
−
内，
当
1
x = −时，y 取得最小值，
把
1
x = −代入函数得：
(
)
(
)
2
1
2
1
1
y
m
m
=
−
+
−
+
2
1
m
m
=
−
+
1
m
= −
+ ，
函数最小值为4
−，
1
4
m
−
+ = −，
解得
5
m =
，符合
0
m
的条件，
当
0
m
时
抛物线开口向下，在2
2
x
−
上，离对称轴
1
x = −越远的点，函数值越小，
计算
2
x = −和
2
x =
到对称轴
1
x = −的距离：
2
x = −到
1
x = −的距离为
(
)
2
1
1
−−−
= ，
23 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
x =
到
1
x = −的距离为
(
)
2
1
3
−−
=
，
3 1
，
当
2
x =
时，函数取得最小值，
把
2
x =
代入函数得：
2
2
2
2 1
y
m
m
=
+
+
4
4
1
m
m
=
+
+
8
1
m
=
+ ，
函数最小值为4
−，
8
1
4
m
+ = −，
解得
5
8
m = −
，符合
0
m
的条件．
综上，m 的值为5或
5
8
−
．
三、解答题
11．（25-26 九年级上·广西崇左·期末）已知函数
(
)
2 2
2
m
y
m
x
−
=
+
（m 为常数），求当m 为何值时：
(1)y 是x 的一次函数？
(2)y 是x 的二次函数？并求出此时纵坐标为64 的点的横坐标．
【答案】(1)
3
m =
(2)
2
m =
，纵坐标为64 的点的横坐标4
【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键．
（1）由一次函数定义得出
2
2
1
m −
= ，且
2
0
m+
，求出m 的值；（2）由二次函数定义得出
2
2
2
m −
=
，且
2
0
m+
，求出m 的值．
【详解】（1）解：（1）由题意，得
2
2
1
m −
= ，且
2
0
m+
，
解得
3
m =
，
当
3
m =
时，y 是x 的一次函数；
（2）由题意，得
2
2
2
m −
=
，且
2
0
m+
，
解得
2
m =
，
当
2
m =
时，y 是x 的二次函数，
当
64
y =
时，
64
4
2 =
x
，
解得
4
x = ，
纵坐标为64 的点的横坐标4
．
24 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
12．（25-26 八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线
2
4
y
x
= −
+
与x 轴交于A、B 两点，直线l 与抛物线交于
A、C 两点，其中C 的横坐标为1．
(1)求直线l 的表达式；
(2)点P 是线段AC 上的一个动点（点P 与点A、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点E，求PE
的最大值．
【答案】(1)
2
y
x
=
+
(2) 9
4
【分析】（1）分别求出
(
)
2,0
A −
，
(
)
1,3
C
，设
AC
l
：y
kx
b
=
+
，将(
)
2,0
A −
，
(
)
1,3
C
代入求解即可；
（2）设(
)
,
2
P x x +
，(
)
2
,
4
E x
x
−
+
，求出PE的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：令
0
y =
，
2
4
0
x
−
+
=
，
解得
1
2
x = −，
2
2
x =
，
(
)
2,0
A
−
，
将
1
x = 代入
2
4
y
x
= −
+
得
21
4
3
y = −
+
= ，
(
)
1,3
C
，
设
AC
l
：y
kx
b
=
+
，
将
(
)
2,0
A −
，
(
)
1,3
C
代入
2
0
3
k
b
k
b
−
+
=
+
=
，
解得
1
2
k
b
=
=
，
AC
l
：
2
y
x
=
+
；
（2）解：设(
)
,
2
P x x +
，(
)
2
,
4
E x
x
−
+
，
(
)
2
2
2
1
9
4
2
2
2
4
E
P
PE
y
y
x
x
x
x
x
=
−
= −
+
−
+
= −
−
+
= −
+
+
，
1
0
a
−
=
∴当
1
2
x = −
时，PE有最大值9
4 ．
13．（25-26 九年级上·河南周口·期末）已知二次函数
2
2
4
y
x
x−
=
−
．
25 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)补全下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
x
1
−
0
1
2
3
y
1
−
4
−
____
4
−
____
(3)已知当
1
t
x
t
−
时，该二次函数
2
2
4
y
x
x−
=
−
的最大值与最小值的差为3，请直接写出t 的值．
【答案】(1)(
)
1, 5
−
，直线
1
x =
(2) 5, 1
−−，见解析
(3)0 或3
【分析】（1）根据抛物线
(
)
2
y
a x
h
k
−
=
+
的顶点坐标为(
)
,h k ，对称轴为直线x
h
=
解答即可．
（2）把
1
x = ，
3
x = 分别代入解析式求出其对应的函数值即可，利用列表、描点，连线画函数图象．
（3）分当<1
t
时，当
1 1
t
t
−即1
2
t
时；当
1>1
t −
时即>2
t
，三种情况求解．
【详解】（1）解：根据题意，得
(
)
2
2
2
4
1
5
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−，
故抛物线顶点坐标为(
)
1, 5
−
，对称轴为直线
1
x = ．
（2）解：5, 1
−−，画图象如下：
．
（3）解：由
(
)
2
2
2
4
1
5
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−，得函数有最小值5
−；且距离对称轴越远，函数值越大；
当
1
t
x
t
−
时，该二次函数
2
2
4
y
x
x−
=
−
的最大值与最小值的差为3，
当<1
t
时，根据对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，
26 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故
1
x
t
= −时，函数取得最大值，且为
(
)
2
2
5
y
t
=
−
−，
当x
t
= 时，函数取得最小值，且为
(
)
2
1
5
y
t
=
−
−
，
根据题意，得(
)
(
)
2
2
2
5
1
5
3
t
t
−
−−
−
−
=
，
整理，得2
0
t
−
=
，
解得
0
t =
，
当
1 1
t
t
−即1
2
t
时；
当x
t
= 时，函数取得最大值，且为
(
)
2
1
5
y
t
=
−
−
，
当
1
x = 时，函数取得最小值，且为
5
y = −，
根据题意，得(
)
(
)
2
1
5
5
3
t −
−−−
= ，
整理，得(
)
2
1
3
t −
=
，
解得1
1
3
t = +
，2
1
3
t = −
，不满足1
2
t
，此时无解；
当
1>1
t −
时即>2
t
；根据对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，
当x
t
= 时，函数取得最大值，且为
(
)
2
1
5
y
t
=
−
−
，
当
1
x
t
= −时，函数取得最小值，且为
(
)
2
2
5
y
t
=
−
−，
根据题意，得，(
)
(
)
2
2
1
5
2
5
3
t
t
−
−−
−
−
=
整理，得2
3
3
t −=
，
解得
3
t =
，符合题意．
14．（2026·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
4
3
y
x
x
a
=
−
+
（a 为常数）．此抛物线与y 轴
交于点A，过点A作y 轴的垂线与此抛物线交于点B ，点A与点B 不重合．
(1)抛物线的对称轴为直线x =_____；
(2)当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当
2
m
x
m
+
（m 为常数）时，y 的最小值为3
−，求m 的值；
(3)在（2）的条件下，将该二次函数
2
4
3
y
x
x
a
=
−
+
的图象沿着x 轴的正方向平移(
)
0
k k
个单位长度得到新
的二次函数图象，当3
5
x
时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式．
【答案】(1)2；
(2)①
2
4
y
x
x
=
−
；②1
−或3；
(3)
2
16
60
y
x
x
=
−
+
【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴是
2
b
x
a
= −
求出解；
（2）①将点(
)
0,0 代入关系式可得解；
27 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②分三种情况讨论：当
2
2
m+
，即
0
m
时，
2
x
m
=
+ ，y 取最小值，再代入得出方程，求出解；当
2
2
m
m
+
，即0
2
m
时，
2
x =
，y 取最小值，求出最小值，并判断；当
2
m
时，x
m
=
，y 取最小
值，然后代入求出方程的解；
（3）设平移后新的二次函数的表达式
(
)
2
2
4
y
x
k
=
−−
−
为，该二次函数图象的对称轴为直线
2
x
k
=
+
，再
分三种情况讨论：当2
3
k
+
，即
1
k 时，3
5
k
在对称轴的右侧，再根据最小值得出方程，求出解，并
判断；当3
2
5
k
+
，即1
3
k
时，二次函数在
2
x
k
=
+
取得最小值，此时最小值为4
−，并判断；当2
5
k
+
，
即
3
k 时，3
5
x
在对称轴的左侧，然后代入得出方程，求出解，即可得出符合条件的关系式．
【详解】（1）解：
4
2
2 1
x
−
= −
=
，
抛物线的对称轴为直线
2
x =
；
（2）解：①把(
)
0,0 代入
2
4
3
y
x
x
a
=
−
+
得：0
3a
=
，
0
a
=
，
抛物线所对应的二次函数表达式为
2
4
y
x
x
=
−
；
②当
2
2
m+
，即
0
m
时，
2
x
m
=
+ ，y 取最小值，
(
)
(
)
2
2
4
2
3
m
m
+
−
+
= −，
解得
1
m = −或
1
m = （舍去），
1
m
= −；
当
2
2
m
m
+
，即0
2
m
时，
2
x =
，y 取最小值，
此时最小值为
2
2
4 2
4
−
= −，不符合题意；
当
2
m
时，x
m
=
，y 取最小值，
2
4
3
m
m
−
= −，
解得
1
m = （舍去）或
3
m =
；
综上所述，m 的值为1
−或3；
（3）解：设平移后新的二次函数的表达式为
(
)
2
2
4
y
x
k
=
−−
−
，该二次函数图象的对称轴为直线
2
x
k
=
+
．
分三种情况讨论：
①当2
3
k
+
，即
1
k 时，3
5
x
在对称轴的右侧，
二次函数在
3
x = 取得最小值，
(
)
2
3 2
4
5
k
−−
−
=
，
解得
4
k =
或
2
k
−
=
，不符合题意；
②当3
2
5
k
+
，即1
3
k
时，二次函数在
2
x
k
=
+
取得最小值，此时最小值为4
−，不符合题意；
③当2
5
k
+
，即
3
k 时，3
5
x
在对称轴的左侧，
二次函数在
5
x = 时取得最小值，
(
)
2
5
2
4
5
k
−−
−
=
，
28 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得
6
k =
或
0
k =
（舍去），
此时二次函数的表达式为
(
)
(
)
2
2
2
6
4
8
4
y
x
x
=
−−
−
=
−
−
，
即
2
16
60
y
x
x
=
−
+
．
综上所述，平移后新的二次函数的表达式为
2
16
60
y
x
x
=
−
+
．
