专题01一元二次方程的解法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&

 
 
 
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专题01 一元二次方程的解法的五类综合题型 
 
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 
题型一、直接开方法解一元二次方程 
题型二、配方法解一元二次方程 
题型三、公式法解一元二次方程 
题型四、用因式分解法解一元二次方程 
题型五、换元法解一元二次方程 
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 
 
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 
- 题型特征：含一个未知数、最高次为2，通常化为一般式ax2+bx+c=0。 
- 解题方法：优先考虑因式分解（十字相乘）法；系数复杂时用公式法；缺常数项用直接开平方或提公因
式；缺一次项用直接开平方。 
- 易错提醒：先化为标准形式；注意a≠0；公式法须先算判别式；开平方要带±号。
 
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 
题型一、直接开方法解一元二次方程 
典例1．（25-26 九年级上·江苏南京·期末）解方程
2
3(
1)
18
0
x +
−
=
． 
题型模版 
1.特征：方程可化为x2=p 或(ax+b)2=p（p≥0）的形式，缺一次项。   
2.方法：直接对两边开平方，得x=±√𝑝或ax+b=±√𝑝，再解一次方程。 
变式1-1．（25-26 九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： 
(1)
2
2(
1)
18
x −
=
 
(2)
2
3(
1)
75
0
+
−
=
x
． 
变式1-2．（23-24 九年级上·全国·单元测试）用直接开平方法解方程： 
目 录 
 
 
 
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(1)(
)
2
3
16
x −
=
； 
(2)(
)
2
2
3
25
x −
=
； 
变式1-3．（2026 八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： 
(1)(
)
2
2
2
6
x −
=
； 
(2) (
)
2
3
1
6
0
x −
−
=
； 
(3)(
)(
)
3
3
9
x
x
+
−
=
； 
(4)(
)
(
)
2
2
2
1
2
x +
=
+
． 
 
题型二、配方法解一元二次方程 
典例2．（25-26 九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程： 
(1)
2
4 2
2
0
x
x
−
−
=
． 
(2)
2
3
5
1
0
x
x
−
−=
． 
题型模版 
1.特征：方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，或可通过变形凑成完全平方式。   
2.方法：移常数项，加一次项系数一半的平方配方，写成(x+n)2=p，再开方求解。 
变式2-1．（25-26 九年级上·全国·期中）用配方法解方程： 
(1)(
)
2
3
2
5
x
x
+
=
+
； 
(2)
2
2
5
3
5
5
x
x
x
x
−
+
=
+
． 
变式2-2．（25-26 九年级上·广东揭阳·阶段检测）用配方法解下列方程： 
(1)
2
4
4
1
0
x
x
−
−=
； 
(2)
2
5
2 3
x
x
−
=
． 
变式2-3．（24-25 八年级下·全国·课后作业）运算能力用配方法解方程： 
(1)
2
2
4
1
0
x
x
−
−=
； 
(2)
2
1
1
0
2 x
x
−
−=
； 
(3)
2
1
3
6
0
2 x
x
−
−
+
=
； 
(4)(
)(
)
2
3
6
16
x
x
+
−
=
． 
 
 
 
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题型三、公式法解一元二次方程 
典例3．（25-26 八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： 
(1)
(
)
2
3
2 2
x
x
=
−
． 
(2)
2
2
1
2
9
x
x
x
+
+ = −
+
． 
题型模版 
1.特征：适用于所有一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，无需特殊形式，通用解法。   
2.方法：代入求根公式x=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，先计算判别式∆=b2-4ac 再求根。 
变式3-1．（25-26 九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： 
(1)
2
2
5
3
0
x
x
−
+
=
； 
(2) 2 (
1)
1
x x
−
+
= ； 
(3) (
3)
2
(1
3 )
y y
y
y
−
=
+
−
． 
变式3-2．（25-26 八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． 
(1)
2
3
7
0
x
x
−
−
=
； 
(2)
(
)
2
5
2
1
x
x
−
=
+
； 
(3)
2
2
5
5
0
x
x
+
−
=
． 
变式3-3．（2026 八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 
(1)
2
1
2
0
4
x
x
−
−
=
； 
(2)
2
2
2 2
1
0
x
x
−
+ =
； 
(3)
2
2
3
20
2
8
x
x
x
+
=
+
． 
 
题型四、用因式分解法解一元二次方程 
典例4．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）解下列方程： 
(1)
2
2
8
0
x
x
−
−
=
； 
(2)
(
)
(
)
2
3
5
3
x x
x
−
=
−
． 
题型模版 
1.特征：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积（提公因式、十字相乘、平方差等）。   
 
 
 
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2.方法：移项使右边为0，左边因式分解，令各因式为0，得两个一元一次方程求解。 
变式4-1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程： 
(1)
2
2
3
0
x
x
+
−
=
； 
(2) (
)
4
8
2
x x
x
−
=
−
． 
变式4-2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·阶段检测）解一元二次方程： 
(1)
2
3
2
1
0
x
x
-
-
=
； 
(2)(
)
(
)
2
3
2
3
0
x
x x
−
−
+
=
． 
变式4-3．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）解方程： 
(1)
2
12
27
0
x
x
+
+
= 
(2)(
)
(
)
2
2
1
2 2
1
x
x
−
=
−
 
 
题型五、换元法解一元二次方程 
典例5．（25-26 九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 
解方程：(
)
(
)
2
4
1
10 4
1
24
0
x
x
−
−
−
+
=
． 
解：把4
1
x- 视为一个整体，设4
1
x
y
−=
， 
则原方程化为
2
10
24
0
y
y
−
+
=
， 
解得
1
6
y =
，
2
4
y =
． 
4
1
6
x

−=
或4
1
4
x−=
． 
1
7
4
x

=
，
2
5
4
x =
． 
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 
请仿照材料解下列方程： 
(1)
4
2
3
2
0
x
x
−
+
=
． 
(2)(
)
2
2
2
2
5
10
6
0
x
x
x
x
−
−
+
−
=
． 
题型模版 
1.特征：方程含有相同或对称的重复结构（如高次、分式、根式），通过整体代换可化为二次方程。   
2.方法：设重复部分为新未知数（如设 t = x + 
1
𝑥），解出t 后，再代回解原未知数。 
 
 
 
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变式5-1．（25-26 九年级上·河南商丘·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： 
解方程
4
2
5
4
0
x
x
−
+
=
，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设
2x
y
=
，那么
4
2
x
y
=
，
于是原方程可变为
2
5
4
0
y
y
−
+
=
①，解这个方程得
1
2
1,
4
y
y
=
=
． 
当
1
y = 时，
2
1
x = ，
1
x
= ； 
当
4
y =
时，
2
4
x =
，
2
x
= ； 
原方程有四个根：
1
2
1,
1
x
x
=
= −，
3
2
x =
，
4
2
x = −． 
请运用上面学到的方法填空： 
(1)解方程(
)
(
)
2
2
2
2
4
2
5
0
x
x
x
x
+
−
+
−
=
，则
2
2
x
x
+
=______； 
(2)若(
)(
)
2
2
2
2
1
20
a
b
a
b
+
+
−
=
，求
2
2
a
b
+
= ______． 
变式5-2．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 
换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一
个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 
如：解方程
4
2
6
0
x
x
−
−
=
，可将方程变形为(
)
2
2
2
6
0
x
x
−
−
=
，设
2x
y
=
，则(
)
2
2
2
x
y
=
，原方程化为
2
6
0
y
y
−
−
=
，
解得
1
2
y
−
=
，
2
3
y = ．当
1
2
y
−
=
时，
2
2
x = −无意义，舍去；当
2
3
y = 时，
2
3
x =
，解得
3
x = 
，∴原方程
的解为
1
3
x =
，
2
3
x = −
． 
利用以上学习到的方法解决下列问题： 
(1)解方程：
4
2
4
12
0
x
x
−
−
=
； 
(2)已知实数x、y 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
2
3
2
2
5
7
x
y
x
y
+
+
+
−
= −；求
2
2
x
y
+
的值． 
变式5-3．（25-26 九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：
4
2
3
2
0
x
x
−
+
=
． 
解∶设
2x
m
=
，则原方程变为
2
3
2
0
m
m
−
+
=
， 
解得，
1
2
1,
2
m
m
=
=
． 
当
1
1
m = 时，
2
1
x = ，解得
1
x = ． 
当
2
2
2,
2
m
x
=
=
，解得
2
x = 
． 
所以，原方程的解为
1
2
3
4
1,
1,
2,
2
x
x
x
x
=
= −
=
= −
． 
【问题解决】 
 
 
 
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(1)利用上述方法，解方程：
4
2
5
6
0
x
x
−
+
=
； 
(2)利用上述方法，解方程：(
)
2
2
2
2
4
8
12
0
x
x
x
x
−
−
+
−
= ． 
 
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 
1．用配方法解一元二次方程
2
2
4
6
0
x
x
−
−
=
时，配方后的方程是（   ） 
A．(
)
2
2
1
8
x −
=
 
B．(
)
2
1
4
x −
=
 
C．(
)
2
1
8
x −
=
 
D．(
)
2
2
1
4
x −
=
 
2．方程
2
2
8
3
y
y
=
+ 的根是（   ） 
A．
1
2
4
22
4
22
,
2
2
y
y
+
−
=
=
 
B．
1
2
4
22
4
22
,
2
2
y
y
−+
−−
=
=
 
C．
1
2
4
10
4
10
,
2
2
y
y
+
−
=
=
 
D．
1
2
4
10
4
10
,
2
2
y
y
−+
−−
=
=
 
3．关于x 的方程(
)
2
x
m
n
+
=
，下列说法正确的是（   ） 
A．当
0
n 
时，有两个解x
n
m
= 
−
 
B．有两个解x
n
m
= 
−
 
C．当
0
n 
时，有两个解x
n
m
= 
−
 
D．当
0
n 
时，方程无实根 
4．已知菱形ABCD的边长是一元二次方程
2
12
35
0
x
x
−
+
=
的一个根，且两条对角线长的和为14，则菱形
ABCD的边长为（   ） 
A．5 
B．7 
C．12 
D．5或7 
5．若方程
2
6
2
0
x
x
+
+
=
能配方成(
)
2
0
x
p
q
+
+
=
的形式，则直线y
px
q
=
+
不经过第        象限． 
6．已知a，b 满足*
3
ab
a
b
a b
+
+
=
，已知3*
4
x =
，x 为正数，则x =          ． 
7．已知(
)(
)
2
2
2
2
2
8
0
m
n
m
n
+
+
−
+
=
，则
2
2
m
n
+
的值为       ． 
8．方程
2
7
12
0
x
x
−
+
=
的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为     ． 
9．解方程： 
(1)(
)
(
)
2
3
2
3
x
x
−
=
−
； 
(2)(
)(
)
1
1
2 2
x
x
x
+
−
=
． 
10．用十字相乘法解方程 
(1)
2
90
0
x
x
−
−
=
 
(2)
2
2
10
0
x
x
+
−
=
 
 
 
 
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11．用适当的方法解下列方程： 
(1)
2
(2
1)
4
0
x −
−
=
； 
(2)
2
4
1
0
x
x
−
−=
； 
(3)
2
5
6
0
x
x
−
+
=
． 
12．用适当的方法解下列一元二次方程： 
(1) (
)
2
3
1
27
0
x −
−
=
； 
(2)
2
8
9
0
x
x
−
−
=
； 
(3)(
)
2
4
2
8
x
x
+
=
+ 
13．解方程 
(1)
2
2
2
0
x
x
−
−
=
 
(2)
(
)
(
)
2
2
1
3 2
1
x
x
x
−
=
−
 
(3)(
)(
)
3
2
3
14
x
x
x
+
+
=
+
 
14．用适当的方法解下列一元二次方程： 
(1)
2
4
12
x
x
=
； 
(2)
(
)
2
3
3
x x
x
−
+
=
； 
(3)
2
4
28
13
0
x
x
−
+
=
； 
(4)
2
3
2
0
2 x
x
−
+
+
=
． 
15．（1）解方程：
2
8
20
0
x
x
+
−
=
； 
（2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“
2
4
3
0
x
x
−
+
=
”，让同学们求解．球宝
和甜宝两位同学的做法如下： 
球宝同学的解答 
甜宝同学的解答 
解：原方程可化为 
(
1)(
3)
0
x
x
−
−
=
． 
当
1
0
x−=
时， 
1
x = ， 
当
3
0
x −= 时， 
解：原方程可化为
2
4
3
x
x
−
=
， 
2
4
4
3
4
x
x
−
+
=
+
， 
2
(
2)
7
x −
=
． 
所以
2
7
x −
= 
， 
所以
1
7
2
x =
+
，
2
7
2
x = −
+
． 
 
 
 
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3
x = ， 
所以
1
1
x = ，
2
3
x =
． 
①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因是 ； 
②请你写出其他的正确解法． 
16．阅读材料，解答问题．材料：为解方程(
)
(
)
2
2
2
2
3
2
0
x
x
−
−
−
=
，我们可以将
2
2
x −
作为一个整体，然后
设
2
2
y
x
=
−，则(
)
2
2
2
2
x
y
−
=
．原方程可化为：
2
3
0
y
y
−
=
，解得：
1
2
0,
3
y
y
=
=
． 
当
0
y =
时，
2
2
0
x −
=
，解得：
2
x = 
； 
当
3
y = 时，
2
2
3
x −
=
，解得：
5
x = 
； 
所以原方程的解为：
1
2
3
4
2,
2,
5,
5
x
x
x
x
=
= −
=
= −
． 
(1)方程：(
)
(
)
2
2
2
2
8
2
15
0
x
x
+
−
+
+
=
的解为：_______ 
(2)解方程：(
)
(
)
2
2
2
6
2
5
2
21
0
x
x
x
x
+
+
+
−
=
；（写出解题过程）