文档内容
专题 02 一元二次方程的应用的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用一元二次方程解决增长率问题
类型二、利用一元二次方程解决传播问题
类型三、利用一元二次方程解决营销问题
类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题
类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题
压轴专练
类型一、利用一元二次方程解决增长率问题
一、增长率问题的基本公式
增长率问题的核心公式为：N= a(1+x)n ，其中：
a 表示初始量（基期量）；
x 表示平均增长率（通常设为未知数）；
n 表示增长次数（如年数、周期数）；
N 表示经过n次增长后的最终量（末期量）。
若为下降率，则公式变为 N = a(1 - x)n ，x为平均下降率。
二、一元二次方程的建立与求解
当增长次数n=2时，公式可转化为一元二次方程： a(1 + x)2 = N 。
步骤：先整理方程为一般形式 ax2+bx+c=0（此处a为系数，与初始量a区分），再用配方法、公式法或
因式分解法求解。
注意：解出的 x 需为正数（增长率），且符合实际意义，需舍去不合理的解（如负数解）。
三、实际问题中的关键分析
明确“初始量”和“末期量”：需从题目中准确提取增长前后的具体数值，避免混淆。
区分“累计增长”与“单次增长”：若问题涉及两年的总增长量，需用“第一年增长量 + 第二年增长
量 = 总增长量”列式，而非直接套用平方公式。
单位与精度：结果通常需化为百分数，且根据题意保留合适的小数位数（如精确到1%）。
例1．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3
月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月
增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？
【变式1-1】在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了 ，年销售单价下降了 ．
(1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
年
年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元
份
202
①______
3
202
②______
5
(2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
【变式1-2】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本
的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【变式1-3】为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投
入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率；
(2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个
社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微
型图书阅览室？
类型二、利用一元二次方程解决传播问题
一、传播问题的基本模型与公式
传播问题的核心模型基于“每轮传播的数量固定”的规律，其通用公式为： N=akn 。其中：
a 代表初始传播源的数量（如开始感染病毒的人数、初始传播消息的个体数）；
k 表示每个传播源在一轮传播中平均能影响的新个体数量（例如一个人平均能传染给 k 个人）；
n 为传播的轮数；
N 是经过 n 轮传播后的总数量（包含初始源和新增个体）。当 n = 2 时，公式变为一元二次方程
a(1 + k)2=N ，此为解决两轮传播问题的常用表达式。
二、一元二次方程的构建与求解要点
在传播问题中建立方程时，需依据题目描述确定 a 、 k 、 N 的具体数值 。
三、实际应用中的关键分析
区分“传播后总数”与“新增数量”：题目可能要求计算新增个体数量，需用传播后的总数减去初始源
数量。如上述例子中，第二轮新增感染人数为121 - 1 - 1×10=110人。
挖掘隐含条件：部分题目未直接给出轮数，需根据时间、事件发展阶段等条件推断。例如“经过两天感
染人数达到m人，每天感染人数相同”，可默认一天为一轮传播，从而确定传播轮数n = 2。
注意单位与取值范围：传播数量必须为非负整数，结果需符合实际场景，避免出现小数或负数解。通过以上三点，可系统掌握利用一元二次方程解决传播问题的核心逻辑与解题技巧。
例2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的
总数是73，每个支干长出多少小分支？
【变式2-1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感．
(1)问每轮传染中平均 个人传染了几个人？
(2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？
【变式2-2】据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型
流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小
组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传
染中平均一个人传染了几个人？
【变式2-3】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；
若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次；
(2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数；
(3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段 上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？
请直接写出结论；
(4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值．
类型三、利用一元二次方程解决营销问题
一、利润问题的基本数量关系
营销问题的核心公式为：总利润 = 单件利润×销售数量。其中，单件利润 = 售价 - 进价；售价常通过
“原价±价格调整量”表示，销售数量与价格调整存在关联，如价格每降低m元，销量增加n件 。这些关
系是构建方程的基础，例如售价为x元，进价为a元，初始销量为b件，价格每降1元多售c件，则总利
润y=(x - a)[b + c(原价 - x)]。
二、一元二次方程的建立与求解
根据题目中“总利润目标”或“销量与售价关系”，将上述数量关系转化为一元二次方程。如已知总利润为
固定值，代入公式得到形如(x - a)(b + cx)=d的方程，整理为一般式后用合适方法求解。需检验解的合
理性，舍去使售价或销量不符合实际（如为负）的解。
三、实际问题中的变量分析
要精准分析价格、销量、成本等变量间的动态联系。例如，考虑价格调整对销量的影响方向（增或
减），以及成本是否随销量变化。同时，结合实际经营场景判断最优解，如求最大利润时，可通过二次
函数性质或比较方程的解，选择符合市场条件的售价方案。
例3．在2024年 大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以
40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件．
(1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率．
(2)从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1
元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由．
【变式3-1】公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔1
月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售 个，3月份销售 个，且从1月份到3月份销售量的月
增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为 元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为 元时，月销售量为 个，在
此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少 个，在尽量让利消费者的情况下，经销商想获利 元，
则每个头盔的售价应定为多少元？
【变式3-2】某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改
进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件．
(1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率；
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．
为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每
天盈利1920元，那么单价应降低多少元？
【变式3-3】近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体
验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边
群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的
1000万元升至1210万元．
(1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
(2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增
收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成
熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出 ．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销
售量就减少 ．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多
少元？类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题
一、图形面积的基本公式与变形
解决图形问题的基础是掌握常见图形的面积公式，如长方形面积 S = 长×宽，正方形面积S = 边长×
1
边长，三角形面积S= ×底×高等。当图形存在边长变化或拼接组合时，需根据条件对公式进行变形。
2
例如，长方形的长和宽分别增加x，则新面积S=(原长 + x)(原宽 + x)，为建立一元二次方程提供依
据。
二、一元二次方程的构建与求解
根据图形的面积、周长等条件建立方程。如已知图形变化后的面积为固定值，将边长与面积关系代入公
式得到方程，例如(a + x)(b + x)=c，展开整理为一元二次方程的一般形式x2+(a + b)x+ab - c = 0，
再通过因式分解法、公式法等求解。需结合图形实际意义，舍去使边长为负或不符合图形逻辑的解。
三、图形问题中的几何关系分析
解题时要挖掘图形的隐含条件，如矩形对边相等、直角三角形的勾股定理等。若涉及拼接、裁剪等操
作，需理清边长的等量关系，例如裁剪正方形后剩余图形的面积计算，或拼接图形后周长与面积的变
化。同时，注意单位统一，确保计算结果符合图形的尺寸要求和实际场景。
例4．如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上
草坪．要使草坪的面积为 ，求道路的宽．
【变式4-1】如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地 ．设矩形与墙
垂直的一边 为xm，矩形的面积为 ．
(1)若面积 ，求 的长；
(2)能围成面积为 的矩形吗？说明理由．
【变式4-2】如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 米），围成中间隔有一道篱
笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边 长为 米，请用含 的代数式表示另一边 的长为 米；(2)若此时花圃的面积刚好为 平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为 平方米吗？请说明理由．
【变式4-3】如图，小明打算用总长度为 的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙
长 ，设 的长为 ．
(1) 的长为多少米？（用含 的代数式表示）
(2)若矩形花园 的面积为 ，求 的长．
(3)矩形花园 的面积是否有可能达到 ？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由．
类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题
一、动态几何中的变量关系与公式
动态几何问题需用变量表示运动中的线段长度、图形面积等。例如，点在线段上以速度 v运动，运动时
间为t，则运动的距离为vt；矩形的两边长随时间变化，其面积S = (a + vt)(b - ut)（a、b为初始边
长，v、u为边长变化速度）。通过分析运动规律，结合三角形面积、勾股定理等基本公式，建立含变量
的等式。
二、一元二次方程的建立与求解策略
根据题目中面积、距离等定量条件，将变量关系转化为一元二次方程。如当三角形面积达到特定值时，
代入面积公式得到方程，整理为一般形式后求解。例如，利用勾股定理建立方程(a - vt)2 + (b - ut)2 =
c2 。求解后需结合运动范围检验，舍去超出图形边界或时间为负等不符合实际的解。
三、动态过程中的几何性质应用
要充分利用几何图形的特性，如相似三角形对应边成比例、平行四边形对边相等等等量关系。在动点运
动过程中，分析图形形状变化，例如从锐角三角形变为直角三角形时，利用勾股定理建立方程；图形重
叠部分面积变化时，结合图形关系列出等式，确保方程建立符合几何逻辑和运动规律。
例5．如图，在矩形 中， ，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以
的速度向点B移动，到达B点时停止，点Q以 的速度向点D移动．(1)P，Q两点运动多长时间，点P和点Q的距离是 ？
(2)P，Q两点运动多长时间，四边形 的面积为 ？
【变式5-1】如图所示， 中， ， ， ．点P从点A开始沿 边向B以
的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求
经过几秒，
(1)点P，Q之间的距离为 ？
(2) 的面积等于 ？
【变式5-2】在 中， ， ， ．
(1)如图1，点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度
移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点 ， 同时出发，经过 秒后， 的长为______．
(2)在（1）的条件下，经过几秒 的面积等于 ？
(3)如图2，点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度
移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点 ， 同时出发，经过几秒 的面积等于
？
【变式5-3】如图，在矩形 中， ， ．点P从点D出发向点A运动，运动到A即
停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是 ．连接 、
、 ．设点P、Q运动的时间为 ．
(1)当 ______时，四边形 是矩形；
(2)当 ______时，四边形 是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得 ，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着 把 翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点 恰好落在 边上．
一、单选题
1．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设
九（1）班共有 名学生，根据题意可列方程为（ ）A． B． C． D．
2．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子
产品每年降价的百分率均为 ，则以下所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．期图1，有一张长 、宽 的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部
分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是 ，则纸盒的高为（ ）
A． B． C． D．
4．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80
个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达
4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价 灵石，则列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在 中， ， ， ，一动点 从点 出发沿着 方向以 的
速度运动，另一动点 从点 出发沿着 边以 的速度运动， ， 两点同时出发，运动时间为
．当 时， （ ）A． B．
C． 或 D． 或
二、填空题
6．某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降
低成本的百分率是 ．
7．一花店用500元购进了一批产品，按 的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结
果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折
8．如图，要利用一面墙（墙长为 ）建猪圈，用 的围栏围成总面积为 的三个大小相同的矩
形猪圈，则猪圈的边长 为 m．
9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课
手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人
恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学．
10．如图，在平行四边形 中， ， 分别从 同时出发，向 运动，
当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点 的速度为 ，在运动的过程中，若存在使四边
形 是邻边之比为 的平行四边形时刻，则点 的速度为 ．三、解答题
11．据统计，某企业 年利润为 万元， 年利润为 万元，该企业 年到 年利润的年
平均增长率都相同．
(1)求该企业利润的年平均增长率；
(2)若 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 年的利润能否超过 万元？
12．新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均
一个人传染 个人，经过两轮传染就共有625人患病．
(1)求出 的值；
(2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？
13．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的
形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．
(1)问该校八年级共有几个班？
(2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要
取得多少场胜利？
14．有这么一种核桃，个头不大，外表不类，但平均售价达到22元一斤，这就是赫章核桃．某核桃种植基
地到2020年年底已经种植核桃100亩，到2022年年底核桃的种植面积达到196亩．
(1)求该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率．
(2)经市场调查发现，当核桃的售价为22元/斤时，每天能售出200斤，销售单价每降低1元，每天可多售
出50斤．为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地核桃的平均成本为14元/斤，若使销售核
桃每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
15．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长
方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边 长为x米，请你用含x的代数式表示另一边 的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为 平方米，求此时花圃的长与宽．
(3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由．
16．一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比
每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原
料的桶数是乙化工原料桶数的2倍．
(1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元．
(2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是 元，每桶乙化工原料的进价是 元，甲、乙售价不变．为了扩
大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少
，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求 的值．
17． 中， ， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，
与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如果点 、 分别从点 、 同时出发，
当点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 秒．
(1)填空： __________， __________（用含 的代数式表示）；
(2)是否存在 的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求比此时 的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在 的值，使得 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
18．综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用 、 两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克/袋） 2 1
成本（元/袋） 10 5
售价（元/袋） 25 17日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升 包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．
一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调
了 包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．
根据以上信息解决问题：设 包装洗衣粉每袋售价提高 元 ．
(1)问该厂家每日销售 包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出 包装洗衣粉的售价；若不能，
请说明理由．
(2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设 包装洗衣粉每袋售价降低 元 ．
①求 关于 的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
