专题01一元二次方程的概念及含参数问题（专项训练）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_单元复习

 
 
 
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专题01 一元二次方程的概念及含参数问题 
 
常考题型·精准突破 
题型1 一元二次方程的识别（高频） 
题型2 由一元二次方程的定义求参数（重） 
题型3 化成一元二次方程的一般式（重） 
题型4 判断是否是一元二次方程的解 
题型5 由一元二次方程的解求参数（难） 
综合攻坚·知能拔高 
常考题型·精准突破 
◆题型1 一元二次方程的识别 
1．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） 
A．
1
2
x+ =
 
B．
2
2
3
x
y
+
=
 
C．
2
2
4
x
x
+
=
 
D．
2
1
5
x
x
+
=
 
【答案】C 
【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知
数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 
【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 
选项A：
1
2
x+ =
中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 
选项B：
2
2
3
x
y
+
=
中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 
选项C：
2
2
4
x
x
+
=
只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故
该选项符合题意； 
选项D：
2
1
5
x
x
+
= 中1
x 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 
2．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） 
A．
2
1
1
0
x
x
+
−=
 
B．(
)(
)
2
2
1
6
x
x
+
−
=
 
C．
2
0
ax
bx
c
+
+
=
 
D．
(
)
2
2
3
9
2
1
x x
x
−
−
=
+ 
【答案】B 
【详解】解：A、方程含分式1
x ，不是整式方程，不符合题意； 
 
 
 
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B、展开左边得
2
2
3
2
6
x
x
+
−
=
，整理得
2
2
3
8
0
x
x
+
−
=
，符合一元二次方程定义； 
C、当
0
a =
时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； 
D、展开左边得
2
2
2
6
9
2
1
x
x
x
−
−
=
+ ，整理得6
10
0
x
−
−
=
，是一元一次方程，不符合题意． 
3．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） 
A．
2
0
ax
bx
c
+
+
=
 
B．(
)
(
)
2
2
3
9
1
1
x
x
−
−
+
= 
C．
2
1
x
x
=
 
D．
1
1
x
x
+ =
− 
【答案】B 
【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2 的整式方程是一元二次方
程，根据定义逐一判断各选项即可． 
【详解】解：A、
2
0
ax
bx
c
+
+
=
中未说明
0
a 
，当
0
a =
时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 
B、由(
)
(
)
2
2
3
9
1
1
x
x
−
−
+
= 整理得(
) (
)
2
2
3
18
81
2
1
1
x
x
x
x
−
+
−
+
+
= ，即
2
2
56
241
0
x
x
−
+
=
，该方程满足一元
二次方程的全部条件，故该选项符合题意； 
C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； 
D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 
 
◆题型2 由一元二次方程的定义求参数 
4．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）若关于x 的方程
1
2
5
0
m
x
x
+ −
−
=
是一元二次方程，则m = ______． 
【答案】1 
【详解】解：关于x 的方程
1
2
5
0
m
x
x
+ −
−
=
是一元二次方程 
未知数x 的最高次数为2 ，可得
1
2
m+ =
 
解得
1
m = ，此时二次项系数为1
0

，符合一元二次方程的定义． 
5．
（25-26 八年级下·山东济南·期末）若关于x 的方程(
)
2 2
2
4
3
0
k
k
x
x
−
+
+
−
=
是一元二次方程，则k =________． 
【答案】2 
【分析】根据一元二次方程定义列出关于k 的条件，求解即可得到答案． 
【详解】解：关于x 的方程(
)
2 2
2
4
3
0
k
k
x
x
−
+
+
−
=
是一元二次方程，  
2
2
2
k

−
=
，且
2
0
k +

， 
解
2
2
2
k −
=
得
2
4
k =
， 
即
2
k = ，  
由
2
0
k +

得
2
k −，  
2
k
=
． 
6．
（25-26 九年级下·黑龙江·期中）已知关于x 的方程(
)
1
1
3
1
0
k
k
x
x
+
+
−
+ =
是一元二次方程，则k 的值为_____． 
 
 
 
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【答案】 
1 
【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2 ，二次项系数不
为0 ，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 
【详解】解：方程(
)
1
1
3
1
0
k
k
x
x
+
+
−
+ =
是一元二次方程， 
1
2
k

+ =
，且 
1
0
k + 
， 
解得
1
k = ． 
 
◆题型3 化成一元二次方程的一般式 
7．（25-26 九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程(
)
(
)
2
2
3
2
3
x
x
x
+
−
=
+
化成一般形式为________． 
【答案】
2
5
3
0
x
x
−
−
=
 
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平
方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=

即可得． 
【详解】解：(
)
(
)
2
2
3
2
3
x
x
x
+
−
=
+
， 
2
2
6
9
2
6
x
x
x
x
+
+
−
=
+
， 
2
2
2
6
6
9
0
x
x
x
x
+
−
−
−+
=
， 
2
5
3
0
x
x
−
−
=
． 
故答案为：
2
5
3
0
x
x
−
−
=
． 
8．（25-26 九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程
(
)
2
3
x x
−
+
=
化成一般形式后，若二次项系数为1，则
一次项系数是________． 
【答案】2 
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以1
−使二次项系数为1，
从而得到一次项系数． 
【详解】解：原方程为
(
)
2
3
x x
−
+
=
， 
展开左边得
2
2
3
x
x
−
−
=
， 
移项得
2
2
3
0
x
x
−
−
−
=
， 
再乘以1
−得 
2
2
3
0
x
x
+
+
=
， 
此时二次项系数为1，一次项系数为2． 
故答案为：2． 
9．
（25-26 九年级上·广东韶关·阶段检测）一元二次方程
(
)
2
1
2 3
2
x
x
x
−
+ =
−
化为一般形式是_____________． 
【答案】
2
7
5
0
x
x
−
+
=
 
 
 
 
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【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式求解即可，掌握一元二
次方程的一般形式是解题的关键． 
【详解】解：
(
)
2
1
2 3
2
x
x
x
−
+ =
−
， 
∴
2
1
6
4
x
x
x
−
+ =
−
， 
∴
2
6
1
4
0
x
x
x
−
−
+ +
=
， 
∴
2
7
5
0
x
x
−
+
=
， 
故答案为：
2
7
5
0
x
x
−
+
=
． 
 
◆题型4 判断是否是一元二次方程的解 
10．（25-26 九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是2
−和3的方程是（   ） 
A．
2
6
0
x
x
−
−
=
 
B．
2
6
5
0
x
x
−
+
=
 
C．
2
6
0
x
x−
+
=
 
D．
2
6
1
0
x
x
−
−=
 
【答案】A 
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 
根据二次方程根的性质，两根为2
−和3的方程可写为(
)(
)
2
3
0
x
x
+
−
=
，展开后即为
2
6
0
x
x
−
−
=
，判断即可． 
【详解】解：方程的两根分别为2
−和3， 
方程可表示为(
)(
)
2
3
0
x
x
+
−
=
，展开得
2
6
0
x
x
−
−
=
． 
故选：A ． 
11．（25-26 九年级上·江苏苏州·期中）如表是小钰同学求代数式
2
ax
bx
+
（a ，b 为常数）的值的情况．根据
表中的数据可知，关于x 的一元二次方程
2
2
0
ax
bx−
+
=
的实数根是（   ） 
x 
… 
2
− 
1
− 
0 
1 
2 
… 
2
ax
bx
+
 
… 
6 
2 
0 
0 
2 
… 
A．
1
2
x =
，
2
6
x = 
B．
1
1
x = −，
2
2
x =
 
C．
1
0
x =
，
2
1
x = 
D．
1
2
x = −，
2
3
x =
 
【答案】B 
【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式
2
ax
bx
+
的值为2 的
x 值，这些值即为方程 
2
2
0
ax
bx−
+
=
的实数根，据此进行分析，即可作答． 
【详解】解：依题意，方程
2
2
0
ax
bx−
+
=
可化为
2
2
ax
bx
+
=
， 
由表格可知，当 
1
x = −或 
2
x =
时，
2
2
ax
bx
+
=
， 
∴方程
2
2
0
ax
bx−
+
=
的实数根为
1
1
x = −，
2
2
x =
， 
故选：B 
12．（25-26 九年级上·河南许昌·阶段检测）若关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=

满足
 
 
 
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9
3
0,9
3
0
a
b
c
a
b
c
+
+
=
−
+
=
，则该一元二次方程的根是（    ） 
A．6，3 
B．6，3
− 
C．3，3
− 
D．6，6
− 
【答案】C 
【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 
根据当
3
x = 时，9
3
0
a
b
c
+
+ =
；当
3
x
−
=
时，9
3
0
a
b
c
−
+ = 作答即可． 
【详解】解：∵
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=

， 
∴当
3
x = 时，9
3
0
a
b
c
+
+ =
；当
3
x
−
=
时，9
3
0
a
b
c
−
+ = ， 
∴方程的根是
3
x = 或
3
x
−
=
， 
故选：C． 
 
◆题型5 由一元二次方程的解求参数 
13．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程
2
2
5
0
x
x
m
−
+
=
的一个根为2，则m = __________． 
【答案】2 
【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于m 的一元一次方程求解即可． 
【详解】解：一元二次方程
2
2
5
0
x
x
m
−
+
=
的一个根为2 ，  
将
2
x =
代入方程
2
2
5
0
x
x
m
−
+
=
得：
2
2 2
5 2
0
m

−
+
=
，解得：
2
m =
． 
14．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）若m 是关于x 的方程
2
1
0
x
x−
+
=
的一个根，则
(
)
1
2026
m m +
−
的值
为______． 
【答案】2025
−
 
【分析】先得出
2
1
m
m
+
= ，再作为一个整体代入计算即可． 
【详解】解：∵m 是关于x 的方程
2
1
0
x
x−
+
=
的一个根， 
∴
2
1
0
m
m−
+
=
，即
2
1
m
m
+
= ， 
∴
(
)
1
2026
m m +
−
 
2
2026
m
m
=
+
−
 
2
1 20 6
= −
 
2025
= −
． 
15．（26-27 九年级·江苏·暑假作业）定义：方程
2
0
cx
bx
a
+
+
=
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
的倒方程，其
中a，b，c 为常数（且a ，
0
c 
）．根据此定义解决下列问题： 
(1)一元二次方程
2
4
3
1
0
x
x
−
+
+ =
的“倒方程”是______； 
(2)若
1
x = −是一元二次方程
2
2
0
x
x
c
−
+
=
的“倒方程”的解，求出c 的值； 
(3)若m 是一元二次方程
2
6
1
0
x
x
−
+
+ = 的“倒方程”的一个实数根，则
3
2
6
2025
m
m
m
+
−
+
的值为_____． 
【答案】(1)
2
3
4
0
x
x
+
−
= 
(2)
3
c = − 
 
 
 
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(3)2025 
【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； 
（2）根据题意得到方程
2
2
0
x
x
c
−
+
=
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
−
+ =
，把
1
x = −代入即可得到c 的值； 
（3）根据题意得到方程
2
6
1
0
x
x
−
+
+ = 的倒方程为
2
6
0
x
x−
+
=
，再结合方程根的定义得到
2
6
0
m
m
+
−
=
，得
到
3
2
6
0
m
m
m
+
−
=
，然后整体代入求解即可． 
【详解】（1）解：根据新定义，方程
2
4
3
1
0
x
x
−
+
+ =
的倒方程是：
2
3
4
0
x
x
+
−
= ； 
（2）解：由题知，方程
2
2
0
x
x
c
−
+
=
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
−
+ =
， 
将
1
x = −代入此方程得，
2 1
0
c + + =
， 
解得
3
c = −； 
（3）解：由题知，一元二次方程
2
6
1
0
x
x
−
+
+ = 的倒方程是
2
6
0
x
x−
+
=
， 
∵m 是此方程的一个实数根， 
∴
2
6
0
m
m
+
−
=
， 
∴
3
2
6
0
m
m
m
+
−
=
， 
∴
3
2
6
2025
0
2025
2025
m
m
m
+
−
+
=
+
=
． 
 
 
 
 
 
综合攻坚·知能拔高 
一、单选题 
1．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） 
A．3
2
5
+
=
x
y
 
B．
2
2
x
x
=
+
 
C．
2
1
1
5
x
x
+ =
+
 
D．2
5
3
1
x
x
+ =
− 
【答案】B 
【分析】一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，是整式方程，未知数最高次数为2． 
【详解】解：A、3
2
5
+
=
x
y
中含有2 个未知数，是二元一次方程，不符合定义； 
B、
2
2
x
x
=
+
，整理得
2
2
0
x
x
−
−
=
，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二
次方程的定义； 
C、
2
1
1
5
x
x
+ =
+
中1
x 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； 
 
 
 
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D、2
5
3
1
x
x
+ =
−，整理得
6
0
x −
= ，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义． 
2．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）关于x 的一元二次方程(
)
1
0
x x −
=
化为一般形式为（     ） 
A．
2
0
x
x
+
=
 
B．
2
0
x
x
−
=
 
C．
2
1
0
x −=
 
D．
2
1
0
x + =
 
【答案】B 
【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 
【详解】解：原方程为(
)
1
0
x x −
=
， 
将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 
得
2
0
x
x
−
=
， 
该方程的一般形式为
2
0
x
x
−
=
． 
3．（25-26 八年级下·北京平谷·期末）若关于x 的一元二次方程(
)
2
2
3
3
9
0
m
x
x
m
−
+
+
−
=
的一个根是
0
x =
，
则m 的值是（       ） 
A．3
± 
B．3 
C．3
− 
D．0 
【答案】C 
【分析】先将已知根
0
x =
代入方程求出m 的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，
舍去不符合条件的解，得到m 的正确值． 
【详解】解：∵
0
x =
是一元二次方程(
)
2
2
3
3
9
0
m
x
x
m
−
+
+
−
=
的根， 
∴把
0
x =
代入方程得
2
9
0
m −
=
， 
解得
3
m =
或
3
m
−
=
， 
又∵该方程是一元二次方程， 
∴二次项系数满足
3
0
m−
，即
3
m 
， 
∴
3
m
−
=
． 
4．（25-26 八年级下·重庆·期末）若方程(
)
1
3
3
3
0
m
m
x
x
−
−
+
−=
是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（     ） 
A．3
− 
B．1
− 
C．1 
D．3 
【答案】B 
【详解】解：∵方程(
)
1
3
3
3
0
m
m
x
x
−
−
+
−=
是关于x 的一元二次方程， 
 ∴
1
2
m −
=
，且
3
0
m−
，即
3
m 
， 
 ∴
1
2
m−=
 或 
1
2
m−= −， 
 解得
1
m = −或
3
m =
（不符题意，舍去）， 
∴
1
m = −． 
5．（25-26 八年级下·山东威海·期末）关于x 的方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=

中，若, ,
a b c 满足4
2
0
a
b
c
+
+ =
和
4
2
0
a
b
c
−
+
=
，则该方程的根是（    ） 
A．
1
2
2,
0
x
x
=
=
 
B．
1
2
4,
4
x
x
= −
=
 
 
 
 
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C．
1
2
2,
2
x
x
=
= − 
D．无法确定 
【答案】C 
【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一
元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x 的值． 
【详解】解：∵ 方程为
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=

 
当
2
x =
时，代入方程左边得
2
2
2
4
2
a
b
c
a
b
c

+ +
=
+
+
， 
由题可知4
2
0
a
b
c
+
+ =
， 
∴ 
2
x =
是方程的根， 
当
2
x = −时，代入方程左边得
(
)
(
)
2
2
2
4
2
a
b
c
a
b
c
−
+ −
+
=
−
+ ， 
由题可知4
2
0
a
b
c
−
+ =
， 
∴ 
2
x = −是方程的根 
∴方程的根为
1
2
2,
2
x
x
=
= −． 
 
二、填空题 
6．（25-26 八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程(
)
2
1
x x +
= 化为一般式为______． 
【答案】
2
2
1
0
x
x
+
−=
 
【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 
【详解】解：(
)
2
1
x x +
= ， 
2
2
1
x
x
+
= ， 
移项，得 
2
2
1
0
x
x
+
−=
． 
7．
（25-26 八年级下·北京石景山·期末）若
1
x = 是一元二次方程
2
3
1
0
x
kx
+
−=
的解，则k 的值为____________． 
【答案】2
− 
【分析】将
1
x = 代入原方程即可求解k 的值． 
【详解】解：
1
x =

是一元二次方程
2
3
1
0
x
kx
+
−=
的解 
2
3 1
1 1
0
k

+
−=
 
整理得 2
0
k
+
=
 
解得 
2
k = −． 
8．（25-26 九年级上·河南周口·开学考试）已知
1
x = 是方程
2
0
x
ax
b
+
−
=
的一个根，则2023
a
b
+
−
=
__________． 
【答案】2022 
【分析】把
1
x = 代入方程，求出
1
a
b
−
= −，整体代入法求值即可. 
【详解】解：∵
1
x = 是方程
2
0
x
ax
b
+
−
=
的一个根， 
 
 
 
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∴1
0
a
b
+
−
=
， 
∴
1
a
b
−
= −， 
∴2023
2023 1
2022
a
b
+ −=
−=
. 
9．（25-26 八年级·全国·暑假作业）（1）关于x 的方程(
)
2
2
4
(
2)
1
0
m
x
m
x
−
−
−
−=
是一元二次方程，则
m_________； 
（2）关于x 的方程(
)
2
2
4
(
2)
1
0
m
x
m
x
−
−
−
−=
是一元一次方程，则m_________． 
【答案】     
2
     
2
−
=
 
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到
2
4
0
m −

，求解即可； 
（2）根据一元一次方程的定义得到
2
4
0
2
0
m
m

−
=

−


，求解即可． 
【详解】解：（1）∵关于x 的方程(
)
2
2
4
(
2)
1
0
m
x
m
x
−
−
−
−=
是一元二次方程， 
∴
2
4
0
m −

， 
∴
2
m ． 
（2）∵关于x 的方程(
)
2
2
4
(
2)
1
0
m
x
m
x
−
−
−
−=
是一元一次方程， 
∴
2
4
0
2
0
m
m

−
=

−


， 
∴
2
m = −． 
10．（25-26 九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=

的研究中小明发现
4
2
0
a
b
c
−
+ =
，小红发现9
3
0
a
b
c
+
+ =
，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程
的根为__________． 
【答案】
1
2
2,
3
x
x
= −
=
 
【详解】解：依题意，当
2
x = - 时，代入方程左边得：
(
)
2
( 2)
2
4
2
a
b
c
a
b
c
−
+ −
+
=
−
+ ，已知4
2
0
a
b
c
−
+ =
，
即左边= 右边，所以
2
x = - 是方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=

的一个解． 
当
3
x = 时，代入方程左边得：
23
3
9
3
a
b
c
a
b
c

+ +
=
+
+ ，已知9
3
0
a
b
c
+
+ =
，即左边= 右边，所以
3
x = 是
方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=

的一个解． 
所以这个方程的根为
1
2
x = - ，
2
3
x =
． 
 
三、解答题 
11．（25-26 九年级下·北京·开学考试）已知a 是方程
2
2
3
6
0
x
x
−
−
=
的一个根，求代数式
(
)(
)
(
)
1
1
3
2
a
a
a a
+
−
+
−
的值． 
【答案】11 
【分析】将a 代入方程
2
2
3
6
0
x
x
−
−
=
中，得
2
2
3
6
a
a
−
=
，再化简(
)(
)
(
)
1
1
3
2
a
a
a a
+
−
+
−
，得到(
)
2
2 2
3
1
a
a
−
−，
 
 
 
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最后代入数值6，即可求解． 
【详解】解：∵a 是方程
2
2
3
6
0
x
x
−
−
=
的一个根， 
∴
2
2
3
6
0
a
a
−
−
=
， 
∴
2
2
3
6
a
a
−
=
， 
∴(
)(
)
(
)
1
1
3
2
a
a
a a
+
−
+
−
 
2
2
1
3
6
a
a
a
=
−+
−
， 
2
4
6
1
a
a
=
−
−， 
(
)
2
2 2
3
1
a
a
=
−
−， 
2 6 1
= −， 
11
=
． 
12．（24-25 八年级下·山东烟台·期中）已知关于x 的方程(
)
(
)
2
2
5
5
2
0
m
x
m
x
−
+
−
+
=
． 
(1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？ 
(2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？ 
【答案】(1)
5
m = −
 
(2)
5
m 
 
【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； 
（2）根据一元二次方程的定义解答即可． 
【详解】（1）解：∵关于x 的方程(
)
(
)
2
2
5
5
2
0
m
x
m
x
−
+
−
+
=
是一元一次方程， 
∴
2
5
0
m −
= 且
5
0
m−

， 
即
5
m = 
且
5

m
， 
∴
5
m = −
； 
（2）解：∵关于x 的方程(
)
(
)
2
2
5
5
2
0
m
x
m
x
−
+
−
+
=
是一元二次方程， 
∴
2
5
0
m −

， 
解得
5
m 
 
13．（24-25 九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程
2
0
cx
bx
a
+
+
=
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
的倒方程，
其中a，b，c 为常数（且a ，
0
c 
）．根据此定义解决下列问题： 
(1)一元二次方程
2
4
3
1
0
x
x
−
+
+ =
的“倒方程”是 ； 
(2)若
1
x = −是一元二次方程
2
2
0
x
x
c
−
+
=
的“倒方程”的解，求出c 的值； 
(3)若m 是一元二次方程
2
6
1
0
x
x
−
+
+ = 的“倒方程”的一个实数根，则
3
2
6
2025
m
m
m
+
−
+
的值为 ． 
【答案】(1)
2
3
4
0
x
x
+
−
= 
(2)
3
c = − 
(3)2025 
 
 
 
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【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念
以及根与系数关系，是解题的关键． 
（1）根据新定义的含义可得答案； 
（2）根据题意得到方程
2
2
0
x
x
c
−
+
=
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
−
+ =
，把
1
x = −代入即可得到c 的值； 
（3）根据题意得到方程
2
6
1
0
x
x
−
+
+ = 的倒方程为
2
6
0
x
x−
+
=
，再结合方程根的定义得到
2
6
0
m
m
+
−
=
，得
到
3
2
6
0
m
m
m
+
−
=
，然后整体代入求解即可． 
【详解】（1）解：根据新定义，方程
2
4
3
1
0
x
x
−
+
+ =
的倒方程是：
2
3
4
0
x
x
+
−
= ； 
（2）解： 由题知，方程
2
2
0
x
x
c
−
+
=
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
−
+ =
， 
将
1
x = −代入此方程得，
2 1
0
c + + =
， 
解得
3
c = −； 
（3）解：由题知，一元二次方程
2
6
1
0
x
x
−
+
+ = 的倒方程是
2
6
0
x
x−
+
=
， 
∵m 是此方程的一个实数根， 
∴
2
6
0
m
m
+
−
=
， 
∴
3
2
6
0
m
m
m
+
−
=
， 
∴
3
2
6
2025
0
2025
2025
m
m
m
+
−
+
=
+
=
．