26秋一遍过主书_2026秋初中教辅合集_2027一遍过_2026《一遍过》9上_2027《天星教育•一遍过》9上数学（人教版）

25.1
一元二次方程的概念
课时检测
根据实际问题列一元二次方程
8.
[2026盐城亭湖区调研]九年级(5 )
一元二次方程的概念
班文学小组在图书共享仪式上互赠图书，每名
1. [2026沈阳苏家屯区期末]下列方程中，属于一元二
同学都把自己的图书给本组其他成员赠送一
次方程的是
(
)
本，全组共送了132 本图书.若设全组共有 x
名同学，则可列方程为
(
)
A.
 
x(x-1)=132
B.
 
x(x+1)=132
2. 若方程
是关于x 的一元二次
方程，则k的取值范围是
.
9. [2026沈阳和平区期末]《九章算术》中记载：“今有
一元二次方程的一般形式
户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户
课
内
提
分
区
3.
[2026 北京二十一中期末]把一元二次
高、广各几何?”题目大意：已知矩形门的高比
方程(x+1)(x1)=3x 化成一般形式, 正确
宽多6 尺8 寸，门的对角线长1 丈，门的高与
的是
(
)
宽各是多少?设矩形门宽为x尺，则依题意所
列方程为(1 丈=10 尺,1 尺=10 寸)
(
)
4.
将一元二次方程
化为
C.
 
x(x+6.8)=10²
D.
 
x(x-6.8)=10²
二次项系数为1 的一般形式是
，10.
[2026深圳光明区实验学校调研]如图是某
其中一次项是
，常数项是
.
停车场的平面示意图，停车场外围的长为
一元二次方程的根
30 m,宽为19 m.停车场内车道的宽都相等，
5.
[2025漳州长泰区期中]
若一元二次方
若停车位的总占地面积为390 m²，列方程求
程有一个根是x=1，则这个方程可以是(
)
解车道宽度时，设车道宽度为 xm，下列方程
A.(x+1)(x+2)=0
正确的是
(
)
6.
[2026上海崇明区期中]如果关于x的一元
二次方程(
有一个
根是x=0，那么m的值是
(
)
A.3
B. - 3
C. ±3
D.0 或-3
7. [2024南充中考]已知m 是方程
的
宽度
一个根, 则(m+5)(m-1) 的值为
.
A.19x+30x=30×19-390
[2026北京二中期中]若x = -1
是关于 x
的一元二次方程
的一个根，则
C.(30-x)(19-2x)
=390
2026–2a+2b
的值为
.
D.(30-x)(19-x)
=390
一元二次方程
第二十五章
25.2
降次——解一元二次方程
课时1
直接开平方法
课时检测
拍批+错题本
7. [2026西安理工大学附中月考]
已知三角形的两边长
分别为3 和6，第三边的长是一元二次方程(x-
解形如
的方程
的一个根，则该三角形的周长为
•
1. 一元二次方程
的解为
(
)
8.
解下列方程：
2.
方程
的根为(
)
D. 无实数根
3.
若方程
的一个根是x =
-1，则另一个根是
.
4. 用直接开平方法解下列方程：
9.
已知方程
则
的值为
.
10. 若一元二次方程
的两个根分
别是m+1 与2m -4, 则b/a 的值为
.
11.
下列是小明解方程
的过程.
解
:x-1=2(x-9),
第一步
x-1=2x-18,
第二步
解形如(
的方程
解得x=17.
第三步
5. [2026广元朝天区期中]将一元二次方程(
(1 )以上解方程的过程中从第
步开始出
25 转化为两个一元一次方程，其中一个一元
现错误，错误的原因是
一次方程是x-6=5，则另一个一元一次方程
是
(
)
( 2 )写出正确的解答过程.
A.
 
x-6=-5
B. x-6=25
C.
 
x+6=-5
D. x+6=5
6.
若关于x的一元二次方程(x+
有实数根，则c 的值可以为
.(写出一个即可)
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时2
配方法
课时检测
①②分别代表的是
(
)
二次三项式的配方
1.
填空：
A.3,2²
B. - 3,4²
C. - 3,2²
D.-3,-3
6.
[2026 南通如皋初级中学期中]
用配方法解
一元二次方程
得
则b 的值为
.
用配方法解二次项系数为1的一元
[2025 合肥四十五中期中]将一元二次方程
二次方程
配方后得到
则
2.[2026常德七校联考]用配方法解方程
b+c=
1 .
1=0时，配方后正确的是
(
)
7.
用配方法解下列方程：
课
内
提
分
区
3. [2026六盘水钟山区期中]老师设计了接力游戏，规
则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一
步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方
程.过程如图所示，接力中，自己负责的一步出
现错误的是
(
)
老师
甲
乙
丙
丁
A.只有甲
B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 丙和丁
4. 用配方法解下列方程：
(2)x(x+7)=4x-1.
用配方法解一次项系数不为1的一
元二次方程
5.
[2026廊坊安次区期中]下面是小冀用配方
法解方程
的过程的一部分.
一元二次方程
第二十五章
8.
[2026 邢台信都区期中]已知方程
4x +1= ★，等号右侧的数印刷不清楚. 若可以
将其配方成
的形式，则印刷不清
楚的数是
(
)
A. - 3
B. - 2
C.3
D.2
9. [2025滨州沾化区二模]对于实数a，b定义一种新
运算“☆”如下：
例如4 ☆3=4×
13.
[2025 广州越秀区期末]《代
，则关于x的方程1 ☆x=2 的解
数学》中记载，形如
的
为
.
方程，可用几何方法求其正数解：视频解题
10. [2026 中山大学附中期中]若方程
如图1，先构造一个面积为x²的正方形，再以
能配成(
的形式, 则直线y= px+q
正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的
长方形，得到大正方形的面积为333 +16 =49,
不经过第
象限.
即
则该方程的正数解为7-4=
11. [2026天津双菱中学月考]若方程
3.小聪按此方法解关于x的方程
的两根为±2 026，则方程
0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分
的两根为
.
的面积为50，则该方程的正数解为
(
)
12. 用配方法解下列方程：
(1)(2x-3)(2x-1)=5;
图1
图2
A.6
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时3
公式法
课时检测
(第四步)
(1) 小明的解答过程是从第一步开始出错
一元二次方程根的判别式
的，其错误原因是
1. [2025扬州中考]关于一元二次方程
;
0的根的情况，下列结论正确的是
(
)
(2)写出正确的解答过程.
A.有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断根的情况
2. [2025北京中考]若关于x 的一元二次方程
2x
+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值
为
(
)
A. 4
B. 1
C.1
D.4
3.
[2025内江中考]若关于x 的一元二次方
7.
用公式法解下列方程：
程
有实数根，则实数a
的取值范围是
(
)
课
内
提
分
区
A. a≤2
B. a<2
C. a≤2 且a ≠1
D. a<2且a ≠1
4.
利用一元二次方程根的判别式判
断下列方程的根的情况：
(1)4x(x-1)+3=0;
8. [∠U∠6郑州新知期中]
这天于x 的一儿二次力程
现有如下两组条件：①b=−2，
c=-4;
②
b=2,c=4. 请从这两组条件中选择
用公式法解一元二次方程
其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等
5. [2026福州屏东中学期中]
下列一元二次方程中，根
的实数根，并解这个方程.
是
的方程是
(
)
6.
小明在解方程
时出现了错误，解答过程如下：
∵a=1,b=-4,c=2,(
第
一
步
)
(第二步)
(第三步)
一元二次方程
第二十五章
9. [2023内江中考]对于实数a,b定义运算“⊗”为a⊗b=
例如：
则关于x
的
方
程
(k-3)⊗x=k-1 的根的情况,下列说
法正确的是
(
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
10. [2026南京建邺区期中]对于一元二次方程
bx+c=0(a,b,c
为常数，且a≠0)，给出下列
条件: ①ac<0; ②abc>0; ③2a -b+c=0. 若
14.
[2026锦州凌海期中]定义：两根都为整
只添加一个条件就可以判定方程有实数根，
数的一元二次方程
称
则所有正确条件的序号是
(
)
为“全整根方程”，代数式
的值为该
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
11.
[2025温州十二中期中]已知关于x的一
“全整根方程”的“最值码”,用Q(a,b,c)表
元二次方程ax²-2(a-2)x+a-4=0(a>
示，即
0)，设方程的两个实数根分别为x₁,x₂ (其中
，若y是关于a的函数，且
(1)“全整根方程
的“最值码”
(y>0),
则
(
)
是
--;
A.0<a<3
B.0<a<5
(2) 关于x 的一元二次方程
C. a>3
D. a>5
(m 为整数, 且4<m<15)
12. [2026北京海淀区期中]已知关于x的一元二次
是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”.
方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根.
(2) 若方程有一个根大于3 ，求m 的取值
范围.
13. [2025珠海八校期中联考]已知关于x的一元二次
方程
其中a,b,c
分别为△ABC 三边的长.
(1)如果 x = -1
是方程的根,试判断△ABC
的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断
△ABC的形状，并说明理由.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时4
因式分解法
课时检测
5.
以下是某同学解方程
-2x+6
的过程:
解:方程两边因式分解,得x(x-3) =-2(x-
用因式分解法解一元二次方程
3), ①
1. [2024贵州中考]一元二次方程
的解
方程两边同除以(x-3), 得x=-2, ②
是
(
)
∴原方程的解为x= -2. ③
(1)上面的运算过程中，第
步出现了错误.
(填序号)
(2)请你写出正确的解答过程.
2. [2025江门江海区期末]已知一元二次方程的两根分
别为
，则这个方程可能为(
)
A.(x-3)(x+4)=0
B.(x+3)(x-4)=0
C.(x+3)(x+4)=0
D.(x-3)(x-4)=0
3. [2025上海杨浦区期末]
关于x 的方程x(x-1) +
用适当的方法解一元二次方程
课
内
提
分
区
3(x-1)=0
的解是
.
6. 用合适的方法解下列方程：
4.
用因式分解法解下列方程：
(2)x(x+3)
=2x;
一元二次方程
第二十五章
化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可
以解一些新的方程.例如，一元三次方程
7. [2026咸阳渭城区第二初级中学月考]如图，在菱形
通过因式分解可以把它转化为
ABCD 中，对角线 AC的长是方程
的
解方程x=0 和
一个根，对角线 BD 的长为4，则菱形ABCD 的
3=0，可得方程
的解.
面积为
(
)
(1) 方程
的解是
,x ₃=
;
(2) 求方程
的解；
B
(3) 求方程
的解.
A.28
B.24
C.18
D.14
8. [2026武汉二中广雅中学月考]关于 x 的方程
的两个根x₁，x₂ 满足
1, 且
则m 的值为
(
)
A. - 2
B.2
C.3
D.5
9. [2026福州文博中学期中]将关于x 的一元二次方
程
变形为
就可以将
x² 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降
次”的目的，又如
这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次
数较高的代数式.根据“降次法”，若
0, 且x>0, 则
的值为
(
)
10. [2025成都郫都二中期中]用因式分解法解方程
将左边分解因式后有一个因
式是x-3, 则p 的值是
.
11.
若关于x 的方程
的两根分别是-3和5，则多项式
6q 可以分解为
.
【回顾与思考】比较学过的各种整式方程，说明它们之间
12.
[2026 扬州梅岭中学教育集团月考]阅读材
的区别.
料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一
解一元二次方程的基本思想是什么?
各种解法在什么情
个共同的基本数学思想——转化，把未知转
况下比较适用?与同伴交流.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
一元二次方程
第二十五章
课时5
一元二次方程的根与系数的关系
课时检测
8. 设x₁,x₂ 是方程
的两个根，利
用根与系数的关系，求下列各式的值：
一元二次方程的根与系数的关系
1. [2025湖北中考]一元二次方程
的两
个实数根为x₁，x₂，下列结论正确的是
(
)
2.
[2026 重庆长寿实验中学校月考]若
是方程
的一个根，则此方程的另
一个根是
(
)
3. [2026上海嘉定区期末]若关于x 的一元二次方程
的两根为x₁,x₂,.且
则
m 的值为
(
)
A.4
B.8
C.12
D.16
9.
[∠U∠O安徽江涯教育联盟期末]已知天丁x 的一儿一
4. 下列一元二次方程中，两实数根之和为2 的是
次方程
(
)
(1 )求证：不论m 取何值，方程总有两个不相
等的实数根.
(2)若原方程的两个实数根分别为x₁,x₂,. 且
求m 的值.
5. [2025景德镇期末]若一个三角形两边的长分别
是一元二次方程
的两个实数
根，则这个三角形的第三边长可能是
(
)
A.19
B.18
C.17
D.16
6. [2026 上外浦东附中月考]以
和
为根，
且二次项系数为1 的一元二次方程的一般式
为
.
7.
[2026上海普陀区期末]
如果关于x 的一元
二次方程
的两实数
根互为相反数，那么k的值为
.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
10. [2026天津红桥区期末]若关于x 的一元二次方
程
的两个实数根都是正数，则
点(m，n)在平面直角坐标系中位于
(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
11. [2024绥化中考]小影与小冬一起写作业，在解
一道一元二次方程时，小影在化简过程中写
错了常数项，因而得到方程的两个根是6 和
1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，
15.
[2026上海徐汇中
因而得到方程的两个根是-2 和-5. 则原来
学期中改编]我们知道若 x₁，x₂ 是一
的方程是
(
)
元二次方程
的两个实视频解题
数根，则我们可以把该方程写为(
展开后得
12. [2024成都中考]若m,n是一元二次方程.
0，比较两个方程的对应系数，不难发现 b =
5x
+2=0的两个实数根，则
的
由此我们也能得到一
值为
.
元二次方程的根与系数的关系：
13. [2026上外浦东附中月考]
若a，b是关于x的方程
的两个实数根，且
则
m=
.
(1)利用材料推导一元三次方程的根与系数
14. [2025 九江外国语学校月考]已知关于x 的方程
的关系.
若
x₁,x₂,x₃ 是方程
有实数根.
0(a≠0)
的三个实数根，试用a，b，c，d表
(1) 求k 的取值范围.
示
 
 
(2)是否存在实数k，使方程两实数根的倒数
和为1?若存在，请求出k的值；若不存
,x ₁x₂x₃ =
.
在，请说明理由.
(2) 若一元三次方程
的
三个实数根分别为α,β,γ, 且μ=-α+
β+γ.
①试说明μ+2α=1.
②直接(不必书写过程)写出一个新的一
元三次方程且使得该方程的三个实数根
分别为-α+β+γ,α-β+γ,α+β-γ.
一元二次方程
第二十五章
专项1
一元二次方程的解法
拍批+错题本
 一元二次方程的一般解法
2. 用合适的方法解下列方程：
1. 用指定的方法解下列方程：
(直接开平方法)
(3)(x+1)(x+3)=2;
(配方法)
(因式分解法)
(公式法)
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
用“十字相乘法”解一元二次方程
则原方程可化为
.
(2) 解方程:
3. 用“十字相乘法”解下列方程：
解含绝对值的一元二次方程
6. [2026重庆万州二中教育集团月考]
阅读下面的例题
与解答过程：
【例】解方程：
解：当x≥0时，原方程可化为
解
得
1(不合题意，舍去)；
拓
展
提
分
区
当x<0 时，原方程可化为
解得
用换元法解方程
(不合题意，舍去).
综上，原方程的解是x=2 或x=-2.
请仿照上述例题的解答过程，解下列方程：
(2)
x² - 2x -4 | x-1 | -4=0.
4. [2026攀枝花期末]已知关于x的方程。
0(a,b,c 均为常数, 且a≠0) 的解是
，那么方程
的解是
(
)
D.没有实数根
5. 阅读：我们可以用换元法解简单的高次方程，
解方程
时，可设
则原方
程可化为
解得
当
y=2
时,
所以
当y=1
时，
所以
综上，原方程的
根为
请仿照上述方法解答下列问题：
(1) 已知方程
设 y =
一元二次方程
第二十五章
专项2
根的判别式的四种考法
拍批+错题本
判断方程根的情况
1. [2025安徽中考]下列方程中，有两个不相等的实
数根的是
(
)
2. [2023广安中考]已知a,b,c 为常数, 点P(a,c)
在第四象限，则关于x 的方程
的根的情况是
(
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
与几何图形的综合
D. 无法判断
7. 已知▱ABCD 的两边AB,BC 的长是关于x 的
求字母的值(或取值范围)
方程x² - (m
 
+3)x+2m +2
=0
的两个实
3. [2025兰州中考]若关于x 的一元二次方程
数根.
2x+a=0 有两个不相等的实数根，则a 的值
(1) 当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形? 求
可以是
(
)
出这时菱形的边长.
A.3
B.2
C. 1
D.0
(2) 若AB 的长为3, 则▱ABCD 的周长是多少?
4. [2024黑龙江龙东地区中考]
关于 x 的一元二次方
程
有两个实数根，则m
的取值范围是
(
)
A. m≤4
B. m≥4
C.m≥-4
且m≠2
D. m≤4 且m ≠2
与根与系数的关系的综合
5. [2023岳阳中考]已知关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数
根x₁,x ₂, 且
则实数m=
8. 已知关于x的方程
.
6. [2026福州十九中月考]
在数学研究课上，李明发
(1)求证：无论k取何值，方程总有
现了一个现象：有些看似和一元二次方程不沾
实数根.
视频解题
边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用
(2)
若等腰三角形ABC 的一边长a=
根与系数的关系就能轻松解决.他随即抛出了
6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个
两个问题，邀请同学们一起探究.
根，求此三角形的周长.
(1) 若实数a,b 满足
1=0, 求
的值；
(2) 若实数p,q 满足
且p≠q,求(
的取值
范围.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
25.3
实际问题与一元二次方程
课时1
几何图形问题
几何图形问题
1.
[2025广元中考改编]
如图,在长为12 m,
宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种
植草坪.若要求花卉带的宽度相同，且草坪的面
积为总面积的
，则花卉带的宽度应为 m.
12m
第1 题图
第2 题图
2.
[2025 长春朝阳区期末]如图，某小区
规划在一个长为40 m，宽为26 m 的矩形场地
数字问题
ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条
5.
[2026 南京市联合体期末]如图是李丽与
与AB 平行，另一条与AD 平行，道路以外的部
DeepSeek 的对话,DeepSeek 在深度思考后,给
分种草坪，并且使每一块草坪的面积都为
出的这个数是
(
)
144 m²，求道路的宽.小明为了解决这个问题，
=
新对话
+
设道路的宽为 xm，并列出一个不完整的方程
(26-x)(
) =144×6, 则“
”处的代数式
为
.
3. [2025咸阳调研]用一根长12 cm 的铁丝围成一
正在思考
个斜边长为5cm 的直角三角形，则这个直角
三角形较短的直角边长为 cm.
4.
[2026廊坊十七中月考]某校为让学
生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试
A.1
B.
C. - 1
D.1 或-1
验田.如图，该试验田一边靠18 m长的墙，另
三边用围栏围成，围栏总长40 m，围成的矩形
6. 如图，用一个方框在月历表中圈出六个数，若圈
试验田四周不能有空隙.
出的这六个数中，最小的数与最大的数的乘积为
(1 )若要使围成的矩形试验田的面积为150 m²，
112，求这个最大的数.(请用方程的知识解答)
求该矩形试验田的长和宽.
日
一
二
三
四
五
六
( 2 )能围成一个面积为200 m² 的矩形试验田
1
2
吗?如果能，说明围法；如果不能，说明
3
4
5
6
7
8
9
理由.
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
C
一元二次方程
第二十五章
折成如图2 所示的无盖纸盒.(硬纸片厚度忽
略不计)
×
7. [2026淮安淮安区期中]某校组织校园足球联赛，
某班级在联赛中的胜场数是一个两位数，且这
个两位数的个位上的数字与十位上的数字之
图1
图2
图3
(1)若纸盒的底面积为240 cm²，求剪去的小正
和为5，且胜场数比它个位上的数字的平方小
方形的边长.
2，则该班级在联赛中的胜场数为
.
(2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角
8. 如图，为便于游客在一块长为40 米，宽为30 米的
各剪去一个同样大小的小正方形(阴影部
分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大
矩形荷花池里近距离观赏荷花，公园管理处拟
小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖
修建等宽的观景廊桥，若要使得能观赏(观景
纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积
廊桥下的荷花都按不能观赏计)的荷花面积不
为412 cm²，求剪去的小正方形的边长.
少于1064 平方米，则修建时观景廊桥宽度最
大只能是
米.
9. [2026武汉江汉区五校联考]综合与实践——用矩
形硬纸片制作无盖纸盒.
如图1，有一张长30cm，宽16 cm的长方形硬
纸片，剪去角上同样大小的四个小正方形之后，
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课
内
提
分
区
一元二次方程
第二十五章
课时2
传播问题与平均变化率问题
课时检测
平均变化率问题
3.
[2025武汉武昌区三校联考]
俗语有云：“一
 传播问题
天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门
1.
[2026 常州溧阳期中]某种植物的主
外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺
干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这
在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东
些支干同样数目的小分支，主干、支干和小分
西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为
支的总数是73，若设每个支干长出x 个小分
x，根据“两天不练丢一半”，可列方程(
)
支，则可列方程为
(
)
C.1-2x=50%
D.(1-x)(1+x)=50%
A.
 
x(x+1)=73
4.
某案案糕(如图)生产厂家采用线下线上
两种销售方式销售产品，店长统计了2025 年6 月
份和8 月份线上销售量占总销售量的比例，根
据比例绘制成如图所示的两幅扇形统计图(阴
影部分为线上销售量占比)，由统计图可知，线
上销售量占比的月平均增长率为
.
2. [2026广州为明学校期中]有
3 人患了流感，经过两
轮传染后共有300 人患流感.
6月份
8月份
(1 )每轮传染中平均一个人传染了几个人?
5. [2026海南华侨中学期中]
某公司今年6 月份的生
( 2 )若不及时控制，第三轮又将有多少人被
产成本是600 万元，由于改进技术，生产成本
传染?
逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相
同，到8 月份的生产成本是486 万元.
(1 )求每个月生产成本下降的百分率.
(2 ) 该公司9 月份的生产成本是否会跌破440
万元?请说明理由.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时3
循环问题与销售问题
销售问题
课时检测
4. [2025延边州期末]某超市以10 元每袋的价格购
循环问题
进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋
16 元时，每天可售出200 袋；若每袋售价每降
1. [2026天津咸水沽四中月考]
美术绘画小组在中秋
低1 元，则可多售出80 袋，此种粽子每袋售价
节这一天人人相互送一个月饼，共送出72 个
降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润
月饼，美术绘画小组的人数是
(
)
可达到1 440 元? 若设每袋粽子售价降低x
A.7
B.8
C.9
D.10
元，则可列方程为
(
)
2.
[2026渭南大荔期中]有这样一个
A.(16-x-10)(200+80x)=1
440
古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让.礼毕，
B.(16-x)(200+80x)=1
440
共揖十五次.问诸侯几何?”译文：今天诸侯会盟，
C.(16-x-10)(200-80x)=1
440
每两人相互行礼一次，共行礼15 次，则有
个
D.(16-x)(200-80x)=1
440
诸侯.
5.
[2025 郑州实验外国语中学联考]
3.
《教育强国建设规划纲要(2024—
某商店以每件50 元的价格购进若干件衬衫，
第一个月按单价80 元销售，售出200 件，第二
2035 年)》中指出，实施学生体质强健计划，加
个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的
强校园足球建设.某市以此为契机举行了足球
实惠，决定降价处理，经市场调查，
，如
邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场.
何定价，才能使以后每个月的利润达到7920 元?
(1 ) 如果有4 支球队参加比赛，那么共需进
解: 设…… 根据题意, 得(80-50-x)(200 +
行
场比赛.
( 2 )如果全市共需进行28 场比赛，那么共有多
少支球队参加比赛?
根据上面所列方程，完成下列任务：
(1 )数学问题中横线处缺少的条件是
(3 )如果赛制改为双循环形式(每两支球队之
;
间都需要进行两场比赛)，共需进行90 场
(2 )所列方程中未知数x 的实际意义是
比赛，那么共有多少支球队参加比赛?
;
(3 )请写出解决上面的数学问题的完整的解
题过程.
一元二次方程
第二十五章
6.
[2026鹿邑实验中学月考]北京时间
2025 年8 月25 日,WTT 欧洲大满贯瑞典站女
单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得女单冠军.趁
此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环
赛制( 即每位参赛者与其他参赛者各比赛1
场).下面是小米和小诚对比赛总场数的统计.
8.
【问题提出】科技改变生活，某中学
响应教育局“打造数字化教学”的号召，鼓励
学生进行周末劳动实践经验线上交流，九年级
一班的全体同学在家务劳动的同时，全班每两
个同学都通过一次视频电话，互相交流，共同
小米
小诚
提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电
(1 )小诚的说法有道理吗?请通过计算说明.
话，如何求全班50 名同学共通过多少次电
(2 )赛后经查询，小米的统计正确.因为有一
话呢?
人身体不适，参与4 场比赛后中途退赛，求
【模型构建】用点M₁,M₂,M₃,…,M₅₀ 分别表示
原来有多少人参加比赛.
50
n
第1，2，3，…，   名同学，把该班级人数与视
频通话次数S 之间的关系用如图模型表示.
S=1
S=3
S=6
S=10
S=?
【问题解决】
(1 )如图中第5 个图中S 的值为
.
(2 )通过探索发现，视频通话次数S 与该班级人
数n 之间的关系式为
------ ，则当
 
 
 
 
 
n=50
时,对应的S=
.
(3 )若该班全体女生相互之间共通话190 次，
7. [∠U∠4辽丁甲丂」米冏吻山皆一狎冏節，至叩吻调
求该班共有多少名女生.
查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)满
【问题拓展】
足一次函数关系，部分数据如下表所示.
(4 )若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学
每件售价x/元
… 45
55
65
之间互发一条微信，小明统计全组共发送
日销售量y/件
55
45
35
微信110 条，求该班数学兴趣小组共有多
少人.
(1 )求y与x之间的函数解析式(不要求写出
自变量x的取值范围).
(2 )该商品日销售额能否达到2 600 元? 如果
能，求出每件售价；如果不能，请说明理由.
【回顾与思考】利用方程解决实际问题的关键是什么?
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
数学活动
护比+错题本
探究方程有公共解的条件
1. 已知三个关于x的一元二次方程
恰有一个公共
解，试求这个公共解和
的值.
神奇的线段分割
4. [2026临汾多校月考]下面是某同学数学笔记中的
部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.
2. 已知大于x 的一兀一次力柱x -mx+m+ɔ =
0 和x²-(8m+1)x+15m+7=0
只有一个公
共解，求m的值及公共解.
任务：
(1)材料一横线处所缺的内容为
.
(2)补全材料二的求解过程.
(3)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作线段
AB 的中外比点 C.(保留作图痕迹，不写作
法，标明字母)
3. 当k取何止整数时，关于x的一元二次力性x -
(k+2)x+12=0
和
有
一个整数公共解?
图2
一元二次方程
第二十五章
专项3
数形规律与方程思想
数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的
点数计算进行了探究活动：如图1 是一个三角形
点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1 个点，
第2 行有2 个点……第n行有n个点……
(n+1)个
图1
图2
【发现问题】在探究的过程中，容易发现10 是三
角形点阵前4 行的点数和，但遇到较大的点数，
逐行数点数很烦琐.
【提出问题】前多少行的点数和是325?
【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思
想.下表分别从数和形两个角度探究前n行的点
数和.
从数的角度看
从形的角度看
通过具体的数字，想到了
一种计算方法——倒序相
加法.例如：求前10 行的
点数和.
利用图形的特征进行计
解:S =1 +2 +3 + … +
算.如图2，将一个正立的
数依次换为3，6，9，…，3n，那么前n行的点数和
10①,
三角形点阵倒立，再与正
能是900 吗?如果能，求出n；如果不能，说明
将①式倒序,得S=10
+
立的三角形点阵拼成一
理由.
9+…+2+1 ②,
个平行四边形点阵，三角
①+ ②, 得2S =(10+1) +
形点阵的点数和为平行
(9+2)+…+(10+1)=
四边形点阵数的一半.
11×10=110,
所以S=55, 即前10行的
阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一
点数和为55.
道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果
【解决问题】
园去摘石榴，第一个人摘了1 个石榴，第二个人
(1 )请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方
摘了2 个石榴，第三个人摘了3 个石榴，以此类
法，求出前n行的点数和.
推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石
(2 )①前多少行的点数和是325?
榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如
②在该三角形点阵中，前n行的点数和能是
果平均分配，每个人可以得到6 个石榴，这群人
900 吗?如果能，求出n；如果不能，说明
共有多少人?”
理由.
【拓展应用】
(3 )某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种
造型要用420 盆同样规格的花，按照第一排
2盆，第二排4 盆，第三排6 盆…… 第n 排2n
盆的规律摆放，一共能摆放多少排?
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
章末复习专练
拍批+错题本
过全章
全章体系构建
答案P12
1. 已知关于x 的方程
x
x
5
5
2=0.
5|
【基础设问】
x
x|
x
(1)①若原方程是一元一次方程，则m 的值
是
.
x
5
②若原方程是一元二次方程，则m 的取
图1
图2
值范围是
.
①请参照上述构造图形的方法，求解一
(2)若方程的一个根为3，则m的值为-- ，另一
元二次方程
的正数解.
(请画出图形，需在图中标注相关线段的
个根为
.
长度，并写出必要的求解过程)
(3)当m=1时，方程的根为
——.
综
合
提
分
区
 
 
【能力设问】
(4)若原方程有实数根，则m 的取值范围
是
.
(5)若原方程有两个互为相反数的实数根，
则m 的值是一.
(6)若原方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且
则 m 的值
为
.
②类似地，你能否用不同的方式表示立
【拓展设问】
体图形组合的体积，求特殊的一元三次
(7)人类还研究过利用几何法求解一元二次
方程的解?如：求方程
方程.下面是阿拉伯数学家花剌子米利
973 的解.
用几何法求
正数解的
类比平面图形的研究，现准备以下规格
过程：
的立体图形：
变形：
变形为
39；构图：如图1，画一个面积为x² 的正方
形，再画两个面积为5x的矩形，并按图2
所示构造一个大正方形；解答：大正方形
3 3
面积可用两种方式表示，整体看可表示
图3
图4
图5
图6
为
也可表示为四部分相加，为
需要准备图3 中几何体
块；需要准备
图4 中几何体
块；需要准备图5 中几
∴得到等量关系
何体
块；需要准备图6 中几何体
解得
又∵ x 为正数,
块.则方程
的解为
∴x=3.
x=
.
一元二次方程
第二十五章
2. 某商场将进价为每台30 元的台灯以每台
(4 )如图，该商场在大楼后面搭建了两个简
40 元的价格售出,1月销售400 台,2,3 月这
易的矩形停车棚，一边利用大楼的后
种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础
墙(墙长为60 m)，其他的边用总长为70 m
上，3月的销售量达到576 台.
的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个
【基础设问】
1m 的出口.(备注：规划在距后墙7 m的
(1 )求2，3两个月销售量的月平均增长率.
范围内设置停车位)
(2 ) 从4 月起，在3 月销售量的基础上，商场决
定降价促销.经调查发现，每台的售价在
30 元至40 元范围内，这种台灯每台的售
B
C
价每降价1 元，其销售量增加12 台.这种
①若设停车棚的宽AB 为x m，则停车棚
台灯售价定为每台多少元时，商场4 月
的长 BC 为     m.
销售这种台灯能获利4 800 元?
②若停车棚的面积为285 m²，试求出停
车棚的长和宽.
③若该商场拟利用现有栅栏对停车棚进
行扩建，则能围成面积为450 m² 的停
车棚吗?如果能，请你给出设计方案；
如果不能，请你说明理由.
【能力设问】
(3 )为了扩大销售品类，该商场负责人去某
市参加商品订货会，参加商品订货会的
每两家公司都签订了一份合同，所有参
加商品订货会的公司共签订了36 份合
同，则共有多少家公司参加了这次商品
订货会?
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
7. [2025南充中考]设x₁,x₂ 是关于x 的方程(x1)•
的两根.
1. [2024东营中考]用配方法解一元二次方程
(1 ) 当
时，求x₂及m的值.
2x
-2023 =0, 将它转化为
的形
( 2 )
求证：
式，则a'的值为
(
)
A. - 2 024 B.2 024
C. - 1
D.1
2. [2025河北中考]若一元二次方程x(x+2) -3
=
0的两根之和与两根之积分别为m ，n ，则
点(m，n)在平面直角坐标系中位于
(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3. [2024宿迁中考改编]规定:对于任意实数a,b,c,
有【a,b】★c= ac+b,其中等式右面是通常的
乘法和加法运算, 如【2,3 】★1=2×1+3=5.
若关于x 的方程【x,x+1 】★(mx)=0 有两个
不相等的实数根，则m的取值范围为(
)
8.
不超甲购进甲、乙两种商品，
且m≠0
且m≠0
2022 年甲、乙两种商品每件的进价均为125
4. [2025南京中考]设方程
的正根介
元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进
于整数m 与m+1 之间, 则m=
.
价年平均下降25 元，乙种商品2024 年每件的
5. [2025威海中考]如图，小明同学将正方形硬纸板
进价为80 元.
沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图.
(1 )求乙种商品每件进价的年平均下降率；
若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方
(2 )2024 年该超市用不超过7 800 元的资金一
次购进甲、乙两种商品共100 件，求最少购
体的棱长为  cm.
进多少件甲种商品.
6. 解下列一元二次方程：
(1 )[2025无锡中考]
( 2 ) [2025齐齐哈尔中考
26.1
二次函数的概念
课时检测
拍批+错题本
为 xm，则y关于x的函数解析式是
(
)
二次函数及其有关概念
1. [2026靖江月考]给出下列函数：(
x² +1; ②y= - 2x² - 1;(
7.
[2025宁夏石嘴山二中期中]寒假期
间，九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝
愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么
2x².其中二次函数的个数为
(
)
互发信息的总次数m 与 n 之间的函数关系式
A.1
B.2
C.3
D.4
可以表示为
(
)
2. [2026松原期中]若
是关
于x的二次函数，则m的取值范围是
(
)
A. m≠1
B. m>1
C. m<3
D. m≠3
D.
 
m=n(n-1)
3. 关于函数 y = (500-10x)(40
+x), 下列说法
8. [2026唐山路北区月考]如图, 点E,F,G,H 分别在
不正确的是
(
)
正方形ABCD 的边AB,BC,CD,AD 上, 且AE=
A. y是x 的二次函数 B. 二次项系数是-10
BF=CG=DH,AB=8.
设线段AE 的长为x, 四
边形EFGH 的面积为y，求y关于x 的函数解
C. 一次项是100
D. 常数项是20 000
析式.
4.
若函数
是关
于x的二次函数，则a的值为
.
用二次函数描述变量之间的关系
5.
[2026金华永康期中]某工厂七月份
E
生产零件50 万个，设该厂第三季度平均每月
的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万
个，那么y与x满足的函数关系式是
(
)
A.
 
y=50(1+x)²
B.
 
y=50+50(1+x)
C.
 
y=50(1+x)+50(1+x)²
D.
 
y=50+50(1+x)+50(1+x)²
6.
[2026 绍兴元培教育集团期中]
如图，有一
块正方形的花圃，正中间有一个圆形水池.从圆
周上的点到正方形边上点的最短距离为3 m.
【回顾与思考】类比一次函数的学习，二次函数的研究路
记正方形内除水池外的面积为 y m²，圆的半径
径是什么?
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
26.2
二次函数的图象和性质
课时1
二次函数.
的图象和性质
拍批+错题本
6.
[2024广东中考]若点(0,y ₁),(1,y
₂),(2,
y₃)都在二次函数
的图象上，则
(
)
二次函数
的图象的画法
1. 通过列表、描点、连线的方法，在如图所示的同
一平面直角坐标系中画出函数
和y=
7. 若抛物线
与抛物线
的
的图象.
形状相同，则a=
.
8. [2026西安高新一中月考]
已知三个二次函数的图
象如图所示，那么a₁,a₂,a
₃ 的大小关系是
.(用“>”连接)
9.
[2026南昌青山湖区期中]已知二次函数y =
的图象开口向下，则m 的
值是
.
10.
[2025上海普陀区期中]已知二次
二次函数
的图象和性质
函数
的图象在对称轴左侧的部
2. [2025安庆多校期中联考]二次函数
的图
分是上升的，那么m的值可以是
象的对称轴是
(
)
.(填一个即可)
A. y轴
B. x 轴
11. 已知二次函数
当x=3 时,
C. 直线x=1
D. 直线x=-1
y=3.
3.
[2025北京通州区期末]抛物线 y =
(1) 当x=-2 时, 求y 的值.
的共同性质是
(
)
(2)写出该函数图象的开口方向和对称轴.
A.开口向上
B.对称轴是 y 轴
(3)当x为何范围时，y随x的增大而增大?
C.都有最高点
D. y 随x的增大而增大
4.
若二次函数
的图象经过点
P(-2,4), 则该函数的图象必经过点(
)
A.(2,4)
B.(-2,-4)
C.( - 4,2)
D.(4,-2)
5. [2026北京昌平区期中]下列关于二次函数
的说法正确的是
(
)
A.它的图象经过点( -1,-4)
B. 当x=0 时,y 取最大值, 为0
C.它的图象的对称轴是直线x=4
D. 当x<0 时，y 随x 的增大而减小
二次函数
第二十六章
12. [2025 庆阳期中]对于抛物线
当-1≤x≤
2时，y的取值范围是
(
)
A.1 ≤y≤4
B.0<y
≤4
C.0 ≤y≤4
D.1<y<4
13.
[2025 湖州吴兴区月考]在同一平面直
角坐标系中，二次函数
与一次
18.
[2026扬州邗江区期中节选]在平面直角
坐标系中，已知点A在y轴正半轴上.
函数y=ax+a 的图象大致是
(
)
(1) 如图1, 已知菱形ABCD 的顶点B,C,D 在
二次函数
的图象上，且AD⊥y轴，
求菱形 ABCD的边长；
(2) 如图2, 已知正方形ABCD 的顶点B,D 在
二次函数
的图象上，点B，D 在y轴
A
B
C
D
的同侧，且点B在点D的左侧，设点 B，D
14. [2025北京房山区期中]已知点A( -1,3),B(3,
的横坐标分别为m ，n ，判断n-m 是否为
3)，若抛物线
与线段 AB 只有
定值，并说明理由.
一个公共点，则a的取值范围是
(
)
B.0<a<3
图1
图2
15. [2025吉林船营区月考]如图，正方形的边长为4，
以正方形的中心为原点建立平面直角坐标
系，作出函数
与
的图象，则
阴影部分的面积是
(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
16. [2025绍兴三模]已知点(x ₁,y₁ ),(x
₂,y₂ ) 为二
次函数
的图象上的两点(不为顶点)，
则以下判断正确的是
(
)
A. 若
则
B. 若
则
C. 若
则
D. 若
则
17. [2025广安友谊中学月考]如图,已知点 A( -2,4)
在抛物线
上，过点 A 且平行于
x轴的直线交抛物线于点 B.
(1) 求a 的值和点 B 的坐标；
(2)若点 P 是抛物线上一点，当以点A，B，P
为顶点构成的△ABP 的面积为2 时，求点 P
的坐标.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时2
二次函数.
的图象和性质
课时检测
0”，那么第(2 ) 问中y₁ 与y₂ 的大小关系还
成立吗?请说明理由.
二次函数.
的图象和性质
1. 函数
的图象大致是
(
)
二次函数.
与
的图
A
B
C
D
象间的关系
2. [2026 昭通绥江期中]嘉嘉绘制抛物线
8. [2025 上海中考]将函数
的图象向下平移
时，将“3”看成“-3”，和原图象相比，发生改
2 个单位长度后，得到的新函数的解析
变的是
(
)
式为
.
A. 开口方向
B. 对称轴
9. [2025 上海闵行区调研]抛物线
上有一
课
内
提
分
区
C. 开口大小
D. 与y 轴的交点
点P(2，2)，平移该抛物线，使其顶点落在点
3.
填表.
A(0,1)处,这时,点 P 落在点 Q 处,则点 Q 的
开口
顶点
坐标为
.
对称轴
最值
方向
坐标
10. [2026 广州执信中学月考]
如图，抛物线
最
值:
最
值:
4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，四
边形ABCD 为平行四边形.
4.
[2025 北京六十六中期中]写出一个
(1) 写出A,B,C 三点的坐标.
开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)的
( 2 )若抛物线向上平移后恰好经过点 D，求平
抛物线的解析式：
.
移后抛物线的解析式.
5. 已知抛物线
的顶点在y轴的负
半轴上，且开口向上，则m 的取值范围
是
.
6.
对于二次函数
当
-1≤x≤2
时，y的取值范围是
.
7.
[2026淮安清江浦区月考]将二次函数
1(m 是常数) 的图象记为图象 C. 图象 C 经过
点
A(m,y₁) 和点B(2m+1,y₂).
(1)用m表示图象C 的顶点坐标：
.
( 2 ) 若m=0, 则
，由此尝试比
较大小:y₁
 y₂.(填“ >”“<”或“=”)
(3 )如果将第(2 )问中的条件“1m=0" i改成“m≥
二次函数
第二十六章
( 2 )求函数
的解析式.
(3 ) 抛物线上是否存在点 M, 使得∠MCB =
11. [2026新乡一中期中]在同一平面直角坐标系中，
15°?若存在，求出点 M的坐标；若不存
一次函数
与二次函数
在，请说明理由.
m的图象可能是
(
)
A
B
C
D
12. [2025 孝感汉川外国语学校月考]抛物线
上有两点A(x₁,y₁ ),B(x₂,y
₂), 若.
则
下列结论正确的是
(
)
或
D.以上都不对
13. 如图，两条抛物线
与分别经过点
视频解题
( -2,0),(2,0) 且平行于y 轴的两条平行线
围成的阴影部分的面积为
.
第13 题图
第14 题图
14. [2025苏州振华中学期中]如图，将二次函数 y =
位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到
一个新函数的图象(图中的实线).当新函数
中函数值y随x的增大而增大时，自变量 x
的取值范围是
.
15. 如图，抛物线
和
都经过x 轴
上的A，B两点，两条抛物
线的顶点分别为C，D.当
四边形ACBD 的面积为24
C
时，求a的值.
16.
[2026 广州育才教育集团期中]
如图，已知顶点为C(0 ，3) 的抛
物线
与x 轴交于
A,B 两点, 直线y=x+m 过顶点C
视频解题
和点 B.
(1 )求m的值.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时3
二次函数.
的图象和性质
课时检测
8. [2026天津河东区月考]
抛物线
的对
称轴是直线x=2, 且过点(5,-3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标.
二次函数.
的图象和性质
(2) 当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减
1. [2025河池宜州区期中]二次函数
的
小?当x取何值时，函数有最大(或最小)
大致图象是
(
)
值，并求出相应的最大(或最小)值?
(3) 当-1≤x≤3 时, 求函数值y 的取值范围.
A
B
C
D
2. [2026沈阳一中期末]关于二次函数
下列说法正确的是
(
)
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的对称轴为直线x=1
C.该函数有最大值，最大值是0
D. 当x>1 时，y 随x 的增大而减小
3. [2026西宁期末]某抛物线与抛物线
的
形状相同，且顶点为(-6，0)，开口向下，则该
抛物线的解析式为
(
)
4.
[2026上海奉贤区期中]在同一平面直
角坐标系中，关于函数
的图象，下列结论正确的有
.
(填序号)
①都是关于y轴对称；②顶点都在坐标轴上；
③图象都有最低点；④都与x轴有交点.
5. [2026菏泽东明期末]已知二次函数
9. [2026苏州外国语学校期中]
把抛物线
当x>2 时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值
向左平移2 个单位长度，平移后抛物线的解析
范围是
.
式为
(
)
6. [2025北京燕山区期中]已知抛物线
上有
两点A(0,y ₁) 和B(3,y ₂), 则
.(填“>”
“<”或“=”)
已知二次函数
图象上的两
10. 若将抛物线
的顶点平移到原点，
点A(m,a) 和B(n,b)(m≠n), 则a 与b 的大
则下列平移方法正确的是
(
)
小关系是
.(用“<”连接)
A. 向上平移3 个单位长度
B. 向下平移3 个单位长度
7. 已知抛物线
经过(m,n) 和
C. 向左平移3 个单位长度
(m+4,n) 两点, 则n 的值是
.
D. 向右平移3 个单位长度
二次函数
第二十六章
11.
在同一平面直角坐标系中，一次函
16.
[2026广东实验中学月考]
如图，抛物线y=
数y=ax+c 和二次函数
的图象
的顶点为A，过点A左侧抛物线上一
大致为
(
)
点B 作 BC⊥x 轴于点 C, 且BC=2AC.
(1)求 AC 的长;
(2) 若D 是抛物线上的一点, 且∠ABD=45 ° ,
求点 D 的坐标.
A
B
C
D
12.
若点 P(m,n) 在抛物线
0)上，则下列各点在抛物线
上
的是
(
)
A.(m,n+1)
B.(m+1,n)
C.(m,n-1)
D.(m1,n)
13.
已知二次函数
h)², 当自变量x 的值满足1≤x≤3
时，与其对应的函数值y的最大值为
类题讲解
-2，则常数h的值为
(
)
A.1 或3
B. -1 或1
C.3 或5
D. -1 或5
14. [2026武威凉州区期中]如图，已知
二次函数
的图象与
x轴交于点A，与y轴交于点B，
在对称轴上存在一点 P，使得
以P，A，O，B四点为顶点的四
边形是平行四边形，此时点 P 的坐标为
•
15.
如图，抛物线
的顶点
为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA.
(1)求抛物线的解析式；
(2) 若点C( -3,b) 在该抛物线上, 求△ABC
的面积.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时4
二次函数.
的图象和性质
课时检测
6. [2026唐山九中月考]二次函数
当x>1 时，y 随x 的增大而减小，则实数a 和t
满足
(
)
二次函数.
的图象和
A. a>0,t≤1
B. a<0,t≤1
性质
C. a>0,t≥1
D. a<0,t≥1
1. [2026开封金明中学期末]抛物线
7. 已知二次函数
2 的对称轴是
(
)
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这
A. x=2
B. x= - 1
C. x=1
D. x= - 2
个二次函数的图象；
2. [2026德阳广汉期末]关于二次函数
(2)设这个二次函数图象的顶点是P，点B 是
下列说法正确的是
(
)
x轴上一个点，点A 的坐标为(3，0)，若
A.函数图象的开口向下
△PAB 的面积是3,求点 B的坐标.
B.函数图象的顶点坐标是(-1，5)
C.该函数有最大值，最大值是5
D. 当x>1 时，y 随x 的增大而增大
课
内
提
分
区
3.
[2025 威海中考]已知点( -2,y
₁),(3,
y₂),(7,y
₃ ) 都在二次函数
的图象上,则y₁,y₂,y ₃的大小关系是
(
)
4. 如图是抛物线
的一部分，该
抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是
(
)
A.(
,0)
B.(1,0)
C.(2,0)
D.(3,0)
二次函数.
的平移变换
8. 若将抛物线
平移后得到抛物
线
则它的平移过程可以是
(
)
A.先向右平移3 个单位长度，再向上平移3个
单位长度
第4题图
第5题图
B. 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个
5. [2025泰安泰山区期中]二次函数
的
单位长度
图象如图所示，则一次函数y =mx+n 的图象
C.先向左平移3 个单位长度，再向上平移3 个
单位长度
经过
(
)
D. 先向左平移3 个单位长度，再向下平移3个
A.第一、第二、第三象限
单位长度
B.第一、第二、第四象限
9. [2026遵义汇川区期中]将抛物线
先向右平
C.第一、第三、第四象限
移3个单位长度，再向上平移1 个单位长度，
D.第二、第三、第四象限
平移后的抛物线的顶点坐标是
.
二次函数
第二十六章
10. [2026鄞州实验中学月考]已
知
点
A(a,2),B(b,
2),C(c,7) 都在抛物线
上，14.
[2025厦门双十中学期中]在平面
点 A 在点 B左侧，下列选项正确的是(
)
A. 若c<0, 则a<c<b
直角坐标系中，设二次函数
B. 若c<0, 则a<b<c
(m 是实数).
C. 若c>0, 则a<c<b
(1)
当m=2
时, 若点A(8,n) 在该函数的图
D. 若c>0, 则a<b<c
象上，求n的值.
11.
[2026上海杨浦区期末]如果将抛
( 2 )小明说该二次函数图象的顶点在直线
物线
向右平移10 个单位
长度，那么此抛物线与y轴的交点 P 在平移
上，你认为他的说法对吗?
过程中的位置变化情况符合下列哪种情形?
为什么?
(
)
(3 )
已
知
点
P(a+1,c),Q(4m-5+a,c) 都在
A.持续向上
B.持续向下
该二次函数的图象上.求证：
C.先向上再向下
D.先向下再向上
12.
点
A(m1,y₁),B(m,y
₂)都在二次
函数
的图象上.若
则
m的取值范围为
(
)
A. m>2
C. m<1
13. [2026东北师范大学附属中学期末]长春南湖公园的
石拱桥以石块筑成，搭配精致栏杆，造型典
雅.桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图
1. 桥中间的大拱截面OBA 可视为抛物线的
一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA =
8 m，桥拱顶点 B 到水面的距离是4 m.
图1
图2
(1 ) 按如图2 所示建立平面直角坐标系，求大
桥拱部分抛物线的解析式.
( 2 )同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰
好停在大桥拱下方且距O 点 l m处清理
垃圾，若环卫工人身高1.71 m，请通过计
算说明他直立时头顶是否会触碰到大桥
拱(假设船底与水面齐平).
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时5
二次函数.
的图象和性质
课时检测
x
-1
0
1
2
3
y
0
-5
-8
-9
-8
二次函数.
与
y=a(x-
A.抛物线的顶点坐标为(-1，0)
间的关系
B. c>0
1. [2026北京昌平一中期中]将二次函数
C. 当x<4 时，y 随x 的增大而增大
2 化成
的形式为
(
)
D. 此函数的最小值为-9
7. [2025杭州萧山区期中]如图，已知二次函数
2x
+c的图象经过点A(1,-2).
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
2.
[2025 杭州余杭区期中]将二次函数y=
(2)自变量x在什么范围内，y随x的增大而减
的图象先向左平移4 个单位长
小?
度，再向下平移3 个单位长度，得到一个新的
(3) 当y≤-2 时，请根据图象直接写出x 的取
值范围.
二次函数的解析式是
(
)
课
内
提
分
区
二次函数
的图象和
性质
3. [2026黄石阳新期中]已知抛物线
1，下列结论错误的是
(
)
A.抛物线的开口向下
B. 抛物线的对称轴为直线x=1
C. 当x=1
时,y 取最大值, 为2
D. 若(x ₁,y₁ ) 和(x₂,y₂ )是抛物线上两点,则当
时，
4. [2026 苏州东沙湖实验中学期中]已知A(1,y
₁),
二次函数.
的图象与
B(2,y ₂),C(4,y
₃) 是二次函数
a,b,c 的关系
8. [2026昭通绥江期中]如图，在平面直角坐标系中，
1(a<0) 的图象上的三个点, 则y₁,y₂,y₃ 的大
二次函数
的图象如图所示，下
小关系为
(
)
列结论正确的是
(
)
A. ab>0
B.
 
a+b+c<0
5. [2026大连西岗区期末]已知二次函数
C.
 
a-b+c<0
D.2a+b<0
则当0 ≤x≤3 时，函数的最大值为
(
)
9.
[2025 广东中考]已知二次函数
A. - 2
B. - 1
C. O
D.2
的图象经过点(c，0)，但不经过原
6. [2026 新乡长垣期中]如表给出了二次函数 y =
点，则该二次函数的解析式可以是
中x 与y 之间的几组对应
.( 写
值，则下列说法正确的是
(
)
出一个即可)
二次函数
第二十六章
14. [2026长春榆树月考]如图，在平面直角坐标系
中，抛物线
与 y 轴交于点
10. [2026 长沙长郡教育集团月考]已知
一次函数y=ax-b 的图象如图
A(0,2),
与x 轴交于B( -3,0),C 两点( 点 B
所示，则二次函数
在点 C 的左侧)，抛物线的顶点为 D.
(1 )求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
b在平面直角坐标系中的图象
( 2 )P 是线段OB 上的动点，过点 P 作x 轴的
可能是
(
)
垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点 E
yf
的坐标.
A
B
C
D
11. [2026天津九十中月考]如图，在平面直角坐标系
中，点A 在抛物线
上运动，过
点A 作AC⊥x轴于点 C，以AC为对角线作矩
形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为
(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
15.
[2024安徽中考]已知抛物线
(b 为常数) 的顶点横坐
标比抛物线
的顶点横视频解题
坐标大1.
(1 ) 求b 的值.
第11 题图
第12 题图
( 2 ) 点A(x₁, y₁)在抛物线
上，点
12. 二次函数
的
在抛物线
部分图象如图所示，图象过点(-1，
bx上.
0)，对称轴为直线x=2，给出下列
视频解题
①若h=3t, 且x₁≥0,t>0, 求h 的值;
结论:(1) abc<0;(2)4a +c>2b;(3)3b-
②若
，求h 的最大值.
2c
>0;(4)若点A(-2,y
₁),B(-
,y₂ ),
在该函数图象上，则
(5 )4a+2b≥m(am+b)(m 为常数). 其中正
确的结论有
(
)
A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个
13.
[2024福建中考]已知二次函数
2ax +a(a≠0) 的图象经过A(a,y
₁ ),B(3a,
y₂)两点，则下列判断正确的是
(
)
A.可以找到一个实数a，使得
B.无论实数a取什么值，都有
C.可以找到一个实数a，使得
D.无论实数a取什么值，都有
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课
内
提
分
区
微专题
二次函数
第二十六章
微专题
答案 P23
一题多变
二次函数的最值问题
拓展练习
5. [2024眉山中考]定
义
运
算
:a⊗b=(a+2b)(a-
b), 例如4⊗3=(4+2×3)·(4-3),
则
函
数
y=(x+1)⊗
2 的最小值为
(
)
A. - 21
B.-9
C. - 7
D. - 5
6. [2026西安新城区期末]当-2≤x≤3 时, 二次函
数
l(m 为常数, 且m≠0) 有
1.
已知函数
当2≤
最小值-3，则m的值为
(
)
x≤3时，该函数的最大值是
(
)
A. - 5
B.3
C. - 3
D.5
C.4
D.4 或
2.
[2024 乐山中考]已知二次函数 y =
7. [2026 威海期中节选]已知二次函数
x²-2x(-1
≤x≤t-1),
当x=-1 时, 函数取
当1≤x≤3 时,y 的最小
得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t
的取值范围是
(
)
值为2，则m的值是
.
A.0<t
≤2
B.0<t
≤4
8. [2026宁波期末]在平面直角坐标系xOy 中，点
C.2 ≤t≤4
D. t≥2
(2,3) 在抛物线
上，对
3.
[2025 邯郸二十五中月考]已知二次函
称轴为直线x=t.
数
(h 为常数) ，当自变量x 满
(1)t 的值为
;
足2 ≤x≤5 时,y 的最大值为1, 则 h 的
(2) 当-1≤x≤2 时,y 的最大值为9, 求抛物
值为
.
线对应的函数解析式；
4.
已知二次函数
(3)
当
m<x<n
时
,3-a≤y<3a+3,
求
n-
(m 为常数), 当2m ≤x≤2m+3, 其函数值y
m的最大值.
的最小值为9，求此时的二次函数解析式.
【回顾与思考】二次函数所刻画的变量之间的关系有什
么特征?说一说与一次函数的区别.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
专项1
二次函数与线段长、图形面积的综合
拍批+错题本
线段的最值问题
拓
展
提
分
区
1.[2026
南京秦淮外国语学校期末]已
知抛物线
与
x 轴相交于 A,B 两点( 点 A
在点 B 的左侧)，与y轴交于
点C，连接BC，有一动点 D在
线段BC上运动，过点 D 作x
O
轴的垂线，交抛物线于点 E，则DE 的最大
值为
.
2. [2025德阳中考]如图1，在平面直角坐
标系中，已知二次函数.
c 的图象与x 轴交于点A( 1,0),
B(3,0), 与y 轴交于点 C.
视频解题
图1
图2
图3
(1)求抛物线的函数解析式.
(2) 如图2, 连接BC, 过点 C 作 CD⊥BC 与抛
物线相交于另一点 D.
①求点 D的坐标；
②如图3,点 E,F 为线段 BC 上两个动点
( 点E 在点 F 的右侧), 且
连接
OF,DE. 求OF+DE 的最小值.
二次函数
第二十六章
面积的最值问题
4.[2024资阳中考节选]已知平面直角坐标系中，O
为坐标原点，抛物线
与x 轴
交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点 C，且
B(4,0),
(1)求抛物线的解析式；
(2) 如图，点P 是抛物线在第一象限内的一
点, 连接PB,PC, 过点 P 作PD⊥x 轴于点
D, 交BC 于点K, 记△PBC, △BDK 的面积
分别为S₁,S ₂, 求
的最大值.
3.[2024
黑龙江龙东地区中考]如图，抛物线 y =
与x轴交于A，B 两点，与y轴交
于点C, 其中B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点 P，
使得△APC 的面积最大.若存在，请直接
写出点 P 的坐标和△APC 的面积的最大
值；若不存在，请说明理由.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
26.3
二次函数与一元二次方程
课时1
二次函数与一元二次方程
拍批+错题本
(1)若该二次函数的图象与直线
有两
个交点，求a的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a
二次函数与一元二次方程的关系
的值；
1. 小兰画了一个函数
的图象如图
(3)求证：该二次函数的图象不经过原点.
所示，则关于x的方程
的根是
(
)
A. 无解
B. x=1
C. x= - 2
-3|
2. [2026重庆巴南区期末]若抛物线
2(m 是常数) 与x 轴只有一个公共点，则m 的
值为
.
—
—
—
—
—
—
—
—
—
[2024 宁夏中考]若二次函数
x+m 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围
是
已知抛物线
与x轴没有交
点，那么该抛物线的顶点所在的象限是(
)
A. 第四象限
B. 第三象限
C. 第二象限
D. 第一象限
3.
已知二次函数
的图
象的顶点坐标为(1，5)，那么关于x的一元二次
方程
的根的情况是
(
)
二次函数与一π二次万桯天系的间
A. 有两个不相等的实数根
单应用
B. 有两个相等的实数根
7. [2026温州期末]一个球从地面上竖直向上弹起
C. 没有实数根
的高度h(米)与经过的时间t(秒)之间的关系
D. 无法确定
式为
当球的高度第一次达到
4. [2026咸阳月考]如图,抛物线y=
3.75 米时，经过的时间t为
秒.
ax² 与直线y= bx+c 的两个交
8. [2025连云港中考]如图，小亮同学掷铅球时，铅
点分别为点 A( 2,4),B(1,
球沿抛物线
运行，其中x
1)，则关于x的方程
是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地
的解为
.
面的高度.若铅球掷出时离地面的高度 OA 为
5.
二次函数
的图
1. 6m , 则铅球掷出的水平距离 OB 为 m.
象与x轴的一个交点在y轴右侧，则n的值可
以是
.(填一个值即可)
6. [2025连云港中考]已知二次函数
a 为常数.
二次函数
第二十六章
14.
[2026深圳实验学校期末]小明为了探究
函数刀
的性质，他想先画
9.
已知m>n>0 ，若关于x 的方程
出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用
2x
-3-m=0 的解为
关于x 的
性质解决问题.
方程
的解为
(1 )完成函数图象的作图，并完成填空.
则下列结论正确的是
(
)
①列出y与x的几组对应值如下表：
x
… -5 |-4 -3 -2 -1 0
1 2
3 4
5
10.
[2026遵义期末]点A(3,2)在抛物线
y
-8|-3 | 0
1
0
-3 | 0
1 0
-8 |
…
a
..
上，则关于x的一元
二次方程
的解是(
)
表格中,a=
;
②结合上表，在如图所示的平面直角坐
标系xOy 中，画出当x>0 时函数 M 的
11. [2026北京交大附中月考]二次函数
图象；
(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值如
下表：
x
-2
-1
2
y
m
0
c
则关于 x 的方程
的解
为
.
12.
已知函数
的图
象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 m的值
为
[2025南京玄武外国语学校期中]把二次函数
③观察图象，当x=
时，y取最
的图象向上平移1 个单位长
大值，为
.
度，再向右平移3 个单位长度，如果平移后所
(2 )若关于x的方程
有4 个
得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
那么 m应满足的条件是
.
实数根，则a的取值范围是
.
(3 )已知P(m,y ₁),Q(m+1,y
₂ ) 两点在函数
M的图象上，当
时，请直接写出 m
13.
[2025淄博临淄区
的取值范围.
期中]已知二次函数 y =
及一次函数
y= - x+b, 将该二次函
数在x 轴上方的图象沿
x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
得到一个新图象(如图所示)，当直线 y =
-x+b 与新图象有4 个交点时，b的取值范
围是
.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时2
利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值
课时检测
利用二次函数的图象求一元二次不
等式的解集( 拓展)
利用二次函数的图象求一元二次方
4. 已知二次函数
的图象如
程根的近似值
图所示，观察图象可知关于x的不等式
1. [2026沧州八中期中]如图是二次函数
bx+c>0 的解集是
(
)
A.x≤-1
或x≥3
B.-1
<x<3
bx+c的图象，对称轴为直线x=1，则方程
C.-1
<x<4
D. x<-1 或
x>3
bx+c=0 的负数解x₁ 的取值范围是
(
)
2.
[2026 北京房山区期中]在二次函
第4 题图
第5 题图
数
中，自变量x可以取
5. [2026宜兴实验学校月考]
如图, 直线 y= mx+n 与
任意实数，下表是x与y的几组对应值：
抛物线
交
于
A(-1,p),B(4,q)
两点，观察图象可知关于x的不等式 mx+n<
x … -1
0
1
2
3
4
5
…
的解集是
.
1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 -2.35 -6.05
6. [2026天津九十中月考]
已知二次函数
y …
2x
+4的图象与x轴交于A，B两点(点 A在点
则关于x的一元二次方程
B的左侧)，与y轴交于点 C，顶点为点P，与一
0)的两个实数根中，其中的一个根约等于
次函数
的图象交于A，D两点.
(结果保留小数点后一位).
(1 )求点 D 的坐标;
3. 对于抛物线
( 2 )求△PAB的面积;
(1)补全下列表格中的数据，在平面直角坐标
(3) 根据图象，若y₁ ≥0, 则 x 的取值范围
系中利用描点法画出此抛物线.
为
;
0
2
4
6
(4) 根据图象，若
则 x 的取值范围
x
-2
为
;
y
(5) 根据图象, 当x >0 时,y₁ 的取值范围
(2)结合图象及所学习的知识，估算
为
6=0 的两个根.( 精确到0.1)
.
【回顾与思考】说明二次函数的图象与对应的一元二次
方程的根之间的关系.
二次函数
第二十六章
专项2
二次函数图象信息题
拍批+错题本
二次函数图象与a，b，c之间的关系
3.[2025 安徽中考]已知二次函数
0)的图象如图所示，则
(
)
A. abc<0
B.2a+b<0
C.2b-c<0
D.
 
a-b+c<0
4.[2024 泰安中考]如图是二次函数
c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴是直
线x=1 ，图象与y 轴交点的纵坐标是2. 有下
列结论: ①2a +b=0; ②方程
定有一个根在-2 和-1 之间；③方程
一定有两个不相等的实数根；
④b-a<2. 其中, 正确结论的个数是
(
)
函数图象共存问题
A.1
B.2
C.3
D.4
1.
在同一平面直角坐标系中，一次函数
y= ax+2 与二次函数
的图象可能是
(
)
第4题图
第5题图
5.[2025齐齐哈尔中考]如图，二次函数
A
B
C
D
bx+c(a≠0) 的图象与x 轴交于两点( 1,0),
2. 已知二次函数
和一
(x₁,0),.
且
下列结论: ①abc>0;
次函数y = bx+c(b≠0) 的图象
②2a +c<0; ③4a -b+2c<0; ④若m 和n 是
关于x的一元二次方程
如图所示，则函数
0(a≠0) 的两根, 且m<n, 则m<-1,n>2;
的图象可能是
(
)
⑤关于x的不等式
0)的解集为(
其中正确结论的个数是
(
)
A
B
C
D
A.2
B.3
C.4
D.5
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
专项3
二次函数与几何图形的综合题
拍批+错题本
(2)如图1，若点 P 是线段 BC 上的一个动点
(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行
与特殊三角形有关的问题
线交抛物线于点 Q，连接OQ，当线段 PQ
的长度最大时，判断四边形 OCPQ 的形状
并说明理由.
(3) 如图2, 在(2 ) 的条件下,D 是OC 的中点,
过点 Q 的直线与抛物线交于点 E，且
∠DQE =2∠ODQ. 在 y 轴上是否存在点
1. [2025青海中考]如图，在平面直角坐标系中，抛
F，使得△BEF为等腰三角形?若存在，求
物线
与x轴交于A，B两
点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.
点, 点B 的坐标为(1,0), 点C(2,5) 在抛物
线上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)①求点 A的坐标;
②当y<0时，根据图象直接写出x的取值
范围:
.
图1
图2
(3)连接AC,交 y轴于点 D,在 y轴上是否存
a+b+4=0,
在点 P，使△ACP 是以AC 为直角边的直角
三角形.若存在，请直接写出所有符合条
件的点 P 坐标；若不存在，请说明理由.
2. 如图，已知抛物线
(a≠0) 与x 轴交于点A(1,0) 和B,
与y 轴交于点 C ，对称轴为直线
视频解题
(1)求抛物线的解析式.
二次函数
第二十六章
与特殊四边形有关的问题
4. [2025广安中考]如图，二次函数
bx+c(b,c 为常数) 的图象交x 轴于
A，B两点，交y轴于点 C，已知点 B 视频解题
的坐标为(9,0), 点C 的坐标为(0,-3), 连接
AC,BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 为抛物线上的一个动点，连接PC，
当∠PCB=∠OBC 时, 求点 P 的坐标;
(3)将抛物线沿射线 CA的方向平移
个
3. [2024泸州中考]如图，在平面直角坐标系 xOy
单位长度后得到新抛物线，点E 在新抛物
中，已知抛物线
经过点 A(3,
线上，点F 是原抛物线对称轴上的一点，若
0)，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称.
以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四
(1)求该抛物线的解析式.
边形，请直接写出点 E 的坐标.
(2) 当-1≤x≤t 时,y 的取值范围是0≤y≤2t-
1,求t的值.
(3)点C 是抛物线上位于第一象限的一个动
点，过点 C 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点
D，在y轴上是否存在点 E，使得以B，C，
D，E为顶点的四边形是菱形?若存在，求
出该菱形的边长；若不存在，说明理由.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
26.4
实际问题与二次函数
课时1
二次函数与面积最值问题
拍批+错题本
6.
[2026济宁任城区期中]某校开辟了
一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示.
利用二次函数解析式解决实际生活
已知矩形菜地的一面靠墙(墙的最大可用长度
中的最值问题
为20 m)，其余用长为39 m的篱笆围成，菜地
1. [2026新疆农业大学附中期末]
若某飞机落地时，飞
靠前的边上预留了一个宽为1m 的小门(小门
机在地面的滑行距离s(米)与滑行时间t(秒)
不用篱笆).
的关系近似满足：
，则该飞机从落
(1 ) 设菜地的边AB 为 x m, 则AD =     m.
地到停止，在地面滑行的时间为
秒.
(用含x的代数式表示)
2. [2026襄阳襄州区二模]如图,在 y/m
( 2 )当x为何值时，围成的菜地面积最大?
一次高尔夫球训练中，小明
打出的球的飞行路线是抛物
线的一部分，若不考虑空气
0 ⁻
x/m
阻力，球的飞行高度y(m)与飞行距离x(m)之
B
间的关系式为
则球能达到的
最大高度为 m.
二次函数与面积最值问题
3. 如图是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，根据
需要将它的长缩短 xm，宽增加xm，要想使重
7. 如图, 在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12 cm,
修后的花园面积达到最大，则x应为
(
)
点 P 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 以1 cm/s 的
A.1
B.1.5
C.2
D.4
速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C
以2cm/s的速度运动，当其中一点运动至终点
时，另一点也随之停止运动.设运动 ts后，五
边形APQCD 的面积为S cm², 写出S 与t 之间
的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围.
第3 题图
第4 题图
t为何值时，S最小?最小值是多少?
4.
[2026江西科技学院附中期中]现有6m
长的铝合金门窗材料，做成“日”字形窗框(不
考虑材料加工时的损耗)，如图所示，则做成的
窗框的最大采光面积是 m ².( 忽略窗框本
A→P
身的宽度)
5.
[2025 天津模拟]如
图，某公司准备在三角形绿地
ABC 上建造一个矩形的休闲
书吧 CEDF, 其中∠C =90 ° ,
C
E
A
∠A=30 ° ,BC=6m, 点D,E,F 分别在边AB,
AC,BC 上.当休闲书吧 CEDF 的面积最大时,
CF 的长为 m.
二次函数
第二十六章
8. [2026 天津南开区期末]如图,
在△ABC 中,∠B = 90°,
AB=12 mm,BC =24 mm.
动点 P 从点 A 出发，以
2mm /s 的速度沿边 AB
Q
向终点 B 运动；动点 Q 从点 B 同时出发，以
11. [2025 佛山禅城区期甲节选]呆校儿牛致学生仕奴
4m m/s 的速度沿边 BC 向终点C 运动. 设出发
的时间为 t s.给出下列结论：①当t =2时，
学活动课上进行了项目式学习研究，某小组
AP=CQ; ②当1 ≤t≤5 时, △BPQ 的最大面积
研究如下：
为36 mm²;③t有两个不同的值满足△BPQ 的
【提出驱动性问题】如何设计纸盒?
面积为四边形 APQC 面积的
.其中，正确结
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了
论的个数是
(
)
实践活动，请你尝试帮助他们解决相关问题.
A.0
B.1
C.2
D.3
9.
[2026 合肥瑶海区期末]某校物理兴趣
利用一个边长为40 cm的
小组对一款用电器的工作电路展开研究，将变
阻器 R 的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻
素材1 正方形硬纸板可以设计成
器 R 消耗的电功率 P 随电流I变化关系的图
如图1 所示的无盖纸盒.
象，如图所示，该图象是经过原点的一条抛物
图1
线的一部分，则变阻器消耗的电功率 P的最大
如图2，在正方形硬纸板
值为  W.
的四角处，各剪掉一个大
素材2 小相同的小正方形，将剩
余部分折成一个无盖
图2
纸盒.
220V
O
I/A
设折成的无盖纸盒的侧面积为Scm²，剪掉的
10.
[2025 温州龙湾区六校联考期中]如
小正方形的边长为 a cm.
图, 在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4, 点E,F,
G,H 分别在边 AB,BC,CD,DA 上, 且DG=
(1 ) 求S 与a之间的函数解析式.
BE,AH=CF =2BE, 设四边形 EFGH 的面积
( 2 ) 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大
为y,BE 为x.
(1 ) 求y 关于x 的函数解
值? 如果有，求出这个最大值和此时剪
析式及自变量x 的取
掉的小正方形的边长；如果没有，请说明
值范围；
理由.
( 2 ) 求y 的最小值.
F
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时2
二次函数与最大利润问题
课时检测
4. [2025达州中考改编]为弘扬达州地方文化，让更
多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文
二次函数的最值在销售问题中的应用
创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是每
1. [2026上海浦东新区期中]某种商品进价为每件20
件30 元，当售价为每件40 元时，每天可以售
元, 售价为每件x 元(20 ≤x≤30, x 为整数),
出60 件.经调查发现，每件的售价每降价1
销量为(30-x
)件，利润最大时售价为每件
元，每天可以多售出10 件.则当每件的售价定
元.
为
元时，每天的利润最大.
2. [2024济宁中考]某商场以每件80 元的价格购进
5. [2026湛江雷州期末]某商品的进价为每件35 元，
一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)
当售价为每件50 元时，每个月可以卖出210
与销售单价x(单位：元)之间是一次函数关
件.若每件商品的售价每上涨1 元，则每个月
系，其部分图象如图所示.
少卖7 件(每件售价不能高于70 元). 设每件
(1 )求这段时间内y与x之间的函数解析式.
商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的
( 2 )在这段时间内，若销售单价不低于100 元，
销售利润为y元.
且商场还要完成不少于220 件的销售任
务，当销售单价为多少时，商场获得的利
(1 ) 若上涨5 元，每个月可卖出
件，则每
润最大?最大利润是多少?
个月的销售利润为
元.
( 2 )求y与x之间的函数关系式并直接写出自
—
—
—
—
—
—
—
—
—
变量x的取值范围.
(3 )每件商品的售价定为多少元时，每个月可
获得最大利润?最大的月利润是多少元?
建立一次函数模型解决“母母型”
问题
3. [2026兰州十九中期末]兰州是全国有名的“瓜果
城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利
10 元，每天可售出50 斤.经市场调查发现，若
6. [2026宁波慈溪育才中学期中]某酒店有
150 间标准
每斤降价1 元，每天可多售出10 斤.设每斤降
价x元，每天盈利y元，则y与x之间的函数关
房，当标准房价格为每间120 元时，每天都满
系式为
(
)
客.市场调查表明标准房价格在每间120~170
A.
 
y=(10+x)(50-10x)
元范围内(含120 元，170元)浮动时，每提高
B.
 
y=(10-x)(50+10x)
10 元，日均入住数量减少8 间.如果不考虑其
C.
 
y=(10-x)(50-10x)
他因素，该酒店将标准房价格提高到每间
D.
 
y=(10+x)(50+10x)
元时，客房的日营业收入最大.
二次函数
第二十六章
7.
综合与实践
8. [2024新疆中考]某公司销售一批产品，经市场调
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15 元/ 盆
研发现，当销售量在0.4 吨至3.5 吨之间时，
的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售
销售额y₁(万元)与销售量x(吨)的函数解析
价，小莹帮妈妈调查了附近 A，B，C，D，E五家
式为
成本y₂(万元)与销售量x(吨)的
花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量
函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中
情况，记录如下：
是其顶点.
(1 )求出成本 y₂关于销售量x的函数解析式.
(2 )当成本最低时，销售产品所获利润是多少?
(3 )当销售量是多少吨时，可获得最大利润?
最大利润是多少?
数据整理
(注：利润=销售额-成本)
(1 )请将以上调查数据按照一定顺序重新整
理，填写在下表中.
售价/(元/盆)
日销售量/盆
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售
价间的关系.
拓展应用
(3 )根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉
的过程中，
①要想每天获得400 元的利润，应如何
定价?
②售价定为多少时，每天能够获得最大
利润?
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时3
生活中的抛物线形问题
课时检测
其他抛物线形问题
4.
如图1 为一汽车停车棚，其棚顶的横
截面可以看作是抛物线的一部分.棚顶的竖直
桥梁( 隧道) 问题
高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO 的水
1. [2026东北师大附中期中]某抛物线形的拱桥的示
平距离x(单位：m)近似满足函数关系 y =
意图如图所示，已知该抛物线的解析式为 y =
，其图象如图2 所示，点
B(6,2.68
)在图象上.若一辆货车需在停车棚
为了给行人提供安全保障，在该
下避雨,货车截面可看作长CD=4m ,高 DE =
拱桥上距水面AB 高为7 米的点 E，F处悬挂
1.8m
的矩形，则可判定该货车
完全停到
了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离
车棚内.(填“能”或“不能”)
EF 为
米.
图1
图2
5. [2026合肥蜀山区期中]一次足球训练中，小明从
球门正前方8 m的A 处射门，球射向球门的路
课
内
提
分
区
第1 题图
第2 题图
线是抛物线的一部分.当球飞行的水平距离为
2.
[2025赣州三中月考]如图是抛物线
6m 时，球达到最高点，此时球离地面3 m.已
形拱桥，当拱顶离水面2 米时，水面宽6 米.当
知球门高OB 为2.44 m,现以O 为原点建立如
图所示的平面直角坐标系.
水面下降一米时，水面宽8 米.
(1 )求抛物线的解析式，并通过计算判断球能
3. [2026芜湖期中]如图是隧道截面图，
否射进球门(忽略其他因素).
( 2 )对本次训练进行分析，若射门路线的形
其轮廓可近似看作是抛物线的一部
状、最大高度均保持不变，则当时他应该
分.若隧道底部宽12 米，高8 米，按类题讲解
带球向正后方移动多少米射门，才能让足
照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
球经过点O 正上方2.25 m处?
(1 )求抛物线的函数解析式.
(2 )该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部
在竖直方向上与隧道的空隙不少于
0.5 米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需
8
沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 米
( 中心线宽度不计). 若宽3 米，高3.5 米
的两辆车并排行驶，能否安全通过?请说
明理由.
O
12
x
二次函数
第二十六章
d( 单位:m).
(1) 若h=1.5m,EF=0.5m.
6.[2026杭州文晖实验学校期中]某游乐园要建造一个
①求上边缘抛物线的解析式，并求喷出水
直径为30 m的圆形喷水池，计划在周边安装
的最大射程OC;
一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心6m处达
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点 B
到最高，高度为9 m(示意图如下)，以水平方
的坐标；
向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到
标系.若要在喷水池中心设计一个装饰物A，
整个绿化带，求d的取值范围.
使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物
(2) 若EF=
1m，要使灌溉车行驶时喷出的水能
设计的高度应为 m.
浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值.
y/m
Ol
7.
[2024江西中考]如图，一小球从斜坡O
图1
图2
点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二
解.(1) ①中题音但 A1??\ 旦上边缘地物线
次函数
刻画，斜坡可以用一
次函数
刻画，小球飞行的水平距离
x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如
下表.
x
0
1
2
m
4
5
6
7
7
7
y
0
6
8
n
2
2
(1) ①m=
,n=
;
②小球的落点是A，求点A的坐标.
( 2 ) 小球飞行高度y( 米) 与飞行时间t( 秒) 满
足关系
①小球飞行的最大高度为
米；
②求v的值.
x/米
8.
如图1，灌溉车在为绿化
带浇水.喷水口 H 离地面的竖直高
度为h(单位：m). 如图2，可以把灌
溉车喷出水的上、下边缘抽象为平
视频解题
面直角坐标系xOy 中两条抛物线的部分图象，
把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽
度DE =3m，竖直高度为EF的长.下边缘抛物
线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘
抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m ,
高出喷水口0.5m ,灌溉车到绿化带的距离 OD 为
题?
举例说明如何分析、解决这样的问题.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
数学活动
拍批+错题本
所示.
刹车时车速v/(km/h) 0
5
10
15 20 25 30
哪个积最大
刹车距离s/m
0 0.1 0.3 0.6
1 1.5 2.1
1. [2025江门鹤山期中]活动①：下列两个两位数相
分析数据并完成下列任务：
乘的运算中(两个乘数的十位上的数都是9，
任务一：以刹车时车速v为横坐标，刹车距离s
个位上的数的和等于10)，猜想其中哪个积最
为纵坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描
大，并说明理由.
出对应的点，并选用一条适当的曲线近似表示
91×99,92×98,93×97,…,97×93,98×92,
这7组数据中刹车距离与刹车时车速之间的
99×91.
变化趋势；
解题思路：95×95的积最大.理由如下：
设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的
数为x，则另一个乘数个位上的数为(10-x)，
根据题意, 得y=(90+x)[90 +(10-x)]
=
(90 +x)(
100 - x) =
.
(x=1,2,3,…,9)
v/(km/h)
∵
,∴
当
x=
时,y 有最大值,
任务二：根据所画曲线，求出刹车距离与刹车
∴95×95
的值最大.
时车速之间的函数解析式，并根据这个解析式
活动②：下列两个三位数相乘的运算中(两个
估计刹车时车速为60 km/h时的刹车距离；
乘数的百位上的数都是7，后两位上的数组成
任务三：一辆该型号的汽车在高速公路上发生
的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大，并
交通事故，现场测得刹车距离约为40 m，已知
说明理由.
这条高速公路限速100 km/h，请根据你确定
701×799,702×798,703×797,…,797×703,
的函数解析式，通过计算判断在事故发生时，
798×702,799×701.
(1 )对于活动①，请在横线上补全“解题思
该汽车是否超速行驶；
路”;
任务四：在司机踩下刹车前通常有一段反应时
(2)对于活动②，请你参照上述方法，提出猜
间，若某车以72 km/h的速度匀速行驶在公路
想，并尝试用建立二次函数模型的方法证
上，在距离该辆汽车30 m处的斑马线上有行
明你的猜想.
人通过，那么司机要想在斑马线前将车停下，他
的反应时间最多是多少? (1m /s=3.6km/h,
结果精确到0.1 s)
刹车距离与刹车时车速的关系
2. [2026运城期末]汽车在行驶中，由于惯性，刹车
后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们
称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析
事故的一个重要因素.为了测定某种型号汽车
的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种
汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如表
二次函数
第二十六章
易错疑难集训
拍批+错题本
忽略隐含条件
6. 若关于x 的函数
忽略二次项系数的限制条件
m+1的图象与x轴有交点，求m的取值范围.
当m+6≠0 时,
1. 若
是关于x 的二次函
数，则m的值是
(
)
+1的图象与x轴有交点，
A.4
B.2
C. - 2
D. -2
或2
2. 已知二次函数
的图象
经过原点，则m的值为
.
若二次函数
!(a,b 为
常数)的图象如图所示，则a的值为
.
7. 已知抛物线
与x轴交于A，B两点，且点A，B关于y轴对
称，求此抛物线的解析式.
忽略二次函数增减性的范围
3. [2026长沙一中教育集团期中]已知抛物线
bx-3(a<0)
过
/A(-2,y
₁),B(
- 3,y ₂),C(1,
y₂),D(2,y
₃ ) 四点, 则y₁,y₂,y₃ 的大小关系是
(
)
错误使用抛物线的平移规律
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线
先
向左平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位
长度，得到的抛物线的解析式是
(
)
把抛物线
先向右平移3
个单位长度，再向下平移2 个单位长度，得到
抛物线
,
则
a+b+c=
.
5. [2026北京首师大附属育新学校月考]将抛物线 C₁：
向左平移2 个单位长度，得到抛
物线C₂，抛物线 C₂ 与抛物线 C₃ 关于 x 轴对
称，则抛物线C₃ 的解析式为
(
)
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
章末复习专练
拍批+错题本
过全章
全章体系构建
答案P35
1. 如图，二次函数
(7 )在第四象限的抛物线上有一点 F，求四边
bx+c 的图象与x 轴交于
形ABFC的面积的最大值及此时点 F 的
点A,B(3,0), 与y 轴交
坐标.
于点C(0,-3), 顶点为
M,作直线 BC.
【基础设问】
(1 )求该二次函数的解析
式，并写出该函数图象的对称轴和顶点
坐标.
(2 ) 当x  时，y 随x 的增大而增大.
(3 )结合图象，直接写出关于x的不等式
综
合
提
分
区
bx+c >0 的解集:
.
(4 ) 当0≤x≤4 时,函数值y 的取值范围
是
.
【能力设问】
(5 )若点 E 是对称轴上一动点，当△EAC 的
周长最小时，求点E 的坐标.
【拓展设问】
(8 )连接AC,若点 P 为直线 BC 下方抛物线
上一动点，过点 P 作AC的平行线l，交线
段 BC 于点 N.在直线l上是否存在点 Q，
使得以点A，C，N，Q为顶点的四边形为
菱形?若存在，求出点Q 的坐标；若不存
在，请说明理由.
直线BC 的解析式为y=x=3.
(6) 将直线BC 向下平移m(m>0) 个单位长
度，平移后的直线与抛物线有且仅有一
个公共点，求m 的值.
二次函数
第二十六章
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
5.
[2025淮安中考]若
则
2x+y 的最大值是
.
1. [2025陕西中考]在平面直角坐标系中，二次函数
6. [2025长春中考改编]在平面直角坐标系中，点O
的图象与x轴有两
为坐标原点，抛物线
经过点( -1,
个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则
3)，点A，B是该抛物线上的两点，横坐标分别
下列关于该函数的结论正确的是
(
)
为
m,m+1.
A. 图象的开口向下
(1 )求该抛物线所对应的函数解析式；
B. 当x>0 时，y随x的增大而增大
(2)当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称
C. 函数的最小值小于-3
时，求m的值；
D. 当x=2 时,y<0
(3 )设抛物线在A，B两点之间的部分(含A，B
2.
[2025福建中考]已知点A( 2,y
₁),
两点) 为图象 G, 当0<m<1 时, 若图象 G
B(1,y ₂)在抛物线
上, 若3<
的最高点与最低点的纵坐标之差为
，求
b<4，则下列判断正确的是
(
)
m的值.
3.
[2025山东中考]在水分、养料等条
综
合
提
分
区
件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/
天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关
系.在低光照强度范围(200 ≤x<1
000 )内,
y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度
范围(x≥1 000 )内，y与x近似成二次函数关
系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论
正确的是
(
)
A. 当x≥1 000 时,y随x的增大而减小
B. 当x=2000
时,y取最大值
C. 当y≥0.6 时,x≥1000
D. 当y=0.4
时,x=600
4. [2025 广安中考]如图,二次
函数
(a,b,c
为
常数，a≠0)的图象交x轴于
A,B 两点, 点 A 的坐标是
( 1,0),点 B 的坐标是(n,
0), 有下列结论: ①abc<0; ②4a +c>2b; ③关
于x 的方程
的解是
x₂ =n;
其中正确的有
(
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
⑩0 综合与实践
二次函数
第二十六章
27.1
反比例函数的概念
课时检测
拍批+错题本
用反比例函数描述变量之间的关系
6. [2026濮阳清丰县实验初级中学月考]某玩具厂计划
反比例函数的概念
生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本
1. [2026日照献唐学校月考]在下列函数的解析式中，
为y元，若该厂生产x只(x取正整数)玩具熊
猫的总成本为5 000 元，则y关于x 的函数解
x均表示自变量：①y=πx; ②y=-x; ③y=
析式为
(
)
3x⁻¹; ④xy=-1; ⑤y=x
; ⑥y=
-3, 其中
y是x的反比例函数的有
(
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
7. [2026阜阳临泉期中]已知菱形的面积为5，菱形
2. 已知反比例函数
比例系数k=
，
的两条对角线的长分别为x，y，则y关于x的
自变量x的取值范围是
；当x=
时，
解析式是
(
)
y= - 2.
3. 已知
(1 ) 当m=
时,y是x的正比例函数;
(2) 当m=
时,y是x的二次函数;
8. 一个水池中原有水500 升，若以20 升/分的速
(3 ) 当m=
时,y是x的反比例函数.
度往水池中注水，35分钟可以注满.
反比例函数解析式的确定
(1 )水池的容积是多少?
4. 已知y 与x 成反比例, 且当x=-1 时,y=2, 则
(2)若打开出水管每分钟出水 Q 升，共t分钟
y关于x的函数解析式为
(
)
把水池中的水排空，写出 Q 与 t 之间的函
B. y=
数解析式.
(3 )若打开出水管后计划60 分钟将水池中的
5.
已知y 与x-1 成反比例，当x=5
水排空，则出水速度是多少?
时,y= -3.
(1 )写出y关于x的函数解析式；
(2) 当x=-3 时, 求y 的值.
反比例函数
第二十七章
27.2
反比例函数的图象和性质
课时1
反比例函数的图象和性质
拍批+错题本
5. [2025 北京景山学校期中]已知反
比例函数
与
的图
反比例函数图象的画法
象如图所示，则k₁，k₂ 的大小
1.
画出反比例函数
的图象.
关系是 k₁    k₂.( 填“ >”“<”或“=”)
(1) 列表:
反比例函数的性质
x
1 1
2
3
4
4
6. [2025 云南师大附中期中]关于反比例函数
2
4
1
5.
(2)描点、连线(如图).
下列结论正确的是
(
)
A.图象位于第二、第四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D. 若图象经过点(a,3), 则
7. 在反比例函数
图象的每一支曲线
反比例函数的图象
上，y 都随x 的增大而增大，则k 的取值范围
是
.
2. 反比例函数
的图象大致是
(
)
8.
[2025成都八区联考]若点 A( 3,y
₁ ),
B(-1,y
₂)都在反比例函数
的图象上，则
y₁
 y₂. (填“ >”或“<”)
A
B
C
D
[2025秦皇岛海港区期末]
在反比例函数 y =
3. [2025重庆中考]反比例函数
的图象一
的图象上有两点A(x ₁,y₁ ),B(x₂,y
₂ ), 当x₁<
定经过的点是
(
)
A.(2,6)
B.(-4,-3)
时，有
，则k的取值范围是
(
)
C.(-3,-4)
D.(6,-2)
A. k<0
B. k>0
4.
[2026 沧州运河区期末]反比例函
C. k<4
D. k>4
数
的图象如图所示，写出一个满足条
9. [2024北京中考]在平面直角坐标系xOy中，若函
件的m的整数值：
.
数
的图象经过点(3,y₁) 和( -3,
y₂),则.
的值是
.
10. 已知反比例函数
若x≥2，则y的取值
范围为
; 若-3≤x≤-1, 则y 的最
大值为
.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于
点 A 的三个格点，再画出反比例函数的
11. [2025河北中考]在反比例函数
中, 若2<
图象；
y<4,
则
(
)
(3)将矩形ABCD 向左平移，当点 E落在这个
B.1<x<2
反比例函数的图象上时，平移的距离
为
.
C.2<x<4
D.4<x<8
12. [2025 内蒙古中考]已知点A(m,y ₁),B(m+1,
y₂)都在反比例函数
的图象上，则下
列结论一定正确的是
(
)
)
C. 当m<0 时,
D. 当m<-1 时,
13. [2025承德期末]如图，在边长为1 的正方形网
格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在格
线上，其中反比例函数
的
图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点
上，则k的值为
(
,
)
A.2
B.4
C.6
D.8
17.
[2024福建中考]如图，在平面直角坐
14. [2025武威模拟]已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y
₂ ) 都
标系xOy中，反比例函数
的图象与⊙O
在反比例函数
的图象上，若
交于A，B两点，且点 A，B都在第一象限.若
则y₁y₂ 的值为
.
A(1,2), 则点B 的坐标为
.
15. 已知点A( -1,y
₁),B(2,y
₂),C(3,y
₃ )均在反
比例函数
的图象上, 若 y₁ >y₂, 则
y₂    y₃.(
填
“>”“<”
或
“=”)
16. [2024河南中考]如图,矩形ABCD 的四个顶点
都在格点(网格线的交点)上，对角线AC，BD
【回顾与思考】与正比例函数、一次函数、二次函数的图
相交于点 E，反比例函数
的图象
象相比，反比例函数的图象特殊在哪里?
经过点 A.
反比例函数
第二十七章
课时2
反比例函数的图象和性质的应用
课时检测
反比例函数与一次函数的综合
4.[2026太和一中月考]如图，已知直
反比例函数系数k的几何意义
线y=2x 与
(k 为大于零
1. [2025杭州西湖区期末]如图，点A 在反比例函数
的常数，且x>0)的图象交于点
的图象上，AM⊥y轴于点 M，若
A, 若
则k 的值为
△AOM的面积为4，则k的值为
(
)
(
)
A. - 8
B. - 4
C.4
D.8
A.5
B.3
C.2
D.
5.
[2025泉州实验中学期中]在同
一平面直角坐标系中, 函数 y = kx +1 与y=
(k 为常数且k≠0) 的图象大致是(
)
第1 题图
第2 题图
2. [2026福州杨桥中学月考]如图，矩形OABC 与反比
的图象交于点B，与反比
A
B
C
D
例函数
6. [2025东营中考]如图，在平面直角坐标系中，一
例函数
的图象交于点 D，连接
次函数
的图象与反比例函数
OD,则四边形 ODBC 的面积为
.
的图象相交于点A 和B(4,3), 点A 的横
3. [2026郑州二七区期末]如图，在平面直角坐标系
坐标为2.
中，面积为9 的正方形OABC的顶点 A，C分别
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当
时，x的取值
在x轴、y轴上，点B在反比例函数
范围；
0)的图象上，点P 在点 B 右侧反比例函数的
(3) 点 C 为 x 轴上一动点, 连接 AC,BC, 若
图象上，过点 P 分别作x轴、y轴的垂线，垂足
△ABC 的面积为18,求点C的坐标.
分别为D,E,PE 交AB 于点 F.
(1 )求点 B 的坐标和k的值；
( 2 ) 当四边形ADPF 的面积为3 时,求点 P 的
坐标.
A
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
7. 如图，A，B两点在反比例函数
的
11.
在平面直角坐标系中，反比例函数
图象上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段.
的图象经过点A(1,4).
若
则
(
)
A.1
B.2
C.4
D.6
(1 )求m的值.
( 2 )横、纵坐标都是整数的点叫作整点.记直
线l:y= kx-k+4 与函数
x>0) 的图象所围成的区域( 不含边界)
为W. 点B(n,1)(n≥4,n 为整数) 在直
第7 题图
第8 题图
线l上.
8.
[2026铁岭昌图期中]如图，反比例函数y =
①当n=5
时,求 k 的值,并写出区域 W
的图象经过平行四边形 ABCO 的顶
内的整点个数；
②当区域 W 内恰有5 个整点时，直接写
点 A,OC
 在 x 轴上, 若点 B ( −1,4),
出n和k的值.
S平行四边形ABCO =4,则实数k的值为
.
9. 如图，平行四边形OABC 的
顶点O，B在y轴上，顶点 A
在
的图象上，
顶点 C 在
的图
备用图
象上，则平行四边形OABC 的面积是
.
10. [2026 北京平谷区期末]在平面直角坐标系 xOy
中, 直线y=2x+1 与双曲线
0) 的交点是A(a,3).
(1 ) 求a 和k 的值;
(2) 当x>3 时,对于x的每个值,函数y=m(x-
1)(m≠0) 既大于函数
的值，又小于函数y=2x+1的值，直接写
出m的取值范围.
反比例函数
第二十七章
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
专项1
反比例函数中k的几何意义
拍批+错题本
双反比例函数中k 的几何意义的
应用
同一象限内k的几何意义的应用
1. [2026西安期末]如图，A 是反比例函数
0)的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足
为B,C 为 y 轴上的一点, 连接 AC,BC, 则
△ABC 的面积为
.
4. [2025 连云港海州区期末]
如图，反比例函数
0),
的图象分别经过正方形
第1 题图
第2 题图
DEOF 、正方形 ACOB 的顶点 D,A, 连接EF,
2. [2025宁波鄞州区期末]如图，反比例函数
的
AE,AF, 则△AEF 的面积可表示为
(
A
)
图象经过▱ABCD 的对角线的交点P，已知点
B.
A,C,D 在坐标轴上,BD⊥DC, □ABCD 的面积
为8，则k的值为
.
两个象限内k的几何意义的应用
第4 题图
第5 题图
3. 若图中反比例函数的解析式均为
则阴
5. [2025 西宁虎台中学期中]如图，两个反比例函数
影部分面积为4的有
(D
)
和
在第一象限内的图象依次是 C₁
和 C₂, 设点 P 在 C₁ 上,PC⊥x 轴于点 C, 交C₂
于点 A,PD⊥y 轴于点 D, 交C₂ 于点 B, 则四边
形PAOB 的面积为
.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
反比例函数
第二十七章
专项2
反比例函数与一次函数的综合应用
拍批+错题本
(2) 当△ABC 的面积为3 时, 求m 的值.
图象共存问题
5. [2026葫芦岛期末]
1. [2025上海闵行区期末   已]知反比例函数
如图，在平面直角坐标系中，
0)，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么
正比例函数
与反比例函数
它和函数y=kx(k≠0)在同一平面直角坐标系
内的大致图象是
(
)
0) 的图象交于点A(3,m),B, 过点A 作AC∥y
轴,交x轴于点 C,连接BC.
(1)求反比例函数的解析式及点 B的坐标；
(2) 若点 D 在该反比例函数的图象上，当
时，求点D 的坐标.
A
B
C
D
2.
函数y=  ax +a 与
在
同一平面直角坐标系中的图象可能是(
)
y
A
B
C
D
交点问题
3. [2026安康期末]反比例函数
与
一次函数y= -2x+1
的图象交于点A(m,n),
则
的值是
(
)
B.
C.2
D. - 4
4. [2025武威中考]如图, 一次函数y=x+4 的图象
交x轴于点A，交反比例函数
0)的图象于点 B( -1,a). 将一次函数y=x+
4的图象向下平移m(m>0)个单位长度，所得
的图象交x轴于点 C.
(1)求反比例函数
的解析式；
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
专项3
反比例函数与几何图形的综合应用
拍批+错题本
反比例函数与四边形的综合
4.[2026厦门一中月考]如图，在
反比例函数与三角形的综合
平面直角坐标系中，菱形
OBCD 的边OB 在x轴正半
1.
如图，△ABC 的顶点 A 是反比例函
B
轴上，反比例函数
数
的图象上的动点，AC∥y轴交
0)的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边
反比例函数
的图象于点 C，顶点
BC 交于点 F.若点 D 的坐标为(3,4),则点 F
B 在y 轴上，下列说法正确的是
(
)
的坐标是
.
A.△ABC的周长存在最大值
5. 如图,正方形ABCD 的顶点A,B 在x轴上,点
B.△ABC的面积存在最小值
D( -2,8), 正方形ABCD 的中心为点M. 点E,
C.△ABC的周长始终不变
F,G,H 分别在AD,AB,BC,CD 边上, 且四边形
D.△ABC的面积始终不变
EFGH 是正方形.已知反比例函数
拓
展
提
分
区
0)的图象经过点 M,H.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点 G 的坐标.
第1题图
第2题图
2. [2026深圳南山区期末]如图，点 A，B 在反比例函
数
的图象上，点C 在反比例函数
的图象上. 若 AC∥y 轴,BC∥x
轴, 且AC=BC, 则AB 的长为
(
)
A.
C.4
D.3
3. [2025深圳石厦学校月考]如图，点 A，B 在反比例
函数
的图象上(点A 在点 B
的右侧)，过点 A，B分别作x轴和y轴的平行
线相交于点 C,图中△ABC,△BCO,△ACO 的
面积分别记为 S₁,S₂,S
₃. 若
则
k的值为
.
O
反比例函数
第二十七章
27.3
实际问题与反比例函数
课时1
反比例函数在现实生活中的应用
拍批+错题本
5. [2025丽水莲都区期末]某校组织春季研学活动，
已知学校与目的地相距5600 米.九年级学生
从学校出发，以v米/分的平均速度步行前往
反比例函数在现实生活中的应用
目的地，记步行时间为t分钟.
(1)求v关于t的函数解析式.
1. 如图，市煤气公司计划在地下修建一
(2)按照学校的安排，在14：00开始沿原路返
个容积为10⁴ m³ 的圆柱形煤气储存
回学校,规定在15:20 之前( 含15:20 ) 回
室，则储存室的底面积S(m ²) 与其深
到学校，那么九年级学生步行的平均速度
度d(m)的函数图象大致是
(
)
至少为多少?
OT
d/m
d/m
d/m
A
B
C
D
2.
[2026 沈阳皇姑区期末]某电子商城推
出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价
为1.2
万元，前期付款4000 元，后期每个月分
别付相同的数额，则每个月的付款数额 y(元)
与付款月数x(x取正整数)之间的函数解析式
为
(
)
6.1
新个」贴图，工元土志女币托批批
动一块大石头，已知阻力为1 600 N,阻力臂长为
D. y=8 000x
0.5m .设动力为y( 单位:N), 动力臂长为x( 单
位：m).(杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻
3. [2026西安雁塔区期中]某气球内充满了一定质量
力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计)
的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
(1 )求y关于x的函数解析式.
p(kPa) 和气体的体积V(m³) 存在一定的函数
(2 )当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要
多大的力?
关系.下表是几组气体的气压p和气体的体积
(3) 王先生若想使动力不超过310 N,在动力
V的对应值，则当气体的体积V为0.8m ³ 时，
臂最大为2.5m
的条件下，他能否撬动这
气体的气压p最接近
(
)
块石头?请说明理由.
气体的体积V/m³
3
2
1
0.5
气体的气压p/kPa
32
48
96 192
A.120 kPa B.100 kPa C.96 kPa
D.90 kPa
4.
如图，一块砖的A，B，C三个面
的面积之比是5：3：1.如果A，B，C三个面分别
向下在地上，地面所受的压强分别为P₁，P₂，
P₃，压强的计算公式为
其中p是压强，F
是压力，S是受力面积，那么P₁，P₂，P₃的大小
关系为
.(用“<”连接)
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时2
利用反比例函数的图象解决实际问题
课时检测
利用反比例函数的图象解决实际问题
1. [2025湖北中考]已知蓄电池的电压为定值，使用
图1
图2
蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：
A.空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，R₁ 的
Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当
阻值逐渐增大
电阻R 大于9 Ω时，电流I可能是
(
)
B. 当
时，甲醛检测仪会报警
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
C. 当
时,R₁ 的阻值为25 Ω
D.当房间内甲醛质量浓度低于0.1m g/m³ 时,
R₁ 的阻值高于200 Ω
5. [2025深圳模拟]光照强度是指单位面积上所接
受可见光的光通量，简称照度(Lux).智能玻
璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到
第1 题图
第2 题图
合适的照度.学习小组通过查阅资料，发现照
度y(Lux) 是透明度x(%) 的反比例函数，其
2. 在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时
图象如图所示.
间的比叫作功率，即所做的功一定时，功率P(W)
(1 )求y与x之间的函数解析式.
与做功所用的时间t(s)成反比例函数关系，图
( 2 )君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温
象如图所示，当t=50s时，P为
(
)
和有礼等寓意.它适宜在照度1 000 Lux 至
A.750 W B.800 W
C.1 200 W D.2 000 W
3 000 Lux的室内生长，那么智能玻璃的透
明度 x 应控制在什么范围内? 请说明
3. [2026晋中太谷区期末]验光师通过检测发现近视
理由.
眼镜的度数y( 度) 与镜片焦距x( 米) 成反比
例，y关于x的函数图象如图所示，经过一段时间
的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.2 米调整到
0.25 米，则近视眼镜的度数减少了
(
)
10 20 30 40 50 60 x/%
A.500 度
B.400 度
C.125 度
D.100 度
4. [2026许昌期末]已知甲醛检测仪的核心部件为
如图1 所示的气体传感器，R₁ 的阻值随空气
中甲醛质量浓度c的变化而变化(如图2 ). 当
甲醛质量浓度
时，甲醛检测仪
会报警，则下列说法错误的是
(
)
反比例函数
第二十七章
6. [2026大同七中月考]单板滑雪(Snowboard) 是一
项以一块滑雪板为工具，在规定的山坡线路上
快速回转滑降，在空中完成各种高难度动作的
雪上竞技项目，依据对甲、乙、丙三名滑雪爱好
者测试所得数据，在给定的坐标系中分别绘制
出滑雪板的压强p(Pa)与受力面积S(m ²)的相
应图象，根据图象及物理知识
可判断出
甲、乙、丙三名滑雪爱好者滑雪板压力的大小
关系为
一
厅
9.
S/m²
对学校教室进行消毒处理，已知某次消毒过程
O
中，消毒水的消毒效果随着时间变化如图所
7.
[2026唐山玉田期末]如图1，区间测速是
示，消毒效果y(单位：效力)与时间x(单位：
指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的
分)呈现三段函数图象，其中AB 段是渐消毒
路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发
阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函
现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某
一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度
数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中
v(km/h) 与行驶时间t(h) 是反比例函数关系
信息解答下列问题：
( 如图2 )，已知高速公路上行驶的小型载客汽
(1 )求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间
车最高车速不得超过120 km/h，最低车速不
的函数解析式.
得低于90 km/h，小聪的爸爸按照此规定通过
( 2 )若消毒效果持续28 分钟达到4 效力及以
该限速区间AB段的时间可能是
(
)
上，即可产生消毒作用，请问，本次消毒是
否有效?
图1
图2
A.10 min
B.11 min
C.15 min
D.18 min
8. 将某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图
放在平面直角坐标系中(如图所示)，其中 OD
x/分
为水面，滑梯BC段可看成是反比例函数图象
的一部分，矩形AOEB 为向上攀爬的梯子，梯
子高OA 为6 米，宽AB为1 米，出口C点到BE
的距离CF 为4 米.
(1 )求BC 段所在反比例函数的解析式，并写
出自变量的取值范围；
(2 ) 求点C 到x 轴的距离(CD 的长);
(3 )若滑梯 BC上有一个小球Q，Q距水面OD
的高度不高于3 米，求Q 到 BE 的距离的
取值范围.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时3
建立函数模型解决实际问题
建立函数模型解决实际问题
1. [2026池州贵池区期末]小影发现家里智能冰箱内
的温度刚好为-2℃时，制冷启动，当温度降
低到设定温度-18℃时，制冷停止，然后温度
逐渐上升，当温度上升到-2℃时，制冷又启
动，开始下一个周期的运行.她想知道按此规
律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的
关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度.于是，
小影记录了不超过一个运行周期的部分温度
y(单位：℃)及对应时间x(单位：min)的数据
如表所示：
x/ min 0
2
3
4
6
8
9
12
18 24
y/℃
-2 -10 -14 -18 -12 -9
-8
-6
-4
-3
然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标
建立平面直角坐标系，如图所示，在平面直角
2
坐标系中描出以表中的数对为坐标的点.请完
新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场
成下列问题：
以不同速度x(km/h)匀速行驶时，车辆可行驶
(1 )用平滑的曲线从左往右将这些点依次连
的时间y(h)会发生变化.大量测试后得到下
接起来；
表(不完整)：
x/(km/h)
…
40
50
60
y/h
15
12
10
(1 )变量x，y之间的关系恰好满足某一函数模
型.请先判断函数类型(说明理由)再求其
解析式.
( 2 )一辆充满电的车辆，先以60 km/h 的速度
在测试场行驶了2 h，再以x km/h速度行
驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的
时间不少于4 h，则x的最大值是多少?
(2 )结合表格中的数据，观察(1)中作出的图
象，求第一个周期内 y 关于 x 的函数解
析式；
(3 )当冰箱内的温度刚好达到-18 ℃时，继续
运行120 分钟，求此时冰箱内的温度.
【回顾与思考】请举出现实生活中几个运用反比例函数
性质的实例.
反比例函数
第二十七章
数学活动
拍批+错题本
密度计能测量的液体密度ρ的范围.
用矩形“画”双曲线
1. 已知矩形的面积为10，长为x，宽为y.
(1 )直接写出y与x的函数解析式(标注自变
量x的取值范围).
(2 ) 若A(1,y ₁),B(3,y
₂ )是该函数图象上的两
个点, 则y₁    y₂.
3. [2025温州期末]综合与实践：探索机器狗的速度
(3 ) 若A(x₁,y₁ ),B(x₂,y
₂ ) 是该函数图象上的
问题.
两个点，且.x₁ <x₂, 试说明：
素材1 ：图1 是某款机器狗，它的最快速度
v( 米/ 秒) 与总质量m( 千克)( 包括所载物体
的质量)的部分数据如表，在平面直角坐标系
中画出对应点，并用光滑曲线连起来(图2 ).
用简易密度计测量密度
图1
图2
2. [2026台州椒江区期末]浮力式密度计是测量液体
总质量 m/千克
60
80
90 100 120
密度的仪器(如图1)，通常是一个密封的玻璃
最快速度v/(米/秒)
6
4.5
4
3.6
3
管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体
素材2：机器狗自身质量为60 千克，实验室距
中，它会竖直漂浮.密度计上与液面平齐的刻
离试验点540 米，机器狗需从试验点出发，送
度为浸没深度h(单位：cm)，液体密度为ρ(单
12 千克设备到实验室，卸下设备后马上原路
位：g/cm³).小明在家里制作简易浮力式密度
返回.(装卸设备时间忽略不计)经探究发现
计( 如图2 )，经过测量与查阅资料得到浸没深
v是m的正比例函数、一次函数、反比例函数
度h与液体密度ρ的对应关系(如下表).
中的一种.
酒精植物油水
饱和盐水蜂蜜
任务1：判断v是 m 的哪种函数类型，并求出
浸没深度h/cm 17.5
15.6
14
12.2
10
该函数的解析式.
m
0.9
1
1.15
任务2：求机器狗所用的最短时间.
n
图1
图2
(1)m=
,n=
;
( 2 )如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没
深度为5cm ，最大浸没深度为20 cm，求该
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
易错疑难集训
拍批+错题本
遗漏符合条件的其他情形
5. [2026新乡延津期末]如图，在平面直角坐标系中，
忽视反比例函数
中k的限制条件
一次函数y=x+2
的图象与反比例函数
1. [2026榆林榆阳区期中]已知
是关
的图象分别交于M，N两点.根据图象信息，可
于x 的反比例函数，则n=
.
得关于x 的不等式
的解集为(
)
如果
是反比例函
A. x≥1
B. - 3 ≤x<0
或x ≥1
数，那么k的值为
.
C.x≤-3
D.x≤-3
或
-3≤x≤0
2. 如图，已知矩形OABC 的面积为
6，且反比例函数
的图象经过点 B，则k的值是
.
运用反比例函数的性质时不分象限
3.
若
点
A(x₁,-1),B(x₂,1),C(x₃,5)
拓
展
提
分
区
第5 题图
第6 题图
都在反比例函数
的图象上，则.x₁,x₂,x₃
6. 如图所示，A(1，n)是反比例函数
图象
的大小关系是
(
)
上的一点，AB⊥x轴于点 B，P 是反比例函数
图象上的一个动点，且S△ABP =2,则点
4. [2025福建师大附中期中]如图，它是反比例函数
(m 为常数，且m≠2 )图象的一支.
P 的坐标是
.
(1 )m 的取值范围为
；
判断函数图象时忽视自变量(或函
( 2 )画出图象另一支的示意图；
数值) 的取值范围
(3 ) 在这个函数图象上任取点M(x ₁,y₁ )和
7. 已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，
N(x ₂,y₂ ), 若
判断y₁ 和y₂ 的大小
电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例
关系，并说明理由.
函数关系
下列反映电流I 与电阻 R
之间函数关系的图象大致是
(
)
A
B
C
D
8. [2025德州中考]在平面直角坐标系中，函数 y =
的图象是
(
)
A
B
C
D
反比例函数
第二十七章
章末复习专练
拍批+错题本
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
1. [2025湖南中考]对于反比例函数
下列结
论正确的是
(
)
6. [2025内江中考]如图，在平面直角坐标系中，反
A. 点(2，2)在该函数的图象上
B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限
比例函数
的图象与一次函数
C. 当x<0
时，y随x的增大而增大
的图象相交于A(a,6),B( -6,1) 两点.
D. 当x>0
时，y随x的增大而减小
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
2. [2025 天津中考]若点 A( 3,y
₁ ),B(1,y
₂ ),
(2) 当x<0
时，请根据函数图象，直接写出关
C(3,y ₃)都在反比例函数
的图象上，
于x的不等式
的解集；
则.y₁,y₂,y₃
的大小关系是
(
)
(3)过直线AB 上的点 C 作 CD∥x轴,交反比例
函数的图象于点 D.若点 C 横坐标为-4，
3. [2025长春中考]在功 W(J)一定的条件下，功率
求△BOD 的面积.
P(W) 与做功时间t(s) 成反比例,P(W) 与
t(s) 之间的函数关系如图所示. 当25 ≤t≤40
时，P的值可以为
(
)
t/s
A.24
B.27
C.45
D.50
4.
[2024扬州中考]在平面直角坐标系中，函
数
的图象与坐标轴的交点个数是
(
)
A.0
B.1
C.2
D.4
5. [2025山西中考]如图，在平面直角坐标系中，直
线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例
函数
的图象交于点 C.已知点 A
的坐标为( −2,0), 点 C 的坐标为(1,6), 点 D
在反比例函数
的图象上，纵坐标
为2.
(1)求反比例函数的解析式，并直接写出点 B
的坐标；
(2) 连接BD,OD, 请直接写出四边形ABDO 的
面积.
28.1
图形的旋转
课时检测
拍批+错题本
课时1
旋转及其性质
5. [2024天津中考] 如图,在△ABC中,∠B =30°,将
△ABC绕点 C 顺时针旋转60° 得到△DEC, 点
旋转的相关概念
A,B 的对应点分别为点 D,E, 延长 BA 交 DE
1. [2026昆明期中]数学来源于生活，下列生活中的
于点 F，下列结论一定正确的是
(
)
运动属于旋转的是
(
)
A.地下水位逐年下降
B.传送带的移动
C.升国旗的过程
C
D. 风力发电机叶片的转动
A. ∠ACB=∠ACD
B. AC∥DE
2.
[2025烟台期末]
C. AB=EF
D. BF⊥CE
如图,将△ABC 绕点 O 按
6. [2025大庆中考]如图, 在△ABC 中,AB =BC=2,
逆时针方向旋转一定的角
∠CBA = 120°,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转
度得到△DEF，则旋转中
D
120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点
D, 点 E, 连接CE, 点 D 恰好落在线段 CE 上,
心和旋转角分别是
(
)
则CD 的长为
(
)
A. 点B,∠ABO
B. 点O, ∠AOB
C. 点B,∠BOE
D. 点O, ∠AOD
旋转的性质
B
A
3. [2026广州花都区期中]如图,将△ABC 绕点 C 逆
A.2
B.4
D.6
时针旋转一定的角度得到△A'B'C，此时点A
7. [2026新余四中期中]如图, 直线a∥b, △AOB 的
在边B'C 上. 若BC=5,A'C=3, 则AB' 的长为
边OB 在直线b 上,∠AOB=54 ° , 将△AOB 绕
(
)
点 O 顺时针旋转74 °得到△A₁OB₁, 边A₁O 交
A.2
B.3
C.4
D.5
直线a 于点C, 则∠1=
°.
第3 题图
第4 题图
4. [2026大连普兰店区期末]
如图,在△ABC 中,∠B =
第7 题图
第8 题图
50°,将△ABC绕点 A 逆时针旋转得到△ADE,
8. [2026重庆大足区期末]在如图所示的正方形网格
点 D恰好落在 BC 的延长线上，则旋转角的度
中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到
数为
(
)
△M₁N₁P ₁, 则旋转中心可能是点A,B,C,D 中
A.90 °
B.80 °
C.70 °
D.60 °
的点
.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
11. [2026北京清华附中月考]如
B
图, 在△ABC 中,AB=8,
9.
如图,在 Rt△ABC中,∠BAC =90°,
将△ABC绕点 B 按逆时
将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB'C', 使
针方向旋转30°后得到
点 C 的对应点 C'在BA的延长线上，连接CC'.
△A₁BC₁, 连接AA₁, 则阴
A₁
影部分的面积为
.
若
，则∠B的大小是
(
)
12. [2025福州屏东中学月考]如图,在 Rt△ABC 中,
A.64 °
B.67 °
C.77 °
D.87 °
∠ACB=90 ° ,AC =BC=
将△ABC 绕点 A
顺时针旋转α ° , 得到△AED, 连接CE, 交AB
于点 F.
(1) 当α=60 时, 求CE 的长;
(2)当B，D，E三点共线时，求此时旋转角的
度数.
第9题图
第10题图
10.
[2026深圳第二外国语学校月考]如图，在
△ABC 中,∠BAC =45 ° ,AB =3,AC =
将
△ABC 绕点 B 顺时针旋转α 得到△DBE, 此
时点 D 落在 AC 的延长线上,连接CE,则CE
B
C
的长为
(
)
A.
B.2
旋转第二十八章
课时2
旋转作图
课时检测
4. [2026厦门海沧区北附学校期中]
有害垃圾的图标如
图1 所示，在设计该图案时可以由图2 中的基
旋转作图
本图案以某点为旋转中心，顺时针旋转，依次
1. (1)如图1,△ABC 是等边三角形,D 是 BC 边
旋转若干次得到，则旋转角α的值可能是
上一点，请作出△ABD绕点 A 逆时针旋转
60°后得到的图形.
(
)
(2)如图2，请作出△DEF 绕点O顺时针旋转
45 °后得到的图形.
图1
图2
A.60 °
B.90 °
C.120 °
D.180 °
利用旋转设计图案
5. 如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得
图1
图2
到的有
(
)
2. [2026开封求实中学期中]如图，在正方形网格中，
每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF
的顶点均在格点上，请解答下列问题：
①
②
③
④
(1)画出平面直角坐标系，使△DEF 的顶点
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
D,E,F 的坐标分别为(4,-2),(1,-4),
(4,-4);
(2)画出△ABC 绕点 C 顺时针旋转90°得到的
△A₁B₁C(点A,B 的对应点分别为点 A₁,B₁);
6. [2026北京门头沟区期末]
如图，在平面直角坐标系
(3) 在(1) 的基础上将△DEF 绕某点逆时针旋
中, △ABC 三个顶点的坐标分别为A(1,1),
转180°后,其对应点分别为D₁( -4,-2),
B(4,1),C(2,3). 将△ABC 绕原点O 逆时针
E₁( -1,0),F
₁( -4,0), 则旋转中心的坐
标为
.
旋转90°得到△A₁B₁C₁, 其中点A,B,C 的对应
点分别为点 A₁,B₁,C₁.
旋转对称图形
3. [2025吉林中考]如图，风力发电
(1) 在图中画出旋转后的△A₁B₁C₁;
机的叶片在风的吹动下转动，
(2) 点 B₁ 的坐标为
,点 C₁ 的坐标
使风能转化为电能.图中的三
为
;
个叶片组成的图形绕着它的中
(3) 如果P(m,n) 为△ABC 边上一点, 那么点
心旋转角α后，能够与它本身重
合，则角α的大小可以为(
)
P 的对应点 P₁ 的坐标为
.
A.90 °
B.120 °
C.150 °
D.180 °
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
专项1
利用旋转进行相关计算
拍批+错题本
4. [2025深圳二模]如图,将矩形ABCD 绕点 A 顺时
针旋转使得 CD 的对应边 C'D'刚好经过点 B，
利用旋转的性质求角度
连接DD'. 若AB=5,AD=4, 则DD'=
.
1. [2026北京文汇中学月考] 如图, 在△ABC 中,
∠ACB=85 ° , 将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得
到△EDC,使点 B 的对应点 D 恰好落在边AB
上,AC,ED 交于点 F. 若∠BCD=α, 则∠EFC
的度数是
(
)
B'
利用旋转作辅助线
5. 如图, 在△ABC 中,AB =BC =3,∠ABC =30 ° ,
P 为△ABC 内一点, 连接PA,PB,PC, 则 PA+
PB+PC 的最小值为
(
)
第1 题图
第2 题图
2. [2025 无锡惠山区一模]如图,在△ABC 中,AB =
BC,∠ABC>60 ° , 将△ABC 绕点 C 逆时针旋转
60 ° 得到△A'B'C, 连接AB', 则∠CAB' 的度
数为
.
利用旋转的性质求线段长
第5 题图
第6 题图
6. [2026黑龙江龙东地区期中]如图,在△ABC 中,AB =
3.
[2025 天津中考] 如图, 在△ABC 中,∠ACB =
AC,∠BAC =90 ° ,P 为三角形内一点. PA =
90 °,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB'C',
点B,C 的对应点分别为点 B',C',B'C' 的延长
3
,PB=8,PC=10, 则∠APB 的度数为
.
线与边 BC 相交于点 D, 连接CC'. 若AC =4,
7. 如图，线段 AB 绕点 A 逆时针旋转
CD=3, 则线段CC' 的长为
(
)
120 °得到线段 AC,点 B 的对应点为
点 C, 在∠BAC 的内部有一点 P,
视频解题
PA=8,PB=4,PC=4
则线段 AB 的长
为
.
B D
A.
C.4
D.
B'
P
旋转
第二十八章
专项2
旋转中常见的几何模型
(3) 运用(1)(2) 解答中所积累的经验和知识，
完成该题: 如图3,∠CAE=90 ° ,AC=AE,
∠ABC=45
°
,AB=BC=
求 BE 的长.
手拉手全等模型
已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,AB =
已知AC,AD =AE,∠BAC=∠DAE=α, 将△ADE 绕
点A旋转一定角度后，连接BD，CE.
图3
图示
C
C
结论
①△ADB≌△AEC;②直线 BD,CE 相交所
成的角中有一个角为α.
见双等腰、共顶点、顶角相等、有旋转，连接
简记
“拉手线”利用全等求解.
如图1, 正方形 ABCD 的边
1. [2026深圳龙岗区十校联考]已知△ACB 和△ECD
AB 与正方形AEFG 的边AE(AB<AE) 在一条
都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90 ° .
直线上，正方形AEFG 以点 A 为旋转中心逆时
(1) 如图1, 若 D 为△ACB 内部一点, 请判断
针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正
AE 与 BD 的数量关系，并说明理由.
方形只有点 A 重合，其他顶点均不重合，连接
(2) 将△ECD 绕点 C 旋转到如图2 所示的位
BE,DG.
置, 点 D 在 AB 边上,AD =5,BD =12, 求
(1) 当正方形AEFG 旋转至如图2 所示的位置
DE 的长.
时，线段BE 和DG的关系是什么?
(2)如图3，当点 E 在 BC 的延长线上时，连接
FC, 则∠FCE 的度数为
.
图1
图2
图1
图2
图3
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
半角模型
角度2
120 °角夹60 °角
3. 在四边形 ABCD 中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB =
已知
①正方形ABCD;②∠EAF=45°.
BC,∠ABC=120 ° ,∠MBN=60 ° ,∠MBN 绕点
B顺时针旋转，它的两边分别交AD，DC(或它
G
构图: 旋转△ABE
们的延长线)于点E，F.
至△ADG的位置,
图示
使AB与AD重合.
B E
C
B E
C
结论
①△AEF≌△AGF; ②BE+DF=EF.
①在四边形 ABCD 中,∠BAD = 120° ,
图1
图2
已知
∠B=∠D=90 ° ,AB=AD; ②∠EAF=60 ° .
(1 ) 当∠MBN 绕点B 旋转到AE=CF 时( 如图1),
AE,CF,EF 之间的数量关系为
.
构图：旋转
G
△ABE至
( 2 )当点 E 在AD 上,点 F 在 DC 上,但 AE≠
△ADG的位
图示
置，使AB与
CF( 如图2 ) 时，(1 ) 中的结论是否成立?
AD重合.
请说明理由.
B
E
B E
(3 )当点 E 在 AD 的延长线上,点 F 在 DC 的
结论
①△AEF≌△AGF;②BE+DF=EF.
延长线上( 如图3 )时，(1) 中的结论是否
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— 角度1
90 °角夹45 °角
成立?若不成立，线段AE，CF，EF 之间又
有怎样的数量关系?
2. ( 1) 在正方形ABCD 中,E 是 CD 边
上一点.将△ADE绕点 A 顺时针
旋转90 °得到△ABF,如图1 所
视频解题
示，观察可知，与DE 相等的线段是
，与
∠AFB相等的角是
;
图3
( 2) 如图2, 在正方形ABCD 中,P,Q 分别是
BC,CD 边上的点, 且∠PAQ=45 ° , 猜想线
段DQ，BP，PQ间的数量关系，并证明；
(3 ) 在图2 中, 连接BD 分别交AP,AQ 于点M,
N, 请写出 BM,DN,MN 间的数量关系, 并
说明理由.
图1
图2
变
如图,在△ABC 中,∠CAB =
如图，
120° ,AB =AC,∠DAE =
B
D
E
C
在△ABC 中,∠CAB=90 ° ,AB=AC,
60 ° , 若以BD,DE,EC 为三边的三角形是以BD
D,E 为 BC 上两点, 且∠DAE =.B
D
E
C
为斜边的直角三角形，当BD =2时，则DE 的
45 ° . 若BD=3,CE=4, 则DE 的长是
.
长是
.
旋转
第二十八章
28.2
中心对称
课时1
中心对称及其性质
课时检测
拍批+错题本
5. [2026信阳部分学校期中]如图，等
腰直角三角形 ABC 与等腰直
中心对称的概念及性质
角三角形 DBE 关于点 B 中心
1. [2024广州中考]下列图案中，点O 为正方形的
对称,P为AC的中点,Q 为点 P
的对称点.若AC=4,则 P,Q 两
C
中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部
分的两个三角形关于点 O 对称的是
(
)
点间的距离为
.
6.
如图,△ABO 与△CDO 关于点 O 中
心对称, 点E,F 在线段AC 上, 且AF=CE. FD
与 BE 有怎样的关系?并说明理由.
A
B
C
D
2. [2025惠州知行学校期中]如图,△ABC 与△A₁B₁C₁
关于点O 中心对称，给出下列说法：①∠BAC =
∠B ₁A₁C₁; ②AC =A₁C₁; ③OA =OA₁; ④△ABC
C
与△A₁B₁C₁ 的面积相等.其中正确的是(
)
A. ①④
B. ②③
C. ①③④
D.①②③④
中心对称作图
第2 题图
第3 题图
3. [2026福州马尾区期中]如图,△ABC 和△DEC 关
7.
如图,已知点 M 是△ABC 的边 BC
于点 C 中心对称, 若AC=1,AB =2,∠BAC =
的中点,点O 是△ABC 外一点.
90 °,则AE的长是
(
)
(1) 作出△A'B'C', 使△A'B'C' 与△ABC 关于
A.1
B.
C.2
D.2
点 M 中心对称；
4.
如图，正方形 ABCD 与正方形
(2) 作出△A"B"C", 使△A"B"C" 与△ABC 关于
GHEF 成中心对称，则下列关于对称中心的描
点 O 中心对称.
述不正确的是
(
)
B
D
H
A.对称中心是线段 CE 的中点
B.对称中心是线段DF 的中点
C.对称中心是点 E
D.对称中心是线段AG 与DF 的交点
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
(3) 如何平移△ABC, 使得平移后的△ABC 与
△A₂B₂C₂ 拼成一个平行四边形? 请写出
8. [2025攀枝花仁和区期末]如图，菱形ABCD 的对角
一种平移方法.
线AC,BD 交于点O,AC=2,BD=8, 将△BOC
绕点 C 旋转180° 得到△B'O'C, 连接AB', 则
AB' 的长是
(
)
O'
A.3
B.4
C.5
D.7
9. [2026惠州惠东期中]如图,直线a⊥b于点 O,曲
线OA 与曲线 OA'关于点 O 中心对称,点 A 的
对称点是点A',AB⊥a 于点B,A'D⊥b 于点 D.
若OB=4 ，OD=3 ，则两块阴影部分的面积之
和为
.
12.
[2025 扬州仪征月考]如图,△ABC 的
BC 边在直线l 上( 点 B 在点 C 左侧), 点 O
为直线l上一动点，且在点 B 右侧.
(1)如图1，若△ABC 是等边三角形，其关于
第11 题图
第12 题图
点 O 中心对称的图形是△A₁B₁C₁，连接
10. [2025达州中考]定义：在平面直角坐标系中，一
AB₁,A ₁B, 补全图形, 则四边形ABA₁B₁ 的
个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按
形状是
.
顺时针方向旋转θ度，这样的图形运动叫作
(2) 如图2, 若△ABC 为等腰三角形,AB=AC,
△ABC 与△A₁B₁C₁ 关于点 O 中心对称,当
图形的γ(a，θ)变换.现将斜边为1 的等腰直
角三角形ABC 放置在如图的平面直角坐标
C₁ 在C 的右侧且
时，判
系中, △ABC 经γ(1,180 ° ) 变换后得
断四边形ABA₁B₁ 的形状，并说明理由.
△A₁B₁C₁ 为第一次变换, △A₁B₁C₁ 经γ(2,
(3)若△ABC 是任意三角形,△ABC 关于点 O
180°)变换得△A₂B₂C₂ 为第二次变换…… 经
中心对称的图形是△A₁B₁C₁, 连接 AB₁,
γ(n,180°)变换得△A∩B∩Cn,则点 C₂₀₂₅ 的坐
A₁B, 当∠ABC 与∠C₁BA₁ 满足什么关系时,
四边形 ABA₁B₁ 是正方形? 直接写出答案.
标是
.
11.
如图，在小正方形组成的网
格中，△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标
为(1，-1)，根据图形解决下列问题.
图1
图2
(1) 将△ABC 先向左平移2 个单位长度，再
·A
向上平移4个单位长度，得到△A₁B ₁C₁,
请画出△A₁B₁C₁.
(2) 以点 M( 1,1) 为对称中心, 画出与
备用图形
△A₁B₁C₁ 中心对称的∠△A₂B₂ C₂.
旋转
第二十八章
课时2
中心对称图形
课时检测
中心对称图形的性质
5.
如图, 在▱ABCD 中,O 是两条对
中心对称图形的概念
角线的交点，过点O 的三条直线将▱ABCD 分
成阴影和空白部分，若阴影部分的面积为8 cm²，
1. [2024山西中考]1949 年,伴随着新中国的诞生,
则▱ABCD 的面积为  cm².
中国科学院成立.下列是中国科学院部分研究
所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形
的是
(
)
第5 题图
第6题图
6. [2026安阳五中月考]如图,正方形 ABCD 和正方
形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是
学研究所
业生态研究所
机械研究所
研究中心
8和6，则图中阴影部分的面积是
.
利用中心对称图形的性质作图
A
B
C
D
7.
如图，方格纸中有A，B，C三
2.
下面的图形是用数学家名字
点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边
命名的，其中是中心对称图形，但不是轴对称
形的边(包括顶点)上，且这个四边形的顶点
图形的是
(
)
在方格的格点上.
(1) 在甲图中作出的四边形是中心对称图形
但不是轴对称图形；
(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但
曲线
心形线
弦图
螺旋线
不是中心对称图形；
A
B
C
D
(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形
又是中心对称图形.
3. [2025徐州中考]传统纹样作为中华传统文化的
一部分，具有深厚的底蕴.徐州出土汉代玉器
的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图
形的是
(
)
甲图
乙图
丙图
A
B
C
D
4. [2025遵义红花岗区期末]给出下列4个函数：①y=
3x -1; ②y=
;
③
y=2x²;
④
y=2x(-1≤x<
1).其中函数图象是中心对称图形，且对称中
【回顾与忠考】你能举出一些中心对称图形、轴对称图形
心在原点的是
(填序号).
的例子吗?
它们有哪些应用价值?
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时3
关于原点对称的点的坐标
课时检测
7. [2026 南昌期中]如图,点 A 的坐标为(
2)，点B的坐标为
, 菱形ABCD 的
关于原点对称的点的坐标
两条对角线交于坐标原点 O.
(1) 求 C,D 两点的坐标;
1. [2024成都中考]在平面直角坐标系xOy 中，点
(2) 求菱形ABCD 的面积.
P(1 ，-4) 关于原点对称的点的坐标是(
)
A.(-1,-4)
B.( - 1,4)
C.(1,4)
D.(1,-4)
2.
在平面直角坐标系中，有A(2，
-1),B(-1,-2),
 
C(2,1),
 
D(-2,1)
四
点.其中关于原点对称的两点为
(
)
A.点A 和点 B
B.点 B 和点 C
C.点 C 和点 D
D.点D 和点 A
3. [2026深圳实验学校期中]在平面直角坐标系中，点
关于原点对称的点所在的象
8. 已知点P(a,a+b) 与点Q(2b,6) 关于原点对
限是
(
)
称，求P，Q两点的坐标，并直接写出 PQ 的长.
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4. [2026新乡一中月考]在平面直角坐标系中，点P
关于原点的对称点为
点 P 关
作已知图形关于原点对称的图形
9.
[2025北京中关村中学期中]
如图，在平
于x轴的对称点为P₂(a,b),
则
面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点坐标分别
A. - 2
B.2
是
A(1,1),B(2,3),C(4,2).
C.4
D. - 4
(1)以点 A 为旋转中心，将△ABC顺时针转动
90°,得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
5. [2025曲靖民族中学一模]若点.
P(a+1,a2)
关于
(2)画出△ABC关于原点对称的图形△A₂B₂C₂;
原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围
(3) 若△ABC 上有一点P(m,n), 则△A₂B₂C₂ 上
在数轴上表示正确的是
(
)
点 P 的对应点P₂ 的坐标为
.
-1
0
1
-1
0
1
A
B
-1
0
1
2
-3 -2
-1
0
C
D
6. [2025丹东期中]将直线y=x+b沿y轴向上平移
6个单位长度，若点A(-2，4)关于原点的对称点
落在平移后的直线上，则b的值为
.
旋转
第二十八章
专项3
旋转中的分类讨论思想(易错)
拍批+错题本
旋转角度不确定
4. 如图, 在△ABC 中,∠BCA =90 ° ,
旋转方向不确定
∠BAC=30 ° , 将△ABC 绕点C 按逆
1. [2026信阳九中月考]如图,正方形 OABC 的边长
时针方向旋转(
) 得到
视频解题
为5, 边OA,OC 分别在x 轴、y 轴上, 点D 在边
△A'B'C,A'C 与 AB 交于点 D, 连接 AA', 若
AB 上,AD =3, 连接CD, 把△CDB 绕点 C 旋转
等腰三角
α 的度数
△AA'D 是
形, 则
90 °，则旋转后点D的对应点 D'的坐标是
为
.
(
)
C
5. 如图, △ABC 与△CDE 都是等边三
A.(
- 2,0)
角形, 连接AD,BE,CD=2,BC=1,
B.(
- 2,10)
将△CDE 绕点 C 顺时针旋转，当点
视频解题
C.(
- 2,0) 或(2,-10)
A ，C ，E 在同一条直线上时，线段 BE 的长
D.(
- 2,0)
或(2,10)
2. [2025 西安临潼区期中]线段 OA 在平面直角坐标系
为
.
中的位置如图所示，已知OA=2，线段OA 与x轴
的夹角为60°，现将线段OA 绕点O 旋转30°，则
点 A 的对应点的坐标为
.
B
C
6. [2026南昌外国语学校月考]如图,在矩形 ABCD 中,
AB=3,BC=4. 矩形ABCD 绕着点A 旋转(0 ° <
旋转角<180°)，点B，C，D的对应点分别是点
B' ，C' ，D' ，如果点 B' 恰好落在矩形的对称轴
3. [2024上海普陀区期中]如图,在 Rt△ABC 中,∠C =
上, 则B' 到 BC 的距离为
.
90°,∠A=20°,将△ABC绕点 C 旋转至△A'B'C,
点A,B 分别与点A',B' 对应, 如果直线A'B'⊥
直线AB, 那么∠B'A'A 的度数为
.
C
BL
C
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
数学活动
拍批+错题本
(1)在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩
形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分
利用图形变化设计图案
组成的图案是轴对称图形，但不是中心对
称图形；
1. [2026泸州江阳区期中]下列图案中，可以
(2) 在图2 中，选择两个直角三角形、两个小矩
由如图的基本图形通过中心对称变化
形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分
得到的是
(
)
组成的图案是中心对称图形，但不是轴对
称图形.
A
B
C
D
2. 如图，由图案(1)到图案(2 )再到图案(3 )的变
化过程中，不可能用到的图形变换是
(
)
图1
图2
(1 )
(2 )
(3 )
5. [2026北京顺义区期中]如图所示的三种拼块 A，
A.轴对称
B.旋转
B，C，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1
C.中心对称
D.平移
的小正方形组成的，如编号为 A 的拼块的面积
3.
以图1(以点O为圆心，1个单位
为3.
长度为半径的半圆)作为基本图形，分别经历
如下变换，其中不能得到图2 的是
.( 填
A
B
C
序号)
现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种
①只向右平移1个单位长度；
拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、
②先以直线AB 为对称轴进行翻折，再向右平
旋转或翻转.
(1)若用1个 A 种拼块,2个B种拼块,4 个C 种
移1 个单位长度；
拼块，则拼出的正方形的面积为
.
③先绕着点O旋转180°，再向右平移1 个单位
(2) 在图1 和图2 中，各画出了一个正方形拼
长度；
图中的1 个 A 种拼块和1 个 B 种拼块，请
④绕着OB的中点旋转180°.
分别用不同的拼法将图1 和图2 中的正方
形拼图补充完整.要求：所用的A，B，C三
种拼块的个数与(1)中不同，用实线画出
边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠.
图1
图2
4. [2026大同平城区期中]
图1 和图2 都是由连接正
八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，
每个图案可看作由4 个全等的直角三角形、8
个全等的小矩形和4 个全等的小正方形组成.
图1
图2
按下列要求涂阴影.
旋转
第二十八章
章末复习专练
拍批+错题本
过全章
全章体系构建
答案P56
1. 已知△AOB,将△AOB绕点 A 逆时针旋转α
后, 得到△AED, 连接BD.
【基础设问】
(1 ) 如图1, 若∠OAB=30 ° ,∠EAB=120 ° , 则
α=
.
( 2 ) 在(1) 的条件下, 若AB=1, 则BD=
.
【能力设问】
(3 )如图2,α=60°,连接OE.
①求证：△AOE 是等边三角形.
②连接 OD, 若∠AOB = 150° ,∠AOD =
105°,试判断△EOD 的形状, 并说明
理由.
【拓展设问】
(4 ) 如图3, 若∠AOB=90 ° , 连接OE 交线段
2. 如图，力恰获中每丁小正力形的边长都是1
AD 于点 F.
个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平
①求证:∠AOE=∠ADB.
面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上.
②设∠ABO=β, 则当α,β 满足什么条件
【基础设问】
时，△DEF是等腰三角形?
(1 )画出将△ABC 向左平移4 个单位长度得
到的△A₁B₁C₁.
( 2 ) 画出△ABC 关于原点成中心对称的
△A₂B₂ C₂.
【能力设问】
(3 )若将△A₁B₁C₁ 绕某一点经过一次旋转得到
图1
图2
图3
△A₂B₂C₂,则旋转中心的坐标为
,
旋转角的度数为
.
(4 ) △A₁B₁C₁ 中A₁C₁ 边上有一点P₁ (m,n),
其在△A₂B₂C₂ 中A₂C₂ 边上的对应点为
P₂, 则P₂ 的坐标为
.
(5 )画出将△A₂B₂C₂ 绕点 B₂ 逆时针旋转90°
得到的△A₃B₂C₃.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
画线不得超过五条.
(1)如图1，E是格点，先将点 E 绕点 A 逆时针
1. [2025福建中考]中国古算诗词歌赋较多.古算诗
旋转90°,画对应点 F,再画直线 FG 交AB
词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规
于点 G, 使直线 FG 平分矩形 ABCD 的
面积.
律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词
(2)如图2，先画点C 关于直线BD 的对称点M，
题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股
再画射线 MN 交 BD 于点N, 使MN∥AD.
容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形
也不是中心对称图形的是
(
)
A
B
C
D
图1
图2
2. [2025青岛中考]如图，在平面直角坐标系中，点
A，B，C 都在格点上，将△ABC关于y轴的对称
6.
[2024 绵阳中考]如图, 在正方形ABCD
图形绕原点 O 旋转180°,得到△A₁B₁C₁,则点
中,AB =2,对角线 AC 与BD 相交于点O,点 E
A 的对应点 A₁ 的坐标是
(
)
在线段 AO 上(与端点不重合)，线段 EB 绕点
A.(
- 1,-2)
B.(1,2)
E逆时针旋转90°到EF 的位置，点 F 恰好落
C.(2,1)
D.(-2,-1)
在线段CD 上,FH⊥AC, 垂足为H.
综
合
提
分
区
(1) 求证: △OBE≌△HEF.
(2) 设OE=x, 求
的最小值.
B
C
第2题图
第3题图
3. [2025自贡中考]如图，在平面直角坐标系xOy
中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，
B(0,-2). 若将正方形ABCD 绕点O 逆时针
旋转90° , 得到正方形A'B'C'D', 则点 D' 的坐
标为
(
)
A.(-3,5)
B.(5,-3)
C.( - 2,5)
D.(5,-2)
4.
[2025宿迁中考]在平
面直角坐标系中，点A 的坐标
为(3,2),将线段OA绕着点 O
逆时针旋转90°得线段 OA'，
则点A'的坐标为
(
)
A.(-3,2)
B.( - 2,3)
C.(3,-2)
D.(2,-3)
5. [2025武汉中考]如图是由小正方形组成的3×4
网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形
ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度直尺
在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的
29.1
圆的有关概念
课时检测
拍批+错题本
课时1
圆的有关概念
6. [2026唐山路北区期中]如图,AB 是⊙O 的弦, 且
AB=OA, 则∠B 的度数是
.
圆的定义
1. [2025清远期中]小明同学没有圆规，用如图所示
方法成功画出了圆，他画圆时
(
)
A.保持圆心位置不变
第6 题图
第7 题图
B.保持圆的半径不变
7. 如图,OA 是⊙O 的半径,B 为OA 上一点( 且不
C. 保持圆心位置和圆的半
与点 O,A 重合),过点 B 作 OA 的垂线交⊙O
径不变
于点 C. 以 OB,BC 为边作矩形 OBCD, 连接
D.圆心的位置可以改变
BD. 若BD=10,BC=8, 则AB 的长为
.
与圆有关的概念
8. 如图,AB,AC 为⊙O 的弦, 连接CO,BO 并延长
2. 已知AB 是直径为10 的圆的一条弦，则AB的
分别交弦AB,AC 于点E,F, 已知∠B=∠C, 求
长度不可能是
(
)
证
:CE=BF.
A.2
B.5
C.9
D.11
3. [2026松原宁江区期中]如图,点 B 为线段 AC 上一
点，分别以线段AB，BC为直径作圆，O₁，O₂为
圆心,AC=10, 则O₁O₂ 的长为
(
)
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
第3 题图
第5 题图
4. [2026天津滨海新区期中]
给出下列说法：①直径是
弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半
圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长
的弦.其中正确的说法有
(
)
点与圆的位置关系
A. ①③④
B. ①③⑤
C. ②③⑤ D. ③④⑤
9. [2026无锡期中]若点 P 在⊙O 内, 且OP=5, 则
5. 如图,在⊙O 中,线段
是⊙O 的
⊙O的半径长可能为
(
)
半径；线段
是⊙O的弦，其中最长
A.3
B.4
C.5
D.6
的弦是
；
是劣弧，
是
10. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，点
优弧.(将满足要求的答案全部填上)
A(1,
)在⊙O  .(填“内”“外”或“上”)
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
16.
如图,△ABC 和△ABD 都为直角
三角形, 且∠C=∠D=90 ° . 求证:A,B,C,D
11. [2026安阳三校联考]如图,A,B,C 三点在⊙O
四点在同一个圆上.
上, 若AB∥OC,∠A=34 ° , 则∠C 的度数是
(
)
A.73 °
B.74 °
C.83 °
D.84 °
A
B
第11 题图
第13 题图
12.
[2026 南京溧水一中月考]已知点 P 到圆
上的最远距离是5cm ，最近距离是1 cm，则
此圆的半径长是   cm.
13.[2026 天津美达菲津英中学月考]
如图,AB 是⊙O 的弦,
C 是AB 上一点, 且OC⊥OA,OC=BC=1, 则∠A
的度数为
，⊙O 的半径长为
.
14.[2026广州铁一中学期中]设⊙O 的半径为2, 点 P
17.
[2026 北京顺义区期末]图1 是一枚中
到圆心的距离OP=m ，且m 使关于x 的方程
国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征
有两个不相等的实数
着“天圆地方”.图2 是铜钱的平面结构图，
根, 则点 P 在⊙O 
.(填“内”“外”或
已知圆心和正方形的对称中心都是点O，正
“上”)
方形的边长
,P 是⊙O 上的动
15.
[2025 遵义期末]
点, 若 PB 的最小值为6 mm,则⊙O 的面
如图, 在 Rt △ABC 中,∠C =
积为   mm².
90° ,BC=3,AC=4, 点P 是AC
边上的一个动点，以点 P 为圆
心，PA 长为半径作圆，若点 C
在⊙P 内且点 B 在⊙P 外,则⊙P 的半径可
以是
.
图1
图2
容
第二十九章
课时2
过三点的圆
课时检测
反证法
5. 用反证法证明命题“ 在△ABC 中,AB≠AC, 则
确定圆的条件
∠B≠∠C”时，首先应该假设
(
)
1. [2026广州执信中学期中]已知线段AB=10 cm, 则
A. AB=AC
B. AB=AC且
∠B=∠C
C.∠B=∠C
D. AB=AC 且∠B≠∠C
经过A，B两点且半径为6cm的圆有
(
)
6. 如图，在同一平面内，已知
A.0 个
B.2 个
C.1 个
D.无数个
AB⊥直线l 于点 F,CD 与直
2.
[2026杭州弘益中学月考]
线l 相交( 不垂直) 于点 E.
小明不慎把家里的圆形玻璃打
求证:AB 与CD 必相交.
碎了，其中四块碎片如图所示，
证明:假设 AB 与 CD 不相
B
为配到与原来大小一样的圆形
交,则
∥
.
玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该
∵AB⊥l,∴CD⊥l,
是
.( 填序号)
这与CD 与直线l 不垂直相矛盾.
∴假设 AB 与 CD 不相交
.
三角形的外接圆与外心
∴AB
 
与
 
CD
 
.
3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,
CD=5, 点D 是AB 的中点, 则它的外
接圆的直径长为
.
7.
用反证法证明时，假设结论“点在圆外”
B
C
4. 如图，小明家的房前有一块空地，空地上有三
不成立，那么点与圆的位置关系只能是(
)
棵树A，B，C，小明想建一个圆形花园，使三棵
A.点在圆内
B.点在圆上
树都在花园的边上.
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆内
(1)请你帮小明把圆形花园的位置作出来；
8. [2026扬州仪征期中]在平面直角坐标系中，若
(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
A(1,-1),B(3,3),C(5,n)
三点可以确定一
( 2 )若圆形花园的半径为10 m,在△ABC 中,
个圆，则n的取值范围是
(
)
AB=AC,BC=16m, 求△ABC 的面积.
A. n≠3
B. n≤5
C. n>6
D. n≠7
9. [2026淮安淮安区期中]如图，在平面直角坐标系
中
,A(1,6),B(5,6),C(7,4).
B
C
O
(1)在网格中画出经过A，B，C三点的圆弧所在
圆的圆心M，并写出M的坐标：
.
(2)这个圆的半径长为
.
(3) 直接判断点 D(5,3) 与⊙M 的位置关
系, 点 D(5,3) 在⊙M 
.(填“内”
“外”“上”)
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
29.2
圆的有关性质
课时检测
拍批+错题本
课时1
垂直于弦的直径
6. [2026杭州高新实验学校月考]如图，⊙O 的直径为
10，弦AB的长为6，P 为弦AB上的动点，则线
圆的对称性
段OP 的长的取值范围是
.
1. [2025南京师大附中月考]
在研究圆的有关性质时，
我们曾做过这样的一个操作：将一张圆形纸片
沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧
的两个半圆互相重合.由此说明
(
)
A.圆的直径互相平分
垂径定理的应用
B.垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧
7.
[2026苏州新草桥中学月考]如图1，有
C.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
一个底部呈球形的烧瓶，图2 是底部球形的平
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线
面简易图，球的半径为5cm，瓶内液体已经过
都是圆的对称轴
半，最大深度CD=7cm，则过球心的竖直截面
2. 学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便
圆中弦AB 的长为
(
)
在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图
中符合设计要求的图案是
.( 将符合
设计要求的图案序号全部填上)
图1
图2
①
②
③
④
B.4
C.2 √21 cm
D.2 √29 cm
A.4 cm
cm
垂径定理及其推论
8.
如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，
3. [2026福州福清期中]如图,⊙O 的半径为5,弦AB=
桥拱的水面跨度AB =80 m，桥拱到水面的最
8,OC⊥AB 于点C, 则OC 的长为
(
)
大高度 DF 为20 m.
A.2.5
B.3
C.4
D.5
(1 )求桥拱的半径；
( 2 )现水面上涨后水面跨度为60 m，则水面上
涨的高度为  m.
第3 题图
第4 题图
第5 题图
4. [2026合肥四十二中一模]如图,OA,OB,OC 都是
E
⊙O 的半径,AC,OB 交于点D. 若AD=CD=8,
OD=6, 则BD 的长为
(
)
A.5
B.4
C.3
D.2
5. [2026绍兴柯桥区期中]如图,CD 是⊙O 的弦,直
径AB⊥CD 于点E,AB=10,CD=8, 则线段AC
的长为
.
圆
第二十九章
15.
如图,在⊙O 中,DE 是⊙O的直径,
AB 是⊙O 的弦,AB 的中点 C 在直径 DE 上,
9. [2025济宁期中]已知⊙O 的半径为2,点 P 为
AB=8,CD=2.
⊙O 内一定点,且PO=1.过点 P 作⊙O 的弦,
其中最短的弦的长度是
(
)
(1 ) 求⊙O 的面积;( 结果保留π)
A.4
B.
D.2
( 2 )连接AE，过圆心O 向AE 作垂线，垂足为
10.
如图,在⊙O 中,弦AB的长为8,
点 F,求 OF 的长.
OE⊥AB 于点 E, 且OE=3, 弦CD⊥AB 于点
F. 若EF=2,
则CD 的长为
(
)
A.5
B.10
D
第10 题图
第11 题图
11. [2025 金华金东区期中]如图，在⊙O 内有折线
OABC, 点B,C 在⊙O 上. 若OA=4,BC=10,
∠A=∠B=60 ° , 则AB 的长为
(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
12. 如图，在平面直角坐标系
中，直径为10的⊙E交x轴
于点A,B, 交y 轴于点C,D,
且点 A ，B 的坐标分别为
( -2,0),(4,0), 则圆心 E
的坐标为
.
13. [2025北京朝阳区期末]在半径为5 的圆中，有两
条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距
离x 的取值范围是
.
14. [2026北京朝阳区期末]如图，将一个矩形纸片盖
在⊙O 上, 矩形的边与圆交于点A,B,AB =
4m m，已知⊙O 的顶端到直线 AB 的距离为
4mm,求⊙O 半径的长.
16.
如图，将一个球放置在圆柱形玻璃
瓶上,测得瓶高 AB =20 cm,底面直径 BC =
12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,
则球的半径为  cm.( 玻璃瓶厚度忽略
不计)
12cm
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时2
圆心角
课时检测
6. 如图, 点 A,B,C 都在⊙O 上, 点 B 是
的中
点, 连接 OA,OB,OC,BC,∠OBC = 50 °,则
圆心角
∠AOB=
°.
1. 下列图形中表示的角是圆心角的是
(
)
A
B
C
D
第6 题图
第7 题图
2. 在⊙O中，弦AB 等于圆的半径，则它所对的圆
7. [2025南京联合体期中]如图, 已知A,B,C,D 是
心角的度数为
(
)
⊙O 上的点,∠1 =∠2, 给出下列结论:(
A.120 °
B.75 °
C.60 °
D.30 °
CD; ②BD = AC; ③AC = BD; ④∠BOD=
弧、弦、圆心角之间的关系
∠AOC. 其中结论正确的是
.(
填
课
内
提
分
区
3.
[2025四平期末]如图,在⊙O 中,AB
序号)
8. [2026厦门思明区期中]如图, 在⊙O 中, 弦AB,CD
是⊙O 的直径，
则
相交于点E,AD=BC.
∠BOC 的度数为
(
)
求证：
(2)AE=CE.
A.40 °
B.45 °
C.50 °
D.60 °
第3 题图
第4 题图
4. [2026 无锡惠山区期中]如图,BC 是⊙O 的弦,
OA⊥BC 于点H, 连接OB,OC,AB,AC, 则下列
结论中错误的是
(
)
A. BH=CH
B. OH=AH
C. AB=AC
D. ∠AOB =∠AOC
9.
[2025南阳内乡期末]如图,AB,CD 是
5.
如图, 点 C 是⊙O
⊙O 的弦, 连接OA,OB. OC,OD 分别交AB 于
上的点,CD⊥OA 于点 D,CE⊥
点E,F, 且OE=OF. 求证:
OB 于点E,CD=CE, 则.
与
的关系是
(
)
C
D
D. 不能确定
圆
第二十九章
15.
[2026湖南师大附中星城实验中学月考]已
知
A,C,E
为⊙O 上的点，且
AB 为⊙O 的直
10.
[2026 南阳三中期
径,CD⊥AB 于点 D.
中]如图,AB,CD是⊙O 的两
(1) 求证:AE =2CD.
段弧，且
则弦AB
(2) 若BD=1,AE=4,
求AC的长.
与CD 之间的关系为(
)
D
A. AB=2CD
B. AB<2CD
C. AB>2CD
D.不能确定
11.
[2025北京育才学校期中]计算机处理任
务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务
B
完成的百分比.如图是同一个任务进行到不
同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百
分比为x 时，线段MN 的长度记为d(x). 下
16.
如图, 在⊙O 中,C,D 是直径AB 上
列描述正确的是
(
)
的两点, 且AC =BD,MC⊥AB,ND⊥AB, 点
M,N 在⊙O 上.
I
(1) 求证:
N
(2) 若C,D 分别为OA,OB 的中点, 则
A.当x₁ <x ₂ 时，
B. 当
时，
成立吗?请说明理由.
C. 当
时，
D. 当
时，
12. 如图, 点A,B,C 在⊙O 上, 分别连接AB,BC,
OC. 若 AB = BC,∠B =40°,则∠OCB 的度
数为
(
)
A.10 °
B.20 °
C.30 °
D.40 °
第12 题图
第13 题图
13. [2025 武汉中考]如图, 四边形 ABCD 内接于
⊙O
若AB=6,CD=
则⊙O
的半径是
(
)
A.
B.
C.
D.5
14. 如图，A是半圆MN的三等分点，B
是
的中点，P是直径MN上一动
点,⊙O 的半径为1, 则AP+BP 的
视频解题
最小值为
.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时3
圆周角
课时检测
角三角尺( 无刻度) 可以使用. 为此需要先得
到两条不同的直径，下列寻找直径AB 的方法
圆周角的定义
正确的是
(
)
1.
下列四个图中，∠α是圆周角的是
(
)
A
B
C
D
7.[2026
连云港赣榆区期中]如图，
AB 是⊙O 的直径,弦 CD 交
A
B
C
D
AB 于点 E, ∠ACD = 60°,
圆周角定理
∠CEB =110°,则∠ADC 的度
2.[2026重庆长寿区期中]如图,A,B,C是⊙O 上的
数是
(
)
三点,AB =4,∠ACB =30 ° , 连接 OA,OB, 则
A.40 °
B.45 °
C.50 °
D.55 °
⊙O 的半径长为
(
)
8. (1)图1是6×6的正方形网格，每个小正方形
A.2
B.2
C.4
D.8
的顶点称为格点，△ABC内接于⊙O，且点
A，B，C，O均在格点上.只用无刻度的直
尺，在图1 中找一个格点D( 点D 不与点 C
重合), 画出∠ADB, 使∠ADB=∠ACB.
(2)如图2，三角尺ABC的顶点A，C 在圆形纸
片上,且∠A=30°,∠ACB=90°.请你利用
第2题图
第3题图
直尺和圆规求作该圆形纸片的直径CE.小
3. [2026北京五十五中期中]如图,AB 是⊙O 的直径,
实的作法如下：分别以C，D两点为圆心，
CD 是⊙O 的弦,AB⊥CD 于点 E, 连接BC. 若
CD 的长为半径作弧，交圆内于点 O，连接
∠B=22.5°,CD=6,则⊙O的半径长为
(
)
CO 并延长，交圆于点 E，则CE 就是所求
A.3
C.2
D.3
作的直径.请判断小实的作法是否正确，
4.
如图,A,B,C为⊙O 上的三个点,
并说明理由.
∠AOB=4∠BOC. 若∠ACB=60 ° , 则∠BAC 的度
数是
.
图1
图2
第4题图
第5题图
5. [2024陕西中考]如图,BC是⊙O的弦,连接OB,
OC,∠A 是BC 所对的圆周角, 则∠A 与∠OBC
的度数和是
.
圆周角定理的推论
6.
[2026安康期中]有一个未知圆心的圆形
工件需要画出圆心，暂时只有一块足够大的直
圆
第二十九章
9. 如图,AB 是半圆O 的直径,C,D 是半圆 O 上
( 2 )若点 A 是
的中点, 求证:DE=CF.
的两点, 且OD∥BC,OD 与AC 交于点E.
(1 ) 若∠ABC=70 ° , 求∠CAD 的度数;
( 2 ) 若AB=5,AC=4, 求DE 的长.
D
O
10.
[2026邯郸二十三中期中]如图，AB 是圆
的直径,∠1, ∠2, ∠3, ∠4 的顶点均在AB 上
方的圆弧上，∠1 ，∠4的一边分别经过点A，
B, 则∠1+∠2+
∠3+∠4 的度数为(
)
A.45 °
B.90 °
C.135 °
D.180 °
14.
[2026浙江初甲局质量发展协作共同体期中]如图，矩
形ABCD 的四个顶点均在⊙O 上，E 是
上
一动点, 连接AE,BE,AB=8,AD=6.
第10 题图
第11 题图
(1 ) 求⊙O 的半径长.
11. [2026广州越秀区期末]如图, 直径为AB 的⊙O
( 2 ) 若
,求 BE 的长.
上有一点 C, 连接BC,>将BC绕点 B 逆时针旋
转一定角度得到
，点D 恰好落在直径
AB 上.
(1 ) 若
则
B
C
( 2 )若 BC 与
相交于点 E，且
则
12. [2025 宿迁期中]如图,以
△ABC 的一边 AB 为直
径的半圆与其他两边
15.
如图, 已知AB =AC=
AC,BC 分别交于点 D,
A
B
AD,∠CBD =
∠BDC,∠BAC=
2
E, 且E 为 BC 的中点. 若AB =8,BC =4, 则
44 °,则∠CAD 的度数为
(
)
视频解题
BD 的长为
.
13.
[2026广州越秀区期末]如图，⊙O是
△ABC的外接圆,AD 平分∠BAC,交 BC 于点
C
F, 交⊙O 于点 D,BE 平分∠ABC, 交AD 于点
A.68 °
B.88 °
C.90 °
D.112 °
E, 连接BD.
(1) 求证:∠BED=∠EBD.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课
内
提
分
区
圆
第二十九章
课时4
圆内接四边形
课时检测
圆内接四边形
5. [2024滨州中考]如图,四边形ABCD 内接于⊙O,
1. [2026天津和平区期中]如图，四边形ABCD 内接于
若四边形 OABC 是菱形,则∠D =
°.
(
连接 BD. 若∠ABC = 70°,则
∠BDC 的度数为
(
)
A.70 °
B.65 °
C.55 °
D.35 °
第5 题图
第6 题图
6. 如图, 在⊙O 的内接四边形ABCD 中,AB=AD,
∠E=130 ° , 则∠C 的度数为
°.
第1 题图
第2 题图
2.
[2026 杭州六中期中]如图，四边形
ABCD 内接于⊙O, 连接OB,OD. 如果它的一个
7.
[2026 湖州吴兴区期末]某学习小组三位
外角∠DCE=64 ° , 那么∠BOD=
(
)
A.128 °
B.100 °
C.120 °
D.132 °
同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
3.
[2026 天津和平区期中]
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩
如图,AB 是⊙O 的直径,C,D
形.乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是
在⊙O 上, 若∠AOD = 40°,则
正方形.
∠BCD 的度数为
.
(1)甲同学的说法
，乙同学的说法
.
C
(填“正确”或“错误”)
4.
[2026苏州立达中学月考]
如图，在⊙O
的内接四边形 ABCD 中,∠ADE 是四边形
(2) 如图1,⊙O 的半径为3, 矩形ABCD 内接
ABCD 的一个外角,且DA 平分∠BDE.
于⊙O.丙同学发现圆内接矩形有无数个，
(1 ) 求证:AB=AC.
且当该矩形为正方形时，其面积最大.请
(2 ) 若点 F 在BC 上, 且∠F=118 ° , 求∠ADC 的
你判断当圆内接矩形的面积最大时，
度数.
△AOD 的形状，并求出圆内接矩形的最大
面积.
F
图1
图2
(3)如图2，这两个圆是以点 O 为圆心的同心
圆,OA=3,OD=4, 矩形ABCD 的两边AB
和CD 分别为这两个圆的弦.请你求出矩
形ABCD 面积的最大值.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
专项1
与圆的性质有关的辅助线作法
拍批+错题本
连半径
作垂直
1. [2025江阴期中]如图,点A,B,C,D在⊙O 上,且
,若∠BOD=84°,则∠ACO 的度数为(
)
4. [2026南京秦淮区月考]如图，点 C 是半圆O 上一
A.42 °
B.44 °
C.46 °
D.48 °
点,AB=6, 将半圆 O 沿弦 BC 所在的直线折
叠，若
恰好过圆心O，则BC 的长是(
)
B.
C.3
第1 题图
第2 题图
2. [2026连云港灌南期中]如图,已知⊙O 的直径AB =
6,D 是AC的中点,AC 与 BD 交于点 E,连接 BC.
第4 题图
第5 题图
若E 是 BD 的中点,则弦AC 的长是
.
5. [2026江门新会区期中]如图, 在△ABC 中,AB=4,
3. 如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下
AC=5,BC=2,
以点A为圆心、AC的长为半径作
水面宽度AB 为18 m, 过点 O 作半径 OC⊥AB
圆A,延长 CB 交圆A 于点D,则BD 长为
.
于
点
D,CD=3m.
作弦
(1)求该圆弧形拱桥的半径.
角度1
构造直角三角形
( 2 ) 现有一艘宽6m，船舱顶部高出水面2 m
(DE=2m) 的货船要经过这座拱桥( 船舱
截面为长方形)，该货船能顺利通过吗?
O
圆
第二十九章
6.
[2026 杭州滨江区期中]如图,AB 是⊙O
角度2
构造圆内接四边形
的
直
径
,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,
则
⊙O
的半径为
(
)
A.2
B.3
D.
10.
[2025 连云港东港中学月考]用破损量角
器按如图方式测量∠ABC 的度数，让∠ABC
第6 题图
第7 题图
的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过
7.
如图, 在⊙O 中,AB 是⊙O 的弦,⊙O
圆弧上的A，C两点.若点 A，C对应的刻度分
的半径长为3 cm,C 为⊙O 上一点,∠ACB =
别为55 °,135°,则∠ABC的度数为
.
60°,则AB的长为
 cm.
8. [2026 嘉兴一中实验学校期中]如
图，AB是⊙O 的一条弦，将劣
弧 AB 沿弦AB 翻折,连接AO
11.
如图,在⊙O 中,弦AC⊥BD 于点 E,
并延长交翻折后的弧于点C，
连接BC. 若⊙O 的半径长为2,BC =1, 则AB
连
接
AB,CD,BC,OA,OB,OC,OD.
(1) 求证:∠AOB+∠COD =180 ° .
的长是
.
( 2 ) 若AB=8,CD=6, 求⊙O 的直径.
9. 如图,AB 为⊙O 的直径,AB=AC,BC,AC 分别
交⊙O 于点 D,E, 连接DE.
(1 ) 求证:BD=DE=DC.
( 2 ) 若DE=
,AB=5,
求 AE 的长.
C
B
D
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
29.3
弧长和扇形面积
课时检测
拍批+错题本
课时1
弧长和扇形面积
扇形的面积公式
6. 已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心
弧长公式
角的度数为
(
)
1. [2025哈尔滨中考]一个扇形的弧长是
半
A.30 °
B.60 °
C.90 °
D.120 °
7. [2024青岛中考]如图,A,B,C,D 是
径是3c m，则此扇形的圆心角是
度.
2. [2026杭州钱塘区期中]
如图，四边形
⊙O上的点，半径OA=3,AB =
ABCD 内接于⊙O,⊙O 的半径为
CD,∠DBC=25 ° , 连接AD, 则
2, ∠BCD=112.5°,则
的长为
扇形OAB 的面积为
(
)
B
.( 结果保留π)
A.
3.
[2025 镇江丹徒区期末]
8. [2025长沙期末]一个扇形的弧长是10π cm, 其
如图，用一个半径为6 cm的定
圆心角是150°，此扇形的面积为
(
)
滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了
120°，假设绳索粗细不计，且与
滑轮之间没有滑动，则重物上升
9. [2024甘肃中考]甘肃临夏砖雕是一种历史悠久
了
 cm.(结果保留π)
的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文
4. [2026台州椒江区期末]如图，大圆半径是小圆半
化遗产.如图1 是一块扇面形的临夏砖雕作
径的两倍，如果大圆将小圆截成弧长相等的两
品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC 和
部分，那么小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长
扇形OAD 有相同的圆心O ，且圆心角∠O =
度比为
.
100° ,若OA=120 cm,OB=60 cm,则阴影部分
的面积是    cm².( 结果用π 表示)
第4 题图
第5 题图
图1
图2
5. [2024呼伦贝尔中考]为了促进城乡协调发展，实
10.
[2026 金华期中]如图，在矩形
现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如图，AB与
ABCD 中,AB =2
,BC =8. 以BC 的中点O
CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆
为圆心，OB长为半径作BC，则阴影部分的面
心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同
积为
.( 结果保留π)
一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多
36 米，则公路宽AC 的长是
米.(π 取
3.14, 计算结果精确到0.1 米)
O
圆
第二十九章
15. [2025 秦皇岛期中]如图,在△ABC 中,∠ACB =
90°
,BC=1,AC=
,将△ABC 绕着点 A 逆时针
11.
[2026 南京秦淮区期中]如图，在地
旋转90 °得到△ADE，则图中阴影部分的面积
球上，A，B两地经度相同，纬度分别为15°
是一.
( 即∠AOC=15 ° ) 和60 °(即∠BOC=60°).已
知地球的半径约为6 400 km，则地球表面两
地的距离(即AB的长)约为
(
)
A.4 500 km
B.5 000 km
A
C.5 500 km
D.6 000km
16. [2025杭州上城区期末]如图，以等边三角形ABC
的边 AB 为直径作半圆O,交 BC 于点 D,交
AC 于点 E,AB=6.
(1 ) 求AD的长;
(2 )求图中阴影部分的面积.
第11 题图
第12 题图
12. [2024河南中考]如图,⊙O 是边长为4
的等
D
边三角形 ABC 的外接圆，D 是BC的中点，连
接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在
⊙O 内画弧，则阴影部分的面积为
(
)
A.⁸π3
B.4 π
D.16 π
13. [2025德阳中考]等宽曲线是指在任何方向上的
直径都相等的一种几何图形，它在我们的日
常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽
曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边
三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半
径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中
阴影部分)，如果 AB =1，那么这个等宽曲线
的周长是
.
第13 题图
第14 题图
17.
如图,在扇形 OBC 中,
14. [2026无锡梁溪区期中]如图，已知扇形OAB，在
OD 平分
交
其内部作一个菱形ODCE，其中点D，E 分别
在OA,OB 上, 点C 在AB 上, 连接DE. 若OA=
于点 D，点 E 为半径OB 上一动
视频解题
点. 若OB=2 ，则阴影部分周长
4,∠AOB =80 ° , 则图中阴影部分面积的和
最小值为
.
为
.
O
E
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时2
圆锥的侧面积和全面积
课时检测
6.
“云南十八怪”中
第二怪“摘下斗笠当锅盖”，是
圆锥及其侧面展开图相关的计算
指云南用江边草、锅盖草、斑茅
草和嫩竹篾片、篾丝编织成锅
1. 用一个圆心角为90 °、半径为8 的扇形作一个
盖，形似斗笠，用斗笠锅盖做饭
圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是(
)
煮菜，透气保温，做出来的饭菜清香可口.如
A.6
B.5
C.4
D.3
图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个
2. [2025宿迁宿城区二模]如图，从一张圆形纸片上
斗笠锅盖的底面圆的直径为60 cm，高为40 cm,
剪出一个小圆和一个扇形分别作为圆锥的底
则该斗笠锅盖的表面积为
(
)
A.725 πcm²
B.1 500 πcm²
面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径.下
列剪法恰好能配成一个圆锥的是
(
)
7.
[2024广东中考]综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
A.
B.
【素材】如图1 所示.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm 的
C.
D.
圆锥形过滤漏斗.
3. [2025昆明官渡一中期中]在认识圆锥主题活动课
上，芳芳用半径为9 cm，圆心角为120°的扇形
图1
纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示.在
【实践操作】
不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高
步骤1：取一张滤纸；
是
 cm.
步骤2：按如图2 所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1 所示
漏斗中.
第3 题图
第4 题图
4. [2026广州增城区期中]在数学课上，老师让同学
图2
们从卡纸上剪下一个扇形，折成一个底面半径
【实践探索】
r 为3cm ，高h 为4 cm的圆锥，如图，则这个扇
(1 )滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管
形的圆心角的度数是
口处)?用你所学的数学知识说明.
.
( 2 )当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥
圆锥的侧面积和全面积
形的体积.(结果保留π)
5. [2024无锡中考]已知圆锥的底面圆半径为3，母
线长为4，则圆锥的侧面积为
(
)
A.6 π
B.12 π
C.15 π
D.24 π
第二十九章
数学活动
拍批+错题本
∠ACD=90 ° .
∴AD 是⊙O 的直径.(推理依据③
)
四等分圆角
在 Rt △ACD 中,∵AD=2r,CD=r,
1. [2025北京西城区期中]等分圆周，是一种分割圆
形的方法，包含尺规作图法、单规作图法等.
∵AG=DG,AO=DO,∴GO⊥AD.
马斯凯罗尼圆规问题是一个著名的问题，即能
在Rt△AOG中,
否仅用圆规完成欧几里得几何作图.很早人们
∴OG= ④
.
就注意了这类作图问题.例如，法国军事家拿
∵AM=AN=OG,AO=OM=r,
破仑就曾研究过只用圆规将一个圆周四等分
的问题.
同理可证∠AON=90 ° =∠MOD=∠DON,
智慧的小亦同学解决此问题的作法如下：
第一步：如图所示，首先利用圆规把⊙O 六
等分；
第二步：分别以A，D为圆心，AC 为半径画弧，
两弧交于点 G；
第三步：以A为圆心，OG为半径画弧，交⊙O
于M,N 两点. 则 A,M,D,N 是⊙O 的四等
分点.
探究四点共圆的条件
2. [2025徐州丰县期中]【材料阅读】如果同一平面
内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共
圆，简称“四点共圆”.在教材中学习了定理
“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继
续探究，提出猜想“对角互补的四边形的四个
顶点共圆”，并尝试用反证法进行验证.
图1
图2
(1)请你按照小亦的作法补全图1；
( 2 ) 根据图2 完成以下证明过程：
已知:AB = BC = CD = DE = EF = AF =r,
AG=DG=AC,AM=AN=OG.
求证：
证明：∵AB=BC=CD=DE=EF=AF=r,
(推理依据
①
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)
∴∠DAC = ②
°,∠CDA = 60°,
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
(1)在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D
【拓展延伸】
的圆，参考以上思路补全图形并完成后续
(5) 如图6,AB =BC=5,∠ABC=60 ° , 点D 为
证明.
平面内一动点，连接DA，DB，DC，若始终有
【深入探究】
得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真
∠ADB=60°,当四边形 ABCD 的周长最大
命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的
时，DC 与BD 的数量关系是多少?并说明
条件吗?请你在此基础上展开探究：
理由.
(2)如图3，在线段AB 同侧有两点C，D，连接
AC,BC,AD,BD. 如果∠C =∠D, 那么A,
B，C，D四点共圆，请完成证明(如需辅助
圆，画出示意图即可).
【结论应用】
图1
图2
图3
应用以上结论，解决下列问题：
(3) 如图4, 在四边形 ABCD 中,∠1 = ∠4,
∠2=30 ° , 则∠3=
°.
(4) 如图5, 在△ABC 中,∠CAB = ∠CBA =
50 °,点E 在AB 上,连接CE,作点 B 关于
CE 的对称点 B', 连接B'C,B'E,∠B'CE =
图4
图5
图6
18°,求∠B'EA的度数.
圆
第二十九章
专项2
与圆有关的阴影部分面积的求法
拍批+错题本
等积转化法
4. 如图，已知点 C，D是以AB为直径的半圆O 的
三等分点，∅的长为
π，则图中阴影部分的
面积为
(
)
D
和差法
1. [2024重庆中考A卷]如图, 在矩形ABCD 中, 分别
第4题图
第5 题图
以点 A 和点 C 为圆心，AD 长为半径画弧，两弧
5. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC 为
有且仅有一个公共点.若AD =4，则图中阴影
直径画半圆，连接AC，则阴影部分的面积是
部分的面积为
(
)
(
)
A.9
B.6
C.3
D.12
容斥原理法
6. [2025山西中考]如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,
A
B
AB=AC, 分别以点 B,C 为圆心、BC 的长为半
A.32-8
π
径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点 D，E.
C.32-4
π
若BC=4，则图中阴影部分的面积为
(
)
2. [2026杭州慧澜中学月考]如图,在扇形 OAB 中,
A.2π-4
B.4π-4
∠AOB=90 ° , 将扇形OAB 进行折叠, 使点O 落
C.8π-8
D.4π-8
在AB 的中点C 处.若折痕DE =6，则图中阴影
部分的面积为
.
第6 题图
第7 题图
7.
[2026常州期中]在如图所示的“赵
爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形
第2 题图
第3 题图
3. 如图,将扇形 OAB 沿OB 方向平移,使点 O 移
与中间的小正方形 EFGH 拼成的大正方形
到OB 的中点O' 处, 得到扇形O'A'B'. 若∠O=
ABCD. 分别以点 F,H 为圆心,EF 的长为半
径作弧，若AG=5，DE=3，则图中阴影部分的
90°
,OA=2,则阴影部分的面积为
.
面积为
.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
专项3
“隐形圆”最值问题
拍批+错题本
四点共圆型
3. [2026 南京玄武外国语学校月考节选]如
图,∠BAC =120 ° , 线段
点
图形
图形特征
视频解题
条件:OA=OB=OC
D，E 分别在射线AC 和线段AB 上运动，以DE 为边
“定点定长”
结论：A，B，C三点在以
在∠BAC 内部作等边三角形DEF, 连接BF, 则BF
确定圆
点O 为圆心，OA 长为
的最小值为
C
半径的圆上
条件：在四边形 ABCD
中,∠A +∠C=180 °
“四点共圆”
结论:A,B,C,D 四点共
确定圆
E
B
A
圆，圆心为各边垂直平
4. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形
分线的交点
外一动点, 且点 E 在CD 的右侧, 连接DE,AE,
条件：点P 为动点，∠P
PE,EC,∠AED =45 ° ,P 为AB 的中点, 当点 E
大小不变，且∠P 所对
运动时，线段 PE 的最大值为
.
“定弦定角”
的线段AB的长不变
确定圆
结论：点P 的运动轨迹
为一个圆弧，且点A，B
在该圆弧上
C
定点定长型
定弦定角型
1. 如图, 在矩形纸片 ABCD 中,AB =4,AD =6, 点
5. 如图,E 是正方形ABCD 内一点, 满足∠AEB =
E 是AB 的中点,点 F 是边 AD 上的一个动点,
90° , 连接CE, 若AB =2, 则CE 长的最小值
将△AEF 沿 EF 所在直线翻折, 得到△A'EF,
为
.
则线段 A'C 的最小值是
.
第5 题图
第6 题图
第1 题图
第2 题图
6. [2026 宿迁宿豫区三校联考]如图，以点
2.
[2025苏州模拟]如图，在平面直角坐标系
G(0,3) 为圆心, 半径为5 的圆与x
中, 点A,B 的坐标分别为(2,0),(0,2), 点 C 为
轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D
视频解题
坐标系内一点,BC=1, 点 M 为线段 AC 的中
两点, 点 E 为⊙G 上一动点,CF⊥AE 于点 F,
点 E 在⊙G上的运动过程中，线段 FG 的长度
点，连接OM，则OM的最大值为
•
 
的最小值为
.
圆
第二十九章
章末复习专练
拍批+错题本
00
过全章
全章体系构建
答案P70
如图1,AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,
连接BC.
C
图1
图2
【基础设问】
(1)在图1的基础上，若F为AC的中点，且OF=
1, 如图2.
①求 BD 的长;
②当∠D=30 ° 时,CD=
;
【能力设问】
③当∠D=30°时，求阴影部分的面积.
(2) 在图1 的基础上, 若CM⊥AD 于点 M, 交AB
于点 N,如图3.
①求证:CN=BC.
②若
，求⊙O 的半径长.
(3)在图1的基础上，若点K是⊙O上的一个动
点( 不与点 C 重合), 点T 是 CK 的中点,
BE=2，如图4.在点K的运动过程中，ET的
最大值为4，求 CE 的长.
(4) 如图5, 若AB 不是⊙O 的直径, 弦CD⊥AB
于点E,OF⊥AC 于点F, 连接BC,AD,BD.
①若OF=CF, 则∠CBA 的度数是
;
②若⊙O 的半径为5,AC=8, 求BD 的长.
【拓展设问】
(5)如图6，某公园欲规划一个圆形景观区⊙O，
图3
图4
图5
并在其内部设计一个四边形ACBD 区域作
为花海, 其中点A,B,C,D 均在⊙O 上,AB,
CD 为花海内两条笔直的观光通道.根据设
计要求,CD⊥AB, 且AD 与 BC 的长度之和
为400 米.为了节约成本，要求圆形景观区
的面积尽可能小.请问圆形景观区的面积是
否存在最小值?若存在，请求出圆形景观区
面积的最小值；若不存在，请说明理由.
图6
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
(1) 如图1, 连接DE, 求∠ADE 的度数;
(2) 如图2, 若点D 为AC 的中点, 且AC=6, 求
1. [2025 山西中考]如图,AB为⊙O 的直径,点 C,D
DE的长.
是⊙O 上位于AB 异侧的两点, 连接AD,CD.
若
则∠D 的度数为
(
)
A.30 °
B.45 °
C.60 °
D.75 °
图1
图2
第1 题图
第2 题图
2. [2025青岛中考]如图,在扇形OAB中,∠AOB =30°,
点 C 在 OB 上,且 OC =AC.延长 CB
到点 D, 使CD=CA. 以 CA,CD 为邻边作平行四
边形ACDE，则图中阴影部分的面积为
.
(结果保留π)
3. [2025大庆中考]如图, 四边形ABCD 是正方形,
AB=1.执行下面操作：第一次操作以点 A为圆
心，以AD为半径顺时针作弧 DE 交 BA 的延长
线于点E，得到扇形ADE；第二次操作以点 B
为圆心，以BE 为半径顺时针作弧 EF 交 CB的
延长线于点 F，得到扇形 BEF；第三次操作以
点 C 为圆心，以CF 为半径顺时针作弧 FG 交
DC 的延长线于点G，得到扇形CFG，依此类推
6. [2025河北中考]如图1, 图2, 正方形ABCD 的边
进行操作, 其中DE,EF,FG,GH,… 的圆心依次
长为5. 扇形 OEF 所在圆的圆心 O 在对角线
按A,B,C,D 循环, 所得曲线 DEFGH… 叫作
BD 上, 且不与点 D 重合, 半径OE=2, 点E,F
“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到
分别在边AD,CD 上,DE=DF(DE≥2), 扇形
的四个扇形的面积和为
.( 结果保留π)
OEF的弧交线段OB 于点 M，记为
(1) 如图1, 当AE=3 时, 求∠EMF 的度数;
(2) 如图2, 当四边形 OEMF 为菱形时, 求 DE
的长；
(3) 当∠EOF=150 ° 时, 求
的长.
第3题图
第4题图
4. [2025南京中考]如图, 扇形 OAB 的圆心角为
260 °,若点 P 在该扇形内,则∠APB 的度数的
范围是
.
图1
图2
5. [2025辽宁中考]如图, 在△ABC 中,AC =BC, 以
AB 为直径作⊙O,与AC 相交于点 D.连接OC,
与⊙O 相交于点 E.
30.1
直线与圆
课时检测
拍批+错题本
课时1
直线与圆相离、相切、相交
直线与圆相离、相切、相交
5.
[2026 宿迁崇文初
级中学调研] 如图,∠AOB =
1. [2026廊坊广阳区期末]若半径为6 的⊙O 与直
45°,点 M 是射线 OB 上一
线l 没有公共点，则圆心O 到直线l 的距离
点,OM=2, 以点M 为圆心,r
可以是
(
)
为半径作⊙M. 若⊙M 与射
A.7
B.6
C.5
D.4
线OA 只有1个公共点，则半径r的取值范围是
2.
[2026武汉江岸区期末]已知⊙O 的半径等
•
于3，圆心O到直线l上一点的距离为9，则直
6.
已知 Rt △ABC 的斜边AB =6, 直
线l 与⊙O 的位置关系为
(
)
角边AC=3, 以点C 为圆心作⊙C.
A. 相离
B. 相切
(1) 当半径r 为
时, 直线AB 与⊙C 相切.
C. 相交
D.以上都有可能
(2)当⊙C 与线段AB 只有一个公共点时，半径
3. [2026泰州姜堰区期中]半径为5 的四个圆按如图
所示的位置摆放，若其中一个圆的圆心到直线
r的取值范围是
.
l的距离为4，则这个圆是
(
)
(3) 当⊙C 与线段AB 没有公共点时，半径r 的
取值范围是
.
7.
[2026柳州一模]如图，已知在平面直角坐
A. ⊙O₁
B. ⊙O₂
C. ⊙O₃
D. ⊙O₄
标系xOy中，O为坐标原点，抛物线
4. [2026广州执信中学期中]在平面直角坐标系中，点
与x轴的一个交点为A(8，0)，点 C 是抛物
P 的坐标为(3,4), 以点 P 为圆心,4 个单位
线的顶点，且⊙C 与y轴相切，点 P 为⊙C 上
长度为半径作圆，下列说法正确的是
(
)
一动点.若点 D 为PA的中点，连接OD，则OD
A. 原点O 在⊙P 内
的最大值是
(
)
B. 原点O 在⊙P 上
C.⊙P 与x轴相切，与y轴相交
D.⊙P 与y轴相切，与x轴相交
B.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课时2
切线的性质和判定
课时检测
切线的性质
1. [2025洛阳期中] 如图,P 为⊙O 外一点,PA 为
⊙O 的切线,A 为切点,PO 交⊙O 于点 B,
∠P=30
°
,OB=4,则线段OP 的长为
(
)
A.6
B.4
C.4
D.8
切线的判定
5. 如图,A,B 是⊙O 上的两
点，AC 是过点 A 的一条直
线,如果∠AOB =120°,那么
当∠CAB 的度数为
时,
第1 题图
第2 题图
AC 与⊙O 相切.
B
2. [2025安徽中考]如图,AB 是⊙O 的弦,PB 与⊙O
6.
如图,OA=OB=13 cm,AB =24 cm,
课
内
提
分
区
相切于点 B,圆心 O 在线段 PA 上.已知∠P =
⊙O 的直径为10 cm.求证:AB 是⊙O 的切线.
50 °,则∠PAB的大小为
°.
3. [2026 昆明官渡区期末]以 O
为中心点的量角器与直
角三角尺 ABC 按如图所
示的方式摆放，直角顶点E
O
B
D
B 在量角器零刻度线所在直线 DE 上，且量角
器与三角尺只有一个公共点 P，若点 P 的读数
为40°,则∠CBD 的度数是
.
4. [2025湖北中考]如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,
∠BAC=45 ° . 过点O 作DF⊥AB, 垂足为点E,
交AC于点 D,交⊙O 于点 F.过点 F 作⊙O 的
切线，交CA的延长线于点 G.
7. [2026徐州睢宁期中]如图,AB 是⊙O 的直径,C
(1 ) 求证:FD=FG.
( 2 ) 若AB=12,FG=10, 求⊙O 的半径.
是AB的中点,弦 CD 与 AB 交于点 E,P 是 AB
延长线上的一点, 且PD =PE. 求证:PD 是⊙O
的切线.
G
F
D
直线与圆的位置关系
第三十章
D,水平地面AB 与⊙O 相切于点 B.
(1) 求证:∠A+2∠C=90 ° .
(2) 若AD=2m,AB=3m,
求⊙O 的半径.
8. [2026重庆北碚区期中]如图,直线AB 与⊙O 相切
于点A, 且AB=AO, 连接BO 并延长, 与⊙O 分
别交于点 C 和点 D，点E 是
的中点，连接
CE, 则∠DCE 的度数为
(
)
图1
图2
A.11.25 ° B.11.5 °
C.22.25 °
D.22.5 °
第8 题图
第9 题图
9. [2025福建中考]如图,PA与⊙O 相切于点 A,PO
的延长线交⊙O 于点 C. AB∥PC,且交⊙O 于
点B. 若∠P=30 ° , 则∠BCP 的度数为(
)
A.30 °
B.45 °
C.60 °
D.75 °
10.
[2025 北京中考]如图,⊙O 是地球
13. [2024济宁中考]如图, △ABC 内接于⊙O,D 是
的示意图，其中AB 表示赤道，CD，EF 分别表示
BC 上一点,AD=AC. E是⊙O 外一点,∠BAE =
北回归线和南回归线,∠DOB=∠FOB =23.5°.
∠CAD,∠ADE =∠ACB, 连接 BE.
(1) 若AB=8,
求AE 的长.
夏至日正午时，太阳光线 GD 所在直线经过
( 2 )求证:EB 是⊙O 的切线.
地心O，此时点 F 处的太阳高度角∠IFH(即
平行于 GD 的光线 HF 与⊙O 的切线 FI所成
的锐角)的大小为
°.
第10 题图
第11 题图
11. [2026聊城期中]如图，等边三角形ABC 的边长
为6，⊙C的半径为
，P 为AB边上一动点，
过点 P 作⊙C 的切线PQ, 切点为Q, 则PQ 的
最小值为
.
12. 中国最早在四千多年前的夏禹时代就已经有
了马车. 如图1 是马车车厢模型，如图2 是车
轮侧面图，当过圆心 O 的车架 AC 的一端A
落在地面上时，AC 与⊙O 的另一个交点为点
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
课
内
提
分
区
直线与圆的位置关系
第三十章
课时3
切线长定理
课时检测
切线长定理
3.
如图,PA,PB 是⊙O 的切线,A,B
过圆外一点作圆的切线
为切点,AC 是⊙O 的直径,∠P=50 ° , 则∠BAC
1. [2026北京朝阳区期末]如图，
的度数为
(
)
点 A 在⊙O 外,连接 OA,
A.20 °
B.25 °
C.30 °
D.35 °
作线段 OA 的中点 B,以 B
C
为圆心，BO为半径作⊙B，
与⊙O 交于点 C,D, 连接
D
AC,AD,OC,OD, 则∠OCA,∠ODA 均为直角,
直线AC,AD 是⊙O 的两条切线. 得到∠OCA,
第3 题图
第4 题图
∠ODA 均为直角的依据是
(
)
A.同弧或等弧所对的圆周角相等
4. [2025大连期中]如图,AB,AC,BD 是⊙O 的切
B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线, 切点分别是P,C,D. 若AB=10,AC=6, 则
线是圆的切线
BD 的长是
(
)
C.直径所对的圆周角是直角
A.3
B.4
C.5
D.6
D.圆的切线垂直于过切点的半径
5.
[2026 苏州振华中学月考]如图,PA,
2. 要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点 P 作
PB 是⊙O 的切线,CD 切⊙O 于点 E, △PCD
已知圆的切线. 两位同学提供了如下作图
的周长为12,∠APB=60 ° . 求:
方案.
(1)PA 的长;
方案Ⅰ
(2)∠COD 的度数.
方案Ⅱ
①连接OP,与⊙O 交于
点 D,过点 D 作 PO 的垂
线DM;
①以P 为圆心,OP 为半
②以O 为圆心,OP 为半
径作弧；
径作弧交垂线 DM 于
②以点 O 为圆心,OP 为
点 B;
半径作弧，与①中的弧
③以P 为圆心,BD 为半
交于点 D，连接OD，交
径作弧交⊙O 于点 A，连⊙O 于点 A,连接 PA.
接AP.
对于方案Ⅰ和Ⅱ，说法正确的是
(
)
A.Ⅰ可行，Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C. Ⅰ,Ⅱ都可行
D. Ⅰ,Ⅱ都不可行
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专项
证明圆的切线的两种方法
拍批+错题本
3. [2025南宁天桃实验学校期中]如图，AB 为半圆 O 的
直径，C为半圆上一点，D为AC 的中点，过点
直线与圆有公共点
C作半圆O的切线交 OD 的延长线于点 E，交
AB 的延长线于点 F,连接EA.
(1)求证:EA 是半圆O 的切线.
(2) 若CE=3,CF=2,
求半圆O 的半径.
1. 如图，AB 为⊙O 的直径，如果圆上的点 D恰使
∠ADC=∠B, 求证: 直线CD 与⊙O 相切.
B
O
不确定直线与圆是否有公共点
2. [2026福州屏东中学期中]如图,AB 是⊙O 的直径,
过点 C 作CE⊥AD 于点 E.
(1) 求∠DAB 的度数.
(2) 求证: 直线CE 是⊙O 的切线.
4. [2025福州期中]如图, 在 Rt △ABC 中,∠BAC =
90° ,BD 是角平分线, 以点 D 为圆心,DA 长为
半径作⊙D.求证:BC是⊙D 的切线.
B'
C
直线与圆的位置关系
第三十章
30.2
三角形的内切圆
课时检测
拍批+错题本
三角形的内切圆
5. [2026徐州邳州期中]如图, 在△ABC 中,AB =6,
1.
如图,点I是△ABC的内心,∠BIC =
AC=10,
点O 为△ABC 的内心. 若△ACO 的面
130° , 则∠BAC=
积为25, 则△ABO 的面积为
(
)
(
)
A.5
B.10
C.15
D.20
A.60 °
B.65 °
C.70 °
D.80 °
第1 题图
第2 题图
第5 题图
第6 题图
2.
[2026扬州江都区期中]如图，点 O 是
6. [2026烟台期末]如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,
△ABC 的外心, 点I 是△ABC 的内心, 连接
且 AB 为⊙O 的直径,点 E 为△ABC 的内心,
OB,OC,IA.
若∠CAI=35 ° , 则∠OBC 的度数为
AE 的延长线交⊙O 于点 D, 连接BD,BE. 若
(
)
AB=5,BE=
则AD 的长为
(
)
A.18 °
B.19 °
C.20 °
D.22 °
A.
B.
C.2
3. [2026扬州仪征期中] 如图,⊙I
7.
[2025 北京师大二
是△ABC 的内切圆，切点分
附中模拟]如图，⊙O 的外切四
别是D,E,F. 若∠A=60 ° , 则
边形 ABCD 的周长为32, 其
∠DFE=
°.
相邻的三条边AB:BC:CD=
F
4. [2025 攀枝花中考]如图,⊙O 是
3:4:5,
则AD=
。.
C
△ABC 的内切圆, 与AB,BC,CA 分别相切于点
8. [2025杭州十五中月考]如图,⊙O 是 Rt △ABC 的
D,E,F,
∠DOE=120 ° ,∠EOF=150 ° .
内切圆, 已知∠B=90 ° ,AB=8,BC=6.
(1 )求△ABC 的三个内角的大小.
(1) 求△ABC 内切圆的半径;
( 2 ) 设⊙O 的直径为d, 求证:d=AB+AC-BC.
(2 )求△ABC的内心和外心的距离.
A
C
B
E
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30.3
正多边形与圆
课时检测
拍批+错题本
6. [2026舟山期中] 如图, 点O 为正八边形ABCDEFGH
的中心, 连接DA,DB, 则∠ADB=
°.
正多边形的有关概念及计算
1. 给出下列命题：①各边相等的多边形是正多边
形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形
的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n
第6题图
第7 题图
条对称轴.其中真命题的个数是
7.
[2026 徐州期中]如图，两个正六边
(
)
形的边长都为3，将它们的一边重合在一起，
A.4
B.3
C.2
D.1
顶点 A，B之间的距离为
.
2. [2025福州十六中期中]若正多边形的中心角为
8. [2026厦门九中期中]某手工艺人制作圆形正五边
形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环
45 °，则正多边形的边数是
(
)
状，这些木片完全相同.现已摆放3 个正五边
A.4
B.6
C.8
D.12
形木片，呈现如图所示的位置关系.手工艺人
计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完
3. [2024济宁中考]如图，边长为2 的正六边形
整的圆环状.要完成这一圆环排列，总共需
ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为
要
个正五边形木片.
(
)
A.1
B.2
C.
D.
第8题图
第9题图
9. [2026杭州淳安期中]如图, 九边形 ABCDEFGHI
是⊙O 的内接正九边形, 连接AD,AG,DG,AF.
第3 题图
第4题图
AF 与DG 交于点M, 则∠DMA=
°.
4.
[2026 常州花园中学期中]刘徽在
正多边形的画法
10. 如图, 已知⊙O 的半径为1cm , 求作⊙O 的内
《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内
接正八边形.
接正多边形来估算圆周率，开创了中国数学发
展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习
“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆
内接正十二边形.若⊙O的半径为2，则这个圆
内接正十二边形的面积为
(
)
A.3
B.12
C.4 π
D.12 π
5. [2024广元中考]点 F 是正五边形 ABCDE 边 DE
的中点，连接BF 并延长，与CD 的延长线交于
点G, 则∠BGC 的度数为
.
C
D
直线与圆的位置关系
第三十章
司南中心为一圆形，圆心为点 O，直径为20，
根据八个方位将圆形八等分(图2中点A~H)，
11. 如图，将圆六等分，B，D是其中两个等分点，点
过点 E作⊙O 的切线与AG 的延长线交于点
A,C 分别在圆上, 则∠BAD:∠BCD =
(
)
M, 连接AE,EG.
A.2:5
B.1:2
C.3:5
D.2:3
图1
图2
第11 题图
第12 题图
(1 ) 相邻两个方位间所夹的圆心角的度数
12. [2026莆田一中段考]如图，在平面直角坐标系
为
;
中，边长为4 的正六边形 ABCDEF 的中心与
( 2 ) 求AG 的长;
原点O 重合，AB∥x轴，将正六边形绕点O 顺
(3 )求 ME 的长.
时针旋转，每次旋转45 °，则第1 000 次旋转
结束时，点A的坐标为
(
)
D.(2,2
13. [2026石家庄桥西区期末]
如图，点 O 为正六边形
ABCDEF 的中心,边长AB 为2,点 G为AB 的
中点,若点 P 为 CB 边上的动点,则 PO +PG
的最小值为
(
)
A.2
B.3
D.
第13 题图
第14 题图
14. 如图,正方形 ABCD 的边长为4,
⊙O 的半径为1. 若⊙O 在正方
形ABCD 内平移(⊙O 可以与该
视频解题
正方形的边相切)，则点 A 到⊙O 上的点的距
16.
如图，
离的最大值为
.
正三角形的边长为12 cm，
15.
[2025扬州广陵区期中]司南是我国古代
剪去三个角后成为一个正
辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就
六边形，则这个正六边形的
H
K
已被发明，是现在所用指南针的始祖.如图1，
内部任意一点到各边的距离和为   cm.
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
数学活动
拍批+错题本
利用等分圆周设计图案
2. 如图，是由边长为1 的正六边形和六角星镶嵌
纸条平结
而成的图案，其中，图案的上、下边沿刚好穿过
1. 学了正多边形与圆后，我们知道可以用直尺和
正六边形的对称轴，则图中阴影部分的面积是
圆规作正方形和正六边形，但作正五边形和正
七边形就不那么容易.现向同学们介绍如何用
(
)
折纸的方法“编”出正多边形.
B.21
材料：等宽的纸条数根.
折法：如图1，将两根等宽的纸条对折，穿插后
重叠部分为正方形.
第2 题图
第3 题图
3. [2026台州路桥区期末]如图，在半径为1 的圆中
图1
图2
用等分圆周的方法设计一个“花瓣”图案(阴
如图2，取一根等宽的纸条打个结，拉紧，重叠
影部分)，则“花瓣”图案的周长是
.( 结果
部分即为正五边形.
如图3，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可
保留π)
得正六边形.
4.
[2025徐州中考]“连弧纹镜”为战国至两
汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二
个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装
图3
图4
饰图案. 图1 为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，
如图4，把图2 的纸条再打一个结，拉紧，重叠
纹饰中有八个连续的弧连成一圈.图2 为另一
部分即为正七边形.
件连弧纹镜(残件)的示意图.
问题：
(1 )若要“编”一个边长为2 cm的正方形，则
所需纸条的宽度是多少?
( 2 )若要“编”一个边长为2 cm的正六边形，
则所需纸条的宽度是多少?
(3 ) 把图4 中的纸条再打一个结，拉紧，能得到
正九边形吗?请你试一试，并求出正九边
图1
图2
形各内角的度数.
(1 )若将图2 中的连弧纹镜补全，则该铜镜应
为“
连弧纹镜”；
( 2 )请用无刻度的直尺与圆规，补全图2 中所
有残缺的弧，使其“破镜重圆”.(保留作图
痕迹，不写作法)
直线与圆的位置关系
第三十章
章末复习专练
拍批+错题本
一遍过初中数学•九年级上册•RJ
(1) 求证:OD⊥OE.
(2) 若AB =BC,OB =
求
四边形的
面积.
1.
[2025 青岛中考]如图,
四边形ABCD 是⊙O 的内接四
边形,∠ADC =90 ° ,DC =BC,
直线EA 与⊙O 相切于点 A.若
B
∠BCD =128°,则∠DAE的度数为
(
)
A
O
B
A.52 °
B.54 °
C.64 °
D.74 °
2. [2025自贡中考]PA,PB分别与⊙O 相切于点A,B.
点C 在⊙O 上, 不与点A,B 重合. 若∠P=80 ° ,
则∠ACB ODCE 的度数为
(
)
A.50 °
B.100 °
C.130 °
D.50 °或130°
3. [2024绵阳中考]如图，在边长为2 的正六边形
ABCDEF 中, 连接BE, 点H 在 BE 上运动, 点 G
为EF 的中点, 当△AGH 的周长最小时,AH+
GH =
(
)
A.2
C.12
D.13
7. [∠U∠5南宋甲亏] 如图,O 定△ADLD 的对称中
心,BC与⊙O 相切于点 E.
(1)求证:直线AD 是⊙O 的切线.
选择其中一位同学的想法，完成证明.
(2) 当AB 与⊙O 相切时, ▱ABCD 是菱形吗?
第3题图
第4题图
说明理由.
4. [2025东营中考]如图，在平面直角坐标系中，⊙P
与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q，点P的
坐标为(5,-3), 则点N 的坐标为
.
B
E
C
5. [2025上海中考]已知平面内有一个角，一个圆与
这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边
上截得的两条线恰好是某正五边形的两边，那
么这个角的度数为
.
6. [2025浙江中考]如图, 在△ABC 中,AB =AC, 点
O 在边AB 上，以点 O 为圆心、OB 长为半径的
半圆, 交 BC 于点 D, 与AC 相切于点 E, 连接
OD,OE.
期末综合能力测评卷
见活页卷7