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2025-2026 学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）若代数式1
x +1在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1
B．x＝﹣1
C．x≠0
D．x≠﹣1
2．（3 分）当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标
中是轴对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1
D．x（x﹣1）＝x2﹣x
4．（3 分）下列分式中是最简分式的是（ ）
A．3 x
x
2
B．
xy
x
2−3 x
C．x−y
x + y
D．( x + y) y
x y
2
5．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．2a3•a2＝a5
B．（a+b）2＝a2+b2
C．a3÷a3＝0
D．（ab2）2＝a2b4
6．（3 分）如图，在△ABC 中，∠A＝110°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则x 的值为（ ）
A．135
B．140
C．145
D．150
7．（3 分）在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个
Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°，后续画图的主
2
要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（ ）
A．SSS
B．AAS
C．ASA
D．HL
8．（3 分）南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200 株花，由于大学生志愿者的加入，每小时
比原计划多种20 株，结果提前1 小时完成任务．设原计划每小时种x 株，根据题意可列方程为
（ ）
A．200
x +20 −200
x =1
B．200
x −200
x−20 =1
C．200
x−20 −200
x =1
D．200
x −200
x +20 =1
9．（3 分）若A = 2
3 (1+ 1
3
1 )(1+ 1
3
2 )(1+ 1
3
4 )(1+ 1
3
8 )(1+ 1
3
16 )⋯(1+
1
3
1024 )−1，则A 的值是（ ）
A．0
B．﹣1
C．−
1
3
1024
D．−
1
3
2048
10．（3 分）如图，在长方形ABCD 中，AB＝2BC，点P 为边CD 上的一个动点，线段AP 绕点A 顺时针
旋转60°得到线段AP'，连接PP'，BP'，当线段BP'的长度最小时，∠PP'B 的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．（3 分）点A（2，3）关于x 轴的对称点的坐标是 ．
12．（3 分）小数0.000065 用科学记数法表示为 ．
13．（3 分）计算20×2﹣2＝ ．
14．（3 分）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任
意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB 组成，OC＝CD＝DE，点D、E 可在槽中滑动．
若∠BDE＝75°，则∠AOB 的度数是 °．
3
15．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝4，E 为BC 的中点，点P 为线段
AC 上一动点．则EP+BP 的最小值为 ．
16．（3 分）如图，已知△ABC 为等边三角形，D 是AB 延长线上一点，M 为边BC 上一点，连接CD，作
CN⊥DM 交DM 的延长线于点N，连接AN 并延长交BC 于点K，若∠CDM =30°，BD = 3
4 MK，
CM＝16，则CK＝ ．
三、解答题（共8 小题，共72 分）
17．（8 分）计算：2a（a2+1）﹣2a5÷a2．
18．（8 分）因式分解：x3﹣xy2．
19．（8 分）如图，AC、BD 交于点O，连接AB、BC、CD、AD，AB∥CD．若 ，
则AB＝CD．从①OA＝OC，②∠BAD＝∠BCD，③AD＝BC．这三个选项中选择一个作为条件，使
结论成立，并说明理由．
4
20．（8 分）先化简，再求值：(1−
1
a−2 )÷ a
2−6a+9
a
2−4
，其中a＝1．
21．（8 分）如图是由小正方形组成的4×7 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 三个顶点都是格
点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（本题共2 问，每问不超过5 条线）．
（1）在图1 中，画△ABC 的高AD 和中线BE；
（2）在图2 中，在线段AC 上画一点M，使得∠CBM＝45°，再在线段BC 上找一点N，使得
MN∥AB．
22．（10 分）随着新能源汽车的日益增多，某公司计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，
来满足使用新能源汽车员工的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表．
单枪充电桩
双枪充电桩
单价：x 元/个
单价：1.5x 元/个
花费：40000 元
花费：30000 元
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多5 个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单
价各多少元？
（2）在（1）的条件下，根据员工需求，公司决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共10 个，已
知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了
10%，如果此次加购公司预备支出不超过50000 元，求公司最少需要购买单枪新能源充电桩的数量；
（3）为提高使用效率，公司需要全部购买双枪充电桩，现有甲、乙、丙三个厂家，2025 年这三家双
枪充电桩销售价格相同，2026 年以来，为抢占市场，他们均对双枪充电桩进行两次降价销售，具体活
动如下：
甲：第一次降价p%，第二次降价q%；
乙：第一次降价q%，第二次降价p%；
丙：连续两次降价均为p+q
2
%．
其中p、q 是不相等的正数．现公司选择到哪个厂家购买双枪充电桩更划算？请说明理由．
5
23．（10 分）在△ABC 中，∠ABC＝45°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α，得到线段AD．
（1）如图1，∠ACB＞90°，当α＝135°时，过点D 作DE∥BC 交BA 的延长线于点E，请直接写出线
段AE 与BC 的数量关系 ；
（2）连接BD，M 为线段BD 上一点．
①如图2，∠ACB＞90°，当α＝180°﹣2∠CAB，∠MAB＝45°时，求AM
BC 的值；
②如图3，∠ACB＜45°，当α＝90°，∠MAB＝135°，AM＝1，△ABM 的面积等于3
2时，求BC 的长．
24．（12 分）已知A 为x 轴负半轴上一点，点C 与点A 关于y 轴对称，B 为y 轴正半轴上一点．
（1）如图1，连接AB、BC，若∠ABO＝30°，AE 平分∠BAC 交y 轴于点D，交BC 于点E，已知点B
的坐标为（0，3），请直接写出点D 的坐标（ ， ）；
（2）如图2，M 为第一象限内一点，BM＝BA 且∠ABM＝60°，连接MC 并延长交y 轴于点N，试探究
线段CN、BN 和MN 之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若∠ABO＝60°，A 的坐标为（a，0），在直线AB 上取两点D、E，使得DA＝AB＝BE，
连接CB、CE、CD，以CD 为底边在CD 的下方构造等腰△CDF，且∠DCF＝30°，连接EF 交x 轴于点
K，已知EF＝m（m＞0），求K 点坐标（用含a、m 的式子表示）．
6
7
2025-2026 学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
D
C
D
D
D
C
11.（2，﹣3） 12.6.5×10﹣5 13.1
4 14.25 15.6 16.48
7
选择题、填空题解法提示
9．解：原式＝（1−1
3
1）（1+ 1
3
1）（1+ 1
3
2）（1+ 1
3
4）（1+ 1
3
8）（1+ 1
3
16）…（1+
1
3
1024 ）﹣1
＝（1−1
3
2）（1+ 1
3
2）（1+ 1
3
4 ）（1+ 1
3
8）（1+ 1
3
16）…（1+
1
3
1024 ）﹣1
＝（1−1
3
4 ）（1+ 1
3
4）（1+ 1
3
8）（1+ 1
3
16）…（1+
1
3
1024 ）﹣1
＝（1−1
3
8）（1+ 1
3
8）（1+ 1
3
16）…（1+
1
3
1024 ）﹣1
…
＝1−
1
3
2048 −1
=−
1
3
2048，
故选：D．
10．解：如图，线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AP′，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到
AE，连接P′E，设P′E 交AB 于点G，
∴AD＝AE，AP＝AP′，∠DAE＝60°＝∠PAP′，
∴△PAP′是等边三角形，
8
∴∠DAE﹣∠PAE＝∠PAP′﹣∠PAE，∠AP′P＝60°，
∴∠DAP＝∠EAP′，
在△DAP 和△EAP′中，
{
AD = AE
∠DAP =∠EAP′
AP = AP′
，
∴△DAP≌△EAP′（SAS），
∴∠D＝∠E，
在矩形ABCD 中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠EAG＝∠DAG﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BGP′＝∠EGA＝90°﹣∠EAG＝90°﹣30°＝60°，
∴点P′在直线EP′上运动，
∴当BP′⊥EP′时，BP′有最小值，
∴∠BP′G＝90°，
∴∠GBP′＝90°﹣∠BGP′＝30°，
设EG＝x，GP′＝y，
∴EP′＝EG+GP′＝x+y，
∴AG＝2EG＝2x，BG＝2GP′＝2y，
∴AB＝AG+BG＝2x+2y＝2（x+y）＝2EP′，
∵AB＝2BC＝2AD＝2AE，
∴AE＝EP′，
∴△EAP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′A＝45°
∴∠PP′B＝∠AP′E+∠EP′B﹣∠AP′P＝45°+90°﹣60°＝75°．
故选：C．
15．解：如图，
9
作点B 关于AC 的对称点B′，连接B′E 交AC 于点P，由对称性质可知PB＝PB′，
∴EP+BP 的最小值即为B′E 的值，
在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，
∴BC=√8
2−4
2=
4√3，
∵E 为BC 的中点，
∴BE＝2√3，
∵S△ABC= 1
2 AB⋅BC = 1
2 AC ⋅BD，
∴BD= AB⋅BC
AC
= 4×4√3
8
=2√3，
∴BD＝BE，BB′＝4√3=BC，
在△BCD 和△BB′E 中，
{
BC = BB′
∠CBD =∠B′ BE
BD = BE
，
∴△BCD≌△BB′E（SAS），
∴B′E＝CD，
∵CD=√BC
2−B D
2=√(4√3)
2−(2√3)
2=6，
∴B′E＝CD＝6，
∴EP+BP 的最小值为6．
故答案为：6．
16．解：取CD 中点E，连接BE、NE，
∵∠CDM＝30°，∠DNC＝90°，
10
∴NE＝NC= 1
2
CD，∠NCE＝60°．
又∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AC＝BC．
∴∠ACB＝∠NCE．
∴∠ACB﹣∠NCK＝∠NCE﹣∠NCK．
∴∠ACN＝∠BCE．
又∵AC＝BC，NC＝EC，
∴△ACN≌△BCE（SAS）．
∴∠ANC＝∠BEC．
∴∠CNK＝∠DEB．
又∵∠BDE＝∠ABC﹣∠BCE＝60°﹣∠BCE，
∠KCN＝∠ACB﹣∠ACN＝60°﹣∠ACN，
∴∠BDE＝∠KCN．
又∵DE＝CN，∠DEB＝∠CNK，
∴△DEB≌△CNK（ASA）．
∴DB＝CK．
设DB＝CK＝x，
∴MK＝CM﹣CK＝16﹣x．
∵BD= 3
4
MK，
∴x= 3
4
（16﹣x）．
∴x= 48
7
．
∴CK= 48
7
．
故答案为：48
7
．
解答题参考答案
17．解：2a（a2+1）﹣2a5÷a2
＝2a3+2a﹣2a3
＝2a．
11
18．解：x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x+y）（x﹣y）．
19．解：选择条件①或②都能得出结论AB＝CD，选择条件③不能得出结论AB＝CD，
故答案为：①（答案不唯一，选择②亦可）．
当选择条件①OA＝OC 时，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠OBA＝∠ODC，∠OAB＝∠OCD，
在△OAB 和△OCD 中，
{
∠OBA =∠ODC
∠OAB =∠OCD
OA =OC
，
∴△OAB≌△OCD（AAS），
∴AB＝CD；
当选择条件②∠BAD＝∠BCD 时，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠DBA＝∠BDC，
在△DBA 和△BDC 中，
{
∠DBA =∠BDC
∠BAD =∠BCD
BD = DB
，∴△DBA≌△BDC（AAS），
∴AB＝CD．
20．解：原式= a−2−1
a−2
•(a+2)(a−2)
(a−3)
2
= a−3
a−2
•(a+2)(a−2)
(a−3)
2
= a+2
a−3
；
当a＝1 时，
原式= 1+2
1−3 =−1.5．
21．解：（1）如图1，AD，BE 即为所求．
12
（2）如图2，取格点P，使CP⊥BC 且CP＝BC，连接BP 交AC 于点M，
则点M 即为所求．
分别取格点F，G，H，K，使FG∥AC，HK∥BP，取FG 与HK 的交点Q，连接MQ 并延长，交BC 于
点N，
则点N 即为所求．
22．解：（1）根据题意可得，40000
x
−30000
1.5 x =5，
∴x＝4000，
经检验，x＝4000 是原方程的解，且符合题意，
1.5x＝1.5×4000＝6000（元/个），
答：单枪新能源充电桩的价格为4000 元/个，双枪新能源充电桩的价格为6000 元/个；
（2）单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，
则现在单枪新能源充电桩的单价为4000×（1+10%）＝4400（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，
则现在双枪新能源充电桩的单价为6000×（1﹣10%）＝5400（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a 个，
总花费为[4400a+5400（10﹣a）]元，
∴4400a+5400（10﹣a）≤50000，
∴a≥4，
∴a 的最小值为4，
答：公司最少需要购买单枪新能源充电桩4 个；
13
（3）设双枪充电桩的原价为a 元（a＞0），令m＝p%，n＝q%，其中m＞0，n＞0，且m≠n，
∴甲厂家最终售价：a（1﹣p%） （1﹣q%）＝a（1﹣m）（1﹣n），乙厂家最终售价：a（1﹣q%）
（1﹣p% ）＝a（1﹣n）（1﹣m），
∴甲、乙两家厂家的最终售价完全相等．
又∵丙厂家最终售价：a[1−p+q
2
% ]
2=a(1−m+n
2
)
2，
∴
丙
厂
家
与
甲
厂
家
的
售
价
差
值
：
a(1−m+n
2
)
2−a(1−m)(1−n)=a[1−(m+n)+ (m+n)
2
4
]−a[1−(m+n)+mn]=a⋅(m−n)
2
4
，
∵a＞0，m≠n，
∴a(m−n)
2
4
＞0，即丙厂家售价＞甲、乙厂家售价．
综上，选择甲厂家或乙厂家购买双枪充电桩更划算，两家性价比一致．
23．解：（1）如图，在AB 上取点K，使得CK＝CB，
则∠CKB＝∠B＝45°，
∴∠AKC＝135°，
∵DE∥BC，
∴∠DEA＝180°﹣∠B＝135°，
由题意可得∠CAD＝135°，AD＝AC，
∵∠DAB＝∠CAD+∠BAC＝∠DEA+∠ADE，且∠DEA＝∠CAD＝135°，
∴∠BAC＝∠ADE，
在△ADE 和△CAK 中，
{
∠DEA =∠AKC
∠ADE =∠CAK
AD = AC
∴△ADE≌△CAK（AAS），
∴AE＝CK＝CB，
故答案为：AE＝CB；
（2）①如图，延长BA，作射线AG，
14
∵α＝180°﹣2∠CAB，
∴2∠CAB+α＝180°，
∵∠CAB+∠DAG+α＝180°，
∴∠CAB＝∠DAG，
∵∠MAB＝45°，
∴∠MAG＝∠DAG+∠DAM＝135°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CAB+∠ACB＝135°，
∵∠CAB＝∠DAG，
∴∠DAM＝∠ACB，
如图，延长AM 到点K，使BC＝AK，
在△KAB 和△CBA 中，
{
AK = BC
∠MAB =∠ABC = 45°
AB = AB
，
∴△KAB≌△CBA（SAS），
∴BK＝CA＝AD，∠AKB＝∠ACB＝∠DAM，
在△BMK 和△DMA 中，
{
∠AKB =∠DAM
∠BMK =∠AMD
BK = AD
，
∴△BMK≌△DMA（AAS），
∴AM＝MK= 1
2
AK= 1
2 BC，
∴AM
BC = 1
2
；
②如图，分别过C、D 作AM 的垂线段，垂足分别为K、H，
15
∵∠MAB＝135°，
∴∠BAH＝45°，
∵∠ABC＝45°，∠AHC＝90°，
∴B、H、C 三点共线，且AH＝BH，
∴S△ABM= 1
2 ⋅AM•BH= 1
2BH= 3
2，
∴BH＝3＝AH，
∴MH＝AM+AH＝4，
则∠K＝∠CAD＝∠H＝90°，
∴∠DAK＝∠ACH＝90°﹣∠CAH，
∵DA＝AC，
∴△AKD≌△CHA（AAS），
∴DK＝AH＝BH＝3，AK＝CH，
∵∠K＝∠BHM＝90°，∠DMK＝∠BMH，
∴△DMK≌△BMH（AAS），
∴KM＝MH＝4，
∴AK＝AM+MK＝5，
∴CH＝AK＝5，
∴BC＝BH+CH＝8．
24．解：（1）∵点B 的坐标为（0，3），
∴OB＝3，
∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∵AE 平分∠BAC 交y 轴于点D，
16
∴∠BAD= 1
2
∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠ABO，
∴BD＝AD，
在Rt△ADO 中，∵∠DAO＝30°，
∴AD＝2OD，
∴BD＝2OD，
∴2OD+OD＝3，
∴OD＝1，
∴D（0，1），
故答案为：0，1；
（2）结论：CN+MN＝BN，理由如下：
如图，作点N 关于x 轴的对称点H，连接BC，AN，AH，
∵BM＝BA 且∠ABM＝60°，
∴△ABM 是等边三角形，
∴∠BAM＝60°，BA＝MA，
∵点C 与点A 关于y 轴对称，B 为y 轴正半轴上一点，
∴BA＝BC，∠ABO＝∠CBO，
∴BM＝BC，
设∠ABO＝∠CBO＝α，则∠CBM＝60°﹣2α，
∴∠BCM＝∠BMC= 1
2
（180°﹣∠CBM）＝60°+α，
∴∠BCN＝180°﹣∠BCM＝120°﹣α，
∵∠BCO＝90°﹣α，
∴∠NCO＝∠BCN﹣∠BCO＝（120°﹣α）﹣（90°﹣α）＝30°，
∴∠CNO＝90°﹣30°＝60°，
∵点C 与点A 关于y 轴对称，
17
∴∠ANO＝∠CNO＝60°，AN＝CN，
∵点N 与点H 关于x 轴对称，
∴∠AHO＝∠ANO＝60°，
∴△AHN 是等边三角形，
∴∠HAN＝60°，AH＝AN＝HN＝CN，
∴∠BAH＝60°﹣∠HAN＝∠MAN
∴△BAH≌△MAN（SAS），
∴BH＝MN，
∵HN+BH＝BN，
∴CN+MN＝BN；
（3）如图，延长AD 至G，使DG＝AD，连接FG，
∵∠ABO＝60°，A 的坐标为（a，0），
∴OA＝﹣a，∠BAO＝30°，
∵点C 与点A 关于y 轴对称，
∴OC＝OA，CB＝AB，∠CBO＝∠ABO＝60°，∠BCO＝∠BAO＝30°，C（﹣a，0），
∴∠CBE＝180°﹣∠ABO﹣∠CBO＝60°，
∵AB＝BE，
∴CB＝BE，
∴△BCE 是等边三角形，
∴∠BEC＝∠BCE＝60°，CE＝CB，
∵DG＝AD＝AB，
∴CE＝DG，
∵等腰△CDF 中，∠DCF＝30°，FC＝FD，
∴∠FDC＝∠DCF＝30°，
∴∠CFD＝120°，
18
在四边形CEDF 中，∠CFD+∠ECF+∠CED+∠EDF＝360°，
∴∠EDF+∠ECF＝360°﹣∠CFD﹣∠CED＝360°﹣120°﹣60°＝180°，
∵∠EDF+∠FDG＝180°，
∴∠ECF＝∠FDG，
在△CEF 和△DGF 中，
{
CE = DG
∠ECF =∠FDG
FC = FD
，
∴△CEF≌△DGF（SAS），
∴FE＝FG，∠EFC＝∠GFD，
∴∠EFG＝∠GFD+∠DFE＝∠EFC+∠DFE＝∠CFD＝120°，
∴∠FEG＝∠G＝30°，
∴∠BAO＝∠FEG，
∴EK＝AK，
∵∠CEK＝∠CEB﹣∠FEG＝30°，∠ACE＝∠BCO+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴EK＝2CK，
∴AK＝2CK，
设K（x，0），
则CK＝﹣a﹣x，AK＝x﹣a，
∵AK＝2CK，
∴x﹣a＝2（﹣a﹣x），
∴x=−1
3
a，
∴K（−1
3
a，0）．
