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2025-2026 学年湖北省黄冈市高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数 ，则 （ ）
2025
1+
A．﹣3i = 1−B． 3i −2 = C．﹣3 D．3
2．（5分）设a，b R，则“a+b＞0”是“a3+b3＞0”的（ ）
A．充分不必要∈条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）有一散点图如图，在5个（x，y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）
A．解释变量x与响应变量y的线性相关性变弱
B．数据y的方差变大
C．决定系数R2变小
D．残差平方和变小
4．（5分）若 ， ， ，则sin2 ＝（ ）
2 − =2 ∈( ) θ
2
A． B． C． D．
7 24 24 7
5．（5分 − ）25设函数f（x）是定义 − 在25[﹣2，2]上的奇函数2，5当0≤x≤2时，f（x2）5＝2x﹣1，则 （ ）
1
( 1)=
A．e﹣1 B．1﹣e C． D． 2
1 1
− 1 1−
6．（5分）已知双曲线 ＞，＞ 的左 右焦点分别为F1 ，F2 ，过 F2 且垂直于x轴的直线与
2 2
该双曲线右支交于A
，2 −B两
2点=，1直( 线0AF1 ，B0F)
1
分别交y轴于M，N两点，若△MF1N的周长为24，则
a+b的最大值为（ ）
A．12 B．16 C． D．
7．（5分）直线y＝x+1与x，y轴分别交于M，N两6点，2 点P在圆 ： 6 2+6 上，当△MNP面
2 2
第1页（共22页） 1 −2 + =0积最大时， （ ）
→ →
A． ⋅ = B． C． D．
8．（5分3）+2当2x＞1时，关于x3的−不2 等2式（2x﹣1）ex﹣1+a（2x﹣1）≤0仅有两个2−正1整数解，则实数a的取值
范围是（ ）
A． ， B． ，
3
2 2 2 5 3
[4 3 ) [3 )
C． ， D． ，2
5 3 7 4 7 4 9 5
二、多选[ 2题 ：本3题 )共3小题，每小题6分，共18分.在[ 3每 小题4给 )出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，CA＝CB，点P，Q分别为A1B，CC1 的中点，则（ ）
A．PQ⊥AB B．PQ⊥平面A1BC1
C．PQ∥平面ABC D．BQ∥AC
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处有极大值，则（ ）
A．a＝1
B．f（2+x）+f（2﹣x）＝4
C．若0≤x≤t时，f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4]
D．曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与曲线f（x）有两个不同的公共点
（多选）11．（6分）已知函数 ， ， 且k N*，则（ ）
2 2 2 2
A．函数f2 （x）在 ， 上 (单 )调=递 减 − ( )= + ≥2 ∈
[0 ]
B．函数g2 （x）的最小2正周期为
C．函数y＝fk （x）的图像关于 2 对称
D．函数gk （x）的值域为[21﹣k， = 1]4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）记Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a1+a5 ＝14，2a2+a3 ＝15，则S15 ＝ ．
13．（5分）2025的正因数有 个．
14．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣（b
﹣c）2，若 ，则t的最小值为 ．
2 2
四、解答题：本 题+共 5=小题2 ， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，1），记数列{an}的前n项和为Sn ，
第2页（共22页）且Sn ＝f（n）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，数列{bn}的前n项和为Tn ，求证： ＜ ．
−3
2 1
=
16．（15分）如图( ， +在1)三( 棱 +台1+A1B)C﹣A1B1C1 中，CC1 ⊥平面ABC，E为CC8
1
中点，BC⊥AE．
（1）证明：AC⊥BE；
（2）若AC＝2A1C1 ＝2CC1 ＝4，BC＝3，求直线EB1 与平面ABE所成角的正弦值．
17．（15分）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知
识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人．设事件A＝“学
生愿意报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计 ， ．
3 2
（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概 率(值 )=＝50.00 1 (的 | 独)立=性3检验，能否推断该校学
生报名参加答题活动与性别有关？ α
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 ．
2
（i）若答题活动设置n（n N*且n≥10）道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求
3
n的值．
（ii）若答题活动设置4道∈题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答
题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布
列和期望．
参考公式与数据： ，其中n＝a+b+c+d．
2
2 ( − )
=
0.10( + )( + )(0 .+05 )( + ) 0.01 0.005 0.001
α
第3页（共22页）x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
18．（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 1（a＞b＞0）的上顶点为A，左焦点为
2 2
F，焦距为4 ，△AOF的面积为6，点D（m，n）为椭2 +圆上2一=点，圆D的面积为8 ．
（1）求椭圆的3离心率； π
（2）过原点O作圆D的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N．
（i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为k1 ，k2 ，求k1k2 的值；
（ii）求|OM||ON|的最大值．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝aex﹣x2．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）讨论函数g（x）在（0，+∞）上极值点的个数；
（3）设函数 ，若h（x）在定义域内有三个不同的极值点x1 ，x2 ，x3 ，且满足
( )+ ( )
ℎ( )= ℎ( 1)⋅ℎ( 2)⋅
，求实数 a的取值范围．
2
4(1− )
ℎ( 3)≥ 2
第4页（共22页）2025-2026 学年湖北省黄冈市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B B D A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC BC ABD
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数 ，则 （ ）
2025
1+
A．﹣3i = 1−B． 3i −2 = C．﹣3 D．3
【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算即可计算出结果．
【解答】解：i2025＝（i2）1012i＝i，
所以复数 ，
2025 2 2
1+ 1+ (1+ ) 1+2 +
故 = 1− = 1−． = (1− )(1+ ) = 2 =
故选 −：2A ．=− −2 =−3
2．（5分）设a，b R，则“a+b＞0”是“a3+b3＞0”的（ ）
A．充分不必要∈条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．
【解答】解：由a+b＞0，得a＞﹣b，
则a3＞（﹣b）3＝﹣b3，
故a3+b3＞0，是充分条件，
由a3+b3＞0，得a3＞﹣b3＝（﹣b）3，
第5页（共22页）得a＞﹣b，a+b＞0，是必要条件，
故选：C．
3．（5分）有一散点图如图，在5个（x，y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）
A．解释变量x与响应变量y的线性相关性变弱
B．数据y的方差变大
C．决定系数R2变小
D．残差平方和变小
【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，方差，决定系数，残差的平方和的变化情况．
【解答】解：从散点图可分析出，
若去掉点D（3，10），则剩下的点更能集中在一条直线附近，
所以数据的离散程度减小，
解释变量x与响应变量y的线性相关性变强，
决定系数R2越接近1，会变大，方差变小，
因为拟合效果越好，所以残差平方和变小．
故ABC错误，D正确．
故选：D．
4．（5分）若 ， ， ，则sin2 ＝（ ）
2 − =2 ∈( ) θ
2
A． B． C． D．
7 24 24 7
− −
【分析2】5法一：由2sin ﹣co 2 s 5＝2两边平方，结合25sin2 +cos2 ＝1解出2s5in cos ，可得tan ，
3 3
θ θ θ θ θ=− θ θ=−
4 4
第6页（共22页）然后将sin2 化简为关于tan 的表达式，代入数据求出答案．
法二：根据θ同角三角函数关θ系式，结合题意求出sin 、cos ，然后运用二倍角的正弦公式求出sin2 的
值． θ θ θ
【解答】解：法一：由2sin ﹣cos ＝2，两边平方得（2sin ﹣cos ）2＝4，
即（2sin ﹣cos ）2＝4（sinθ2 +cosθ2 ），整理得3cos2 +4sinθcos ＝θ0，
因为 （θ ， ）θ，所以sin ＞θ 0，cos θ ＜0， θ θ θ
θ∈ π θ θ
可得3cos 2 +4sin ＝0，即sin cos ，可得tan ，
3 3
θ θ θ=− θ θ=−
所以sin2 ＝2sin cos 4 4 ．
3
2 2 2×(−4) 24
法二：因 θ 为2sin θ ﹣co θ s = ＝ 2， 2 所+ 以 2 c os = ＝ 2 s 2 i n+﹣1 = 2， (− 3 4) 2 +1 =− 25
代入sin2 +cos2 θ＝1得θsin2 +（2sin ﹣θ2）2＝θ1，
化简得5sθin2 ﹣θ8sin +3＝0，θ θ
θ θ
解得 ，即 或sin ＝1，
8± 64−4×5×3 8±2 3
= = = θ
因为 ， ，1所0以 1，0 5
3
∈( ) =
所以 2 5 ．
3 3 24
故选： B 2． =2 =2 (2 −2)= 2× 5 ×(2× 5 −2)=− 25
5．（5分）设函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当0≤x≤2时，f（x）＝2x﹣1，则 （ ）
1
( 1)=
A．e﹣1 B．1﹣e C． D． 2
1 1
【分析】根据奇函数的性质，结合对数的运算性质 、−换1底公式进行求解1即−可 ．
【解答】解：由题可得：
1 1 1
( 1)= (− )=− ( )=− ( )
2 2 ． 2 2
2
=故−选 ：( B ．2 )=−(2 −1)=−( −1)= 1−
6．（5分）已知双曲线 ＞，＞ 的左右焦点分别为F1 ，F2 ，过F2 且垂直于x轴的直线与
2 2
该双曲线右支交于A
，2 −B两
2点=，1直( 线0AF1 ，B0F)
1
分别交y轴于M，N两点，若△MF1N的周长为24，则
a+b的最大值为（ ）
A．12 B．16 C． D．
【分析】根据双曲线的定义、双曲线的通径长、双6曲2线的对称性，结合△6 M2F+ 1N6的周长为24，可得12a
第7页（共22页）＝a2+b2，根据方程利用三角换元设a＝6cos +6，b＝6sin ，其中0＜ ＜ ，从而结合三角恒等变换与
三角函数的性质即可得a+b的最大值． θ θ θ π
【解答】解：双曲线 ＞，＞ 的左右焦点分别为F1 （﹣c，0），F2 （c，0），
2 2
∵AB⊥F1F2 ，∴xA ＝
xB 2＝−c
，2 = 1( 0 0)
又A，B在双曲线上，则 ，解得 ，
2 2 2
2 − 2 = 1 =±
故 ， ， ， ，∴ ，
2 2 2
2
由题 (意 可 得) M， ( N 分−别为 ) AF1 ，| B F1 |的=中 点，
如图：∵△MF1N的周长为24，∴△ABF1 的周长为48，
则|AF1|+|BF1|+|AB|＝48，
由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|+|BF1|﹣|BF2|＝4a，即|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝4a，
可得 ，整理得：12a＝a2+b2，∴（a﹣6）2+b2＝36，
2 2
2 2
可得4 0＜8− a＜ 12，= 0 4＜ + b≤ 6，
则可设a＝6cos +6，b＝6sin ，其中0＜ ＜ ，
∴ θ θ θ π ，
+ =6 +6 +6=6 2 ( + )+6
4
由于 ＜ ＜ ，∴ ， ，
5 2
+ ( + )∈(− 1]
故当4 ，即4 4 ， 4 时，a2+b的最大值为 ．
= =3 2+6 =3 2 6 2+6
故选：D．4
7．（5分）直线y＝x+1与x，y轴分别交于M，N两点，点P在圆 ： 上，当△MNP面
2 2
1 −2 + =0
积最大时， （ ）
→ →
A． ⋅ = B． C． D．
【分3析+】2根2据题设分析可得3，−要2 使2△MNP面积最1大+，则2 PC1 与直线y＝x2+1−垂1直，进而得到PN⊥MN，
，进而求解即可．
| |= 2+1
第8页（共22页）【解答】解：由题，如图，
由题可得M（﹣1，0），N（0，1），
由圆 ： ，则圆心C1 （1，0），半径r＝1，
2 2
所以圆 1心 C1−到2直 线+ l：=y＝0x+1的距离为 ＞ ，
|1−0+1|
= = 2 1=
2 2
则直线y＝x+1与圆C1 相离，而点P在圆C1 上1 ，+(−1)
要使△MNP面积最大，则PC1 与直线y＝x+1垂直，而 ，则NC1 ⊥MN，
0−1
此时N，C1 ，P三点共线，即PN⊥MN，则 1 = 1−0，=−1
| |= + = 2+1
所以 ．
→ → → → → →
2 2
故选： A．⋅ =( + )⋅ = =( 2+1) =3+2 2
8．（5分）当x＞1时，关于x的不等式（2x﹣1）ex﹣a（x﹣1）≤0仅有两个正整数解，则实数a的取值
范围是（ ）
A． ， B． ，
3
2 2 2 5 3
[4 3 ) [3 )
C． ， D． ，2
5 3 7 4 7 4 9 5
[ ) [ )
【分析2 】将不3 等式转化为不等式 ，构造3 函数4 ，＞，求导确定函数f（x）
(2 −1) (2 −1)
的单调性，从而根据不等式整数 解≥的个 数−列1 不等式即可得 实( 数)= a的取 −值1范围． 1
【解答】解：当x＞1时不等式等价于： ，
(2 −1)
≥
设 ，＞， −1
(2 −1)
( )= 1
则 −1 ，
[2 +(2 −1) ]( −1)−(2 −1) (2 −3)
′ ( )= 2 = 2
所以当 ＜＜ 时，f′(（ − x 1）)＜0，函数f（x）单( 调−1递)减，当 ＞ 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递
3 3
增， 1 2 2
所以a≥f（x）有两个正整数解2和3，则 ，解得 ＜ ，
＜
≥ (3) 5 3 7 4
≤
(4) 2 3
第9页（共22页）故实数a的取值范围是 ， ．
5 3 7 4
故选：C． [ 2 3 )
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，CA＝CB，点P，Q分别为A1B，CC1 的中点，则（ ）
A．PQ⊥AB B．PQ⊥平面A1BC1
C．PQ∥平面ABC D．BQ∥AC
【分析】根据线面垂直性质可证明A正确，假设B选项成立，利用线面垂直性质得出矛盾可得B错误，
利用线面平行判定定理证明可得C正确，假设BQ∥AC成立，结合已有分析得出矛盾，即可得D错误．
【解答】解：由题意直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，CA＝CB，点P，Q分别为A1B，CC1 的中点，
可取AB的中点为D，连接PD，CD，如下图所示：
对于选项A，又因为点P，Q分别为A1B，CC1 的中点，所以PD∥AA1 ，且 ；
1
= 1
又AA1 ∥CC1 ，AA1 ＝CC1 ， ，所以PD∥CQ，PD＝CQ； 2
1
所以四边形PDCQ是平行四 边 形=，2 因 此 1 PQ∥CD，
又因为CA＝CB，所以CD⊥AB，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1 ⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以AA1 ⊥CD，又AA1 ∩AB＝A，AA1 ，AB 平面AB⊂B1A1 ，
所以CD⊥平面ABB1A1 ，因此PQ⊥平面AB⊂B1A1 ；
又AB 平面ABB1A1 ，因此PQ⊥AB，故选项A正确；
对于选⊂项B，假设PQ⊥平面A1BC1 成立，则PQ⊥A1C1 ，
由选项A中分析可知PQ∥CD，AC∥A1C1 ，因此可得CD⊥AC，
显然不成立，因此假设不成立，所以PQ与平面A1BC1 不垂直，故选项B错误；
对于选项C，由选项A分析可知PQ∥CD，CD 平面ABC，PQ 平面ABC，
⊂ ⊄
第10页（共22页）所以PQ∥平面ABC，故选项C正确；
对于选项D，取AA1 的中点为E，连接QE，
显然此时QE∥AC，若BQ∥AC成立，可知QE∥BQ，
这与BQ∩QE＝Q矛盾，因此BQ∥AC不成立，故选项D错误．
故选：AC．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处有极大值，则（ ）
A．a＝1
B．f（2+x）+f（2﹣x）＝4
C．若0≤x≤t时，f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4]
D．曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与曲线f（x）有两个不同的公共点
【分析】先利用极大值和导数确定f（x）＝x（x﹣3）2可判断A；再由三次函数的对称中心性质可得B；
利用单调性可得C；由导数的意义结合切线方程可得D．
【解答】解：函数f（x）＝x（x﹣a）2＝x3﹣2ax2+a2x，导函数f′（x）＝3x2﹣4ax+a2，
由于f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处有极大值，所以f′（1）＝0，
即3﹣4a+a2＝0，解得a＝1或3，
当a＝1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），
当 ＜＜ 时，f′（x）＜0；当 ＜ 时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＞0，
1 1
此时 3 x＝ 1 1为极小值点，不符合题 意，3
当a＝3时，导函数f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），
当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＜1时，f′（x）＞0；当x＞3时，f′（x）＞0，
此时x＝1为极大值点，
因此函数f（x）＝x（x﹣3）2，
对于选项A，根据以上可得a＝3，因此选项A错误；
对于选项B，由于f′（x）＝3x2﹣12x+9，令m（x）＝f′（x），那么导函数m′（x）＝6x﹣12，
令m′（x）＝0 x＝2，因此函数f（x）的二阶导数关于点（2，0）对称，
代入x＝2到f（⇒x），那么可得f（2）＝2，因此函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，
即f（2+x）+f（2﹣x）＝4，因此选项B正确；
对于选项C，因为f（0）＝0，极小值f（3）＝0，极大值f（1）＝4，f（4）＝4，
结合单调性可得当f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4]，故C正确；
第11页（共22页）对于选项D，由f（2）＝2，f′（2）＝﹣3，所以切线方程为y﹣2＝﹣3（x﹣2），即y＝﹣3x+8，
联立f（x）＝x（x﹣3）2可得x3﹣6x2+12x﹣8＝0 （x﹣2）3＝0，解得x＝2，
即方程有三重根，所以曲线f（x）在点（2，f（2）⇒）处的切线与曲线f（x）有1个不同的公共点，因此
选项D错误．
故选：BC．
（多选）11．（6分）已知函数 ， ， 且k N*，则（ ）
2 2 2 2
A．函数f2 （x）在 ， 上 (单 )调=递 减 − ( )= + ≥2 ∈
[0 ]
B．函数g2 （x）的最小2正周期为
C．函数y＝fk （x）的图像关于 2 对称
D．函数gk （x）的值域为[21﹣k， = 1]4
【分析】A：利用平方差公式、余弦的二倍角公式化简该函数的解析式，最后利用余弦函数的单调性进
行判断即可；B：利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、降幂公式化简该函数的解析式，最后利用余
弦函数的周期公式进行求解即可；C：利用关于直线对称的性质，结合诱导公式进行运算判断即可；D：
先判断该函数的最小正周期，结合导数的性质判断该函数的单调性，进而求出函数的最值即可．
【解答】解：A： ，
4 4 2 2 2 2
当 ， 时， f2 2 （( x )）=在 单 调 −递 减 ， 正=确( ； − )( + )= 2
∈ [0 ]
2
B：
4 4 2 2 2 2 2 1 2
2( )= + =( + ) −2 =1− 2
， 2
1 1− 4 3 1
=1− × = + 4
g2 （x）2的最小2正周期为4 4 ，正确；
2
=
C：因为 4 2 ，
2 2 2 2
( − )= ( − )− ( − )= − ≠ ( )
所以函数y＝2
fk
（x）的图像不2关于 对称2，不正确；
=
D： 4 ，
2 2 2 −2 2 −2
( )= + ⇒ ′ ( )=2 ( − )
当 ， 时， ＜ ＜ ＜ ＜，
2
因为 ∈ k≥[0 2，4且] k N 0*， 所 以 2k2﹣2≥ 2 ， 故1 sin2k﹣2x＜cos2k﹣2x，所以gk ′（x）＜0，
所以此时函数gk ∈（x）单调递减，
当 ， 时， ＜ ＜ ＜ ＜，
2
∈ ( ] 0 1
4 2 2
第12页（共22页）因为k≥2，且k N*，所以2k﹣2≥2，故sin2k﹣2x＞cos2k﹣2x，所以gk ′（x）＞0
所以此时函数gk ∈（x）单调递增，
所以有 ，
2 2 2 2 − − 1−
( ) = ( )= ( ) +( ) =2 +2 =2
因为 ， 4 ，2所以gk （x2）
max
＝1，
(0)=1 ( )=1
因此当 ， 时，2 函数gk （x）的值域为[21﹣k，1]．
∈ [0 ]
又因为 2 ，
2 2 2 2
( + )= ( + )+ ( + )= + = ( )
所以函数g 2
k
（x）的周期为2， 2
因此函数gk （x）的值域，也2 就是函数gk （x）在区间 ， 上的值域，
所以函数gk （x）的值域为[21﹣k，1]，正确． ∈[0 2 ]
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）记Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a1+a5 ＝14，2a2+a3 ＝15，则S15 ＝ 330 ．
【分析】根据已知条件求出等差数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式求解即可．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1 ，公差为d，
若a1+a5 ＝14，2a2+a3 ＝15，
则 ，即 ，
1+ 1+4 =14 2 1+4 =14
a1 ＝21( ，1d+＝ 3)，+ 1+2 =15 3 1+4 =15
所以an ＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．
所以 ，
( 1+ ) (1+3 −2) (3 −1)
= = =
则 2 2 ． 2
15×(3×15−1)
故答 15 案=为：3302． =330
13．（5分）2025的正因数有 15 个．
【分析】由题意可得出2025＝34×52，即可求出2025的正因数个数．
【解答】解：因为2025＝34×52，
所以2025的正因数有：（4+1）×（2+1）＝15个．
故答案为：15．
14．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣（b
第13页（共22页）﹣c）2，若 ，则t的最小值为 ．
2 2 10−3 2
【分析】先由 正+余 弦=定理2 和 同角的三角函数关系结合题意得到cosA，sinA，再通过锐角三角形得到 ＞
2
，故可得 的范围，然后用余弦定理和三角形的面积公式变形 ，再结合基本不等式可求
3 2 2
4最小值．
+ = 2
【解答】解：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣（b﹣c）2，
整理可得2S＝a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣（b2+c2）+2bc，
根据余弦定理可得2bccosA＝b2+c2﹣a2，
根据三角形的面积公式可得bcsinA＝2bc﹣2bccosA，即sinA＝2﹣2cosA，
因为sin2A+cos2A＝1，所以4﹣8cosA+4cos2A+cos2A＝1，
即5cos2A﹣8cosA+3＝0，解得 或cosA＝1（舍去），
3
=
5
因为 ， ，所以 ，
2 9 4
∈ (0 ) = 1− = 1− =
在锐角△ABC2中，有 ＜ ， ＜ ，则25＜5 ＜＜ ，
= − − 0 −
所以 ＞ 2 2， 2 2
(2− ) 3
( − )= = =
根据正弦定理和两 2 角和的正 弦 (公2−式 )可得 4
( + ) +
= = =
，
4 3
= + = +
因为 ＞ ，所5以 ＜ 5 ＜ ，所以 ＜ ＜ ，
3 1 4 4 16
0 0
所以 ＜ 4 ＜ 3，所以 ＜5 ＜ ， 15
3 4 3 16 3 5 3 5
因为 + ， + =
5 5 5 15 5 3 5 3
2 2
+ = 2
所以根据余弦定理可得
2 2 2 2 2 2 6 2 2
+ 2 + −2 2 + −5 10 +5 −6
= = 2⋅ = 2⋅ 4 = 2⋅
2 5 4
，
10 5 3 5 2 3
= 2⋅( + − )= 2⋅[ ( + )− ]
设 4 4 ，2 ， 4 2
3 5
= ( ∈ ( ))
5 3
根据基本不等式可得 ，
2 1 1
+ = 2 + ≥ 2 2 ⋅ = 2 2
第14页（共22页）当且仅当 ，即 时取等号，
1 2
2 = =
所以t的最小值 为 2 ．
5 3 10−3 2
2⋅( ×2 2− )=
4 2 2
故答案为： ．
10−3 2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
15．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，1），记数列{an}的前n项和为Sn ，
且Sn ＝f（n）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，数列{bn}的前n项和为Tn ，求证： ＜ ．
−3
2 1
【分析】 （ 1 = ）(先 求+1出)( f（ +x1）+1＝)2x﹣1，问题转化为根据数列的前n项 和 公8式求数列的通项公式；
（2）先求出数列{bn}的通项公式，利用裂项求和法求Tn ，即可证明．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，1），
可得f（1）＝a﹣1＝1，得a＝2，故f（x）＝2x﹣1，
所以 ，
当n＝ 1=时2，−a1 ＝1 2﹣1＝1；
当n≥2时， ，
−1 −1
上式对n＝1 也 成=立 ，− −1 =(2 −1)−(2 −1)= 2
所以 ， ．
−1 ∗
（2） 证 =明2：由 ∈ ，
−3 −1
2 1 2 1 1 1
= = ⋅ −1 = ⋅( −1 − )
可数列{bn}的前 n ( 项 +和1)( +1+1) 4 (2 +1)(2 +1) 4 2 +1 2 +1
1 1 1 1 1 1
= 1+ 2+⋯+ = ⋅( 0 − 1 + 1 − 2 +⋯+ −1 −
， 4 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1
1 1 1 1
)= ⋅( − )
2由+于1 n N*4，故2 2n≥2 2 +，1即得 ＞，
1
∈ 0
故 ＜ ，即得 2 +1 ＜ ，
1 1 1 1 1 1 1
− ⋅ ( − )
故2 ＜2 成+1立．2 4 2 2 +1 8
1
16．（ 1 5分8）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1 中，CC1 ⊥平面ABC，E为CC1 中点，BC⊥AE．
（1）证明：AC⊥BE；
（2）若AC＝2A1C1 ＝2CC1 ＝4，BC＝3，求直线EB1 与平面ABE所成角的正弦值．
第15页（共22页）【分析】（1）利用线面垂直判定定理可证明AC⊥平面BCC1B1 ，再利用线面垂直性质可得答案；
（2）建系，利用线面角的坐标运算公式可得答案．
【解答】解：（1）证明：∵CC1 ⊥平面ABC，AC，BC 平面ABC，
∴CC1 ⊥BC，CC1 ⊥AC， ⊂
又BC⊥AE，CC1 平面ACC1A1 ，AE 平面ACC1A1 ，CC1 ∩AE＝E，
∴BC⊥平面ACC⊂ 1A1 ， ⊂
AC 平面ACC1A1 ，∴BC⊥AC，
又∵⊂CC1 ⊥AC，BC 平面BCC1B1 ，CC1 平面BCC1B1 ，CC1 ∩BC＝C，
∴AC⊥平面BCC1B⊂
1
，BE 平面BCC1B1 ⊂，
∴AC⊥BE． ⊂
（2）由（1）知直线CA，CB，CC1 两两垂直，
分别以直线CA，CB，CC1 为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示：
∵AC＝2A1C1 ，∴ ，
1 3
1 1 = =
依题意得 ，， ， 2，，2， ，， ， ， ， ，
3
(4 0 0) (0 3 0) (0 0 1) 1(0 2)
2
，， ， ，， ，
→ →
=(4 0 −1) =(0 3 −1)
设平面ABE的法向量 ，， ，
→
=( )
则 ，则 ，∴ ，
→ → → →
→ ⊥ → → ⋅ → =0 4 − =0
3 − =0
⊥ ⋅ =0 第16页（共22页）取 ，， ， ， ， ，
→ →
3
设 EB = 1 与(3平面4 A 1 B 2 E )所 成 角 1=为(0， 2 1)
θ
∴ ＜ ， ＞ ，
→ → → →
⋅ 1 6+12 36 13
= 1 = → → = 9 = 169
| |⋅| 1| 9+16+144⋅ 4+1
∴EB1 与平面ABE所成角的正弦值为 ．
36 13
17．（15分）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知
169
识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人．设事件A＝“学
生愿意报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计 ， ．
3 2
（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概 率(值 )=＝50.00 1 (的 | 独)立=性3检验，能否推断该校学
生报名参加答题活动与性别有关？ α
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 ．
2
（i）若答题活动设置n（n N*且n≥10）道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求
3
n的值．
（ii）若答题活动设置4道∈题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答
题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布
列和期望．
参考公式与数据： ，其中n＝a+b+c+d．
2
2 ( − )
=
0.10( + )( + )(0 .+05 )( + ) 0.01 0.005 0.001
α
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【分析】 α （1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成2×2列联表，再计算出的χ2值判断
即可；
（2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则 ～ ， ，根据二项分布的概率性质建立不等式组
2
即可求解；（ii）写出X的所有可能取值，结合独 立事 件( 的概3 )率特征求出对应的概率，从而可写出X的
分布列及期望．
第17页（共22页）【解答】解：（1）∵ ，∴愿意报名参加答题活动人数为 ，
3 3
( )= 200× =120
又∵ ，∴愿意报名5参加答题活动的男生人数为 ，5
2 2
愿意报 (名 |参 )加=答3题活动的女生人数为120﹣80＝40， 120× 3 =80
则可得到2×2列联表为：
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
零假设为H0 ：学生报名参加答题活动与性别无关，
则 ＞ ，
2
2 200×(20×40−80×60) 100
依据 小=概率10值0×1＝000.×08010×的1独20立性=检3验，我10们.82推8断= H 0 0 .0 不 01 成立，
即认为学生报名α 参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则 ～ ， ．
2
( )
则 ， ，， ， ， 3
2 1 −
( = )= ×( ) ×( ) =0 1 ⋯
3 3 ＞
假设最有可能答对题目的数量是10次，则 ，
＞
( =10) ( =11)
( =10) ( =9)
＞
即： ，
10 2 10 1 −10 11 2 11 1 −11
×( ) ×( ) ＞ ×( ) ×( )
3 3 3 3
10 2 10 1 −10 9 2 9 1 −9
×( ) ×( ) ×( ) ×( )
解得 ＜＜3 ，又n3 N*，则n＝153； 3
31
（ii）1
X
4的 所有2可能取值∈为：1，2，3，4，
， ， ，
2 1 2 2 1 2 2 2
( =1)= ( =2)= × = ( =3)= ( ) ×( )=
3 ， 3 3 9 3 3 27
1 3 1
∴(
X
的=分4)布=列( 3为)：=
27
X 1 2 3 4
P
2 2 2 1
3 9 27 27
第18页（共22页）故 ．
2 2 2 1 40
( )=1× +2× +3× +4× =
3 9 27 27 27
18．（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 1（a＞b＞0）的上顶点为A，左焦点为
2 2
F，焦距为4 ，△AOF的面积为6，点D（m，n）为椭2 +圆上2一=点，圆D的面积为8 ．
（1）求椭圆的3离心率； π
（2）过原点O作圆D的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N．
（i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为k1 ，k2 ，求k1k2 的值；
（ii）求|OM||ON|的最大值．
【分析】（1）由焦距得 ，由△AOF面积得 ，a2＝b2+c2＝24，即可求出离心率；
（2）（i）直线与圆D相 切=，2由3距离公式得关于k的 方=程2 ，3结合椭圆方程，利用韦达定理求解即可；
（ii）由k1k2 ，得 ，代入椭圆化简得|OM|2+|ON|2＝36，用基本不等式得最大值．
1
1 2 =− 1 2
【解答】解：（1）依题意得4 ， ，
1
所以 ， ，故 a △ 2 ＝ b2= +c22＝ 2 = 4， 6 2 =4 3
=2 3 =2 3
所以 ；
2
（2） （= i）
依=题2意得圆D：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝8，
椭圆 ： ，
2 2
因为点 D2（4m +，12n）=为1 椭圆上一点，
所以 ， ，
2 2 2
2
直线
2
O
4
M+：
1
y
2
＝=k1x1，O N：=y1＝2(k1 2x−，与
24
圆) D相切，
所以 ， ，
| 1 − | | 2 − |
= 2 2 = 2 2
2 2
1+ 1 1+ 2
平方整理得k1 ，k2 为方程（m2﹣8）k2﹣2mnk+（n2﹣8）＝0的两根，
所以 ；
2
2
−8 12(1−24)−8 1
1 2 = 2 = 2 =−
−8 −8 2
第19页（共22页）（ii）设M（x1 ，y1 ），N（x2 ，y2 ），
由（i）知 ，所以 ，
1 2 1 2 2 1 2 2
1 2 = =− 1 2 = 1 2
1 2 2 4
又 ， ，
2 2
2 1 2 2
1 =12(1− ) 2 =12(1− )
所以 24 24，
2 2
1 2 1 2 2
144(1− )(1− )= 1 2
整理得 24 ，24 4 ，
2 2
2 2 2 2 1 2
1+ 2 =24 1+ 2 =12(1− ，)+12(1− )=12
24 24
2 2 2 2 2 2
|由 基|本+不|等 式||O=M |21 ++|O N 1 |2+≥ 2 2 |O+M || 2 O=N|，36
得|OM||ON|≤18，当且仅当|OM|＝|ON|时等号成立．
所以|OM|•|ON|的最大值为18．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝aex﹣x2．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）讨论函数g（x）在（0，+∞）上极值点的个数；
（3）设函数 ，若h（x）在定义域内有三个不同的极值点x1 ，x2 ，x3 ，且满足
( )+ ( )
ℎ( )= ℎ( 1)⋅ℎ( 2)⋅
，求实数 a的取值范围．
2
4(1− )
ℎ【( 分 3)析≥】（1
）2利用导数即可得到函数的单调性及最值．
（2）对函数求导，作出函数简图，通过方程根的个数结合极值点两边正负号即可确定参数的范围．
（3）化简函数h（x）并求导，分析有三个极值点时满足的条件，结合函数单调性求解不等式即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），导函数 ．
1
′ ( )= + ⋅ = +1
令f′（x）＝0，即lnx+1＝0，解得 ．
1
=
当 ， 时，f′（x）＞0，f（x） 单调递增；当 ， 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
1 1
∈ ( +∞) ∈(0 )
因此f（ x）在 处取得极小值也是最小值，此时 ，f（x）无最大值．
1 1 1 1 1
= ( )= =−
因此f（x）无最大 值，最小值为 ．
1
（2）根据题意知，即讨论g（x）−在 （0，+∞）上变号零点个数，
对g（x）＝aex﹣x2求导可得导函数g′（x）＝a•ex﹣2x．
极值点的个数等价于g'（x）＝0在（0，+∞）上的解的个数，即 在（0，+∞）上的解的个数．
2
=
第20页（共22页）令 （x＞0），那么导函数 ，
2 2(1− )
当 x ( （)= 1， + ∞）时， ′（x）＜0 ′ ，( )（= x）单 调递减，当x （0，1）时， ′（x）＞0， （x）单调
递增∈， φ φ ∈ φ φ
所以 （x）在x＝1处取得最大值 ．
2
且x→φ +∞时， （x）→0，当x→ 0+(时1)，= （x）→0，
φ φ
当 ＜＜ 时， 在（0，+∞）上有2个解，此时g（x）在（0，+∞）上有2个极值点；
2 2
0 =
当a≤0时， 在 （0，+∞）上无解，此时g（x）在（0，+∞）上无极值点；
2
=
当 时， 在（0，+∞）上有1个解，
2 2
但 g′=（ x）在 （= 0 ， 1）和（1，+∞）上均大于零，故此时g（x）在（0，+∞）上无极值点；
当 ＞ 时， 在（0，+∞）上无解，此时g（x）在（0，+∞）上无极值点；
2 2
=
综上， 当a≤0或 时，g（x）无极值点；当 ＜＜ 时，g（x）有2个极值点．
2 2
≥ 0
（3） ，其定义域为（0，+∞），
2
( )+ ( ) + −
ℎ( )= = = − +
那么导函数 ，（x＞0）．
( − ) 1 ( − )( −1)
′ℎ( )= 2 −1+ = 2
令h′（x）＝0，解得x ＝1或 ．
=
设 （x＞0），那么导函数 ，
1−
当 x ( （) 1 =， + ∞）时，ψ′（x）＜′ 0，( ψ)=（x） 单调递减，当x （0，1）时，ψ'（x）＞0，ψ（x）单调
递增∈， ∈
所以ψ（x）在x＝1处取得最大值 ，
1
且当x→+∞时，ψ（x）→0，当x →( 0 1+)时=， ψ（x）→0，
因此ψ（x）的大致图象如图所示，
第21页（共22页）由于函数h（x）在定义域内有三个不同的极值点x1 ，x2 ，x3 ，且x＝1为h′（x）＝0的一个根，
因此ψ（x）与y＝a有两个不同的交点（且不等于1），因此 ＜＜ ，
1
0
即 在（0，+∞）上有两个不同的正根且不等于1．
=
不妨设 x1 ＜x2 ＜x3 ，那么0＜x1 ＜1＝x2 ＜x3 ，
因此 ，即 ， ，也即lnx3 ＝x3+lna，lnx1 ＝x1+lna，
1 3 1 3
= 1 = 3 = 1 = 3
因此
1 3
ℎ( 1)⋅ℎ( 2)⋅ℎ( 3)=( − 1+ 1)( −1)( − 3+ 3)
1 3 ．
2
=( −1)(1− 1+ 1)(1− 3+ 3)=( −1)(1+ )
令函数p（a）＝（ae﹣1）（1+lna）2（ ＜＜ ），那么导函数 ，
1 2
0 ′ ( )=(1+ )(3 + − )
因为 在 ， 上单调递减，y＝elna在 ， 上单调递增，
2 1 1
= (0 ) (0 )
因此函数 在 ， 上单调递增，
2 1
=3 + − (0 )
因此 ＜ ，
2 1
3 + − 3 + −2 =0
又 ＜ ，因此 p′（a）＞0，
1
1+ 1+ =0
因此函数p（a）在 ， 上单调递增．
1
(0 )
由于 ，
2
1 1 2 4(1− )
( 3)=( 2−1)(1−3) = 2
因此当 ， 时， ，
2
1 1 4(1− )
∈ [ 3 ) ( )≥ 2
即当 ， 时， 恒成立，
2
1 1 4(1− )
∈[ 3 ) ℎ( 1)⋅ℎ( 2)⋅ℎ( 3)≥ 2
因此 ， ．
1 1
∈[ 3 )
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