文档内容
2025-2026学年湖北省黄冈市高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数，则（ ）
A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．3
2．（5分）设a，b R，则“a+b＞0”是“a3+b3＞0”的（ ）
A．充分不必要条∈件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）有一散点图如图，在5个（x，y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）
A．解释变量x与响应变量y的线性相关性变弱
B．数据y的方差变大
C．决定系数R2变小
D．残差平方和变小
4．（5分）若，则sin2 ＝（ ）
A． θ B． C． D．
5．（5分）设函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当0≤x≤2时，f（x）＝2x﹣1，则（ ）
A．e﹣1 B．1﹣e C． D．
6．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F ，F ，过F 且垂直于x轴的直线与该双曲线右支交于A，B
1 2 2
两点，直线AF ，BF 分别交y轴于M，N两点，若△MF N的周长为24，则a+b的最大值为（ ）
1 1 1
A．12 B．16 C． D．
7．（5分）直线y＝x+1与x，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上，当△MNP面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）当x＞1时，关于x的不等式（2x﹣1）ex﹣a（x﹣1）≤0仅有两个正整数解，则实数a的取值
范围是（ ）
第1页（共20页）A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6 分）直三棱柱 ABC﹣A B C 中，CA＝CB，点 P，Q 分别为 A B，CC 的中点，则
1 1 1 1 1
（ ）
A．PQ⊥AB B．PQ⊥平面A BC
1 1
C．PQ∥平面ABC D．BQ∥AC
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处有极大值，则（ ）
A．a＝1
B．f（2+x）+f（2﹣x）＝4
C．若0≤x≤t时，f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4]
D．曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与曲线f（x）有两个不同的公共点
（多选）11．（6分）已知函数且k N*，则（ ）
A．函数f 2 （x）在上单调递减 ∈
B．函数g （x）的最小正周期为
2
C．函数y＝f （x）的图像关于对称
k
D．函数g （x）的值域为[21﹣k，1]
k
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）记S 为等差数列{a }的前n项和，若a +a ＝14，2a +a ＝15，则S ＝ ．
n n 1 5 2 3 15
13．（5分）2025的正因数有 个．
14．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣
（b﹣c）2，若，则t的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，1），记数列{a }的前n项和为
n
S ，且S ＝f（n）．
n n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设，数列{b }的前n项和为T ，求证：．
n n
16．（15分）如图，在三棱台ABC﹣A B C 中，CC ⊥平面ABC，E为CC 中点，BC⊥AE．
1 1 1 1 1
（1）证明：AC⊥BE；
（2）若AC＝2A C ＝2CC ＝4，BC＝3，求直线EB 与平面ABE所成角的正弦值．
1 1 1 1
第2页（共20页）17．（15分）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI
知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取 100人．设事件A
＝“学生愿意报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计．
（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值 ＝0.001的独立性检验，能否推断该校
学生报名参加答题活动与性别有关？ α
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．
（i）若答题活动设置n（n N*且n≥10）道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求n的值．
（ii）若答题活动设置4道∈题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答
题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布
列和期望．
参考公式与数据：，其中n＝a+b+c+d．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（17分α）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（a＞b＞0）的上顶点为A，左焦点为F，焦距
为4，△AOF的面积为6，点D（m，n）为椭圆上一点，圆D的面积为8 ．
（1）求椭圆的离心率； π
（2）过原点O作圆D的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N．
（i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为k ，k ，求k k 的值；
1 2 1 2
（ii）求|OM||ON|的最大值．
第3页（共20页）19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝aex﹣x2．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）讨论函数g（x）在（0，+∞）上极值点的个数；
（3）设函数，若h（x）在定义域内有三个不同的极值点x ，x ，x ，且满足，求实数a的取值范围．
1 2 3
第4页（共20页）2025-2026学年湖北省黄冈市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B B D A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC BC ABD
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数，则（ ）
A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．3
【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算即可计算出结果．
【解答】解：i2025＝（i2）1012i＝i，
所以复数，
故．
故选：A．
2．（5分）设a，b R，则“a+b＞0”是“a3+b3＞0”的（ ）
A．充分不必要条∈件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．
【解答】解：由a+b＞0，得a＞﹣b，
则a3＞（﹣b）3＝﹣b3，
故a3+b3＞0，是充分条件，
由a3+b3＞0，得a3＞﹣b3＝（﹣b）3，
得a＞﹣b，a+b＞0，是必要条件，
故选：C．
3．（5分）有一散点图如图，在5个（x，y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）
第5页（共20页）A．解释变量x与响应变量y的线性相关性变弱
B．数据y的方差变大
C．决定系数R2变小
D．残差平方和变小
【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，方差，决定系数，残差的平方和的变化情况．
【解答】解：从散点图可分析出，
若去掉点D（3，10），则剩下的点更能集中在一条直线附近，
所以数据的离散程度减小，
解释变量x与响应变量y的线性相关性变强，
决定系数R2越接近1，会变大，方差变小，
因为拟合效果越好，所以残差平方和变小．
故ABC错误，D正确．
故选：D．
4．（5分）若，则sin2 ＝（ ）
A． θ B． C． D．
【分析】法一：由2sin ﹣cos ＝2两边平方，结合sin2 +cos2 ＝1解出sin cos ，可得tan ，然后将
sin2 化简为关于tan 的θ表达式θ，代入数据求出答案． θ θ θ θ θ
法二θ：根据同角三角θ函数关系式，结合题意求出sin 、cos ，然后运用二倍角的正弦公式求出sin2 的
值． θ θ θ
【解答】解：法一：由2sin ﹣cos ＝2，两边平方得（2sin ﹣cos ）2＝4，
即（2sin ﹣cos ）2＝4（sinθ 2 +cosθ 2 ），整理得3cos2 +4sinθ cos ＝θ 0，
θ θ θ θ θ θ θ
第6页（共20页）因为 （， ），所以sin ＞0，cos ＜0，
可得θ3c∈os +4πsin ＝0，即sθin cos ，可θ 得tan ，
所以sin2θ＝2sinθcos ． θ θ θ
法二：因θ为2sinθ﹣coθs ＝2，所以cos ＝2sin ﹣2，
代入sin2 +cos2 θ＝1得θsin2 +（2sin ﹣θ2）2＝θ1，
化简得5θsin2 ﹣θ8sin +3＝0θ， θ
解得，即或θsin ＝1θ，
因为，所以， θ
所以．
故选：B．
5．（5分）设函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当0≤x≤2时，f（x）＝2x﹣1，则（ ）
A．e﹣1 B．1﹣e C． D．
【分析】根据奇函数的性质，结合对数的运算性质、换底公式进行求解即可．
【解答】解：由题可得：
．
故选：B．
6．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F ，F ，过F 且垂直于x轴的直线与该双曲线右支交于A，B
1 2 2
两点，直线AF ，BF 分别交y轴于M，N两点，若△MF N的周长为24，则a+b的最大值为（ ）
1 1 1
A．12 B．16 C． D．
【分析】根据双曲线的定义、双曲线的通径长、双曲线的对称性，结合△MF N的周长为24，可得12a
1
＝a2+b2，根据方程利用三角换元设a＝6cos +6，b＝6sin ，其中0＜ ＜ ，从而结合三角恒等变换与
三角函数的性质即可得a+b的最大值． θ θ θ π
【解答】解：双曲线的左右焦点分别为F （﹣c，0），F （c，0），
1 2
∵AB⊥F F ，∴x ＝x ＝c，
1 2 A B
又A，B在双曲线上，则，解得，
故，∴，
由题意可得M，N分别为AF ，BF 的中点，
1 1
第7页（共20页）如图：∵△MF N的周长为24，∴△ABF 的周长为48，
1 1
则|AF |+|BF |+|AB|＝48，
1 1
由双曲线的定义可得|AF |﹣|AF |+|BF |﹣|BF |＝4a，即|AF |+|BF |﹣|AB|＝4a，
1 2 1 2 1 1
可得，整理得：12a＝a2+b2，∴（a﹣6）2+b2＝36，
可得0＜a＜12，0＜b≤6，
则可设a＝6cos +6，b＝6sin ，其中0＜ ＜ ，
∴， θ θ θ π
由于，∴，
故当，即时，a+b的最大值为．
故选：D．
7．（5分）直线y＝x+1与x，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上，当△MNP面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题设分析可得，要使△MNP 面积最大，则 PC 与直线 y＝x+1 垂直，进而得到
1
PN⊥MN，，进而求解即可．
【解答】解：由题，如图，
由题可得M（﹣1，0），N（0，1），
由圆，则圆心C （1，0），半径r＝1，
1
所以圆心C 到直线l：y＝x+1的距离为，
1
则直线y＝x+1与圆C 相离，而点P在圆C 上，
1 1
要使△MNP面积最大，则PC 与直线y＝x+1垂直，而，则NC ⊥MN，
1 1
此时N，C ，P三点共线，即PN⊥MN，则，
1
第8页（共20页）所以．
故选：A．
8．（5分）当x＞1时，关于x的不等式（2x﹣1）ex﹣a（x﹣1）≤0仅有两个正整数解，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】将不等式转化为不等式，构造函数，求导确定函数f（x）的单调性，从而根据不等式整数解
的个数列不等式即可得实数a的取值范围．
【解答】解：当x＞1时不等式等价于：，
设，
则，
所以当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
所以a≥f（x）有两个正整数解2和3，则，解得，
故实数a的取值范围是．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6 分）直三棱柱 ABC﹣A B C 中，CA＝CB，点 P，Q 分别为 A B，CC 的中点，则
1 1 1 1 1
（ ）
A．PQ⊥AB B．PQ⊥平面A BC
1 1
C．PQ∥平面ABC D．BQ∥AC
【分析】根据线面垂直性质可证明A正确，假设B选项成立，利用线面垂直性质得出矛盾可得B错误，
利用线面平行判定定理证明可得C正确，假设BQ∥AC成立，结合已有分析得出矛盾，即可得D错误．
【解答】解：由题意直三棱柱ABC﹣A B C 中，CA＝CB，点P，Q分别为A B，CC 的中点，
1 1 1 1 1
可取AB的中点为D，连接PD，CD，如下图所示：
第9页（共20页）对于选项A，又因为点P，Q分别为A B，CC 的中点，所以PD∥AA ，且；
1 1 1
又AA ∥CC ，AA ＝CC ，，所以PD∥CQ，PD＝CQ；
1 1 1 1
所以四边形PDCQ是平行四边形，因此PQ∥CD，
又因为CA＝CB，所以CD⊥AB，
在直三棱柱ABC﹣A B C 中，AA ⊥平面ABC，CD 平面ABC，
1 1 1 1
所以AA
1
⊥CD，又AA
1
∩AB＝A，AA
1
，AB 平面AB⊂B
1
A
1
，
所以CD⊥平面ABB
1
A
1
，因此PQ⊥平面AB⊂B
1
A
1
；
又AB 平面ABB A ，因此PQ⊥AB，故选项A正确；
1 1
对于选⊂项B，假设PQ⊥平面A
1
BC
1
成立，则PQ⊥A
1
C
1
，
由选项A中分析可知PQ∥CD，AC∥A C ，因此可得CD⊥AC，
1 1
显然不成立，因此假设不成立，所以PQ与平面A BC 不垂直，故选项B错误；
1 1
对于选项C，由选项A分析可知PQ∥CD，CD 平面ABC，PQ 平面ABC，
所以PQ∥平面ABC，故选项C正确； ⊂ ⊄
对于选项D，取AA 的中点为E，连接QE，
1
显然此时QE∥AC，若BQ∥AC成立，可知QE∥BQ，
这与BQ∩QE＝Q矛盾，因此BQ∥AC不成立，故选项D错误．
故选：AC．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处有极大值，则（ ）
A．a＝1
B．f（2+x）+f（2﹣x）＝4
C．若0≤x≤t时，f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4]
D．曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与曲线f（x）有两个不同的公共点
【分析】先利用极大值和导数确定f（x）＝x（x﹣3）2可判断A；再由三次函数的对称中心性质可得
B；利用单调性可得C；由导数的意义结合切线方程可得D．
【解答】解：函数f（x）＝x（x﹣a）2＝x3﹣2ax2+a2x，导函数f′（x）＝3x2﹣4ax+a2，
由于f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处有极大值，所以f′（1）＝0，
即3﹣4a+a2＝0，解得a＝1或3，
当a＝1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），
当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＞0，
此时x＝1为极小值点，不符合题意，
当a＝3时，导函数f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），
第10页（共20页）当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＜1时，f′（x）＞0；当x＞3时，f′（x）＞0，
此时x＝1为极大值点，
因此函数f（x）＝x（x﹣3）2，
对于选项A，根据以上可得a＝3，因此选项A错误；
对于选项B，由于f′（x）＝3x2﹣12x+9，令m（x）＝f′（x），那么导函数m′（x）＝6x﹣12，
令m′（x）＝0 x＝2，因此函数f（x）的二阶导数关于点（2，0）对称，
代入x＝2到f（x⇒），那么可得f（2）＝2，因此函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，
即f（2+x）+f（2﹣x）＝4，因此选项B正确；
对于选项C，因为f（0）＝0，极小值f（3）＝0，极大值f（1）＝4，f（4）＝4，
结合单调性可得当f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4]，故C正确；
对于选项D，由f（2）＝2，f′（2）＝﹣3，所以切线方程为y﹣2＝﹣3（x﹣2），即y＝﹣3x+8，
联立f（x）＝x（x﹣3）2可得x3﹣6x2+12x﹣8＝0 （x﹣2）3＝0，解得x＝2，
即方程有三重根，所以曲线f（x）在点（2，f（2⇒））处的切线与曲线f（x）有1个不同的公共点，因
此选项D错误．
故选：BC．
（多选）11．（6分）已知函数且k N*，则（ ）
A．函数f 2 （x）在上单调递减 ∈
B．函数g （x）的最小正周期为
2
C．函数y＝f （x）的图像关于对称
k
D．函数g （x）的值域为[21﹣k，1]
k
【分析】A：利用平方差公式、余弦的二倍角公式化简该函数的解析式，最后利用余弦函数的单调性
进行判断即可；B：利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、降幂公式化简该函数的解析式，最后利
用余弦函数的周期公式进行求解即可；C：利用关于直线对称的性质，结合诱导公式进行运算判断即
可；D：先判断该函数的最小正周期，结合导数的性质判断该函数的单调性，进而求出函数的最值即
可．
【解答】解：A：，
当时，f （x）在单调递减，正确；
2
B：
，
g （x）的最小正周期为，正确；
2
C：因为，
第11页（共20页）所以函数y＝f （x）的图像不关于对称，不正确；
k
D：，
当时，，
因为k≥2，且k N*，所以2k﹣2≥2，故sin2k﹣2x＜cos2k﹣2x，所以g ′（x）＜0，
k
所以此时函数g k∈（x）单调递减，
当时，，
因为k≥2，且k N*，所以2k﹣2≥2，故sin2k﹣2x＞cos2k﹣2x，所以g ′（x）＞0
k
所以此时函数g k∈（x）单调递增，
所以有，
因为，所以g （x） ＝1，
k max
因此当时，函数g （x）的值域为[21﹣k，1]．
k
又因为，
所以函数g （x）的周期为，
k
因此函数g （x）的值域，也就是函数g （x）在区间上的值域，
k k
所以函数g （x）的值域为[21﹣k，1]，正确．
k
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）记S 为等差数列{a }的前n项和，若a +a ＝14，2a +a ＝15，则S ＝ 33 0 ．
n n 1 5 2 3 15
【分析】根据已知条件求出等差数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式求解即可．
【解答】解：设等差数列{a }的首项为a ，公差为d，
n 1
若a +a ＝14，2a +a ＝15，
1 5 2 3
则，即，
a ＝1，d＝3，
1
所以a ＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．
n
所以，
则．
故答案为：330．
13．（5分）2025的正因数有 1 5 个．
【分析】由题意可得出2025＝34×52，即可求出2025的正因数个数．
【解答】解：因为2025＝34×52，
所以2025的正因数有：（4+1）×（2+1）＝15个．
第12页（共20页）故答案为：15．
14．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣
（b﹣c）2，若，则t的最小值为 ．
【分析】先由正余弦定理和同角的三角函数关系结合题意得到cosA，sinA，再通过锐角三角形得到，
故可得的范围，然后用余弦定理和三角形的面积公式变形，再结合基本不等式可求最小值．
【解答】解：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣（b﹣c）2，
整理可得2S＝a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣（b2+c2）+2bc，
根据余弦定理可得2bccosA＝b2+c2﹣a2，
根据三角形的面积公式可得bcsinA＝2bc﹣2bccosA，即sinA＝2﹣2cosA，
因为sin2A+cos2A＝1，所以4﹣8cosA+4cos2A+cos2A＝1，
即5cos2A﹣8cosA+3＝0，解得或cosA＝1（舍去），
因为，所以，
在锐角△ABC中，有，则，
所以，
根据正弦定理和两角和的正弦公式可得
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，
所以根据余弦定理可得
，
设，
根据基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
所以t的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，1），记数列{a }的前n项和为
n
S ，且S ＝f（n）．
n n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
第13页（共20页）（2）设，数列{b }的前n项和为T ，求证：．
n n
【分析】（1）先求出f（x）＝2x﹣1，问题转化为根据数列的前n项和公式求数列的通项公式；
（2）先求出数列{b }的通项公式，利用裂项求和法求T ，即可证明．
n n
【解答】解：（1）由函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，1），
可得f（1）＝a﹣1＝1，得a＝2，故f（x）＝2x﹣1，
所以，
当n＝1时，a ＝2﹣1＝1；
1
当n≥2时，，
上式对n＝1也成立，
所以．
（2）证明：由，
可数列{b }的前n项和，
n
由于n N*，故2n≥2，即得，
故，即∈得，
故成立．
16．（15分）如图，在三棱台ABC﹣A B C 中，CC ⊥平面ABC，E为CC 中点，BC⊥AE．
1 1 1 1 1
（1）证明：AC⊥BE；
（2）若AC＝2A C ＝2CC ＝4，BC＝3，求直线EB 与平面ABE所成角的正弦值．
1 1 1 1
【分析】（1）利用线面垂直判定定理可证明AC⊥平面BCC B ，再利用线面垂直性质可得答案；
1 1
（2）建系，利用线面角的坐标运算公式可得答案．
【解答】解：（1）证明：∵CC ⊥平面ABC，AC，BC 平面ABC，
1
∴CC 1 ⊥BC，CC 1 ⊥AC， ⊂
又BC⊥AE，CC 平面ACC A ，AE 平面ACC A ，CC ∩AE＝E，
1 1 1 1 1 1
∴BC⊥平面ACC⊂1 A 1 ， ⊂
AC 平面ACC A ，∴BC⊥AC，
1 1
⊂
第14页（共20页）又∵CC ⊥AC，BC 平面BCC B ，CC 平面BCC B ，CC ∩BC＝C，
1 1 1 1 1 1 1
∴AC⊥平面BCC
1
B⊂1 ，BE 平面BCC
1
B 1⊂，
∴AC⊥BE． ⊂
（2）由（1）知直线CA，CB，CC 两两垂直，
1
分别以直线CA，CB，CC 为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示：
1
∵AC＝2A C ，∴，
1 1
依题意得，
，
设平面ABE的法向量，
则，则，∴，
取，
设EB 与平面ABE所成角为 ，
1
∴， θ
∴EB 与平面ABE所成角的正弦值为．
1
17．（15分）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI
知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取 100人．设事件A
＝“学生愿意报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计．
（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值 ＝0.001的独立性检验，能否推断该校
学生报名参加答题活动与性别有关？ α
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．
（i）若答题活动设置n（n N*且n≥10）道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求n的值．
（ii）若答题活动设置4道∈题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答
第15页（共20页）题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布
列和期望．
参考公式与数据：，其中n＝a+b+c+d．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【分析】α（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成2×2列联表，再计算出的χ2值判断
即可；
（2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；
（ii）写出X的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出X的分布列及期
望．
【解答】解：（1）∵，∴愿意报名参加答题活动人数为，
又∵，∴愿意报名参加答题活动的男生人数为，
愿意报名参加答题活动的女生人数为120﹣80＝40，
则可得到2×2列联表为：
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
零假设为H ：学生报名参加答题活动与性别无关，
0
则，
依据小概率值 ＝0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，
0
即认为学生报名α参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则．
则，
假设最有可能答对题目的数量是10次，则，
即：，
解得，又n N*，则n＝15；
（ii）X的所∈有可能取值为：1，2，3，4，
，
，
∴X的分布列为：
X 1 2 3 4
第16页（共20页）P
故．
18．（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（a＞b＞0）的上顶点为A，左焦点为F，焦距
为4，△AOF的面积为6，点D（m，n）为椭圆上一点，圆D的面积为8 ．
（1）求椭圆的离心率； π
（2）过原点O作圆D的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N．
（i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为k ，k ，求k k 的值；
1 2 1 2
（ii）求|OM||ON|的最大值．
【分析】（1）由焦距得，由△AOF面积得，a2＝b2+c2＝24，即可求出离心率；
（2）（i）直线与圆D相切，由距离公式得关于k的方程，结合椭圆方程，利用韦达定理求解即可；
（ii）由k k ，得，代入椭圆化简得|OM|2+|ON|2＝36，用基本不等式得最大值．
1 2
【解答】解：（1）依题意得，
所以，故a2＝b2+c2＝24，
所以；
（2）（i）依题意得圆D：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝8，
椭圆，
因为点D（m，n）为椭圆上一点，
所以，
直线OM：y＝k x，ON：y＝k x，与圆D相切，
1 2
所以，
平方整理得k ，k 为方程（m2﹣8）k2﹣2mnk+（n2﹣8）＝0的两根，
1 2
所以；
（ii）设M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
由（i）知，所以，
又，
所以，
第17页（共20页）整理得，
，
由基本不等式|OM|2+|ON|2≥2|OM||ON|，
得|OM||ON|≤18，当且仅当|OM|＝|ON|时等号成立．
所以|OM|•|ON|的最大值为18．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝aex﹣x2．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）讨论函数g（x）在（0，+∞）上极值点的个数；
（3）设函数，若h（x）在定义域内有三个不同的极值点x ，x ，x ，且满足，求实数a的取值范围．
1 2 3
【分析】（1）利用导数即可得到函数的单调性及最值．
（2）对函数求导，作出函数简图，通过方程根的个数结合极值点两边正负号即可确定参数的范围．
（3）化简函数h（x）并求导，分析有三个极值点时满足的条件，结合函数单调性求解不等式即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），导函数．
令f′（x）＝0，即lnx+1＝0，解得．
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
因此f（x）在处取得极小值也是最小值，此时，f（x）无最大值．
因此f（x）无最大值，最小值为．
（2）根据题意知，即讨论g（x）在（0，+∞）上变号零点个数，
对g（x）＝aex﹣x2求导可得导函数g′（x）＝a•ex﹣2x．
极值点的个数等价于g'（x）＝0在（0，+∞）上的解的个数，即在（0，+∞）上的解的个数．
令（x＞0），那么导函数，
当x （1，+∞）时， ′（x）＜0， （x）单调递减，当x （0，1）时， ′（x）＞0， （x）单调
递增∈， φ φ ∈ φ φ
所以 （x）在x＝1处取得最大值．
且x→φ+∞时， （x）→0，当x→0+时， （x）→0，
φ φ
当时，在（0，+∞）上有2个解，此时g（x）在（0，+∞）上有2个极值点；
当a≤0时，在（0，+∞）上无解，此时g（x）在（0，+∞）上无极值点；
当时，在（0，+∞）上有1个解，
第18页（共20页）但g′（x）在（0，1）和（1，+∞）上均大于零，故此时g（x）在（0，+∞）上无极值点；
当时，在（0，+∞）上无解，此时g（x）在（0，+∞）上无极值点；
综上，当a≤0或时，g（x）无极值点；当时，g（x）有2个极值点．
（3），其定义域为（0，+∞），
那么导函数，（x＞0）．
令h′（x）＝0，解得x＝1或．
设（x＞0），那么导函数，
当x （1，+∞）时，ψ′（x）＜0，ψ（x）单调递减，当x （0，1）时，ψ'（x）＞0，ψ（x）单调递
增，∈ ∈
所以ψ（x）在x＝1处取得最大值，
且当x→+∞时，ψ（x）→0，当x→0+时，ψ（x）→0，
因此ψ（x）的大致图象如图所示，
由于函数h（x）在定义域内有三个不同的极值点x ，x ，x ，且x＝1为h′（x）＝0的一个根，
1 2 3
因此ψ（x）与y＝a有两个不同的交点（且不等于1），因此，
即在（0，+∞）上有两个不同的正根且不等于1．
不妨设x ＜x ＜x ，那么0＜x ＜1＝x ＜x ，
1 2 3 1 2 3
因此，即，，也即lnx ＝x +lna，lnx ＝x +lna，
3 3 1 1
因此
．
令函数p（a）＝（ae﹣1）（1+lna）2（），那么导函数，
因为在上单调递减，y＝elna在上单调递增，
因此函数在上单调递增，
因此，
又，因此p′（a）＞0，
因此函数p（a）在上单调递增．
由于，
因此当时，，
即当时，恒成立，
第19页（共20页）因此．
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