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湖北武汉市 5G 联合体 2025-2026 学年下学期期中高二数学试卷
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知等差数列 中， ，则 （ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
3. 下列求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、
即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种
不同的放置方式．
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
5. 已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 的值为（ ）
A. 63 B. 126 C. 128 D. 254
6. 在2026年春晚节目《武BOT》中，机器人完成了后空翻、跳马等高难度动作，其表演融合了科技与武
术元素，也见证了“中国智造”的飞跃速度.若该节目的机器人按杨辉三角队形站位，第 行的第
个机器人的动作难度为 ，则从第3行到第2025行，每行第3个机器人动作难度之和为（ ）A. B. C. D.
7. 已知 是定义在 的偶函数，当 时， ，且 ，则
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图所示，某公园要给由7个区域组成的花坛进行花卉种植，中心区域为主花坛，从中心向三个方向延
伸出分花坛，每个方向有两个分花坛，靠近主花坛的为第一层分花坛，远离主花坛的为第二层分花坛.现用
四种不同的花卉品种给所有的花坛区域种植，要求相邻的区域种植不同品种花卉，且同一层的分花坛种植
不同品种的花卉，则所有的种植方法种数为（ ）
A. 216 B. 244 C. 264 D. 288
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 乘积 展开后有36项
B.C. 个班分别从 个景点中选择一处游览，有 种不同选法
D. 老师把 张相同的游园门票分给 人中的 人，则不同分法有 种
10. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状
把数分成许多类，将图中的 称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列 ，则
（ ）
A. B. C. 是等差数列 D.
11. 已知函数 ，若 有三个零点 且 ，下列说
法正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中， 的系数为__________．
13. 2026年4月学校举办趣味运动会，甲、乙、丙3名同学负责A，B，C，D四个任务．若每人至少负责
一个任务，每个任务都必须有人负责，则甲同学负责 任务的分配方法共有__________种．
14. 已知对于 ，都有 恒成立，则实数 的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求 的值.
16. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）讨论函数 的零点个数.
17. 已知二项式 .
（1）若其展开式中，第 项、第 项和第 项的二项式系数成等差数列，求 的值；
（2）在（1）的条件下求展开式中所有的有理项；
（3）设展开式中的各项系数和为 ，则当 时，求 除以 所得余数.
18. 已知函数 .
（1）当 时，若直线 与曲线 相切，求实数 的值；
（2）讨论 的单调性；
（3）若对任意 ，都有 恒成立，求整数 的最小值.
19. 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法，其过程如下：如图，
设 是方程 的解，选取 作为 的初始近似值，过点 作曲线 的切线 .如果
，则 与 轴的交点的横坐标记为 ，称 为 的一阶近似值．再过点 作曲线
的切线 ，并求出切线 与 轴的交点横坐标记为 ，称 为 的二阶近似值.重复以上过程，
得 的近似值序列： ，已知 .（1）取 ，根据牛顿迭代法求 ；
（2）求 与 的关系式 ，并证明： ；
（3）牛顿迭代法体现了“以直代曲”的数学思想，通常以曲线的切线或割线近似代替原曲线.基于该思想，
证明：若关于 的方程 的两个实数根分别为 ，则 ．
