文档文本内容
湖北武汉市第四中学等省级示范高中 2025-2026 学年下学期中测试高
二数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 若 为正整数，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合排列数的计算公式，即可求解.
【详解】由
.
2. 设 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用导数的定义，得到 ，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】因为 ，可得
根据导数的定义，可得 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 .
3. 已知数列 是等比数列， 为前 项和，若 ，则 （ ）
A. 39 B. 36 C. 27 D. 12
【答案】A【解析】
【详解】设数列 的公比为 ，
又因为 ， ，
所以 ，则 ，
因此 .
4. 2026年泡泡玛特旗下的IP“星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”．把这5个“星星人”装入3
个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（ ）种不同的装法．
A. 180 B. 150 C. 100 D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，先把5个“星星人”按 和 两种方式分组，再进行全排列，即可求解.
【详解】把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种：
①按 分组：先从 个中选 个为一组，剩下的 个各成一组，
可得不同的分组数为 ；
②按 分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的 个中选 个为一组，最后 个为一组，可得不同
的分组数为 ，
最后分配到3个不同的盒内，共有 种不同的装法.
5. 已知函数 ，若 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】求得 ，转化为 在 上有变号零点，设 ，求得 在
上单调递增，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
要使得函数 在 上不单调，即 在 上有变号零点，
设 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
6. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规
律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为 ），再沿直线繁殖，
…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程
抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到 ，然后分叉向
与 方向继续繁殖，其中 ，且 与 关于 所在直线对称，
….若 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半
径r（ ，单位： ）至少为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算
公式，即可判断答案.
【详解】由题意可知， ，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在 方向上的距离的范围，
即可确定培养皿的半径的范围，
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在 方向上前进的距离依次为：
，
则 ，
黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，
即 ，
综合可得培养皿的半径r（ ，单位： ）至少为8cm，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.
7. 为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，
2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名
划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（ ）
A. 15种 B. 19种 C. 23种 D. 36种
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意，记 只会划左桨的两人 ， 只会划右桨的两人 ， 既会划左桨又
会划右桨的两人 ；
则不同的选派方法有以下三种：
（1）从 中选择2人划左桨，划右桨的在 中选两人，共有 ，
（2）从 中选择1人划左桨，从 中选1人划左桨，再从 剩下的3名能划右桨的人中选2人划右
桨，共有 ；
（3）从 中选2人划左桨， 中的两人划右桨，共有 ．
所以，不同的选派方法共有19种．
8. 定义在 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且 ，若 时，函数满足
，则下列说法正确的是（ ）
A. 在 上单调递增 B.
C. D. 有且只有一个零点
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，构造函数 ，根据 的单调性和奇偶性，求得函数的正负，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
【详解】因为函数 满足 ，即 ，可得函数 为奇函数，
设 ，
可得 ，
因为 时， ，
即
可得 ，
所以 在 上单调递增，
又由 ，可得 为奇函数，
所以 在 上单调递增，
又因为 图象连续不断，则 ，所以 在 上单调递增，
当 时， 且 ，所以 ；
同理可得：当 时， ，
对于A，由于函数 的单调性不确定，故该选项不确定，所以A错误；
对于B，由当 时， ，可得 ；当 时， ，可得 ，
所以 ，所以B错误；
对于C，当 时， ，则 ，故C错误.
对于D，当 时， ，当 时， ，且 ，
所以函数 有且只有一个零点，故D正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 为数列 的前 项和，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 是递增数列
C. D. 中不存在连续三项成等差数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由 ，利用等比数列的性质，通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判定方
法，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，由 ，可得 ，所以A正确；
对于B，由 ，可得 ，则 ，
即 ，所以数列 为递减数列，所以B错误；
对于C，由 ，可得 ，所以C正确；
对于D，假定 中存在连续三项成等差数列，分别为 ，其中 ，
则 ，即 ，整理得 ，矛盾，
因此 中不存在连续三项成等差数列，所以D正确.
10. 一个正整数，如果将它从左向右读和从右向左读完全相同，就称为回文数，这种对称性质体现了数学
中的数字美学，如22，121，3443，94249等.下列说法正确的是（ ）
A. 百位为2的五位回文数有100个 B. 十位大于个位的六位回文数有360个
C. 位回文数有 个 D. 位回文数有 个
【答案】BC【解析】
【详解】根据题意，由回文数的定义，结合排列数与组合数，可得判定A错误，B正确；再用分步计数原
理分析 和 位回文数的数目，可判定C正确，D错误.
【分析】对于A，百位为2的五位回文数，此时第一位和倒数第一位数字有9种选法，
第二位和倒数第二位数字有10种选法，故总的个数为 个，所以A错误；
对于B，十位大于个位，有 种方法，此时个位和十位的数字被确定，
第三四位的数字相同，有10种选择，符合条件的六位回文数 ，有360个，故B正确；
对于C，对于 位回文数，首位和个位数字有9种选法，
第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第 个数字，
即最中间的数字有10种选法，则共有 种选法，
即 位回文数有 个，故C正确；
对于D，对于 位回文数，首位和个位数字有9种选法，
第二位和倒数第二位数字有10种选法， ，第 和第 位也有10种
所以共有 种选法，故D错误.
11. 已知 是函数 与 的图象的两条公切线，记 的倾斜角为 的倾斜角为 ，
且 的夹角为 ，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 与 的交点一定在第一象限
【答案】ACD
【解析】【分析】由已知可得两函数互为反函数，根据对称性即可判断A；根据 ，结合诱导公式和基本
不等式即可判断B；设 与两个函数图象分别切于 ， 两点， ，根据三角恒等变换可得
，由导数的几何意义可得切线方程，即可判断C；结合图象即可判断D.
【详解】如图，因为 与 互为反函数，
故两函数的图象关于直线 对称，则 ， 关于 对称，
故 ，故A正确；
π 1
由题意， ， 均为锐角， ， ，tanα+tanβ=tanα+tan ( −α )=tanα+ ≥2
2 tanα
，
当且仅当 ，即 时取等号，故B错误；
设 与两个函数图象分别切于 ， 两点， ，
若 ，即 ，
1
1+
(θ ) 3
解得 或 （舍去），故k =tan +45° = =2 ，
MN 2 1
1−
3
对于 ，则 ，令 ，解得 ，所以切点为 ，
所以曲线 的斜率为 的切线方程为 ，
故曲线 的斜率为 的切线方程为 ，同理可得 的斜率为 的切线方程为 ，
故曲线 的斜率为 的切线方程为 ，
所以 ，
则 ，则 ，故C正确；
由图可知点 必在第一象限，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. __________.
【答案】
【解析】
【详解】
13. 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一
次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为________.
【答案】
【解析】
【分析】设第 次传球后，球又回到甲手中的传球方法有 种，探索数列 的首项和递推公式，从而
求 的值.
【详解】设第 次传球后，球又回到甲手中的传球方法有 种，经过 次传球后，所有可能的传球方法总数为 .
这些方法可分为两类：一类是球在甲手中，有 种方法，
另一类是球不在甲手中，有 种方法，
第 次传球后球要回到甲手中，当且仅当第 次传球后球不在甲手中，然后由持球人传给了甲，
因此， ，即 ，
由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以 ．
利用递推关系可以得到： ．
这说明经过 次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有 种．
14. 已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，进而求出 的取值范围.
【详解】当 时，此时 ， ，因为 恒成立，所以 恒成立，
符合题意；
当 时，令 ，
要使 恒成立，即 恒成立，
对 求导得 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值，也是最小值，，
要使 恒成立，则 ，即 ，
因为 ，两边同时除以 得 ，即 ，解得 ；
当 时，因为 恒成立，所以 在 上单调递增，
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ，
所以当 足够小时， 趋近于 ， 为负数且绝对值较大，
必然存在某个足够小的 ，使得 ，
不满足 恒成立，所以 不符合题意，
综上所述， 的取值范围是 .
四、解答题：本小题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的首项 ，且数列 满足 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，得到 ，解得 ，进而得到
数列 的通项公式；（2）由（1）求得 ，利用乘公比错位相减法求和，得到 ，进而证得结论.
【小问1详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
因为 且 ，可得 ，
又因为由 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即数列 的通项公式为 .
【小问2详解】
证：由（1）知： ，可得 ，所以 ，
设
则 .
两式相减得 .
可得 ，
因为 ，可得 ，所以 .
16. 已知函数 ．
（1）讨论 的极值；（2）求 在 上的最小值 ．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，分别在 和 的情况下，根据 的正负可得 单调性，由极值定
义可求得结果；
（2）分别在 、 和 的情况下，根据 的正负可得 单调性，由此可得最值点，
代入可求得最值.
【小问1详解】
由题意知： 的定义域为 ， ；
当 时， ， 恒成立， 在 上单调递增，
无极值；
当 时，若 ， ；若 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
的极小值为 ，无极大值；
综上所述：当 时， 无极值；当 时， 的极小值为 ，无极大值.
【小问2详解】
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增，
；当 时，若 ， ；若 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
；
当 时， 在 上单调递减， ；
综上所述： 在 上的最小值 .
17. 某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，
每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队．
（1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？
（2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？
【答案】（1）1440
（2）240
【解析】
【分析】（1）根据题意，先从6个团队中选5个，将其分成四组，再进行全排列，结合分步计数原理，即
可求解；
（2）先将A和B两个团队视为一个整体，将其分成四组，再进行全排列，即可求解.
【小问1详解】
解：先从6个团队中选5个，有 种选法，
接下来将5个团队分配到4种项目，且每个项目至少1个团队负责，
则5个团队分为：2，1，1，1四组，有 种方法，
再将这四组对应4种项目进行全排列，
由分步计数原理，可得不同的安排方案有 种.
【小问2详解】
解：先将A和B两个团队视为一个整体（一个元素），
此时相当于5个元素分配到4种项目，每个项目至少有一个团队，即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有 种方法，
再将这四组对应4种项目进行全排列，有 种方法，
所以共有 种不同的安排方案.
18. 已知数列 满足： ；数列 满足： ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ；
（3）定义：“若存在常数 ，使得对任意正整数 ，数列 的前 项和 都满足 ，则称数列
是‘和有上界数列’，且‘和上界’为 ”．证明：数列 的其中一个‘和上界’为 ．
【答案】（1） ，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意整理得 ，根据等比数列的定义，即可得数列 的通项公式，
将 的通项公式代入，根据对数的运算性质，可得数列 的通项公式.
（2）由（1）得 ，代入可得 的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案.
（3）由（1）得 的通项公式，先证明 ，则可求得数列 的前n项和 的表
达式，根据条件，分析即可得证.【小问1详解】
因为 ，所以 ，
又 ，所以 是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，则 .
则 .
【小问2详解】
由（1）得 ，
则 ，
所以
【小问3详解】
由（1）得 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，则 ，
所以数列 的前n项和，
所以对于任意正整数 ，数列 的其中一个‘和上界’为
19. 拉格朗日是十八世纪著名的数学家，在数学领域作出了重大贡献，人们常把很多数学领域中新的发现
用他的名字命名.如对一组数据（ ）（ 互不相等）进行研究时，记
时
， ，称
为这组数据的拉格朗日插值多项式.
（1）试求数据 的拉格朗日插值多项式 的表达式；
（2）对于（1）中求出的 ，若函数 满足 ，
（i）研究 的单调性；
（ii）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）答案见解析；（ii） .
【解析】
【分析】（1）根据拉格朗日插值多项式的定义直接求解即可.
（2）（i）先求出 的表达式及导函数，按照 和 分类讨论研究其单调性即可.（ii）分离参数将问题转化为 有两个不同实数解，令 ，求单调性并画出示意图，数形
结合得 ，解对数函数不等式即可.
【小问1详解】
对于数据 ，
有 ，
，
所以 ，
即 .
【小问2详解】
（i）由（1）知 ，
所以 ，
，
若 ，则 在 上单调递减；
若 ，则 ，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减.
综上所述， 时， 在 上单调递减；时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（ii）因为函数 有两个零点，所以关于 的方程 ，即 ，
亦即 有两个不同实数解.
令 ，则 ，
当 时， 在 上单调递减，且当 时， ；
当 时， 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值 .
作出函数 的图象以及直线 ，如图所示：
由图可见，当且仅当 ，
即 时，直线 与函数 的图象有两个公共点，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
