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湖北武汉市第四中学等省级示范高中 2025-2026 学年下学期中测试高
二数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 若 为正整数，则 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
3. 已知数列 是等比数列， 为前 项和，若 ，则 （ ）
A. 39 B. 36 C. 27 D. 12
4. 2026年泡泡玛特旗下的IP“星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”．把这5个“星星人”装入3
个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（ ）种不同的装法．
A. 180 B. 150 C. 100 D. 90
5. 已知函数 ，若 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规
律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为 ），再沿直线繁殖，
…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程
抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到 ，然后分叉向
与 方向继续繁殖，其中 ，且 与 关于 所在直线对称，….若 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半
径r（ ，单位： ）至少为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，
2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名
划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（ ）
A. 15种 B. 19种 C. 23种 D. 36种
8. 定义在 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且 ，若 时，函数满足
，则下列说法正确的是（ ）
A. 在 上单调递增 B.
C. D. 有且只有一个零点
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 为数列 的前 项和，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 是递增数列
C. D. 中不存在连续三项成等差数列10. 一个正整数，如果将它从左向右读和从右向左读完全相同，就称为回文数，这种对称性质体现了数学
中的数字美学，如22，121，3443，94249等.下列说法正确的是（ ）
A. 百位为2的五位回文数有100个 B. 十位大于个位的六位回文数有360个
C. 位回文数有 个 D. 位回文数有 个
11. 已知 是函数 与 的图象的两条公切线，记 的倾斜角为 的倾斜角为 ，
且 的夹角为 ，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 与 的交点一定在第一象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. __________.
13. 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一
次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为________.
14. 已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围为______．
四、解答题：本小题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的首项 ，且数列 满足 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： .
16. 已知函数 ．
（1）讨论 的极值；（2）求 在 上的最小值 ．
17. 某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，
每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队．
（1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？
（2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？
18. 已知数列 满足： ；数列 满足： ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ；
（3）定义：“若存在常数 ，使得对任意正整数 ，数列 的前 项和 都满足 ，则称数列
是‘和有上界数列’，且‘和上界’为 ”．证明：数列 的其中一个‘和上界’为 ．
19. 拉格朗日是十八世纪著名的数学家，在数学领域作出了重大贡献，人们常把很多数学领域中新的发现
用他的名字命名.如对一组数据（ ）（ 互不相等）进行研究时，记
时
， ，称
为这组数据的拉格朗日插值多项式.
（1）试求数据 的拉格朗日插值多项式 的表达式；
（2）对于（1）中求出的 ，若函数 满足 ，（i）研究 的单调性；
（ii）若 有两个零点，求 的取值范围.
