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2025-2026 学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，请将正确答案涂到答题卡中。
1．（3 分）汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要
阶段．在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）用三角板作△ABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出
了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（ ）
A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点
B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点
C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点
D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点
4．（3 分）2025 年9 月3 日，我国隆重举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年阅兵
式，多种自主研发新型装备首次亮相．如图，以重型歼﹣20 战斗机D，E 所在的直线为x 轴、过点A
且垂直于DE 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy．若中型歼﹣35A 战斗机所在位置为点B（m，
2
n），歼﹣16D 电子战飞机所在位置C 与点B 到x 轴的距离相等，到y 轴的距离也相等，则歼﹣16D 电
子战斗机所在位置C 的坐标为（ ）
A．（m，n）
B．（﹣m，﹣n）
C．（m，﹣n）
D．（﹣m，n）
5．（3 分）下列条件不能确定△ABC 是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C
B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C
D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
6．（3 分）如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别是AC，BD，AE 的中点，若阴影部分的面积为4，则
△ABC 的面积是（ ）
A．32
B．36
C．28
D．30
7．（3 分）如图，为了估计池塘两岸A，B 间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝19 米，PB＝10
米，那么A，B 间的距离不可能是（ ）
A．11 米
B．15.8 米
C．26 米
D．30.5 米
8．（3 分）如图是某海域内三处观测站A，C，E 的分布图，经测量可得C 处在A 处的南偏西40°方向，
在A 处向南偏东25°方向可观测到E 处，而E 处在C 处的北偏东80°方向，则在E 处观测A 处和C 处的
视线夹角∠AEC 为（ ）
3
A．60°
B．70°
C．75°
D．80°
9．（3 分）如图，△ABC 中，外角∠MAC，∠ACN 的角平分线AD，CD 交于点D，点P 在BN 上，
∠BAD+∠DPB＝180°，过点D 作DE⊥AB，垂足为E，连接BD，则下列结论中不一定正确的是
（ ）
A．BD 平分∠ABC
B．DC 平分∠ADP
C．BP﹣2AE＝AB
D．S△DAB：S△DBC＝AB：BC
10．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，过点C 作CD⊥AB 于点D，过点B 作BM⊥AC 于点M，
连接MD，过点D 作DM⊥DN，交BM 于点N．CD 与BM 相交于点E，若点E 是CD 的中点，则下列
结论中正确的有（ ）
①AD＝DE；
②DM＝DN；
③∠AMD＝45°；
④EM：MC：NE＝1：2：3．
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
二、填空题（共5 小题，每小题3 分，共15 分）
11．（3 分）如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使
△ABC≌△ADE，则需添加的条件是 ．
4
12．（3 分）如图是蜡烛的平面镜成像示意图，以桌面所在直线为x 轴，镜面所在直线为y 轴建立平面直
角坐标系，若火焰顶部P 点的坐标是（3，1.5），则对应虚像火焰顶部Q 点的坐标是
．
13．（3 分）在△ABC 中，AB＝3，BC 边上的中线AD＝4，则边AC 的取值范围是 ．
14．（3 分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线
OP 为∠AOB 的平分线的有 ．
15．（3 分）如图，在∠AOB 的边OA，OB 上取点M，N，连接MN，MP 平分∠AMN，NP 平分∠MNB，
若MN＝2，△PMN 的面积是4，△OMN 的面积是6，则OM+ON 的长是 ．
三、解答题（共8 小题，共75 分）
16．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣5，﹣2），C
（﹣2，﹣4）．
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，写出点B1的坐标；
（2）求出△ABC 的面积；
（3）在y 轴上找一点P，使PA+PC 最小，并写出点P 的坐标．
5
17．（8 分）风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分
构成．如图所示，风筝的两侧骨架AC＝AD，底部骨架BC＝BD，点E 在AB 的延长线上．求证：
∠CBE＝∠DBE．
18．（8 分）如图所示，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E，使CE＝CD．
（1）求∠E 的度数．
（2）用尺规作图的方法，过D 点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）求证：BM＝EM．
19．（8 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝130°，AB 的垂直平分线分别交AB，BC 于点E，F，AC 的垂直
平分线分别交AC，BC 于点M，N，直线EF，MN 交于点P．
（1）求∠FAN 的度数；
（2）求证：点P 在线段BC 的垂直平分线上．
6
20．（10 分）如图，在△ABC 中，D 为△ABC 外一点，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于点E，∠B+∠ADC＝
180°．
（1）求证：BC＝CD；
（2）若∠ACB＝90°，连接CD，AB＝8，BE＝2，∠ABD＝30°，求AD 的长．
21．（10 分）【材料阅读】
已知直线l 同侧有两个点A，B，要在l 上确定一个点C，使得AC+CB 最短．小明的做法如下：作A 关
于直线l 的对称点A'，根据轴对称的性质，对于l 上任意一点C，都有AC＝A'C，因此连接A′B 与直
线l 的交点即为所求点C，A′B＝AC+BC，此时AC+BC 最短．
（1）上述材料中小明判断AC+BC 最短的依据是 ；
【知识应用】
（2）如图2，有两条河AO 和BO 在村庄O 处交汇，它们的夹角∠AOB＝30°，距离村庄500 米处有一
个种植园P，现计划建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，P﹣M﹣N﹣P，则水渠总长度最短为
米；
【拓展应用】
（3）如图4，在△ABC 中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC，M，N 分别是
AD，AC 边上的动点，求CM+MN 的最小值．
7
22．（11 分）【问题背景】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转
或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，
解决问题．
如图1，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F 分别是BC，CD
上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF 之间的数量关系．
（1）探究发现：小雨同学的方法是延长FD 到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，
再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论： ；
（2）拓展延伸：如图2，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F 分别是边BC，CD 上
的点，且∠EAF = 1
2 ∠BAD，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成
立，请说明理由．
23．（12 分）【数学建模】
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC 中，
∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l 经过点A，BD⊥直线l、CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．
（1）请直接写出DE，BD 和CE 之间的关系 ．
【变式探究】
（2）小丽认为当△ABC 不是直角三角形时，上述结论仍然成立．如图2，在△ABC 中，AB＝AC，D，
8
A，E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，可得DE＝BD+CE．你同意小丽的说法吗？
请说明理由．
【拓展应用】
（3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，△ABF 和△ACF 均为等边三角形，
点D，A，E 是同一直线l 上不重合的三点，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请说明△DEF 为等腰三角形．
9
2025-2026 学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
D
C
A
D
C
B
D
11.AC＝AE 或∠B＝∠D 或∠ACB＝∠AED 12.（﹣3，1.5） 13.5＜AC＜11
14.①②③④ 15.
16.②③
选择题、填空题解法提示
10．解：①∵CD⊥AB 于点D，
∴∠CDA＝∠BDE＝90°，
∴△CDA 和△BDE 都是直角三角形，
在△BCD 中，∠BDE＝90°，∠ABC＝45°，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴CD＝BD，
∵BM⊥AC 于点M，
∴∠AMB＝90°，
∴△ABM 是直角三角形，
∴∠A+∠DBE＝90°，
在Rt△CDA 中，∠A+∠DCA＝90°，
∴∠DCA＝∠DBE，
在△DCA 和△DBE 中，
{
∠CDA =∠BDE
CD = BD
∠DCA =∠DBE
，
∴△DCA≌△DBE（ASA），
∴AD＝DE，
故结论①正确；
②∵DM⊥DN，
∴∠NDM＝∠BDC＝90°，
∵∠NDM﹣∠NDE＝∠BDC﹣∠NDE，
∴∠MDC＝∠NDB，
∵∠DCA＝∠DBE，
10
∴∠MCD＝∠NBD，
在△MDC 和△NDB 中，
{
∠MDC =∠NDB
CD = BD
∠MCD =∠NBD
，
∴△MDC≌△NDB（ASA），
∴DM＝DN，
故结论②正确；
③在△DMN 中，∠NDM＝90°，DM＝DN，
∴△DMN 是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝∠DNM＝45°，
∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°，
故结论③正确；
④过点D 作DH⊥MN 于点H，如图所示：
∵BM⊥AC 于点M，
∴∠DHE＝∠CME＝90°，
∵点E 是CD 的中点，
∴DE＝CE，
在△DHE 和△CME 中，
{
∠DHE =∠CME =90°
∠DEH =∠CEM
DE =CE
，
∴△DHE≌△CME（AAS），
∴设EH＝EM，DH＝CM，
设EH＝EM＝a，
∴HM＝EH+EM＝2a，
∵△DMN 是等腰直角三角形，
∴DH＝HN＝HM＝2a，
11
∴NE＝HN+EH＝2a+a＝3a，DH＝CM＝2a，
∴EM：MC：NE＝a：2a：3a＝1：2：3，
故结论④正确，
综上所述：结论正确是：①②③④，
故选：D．
15．解：过P 作PH⊥MN 于H，PC⊥OA 于C，PD⊥OB 于D，连接PO，
∵MP 平分∠AMN，NP 平分∠MNB，
∴PC＝PH，PD＝PH，
∴PC＝PD，
∵△PMN 的面积＝MN•PH＝4，MN＝2，
∴PH＝4，
∴PC＝PD＝4，
∵△PMN 的面积是4，△OMN 的面积是6，
∴△POM+△PON＝4+6＝10，
∴1
2
OM•PC+ 1
2
ON•PD＝10，
∴（OM+ON）×4＝10×2，
∴OM+ON＝5．
故答案为：5．
解答题参考答案
16．解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标（5，﹣2）；
（2）△ABC 的面积＝3×5−1
2 ×2×3−1
2 ×1×5−1
2 ×2×3= 13
2
；
12
（3）如图，点P 即为所求．P（0，﹣2）．
17．证明：在△ABC 和△ABD 中，
{
AC = AD
BC = BD
AB = AB
，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠ABC＝∠ABD，
∵点E 在AB 的延长线上，
∴∠ABC+∠CBE＝180°，∠ABD+∠DBE＝180°，
∴∠CBE＝∠DBE．
18．（1）解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又CD＝CE，∠ACB 为△DCE 的外角，
∴∠E＝∠CDE＝30°；
（2）如图所示：
（3）证明：∵△ABC 是等边三角形，D 是AC 中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，又∠E＝30°，
13
∴∠DBC＝∠E，
∴BD＝ED，
又DM⊥BE，
∴BM＝EM．
19．（1）解：∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EF 是AB 的垂直平分线，MN 是AC 的垂直平分线，
∴FA＝FB，NA＝NC，
∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠FAN＝130°﹣50°＝80°；
（2）证明：如图，连接PA、PB、PC，
∵EP 是AB 的垂直平分线，MP 是AC 的垂直平分线，
∴PB＝PA，PC＝PA，
∴PB＝PC，
∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．
20．（1）证明：如图，过点C 作CF⊥AD 于点F，
14
∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
在△CFD 和△CEB 中，
{
∠CDF =∠B
∠CFD =∠CEB
CF =CE
，
∴△CFD≌△CEB（AAS），
∴BC＝CD；
（2）解：由（1）可知，△CFD≌△CEB，
∴DF＝BE，
在Rt△ACF 和Rt△ACE 中，
{
AC = AC
CF =CE ，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF＝AE，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AF+BE＝AD+DF+BE，
∴AB＝AD+2BE，
即8＝AD+2×2，
∴AD＝4，
答：AD 的长为4．
21．解：（1）小明判断AC+BC 最短的依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短；
（2）如图2 中，作点P 关于直线OA 的对称点F，作点P 关于直线OB 的对称点G，连接FG，
分别交OA、OB 于M、N，
15
∴MP＝MF，NP＝NG，
∴△PMN 的周长的最小值为FG，
由轴对称的性质得：∠FOA＝∠AOP，∠POB＝∠GOB，
OP＝OF，OP＝OG，
∵∠AOP+∠POB＝∠AOB＝30°，OP＝500 米，
∴∠FOG＝∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB＝60°，OF＝OG＝500 米，
∴△FOG 为边长为500 米的等边三角形，
∴FG＝500 米，
∴△PMN 的周长的最小值为500 米，
故答案为：500；
（3）如图，在AB 上截取AP＝AN，连接MP，过点C 作 CE⊥AB，垂足为E，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠MAN＝∠MAP．
在△AMN 与△AMP 中，
{
AN = AP
∠MAN =∠MAP
AM = AM
，
∴△AMN≌△AMP（SAS），
∴MN＝MP，
∴CM+MN＝CM+PM，
当C，M，P 三点共线且CP⊥AB 时，CM+PM 最短，
∴这时CM+MN 有最小值，即CE 的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∴S△ABC = 1
2 AB⋅CE = 1
2 AC ⋅BC，
∴CE = 24
5
，
16
∴CM+MN 的最小值为24
5
．
22．解：（1）EF＝BE+FD．
延长FD 到点G．使DG＝BE．连接AG，如图1，
∵∠ABE＝∠ADG＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠EAF＝60°．
∴∠GAF＝∠EAF＝60°．
又∵AF＝AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS）．
∴FG＝EF．
∵FG＝DF+DG．
∴EF＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2 中，延长CB 至M，使BM＝DF，连接AM．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM 与△ADF 中，
17
{
AB = AD
∠1=∠D
BM = DF
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF= 1
2
∠BAD，
∴∠2+∠4= 1
2
∠BAD＝∠EAF，
∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME 与△AFE 中，
{
AM = AF
∠MAE =∠EAF
AE = AE
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，
∴EF＝BE+DF．
23．解：（1）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD；
在△ADB 和△CEA 中，
{
∠ABD =∠CAE
∠BDA =∠CEA
AB = AC
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
（2）DE＝BD+CE，同意小丽的说法，理由如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
18
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB 和△CEA 中，
{
∠BDA =∠CEA
∠ABD =∠CAE
AB = AC
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）由（2）可得AE＝BD，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF 和△ACF 为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，FB＝AF，
∴∠ABF+∠ABD＝∠CAF+∠EAC，
即∠DBF＝∠EAF，
在△FBD 与△FAE 中，
{
BF = AF
∠DBF =∠EAF
BD = AE
，
∴△FBD≌△FAE（SAS），
∴DF＝EF，
∴△DEF 是等腰三角形．
