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2025-2026 学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共30 分，每小题3 分）
1．（3 分）下列体育运动的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣2，3），B（2，3），C（1，1），D（﹣1，1）．
下列说法正确的是（ ）
A．点A 与点B 关于x 轴对称
B．点A 与点B 关于y 轴对称
C．点A 与点B 关于直线OC 对称
D．点A 与点B 关于直线OD 对称
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a﹣4＝a﹣2
B．（a﹣3）2＝a9
C．（3a）2＝3a2
D．a9÷a3＝a3
4．（3 分）芯片制造过程中，一种金属连线的宽度为0.000000000025 米．某一层介质的厚度为a 米．已
知该层介质的厚度是金属连线的宽度的20 倍，则a 的值用科学记数法表示应为（ ）
A．2.5×10﹣10
B．5.0×10﹣11
C．2.5×10﹣11
D．5.0×10﹣10
5．（3 分）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．x +1
x +2 = 1
2
B．−xy
−x
2 = y
x
C．y +1
x
= y
x +1 D．y
3
x
3 = y
x
6．（3 分）在△ABC 和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，若添加一个条件可使△ABC≌△A'B'C'，则添加
的这个条件不能是（ ）
A．BC＝B'C'
B．∠A＝∠A'
C．∠B＝∠B'＝90°
D．∠C＝∠C′
7．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝50°，∠C＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，将△ACD 沿AD 所
在直线折叠，得到△AED，则∠BDE 的大小为（ ）
2
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
8．（3 分）过直线AB 外一点C，用尺规作AB 的垂线，如图所示，其中点F 是分别以点D 和点E 为圆心，
DE 为半径的两弧的交点．若∠CDF＝130°，则∠ECF 的大小为（ ）
A．35°
B．30°
C．25°
D．20°
9．（3 分）已知等腰三角形ABC 的周长为30，则下列结论中错误的是（ ）
A．当∠A＝30°时，△ABC 的形状、大小唯一确定
B．当∠A＝130°时，△ABC 的形状、大小唯一确定
C．当AB＝4 时，△ABC 的形状、大小唯一确定
D．当AB 边上的高为12 时，△ABC 的形状、大小唯一确定
10．（3 分）如图1 是一个3×3 的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
①两人轮流将网格中的白色方格涂黑，每次涂一个格子；
②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色；
③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜．
如图2，甲先涂了1 号方格，乙随后涂了2 号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3
二、填空题（本大题共18 分，每小题3 分）
11．（3 分）若分式
1
2 x +1
有意义，则实数x 的取值范围是 ．
12．（3 分）分解因式：12﹣3y2＝ ．
13．（3 分）在△ABC 中，设∠B，∠C 的角平分线相交于点O．若点O 也是△ABC 的重心（三角形三条
中线的交点），则∠BOC＝ °．
14．（3 分）化简：3a
2b ⋅( b
3a )
2= ．
15．（3 分）如图，△ABC 中，∠CAB＝60°，∠B＝15°，AC＝4，点D，E 分别是线段CB，AB 上的动点，
当AD+DE 最小时，AE 的长是 ．
16．（3 分）某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同
一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才
能进行其它工序．现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间
如下：
修复师
清洁去污
结构修复与加固
画面修补与全色
甲
60 天
30 天
120 天
乙
60 天
20 天
90 天
丙
80 天
20 天
80 天
在不考虑其他因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短 天可以修复一件文物；最短
天可以完成全部文物的修复工作．
三、解答题（本大题共52 分，第17-19 题，每小题4 分，第20-23 题，每小题4 分，第24 题6 分，第25-
26 题，每小题4 分）
17．（4 分）计算：(−1)
2+(π −2026)
0+( 1
3 )
−1．
18．（4 分）已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式（x+3）（x﹣1）+（x﹣3）2的值．
19．（4 分）计算：(
1
x +2 +
1
x−2 )÷
x
2−2 x
x
2−4 x + 4
．
20．（5 分）如图，P 为∠AOB 内部的一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N．写出命题“若
4
∠AOP＝∠BOP，则PM＝PN”的逆命题，并证明该逆命题．
21．（5 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作线段AB 的垂直平分线DE，分别交AB，BC 于点D，E；（保留作图
痕迹，不写作法，标明字母）
（2）用等式表示线段CE 与BE 的数量关系，并证明．
22．（5 分）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增
柿子的种植面积300 亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90 万千克，在亩产量不变的情况下，成
立合作社后年产量达到135 万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答）
23．（5 分）如图，AD 与BC 相交于点O，AB＝CD，∠OAB＝∠OCD，求证：AC∥BD．
24．（6 分）若P 和Q 是关于x 的两个分式，且P﹣Q＝k（k 是一个整数），则称Q 是P 的“k 相关分
式”，例如：P =
9
x−3
，Q = 3 x
x−3
，则Q 是P 的“﹣3 相关分式”．
（1）若P=
A
4−x
2（A 是关于x 的整式），Q = 2 x
x−2，且Q 是P 的“2 相关分式”，则A＝
；
（2）若P = ( x +a+1)( x +b)
x
，Q = ( x +c)( x +1)
x
（a，b，c 都是整数，且a＜b），且Q 是P 的“5 相
5
关分式”，求b 的所有可能取值．
25．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和线段CD 给出如下定义：若存在点P（不在直线
AB 和直线CD 上），使得∠PAB，∠PBA，∠PCD，∠PDC 的大小均不超过θ，则称AB 和CD 具有性
质Pθ．
（1）如图1，点A（﹣2，0），B（1，0），C1（0，1），D1（2，1），C2（0，2），D2（2，2），
C3(0，−1
2 )，D3(2，−1
2 )．在线段C1D1 ，C2D2 ，C3D3 中，和AB 具有性质P45° 的是
；
（2）如图2，点A（2，0），B（4，0），点C，D 在第一象限内以原点为端点的同一条射线上，且
∠AOC＝60°，点C，D 的横坐标分别记为u，v，满足0＜u＜v．
①若AB 和CD 具有性质P60°，则当u= 1
2
时，v 的取值范围是 ；
②若AB 和CD 具有性质P90°，且不具有性质P60°，直接写出u，v 还应满足的关系．
26．（7 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，作∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D，过点A 作
AE⊥AD 交BC 的延长线于点E．
（1）①依题意补全图形；
②求证：∠BAE+∠CAE＝180°；
（2）若AB+2AC＝AE，求∠ABC 的大小．
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2025-2026 学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
B
D
B
D
A
D
11.x≠﹣0.5 12.3（2+y）（2﹣y） 13.120 14. b
6a 15.2 16.160；300
选择题、填空题解法提示
10．解：如图：
∵甲先涂了1 号方格，乙随后涂了2 号方格，
∴甲第2 次只能涂3 号方格，
当乙第2 次涂4 号方格时，甲第3 次只能涂5 号方格，游戏结束；
当乙第2 次涂5 号方格时，甲第3 次只能涂4 号方格，游戏结束；
∴最多次数是甲涂了3 次获胜；
故选：B．
15．解：将△ABC 沿BC 翻折得到△A′BC，则∠A′BC＝∠ABC＝15°，∠CA′B＝∠CAB＝60°，
连接A′C 并延长交AB 于F，连接A′D，
由轴对称的性质可知A′D＝AD，
∴AD+DE＝A′D+DE≥A′E，
∴当A、D、E 共线时，且AE⊥AB 时，AD+DE 的值最小，
∵∠A′BF＝∠A′BC+∠ABC＝30°，∠CA′B＝60°，
∴∠A′FB＝90°，
∴AF⊥AB，
∴E 与F 重合时，AD+DE 的值最小，此时AE＝AF，
在Rt△ACF 中，∠CAB＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴AF= 1
2 AC = 1
2 ×4 =2，
7
∴当AD+DE 最小时，AE 的长为2，
故答案为：2．
解答题参考答案
17．解：原式＝1+1+3
＝2+3
＝5．
18．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
原式＝x2﹣x+3x﹣3+x2﹣6x+9
＝2x2﹣4x+6
＝2（x2﹣2x）+6
＝2×1+6
＝2+6
＝8．
19．解：原式=[
x−2
( x +2)( x−2) +
x +2
( x +2)( x−2) )÷ x( x−2)
( x−2)
2
=
2 x
( x +2)( x−2) ÷
x
x−2
=
2 x
( x +2)( x−2) ⋅x−2
x
=
2
x +2
．
20．解：命题“若∠AOP＝∠BOP，则PM＝PN”的逆命题是：P 为∠AOB 内部的一点，PM⊥OA，
PN⊥OB，垂足分别为M，N，“若PM＝PN，则∠AOP＝∠BOP”，
证明：∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠ONP＝∠OMP＝90°，
在Rt△ONP 和Rt△OMP 中，
8
{
PN = PM
OP =OP ，
∴Rt△ONP≌Rt△OMP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP．
21．解：（1）如图所示；
（2）CE＝2BE，理由如下：
连接AE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C= 1
2 ×（180°﹣120°）＝30°，
∵DE 垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝90°，
∴CE＝2AE，
∴CE＝2BE．
22．解：设该村成立合作社前柿子的种植面积为x 亩，则该村成立合作社后柿子的种植面积为
（x+300）亩，
根据题意得：90
x =
135
x +300
，
解得：x＝600，
经检验，x＝600 是所列方程的解，且符合题意．
答：该村成立合作社前柿子的种植面积为600 亩．
23．证明：在△OAB 和△OCD 中，
9
{
∠AOB =∠COD
∠OAB =∠OCD
AB =CD
，
∴△OAB≌△OCD（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OBD＝∠ODB，
∵∠AOB＝∠OAC+∠OCA＝∠OBD+∠ODB，
∴∠OAC＝∠ODB，
∴AC∥BD．
24．解：（1）∵Q 是P 的“2 相关分式”，
∴P﹣Q＝2，
即
A
4−x
2 −2 x
x−2 =2，
整理得A＝﹣4x2﹣4x+8，
故答案为：﹣4x2﹣4x+8；
（2）∵Q 是P 的“5 相关分式”，
∴P﹣Q＝5，
即( x +a+1)( x +b)
x
−( x +c)( x +1)
x
=5，
整理得（a+b﹣c）x+（ab+b﹣c）＝5x，
∴a+b﹣c＝5，ab+b﹣c＝0，
∴c＝a+b﹣5，
代入ab+b﹣c＝0 中，得ab+b﹣（a+b﹣5）＝0，
整理得a（b﹣1）＝﹣5，
∵a，b 都是整数，且a＜b，
∴a，b﹣1 都是整数，
∴当a＝1 时，b﹣1＝﹣5，此时b＝﹣4，不满足a＜b，舍去，
当a＝5 时，b﹣1＝﹣1，此时b＝0，不满足a＜b，舍去，
当a＝﹣1 时，b﹣1＝5，此时b＝6，满足a＜b，
当a＝﹣5 时，b﹣1＝1，此时b＝2，满足a＜b，
综上，b 的可能取值为6 或2．
25．解：（1）∵存在点P，使得∠PAB，∠PBA 的大小均不超过45°，
∴点P 在以AB 为对角线的正方形的边上或内部．
10
∵∠PCD，∠PDC 的大小均不超过45°，
∴点P 在以CD 为对角线的正方形的边上及内部，
∴两个正方形有公共点，即满足AB 和CD 具有性质P45°．
如图，
∴线段C1D1、C3D3和AB 具有性质P45°；
故答案为：C1D1、C3D3；
（2）①∵θ＝60°，
∴点P 在以AB 和CD 分别为边的上下两个等边三角形的边上及内部，
如图，
∵AB 和CD 具有性质P60°，
∴点P 为以AB 为边的等边三角形和以CD 为边的等边三角形的交点．
∵0＜u＜v，
∴点D 在点C 的右上方，点C 是定点，
11
当点D 运动时，以CD 为边的两个等边三角形随着CD 的增大而变大．
当等边三角形CDF 的顶点F 落在AE 上时，是v 的最小值．
作D1H⊥x 轴于点H，交CF 于点G，过点C 作CK⊥x 轴于点K．
∵CF＝OA＝2，
∴CG＝1，KH＝1，
∴OH = 3
2
，
∴v ≥3
2
；
故答案为：v ≥3
2
；
②过点A、B 分别作x 轴的垂线，则两条垂线及垂线之间的部分满足∠PAB≥90°，∠PBA≥90°，
过点C、D 分别作直线OC 的垂线，则两条垂线及垂线之间的部分满足∠PCD≥90°，∠PDC≥90°，
∴两个区域的公共部分即为性质P90对应的点P 的轨迹．
∵AB 和CD 不具有性质P60，
∴△CDF 与△ABE 无公共点；
当点F 与点E 重合时，OC＝2，u＝1．
∵AB 和CD 具有性质P90，且不具有性质P60，
∴当0＜u≤1 时，u＜v＜u+1；
当u＞1 时，v＞u，整理为u＞1 或v﹣u＜1．
26．（1）①解：如图，即为补全的图形；
②证明：∵AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC．
12
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+90°，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣∠BAD．
∴∠BAE+∠CAE＝180°．
（2）解：如图，延长AC 至点F，使得CF＝AC，延长C 至点G，使得AG＝AB，连接EF，EG．
∵∠ACB＝90°：
∴CE 垂直平分AF，
∴EF＝AE．
∴∠CAE＝∠F．
∵∠BAE+∠CAE＝180°，∠GAE+∠CAE＝180°，
∴∠BAE＝∠GAE．
在△ABE 和△AGE 中，
{
AB = AG
∠BAE =∠GAE
AE = AE
，
∴△ABE≌△AGE（SAS）．
∴∠G＝∠ABE．
∵AB+2AC＝AE，GF＝AG+AC+CF＝AB+2AC，
∴EF＝AE＝GF．
∴∠GEF＝∠G＝∠ABE．
在△EGF 中，∠G+∠F+∠GEF＝180°．
∴∠F＝180°﹣2∠ABE．
13
∵∠CAE＝∠F
∴∠BAE＝180°﹣∠CAE＝2∠ABE．
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝4∠ABE﹣180°．．
在Rt△ABC 中，∠ABC+∠BAC＝90°．
∴∠ABC+4∠ABC﹣180°＝90°．
∴∠ABC＝54°．
