1 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题01 一元二次方程的解法的五类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、直接开方法解一元二次方程
题型二、配方法解一元二次方程
题型三、公式法解一元二次方程
题型四、用因式分解法解一元二次方程
题型五、换元法解一元二次方程
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：含一个未知数、最高次为2，通常化为一般式ax2+bx+c=0。
- 解题方法：优先考虑因式分解（十字相乘）法；系数复杂时用公式法；缺常数项用直接开平方或提公因
式；缺一次项用直接开平方。
- 易错提醒：先化为标准形式；注意a≠0；公式法须先算判别式；开平方要带±号。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、直接开方法解一元二次方程
典例1．（25-26 九年级上·江苏南京·期末）解方程
2
3(
1)
18
0
x +
−
=
．
【答案】
1
2
1
6,
1
6
x
x
= −+
= −−
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键．先移项，然后运
用直接开平方法求解即可．
【详解】解：(
)
2
3
1
18
0
x +
−
=
，
(
)
2
3
1
18
x +
=
，
目 录
2 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
2
1
6
x +
=
，
1
6
x + =
，
解得
1
2
1
6,
1
6
x
x
= −+
= −−
．
题型模版
1.特征：方程可化为x2=p 或(ax+b)2=p（p≥0）的形式，缺一次项。
2.方法：直接对两边开平方，得x=±√𝑝或ax+b=±√𝑝，再解一次方程。
变式1-1．（25-26 九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)
2
2(
1)
18
x −
=
(2)
2
3(
1)
75
0
+
−
=
x
．
【答案】(1)
1x =4，
2
2
x = −
(2)
1x =4，
2
6
x = −
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先在两边同时除以2，得
2
(
1)
9
x −
=
，再直接开平方法，即可作答．
（2）先移项，在两边同时除以3，得
2
(
1)
25
x +
=
，再直接开平方法，即可作答．
【详解】（1）解：∵
2
2(
1)
18
x −
=
，
∴两边同时除以2，得
2
(
1)
9
x −
=
，
则
1
3
x−= ，
∴
1
3
x−= 或
1
3
x−= −，
解得
1x =4，
2
2
x = −．
（2）解：∵
2
3(
1)
75
0
+
−
=
x
，
∴
2
3(
1)
75
x +
=
，
∴
2
(
1)
25
x +
=
，
∴
1
5
x+ = ，
解得
1x =4，
2
6
x = −
变式1-2．（23-24 九年级上·全国·单元测试）用直接开平方法解方程：
(1)(
)
2
3
16
x −
=
；
3 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)(
)
2
2
3
25
x −
=
；
【答案】(1)
1
7
x =
，
2
1
x = −
(2)
1
4
x =
，
2
1
x = −
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用直接开方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）(
)
2
3
16
x −
=
3
4
x −=
∴
1
7
x =
，
2
1
x = −；
（2）(
)
2
2
3
25
x −
=
2
3
5
x−=
∴
1
4
x =
，
2
1
x = −．
变式1-3．（2026 八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程：
(1)(
)
2
2
2
6
x −
=
；
(2) (
)
2
3
1
6
0
x −
−
=
；
(3)(
)(
)
3
3
9
x
x
+
−
=
；
(4)(
)
(
)
2
2
2
1
2
x +
=
+
．
【答案】(1)
1
2
3
x =
+
，
2
2
3
x =
−
(2)
1
1
2
x = +
，
2
1
2
x = −
(3)
1
3 2
x =
，
2
3 2
x = −
(4)
1
1
x = ，
2
1
2 2
x
−
=
−
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法求解可得；
4 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）利用直接开平方法求解可得；
（3）先整理成
2
18
x =
，再直接开平方可得；
（4）利用直接开平方法求解可得．
【详解】（1）解：∵(
)
2
2
2
6
x −
=
，
∴
2
2
6
x −
=
，
解得
1
2
3
x =
+
，
2
2
3
x =
−
；
（2）解：∵(
)
2
3
1
6
0
x −
−
=
，
整理得(
)
2
1
2
x −
=
，
∴
1
2
x −=
，
∴
1
1
2
x = +
，
2
1
2
x = −
；
（3）解：∵(
)(
)
3
3
9
x
x
+
−
=
，
∴
2
9
9
x −
=
，
则
2
18
x =
，
∴
3 2
x =
，即
1
3 2
x =
，
2
3 2
x = −
；
（4）解：∵(
)
(
)
2
2
2
1
2
x +
=
+
．
∴
2
1
2
x+
= +
或
2
1
2
x+
= −−
，
解得
1
1
x = ，
2
1
2 2
x
−
=
−
．
题型二、配方法解一元二次方程
典例2．（25-26 九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程：
(1)
2
4 2
2
0
x
x
−
−
=
．
(2)
2
3
5
1
0
x
x
−
−=
．
【答案】(1)
1
2 2
10
x =
+
，
2
2 2
10
x =
−
(2)
1
5
37
6
x
+
=
，
2
5
37
6
x
−
=
【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1 时，方程两边
5 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系
不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为(
)
2
x
m
n
+
=
的形式，再用直接开
平方的方法解方程．
【详解】（1）解：
2
4 2
2
0
x
x
−
−
=
2
4 2
2
x
x
−
=
2
4 2
8
10
x
x
−
+ =
(
)
2
2 2
10
x −
=
∴
2 2
10
x −
=
，
∴
1
2 2
10
x =
+
，
2
2 2
10
x =
−
；
（2）解：
2
3
5
1
0
x
x
−
−=
2
5
1
3
3
x
x
−
=
2
25
1
25
36
3
36
5
3
x
x +
=
+
−
2
5
37
6
36
x
−
=
∴
5
37
6
6
x −
=
，
∴
1
5
37
6
x
+
=
，
2
5
37
6
x
−
=
．
题型模版
1.特征：方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，或可通过变形凑成完全平方式。
2.方法：移常数项，加一次项系数一半的平方配方，写成(x+n)2=p，再开方求解。
变式2-1．（25-26 九年级上·全国·期中）用配方法解方程：
(1)(
)
2
3
2
5
x
x
+
=
+
；
(2)
2
2
5
3
5
5
x
x
x
x
−
+
=
+
．
【答案】(1)
1
2
2
x
x
=
= −．
(2)原方程无实数根
【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法．
（1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解；
6 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 1，再配方求解．
【详解】（1）解：去括号，得
2
6
9
2
5
x
x
x
+
+
=
+
，
移项、合并同类项，得
2
4
4
0
x
x
+
+
=
，
配方，得(
)
2
2
0
x +
=
，
由此可得
2
0
x+
=
，
1
2
2
x
x
=
= −．
（2）解：移项、合并同类项，得
2
4
8
5
x
x
−
= −．
二次项系数化为 1，得
2
5
2
4
x
x
−
= −．
配方，得
2
2
2
5
2
1
1 ,
4
x
x
−
+
= −
+
(
)
2
1
1
4
x −
= −
∵
1
0
4
−
，
∴原方程无实数根．
变式2-2．（25-26 九年级上·广东揭阳·阶段检测）用配方法解下列方程：
(1)
2
4
4
1
0
x
x
−
−=
；
(2)
2
5
2 3
x
x
−
=
．
【答案】(1)
1
1
2
2
x
+
=
，
2
1
2
2
x
−
=
(2)
1
3
2 2
x =
+
，
2
3
2 2
x =
−
．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，
右边化为常数．
（1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写
成完全平方；第四步，直接开方即可；
（2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写
成完全平方；第四步，直接开方即可．
【详解】（1）解：
2
4
4
1
0
x
x
−
−=
2
4
4
1
x
x
−
=
2
1
4
x
x
−
=
7 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
1
1
1
4
4
4
x
x
−+
=
+
2
1
1
2
2
x
−
=
1
2
2
2
x −
=
解得
1
1
2
2
x
+
=
，
2
1
2
2
x
−
=
；
（2）解：
2
5
2 3
x
x
−
=
2
2 3
5
x
x
−
=
2
2 3
3
5
3
x
x
−
+
=
+
(
)
2
3
8
x −
=
3
2 2
x −
=
解得
1
3
2 2
x =
+
，
2
3
2 2
x =
−
．
变式2-3．（24-25 八年级下·全国·课后作业）运算能力用配方法解方程：
(1)
2
2
4
1
0
x
x
−
−=
；
(2)
2
1
1
0
2 x
x
−
−=
；
(3)
2
1
3
6
0
2 x
x
−
−
+
=
；
(4)(
)(
)
2
3
6
16
x
x
+
−
=
．
【答案】(1)
1
6
1
2
x = +
，
2
6
1
2
x = −
；
(2)
1
1
3
x = +
，
2
1
3
x = −
；
(3)
1
3
21
x = −+
，
2
3
21
x = −−
；
(4)
1
9
353
4
x
+
=
，
2
9
353
4
x
−
=
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，配方法的核心步骤为：先将二次项系数化为1，再移项将常数
项移至方程右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后通过直
接开平方法求解方程的根．
（1）先将二次项系数化为1，再依次进行移项、配方、开平方操作求解；
（2）先消除二次项的分数系数，转化为整系数方程后，按配方法步骤求解；
8 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）先将二次项系数化为正数且为1，再移项、配方、开平方求解；
（4）先将方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再按照配方法的标准步骤求解．
【详解】（1）解：两边同时除以2 得：
2
1
2
0
2
x
x
−
−
=
，
移项得：
2
1
2
2
x
x
−
=
，
配方得：
2
1
2
1
1
2
x
x
−
+ =
+ ，即
2
3
(
1)
2
x −
=
，
开平方得：
6
1
2
x −=
，
∴
6
1
2
x =
，
即
1
6
1
2
x = +
，
2
6
1
2
x = −
；
（2）解：两边同时乘以2 得：
2
2
2
0
x
x
−
−
=
，
移项得：
2
2
2
x
x
−
=
，
配方得：
2
2
1
2 1
x
x
−
+ =
+ ，
即
2
(
1)
3
x −
=
，
开平方得：
1
3
x −=
，
∴
1
3
x =
，
即
1
1
3
x = +
，
2
1
3
x = −
；
（3）解：两边同时乘以2
−得：
2
6
12
0
x
x
+
−
=
，
移项得：
2
6
12
x
x
+
=
，
配方得：
2
6
9
12
9
x
x
+
+
=
+
，
即
2
(
3)
21
x +
=
，
开平方得：
3
21
x+ =
，
∴
3
21
x = −
，
即
1
3
21
x = −+
，
2
3
21
x = −−
；
（4）解：展开得：
2
2
12
3
18
16
x
x
x
−
+
−
=
，
合并同类项得：
2
2
9
18
16
x
x
−
−
=
，
移项得：
2
2
9
34
0
x
x
−
−
=
，
两边同时除以2 得：
2
9
17
0
2
x
x
−
−
=
，
9 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
移项得：
2
9
17
2
x
x
−
=
，
配方得：
2
9
81
81
17
2
16
16
x
x
−
+
=
+
，
即
2
9
272
81
353
4
16
16
16
x
−
=
+
=
，
开平方得：
9
353
4
4
x −
=
，
∴
9
353
4
x
=
，
即
1
9
353
4
x
+
=
，
2
9
353
4
x
−
=
．
题型三、公式法解一元二次方程
典例3．（25-26 八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1)
(
)
2
3
2 2
x
x
=
−
．
(2)
2
2
1
2
9
x
x
x
+
+ = −
+
．
【答案】(1)
1
1
13
3
x
−+
=
，
2
1
13
3
x
−−
=
(2)
1
2
2 3
x = −+
，
2
2
2 3
x = −−
【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定a 、b 、c 的值，代入求根公式求解；
（2）先将方程整理为一般形式，再确定系数后用求根公式求解．
【详解】（1）解：整理，得
2
3
2
4
0
x
x
+
−
=
．
(
)
2
2
4
2
4 3
4
52
0
b
ac
−
=
−−
=
，
2
2 13
1
13
6
3
x
−
−
=
=
，
1
1
13
3
x
−+
=
，
2
1
13
3
x
−−
=
．
（2）解：整理，得
2
4
8
0
x
x
+
−
=
．
(
)
2
2
4
4
4 1
8
16
32
48
0
b
ac
−
=
−−
=
+
=
，
4
4 3
2
2 3
2
x
−
=
= −
，
1
2
2 3
x
= −+
，
2
2
2 3
x = −−
．
10 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型模版
1.特征：适用于所有一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，无需特殊形式，通用解法。
2.方法：代入求根公式x=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，先计算判别式∆=b2-4ac 再求根。
变式3-1．（25-26 九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程：
(1)
2
2
5
3
0
x
x
−
+
=
；
(2) 2 (
1)
1
x x
−
+
= ；
(3) (
3)
2
(1
3 )
y y
y
y
−
=
+
−
．
【答案】(1)
1
3
2
x =
，
2
1
x = ；
(2)方程没有实数解；
(3)
1
1
3
2
y
+
=
，
2
1
3
2
y
−
=
．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到
1
= ，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到
4
= −，然后利用根的判别式的意义判断方程没
有实数解；
（3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到
48
=
，然后利用求根公式得到方程的解．
【详解】（1）解：
2
2
5
3
0
x
x
−
+
=
，
2
a =
，
5
b = −，
3
c = ，
2
( 5)
4 2 3 1
0
= −
−= ，
5 1
2 2
x
=
，
1
3
2
x
=
，
2
1
x = ；
（2）2 (
1)
1
x x
−
+
= ，
方程化为一般式为
2
2
2
1
0
x
x
+
+ =
，
2
a =
，
2
b = ，
1
c = ，
2
2
4
2 1
4
0
=
−= −，
方程没有实数解；
（3）(
3)
2
(1
3 )
y y
y
y
−
=
+
−
，
方程化为一般式为
2
4
4
2
0
y
y
−
−
= ，
4
a =
，
4
b = −，
2
c
−
=
，
11 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
( 4)
4 4 ( 2)
48
0
= −
−−
=
，
4
4 3
1
3
2
4
2
y
=
=
，
1
1
3
2
y
+
=
，
2
1
3
2
y
−
=
．
变式3-2．（25-26 八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程．
(1)
2
3
7
0
x
x
−
−
=
；
(2)
(
)
2
5
2
1
x
x
−
=
+
；
(3)
2
2
5
5
0
x
x
+
−
=
．
【答案】(1)
1
2
3
37
3
37
,
2
2
x
x
+
−
=
=
(2)
1
2
1
2 2,
1
2 2
x
x
= +
= −
(3)
1
2
5 ,
5
2
x
x
=
= −
【详解】（1）解：
2
3
7
0
x
x
−
−
=
，
1,
3,
7
a
b
c
=
= −
= −，
2
4
9
28
37
0
b
ac
−
=
+
=
，
2
4
3
37
3
37
2
2 1
2
b
b
ac
x
a
−
−
=
=
=
，
1
2
3
37
3
37
,
2
2
x
x
+
−
=
=
；
（2）解：方程整理得：
2
2
7
0
x
x
−
−
=
，
1,
2,
7
a
b
c
=
= −
= −，
2
4
4
28
32
0
b
ac
−
=
+
=
，
2
32
1
2 2
2
x
=
=
，
1
2
1
2 2,
1
2 2
x
x
= +
= −
；
（3）解：
2
2
5
5
0
x
x
+
−
=
，
2,
5,
5
a
b
c
=
=
= −，
2
4
5
40
45
0
b
ac
−
=
+
=
，
5
3 5 ,
4
x
−
=
12 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1
2
5 ,
5
2
x
x
=
= −
．
变式3-3．（2026 八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程
(1)
2
1
2
0
4
x
x
−
−
=
；
(2)
2
2
2 2
1
0
x
x
−
+ =
；
(3)
2
2
3
20
2
8
x
x
x
+
=
+
．
【答案】(1)
2
3
2
x
+
=
或
2
3
2
x
−
=
；
(2)
1
2
2
2
x
x
=
=
；
(3)无实数根
【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，确定a 、
b 、c 的值，计算判别式
2
Δ
4
b
ac
=
−
，根据的符号判断根的情况：当Δ
0
时，方程有两个不相等的实数
根；当Δ
0
=
时，方程有两个相等的实数根；当Δ
0
时，方程无实数根，最后代入求根公式
Δ
2
b
x
a
−
=
求
解(Δ
0
时无需代入)．
（1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解；
（2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据Δ
0
=
求相等实根；
（3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据Δ
0
判断无实数根．
【详解】（1）解：方程
2
1
2
0
4
x
x
−
−
=
，其中
1
a = ，
2
b = −
，
1
4
c = −
，
∴
2
2
1
Δ
4
(
2)
4 1
2 1
3
0
4
b
ac
=
−
= −
−−
=
+ =
，
∴
Δ
2
3
2
3
2
2 1
2
b
x
a
−
=
=
=
，
即
1
2
3
2
x
+
=
，
2
2
3
2
x
−
=
；
（2）解：方程
2
2
2 2
1
0
x
x
−
+ =
，其中
2
a =
，
2 2
b = −
，
1
c = ，
∴
2
2
Δ
4
( 2 2)
4 2 1
8 8
0
b
ac
=
−
= −
−=
−
=
，
∴
Δ
2 2
0
2
2
2 2
2
b
x
a
−
=
=
=
，
即
1
2
2
2
x
x
=
=
；
（3）解：先将方程化为一般形式：
2
8
20
0
x
x
−
+
=
，
13 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
其中
1
a = ，
8
b = −，
20
c =
，
∴
2
2
Δ
4
( 8)
4 1 20
64 80
16
0
b
ac
=
−
= −
−
=
−
= −
，
∴原方程无实数根．
题型四、用因式分解法解一元二次方程
典例4．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）解下列方程：
(1)
2
2
8
0
x
x
−
−
=
；
(2)
(
)
(
)
2
3
5
3
x x
x
−
=
−
．
【答案】(1)
1
4
x =
，
2
2
x = −
(2)
1
3
x = ，
2
5
2
x =
【详解】（1）解：
2
2
8
0
x
x
−
−
=
，
因式分解得(
)(
)
4
2
0
x
x
−
+
=
，
∴
4
0
x−
=
或
2
0
x +
=
，
解得
1
4
x =
，
2
2
x = −；
（2）解：
(
)
(
)
2
3
5
3
x x
x
−
=
−
，
整理得
(
)
(
)
2
3
5
3
0
x x
x
−
−
−
=
，
因式分解得(
) (
)
3
2
5
0
x
x
−
−
=
，
∴
3
0
x −= 或2
5
0
x −=
，
解得
1
3
x = ，
2
5
2
x =
．
题型模版
1.特征：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积（提公因式、十字相乘、平方差等）。
2.方法：移项使右边为0，左边因式分解，令各因式为0，得两个一元一次方程求解。
变式4-1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程：
(1)
2
2
3
0
x
x
+
−
=
；
(2) (
)
4
8
2
x x
x
−
=
−
．
14 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
1
3
x = −，
2
1
x =
(2)
1
2
x = −，
2
4
x =
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：(
)(
)
1
3
0
x
x
−
+
=
3
0
x+ = 或
1
0
x −=
1
3
x = −，
2
1
x = ．
（2）解：(
)
4
2
8
0
x x
x
−
+
−
=
(
)
(
)
4
2
4
0
x x
x
−
+
−
=
(
)(
)
4
2
0
x
x
−
+
=
2
0
x +
=
或
4
0
x−
=
1
2
x = −，
2
4
x =
．
变式4-2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·阶段检测）解一元二次方程：
(1)
2
3
2
1
0
x
x
-
-
=
；
(2)(
)
(
)
2
3
2
3
0
x
x x
−
−
+
=
．
【答案】(1)
1
1
3
= −
x
，
2
1
x =
(2)
1
3
x = ，
2
1
x =
【分析】（1）先因式分解转化为两个因式的乘积，即可求得答案；
（2）先提取公因式转化为两个因式的乘积，即可求得答案．
【详解】（1）解：因式分解，得(
)(
)
3
1
1
0
x
x−
+
=
，
1
1
3
x
−
=
，
2
1
x = ；
（2）解：提取公因式，得(
) (
)
3
3
2
0
x
x
x
−
−
+
=
，
即(
)(
)
3
3
1
0
x
x
−
−
=
，
1
3
x
=
，
2
1
x = ．
15 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式4-3．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）解方程：
(1)
2
12
27
0
x
x
+
+
=
(2)(
)
(
)
2
2
1
2 2
1
x
x
−
=
−
【答案】(1)
1
2
3,
9
x
x
= −
= −
(2)
1
2
1
3
,
2
2
x
x
=
=
【分析】（1）采用因式分解法求解；
（2）移项后采用因式分解法求解；
【详解】（1）解：
2
12
27
0
x
x
+
+
=
，
因式分解得(
3)(
9)
0
x
x
+
+
=
，
∴
3
0
x+ =
或
9
0
x+
=
，
解得：
1
2
3,
9
x
x
= −
= −；
（2）解：(
)
(
)
2
2
1
2 2
1
x
x
−
=
−
，
移项得
2
(2
1)
2(2
1)
0
x
x
−
−
−
=
，
提取公因式得(2
1)(2
1
2)
0
x
x
−
−−
=
，
整理得(2
1)(2
3)
0
x
x
−
−
=
，
∴2
1
0
x−=
或2
3
0
x −=
，
解得：
1
2
1
3
,
2
2
x
x
=
=
．
题型五、换元法解一元二次方程
典例5．（25-26 九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题．
解方程：(
)
(
)
2
4
1
10 4
1
24
0
x
x
−
−
−
+
=
．
解：把4
1
x- 视为一个整体，设4
1
x
y
−=
，
则原方程化为
2
10
24
0
y
y
−
+
=
，
解得
1
6
y =
，
2
4
y =
．
4
1
6
x
−=
或4
1
4
x−=
．
1
7
4
x
=
，
2
5
4
x =
．
16 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)
4
2
3
2
0
x
x
−
+
=
．
(2)(
)
2
2
2
2
5
10
6
0
x
x
x
x
−
−
+
−
=
．
【答案】(1)
1
1
x = ，
2
1
x = −，
3
2
x =
，
4
2
x = −
(2)
1
1
7
x = +
，
2
1
7
x = −
，
3
4
1
x
x
=
=
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键．
（1）设
2
y
x
=
，将方程转化为关于y 的一元二次方程求解，再解关于x 的方程；
（2）设
2
2
y
x
x
=
−
，将方程转化为关于y 的一元二次方程求解，再解关于x 的方程．
【详解】（1）解：设
2
y
x
=
，则原方程化为
2
3
2
0
y
y
−
+
=
，
(
)(
)
1
2
0
y
y
−
−
=
，
1
0
y
−=
或
2
0
y −
=
，
1
y
= 或
2
y =
，
2
1
x
= 或
2
2
x =
，
原方程的解为
1
1
x = ，
2
1
x
−
=
，
3
2
x =
，
4
2
x = −
；
（2）解：原方程为(
)
2
2
2
2
5
10
6
0
x
x
x
x
−
−
+
−
=
，
即(
)
(
)
2
2
2
2
5
2
6
0
x
x
x
x
−
−
−
−
=
，
设
2
2
y
x
x
=
−
，则原方程化为
2
5
6
0
y
y
−
−
=
，
(
)(
)
6
1
0
y
y
−
+
=
，
6
0
y
−
=
或
1
0
y + =
，
6
y
=
或
1
y
−
=
，
2
2
6
x
x
−
=
或
2
2
1
x
x
−
= −，
对于
2
2
6
x
x
−
=
，即
2
2
6
0
x
x
−
−
=
，
(
)
(
)
2
Δ
2
4 1
6
4
24
28
= −
−−
=
+
=
，
17 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
28
2
2 7
1
7
2
2
x
=
=
=
，
对于
2
2
1
x
x
−
= −，即
2
2
1
0
x
x
−
+ =
，
(
)
2
1
0
x −
=
，
3
4
1
x
x
=
= ，
原方程的解为
1
1
7
x = +
，
2
1
7
x = −
，
3
4
1
x
x
=
= ．
题型模版
1.特征：方程含有相同或对称的重复结构（如高次、分式、根式），通过整体代换可化为二次方程。
2.方法：设重复部分为新未知数（如设 t = x +
1
𝑥），解出t 后，再代回解原未知数。
变式5-1．（25-26 九年级上·河南商丘·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题：
解方程
4
2
5
4
0
x
x
−
+
=
，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设
2x
y
=
，那么
4
2
x
y
=
，
于是原方程可变为
2
5
4
0
y
y
−
+
=
①，解这个方程得
1
2
1,
4
y
y
=
=
．
当
1
y = 时，
2
1
x = ，
1
x
= ；
当
4
y =
时，
2
4
x =
，
2
x
= ；
原方程有四个根：
1
2
1,
1
x
x
=
= −，
3
2
x =
，
4
2
x = −．
请运用上面学到的方法填空：
(1)解方程(
)
(
)
2
2
2
2
4
2
5
0
x
x
x
x
+
−
+
−
=
，则
2
2
x
x
+
=______；
(2)若(
)(
)
2
2
2
2
1
20
a
b
a
b
+
+
−
=
，求
2
2
a
b
+
= ______．
【答案】(1)5 或1
−
(2)5
【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键．
（1）仿照例题，将(
)
2
2
x
x
+
看作整体，因式分解后得出(
)(
)
2
2
2
5
2
1
0
x
x
x
x
+
−
+
+
=
，再求解即可．
（2）仿照例题，将(
)
2
2
a
b
+
看作整体，因式分解后得出(
)(
)
2
2
2
2
5
4
0
a
b
a
b
+
−
+
+
=
，再求解即可．
【详解】（1）解：(
)
(
)
2
2
2
2
4
2
5
0
x
x
x
x
+
−
+
−
=
，
∴(
)(
)
2
2
2
5
2
1
0
x
x
x
x
+
−
+
+
=
，
∴
2
2
5
0
x
x
+
−
=
或
2
2
1
0
x
x
+
+ =
，
18 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
2
2
5,
2
1
x
x
x
x
+
=
+
= −，
故答案为：5 或1
−；
（2）解：(
)(
)
2
2
2
2
1
20
a
b
a
b
+
+
−
=
，
∴(
)(
)
2
2
2
2
1
20
0
a
b
a
b
+
+
−
−
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
2
2
20
0
a
b
a
b
+
−
+
−
=
，
∴(
)(
)
2
2
2
2
5
4
0
a
b
a
b
+
−
+
+
=
，
∴(
)
2
2
5
0
a
b
+
−
=
或
2
2
4
0
a
b
+
+
=
，
∴
2
2
5
a
b
+
=
，
2
2
4
a
b
+
= −，
∵不论a、b 为何值，
2
2
0
a
b
+
，即
2
2
4
a
b
+
−，
2
2
5
a
b
+
= ，
故答案为：5．
变式5-2．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料：
换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一
个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化．
如：解方程
4
2
6
0
x
x
−
−
=
，可将方程变形为(
)
2
2
2
6
0
x
x
−
−
=
，设
2x
y
=
，则(
)
2
2
2
x
y
=
，原方程化为
2
6
0
y
y
−
−
=
，
解得
1
2
y
−
=
，
2
3
y = ．当
1
2
y
−
=
时，
2
2
x = −无意义，舍去；当
2
3
y = 时，
2
3
x =
，解得
3
x =
，∴原方程
的解为
1
3
x =
，
2
3
x = −
．
利用以上学习到的方法解决下列问题：
(1)解方程：
4
2
4
12
0
x
x
−
−
=
；
(2)已知实数x、y 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
2
3
2
2
5
7
x
y
x
y
+
+
+
−
= −；求
2
2
x
y
+
的值．
【答案】(1)
1
6
x =
，
2
6
x = −
．
(2)
2
2
2
x
y
+
=
【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答．
（2）先整理得
2
2
2
2
x
y
z
+
=
，则(
)(
)
3
5
7
z
z
+
−
= −，再得(
)(
)
4
2
0
z
z
−
+
=
，解得
1
4
z =
，
2
2
z = −，再逐个
19 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
分析检验，即可作答．
【详解】（1）解：∵
4
2
4
12
0
x
x
−
−
=
，
∴(
)
2
2
2
4
12
0
x
x
−
−
=
，
设
2x
y
=
，则(
)
2
2
2
x
y
=
，
原方程化为
2
4
12
0
y
y
−
−
=
，
∴(
)(
)
6
2
0
y
y
−
+
=
，
解得
1
6
y =
，
2
2
y = −．当
2
2
y = −时，
2
2
x = −无意义，舍去；
当
1
6
y =
时，
2
6
x =
，解得
6
x =
，
∴原方程的解为
1
6
x =
，
2
6
x = −
．
（2）解：依题意，(
)(
)
2
2
2
2
2
2
3
2
2
5
7
x
y
x
y
+
+
+
−
= −，
设
2
2
2
2
x
y
z
+
=
，
原方程化为(
)(
)
3
5
7
z
z
+
−
= −，
∴
2
5
3
15
7
z
z
z
−
+
−
= −，
∴
(
)(
)
2
2
8
4
2
0
z
z
z
z
−
−
=
−
+
=
，
解得
1
4
z =
，
2
2
z = −．
当
1
4
z =
时，
2
2
2
2
4
x
y
+
=
，
∴
2
2
2
x
y
+
=
，
当
2
2
z = −时，
2
2
2
2
2
x
y
+
= −，
∴
2
2
1
0
x
y
+
= −
无意义，舍去；
综上：
2
2
2
x
y
+
=
．
变式5-3．（25-26 九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：
4
2
3
2
0
x
x
−
+
=
．
解∶设
2x
m
=
，则原方程变为
2
3
2
0
m
m
−
+
=
，
解得，
1
2
1,
2
m
m
=
=
．
当
1
1
m = 时，
2
1
x = ，解得
1
x = ．
当
2
2
2,
2
m
x
=
=
，解得
2
x =
．
20 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
所以，原方程的解为
1
2
3
4
1,
1,
2,
2
x
x
x
x
=
= −
=
= −
．
【问题解决】
(1)利用上述方法，解方程：
4
2
5
6
0
x
x
−
+
=
；
(2)利用上述方法，解方程：(
)
2
2
2
2
4
8
12
0
x
x
x
x
−
−
+
−
= ．
【答案】(1)
1
2
3
4
3,
3,
2,
2
x
x
x
x
=
= −
=
= −
(2)
1
2
1
7,
1
7
x
x
= +
= −
【分析】本题考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键：
（1）利用换元法解方程即可；
（2）利用换元法解方程即可．
【详解】（1）解：设
2x
m
=
，则原方程化为
2
5
6
0
m
m
−
+
=
，
解得
1
2
3,
2
m
m
=
=
，
当当
1
3
m =
时，
2
3
x =
，解得
3
x =
．
当
2
2
m =
时，
2
2
x =
，解得
2
x =
．
所以，原方程的解为
1
2
3
4
3,
3,
2,
2
x
x
x
x
=
= −
=
= −
．
（2）(
)
2
2
2
2
4
8
12
0
x
x
x
x
−
−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
4
2
12
0
x
x
x
x
−
−
−
−
=
，
设
2
2
x
x
m
−
=
，则原方程化为
2
4
12
0
m
m
−
−
=
，
解得
1
2
6,
2
m
m
=
= −，
当当
1
6
m =
时，
2
2
6
x
x
−
=
，解得
1
7
x =
．
当
2
2
m = −时，
2
2
2
x
x
−
= −，此方程无实数根．
所以，原方程的解为
1
2
1
7,
1
7
x
x
= +
= −
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．用配方法解一元二次方程
2
2
4
6
0
x
x
−
−
=
时，配方后的方程是（ ）
A．(
)
2
2
1
8
x −
=
B．(
)
2
1
4
x −
=
C．(
)
2
1
8
x −
=
D．(
)
2
2
1
4
x −
=
21 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可．
【详解】解：
2
2
4
6
0
x
x
−
−
=
(
)
2
2
2
6
0
x
x
−
−
=
(
)
2
2
2
6
x
x
−
=
2
2
3
x
x
−
=
2
2
1
3 1
x
x
−
+ =
+
(
)
2
1
4
x −
=
故答案选B
2．方程
2
2
8
3
y
y
=
+ 的根是（ ）
A．
1
2
4
22
4
22
,
2
2
y
y
+
−
=
=
B．
1
2
4
22
4
22
,
2
2
y
y
−+
−−
=
=
C．
1
2
4
10
4
10
,
2
2
y
y
+
−
=
=
D．
1
2
4
10
4
10
,
2
2
y
y
−+
−−
=
=
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，用公式法、配方法均可求解.
【详解】解：将方程
2
2
8
3
y
y
=
+ 化为一般式
2
2
8
3
0
y
y
−
−=
，
∴a=2，b=-8，c=-3，
∴Δ=
2
4
b
ac
−
=64-4×2×（-3）=88＞0，
∴
1
2
4
22
4
22
2
2
y
y
+
−
=
=
，
故选： A．
3．关于x 的方程(
)
2
x
m
n
+
=
，下列说法正确的是（ ）
A．当
0
n
时，有两个解x
n
m
=
−
B．有两个解x
n
m
=
−
C．当
0
n
时，有两个解x
n
m
=
−
D．当
0
n
时，方程无实根
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，当
0
n
时，n 才有意义，那么把原方程两边同时开平方可得
0
n
，
即x
n
m
=
−
，当
0
n 时，
n 无意义，即此时方程无解，据此可得答案．
【详解】解：∵(
)
2
x
m
n
+
=
，
22 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴当
0
n
时，x
m
n
+
=
，
∴x
n
m
=
−
∴当
0
n
时，有两个解x
n
m
=
−
，
当
0
n 时，
n 无意义，即此时方程无解，
故选：A．
4．已知菱形ABCD的边长是一元二次方程
2
12
35
0
x
x
−
+
=
的一个根，且两条对角线长的和为14，则菱形
ABCD的边长为（ ）
A．5
B．7
C．12
D．5或7
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性质和解一元二次
方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出
(
)
1
7
2
AO
BO
AC
BD
+
=
+
=
，求出方程的解，利用三角形的三
边关系确定解即可．
【详解】解：如图，
由题意得
14
AC
BD
+
=
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO
OC
=
，BO
OD
=
，
∴
(
)
1
7
2
AO
BO
AC
BD
+
=
+
=
，
解
2
12
35
0
x
x
−
+
=
，
解得：
5
x = 或
7
x =
，
∵AO
BO
AB
+
，
∴
7
AB
，
∴
5
AB =
，
故选：A．
5．若方程
2
6
2
0
x
x
+
+
=
能配方成(
)
2
0
x
p
q
+
+
=
的形式，则直线y
px
q
=
+
不经过第 象限．
23 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】二
【详解】由
2
6
2
0
x
x
+
+
=
配方，得(
)
2
3
7
x +
=
，即(
)
2
3
7
0
x +
−
=
，
3
p
=
，
7
q = −，
y
px
q
=
+
的解析式为
3
7
y
x
=
−
，
图象不经过第二象限．
6．已知a，b 满足*
3
ab
a
b
a b
+
+
=
，已知3*
4
x =
，x 为正数，则x = ．
【答案】21 3 13
2
−
【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，根据题意得到方程，再将方程转换为一元二次方
程即可解答，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：由题意得
3
3
4
3
x
x
+ +
=
，
整理得3
9
x
x
=
−
，
两边平方得
2
3
(9
)
x
x
=
−
，
整理得
2
21
81
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
21 3 13
2
x
+
=
，
2
21 3 13
2
x
−
=
，
当
1
21 3 13
2
x
+
=
时，9
0
x
−
，故舍去，
21 3 13
2
x
−
=
，
故答案为：21 3 13
2
−
．
7．已知(
)(
)
2
2
2
2
2
8
0
m
n
m
n
+
+
−
+
=
，则
2
2
m
n
+
的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．设
(
)
2
2
0
t
m
n
t
=
+
，根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答．
【详解】解：设
(
)
2
2
0
t
m
n
t
=
+
，
则(
)
2
8
0
t t +
−
=
，
∴
2
2
8
0
t
t
+
−
=
，
24 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴(
)(
)
2
4
0
t
t
−
+
=
，
∴
2
0
t −
=
或
4
0
t +
=
，
∴
2
t =
或
4
0
t = −
（舍去）；
∴
2
2
2
m
n
+
=
．
故答案为：2．
8．方程
2
7
12
0
x
x
−
+
=
的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．
【答案】10 或11
【分析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，等腰三角形的定义，利用因式分解法求出方程的解得到
x 的值，确定出底与腰，即可求出周长．熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
【详解】解：
2
7
12
0
x
x
−
+
=
，
(
3)(
4)
0
x
x
−
−
=
，
解得：
1
3
x = ，
2
4
x =
，
若3 为底，4 为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3 4
4
11
+ +
=
；
若3 为腰，4 为底，三角形三边为3，3，4，周长为3 3 4
10
+ +
=
．
则这个三角形的周长为10 或11，
故答案为：10 或11．
9．解方程：
(1)(
)
(
)
2
3
2
3
x
x
−
=
−
；
(2)(
)(
)
1
1
2 2
x
x
x
+
−
=
．
【答案】(1)
1
2
3,
5
x
x
=
=
(2)
1
2
2
3,
2
3
x
x
=
+
=
-
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可．
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：(
)
(
)
2
3
2
3
x
x
−
=
−
2
(
3)
2(
3)
0
x
x
−
−
−
=
(
3)[(
3)
2]
0
x
x
−
−
−
=
25 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
3)(
5)
0
x
x
−
−
=
∴
3
0
x −= ，
5
0
x −
=
，
∴
1
2
3,
5
x
x
=
=
（2）解：(
)(
)
1
1
2 2
x
x
x
+
−
=
2
2 2
1
0
x
x
−
−=
(
)
2
2 2
4 ( 1)
12
0
=
−−
=
，
2 2
12
2
3
2
x
=
=
，
∴
1
2
2
3,
2
3
x
x
=
+
=
-
．
10．用十字相乘法解方程
(1)
2
90
0
x
x
−
−
=
(2)
2
2
10
0
x
x
+
−
=
【答案】(1)
1
10
x =
，
2
9
x = −
(2)
1
2.5
x = −
，
2
2
x =
【分析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字
相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】（1）解：
2
90
0
x
x
−
−
=
，
方程整理得：(
)(
)
10
9
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
10
x =
，
2
9
x = −；
（2）解：
2
2
10
0
x
x
+
−
=
，
方程整理得：(
)(
)
2
5
2
0
x
x
+
−
=
，
解得：
1
2.5
x = −
，
2
2
x =
．
11．用适当的方法解下列方程：
(1)
2
(2
1)
4
0
x −
−
=
；
(2)
2
4
1
0
x
x
−
−=
；
(3)
2
5
6
0
x
x
−
+
=
．
【答案】(1)
1
2
3
1
,
2
2
x
x
=
= −
26 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)
1
2
2
5,
2
5
x
x
=
+
=
−
(3)
1
2
3,
2
x
x
=
=
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的方法进行求解是解题的关键．
（1）根据直接开平方法进行求解即可；
（2）根据配方法进行求解即可；
（3）根据因式分解法进行求解即可．
【详解】（1）
2
(2
1)
4
0
x −
−
=
，
2
(2
1)
4
x −
=
2
1
2,
x
−=
1
2
3
1
,
2
2
x
x
=
= −
；
（2）
2
4
1
0
x
x
−
−=
，
2
4
1
x
x
−
= ，
2
4
4
5
x
x +
=
−
，
2
(
2)
5
x
−
= ，
2
5
x
−
=
，
1
2
2
5,
2
5
x
x
=
+
=
−
．
（3）
2
5
6
0
x
x
−
+
=
(
3)(
2)
0
x
x
−
−
=
，
3
0
x
−= 或
2
0
x−
=
，
1
2
3,
2
x
x
=
=
．
12．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) (
)
2
3
1
27
0
x −
−
=
；
(2)
2
8
9
0
x
x
−
−
=
；
(3)(
)
2
4
2
8
x
x
+
=
+
【答案】(1)
1
4
x =
，
2
2
x = −
(2)
1
9
x =
，
2
1
x = −
27 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)
1
2
x = −，
2
4
x = −
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）去括号整理，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵(
)
2
3
1
27
0
x −
−
=
，
∴(
)
2
3
1
27
x −
=
，
∴(
)
2
1
9
x −
=
，
∴
1
3
x−= ，
解得
1
4
x =
，
2
2
x = −；
（2）解：∵
2
8
9
0
x
x
−
−
=
，
∴
2
8
9
x
x
−
=
，
∴
2
8
16
25
x
x
−
+
=
，即(
)
2
4
25
x −
=
，
∴
4
5
x −
= ，
解得
1
9
x =
，
2
1
x = −；
（3）解：(
)
2
4
2
8
x
x
+
=
+
2
8
16
2
8
x
x
x
+
+
=
+
2
6
8
0
x
x
+
+
=
(
)(
)
2
4
0
x
x
+
+
=
解得
1
2
x = −，
2
4
x = −．
13．解方程
(1)
2
2
2
0
x
x
−
−
=
(2)
(
)
(
)
2
2
1
3 2
1
x
x
x
−
=
−
(3)(
)(
)
3
2
3
14
x
x
x
+
+
=
+
【答案】(1)
1
2
1
3,
1
3
x
x
= +
= −
28 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)
1
1
2
x =
，
2
3
2
x =
(3)
1
4
x = −，
2
2
3
x =
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
2
2
2
0
x
x
−
−
=
2
2
2
x
x
−
=
2
2
1
3
x
x
−
+ =
(
)
2
1
3
x −
=
∴
1
3
−=
x
解得
1
2
1
3,
1
3
x
x
= +
= −
；
（2）
(
)
(
)
2
2
1
3 2
1
x
x
x
−
=
−
(
)
(
)
2
2
1
3 2
1
0
x
x
x
−
−
−
=
(
)(
)
2
3
2
1
0
x
x
−
−
=
2
3
0
x −=
或2
1
0
x−=
解得
1
1
2
x =
，
2
3
2
x =
；
（3）(
)(
)
3
2
3
14
x
x
x
+
+
=
+
2
3
9
2
6
14
0
x
x
x
x
+
+
+
−
−
=
2
3
10
8
0
x
x
+
−
=
(
)(
)
4
3
2
0
x
x
+
−
=
∴
4
0
x +
=
或3
2
0
x −
=
解得
1
4
x = −，
2
2
3
x =
．
14．用适当的方法解下列一元二次方程：
29 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)
2
4
12
x
x
=
；
(2)
(
)
2
3
3
x x
x
−
+
=
；
(3)
2
4
28
13
0
x
x
−
+
=
；
(4)
2
3
2
0
2 x
x
−
+
+
=
．
【答案】(1)
1
0
x =
，
2
3
x =
(2)
1
1
2
x = −
，
2
3
x =
(3)
1
6.5
x
=
，
2
0.5
x =
(4)
1
1
13
3
x
−
=
，
2
1
13
3
x = +
【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述
两种解一元二次方程的方法．
（1）利用因式分解法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程；
（3）利用公式法解一元二次方程；
（4）利用公式法解一元二次方程．
【详解】（1）解：移项得：
2
4
12
0
x
x
−
=
提取公因式4x ，得到：
(
)
4
3
0
x x −
=
4
0
x =
和
3
0
x −= ，
解得：
1
0
x =
，
2
3
x =
；
（2）去括号，得：
2
2
6
3
0
x
x
x
−
+
−
=
，
即
2
2
5
3
0
x
x
−
−
=
，
方程左边因式分解，得：(
)(
)
2
1
3
0
x
x
+
−
=
，
∴2
1
0
x + =
和
3
0
x −= ，
解得：
1
1
2
x = −
，
2
3
x =
；
（3）方程
2
4
28
13
0
x
x
−
+
=
，
4
28
13
a
b
c
=
= −
=
，
，
,
30 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
( 28)
4 4 13
784
208
576
= −
−
=
−
=
△
，
∴
28
576
28
24
8
8
x
=
=
，
∴
1
6.5
x =
，
2
0.5
x =
；
（4）
2
3
2
0
2 x
x
−
+
+
=
，
方程两边同乘2
−，得
2
3
2
4
0
x
x
−
−
=
，
3
2
4
a
b
c
=
= −
= −
，
，
,
∴
(
)
2
( 2)
4 3
4
52
= −
−−
=
，
∴
1
13
3
x
=
，
解得：
1
1
13
3
x
−
=
，
2
1
13
3
x = +
．
15．（1）解方程：
2
8
20
0
x
x
+
−
=
；
（2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“
2
4
3
0
x
x
−
+
=
”，让同学们求解．球宝
和甜宝两位同学的做法如下：
球宝同学的解答
甜宝同学的解答
解：原方程可化为
(
1)(
3)
0
x
x
−
−
=
．
当
1
0
x−=
时，
1
x = ，
当
3
0
x −= 时，
3
x = ，
所以
1
1
x = ，
2
3
x =
．
解：原方程可化为
2
4
3
x
x
−
=
，
2
4
4
3
4
x
x
−
+
=
+
，
2
(
2)
7
x −
=
．
所以
2
7
x −
=
，
所以
1
7
2
x =
+
，
2
7
2
x = −
+
．
①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因是 ；
②请你写出其他的正确解法．
【答案】（1）
1
2
2
10
x
x
=
= −
，
；（2）①甜宝；原方程常数项移项时未变号；②
1
2
3
1
x
x
=
=
，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法法解一元二次方程，解题关键是掌握上述两方法
求解．
31 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）利用因式分解法求解；
（2）先判断甜宝解法错误，再找出错因，然后写出正确解法即可．
【详解】（1）解：方程左边分解因式，得：(
)(
)
2
10
0
x
x
−
+
=
，
可得：
2
0
x−
=
或
10
0
x+
=
，
解得：
1
2
x =
，
2
10
x = −
；
（2）①甜宝同学的解法有误，错误的原因是原方程常数项移项时未变号；
故答案为：甜宝，原方程常数项移项时未变号；
②∵
1
4
3
a
b
c
=
= −
=
，
，
，
∴
2
4
4
0
b
ac
−
=
，
所以
2
4
4
4
2
2
b
b
ac
x
a
−
−
=
=
，
所以
1
2
3
1
x
x
=
=
，
·
16．阅读材料，解答问题．材料：为解方程(
)
(
)
2
2
2
2
3
2
0
x
x
−
−
−
=
，我们可以将
2
2
x −
作为一个整体，然后
设
2
2
y
x
=
−，则(
)
2
2
2
2
x
y
−
=
．原方程可化为：
2
3
0
y
y
−
=
，解得：
1
2
0,
3
y
y
=
=
．
当
0
y =
时，
2
2
0
x −
=
，解得：
2
x =
；
当
3
y = 时，
2
2
3
x −
=
，解得：
5
x =
；
所以原方程的解为：
1
2
3
4
2,
2,
5,
5
x
x
x
x
=
= −
=
= −
．
(1)方程：(
)
(
)
2
2
2
2
8
2
15
0
x
x
+
−
+
+
=
的解为：_______
(2)解方程：(
)
(
)
2
2
2
6
2
5
2
21
0
x
x
x
x
+
+
+
−
=
；（写出解题过程）
【答案】(1)
1
2
3
4
1,
1,
3,
3
x
x
x
x
=
= −
=
= −
(2)
1
1
2
10
2
10
2
2
x
x
−+
−−
=
=
，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）设
2
2
t
x
=
+ ，则原方程可以化为
2
8
15
0
t
t
−
+
=
，再仿照题意解方程即可；
（2）设
2
2
m
x
x
=
+
，则原方程可以化为
2
6
5
21
0
m
m
+
−
=
，再仿照题意解方程即可．
【详解】（1）解：设
2
2
t
x
=
+ ，则(
)
2
2
2
2
x
t
+
=
，
∴原方程可以化为
2
8
15
0
t
t
−
+
=
，
32 / 32
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴(
)(
)
5
3
0
t
t
−
−
=
，
解得1
2
3
5
t
t
=
=
，
，
当
3
t =
时，
2
2
3
x +
=
，解得
1
x = ；
当
5
t =
时，
2
2
5
x +
=
，解得
3
x =
；
∴原方程的解为：
1
2
3
4
1,
1,
3,
3
x
x
x
x
=
= −
=
= −
；
（2）解：设
2
2
m
x
x
=
+
，则(
)
2
2
2
2
x
x
m
+
=
，
∴原方程可以化为
2
6
5
21
0
m
m
+
−
=
，
∴(
)(
)
2
3
3
7
0
m
m
−
+
=
，
解得
1
2
3
7
2
3
m
m
=
= −
，
，
当
3
2
m =
时，
2
3
2
2
x
x
+
=
，解得
2
10
2
x
−
=
；
当
7
3
m = −
时，
2
7
2
3
x
x
+
= −
，此时方程无解；
综上所述，原方程的解为
1
1
2
10
2
10
2
2
x
x
−+
−−
=
=
，
．
